= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{3+1}+\frac{16}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{4}+\frac{16}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+16\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-4+16\right)$

= $\pi ·12$

= $12\pi$

≈ 37,699

Der so entstandene Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotatationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotations der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{12}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{12}{{\left(2x+2\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{144}{x^4}-\frac{144}{{\left(2x+2\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[24{\left(2x+2\right)}^{-3}-48x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{24}{{\left(2x+2\right)}^3}-\frac{48}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{24}{{\left(2\cdot 3+2\right)}^3}-\frac{48}{3^3}-\left(\frac{24}{{\left(2\cdot 1+2\right)}^3}-\frac{48}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{{\left(6+2\right)}^3}-48\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{24}{{\left(2+2\right)}^3}-48\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{24}{8^3}-\frac{16}{9}-\left(\frac{24}{4^3}-48\right))$

= $\pi ·(24\cdot \left(\frac{1}{512}\right)-\frac{16}{9}-\left(24\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-48\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{64}-\frac{16}{9}-\left(\frac{3}{8}-48\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{576}-\frac{1024}{576}-\left(\frac{3}{8}-\frac{384}{8}\right))$

= $\pi ·(-\frac{997}{576}-1·\left(-\frac{381}{8}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{997}{576}+\frac{381}{8}\right)$

= $\pi ·\frac{26435}{576}$

= $\frac{26435}{576}\pi$

≈ 144,181

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}x}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 1}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 1}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}{e}^0-\frac{20}{3}{e}^0+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-\left(\frac{5}{3}-\frac{20}{3}+0\right))$

= $\pi ·(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+1+5\right)$

= $\pi ·\left(\frac{5}{3}{e}^{\mathrm{0,6}}-\frac{20}{3}{e}^{\mathrm{0,3}}+6\right)$

≈ 0,119