Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ = 1 - $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ oder $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{0.89}}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.89⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≈ 0.427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\le 11)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.89}^{\mathrm{n}}(X\ge 12)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{25}(X\le 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{25}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{5}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{8}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 8 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{0.82}}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.82⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.82}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.5208 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ oder $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.55}}$ ≈ 49 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.55⋅49) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=49:
$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.4468 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 54 sein, damit $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.8 gilt.