Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{16}{x^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{16}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{16}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$16$

$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{17}{2} + \frac{3}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{17}{2} + \frac{3}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{17}{2} \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- \frac{17}{2} x + 3$	=	$x \cdot x - 3 x$

$- \frac{17}{2} x + 3$	=	$x^{2} - 3 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{17}{2} x + 3)$	=	$2 (x^{2} - 3 x)$
$- 17 x + 6$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 6 x$

$- 2 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{11+13}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{11-13}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} \cdot (x - 2) - 7 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{3 x - 9} - 7 x + 14$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x - 9} - 7 x + 14$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x - 9} + 2 x - 7 x + 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x - 9} + 2 x - 7 x + 14$	=	\|⋅( $3 x - 9$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + 2 x \cdot (3 x - 9) - 7 x \cdot (3 x - 9) + 14 \cdot (3 x - 9)$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + 2 x (3 x - 9) - 7 x (3 x - 9) + 42 x - 126$	=
$2 x^{2} - 3 x - 2 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 21 x^{2} + 63 x) + 42 x - 126$	=
$- 13 x^{2} + 84 x - 128$	=

$- 13 x^{2} + 84 x - 128$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 84 \pm \sqrt{84^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 128)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 84 \pm \sqrt{7 056 - 6 656}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 84 \pm \sqrt{400}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 84 + \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{- 84+20}{- 26}$ = $\frac{- 64}{- 26}$ = $\frac{32}{13}$ ≈ 2.46

x₂ = $\frac{- 84 - \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{- 84-20}{- 26}$ = $\frac{- 104}{- 26}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{32}{13}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 + a x$	=	$- x^{2}$
$6 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter