Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 41 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

41 = 32 + 9
= 32 + 8 + 1

= 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 41 = (10.1001)₂

Um die Zahl 41 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 41 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)₂ = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.1001)₂ = (29)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 3,140625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,140625 = 3 + 0,140625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,140625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.140625 -> 0.140625⋅2 = 0.28125, da 0.28125<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.140625⋅$\frac{1}{1}$ = 0.28125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.28125⋅$\frac{1}{2}$

0.28125 -> 0.28125⋅2 = 0.5625, da 0.5625<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.28125⋅$\frac{1}{2}$ = 0.5625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{4}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{4}$ = 1.125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.125⋅$\frac{1}{8}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{8}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.140625 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.140625 ist somit 0,001001

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,140625 = (11,0010.01)₂

Wir zerlegen die Zahl 3,796875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,796875 = 3 + 0,796875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,796875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.796875 -> 0.796875⋅2 = 1.59375, da 1.59375>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.796875⋅$\frac{1}{1}$ = 1.59375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.59375⋅$\frac{1}{2}$

0.59375 -> 0.59375⋅2 = 1.1875, da 1.1875>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.59375⋅$\frac{1}{2}$ = 1.1875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.1875⋅$\frac{1}{4}$

0.1875 -> 0.1875⋅2 = 0.375, da 0.375<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.1875⋅$\frac{1}{4}$ = 0.375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.375⋅$\frac{1}{8}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.796875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.796875 ist somit 0,110011

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,796875 = (11,1100.11)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,1100.11)₂ = (1,1110.011)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.796875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 111.0011.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 14,9 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 14,9 = 14 + 0,9

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 14 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

14 = 8 + 6
= 8 + 4 + 2

= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 14 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

14 -> 14:2 = 7 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

14 = 7⋅2 + 0, also 14 = ( 7⋅2 + 0)⋅1 = 7⋅2 + 0⋅1

7 -> 7:2 = 3 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

7 = 3⋅2 + 1, also 14 = ( 3⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 3⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 14 = ( 1⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2³-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 14 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 14 = (1110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,9 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.9 -> 0.9⋅2 = 1.8, da 1.8>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.9⋅$\frac{1}{1}$ = 1.8⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.8⋅$\frac{1}{2}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{2}$ = 1.6⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.6⋅$\frac{1}{4}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{4}$ = 1.2⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.2⋅$\frac{1}{8}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{8}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.9 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die 0.8 (und dann 0.8⋅2 = 1.6) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.8, 0.6, 0.2 und 0.4 mit den Binärzahlen 1100.

Die Binärdarstellung von 0.9 ist somit (0,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110.011)₂

Zusammen mit der 14 = (1110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 14,9 = (1110,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(1110,1110.0110.0110.0110.0110.0110.0110)₂ = (1,1101.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2³ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 14.9 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2³ ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000010 110.1110.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	1	1	0	.	1	0	1	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	1	1	1	)2
															1		1			1		1	1	1
														(	1		1	0	1	1		0	0	1	0	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0110)₂
zu (1000.1001)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	1	0	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	0	0		1	0	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.0100)₂
zu (1101.1011)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	1	.	1	0	1	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																							1	1
															(		1	1	0	1		1	1	0	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0011)₂ und -b = (1101.1100)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	0	1	1	)2
													+		(		1	1	0	1	.	1	1	0	0	)2
															1		1
														(	1		0	0	1	1		1	1	1	1	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.1111)₂

Der zweite Faktor (10.1010)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																							(	1	0	)2
																				(		1	0	0	0	)2
															+			(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																		(	1	0		1	0	1	0	)2

somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (10.1010)₂ = 110.1010 ⋅ (10.0000 + 1000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1010)₂ ⋅ (10.1010)₂ = (1101.0100.0000)₂ + (11.0101.0000)₂ + (1101.0100)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

															(		1	1	0	1	.	0	1	0	0	)2
										+			(	1	1	.	0	1	0	1	.	0	0	0	0	)2
													1	1	1		1		1
												(	1	0	0		0	0	1	0		0	1	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

												(	1	0	0	.	0	0	1	0	.	0	1	0	0	)2
								+		(		1	1	0	1	.	0	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
										1		1
									(	1		0	0	0	1		0	1	1	0		0	1	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0001.0110.0100)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 106 ⋅ 42 = 4452)

1

0

1

0

0

0

0

0

:

1

0

0

0

=

1

0

1

0

0

-

1

0

0

0

0

0

1

0

0

-

0

0

0

0

0

1

0

0

0

-

1

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 160 : 8 = 20)