Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(E)₁₆ = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)₂

(B)₁₆ = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (EB)₁₆ = (1110.1011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.1011)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 235

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.1011)₂ = 235

Wir zerlegen die Zahl 2,4453125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,4453125 = 2 + 0,4453125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,4453125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.4453125 -> 0.4453125⋅2 = 0.890625, da 0.890625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.4453125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.890625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.890625⋅$\frac{1}{2}$

0.890625 -> 0.890625⋅2 = 1.78125, da 1.78125>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.890625⋅$\frac{1}{2}$ = 1.78125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.78125⋅$\frac{1}{4}$

0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.78125⋅$\frac{1}{4}$ = 1.5625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{8}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.4453125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.4453125 ist somit 0,0111001

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,4453125 = (10,0111.001)₂

Wir zerlegen die Zahl 3,125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,125 = 3 + 0,125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.25⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.25⋅$\frac{1}{2}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{2}$ = 0.5⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5⋅$\frac{1}{4}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{4}$ = 1⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$

Die Binärdarstellung von 0.125 ist somit 0,001

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,125 = (11,001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,001)₂ = (1,1001)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 100.1000.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 12,5 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 12,5 = 12 + 0,5

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 12 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 12 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

12 = 8 + 4

= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 12 = (1100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 12 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

12 -> 12:2 = 6 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

12 = 6⋅2 + 0, also 12 = ( 6⋅2 + 0)⋅1 = 6⋅2 + 0⋅1

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 12 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 12 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 12 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 12 = (1100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,5 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{1}$ = 1⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.5 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{2}$

Die Binärdarstellung von 0.5 ist somit 0,1

Zusammen mit der 12 = (1100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 12,5 = (1100,1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1100,1)₂ = (1,1001)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 12.5 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 100.1000.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	0	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	1	1	0	0	)2
															1		1		1	1		1
														(	1		1	0	1	0		0	0	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1100)₂
zu (1001.0011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	0	1		0	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0101)₂
zu (1000.1010)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	1	0	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	0		1	0	1	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.1111)₂ und -b = (1000.1011)₂ addieren:

															(		0	1	1	1	.	1	1	1	1	)2
													+		(		1	0	0	0	.	1	0	1	1	)2
															1		1	1	1	1		1	1	1
														(	1		0	0	0	0		1	0	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1010)₂

Der zweite Faktor (11)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																				+			(	1	0	)2
																							(	1	1	)2

somit gilt:

(101.0010)₂ ⋅ (11)₂ = 101.0010 ⋅ (10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0010)₂ ⋅ (11)₂ = (1010.0100)₂ + (101.0010)₂

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	0	1	.	0	0	1	0	)2
													+		(		1	0	1	0	.	0	1	0	0	)2
															(		1	1	1	1		0	1	1	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1111.0110)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 82 ⋅ 3 = 246)

1

0

1

0

1

0

0

1

:

1

1

0

1

=

1

1

0

1

-

1

1

0

1

1

0

0

0

0

-

1

1

0

1

0

0

1

1

0

-

0

0

0

0

0

1

1

0

1

-

1

1

0

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 169 : 13 = 13)