= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 4+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(12+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {13}^3-\frac{1}{9}\cdot 4^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 2197-\frac{1}{9}\cdot 64\right)$

= $\pi ·\left(\frac{2197}{9}-\frac{64}{9}\right)$

= $\pi ·237$

= $237\pi$

≈ 744,557

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{21}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{441}{x^4}-\frac{441}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[49{\left(3x+4\right)}^{-3}-147x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{147}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{{\left(3\cdot 3+4\right)}^3}-\frac{147}{3^3}-\left(\frac{49}{{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{147}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{\left(9+4\right)}^3}-147\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{49}{{\left(3+4\right)}^3}-147\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{{13}^3}-\frac{49}{9}-\left(\frac{49}{7^3}-147\right))$

= $\pi ·(49\cdot \left(\frac{1}{2197}\right)-\frac{49}{9}-\left(49\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-147\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{2197}-\frac{49}{9}-\left(\frac{1}{7}-147\right))$

= $\pi ·(\frac{441}{19773}-\frac{107653}{19773}-\left(\frac{1}{7}-\frac{1029}{7}\right))$

= $\pi ·(-\frac{107212}{19773}-1·\left(-\frac{1028}{7}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{107212}{19773}+\frac{1028}{7}\right)$

= $\pi ·\frac{19576160}{138411}$

= $\frac{19576160}{138411}\pi$

≈ 444,331

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{3x+17}{x+4}-3$ = $\frac{3x+17}{x+4}-\frac{3\left(x+4\right)}{x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{(\frac{3x+17}{x+4}-\frac{3\left(x+4\right)}{x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3x+17-3x-12}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+4\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+4}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3+4}+\frac{25}{0+4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{7}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{7}\right)+25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{7}+\frac{25}{4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{100}{28}+\frac{175}{28}\right)$

= $\pi ·\frac{75}{28}$

= $\frac{75}{28}\pi$

≈ 8,415