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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{14}{x} + \frac{45}{x^{2}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{14}{x} + \frac{45}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x} \cdot x^{2} + \frac{45}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 14 x + 45$	=

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x - 15}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x - 15}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x - 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$- 11 x - 15$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

- 11 x - 15

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} - 13 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{13+7}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{13-7}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{12 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $1$ }

\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x - 1} + \frac{4 x}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$12 x + \frac{4 x (2 x - 1)}{x - 1} - 12 x + 6$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 1} - 12 x + 6$	=
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 12 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 1} + 12 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 12 x \cdot (x - 1) - 12 x \cdot (x - 1) + 6 \cdot (x - 1)$	=
$8 x^{2} - 4 x + 12 x (x - 1) - 12 x (x - 1) + 6 x - 6$	=
$8 x^{2} - 4 x + (12 x^{2} - 12 x) + (- 12 x^{2} + 12 x) + 6 x - 6$	=
$8 x^{2} + 2 x - 6$	=

8 x^{2} + 2 x - 6

= 0 |:2

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - x$	=	$- a$
$x^{2} - x + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter