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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht.
a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 75 dB?
b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 7 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 75: f(75)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 75}$ ≈ 0.1

Wann wird der Wert 7?: f(t)=7

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$7$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$350 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (350 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0.1151} \ln (350 000)$	≈ 110.9095

also t=110.9

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an.
a) Wie hoch ist das Vermögen nach 12 Jahren (in Tausend Euro)?
b) Wann ist das Vermögen auf 45-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $18 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $18 e^{0,057762 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $18 e^{0,057762 \cdot 12}$ ≈ 36

Wann wird der Wert 45?: f(t)=45

$18 e^{0,057762 t}$	=	$45$	\|: $18$
$e^{0,057762 t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$0,057762 t$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $0,057762$
$t$	=	$\frac{1}{0.057762} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 15.8632

also t=15.9

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 17% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 13 Lux.
a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern?
b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 13 ist, gilt: f(0)= 13, also 13 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $13 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.83) ≈ -0.18632957819149

=> f(t)= $13 e^{- 0,1863 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $13 e^{- 0,1863 \cdot 4}$ ≈ 6.2

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$13 e^{- 0,1863 t}$	=	$2$	\|: $13$
$e^{- 0,1863 t}$	=	$\frac{2}{13}$	\|ln(⋅)
$- 0,1863 t$	=	$\ln (\frac{2}{13})$	\|: $- 0,1863$
$t$	=	$- \frac{1}{0.1863} \ln (\frac{2}{13})$	≈ 10.0472

also t=10

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 3° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 6,95°.
a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten?
b) Wann ist sie 5°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$3$	=	$27 - c$
$3$	=	$- c + 27$	\| $- 3$ $+ c$
$c$	=	$24$

somit gilt: f(t)= $27 - 24 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $27 - 24 e^{- k \cdot 6}$ = 6,95.

27 - 24 e^{- 6 k}

=

6,9535

$- 24 e^{- 6 k} + 27$	=	$6,9535$	\| $- 27$
$- 24 e^{- 6 k}$	=	$- 20,0465$	\|: $- 24$
$e^{- 6 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,8353)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029994056203379, => f(t)= $27 - 24 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 7: f(7)= $27 - 24 e^{- 0,03 \cdot 7}$ ≈ 7.5

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

27 - 24 e^{- 0,03 t}

=

5

$- 24 e^{- 0,03 t} + 27$	=	$5$	\| $- 27$
$- 24 e^{- 0,03 t}$	=	$- 22$	\|: $- 24$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{11}{12}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{11}{12})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0.03} \ln (\frac{11}{12})$	≈ 2.9004

also t=2.9

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 8ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 2% des Wirkstoffs wieder ab.
a) Wie viel Wirkstoff ist 12 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut.
b) Wann sind 34ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 8 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{8}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(400 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=400 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $400 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$400 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
0	=	$400 - c$
0	=	$- c + 400$	\|0 $+ c$
$c$	=	$400$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $400 - 400 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $400 - 400 e^{- 0,02 \cdot 12}$ ≈ 85.3

Wann wird der Wert 34?: f(t)=34

400 - 400 e^{- 0,02 t}

=

34

$- 400 e^{- 0,02 t} + 400$	=	$34$	\| $- 400$
$- 400 e^{- 0,02 t}$	=	$- 366$	\|: $- 400$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{183}{200}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{183}{200})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0.02} \ln (\frac{183}{200})$	≈ 4.4416

also t=4.4

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $18 e^{- 0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,08$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.