Da f sowohl gerade ( $2x^{10}$) als auch ungerade Hochzahlen ( $4x^7$) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{3{\left(-x\right)}^2+1}{{\left(-x\right)}^3}$ = $-\frac{3x^2+1}{x^3}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{3x^2+1}{x^3}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-\frac{3x^2+1}{x^3}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-\frac{3x^2+1}{x^3}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $-5x^3$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $-5x^3$ ungerade ist, hat $x^3$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $-5$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $-5x^3$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $-5x^3+x^2$ → $\infty$

x → + ∞

$x^3$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $-5$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $-5x^3$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $-5x^3+x^2$ → $-\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 5 als Grad.

Für f(x) = $x^5$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^5$ = 1 ist aber leider nicht 2. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 2 -1 = 1 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^5$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $x^5+1$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet