Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 14g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 10,687g übrig.
a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da?
b) Wann sind nur noch 11g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 14 ist, gilt: f(0)= 14, also 14 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $14 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $14 e^{k \cdot 9}$ = 10,6873.

$14 e^{9 k}$	=	$10,6873$	\|: $14$
$e^{9 k}$	=	$0,7634$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,7634)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,7634)$	≈ -0.03

also k ≈ -0.02999701540789, => f(t)= $14 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $14 e^{- 0,03 \cdot 10}$ ≈ 10.4

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

$14 e^{- 0,03 t}$	=	$11$	\|: $14$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{11}{14})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0.03} \ln (\frac{11}{14})$	≈ 8.0387

also t=8

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 20 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 16-Tausend € an.
a) Wie hoch ist das Vermögen nach 32 Jahren (in Tausend Euro)?
b) Wann ist das Vermögen auf 53,33-Tausend Euro gestiegen?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{20}$ ≈ 0.034657359027997

=> f(t)= $16 e^{0,034657 t}$

Wert zur Zeit 32: f(32)= $16 e^{0,034657 \cdot 32}$ ≈ 48.5

Wann wird der Wert 53.33?: f(t)=53.33

$16 e^{0,034657 t}$	=	$53,33$	\|: $16$
$e^{0,034657 t}$	=	$3,3331$	\|ln(⋅)
$0,034657 t$	=	$\ln (3,3331)$	\|: $0,034657$
$t$	=	$\frac{1}{0.034657} \ln (3,3331)$	≈ 34.7377

also t=34.7

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 19 Lux.
a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 5 Metern?
b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 3 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 19 ist, gilt: f(0)= 19, also 19 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $19 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $19 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $19 e^{- 0,1508 \cdot 5}$ ≈ 8.9

Wann wird der Wert 3?: f(t)=3

$19 e^{- 0,1508 t}$	=	$3$	\|: $19$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{3}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{3}{19})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0.1508} \ln (\frac{3}{19})$	≈ 12.2402

also t=12.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 63° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°.
a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?
b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 63 ist, gilt: f(0)= 63, also 63 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$63$	=	$20 - c$
$63$	=	$- c + 20$	\| $- 63$ $+ c$
$c$	=	$- 43$

somit gilt: f(t)= $20 + 43 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 43 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 43 e^{- 4 k}

=

51,0004

$43 e^{- 4 k} + 20$	=	$51,0004$	\| $- 20$
$43 e^{- 4 k}$	=	$31,0004$	\|: $43$
$e^{- 4 k}$	=	$0,7209$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (0,7209)$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (0,7209)$	≈ 0.0818

also k ≈ 0.081813711892901, => f(t)= $20 + 43 e^{- 0,0818 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 43 e^{- 0,0818 \cdot 3}$ ≈ 53.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 43 e^{- 0,0818 t}

=

50

$43 e^{- 0,0818 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$43 e^{- 0,0818 t}$	=	$30$	\|: $43$
$e^{- 0,0818 t}$	=	$\frac{30}{43}$	\|ln(⋅)
$- 0,0818 t$	=	$\ln (\frac{30}{43})$	\|: $- 0,0818$
$t$	=	$- \frac{1}{0.0818} \ln (\frac{30}{43})$	≈ 4.401

also t=4.4

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab.
a) Wie viel Wirkstoff ist 15 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut.
b) Wann sind 48ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{2}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(100 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=100 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $100 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$100 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$100 - c$
0	=	$- c + 100$	\|0 $+ c$
$c$	=	$100$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $100 - 100 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $100 - 100 e^{- 0,02 \cdot 15}$ ≈ 25.9

Wann wird der Wert 48?: f(t)=48

100 - 100 e^{- 0,02 t}

=

48

$- 100 e^{- 0,02 t} + 100$	=	$48$	\| $- 100$
$- 100 e^{- 0,02 t}$	=	$- 52$	\|: $- 100$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{13}{25}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{13}{25})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0.02} \ln (\frac{13}{25})$	≈ 32.6963

also t=32.7

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $9 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.