Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ = 1 - $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ oder $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.4⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 73 sein, damit $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{14}(X\le 2)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{14}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{14}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{14}$⋅14 der Erwartungswert und somit $P_p^{14}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{14}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.85⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.5414 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 128 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.25⋅128) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=128:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=154 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 154 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 32)$ ≥ 0.9 gilt.