$\text{f(x)}=$ $-x^4-3tx$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-3t$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-t{x}^3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-t{x}^3}·\left(-3t{x}^2\right)$

= $6t·e^{-t{x}^3}{x}^2$

= $6t{x}^2{e}^{-t{x}^3}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-2t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-4tx$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$)= $-3\cdot 2^2-4t\cdot 2$= $-8t-12$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-20$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $-8t-12$ soll gleich $-20$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-8t-12$ = $-20$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3tx}+\left(2x+1\right)·e^{3tx}·3t$

= $2e^{3tx}+\left(2x+1\right)·3t{e}^{3tx}$

= $2e^{3tx}+3t\left(2x+1\right)·e^{3tx}$

= $e^{3tx}·\left(6tx+3t+2\right)$

= $\left(6tx+3t+2\right)·e^{3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $2e^{3t\cdot 0}+3t·\left(2\cdot 0+1\right)·e^{3t\cdot 0}$ = $2+3t$ = $3t+2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $5$x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $3t+2$ soll gleich $5$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $3t+2$ = $5$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.