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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- {(x + 6)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- {(x + 6)}^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
${(x + 6)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

- \sqrt{4}

- 2

$x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
x₁	=	$- 8$

2. Fall

x + 6

\sqrt{4}

2

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 8$ ) = $- 4$

g( $- 4$ ) = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 8$ | $- 4$ ) und S₂( $- 4$ | $- 4$ ).

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!