$\text{f(x)}=$ $t{x}^3·e^{\left(-x\right)}$

$\text{f'(x)}=$ $3t{x}^2·e^{\left(-x\right)}+t{x}^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3t{x}^2·e^{-x}+t{x}^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3t{x}^2·e^{-x}-t{x}^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-t{x}^3+3t{x}^2\right)$

= $\left(-t{x}^3+3t{x}^2\right)·e^{-x}$

= $t{x}^2{e}^{-x}\left(-x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-tx+2t^2$

$\text{f'(x)}=$ $-t+0$

= $-t$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-e^{2tx+4t}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2tx+4t}·2t+2$

= $-2t{e}^{2tx+4t}+2$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$)= $-2t{e}^{2t\cdot \left(-2\right)+4t}+2$= $-2t+2$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($-2$)= $-2t+2$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-2t+2$ = 0 nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-5e^{t^2{x}^2+2t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-5e^{t^2{x}^2+2t^{2}x}·\left(2t^{2}x+2t^2\right)$

= $-5·e^{t^2{x}^2+2t^{2}x}\left(2t^{2}x+2t^2\right)$

= $-5\left(2t^{2}x+2t^2\right)e^{t^2{x}^2+2t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$) = $-5·e^{t^2\cdot {\left(-2\right)}^2+2t^2\cdot \left(-2\right)}·\left(2t^2\cdot \left(-2\right)+2t^2\right)$ = $-5·e^0·\left(-4t^2+2t^2\right)$ = $10t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $40$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $10t^2$ soll gleich $40$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $10t^2$ = $40$ nach t auf.

Für t= $-2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.