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Aufgabenbeispiele von Funktionsbegriff

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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x +1 . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 4 gilt.


Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4.

Also müssen wir x +1 = 4 nach x aufkösen:.

x +1 = 4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +1 = 4 2
x +1 = 16 | -1
x = 15

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 15

Linke Seite:

x = 15 in x +1

= 15 +1

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 15 in 4

= 4

Also 4 = 4

x = 15 ist somit eine Lösung !

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = 1 ( x -2 ) 2 .

Lösung einblenden

Definitionsmenge

Man darf für x alles einsetzen, solange der Nenner nicht Null wird. Man sieht hier gut, dass dies aber nur für x = 2 passiert.
Die Definitionsmenge ist somit D = ℝ\{2}.

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Wertemenge

  • 1 x² kann alle positiven Werte (also 1 x² >0) annehmen
  • 1 ( x -2 ) 2 ist ja nur um 2 nach rechts verschoben, also nimmt auch 1 ( x -2 ) 2 alle positiven Werte an.

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y > 0}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Ein zylinderförmige Getränkedose soll aus Designgründen so gebaut werde, dass die Höhe der Dose 3,5 mal so groß ist wie der Durchmesser der Grund- und Deckelfläche. Bestimme dazu einen Funktionsterm, der dem Radius der Grundfläche r die Oberfläche der Getränkedose O zuordnet.

Lösung einblenden

Der gesuchte Term lautet also: O(r) = 2π · r 2 +2π · r · 7r = 16π r 2