= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{6}{e}^{-6x}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 2}+\frac{1}{6}{e}^{-6\cdot 0}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}{e}^0\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{6}{e}^{-12}+\frac{1}{6}\right)$

≈ 0,524

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[75{\left(x+4\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{{\left(x+4\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{{\left(4+4\right)}^3}-\frac{75}{4^3}-\left(\frac{75}{{\left(1+4\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{8^3}-75\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{75}{5^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(75\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{75}{64}-\left(75\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{75}{64}-\left(\frac{3}{5}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{512}-\frac{600}{512}-\left(\frac{3}{5}-\frac{375}{5}\right))$

= $\pi ·(-\frac{525}{512}-1·\left(-\frac{372}{5}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2625}{2560}+\frac{190464}{2560}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{525}{512}+\frac{372}{5}\right)$

= $\pi ·\frac{187839}{2560}$

= $\frac{187839}{2560}\pi$

≈ 230,513

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2}{{\left(3x+3\right)}^2}-\frac{3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3{\left(3x+3\right)}^2+2-3{\left(3x+3\right)}^2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{2}{{\left(3x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{2}^2·\frac{1}{{\left(3x+3\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x+3\right)}^{-3}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x+3\right)}^3}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(3\cdot 3+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9{\left(9+3\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(0+3\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9\cdot {12}^3}+\frac{4}{9\cdot 3^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{1728}\right)+\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3888}+\frac{4}{243}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{3888}+\frac{64}{3888}\right)$

= $\pi ·\frac{7}{432}$

= $\frac{7}{432}\pi$

≈ 0,051