Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 124 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 124 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
124 = 64 + 60 = 64 + 32 + 28 = 64 + 32 + 16 + 12 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4
= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 124 = (111.1100)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (11.0001)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(11.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 49
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0001)2 = 49
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 88 und 125.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
88
= 2 ⋅ 44
= 2 ⋅ 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11
125
= 5 ⋅ 25
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
Da kein einziger Primfaktor sowohl in 88 als auch in 125 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 88 und 125 ist somit :
ggT(88,125) = 1
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 14 und 77.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
14
= 2 ⋅ 7
77
= 7 ⋅ 11
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt in 14 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 7(die 7 kommt in 14 insgesamt 1 mal vor)
2 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)
In 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 154 sind nun alle Primteiler von 14 und alle Primteiler von 77 enthalten. Also ist 154 ein Vielfaches von 14 und 77. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 14 oder 77 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 14 und 77 ist somit :
kgV(14,77) = 154
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 66 und 39.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 66 und 39
| =>66 | = 1⋅39 + 27 |
| =>39 | = 1⋅27 + 12 |
| =>27 | = 2⋅12 + 3 |
| =>12 | = 4⋅3 + 0 |
also gilt: ggt(66,39)=3
Binär und Dezimal aus Hexdezimal
Beispiel:
Gib die Zahl (7E)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.
Als Binärzahl
Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:
(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)2
(E)16 = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)2
Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (7E)16 = (111.1110)2
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(111.1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 126
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1110)2 = 126
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 77 an:
Wir suchen alle Teiler von 77. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 77 ist, teilen wir 77 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 77 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 77, denn 77 = 1 ⋅ 77, also ist auch 77 ein Teiler.
2 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 2 ⋅ 38 + 1.
3 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 3 ⋅ 25 + 2.
4 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 4 ⋅ 19 + 1.
5 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 5 ⋅ 15 + 2.
6 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 6 ⋅ 12 + 5.
7 ist Teiler von 77, denn 77 = 7 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.
8 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 8 ⋅ 9 + 5.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9
= 81 > 77, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 77:
1, 7, 11, 77
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 61⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 1⬜.
Bei den 10er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 12, 16 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 612, für die Quersumme gilt dann: 6 + 1 + 2 = 9, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 616, für die Quersumme gilt dann: 6 + 1 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 36 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:
2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl
3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl
5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl
5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 99 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 99 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
99
= 3 ⋅ 33
= 3 ⋅ 3 ⋅ 11
