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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht.
a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 82 dB?
b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 25 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 82: f(82)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 82}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$25$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0.1151} \ln (1 250 000)$	≈ 121.9692

also t=122

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1690 Jahre die Zahl der Blonden halbieren.
a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2279?
b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,9 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1690}$ ≈ -0.00041014626068636

=> f(t)= $e^{- 0,00041 t}$

Wert zur Zeit 279: f(279)= $e^{- 0,00041 \cdot 279}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.9?: f(t)=0.9

$e^{- 0,00041 t}$	=	$0,9$	\|ln(⋅)
$- 0,00041 t$	=	$\ln (0,9)$	\|: $- 0,00041$
$t$	=	$- \frac{1}{0.00041} \ln (0,9)$	≈ 256.9769

also t=257

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 15% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 16 Lux.
a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 4 Metern?
b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 9 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 16 ist, gilt: f(0)= 16, also 16 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $16 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $16 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $16 e^{- 0,1625 \cdot 4}$ ≈ 8.4

Wann wird der Wert 9?: f(t)=9

$16 e^{- 0,1625 t}$	=	$9$	\|: $16$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{9}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{9}{16})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0.1625} \ln (\frac{9}{16})$	≈ 3.5407

also t=3.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 32°C wird eine Limo aus einem 5° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 6 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 9,45°.
a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 9 Minuten?
b) Wann ist sie 28°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=32 sein muss.

Da der Anfangsbestand 5 ist, gilt: f(0)= 5, also 5 = $32 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $32 - c$ = $32 - c$

$5$	=	$32 - c$
$5$	=	$- c + 32$	\| $- 5$ $+ c$
$c$	=	$27$

somit gilt: f(t)= $32 - 27 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(6)= $32 - 27 e^{- k \cdot 6}$ = 9,45.

32 - 27 e^{- 6 k}

=

9,4477

$- 27 e^{- 6 k} + 32$	=	$9,4477$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 6 k}$	=	$- 22,5523$	\|: $- 27$
$e^{- 6 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 6 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 6$
$k$	=	$- \frac{1}{6} \ln (0,8353)$	≈ 0.03

also k ≈ 0.029994056203379, => f(t)= $32 - 27 e^{- 0,03 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $32 - 27 e^{- 0,03 \cdot 9}$ ≈ 11.4

Wann wird der Wert 28?: f(t)=28

32 - 27 e^{- 0,03 t}

=

28

$- 27 e^{- 0,03 t} + 32$	=	$28$	\| $- 32$
$- 27 e^{- 0,03 t}$	=	$- 4$	\|: $- 27$
$e^{- 0,03 t}$	=	$\frac{4}{27}$	\|ln(⋅)
$- 0,03 t$	=	$\ln (\frac{4}{27})$	\|: $- 0,03$
$t$	=	$- \frac{1}{0.03} \ln (\frac{4}{27})$	≈ 63.6514

also t=63.7

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 3ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 8% des Wirkstoffs wieder ab.
a) Wie viel Wirkstoff ist 13 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut.
b) Wann sind 33ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 3 - 0.08⋅f(t)

wenn man 0.08 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.08( $\frac{3}{0.08}$ - f(t))

also f'(t) = 0.08(37.5 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=37.5 und der Wachstumsfaktor k=0.08 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $37,5 - c \cdot e^{- 0,08 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$37,5 - c \cdot e^{- 0,08 \cdot 0}$
0	=	$37,5 - c$
0	=	$- c + 37,5$	\|0 $+ c$
$c$	=	$37,5$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $37,5 - 37,5 e^{- 0,08 x}$

Wert zur Zeit 13: f(13)= $37,5 - 37,5 e^{- 0,08 \cdot 13}$ ≈ 24.2

Wann wird der Wert 33?: f(t)=33

37,5 - 37,5 e^{- 0,08 t}

=

33

$- 37,5 e^{- 0,08 t} + 37,5$	=	$33$	\| $- 37,5$
$- 37,5 e^{- 0,08 t}$	=	$- 4,5$	\|: $- 37,5$
$e^{- 0,08 t}$	=	$0,12$	\|ln(⋅)
$- 0,08 t$	=	$\ln (0,12)$	\|: $- 0,08$
$t$	=	$- \frac{1}{0.08} \ln (0,12)$	≈ 26.5033

also t=26.5

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.