Aufgabenbeispiele von Informatik
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100.1010)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 202
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1010)2 = 202
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.1010)2 = (CA)16
endliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 3,4453125 als binäre Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 3,4453125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,4453125 = 3 + 0,4453125
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
3 = 2 + 1
= 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 20-Stelle eine 1.
3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 21-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,4453125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.4453125 -> 0.4453125⋅2 = 0.890625, da 0.890625<1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 0
0.4453125⋅ = 0.890625⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 0.890625⋅
0.890625 -> 0.890625⋅2 = 1.78125, da 1.78125>1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 1
0.890625⋅ = 1.78125⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 0.78125⋅
0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 1
0.78125⋅ = 1.5625⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.5625⋅
0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.5625⋅ = 1.125⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.125⋅
0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 0
0.125⋅ = 0.25⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.25⋅
0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 0
0.25⋅ = 0.5⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.4453125 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.4453125 ist somit 0,0111001
Zusammen mit der 3 = (11)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,4453125 = (11,0111.001)2
endliche binäre Komma-Zahl 32Bit
Beispiel:
Gib die Zahl 7,4765625 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 7,4765625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 7,4765625 = 7 + 0,4765625
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 7 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 7 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
7 = 4 + 3 = 4 + 2 + 1
= 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 7 = (111)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 7 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 20-Stelle eine 1.
7 = 3⋅2 + 1, also 7 = ( 3⋅2 + 1)⋅1 = 3⋅2 + 1⋅1
3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 21-Stelle eine 1.
3 = 1⋅2 + 1, also 7 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 7 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 7 = (111)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,4765625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.4765625 -> 0.4765625⋅2 = 0.953125, da 0.953125<1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 0
0.4765625⋅ = 0.953125⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 0.953125⋅
0.953125 -> 0.953125⋅2 = 1.90625, da 1.90625>1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 1
0.953125⋅ = 1.90625⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 0.90625⋅
0.90625 -> 0.90625⋅2 = 1.8125, da 1.8125>1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 1
0.90625⋅ = 1.8125⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.8125⋅
0.8125 -> 0.8125⋅2 = 1.625, da 1.625>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.8125⋅ = 1.625⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.625⋅
0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.625⋅ = 1.25⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.25⋅
0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 0
0.25⋅ = 0.5⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.4765625 = 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.4765625 ist somit 0,0111101
Zusammen mit der 7 = (111)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 7,4765625 = (111,0111.101)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(111,0111.101)2 = (1,1101.1110.1)2 ⋅ 22 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 7.4765625 positiv ist.
Wegen der ⋅ 22 ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000001 110.1111.0100.0000.0000.0000
unendliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 13 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 13 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 13 = 13 + 0
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 13 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 13 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
13 = 8 + 5 = 8 + 4 + 1
= 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 13 = (1101)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 13 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
13 -> 13:2 = 6 Rest 1, also kommt nun an die 20-Stelle eine 1.
13 = 6⋅2 + 1, also 13 = ( 6⋅2 + 1)⋅1 = 6⋅2 + 1⋅1
6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 21-Stelle eine 0.
6 = 3⋅2 + 0, also 13 = ( 3⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 3⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
3 = 1⋅2 + 1, also 13 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 23-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 13 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 13 = (1101)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0 -> 0⋅2 = 0, da 0<1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 0
0⋅ = 0⋅, also ist 0 = 0⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0 ist somit 0,0
Zusammen mit der 13 = (1101)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 13 = (1101,0)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(1101,0)2 = (1,101)2 ⋅ 23 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 13 positiv ist.
Wegen der ⋅ 23 ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000010 101.0000.0000.0000.0000.0000
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | )2 |
negative Binärzahlen
Beispiel:
Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1001)2 = 105.
Bestimme -105 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0110.1001)2
zu (1001.0110)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 1 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0001.0011)2
zu (1110.1100)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
( | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0100.1000)2 und -b = (1110.1101)2 addieren:
( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 | |||||
1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0011.0101)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(101.0111)2 ⋅ (1000.1100)2 =
Der zweite Faktor (1000.1100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
( | 1 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||
( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
somit gilt:
(101.0111)2 ⋅ (1000.1100)2 = 101.0111 ⋅ (1000.0000 + 1000 + 100)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(101.0111)2 ⋅ (1000.1100)2 = (10.1011.1000.0000)2 + (10.1011.1000)2 + (1.0101.1100)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
( | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
( | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (10.1111.1001.0100)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 87 ⋅ 140 = 12180)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(111.1000)2 : (1000)2 =
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | : | 1 | 0 | 0 | 0 | = | 1 | 1 | 1 | 1 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1111)2 - (1000)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 8 = 7
- Die obige Differenz (01110)2 - (1000)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 8 = 6
- Die obige Differenz (01100)2 - (1000)2 = (100)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 8 = 4
- Die obige Differenz (01000)2 - (1000)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 8 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 120 : 8 = 15)