$\text{f(x)}=$ $3x^2·e^{tx+2t}$

$\text{f'(x)}=$ $6x·e^{tx+2t}+3x^2·e^{tx+2t}·t$

= $6x·e^{tx+2t}+3x^2·t{e}^{tx+2t}$

= $6x·e^{tx+2t}+3t{x}^2·e^{tx+2t}$

= $e^{tx+2t}·\left(3t{x}^2+6x\right)$

= $\left(3t{x}^2+6x\right)·e^{tx+2t}$

= $6x·e^{tx+2t}$

$\text{f(x)}=$ $2t^{2}x+2t$

$\text{f'(x)}=$ $2t^2+0$

= $2t^2$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2e^{tx-2t}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{tx-2t}·t-4$

= $-2t{e}^{tx-2t}-4$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$)= $-2t{e}^{t\cdot 2-2t}-4$= $-2t-4$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-6$x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $-2t-4$ soll gleich $-6$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-2t-4$ = $-6$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $t^2{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3t^2{x}^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$) = $3t^2\cdot 2^2$ = $3t^2\cdot 4$ = $12t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $48$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $12t^2$ soll gleich $48$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $12t^2$ = $48$ nach t auf.

Für t= $-2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.