zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -1 = 0 | +1
2⋅ cos( x ) = 1 |:2
canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5 3 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 1 3 π ; π ; 5 3 π }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-4 x 2 = 8 5 x

Lösung einblenden
-4 x 2 = 8 5 x | - 8 5 x
-4 x 2 - 8 5 x = 0
- 4 5 x ( 5x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

5x +2 = 0 | -2
5x = -2 |:5
x2 = - 2 5 = -0.4

L={ - 2 5 ; 0}