Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+2x+4$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+2+0$

= $3x^2-6x+2$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+4$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $4$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+2$

= $3\cdot 1-6+2$

= $3-6+2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+4$ = $1-3\cdot 1+2+4$ = $1-3+2+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-1$⋅1 + c

$4$ = $-1$ + c | + $1$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 5.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-x+5$	=	0	| $-5$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $5$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 und $5$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $5$ ⋅ 5 = $\frac{25}{2}$.

1. y-Wert bei x = 2

   Hier müssen wir einfach die 2 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(2) = $-\frac{2}{3}\cdot 2^2+4\cdot 2+2$ = $-\frac{8}{3}+8+2$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33 .

   Nach 2 s beträgt also der Wert 7.33 Liter.

2. x-Wert bei y = $\frac{16}{3}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{16}{3}$ einnimmt:

   $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+2$	=	$\frac{16}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{x}^2+4x+2\right)$	=	$16$
   $-2x^2+12x+6$	=	$16$	| $-16$

   $-2x^2+12x-10$ = 0 |:2

   $-x^2+6x-5$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   x_1,2 =

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($3$| $8$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+2$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x+4+0$

   = $-\frac{4}{3}x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{3}+0$

   = $-\frac{4}{3}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{3}x+4$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{4}{3}x+4\right)$	=	0
   $-4x+12$	=	0	| $-12$
   $-4x$	=	$-12$	|:($-4$)
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   f''($3$) = $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$ <0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($3$) = $-\frac{2}{3}\cdot 3^2+4\cdot 3+2$ = $8$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $8$)

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 2 und f(6) = 2 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($3$| $8$).

   Der größte Wert beträgt somit $8$ Liter.