$\text{f(x)}=$ $t{e}^{2tx+2t}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{2tx+2t}·2t$

= $2t^2{e}^{2tx+2t}$

$\text{f(x)}=$ $-3x·e^{-tx}$

$\text{f'(x)}=$ $-3·e^{-tx}-3x·e^{-tx}·\left(-t\right)$

= $-3e^{-tx}-3x·\left(-t{e}^{-tx}\right)$

= $-3e^{-tx}+3tx·e^{-tx}$

= $e^{-tx}·\left(3tx-3\right)$

= $\left(3tx-3\right)·e^{-tx}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $4e^{2tx+2t}-24x$

$\text{f'(x)}=$ $4e^{2tx+2t}·2t-24$

= $8t{e}^{2tx+2t}-24$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$)= $8t{e}^{2t\cdot \left(-1\right)+2t}-24$= $8t-24$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($-1$)= $8t-24$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $8t-24$ = 0 nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2t^{2}x+t$

$\text{f'(x)}=$ $2t^2+0$

= $2t^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$-2$ ein:

f'($-2$) = $2t^2$ = $2t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{98}{9}$x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-2$)= $2t^2$ soll gleich $\frac{98}{9}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $2t^2$ = $\frac{98}{9}$ nach t auf.

Für t= $-\frac{7}{3}$ und t= $\frac{7}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.