Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ = 1 - $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ oder $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{0.5}}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.5⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.4427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 54 sein, damit $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.5}^{\mathrm{n}}(X\ge 24)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{17}(X\le 2)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{17}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{17}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{17}$⋅17 der Erwartungswert und somit $P_p^{17}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{17}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 13 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 37 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.9⋅37) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.5136 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ = 1 - $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ oder $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.75⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4522 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 42 sein, damit $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.6 gilt.