$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)-3\cdot \sin \left(x\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-3\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $2\cdot \sin \left(x\right)-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)-5\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+5\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\pi$) = $-3\cdot \cos \left(\pi \right)+5\cdot \sin \left(\pi \right)$ = $-3\cdot \left(-1\right)+5\cdot 0$ = $3$

Die Gerade y = $-x-2$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)-x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)-1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $-4\cdot \sin \left(x\right)-1$ = -1.

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={0; $\pi$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '(0) = $-4\cdot \sin \left(0\right)-1$ = $-1$

f '( $\pi$) = $-4\cdot \sin \left(\pi \right)-1$ = $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $-4\cdot \sin \left(\pi \right)+4$

= $-4\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(\pi \right)+4\cdot \pi$ = $4\cdot \left(-1\right)+4\cdot \pi$ = $-4+4\cdot \pi$ ≈ 8.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $-4+4\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+4\pi$ = $4$⋅ $\pi$ + c

$-4+4\pi$ = $4\pi$ + c | $-4\pi$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-4$

Eine Sinusfunktion hat ihre Wendepunkte ja immer zu Beginn und nach einer halben Periode. Und da ja hier im sin drin nur ein "x" steht, ist der Graph von f in x-Richtung weder gestreckt noch verschoben; die Periode ist also 2π und startet bei 0. Somit sind die beiden Wendepunkte bei 0 und π. Die gesuchte Wendestelle im Interval [π,2π[ ist somit bei π.

Jetzt müssen wir die Tangente in diesem Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(\pi \right)+1$

= $3\cdot \left(-1\right)+1$

= $-3+1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left(\pi \right)+\pi$ = $3\cdot 0+\pi$ = $0+\pi$ = $\pi$ ≈ 3.14

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\pi$ = $-2$⋅ $\pi$ + c

$\pi$ = $-2\pi$ + c | + $2\pi$

$3\pi$ = c

also c= $3\pi$ ≈ 9.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $3\pi$ oder y=-2x +9.42