Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


nach x Minuten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-50|20|40) (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B (270|-300|200) angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 5min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 1640m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( 320 -320 160 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( 320 -320 160 ) = ( 80 -80 40 ) zurück. Dieser Vektor hat die Länge = 80 2 + (-80)2 + 40 2 = 14400 = 120.
Die Geschwindigkeit ist also v=120 m min = 7.2 km h

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: x = ( -50 20 40 ) +t ( 80 -80 40 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( -50 20 40 ) +5 ( 80 -80 40 ) = ( 350 -380 240 ) , also im Punkt P(350|-380|240).

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A(-50|20|40) nach P(350|-380|240) bewegt, also um den Vektor AP = ( 400 -400 200 ) . Dessen Länge ist 400 2 + (-400)2 + 200 2 = 360000 = 600m.

Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen. Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den Normalenvektor n = ( 0 0 1 ) .
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel α: sin(α)= | ( 80 -80 40 ) ( 0 0 1 ) | | ( 80 -80 40 ) | | ( 0 0 1 ) | = | 800 + (-80)0 + 401 | 80 2 + (-80)2 + 40 2 0 2 + 02 + 1 2
= | 40 | 14400 1 0.3333 => α=19.5°

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate). Um von 40 auf 1640m (also 1600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also 1600 40 min = 40min lang steigen (bzw. sinken).

Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-200|250|200) und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B (2600|-2150|2600) (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?
Wann hat die Rakete die (absolute) Höhe von 26600m erreicht? In welchem Punkt befindet es sich dann?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in m s um: v= 1980000 m 3600 s = 550 m s .
Die Länge des Vektors AB = ( 2800 -2400 2400 ) ist 2800 2 + (-2400)2 + 2400 2 = 19360000 = 4400 m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 m s . braucht er für diese Strecke 4400 550 s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (9|-15|0) (alle Angaben in Meter). Nach 3min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B (63|66|-18) angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 7,26 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor AB = ( 54 81 -18 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 3 ( 54 81 -18 ) = ( 18 27 -6 ) zurück.
Die Geradengleichung x = ( 9 -15 0 ) +t ( 18 27 -6 ) beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = 18 2 + 272 + (-6) 2 = 1089 = 33.
Die Geschwindigkeit ist also v=33 m min
Für die Strecke von 7.26 km braucht es also 7260 33 min = 220min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
OP = ( 9 -15 0 ) +220 ( 18 27 -6 ) = ( 3969 5925 -1320 ) , also im Punkt P(3969|5925|-1320).

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -1320m.

Zwei Objekte - gleiche Höhe

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -50 7 1,1 ) +t ( 8 -7 0,3 ) . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (1|-2|0,5) . Nach 2h ist er im Punkt B (3|-18|1,5) angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die beiden Heißluftballone von einander entfernt, wenn F1 genau senkrecht über oder unter der Flugbahn von F2 ist?
Die Partyheißluftballone sprühen einen pinken Farbstoff aus, so dass ihre Flugbahn noch einige Zeit später zu erkennen ist. Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen der Ballone. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 2h den Vektor AB = ( 2 -16 1 ) zurück.
In 1h legt es also den Vektor 1 2 ( 2 -16 1 ) = ( 1 -8 0.5 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 1 -2 0.5 ) +t ( 1 -8 0.5 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

0,3t +1,1 = 0,5t +0,5 | -1,1 -0,5t
-0,2t = -0,6 |:(-0,2 )
t = 3

nach 3 h sind also das Flugzeug F1 und das Flugzeug F2 auf gleicher Höhe: 0,33 +1,1 = 2 = 0,53 +0,5


Das Flugzeug F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich das Flugzeug F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.

( -50 7 1.1 ) +s ( 8 -7 0.3 ) = ( 1 -2 0.5 ) +t ( 1 -8 0.5 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-50+8s= 1+1t7-7s= -2-8t

8 s -1 t = 51 (I) -7 s +8 t = -9 (II)
8 s -1 t = 51 (I) -7 s +8 t = -9 (II)

langsame Rechnung einblenden7·(I) + 8·(II)

8 s -1 t = 51 (I) ( 56 -56 )s +( -7 +64 )t = ( 357 -72 ) (II)
8 s -1 t = 51 (I) +57 t = 285 (II)
Zeile (II): +57 t = 285

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

8 s -1 (5 ) = 51 | +5
8 s = 56 | : 8

s = 7

L={( 7 |5 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7h und das Flugzeug F2 nach 5h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7h bei ( -50 7 1.1 ) +7 ( 8 -7 0.3 ) = ( 6 -42 3.2 ) , während das Flugzeug F2 nach 7h bei ( 1 -2 0.5 ) +7 ( 1 -8 0.5 ) = ( 8 -58 4 ) ist.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(6|-42|3.2) und P2(8|-58|4):
P1P2 = ( 8-6 -58-( - 42 ) 4-3.2 ) = ( 2 -16 0.8 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 2 -16 0.8 ) | = 2 2 + (-16)2 + 0.8 2 = 260.64 ≈ 16.144348856488

