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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{45}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{45}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{45}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 45$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 45

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 17 x + 18}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 17 x + 18}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 17 x + 18}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 8 x$	=	$- 17 x + 18$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- 17 x + 18$

2 x^{2} - 8 x

=

- 17 x + 18

|

+ 17 x

- 18

$2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 9+15}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 9-15}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{20 x}{- 2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{2 x}{x + 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{20 x}{- 2 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{20 x}{- 2 x - 4}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (x + 2) + \frac{20 x}{- 2 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$2 x + \frac{6 x (x + 2)}{2 x - 1} - 10 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x - 1} - 10 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x - 1} + 2 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x - 1} + 2 x - 10 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 2 x \cdot (2 x - 1) - 10 x \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 2 x (2 x - 1) - 10 x (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} + 12 x + (4 x^{2} - 2 x) + (- 20 x^{2} + 10 x)$	=
$- 10 x^{2} + 20 x$	=

$- 10 x^{2} + 20 x$	=	0
$10 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{18}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 18$	=	$- a x$
$x^{2} - 18 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter