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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 10 x + 16$	=

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{31 x - 6}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{31 x - 6}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{31 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$31 x - 6$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

31 x - 6

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11+5}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 11-5}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{2 x - 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{2 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{2 x (2 x - 3)}{2 x - 4} - 12 x + 18$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} - 12 x + 18$	=
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} + 3 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 4$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} + 3 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $2 x - 4$ )
$\frac{4 x^{2} - 6 x}{2 x - 4} \cdot (2 x - 4) + 3 x \cdot (2 x - 4) - 12 x \cdot (2 x - 4) + 18 \cdot (2 x - 4)$	=
$4 x^{2} - 6 x + 3 x (2 x - 4) - 12 x (2 x - 4) + 36 x - 72$	=
$4 x^{2} - 6 x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 24 x^{2} + 48 x) + 36 x - 72$	=
$- 14 x^{2} + 66 x - 72$	=

- 14 x^{2} + 66 x - 72

= 0 |:2

$- 7 x^{2} + 33 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 1 008}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{81}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{81}}{- 14}$ = $\frac{- 33+9}{- 14}$ = $\frac{- 24}{- 14}$ = $\frac{12}{7}$ ≈ 1.71

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{81}}{- 14}$ = $\frac{- 33-9}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{12}{7}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter