Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 107 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

107 = 64 + 43
= 64 + 32 + 11
= 64 + 32 + 8 + 3
= 64 + 32 + 8 + 2 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 107 = (110.1011)₂

Um die Zahl 107 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 107 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(110)₂ = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)₁₆

(1011)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (110.1011)₂ = (6B)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 6,1171875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,1171875 = 6 + 0,1171875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,1171875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.1171875 -> 0.1171875⋅2 = 0.234375, da 0.234375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.1171875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.234375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.234375⋅$\frac{1}{2}$

0.234375 -> 0.234375⋅2 = 0.46875, da 0.46875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.234375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.46875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.46875⋅$\frac{1}{4}$

0.46875 -> 0.46875⋅2 = 0.9375, da 0.9375<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.46875⋅$\frac{1}{4}$ = 0.9375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.9375⋅$\frac{1}{8}$

0.9375 -> 0.9375⋅2 = 1.875, da 1.875>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.9375⋅$\frac{1}{8}$ = 1.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.1171875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.1171875 ist somit 0,0001111

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,1171875 = (110,0001.111)₂

Wir zerlegen die Zahl 7,03125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,03125 = 7 + 0,03125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

7 = 4 + 3
= 4 + 2 + 1

= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,03125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.03125 -> 0.03125⋅2 = 0.0625, da 0.0625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.03125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.0625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{2}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.125⋅$\frac{1}{4}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.25⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.25⋅$\frac{1}{8}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{8}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.03125 ist somit 0,00001

Zusammen mit der 7 = (111)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,03125 = (111,0000.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(111,0000.1)₂ = (1,1100.001)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.03125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 110.0001.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 12,25 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 12,25 = 12 + 0,25

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 12 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 12 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

12 = 8 + 4

= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 12 = (1100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 12 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

12 -> 12:2 = 6 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

12 = 6⋅2 + 0, also 12 = ( 6⋅2 + 0)⋅1 = 6⋅2 + 0⋅1

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 12 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 12 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 12 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 12 = (1100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,25 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{1}$ = 0.5⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5⋅$\frac{1}{2}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{2}$ = 1⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.25 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$

Die Binärdarstellung von 0.25 ist somit 0,01

Zusammen mit der 12 = (1100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 12,25 = (1100,01)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1100,01)₂ = (1,1000.1)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 12.25 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 100.0100.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	0	0	.	0	0	1	1	)2
												+		(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	0	0	)2
														(	1		1	1	0	1		1	1	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1111)₂
zu (1001.0000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		0	0	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.1000)₂
zu (1101.0111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																						1	1	1
															(		1	1	0	1		1	0	0	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0011)₂ und -b = (1101.1000)₂ addieren:

															(		0	1	0	0	.	0	0	1	1	)2
													+		(		1	1	0	1	.	1	0	0	0	)2
															1		1
														(	1		0	0	0	1		1	0	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.1011)₂

Der zweite Faktor (11)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																				+			(	1	0	)2
																							(	1	1	)2

somit gilt:

(100.1000)₂ ⋅ (11)₂ = 100.1000 ⋅ (10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.1000)₂ ⋅ (11)₂ = (1001.0000)₂ + (100.1000)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	0	.	1	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	1	.	0	0	0	0	)2
															(		1	1	0	1		1	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1101.1000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 72 ⋅ 3 = 216)

1

0

0

0

0

0

0

0

:

1

0

0

0

=

1

0

0

0

0

-

1

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 128 : 8 = 16)