Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 205 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

205 = 128 + 77
= 128 + 64 + 13
= 128 + 64 + 8 + 5
= 128 + 64 + 8 + 4 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 205 = (1100.1101)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.0101)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 245

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.0101)₂ = 245

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 110 als auch 80 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 110 als auch 80 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 110 und 80 ist somit :
ggT(110,80) = 10

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 50 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 50 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11(die 11 kommt in 33 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11 = 1650 sind nun alle Primteiler von 33 und alle Primteiler von 50 enthalten. Also ist 1650 ein Vielfaches von 33 und 50. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 33 oder 50 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 33 und 50 ist somit :
kgV(33,50) = 1650

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 72 und 164

=>72	= 0⋅164 + 72
=>164	= 2⋅72 + 20
=>72	= 3⋅20 + 12
=>20	= 1⋅12 + 8
=>12	= 1⋅8 + 4
=>8	= 2⋅4 + 0

also gilt: ggt(72,164)=4

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 81 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

81 = 64 + 17
= 64 + 16 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 81 = (101.0001)₂

Um die Zahl 81 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 81 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(101)₂ = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (101.0001)₂ = (51)₁₆

Wir suchen alle Teiler von 77. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 77 ist, teilen wir 77 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 77 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 77, denn 77 = 1 ⋅ 77, also ist auch 77 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 2 ⋅ 38 + 1.

3 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 3 ⋅ 25 + 2.

4 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 4 ⋅ 19 + 1.

5 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 5 ⋅ 15 + 2.

6 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 6 ⋅ 12 + 5.

7 ist Teiler von 77, denn 77 = 7 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 77, denn 77 = 8 ⋅ 9 + 5.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 77, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 77:
1, 7, 11, 77

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1116, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 1 + 6 = 9, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1136, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 3 + 6 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1156, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 5 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1176, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 7 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1196, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 9 + 6 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 40 bilden:

2 + 38 = 40, dabei ist 38 aber keine Primzahl

3 + 37 = 40, dabei ist 37 auch eine Primzahl

3 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 37 = 40

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 30 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5