$\text{f(x)}=$ $3t^2{x}^2-tx$

$\text{f'(x)}=$ $6t^{2}x-t$

$\text{f(x)}=$ $-t^2{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4t^2{x}^3$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+4\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-3tx}+\left(-x+4\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-e^{-3tx}+\left(-x+4\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-e^{-3tx}-3t\left(-x+4\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(3tx+-12t-1\right)$

= $\left(3tx+-12t-1\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-0+4\right)·e^{-3t\cdot 0}$= $-12t-1$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($0$)= $-12t-1$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-12t-1$ = 0 nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{12}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-2e^{tx-t}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{tx-t}·t$

= $-2t{e}^{tx-t}$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$) = $-2t{e}^{t\cdot 1-t}$ = $-2t{e}^{t-t}$ = $-2t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{16}{3}$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $-2t$ soll gleich $-\frac{16}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-2t$ = $-\frac{16}{3}$ nach t auf.

Für t= $\frac{8}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.