= $\pi$ ${\left[-2{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{2}{2x+2}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{2}{2\cdot 3+2}+\frac{2}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{6+2}+\frac{2}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{2}{8}+\frac{2}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-2\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}+1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}+\frac{4}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\pi$

≈ 2,356

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{15}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{15}{{\left(2x+3\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{225}{x^4}-\frac{225}{{\left(2x+3\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2}{\left(2x+3\right)}^{-3}-75x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{75}{2{\left(2x+3\right)}^3}-\frac{75}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{75}{2{\left(2\cdot 2+3\right)}^3}-\frac{75}{2^3}-\left(\frac{75}{2{\left(2\cdot 1+3\right)}^3}-\frac{75}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2{\left(4+3\right)}^3}-75\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{75}{2{\left(2+3\right)}^3}-75\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2\cdot 7^3}-\frac{75}{8}-\left(\frac{75}{2\cdot 5^3}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{75}{8}-\left(\frac{75}{2}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)-75\right))$

= $\pi ·(\frac{75}{686}-\frac{75}{8}-\left(\frac{3}{10}-75\right))$

= $\pi ·(\frac{300}{2744}-\frac{25725}{2744}-\left(\frac{3}{10}-\frac{750}{10}\right))$

= $\pi ·(-\frac{25425}{2744}-1·\left(-\frac{747}{10}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{25425}{2744}+\frac{747}{10}\right)$

= $\pi ·\frac{897759}{13720}$

= $\frac{897759}{13720}\pi$

≈ 205,568

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071