= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+2\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+2\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3+2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 8^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 512-\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{512}{9}+\frac{1}{9}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{10}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{100}{x^4}-\frac{100}{{\left(x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3}{\left(x+4\right)}^{-3}-\frac{100}{3}{x}^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{100}{3{\left(x+4\right)}^3}-\frac{100}{3x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{100}{3{\left(2+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 2^3}-\left(\frac{100}{3{\left(1+4\right)}^3}-\frac{100}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3\cdot 6^3}-\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{100}{3\cdot 5^3}-\frac{100}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{25}{6}-\left(\frac{100}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{162}-\frac{25}{6}-\left(\frac{4}{15}-\frac{100}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{162}-\frac{675}{162}-\left(\frac{4}{15}-\frac{500}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{325}{81}-1·\left(-\frac{496}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{81}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1625}{405}+\frac{13392}{405}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{325}{81}+\frac{496}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{11767}{405}$

= $\frac{11767}{405}\pi$

≈ 91,277

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-3$ = $\frac{3{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{3{\left(x+4\right)}^2+3}{{\left(x+4\right)}^2}-\frac{3{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3{\left(x+4\right)}^2+3-3{\left(x+4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^4}dx$$

= $\pi$ ${\left[-3{\left(x+4\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{3}{{\left(x+4\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{3}{{\left(2+4\right)}^3}+\frac{3}{{\left(0+4\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{3}{6^3}+\frac{3}{4^3}\right)$

= $\pi ·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{216}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{64}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{72}+\frac{3}{64}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{576}+\frac{27}{576}\right)$

= $\pi ·\frac{19}{576}$

= $\frac{19}{576}\pi$

≈ 0,104