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Aufgabenbeispiele von Funktionsbegriff

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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2}$ . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 16 gilt.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 16.

Also müssen wir ${(x + 1)}^{2}$ = $16$ nach x aufkösen:.

{(x + 1)}^{2}

16

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1

- \sqrt{16}

- 4

$x + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 1

\sqrt{16}

4

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
x₂	=	$3$

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}} - 5$ .

Lösung einblenden

Definitionsmenge

In die Wurzel darf man keine negativen Werte einsetzen. Außerdem darf auch die 0 nicht für x eingesetzt werden, weil sonst der Nenner =0 werden würde.
Die Definitionsmenge ist somit D = {x ∈ ℝ | x > 0}.

Wertemenge

$\sqrt{x}$ kann alle positiven Werte und die 0 annehmen (also $\sqrt{x}$ ≥ 0)
Somit kann $\frac{1}{\sqrt{x}}$ alle positiven Werte (außer der 0) annehmen (also $\frac{1}{\sqrt{x}}$ > 0)
Wenn man nun davon noch 5 subtrahiert, so werden eben alle Werte um 5 kleiner. Somit können eben alle Werte > -5 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y > -5}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Ein zylinderförmige Getränkedose soll aus Designgründen so gebaut werde, dass die Höhe der Dose 2,5 mal so groß ist wie der Durchmesser der Grund- und Deckelfläche.
Bestimme dazu einen Funktionsterm, der dem Radius der Grundfläche r das Volumen der Getränkedose V zuordnet.

Lösung einblenden

Der gesuchte Term lautet also: V(r) = $π \cdot r^{2} \cdot 5 r$ = $5 π \cdot r^{3}$ = $5 π r^{3}$