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Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

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trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

3

2

\sin (x)

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

π

L={0; $π$ }

Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 8$ = $- 3 x^{2} - 12 x + 8$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 8$	=	$- 3 x^{2} - 12 x + 8$	\| $- 8$
$- 7 x^{2}$	=	$- 3 x^{2} - 12 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 12 x)$
$- 7 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x$	=	0
$- 4 x^{2} + 12 x$	=	0
$4 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }