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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{7}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{7}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 7$	=	$- x^{2} + 6 x$

- 7

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 2}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x + 2}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x + 2}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$13 x + 2$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

13 x + 2

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 2}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{7+9}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{7-9}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 3}{x} + \frac{x}{2 x - 3} + \frac{- 9 x + 3}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{3}{2}$ }

\frac{- 9 x + 3}{2 x} + \frac{2 x + 3}{x} + \frac{x}{2 x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 9 x + 3}{2 x} + \frac{2 x + 3}{x} + \frac{x}{2 x - 3}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 9 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x + 3}{x} \cdot 2 x + \frac{x}{2 x - 3} \cdot 2 x$	=
$- 9 x + 3 + 4 x + 6 + 2 \frac{x \cdot x}{2 x - 3}$	=
$- 9 x + 3 + 4 x + 6 + 2 \frac{x^{2}}{2 x - 3}$	=
$2 \frac{x^{2}}{2 x - 3} - 9 x + 4 x + 3 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$2 \frac{x^{2}}{2 x - 3} - 9 x + 4 x + 3 + 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$2 \frac{x^{2}}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) - 9 x \cdot (2 x - 3) + 4 x \cdot (2 x - 3) + 3 \cdot (2 x - 3) + 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x^{2} - 9 x (2 x - 3) + 4 x (2 x - 3) + 6 x - 9 + 12 x - 18$	=
$2 x^{2} + (- 18 x^{2} + 27 x) + (8 x^{2} - 12 x) + 6 x - 9 + 12 x - 18$	=
$- 8 x^{2} + 33 x - 27$	=

$- 8 x^{2} + 33 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{- 16}$ = $\frac{- 33+15}{- 16}$ = $\frac{- 18}{- 16}$ = $1,125$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{- 16}$ = $\frac{- 33-15}{- 16}$ = $\frac{- 48}{- 16}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,125$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter