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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{63}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{16}{x}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{63}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{16}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{16}{x} \cdot x^{2}$
$63$	=	$- x^{2} + 16 x$

63

=

- x^{2} + 16 x

|

+ x^{2}

- 16 x

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x + 15}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 3 x + 15}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 3 x + 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$- 3 x + 15$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

- 3 x + 15

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - 7 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{7+13}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{7-13}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{- 20 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{8 x + 1}{3 x} - \frac{20 x}{2 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{2 x + 2} + \frac{8 x + 1}{3 x} - \frac{20 x}{2 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x + 2$ )
$\frac{8 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (2 x + 2) - \frac{20 x}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2)$	=
$8 x + \frac{(8 x + 1) (2 x + 2)}{3 x} - 20 x$	=
$8 x + \frac{16 x^{2} + 18 x + 2}{3 x} - 20 x$	=
$\frac{16 x^{2} + 18 x + 2}{3 x} + 8 x - 20 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 18 x + 2}{3 x} + 8 x - 20 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{16 x^{2} + 18 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 20 x \cdot 3 x$	=
$16 x^{2} + 18 x + 2 + 24 x \cdot x - 60 x \cdot x$	=
$16 x^{2} + 18 x + 2 + 24 x^{2} - 60 x^{2}$	=
$- 20 x^{2} + 18 x + 2$	=

- 20 x^{2} + 18 x + 2

= 0 |:2

$- 10 x^{2} + 9 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 1}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{- 9+11}{- 20}$ = $\frac{2}{- 20}$ = $- 0,1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{- 9-11}{- 20}$ = $\frac{- 20}{- 20}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 20$
$x^{2} + a x + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter