Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 222 Versuchen auch ungefähr 37 (≈$\frac{1}{6}$⋅222) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=222:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.4721 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=249 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 249 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{16}(X\le 6)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{16}(X\le 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{6}{16}$. Mit diesem p wäre ja 6=$\frac{6}{16}$⋅16 der Erwartungswert und somit $P_p^{16}(X\le 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{6}{16}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 16 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{0.3}}$ ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.3⋅73) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
$P_{0.3}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.5674 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.85⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.3521 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9 gilt.