$\text{f(x)}=$ $t{x}^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3t{x}^2·e^{2x}+t{x}^3·e^{2x}·2$

= $3t{x}^2·e^{2x}+t{x}^3·2e^{2x}$

= $3t{x}^2·e^{2x}+2t{x}^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2t{x}^3+3t{x}^2\right)$

= $\left(2t{x}^3+3t{x}^2\right)·e^{2x}$

= $t{x}^2{e}^{2x}\left(2x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2t^2{x}^2+t^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4t^{2}x+0$

= $-4t^{2}x$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $3t{x}^3+2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $9t{x}^2+4x$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$)= $9t\cdot 2^2+4\cdot 2$= $36t+8$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $80$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $36t+8$ soll gleich $80$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $36t+8$ = $80$ nach t auf.

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $t{x}^4+2tx$

$\text{f'(x)}=$ $4t{x}^3+2t$

In diese Ableitung setzen wir x=$-3$ ein:

f'($-3$) = $4t\cdot {\left(-3\right)}^3+2t$ = $-108t+2t$ = $-106t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{106}{3}$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-3$)= $-106t$ soll gleich $-\frac{106}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-106t$ = $-\frac{106}{3}$ nach t auf.

Für t= $\frac{1}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.