Der Abstand der beiden Objekte nach 7h ist also 260.4996 km ≈ 16.14 km


Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

( -50 7 1.1 ) +s ( 8 -7 0.3 ) = ( 1 -2 0.5 ) +t ( 1 -8 0.5 ) da ja aber nur die x1- und x2-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

-50+8s= 1+1t7-7s= -2-8t

8 s -1 t = 51 (I) -7 s +8 t = -9 (II)
8 s -1 t = 51 (I) -7 s +8 t = -9 (II)

langsame Rechnung einblenden7·(I) + 8·(II)

8 s -1 t = 51 (I) ( 56 -56 )s +( -7 +64 )t = ( 357 -72 ) (II)
8 s -1 t = 51 (I) +57 t = 285 (II)
Zeile (II): +57 t = 285

t = 5

eingesetzt in Zeile (I):

8 s -1 (5 ) = 51 | +5
8 s = 56 | : 8

s = 7

L={( 7 |5 )}

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 7h und das Flugzeug F2 nach 5h an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 7h bei ( -50 7 1.1 ) +7 ( 8 -7 0.3 ) = ( 6 -42 3.2 ) , während das Flugzeug F2 nach 5h bei ( 1 -2 0.5 ) +5 ( 1 -8 0.5 ) = ( 6 -42 3 ) ist.

Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 3 = 0.2 km

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -9 1 -1 ) +t ( 8 -6 -9 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-19|21|19) . Nach 3s ist sie im Punkt B (5|3|-11) angelangt.
Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 3s von einander entfernt?
Berechne den kleinsten Abstand, den die Drohne von der Seilbahn haben kann.
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und die Gondel der Seilbahn am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor AB = ( 24 -18 -30 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 3 ( 24 -18 -30 ) = ( 8 -6 -10 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -19 21 19 ) +t ( 8 -6 -10 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3s an der Stelle P1 ( -9 1 -1 ) +3 ( 8 -6 -9 ) = ( 15 -17 -28 ) und die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( -19 21 19 ) +3 ( 8 -6 -10 ) = ( 5 3 -11 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(15|-17|-28) und P2(5|3|-11):
P1P2 = ( 5-15 3-( - 17 ) -11-( - 28 ) ) = ( -10 20 17 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( -10 20 17 ) | = (-10) 2 + 202 + 17 2 = 789 ≈ 28.089143810376

Der Abstand ist also ca. 28.09 m.


Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( -19 21 19 ) +t ( 8 -6 -10 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( -9 1 -1 ) +t ( 8 -6 -9 ) ist, also x = ( -19 21 19 ) + r ( 8 -6 -10 ) + s ( 8 -6 -9 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( 8 -6 -9 ) × ( 8 -6 -10 ) = ( -6( - 10 )-( - 9 )( - 6 ) -98-8( - 10 ) 8( - 6 )-( - 6 )8 ) = ( 60-54 -72-( - 80 ) -48-( - 48 ) ) = ( 6 8 0 ) = 2⋅ ( 3 4 0 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(-19|21|19) in die allgemeine Ebenengleichung 3 x 1 +4 x 2 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

3 x 1 +4 x 2 = 27

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( -9 1 -1 ) +t ( 8 -6 -9 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (-9|1|-1), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 ( - 9 )+4 1+0 ( - 1 )-27 | 3 2 + 4 2 + 0 2
= | -50 | 25 = 50 5 = 10

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 10 m


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( -9 +8 t | 1 -6 t | -1 -9 t ) und G2 t ( -19 +8 t | 21 -6 t | 19 -10 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -19+8t 21-6t 19-10t ) - ( -9+8t 1-6t -1-9t ) | = | ( -10+0t 20+0t 20-1t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( 0 -10 ) 2 + ( 0 +20 ) 2 + ( -x +20 ) 2
= 100 +400 + x 2 -40x +400
= x 2 -40x +900

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 2x -40 +0

f''(t)= 2 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 20 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 2 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 20 .

der minimale Abstand ist also d( 20 )= 20 2 -4020 +900 = 500 ≈ 22.4 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( -9 4 -1 ) +t ( -1 16 -27 ) . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (-5|-21|59) . Nach 4s ist sie im Punkt B (-5|43|-53) angelangt.
Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 5s von einander entfernt?
Berechne den kleinsten Abstand, den die Drohne von der Seilbahn haben kann.
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und die Gondel der Seilbahn am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor AB = ( 0 64 -112 ) zurück.
In 1s legt es also den Vektor 1 4 ( 0 64 -112 ) = ( 0 16 -28 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( -5 -21 59 ) +t ( 0 16 -28 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P1 ( -9 4 -1 ) +5 ( -1 16 -27 ) = ( -14 84 -136 ) und die Seilbahngondel an der Stelle P2 ( -5 -21 59 ) +5 ( 0 16 -28 ) = ( -5 59 -81 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(-14|84|-136) und P2(-5|59|-81):
P1P2 = ( -5-( - 14 ) 59-84 -81-( - 136 ) ) = ( 9 -25 55 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 9 -25 55 ) | = 9 2 + (-25)2 + 55 2 = 3731 ≈ 61.081912216302

Der Abstand ist also ca. 61.08 m.


Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: x = ( -5 -21 59 ) +t ( 0 16 -28 ) enthält und parallel zur Geraden g: x = ( -9 4 -1 ) +t ( -1 16 -27 ) ist, also x = ( -5 -21 59 ) + r ( 0 16 -28 ) + s ( -1 16 -27 )
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

n = ( -1 16 -27 ) × ( 0 16 -28 ) = ( 16( - 28 )-( - 27 )16 -270-( - 1 )( - 28 ) -116-160 ) = ( -448-( - 432 ) 0-28 -16-0 ) = ( -16 -28 -16 ) = -4⋅ ( 4 7 4 )

Wenn wir den Aufpunkt von h Ah(-5|-21|59) in die allgemeine Ebenengleichung 4 x 1 +7 x 2 +4 x 3 = d einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

4 x 1 +7 x 2 +4 x 3 = 69

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: x = ( -9 4 -1 ) +t ( -1 16 -27 ) und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt (-9|4|-1), nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 4 ( - 9 )+7 4+4 ( - 1 )-69 | 4 2 + 7 2 + 4 2
= | -81 | 81 = 81 9 = 9

Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 9 m


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( -9 -1 t | 4 +16 t | -1 -27 t ) und G2 t ( -5 +0 t | -21 +16 t | 59 -28 t ) minimal wird.

d(t)= | ( -5+0t -21+16t 59-28t ) - ( -9-1t 4+16t -1-27t ) | = | ( 4+1t -25+0t 60-1t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( x +4 ) 2 + ( 0 -25 ) 2 + ( -x +60 ) 2
= x 2 +8x +16 +625 + x 2 -120x +3600
= 2 x 2 -112x +4241

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 4x -112 +0

f''(t)= 4 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 28 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 4 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 28 .

der minimale Abstand ist also d( 28 )= 2 28 2 -11228 +4241 = 2673 ≈ 51.7 m

Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)

Beispiel:

Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch x = ( 7 3 -1 ) +t ( 0 -5 5 ) . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (15|22|-15) . Nach 4min ist es im Punkt B (7|2|9) angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 1min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor AB = ( -8 -20 24 ) zurück.
In 1min legt es also den Vektor 1 4 ( -8 -20 24 ) = ( -2 -5 6 ) zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: x = ( 15 22 -15 ) +t ( -2 -5 6 ) dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 1min an der Stelle P1 ( 7 3 -1 ) +1 ( 0 -5 5 ) = ( 7 -2 4 ) und F2 an der Stelle P2 ( 15 22 -15 ) +1 ( -2 -5 6 ) = ( 13 17 -9 ) .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P1(7|-2|4) und P2(13|17|-9):
P1P2 = ( 13-7 17-( - 2 ) -9-4 ) = ( 6 19 -13 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P1 und P2
d=| P1P2 | = | ( 6 19 -13 ) | = 6 2 + 192 + (-13) 2 = 566 ≈ 23.790754506741

Der Abstand ist also ca. 23.79 km.


Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.

Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen G1 t ( 7 +0 t | 3 -5 t | -1 +5 t ) und G2 t ( 15 -2 t | 22 -5 t | -15 +6 t ) minimal wird.

d(t)= | ( 15-2t 22-5t -15+6t ) - ( 7+0t 3-5t -1+5t ) | = | ( 8-2t 19+0t -14+1t ) | soll also minimal werden.

d(t)= ( -2x +8 ) 2 + ( 0 +19 ) 2 + ( x -14 ) 2
= 4 x 2 -32x +64 +361 + x 2 -28x +196
= 5 x 2 -60x +621

da a < b a < b können wir auch das Minimum der quadratischen Funktion unter der Wurzel bestimmen, um die gesuchte Zeit t zu erhalten. Dazu leiten wir diese erst mal zwei mal ab:

f'(t)= 10x -60 +0

f''(t)= 10 +0+0

mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t= 6 als potentielle Extremstelle.

Wegen f''(t)= 10 +0+0 >0 ist also der Tiefpunkt bei t= 6 .

der minimale Abstand ist also d( 6 )= 5 6 2 -606 +621 = 21 ≈ 21