= $\pi$ ${\left[-192{\left(x+2\right)}^{-3}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{192}{{\left(x+2\right)}^3}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{192}{{\left(2+2\right)}^3}+\frac{192}{{\left(0+2\right)}^3}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{192}{4^3}+\frac{192}{2^3}\right)$

= $\pi ·\left(-192\cdot \left(\frac{1}{64}\right)+192\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-3+24\right)$

= $\pi ·21$

= $21\pi$

≈ 65,973

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[48{\left(x+3\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{48}{{\left(x+3\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{48}{{\left(3+3\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{48}{{\left(1+3\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{48}{6^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{48}{4^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(48\cdot \left(\frac{1}{216}\right)-\frac{16}{9}-\left(48\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{9}-\frac{16}{9}-\left(\frac{3}{4}-48\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{9}-\left(\frac{3}{4}-\frac{192}{4}\right))$

= $\pi ·(-\frac{14}{9}-1·\left(-\frac{189}{4}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{9}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{56}{36}+\frac{1701}{36}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{14}{9}+\frac{189}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{1645}{36}$

= $\frac{1645}{36}\pi$

≈ 143,553

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[4e^x-8e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 3}+3-\left(4e^0-8e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(4-8e^0+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-\left(4-8+0\right))$

= $\pi ·(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3-1·\left(-4\right))$

= $\pi ·\left(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+3+4\right)$

= $\pi ·\left(4e^3-8e^{\mathrm{1,5}}+7\right)$

≈ 161,756