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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{36}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{36}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 36$	=	$- x^{2} - 5 x$

- 36

=

- x^{2} - 5 x

|

+ x^{2}

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $\frac{- 14 x + 7}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$3 x$	=	$\frac{- 14 x + 7}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$3 x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{- 14 x + 7}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$3 x (x + 2)$	=	$- 14 x + 7$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 2$	=	$- 14 x + 7$
$3 x \cdot x + 6 x$	=	$- 14 x + 7$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$- 14 x + 7$

3 x^{2} + 6 x

=

- 14 x + 7

|

+ 14 x

- 7

$3 x^{2} + 20 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 20+22}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 20-22}{6}$ = $\frac{- 42}{6}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{15 x + 1}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{3}$ }

- \frac{15 x + 1}{2 x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{15 x + 1}{2 x} + \frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{3 x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{15 x + 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 45 x - 3 + 22 x + 2 + 6 \frac{8 x \cdot x}{3 x - 1}$	=
$- 45 x - 3 + 22 x + 2 + 6 \frac{8 x^{2}}{3 x - 1}$	=
$6 \frac{8 x^{2}}{3 x - 1} - 45 x + 22 x - 3 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$6 \frac{8 x^{2}}{3 x - 1} - 45 x + 22 x - 3 + 2$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$6 \frac{8 x^{2}}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 45 x \cdot (3 x - 1) + 22 x \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1) + 2 \cdot (3 x - 1)$	=
$48 x^{2} - 45 x (3 x - 1) + 22 x (3 x - 1) - 9 x + 3 + 6 x - 2$	=
$48 x^{2} + (- 135 x^{2} + 45 x) + (66 x^{2} - 22 x) - 9 x + 3 + 6 x - 2$	=
$- 21 x^{2} + 20 x + 1$	=

$- 21 x^{2} + 20 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 21) \cdot 1}}{2 \cdot (- 21)}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{- 42}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{484}}{- 42}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{484}}{- 42}$ = $\frac{- 20+22}{- 42}$ = $\frac{2}{- 42}$ = $- \frac{1}{21}$ ≈ -0.05

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{484}}{- 42}$ = $\frac{- 20-22}{- 42}$ = $\frac{- 42}{- 42}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{21}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 2 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter