D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^4$ weg!

0	=	$-\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x^3}-\frac{18}{x^4}$	|⋅( $x^4$)
0	=	$-\frac{1}{x^2}·x^4+\frac{9}{x^3}·x^4-\frac{18}{x^4}·x^4$
0	=	$-x^2+9x-18$

0

=

$-x^2+9x-18$

| $+x^2$ $-9x$ $+18$

$x^2-9x+18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·18}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$; $6$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$-1-\frac{4}{x}$	=	$x+4$	|⋅( $x$)
$-1·x-\frac{4}{x}·x$	=	$x·x+4·x$
$-x-4$	=	$x·x+4x$

$-x-4$

=

$x^2+4x$

| $-x^2$ $-4x$

$-x^2-5x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-4\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $-1$}

D=R\{ $1$}

Wir multiplizieren den Nenner $x-1$ weg!

$\frac{4x}{x-1}-2$	=	0	|⋅( $x-1$)
$\frac{4x}{x-1}·\left(x-1\right)-2·\left(x-1\right)$	=	0
$4x-2x+2$	=	0
$2x+2$	=	0

$2x+2$	=	0	| $-2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$}

D=R\{0}

$a+x$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a+x$	=	$\frac{15}{x}$	|⋅x
$a·x+x·x$	=	$\frac{15}{x}·x$
$ax+x^2$	=	$15$
$ax+x^2-15$	=	0
$x^2+ax-15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax-15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3·\left(-5\right)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(3-5\right)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2+2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $3$}