Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

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nach x Minuten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-250|0|150) (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B (-400|300|250) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?
Wo ist die Rakete nach 9s?
Wie weit ist die Rakete dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem die Rakete steigt?
Wann hat die Rakete die Höhe von 750m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor AB = ( -150 300 100 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = (-150) 2 + 3002 + 100 2 = 122500 = 350.
Die Geschwindigkeit ist also v=350 m s = 1260 km h

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -250 0 150 ) +t ( -150 300 100 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -250 0 150 ) +9 ( -150 300 100 ) = ( -1600 2700 1050 ) , also im Punkt P(-1600|2700|1050).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-250|0|150) nach P(-1600|2700|1050) bewegt, also um den Vektor AP = ( -1350 2700 900 ) . Dessen Länge ist (-1350) 2 + 27002 + 900 2 = 9922500 = 3150m.

Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen. Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den Normalenvektor n = ( 0 0 1 ) .
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel α: sin(α)= | ( -150 300 100 ) ( 0 0 1 ) | | ( -150 300 100 ) | | ( 0 0 1 ) | = | (-150)0 + 3000 + 1001 | (-150) 2 + 3002 + 100 2 0 2 + 02 + 1 2
= | 100 | 122500 1 0.2857 => α=16.6°

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 150 auf 750m (also 600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 600 100 s = 6s lang steigen (bzw. sinken).

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (3|5|654) in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 43,2km/h in Richtung des Punktes B (27|-19|642) (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?
Wann hat sie die (absolute) Höhe von 582m erreicht?
In welchem Punkt befindet die sich dann?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 43200 m 3600 s = 12 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 24 -24 -12 ) ist 24 2 + (-24)2 + (-12) 2 = 1296 = 36 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 12 m s . braucht er für diese Strecke 36 12 s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

In einer s wird also der Vektor 1 3 ( 24 -24 -12 ) = ( 8 -8 -4 ) zurückgelegt.
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann so als Gerade g mit g: x = ( 3 5 654 ) +t ( 8 -8 -4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um -4m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 654 auf 582m (also -72m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also -72 -4 s = 18s lang steigen (bzw. sinken) und ist dann im Punkt mit dem Ortsvektor OP = ( 3 5 654 ) +18 ( 8 -8 -4 ) = ( 147 -139 582 )
Also im Punkt P(147|-139|582).

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (15|-15|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (-48|-69|-54) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 7,26 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( -63 -54 -54 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -63 -54 -54 ) = ( -21 -18 -18 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 15 -15 0 ) +t ( -21 -18 -18 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = (-21) 2 + (-18)2 + (-18) 2 = 1089 = 33.
Die Geschwindigkeit ist also v=33 m min
Für die Strecke von 7.26 km braucht es also 7260 33 min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 15 -15 0 ) +220 ( -21 -18 -18 ) = ( -4605 -3975 -3960 ) , also im Punkt P(-4605|-3975|-3960).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -3960m.

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -10 -3 1,4 ) +t ( 8 9 0,2 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (36|45|0) . Nach 2min ist es im Punkt B (32|43|0,8) angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Flugzeuge von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor AB = ( -4 -2 0.8 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 2 ( -4 -2 0.8 ) = ( -2 -1 0.4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 36 45 0 ) +t ( -2 -1 0.4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,2t +1,4 = 0,4t +0
0,2t +1,4 = 0,4t | -1,4 -0,4t
-0,2t = -1,4 |:(-0,2 )
t = 7

nach 7 min sind also das Flugzeug F1 und das Flugzeug F2 auf gleicher Höhe: 0,27 +1,4 = 2.8 = 0,47 +0


Das Flugzeug F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich das Flugzeug F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

( -10 -3 1.4 ) +s ( 8 9 0.2 ) = ( 36 45 0 ) +t ( -2 -1 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10+8s= 36-2t-3+9s= 45-1t

8 s +2 t = 46 (I) 9 s +t = 48 (II)
8 s +2 t = 46 (I) 9 s +t = 48 (II)

langsame Rechnung einblenden9·(I) -8·(II)

8 s 2 t = 46 (I) ( 72 -72 )s +( 18 -8 )t = ( 414 -384 ) (II)
8 s +2 t = 46 (I) +10 t = 30 (II)
Zeile (II): +10 t = 30

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

8 s +2 ·(3 ) = 46 | -6
8 s = 40 | : 8

s = 5

L={( 5 |3 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei ( -10 -3 1.4 ) +5 ( 8 9 0.2 ) = ( 30 42 2.4 ) , während das Flugzeug F2 nach 5min bei ( 36 45 0 ) +5 ( -2 -1 0.4 ) = ( 26 40 2 ) ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(30|42|2.4) und P2(26|40|2):
P1P2 = ( 26-30 40-42 2-2.4 ) = ( -4 -2 -0.4 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -4 -2 -0.4 ) | = (-4) 2 + (-2)2 + (-0.4) 2 = 20.16 ≈ 4.4899888641287

Der Abstand der beiden Objekte nach 5min ist also 20.1601 km ≈ 4.49 km


Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -10 -3 1.4 ) +s ( 8 9 0.2 ) = ( 36 45 0 ) +t ( -2 -1 0.4 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-10+8s= 36-2t-3+9s= 45-1t

8 s +2 t = 46 (I) 9 s +t = 48 (II)
8 s +2 t = 46 (I) 9 s +t = 48 (II)

langsame Rechnung einblenden9·(I) -8·(II)

8 s 2 t = 46 (I) ( 72 -72 )s +( 18 -8 )t = ( 414 -384 ) (II)
8 s +2 t = 46 (I) +10 t = 30 (II)
Zeile (II): +10 t = 30

t = 3

eingesetzt in Zeile (I):

8 s +2 ·(3 ) = 46 | -6
8 s = 40 | : 8

s = 5

L={( 5 |3 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 5min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 5min bei ( -10 -3 1.4 ) +5 ( 8 9 0.2 ) = ( 30 42 2.4 ) , während das Flugzeug F2 nach 3min bei ( 36 45 0 ) +3 ( -2 -1 0.4 ) = ( 30 42 1.2 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.4 - 1.2 = 1.2 km

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-13|-1|17) (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B (5|-7|2) angelangt.
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 1 -9 -2 ) +t ( 5 0 -5 ) . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 5min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und der Heißluftballon am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor AB = ( 18 -6 -15 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 18 -6 -15 ) = ( 6 -2 -5 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -13 -1 17 ) +t ( 6 -2 -5 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P1 ( 1 -9 -2 ) +5 ( 5 0 -5 ) = ( 26 -9 -27 ) und der Heißluftballon an der Stelle P2 ( -13 -1 17 ) +5 ( 6 -2 -5 ) = ( 17 -11 -8 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(26|-9|-27) und P2(17|-11|-8):
P1P2 = ( 17-26 -11-( - 9 ) -8-( - 27 ) ) = ( -9 -2 19 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -9 -2 19 ) | = (-9) 2 + (-2)2 + 19 2 = 446 ≈ 21.118712081943

Der Abstand ist also ca. 21.12 m.


Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( -13 -1 17 ) +t ( 6 -2 -5 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( 1 -9 -2 ) +t ( 5 0 -5 ) ist, also x = ( -13 -1 17 ) + r ( 6 -2 -5 ) + s ( 5 0 -5 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( 5 0 -5 ) × ( 6 -2 -5 ) = ( 0( - 5 )-( - 5 )( - 2 ) -56-5( - 5 ) 5( - 2 )-06 ) = ( 0-10 -30-( - 25 ) -10-0 ) = ( -10 -5 -10 ) = -5⋅ ( 2 1 2 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(-13|-1|17) in die allgemeine Ebenengleichung 2 x 1 + x 2 +2 x 3 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

2 x 1 + x 2 +2 x 3 = 7

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( 1 -9 -2 ) +t ( 5 0 -5 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (1|-9|-2), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 2 1+1 ( - 9 )+2 ( - 2 )-7 | 2 2 + 1 2 + 2 2
= | -18 | 9 = 18 3 = 6

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 6 m


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( 1 +5 t | -9 +0 t | -2 -5 t ) und G2 t ( -13 +6 t | -1 -2 t | 17 -5 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -13+6t -1-2t 17-5t ) - ( 1+5t -9+0t -2-5t ) | = | ( -14+1t 8-2t 19+0t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( x -14 ) 2 + ( -2x +8 ) 2 + ( 0 +19 ) 2
= x 2 -28x +196 +4 x 2 -32x +64 +361
= 5 x 2 -60x +621

