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Aufgabenbeispiele von quadratische Gleichungen

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Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{5}{3})}^{2}$ = $\frac{9}{81}$

${(x + \frac{5}{3})}^{2}$	=	$\frac{9}{81}$
${(x + \frac{5}{3})}^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{5}{3}

- \sqrt{\frac{1}{9}}

≈

- \frac{1}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$- \frac{1}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x + \frac{5}{3}

\sqrt{\frac{1}{9}}

≈

\frac{1}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$\frac{1}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₂	=	$- \frac{4}{3}$

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{3}$ }

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$ = 0

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 5 x + \frac{25}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!