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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{40}{x^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{3}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 3 x$	=	$- x^{2} + 40$

- 3 x

=

- x^{2} + 40

|

+ x^{2}

- 40

$x^{2} - 3 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{3+13}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{3-13}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $3 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$3 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$3 \cdot x - \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$3 x - 5$
$x^{2} - 3 x$	=	$3 x - 5$

x^{2} - 3 x

=

3 x - 5

|

- 3 x

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x - 2} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{12 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x + \frac{12 x (2 x - 1)}{2 x - 2} - 12 x + 6$	=
$9 x + \frac{24 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} - 12 x + 6$	=
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} + 9 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 2$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} + 9 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $2 x - 2$ )
$\frac{24 x^{2} - 12 x}{2 x - 2} \cdot (2 x - 2) + 9 x \cdot (2 x - 2) - 12 x \cdot (2 x - 2) + 6 \cdot (2 x - 2)$	=
$24 x^{2} - 12 x + 9 x (2 x - 2) - 12 x (2 x - 2) + 12 x - 12$	=
$24 x^{2} - 12 x + (18 x^{2} - 18 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 12 x - 12$	=
$18 x^{2} + 6 x - 12$	=

18 x^{2} + 6 x - 12

= 0 |:6

$3 x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1+5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1-5}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$5$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$5 x$
$x^{2} + a - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter