Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 274 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

274 = 256 + 18
= 256 + 16 + 2

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 274 = (1.0001.0010)₂

Um die Zahl 274 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 274 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0001)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0010)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0001.0010)₂ = (112)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 5,3125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,3125 = 5 + 0,3125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,3125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.3125 -> 0.3125⋅2 = 0.625, da 0.625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.3125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.3125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.625⋅$\frac{1}{2}$

0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.25⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.3125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.25⋅$\frac{1}{4}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{4}$ = 0.5⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.3125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5⋅$\frac{1}{8}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{8}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.3125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

Die Binärdarstellung von 0.3125 ist somit 0,0101

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,3125 = (101,0101)₂

Wir zerlegen die Zahl 5,4609375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,4609375 = 5 + 0,4609375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,4609375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.4609375 -> 0.4609375⋅2 = 0.921875, da 0.921875<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.4609375⋅$\frac{1}{1}$ = 0.921875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.921875⋅$\frac{1}{2}$

0.921875 -> 0.921875⋅2 = 1.84375, da 1.84375>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.921875⋅$\frac{1}{2}$ = 1.84375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.84375⋅$\frac{1}{4}$

0.84375 -> 0.84375⋅2 = 1.6875, da 1.6875>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.84375⋅$\frac{1}{4}$ = 1.6875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.6875⋅$\frac{1}{8}$

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.4609375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.4609375 ist somit 0,0111011

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,4609375 = (101,0111.011)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(101,0111.011)₂ = (1,0101.1101.1)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 5.4609375 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 010.1110.1100.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 14,35 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 14,35 = 14 + 0,35

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 14 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

14 = 8 + 6
= 8 + 4 + 2

= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 14 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

14 -> 14:2 = 7 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

14 = 7⋅2 + 0, also 14 = ( 7⋅2 + 0)⋅1 = 7⋅2 + 0⋅1

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 14 = ( 3⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 14 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 14 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,35 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.35 -> 0.35⋅2 = 0.7, da 0.7<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.35⋅$\frac{1}{1}$ = 0.7⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.7⋅$\frac{1}{2}$

0.7 -> 0.7⋅2 = 1.4, da 1.4>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.7⋅$\frac{1}{2}$ = 1.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.35 ist somit (0,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 14 = (1110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 14,35 = (1110,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1110,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001)₂ = (1,1100.1011.0011.0011.0011.0011.0011.001)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 14.35 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 110.0101.1001.1001.1001.1001

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	1	1	.	1	1	0	1	)2
												+		(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	1	0	)2
																		1	1	1		1
														(	1		1	1	0	1		1	0	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0111)₂
zu (1001.1000)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		1	0	0	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0001)₂
zu (1110.1110)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	1	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	1	0		1	1	1	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0101)₂ und -b = (1110.1111)₂ addieren:

															(		0	1	1	1	.	0	1	0	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	1	1	1	)2
															1		1	1	1	1		1	1	1
														(	1		0	1	1	0		0	1	0	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0110.0100)₂

Der zweite Faktor (101.0100)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																						(	1	0	0	)2
																			(	1	.	0	0	0	0	)2
														+			(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	1		0	1	0	0	)2

somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (101.0100)₂ = 110.1010 ⋅ (100.0000 + 1.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (101.0100)₂ = (1.1010.1000.0000)₂ + (110.1010.0000)₂ + (1.1010.1000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

														(	1	.	1	0	1	0	.	1	0	0	0	)2
									+			(	1	1	0	.	1	0	1	0	.	0	0	0	0	)2
												1	1	1	1			1
										(		1	0	0	0		0	1	0	0		1	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

										(		1	0	0	0	.	0	1	0	0	.	1	0	0	0	)2
							+		(	1	.	1	0	1	0	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1	1
								(	1	0		0	0	1	0		1	1	0	0		1	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (10.0010.1100.1000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 106 ⋅ 84 = 8904)

1

1

0

1

0

0

1

:

1

1

1

1

=

1

1

1

-

1

1

1

1

1

0

1

1

0

-

1

1

1

1

0

1

1

1

1

-

1

1

1

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 105 : 15 = 7)