Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 8 Millionen Algen im Teich. Nach 4 Stunden sind es 9,388 Millionen.
a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 6 Stunden?
b) Wann waren es 11 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $8 e^{k \cdot 4}$ = 9,3881.

$8 e^{4 k}$	=	$9,3881$	\|: $8$
$e^{4 k}$	=	$1,1735$	\|ln(⋅)
$4 k$	=	$\ln (1,1735)$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{1}{4} \ln (1,1735)$	≈ 0.04

also k ≈ 0.039997684077235, => f(t)= $8 e^{0,04 t}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $8 e^{0,04 \cdot 6}$ ≈ 10.2

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$8 e^{0,04 t}$	=	$11$	\|: $8$
$e^{0,04 t}$	=	$\frac{11}{8}$	\|ln(⋅)
$0,04 t$	=	$\ln (\frac{11}{8})$	\|: $0,04$
$t$	=	$\frac{1}{0.04} \ln (\frac{11}{8})$	≈ 7.9613

also t=8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1436 Jahre die Zahl der Blonden halbieren.
a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2224?
b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,5 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1436}$ ≈ -0.00048269302267406

=> f(t)= $e^{- 0,000483 t}$

Wert zur Zeit 224: f(224)= $e^{- 0,000483 \cdot 224}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.5?: f(t)=0.5

$e^{- 0,000483 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,000483 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,000483$
$t$	=	$- \frac{1}{0.000483} \ln (0,5)$	≈ 1435.0873

also t=1435.1

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 10 Milliarden geschätzt.
a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden?
b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $10 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $10 e^{0,1133 \cdot 4}$ ≈ 15.7

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$10 e^{0,1133 t}$	=	$17$	\|: $10$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{17}{10}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{17}{10})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0.1133} \ln (\frac{17}{10})$	≈ 4.6834

also t=4.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 61° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 54° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°.
a) Wie warm war das Wasser nach 5 Minuten?
b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 61 ist, gilt: f(0)= 61, also 61 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$61$	=	$20 - c$
$61$	=	$- c + 20$	\| $- 61$ $+ c$
$c$	=	$- 41$

somit gilt: f(t)= $20 + 41 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 41 e^{- k \cdot 4}$ = 54.

20 + 41 e^{- 4 k}

=

54,0004

$41 e^{- 4 k} + 20$	=	$54,0004$	\| $- 20$
$41 e^{- 4 k}$	=	$34,0004$	\|: $41$
$e^{- 4 k}$	=	$0,8293$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,8293)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,8293)$	≈ 0.0468

also k ≈ 0.046793326881245, => f(t)= $20 + 41 e^{- 0,0468 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $20 + 41 e^{- 0,0468 \cdot 5}$ ≈ 52.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 41 e^{- 0,0468 t}

=

50

$41 e^{- 0,0468 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$41 e^{- 0,0468 t}$	=	$30$	\|: $41$
$e^{- 0,0468 t}$	=	$\frac{30}{41}$	\|ln(⋅)
$- 0,0468 t$	=	$\ln (\frac{30}{41})$	\|: $- 0,0468$
$t$	=	$- \frac{1}{0.0468} \ln (\frac{30}{41})$	≈ 6.6747

also t=6.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 5% des Wirkstoffs wieder ab.
a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut.
b) Wann sind 17ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.05⋅f(t)

wenn man 0.05 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.05( $\frac{3}{0.05}$ - f(t))

also f'(t) = 0.05(60 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=60 und der Wachstumsfaktor k=0.05 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $60 - c \cdot e^{- 0,05 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$60 - c \cdot e^{- 0,05 \cdot 0}$
0	=	$60 - c$
0	=	$- c + 60$	\|0 $+ c$
$c$	=	$60$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $60 - 60 e^{- 0,05 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $60 - 60 e^{- 0,05 \cdot 15}$ ≈ 31.7

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

60 - 60 e^{- 0,05 t}

=

17

$- 60 e^{- 0,05 t} + 60$	=	$17$	\| $- 60$
$- 60 e^{- 0,05 t}$	=	$- 43$	\|: $- 60$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{43}{60}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{43}{60})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0.05} \ln (\frac{43}{60})$	≈ 6.6629

also t=6.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,09$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.