= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+x^2+4x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 2^3+2^2+4\cdot 2-\left(\frac{5}{3}\cdot 0^3+0^2+4\cdot 0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}\cdot 8+4+8-\left(\frac{5}{3}\cdot 0+0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{40}{3}+4+8-\left(0+0+0\right))$

= $\pi ·\left(\frac{40}{3}+\frac{12}{3}+\frac{24}{3}+0\right)$

= $\pi ·\left(\frac{76}{3}\right)$

= $\frac{76}{3}\pi$

≈ 79,587

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{9}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{{\left(x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{81}{x^4}-\frac{81}{{\left(x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[27{\left(x+2\right)}^{-3}-27x^{-3}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{27}{{\left(x+2\right)}^3}-\frac{27}{x^3}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{27}{{\left(2+2\right)}^3}-\frac{27}{2^3}-\left(\frac{27}{{\left(1+2\right)}^3}-\frac{27}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{4^3}-27\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{27}{3^3}-27\cdot 1\right))$

= $\pi ·(27\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\frac{27}{8}-\left(27\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{27}{8}-\left(1-27\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{64}-\frac{216}{64}-1·\left(-26\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+26\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{189}{64}+\frac{1664}{64}\right)$

= $\pi ·\frac{1475}{64}$

= $\frac{1475}{64}\pi$

≈ 72,404

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $\frac{9x+17}{3x+4}-3$ = $\frac{9x+17}{3x+4}-\frac{3\left(3x+4\right)}{3x+4}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{(\frac{9x+17}{3x+4}-\frac{3\left(3x+4\right)}{3x+4})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{9x+17-9x-12}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{5}{3x+4}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^2·\frac{1}{{\left(3x+4\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3}{\left(3x+4\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{3\left(3x+4\right)}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(3\cdot 2+4\right)}+\frac{25}{3\left(3\cdot 0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\left(6+4\right)}+\frac{25}{3\left(0+4\right)}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3\cdot 10}+\frac{25}{3\cdot 4}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)+\frac{25}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{5}{6}+\frac{25}{12}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{12}+\frac{25}{12}\right)$

= $\pi ·\frac{5}{4}$

= $\frac{5}{4}\pi$

≈ 3,927