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Aufgabenbeispiele von mit Substitution

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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +4 x 2 -5 = 0

Lösung einblenden
x 4 +4 x 2 -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 +20 2

u1,2 = -4 ± 36 2

u1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

u2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x +2 e 2x -35 e x = 0

Lösung einblenden
e 3x +2 e 2x -35 e x = 0
( e 2x +2 e x -35 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x +2 e x -35 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -35 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -35 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +140 2

u1,2 = -2 ± 144 2

u1 = -2 + 144 2 = -2 +12 2 = 10 2 = 5

u2 = -2 - 144 2 = -2 -12 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = -7

e x = -7

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 5 ) }

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 - 1 2 ( sin( x ) ) 2 - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 - 1 2 ( sin( x ) ) 2 - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 - u -1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = +1 ± 1 +8 4

u1,2 = +1 ± 9 4

u1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

u2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

u2: ( sin( x ) ) 2 = -0,5

( sin( x ) ) 2 = -0,5 | ⋅2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ 1 2 π ; 3 2 π }