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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht.
a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB?
b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 9 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$9$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$450 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (450 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0.1151} \ln (450 000)$	≈ 113.093

also t=113.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1663 Jahre die Zahl der Blonden halbieren.
a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2157?
b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,4 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1663}$ ≈ -0.00041680527995186

=> f(t)= $e^{- 0,000417 t}$

Wert zur Zeit 157: f(157)= $e^{- 0,000417 \cdot 157}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.4?: f(t)=0.4

$e^{- 0,000417 t}$	=	$0,4$	\|ln(⋅)
$- 0,000417 t$	=	$\ln (0,4)$	\|: $- 0,000417$
$t$	=	$- \frac{1}{0.000417} \ln (0,4)$	≈ 2197.3399

also t=2197.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 13% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt.
a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden?
b) Wann sind es 8 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.13) ≈ 0.12221763272425

=> f(t)= $6 e^{0,1222 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $6 e^{0,1222 \cdot 4}$ ≈ 9.8

Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

$6 e^{0,1222 t}$	=	$8$	\|: $6$
$e^{0,1222 t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1222 t$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $0,1222$
$t$	=	$\frac{1}{0.1222} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 2.3542

also t=2.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 27°C wird eine Limo aus einem 6° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 19,27°.
a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 12 Minuten?
b) Wann ist sie 23°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=27 sein muss.

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $27 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $27 - c$ = $27 - c$

$6$	=	$27 - c$
$6$	=	$- c + 27$	\| $- 6$ $+ c$
$c$	=	$21$

somit gilt: f(t)= $27 - 21 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $27 - 21 e^{- k \cdot 10}$ = 19,27.

27 - 21 e^{- 10 k}

=

19,2745

$- 21 e^{- 10 k} + 27$	=	$19,2745$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 10 k}$	=	$- 7,7255$	\|: $- 21$
$e^{- 10 k}$	=	$0,3679$	\|ln(⋅)
$- 10 k$	=	$\ln (0,3679)$	\|: $- 10$
$k$	=	$- \frac{1}{10} \ln (0,3679)$	≈ 0.1

also k ≈ 0.099994411687141, => f(t)= $27 - 21 e^{- 0,1 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $27 - 21 e^{- 0,1 \cdot 12}$ ≈ 20.7

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

27 - 21 e^{- 0,1 t}

=

23

$- 21 e^{- 0,1 t} + 27$	=	$23$	\| $- 27$
$- 21 e^{- 0,1 t}$	=	$- 4$	\|: $- 21$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{4}{21}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{4}{21})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0.1} \ln (\frac{4}{21})$	≈ 16.5823

also t=16.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden.
a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,7 Millionen nach Deutschland einwandern würden.
b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 62 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.7 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.7}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(58.33 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=58.33 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $58,33 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$58,33 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$58,33 - c$
$80$	=	$- c + 58,33$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 21,67$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $58,33 + 21,67 e^{- 0,012 \cdot 10}$ ≈ 77.5

Wann wird der Wert 62?: f(t)=62

58,33 + 21,67 e^{- 0,012 t}

=

62

$21,67 e^{- 0,012 t} + 58,33$	=	$62$	\| $- 58,33$
$21,67 e^{- 0,012 t}$	=	$3,67$	\|: $21,67$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,1694$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,1694)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0.012} \ln (0,1694)$	≈ 147.9577

also t=148

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.