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Aufgabenbeispiele von Verschiebung/Streckung

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Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4$ wird um den Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und um 1 nach oben verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Bei der Verschiebung um 1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert, also ein 1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor dem ganzen Funktionsterm.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $3 (x^{3} - 4) + 1$

Verschiebung am Graph erkennen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{x^{3}}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach unten, bzw. -2 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $- 1 + \frac{1}{x^{3}} - 2$ = $- 3 + \frac{1}{x^{3}}$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 (- 5 {(x - 2)}^{3} + 5)$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 5$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die -5 als Koeffizient vor dem Term bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -5 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -5 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -5 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)