Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1111)₂ = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 47

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1111)₂ = 47

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)₂ = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

(1111)₂ = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.1111)₂ = (2F)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 5,359375 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,359375 = 5 + 0,359375

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,359375 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.359375 -> 0.359375⋅2 = 0.71875, da 0.71875<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.359375⋅$\frac{1}{1}$ = 0.71875⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.71875⋅$\frac{1}{2}$

0.71875 -> 0.71875⋅2 = 1.4375, da 1.4375>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.71875⋅$\frac{1}{2}$ = 1.4375⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4375⋅$\frac{1}{4}$

0.4375 -> 0.4375⋅2 = 0.875, da 0.875<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4375⋅$\frac{1}{4}$ = 0.875⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.875⋅$\frac{1}{8}$

0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.875⋅$\frac{1}{8}$ = 1.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.359375 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.359375 ist somit 0,010111

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,359375 = (101,0101.11)₂

Wir zerlegen die Zahl 4,03125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,03125 = 4 + 0,03125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,03125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.03125 -> 0.03125⋅2 = 0.0625, da 0.0625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.03125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.0625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{2}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.125⋅$\frac{1}{4}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{4}$ = 0.25⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.25⋅$\frac{1}{8}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{8}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.03125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

Die Binärdarstellung von 0.03125 ist somit 0,00001

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,03125 = (100,0000.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(100,0000.1)₂ = (1,0000.001)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 4.03125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 000.0001.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 4,35 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,35 = 4 + 0,35

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,35 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.35 -> 0.35⋅2 = 0.7, da 0.7<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.35⋅$\frac{1}{1}$ = 0.7⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.7⋅$\frac{1}{2}$

0.7 -> 0.7⋅2 = 1.4, da 1.4>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.7⋅$\frac{1}{2}$ = 1.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.35 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.35 ist somit (0,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,35 = (100,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.1)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(100,0101.1001.1001.1001.1001.1001.1001.1)₂ = (1,0001.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 4.35 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 000.1011.0011.0011.0011.0011

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	0	0	.	1	1	1	1	)2
														+			(	1	1	1	.	0	1	1	0	)2
															1		1	1	1	1		1	1
														(	1		0	1	0	0		0	1	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1100)₂
zu (1010.0011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	0	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	0	1	0		0	1	0	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1000)₂
zu (1010.0111)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	1	0	.	0	1	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																						1	1	1
															(		1	0	1	0		1	0	0	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0110)₂ und -b = (1010.1000)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	1	1	0	)2
													+		(		1	0	1	0	.	1	0	0	0	)2
															1		1	1
														(	1		0	0	0	0		1	1	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1110)₂

Der zweite Faktor (111)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																								(	1	)2
																							(	1	0	)2
																			+			(	1	0	0	)2
																						(	1	1	1	)2

somit gilt:

(111.0111)₂ ⋅ (111)₂ = 111.0111 ⋅ (100 + 10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0111)₂ ⋅ (111)₂ = (1.1101.1100)₂ + (1110.1110)₂ + (111.0111)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

																	(	1	1	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	1	1	0	)2
															1		1	1	1	1		1	1
														(	1		0	1	1	0		0	1	0	1	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

														(	1	.	0	1	1	0	.	0	1	0	1	)2
												+		(	1	.	1	1	0	1	.	1	1	0	0	)2
														1	1		1	1	1	1		1
													(	1	1		0	1	0	0		0	0	0	1	)2

Das Ergebnis ist somit: (11.0100.0001)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 119 ⋅ 7 = 833)

1

0

0

0

0

0

1

0

1

:

1

0

0

1

=

1

1

1

0

1

-

1

0

0

1

0

1

1

1

0

-

1

0

0

1

0

1

0

1

1

-

1

0

0

1

0

0

1

0

0

-

0

0

0

0

0

1

0

0

1

-

1

0

0

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 261 : 9 = 29)