Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -1.

Somit gilt: P( X ≤ -1) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-3 ≤ X ≤ -1) = 0.308 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ -3), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(X ≤ -3) = 0,5 - 0.308 = 0.192

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·2^{{\left(-x\right)}^2+1}$ = $-x·2^{x^2+1}$

Wenn man das mit f(x) = $x·2^{x^2+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·2^{x^2+1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x·2^{x^2+1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $x^5$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $x^5$ ungerade ist, hat $x^5$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $x^5$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $x^5+4x^3+5x-1$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^5$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $1$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $x^5$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $x^5+4x^3+5x-1$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = $-x^3$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^3$ = -1 ist aber leider nicht -5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -5 -( - 1 ) = -4 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^3$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^3-4$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet