Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.9⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.3916 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{80}(X\le 5)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{80}(X\le 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{5}{80}$. Mit diesem p wäre ja 5=$\frac{5}{80}$⋅80 der Erwartungswert und somit $P_p^{80}(X\le 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{5}{80}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{16}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{26}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 26 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{0.55}}$ ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.55⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
$P_{0.55}^{\mathrm{n}}(X\le 34)$ ≈ 0.5389 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.25⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≈ 0.4617 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=114 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 114 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 24)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 25)$ ≥ 0.8 gilt.