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 10x -60 +0

f''(t)= 10 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 6 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 10 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 6 .

der minimale Abstand ist also d( 6 )= 5 6 2 -606 +621 = 21 ≈ 21 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 0 10 -1 ) +t ( -15 5 0 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (32|4|6) . Nach 3min ist es im Punkt B (-13|22|0) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor AB = ( -45 18 -6 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( -45 18 -6 ) = ( -15 6 -2 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 32 4 6 ) +t ( -15 6 -2 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Das Flugzeug F1 ist nach 4min an der Stelle P1 ( 0 10 -1 ) +4 ( -15 5 0 ) = ( -60 30 -1 ) und das Flugzeug F2 an der Stelle P2 ( 32 4 6 ) +4 ( -15 6 -2 ) = ( -28 28 -2 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-60|30|-1) und P2(-28|28|-2):
P1P2 = ( -28-( - 60 ) 28-30 -2-( - 1 ) ) = ( 32 -2 -1 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 32 -2 -1 ) | = 32 2 + (-2)2 + (-1) 2 = 1029 ≈ 32.078029864691

Der Abstand ist also ca. 32.08 km.


Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( 32 4 6 ) +t ( -15 6 -2 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( 0 10 -1 ) +t ( -15 5 0 ) ist, also x = ( 32 4 6 ) + r ( -15 6 -2 ) + s ( -15 5 0 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( -15 5 0 ) × ( -15 6 -2 ) = ( 5( - 2 )-06 0( - 15 )-( - 15 )( - 2 ) -156-5( - 15 ) ) = ( -10-0 0-30 -90-( - 75 ) ) = ( -10 -30 -15 ) = -5⋅ ( 2 6 3 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(32|4|6) in die allgemeine Ebenengleichung 2 x 1 +6 x 2 +3 x 3 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

2 x 1 +6 x 2 +3 x 3 = 106

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( 0 10 -1 ) +t ( -15 5 0 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (0|10|-1), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 2 0+6 10+3 ( - 1 )-106 | 2 2 + 6 2 + 3 2
= | -49 | 49 = 49 7 = 7

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 7 km


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( 0 -15 t | 10 +5 t | -1 +0 t ) und G2 t ( 32 -15 t | 4 +6 t | 6 -2 t ) minimal wird.

d(t)= | ( 32-15t 4+6t 6-2t ) - ( 0-15t 10+5t -1+0t ) | = | ( 32+0t -6+1t 7-2t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( 0 +32 ) 2 + ( x -6 ) 2 + ( -2x +7 ) 2
= 1024 + x 2 -12x +36 +4 x 2 -28x +49
= 5 x 2 -40x +1109

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 10x -40 +0

f''(t)= 10 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 4 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 10 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 4 .

der minimale Abstand ist also d( 4 )= 5 4 2 -404 +1109 = 1029 ≈ 32.1 km

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Beispiel:

Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -9 10 0 ) +t ( -3 -3 4 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-5|21|2) . Nach 1min ist es im Punkt B (-9|18|6) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor AB = ( -4 -3 4 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -5 21 2 ) +t ( -4 -3 4 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P1 ( -9 10 0 ) +1 ( -3 -3 4 ) = ( -12 7 4 ) und F2 an der Stelle P2 ( -5 21 2 ) +1 ( -4 -3 4 ) = ( -9 18 6 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-12|7|4) und P2(-9|18|6):
P1P2 = ( -9-( - 12 ) 18-7 6-4 ) = ( 3 11 2 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 3 11 2 ) | = 3 2 + 112 + 2 2 = 134 ≈ 11.57583690279

Der Abstand ist also ca. 11.58 km.


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( -9 -3 t | 10 -3 t | 0 +4 t ) und G2 t ( -5 -4 t | 21 -3 t | 2 +4 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -5-4t 21-3t 2+4t ) - ( -9-3t 10-3t 0+4t ) | = | ( 4-1t 11+0t 2+0t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( -x +4 ) 2 + ( 0 +11 ) 2 + ( 0 +2 ) 2
= x 2 -8x +16 +121 +4
= x 2 -8x +141

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 2x -8 +0

f''(t)= 2 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 4 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 2 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 4 .

der minimale Abstand ist also d( 4 )= 4 2 -84 +141 = 125 ≈ 11.2