Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 223 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

223 = 128 + 95
= 128 + 64 + 31
= 128 + 64 + 16 + 15
= 128 + 64 + 16 + 8 + 7
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 3
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 223 = (1101.1111)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.0111)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 71

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.0111)₂ = 71

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

5(die 5 kommt sowohl in 135 als auch 100 insgesamt 1 mal vor)

Da 5 = 5 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 5 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 135 und 100 ist somit :
ggT(135,100) = 5

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210 sind nun alle Primteiler von 42 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 210 ein Vielfaches von 42 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 42 oder 30 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 42 und 30 ist somit :
kgV(42,30) = 210

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 312 und 68

also gilt: ggt(312,68)=4

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 165

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0101)₂ = 165

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1010)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)₁₆

(0101)₂ = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.0101)₂ = (A5)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 45. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 45 ist, teilen wir 45 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 45 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 45, denn 45 = 1 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 2 ⋅ 22 + 1.

3 ist Teiler von 45, denn 45 = 3 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 4 ⋅ 11 + 1.

5 ist Teiler von 45, denn 45 = 5 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 6 ⋅ 7 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 45, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 45:
1, 3, 5, 9, 15, 45

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1612, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 1 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1632, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 3 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1652, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 5 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1672, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 7 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1692, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 9 + 2 = 18, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 16 bilden:

2 + 14 = 16, dabei ist 14 aber keine Primzahl

3 + 13 = 16, dabei ist 13 auch eine Primzahl

3 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 13 = 16

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 55 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

55
= 5 ⋅ 11