Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-6x^2+11x-5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-12x+11+0$

= $3x^2-12x+11$

$\text{f''(x)}=$ $6x-12+0$

= $6x-12$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-12$	=	0	| $+12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$:

f'''($2$) = $6+0$= $6$

Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($2$) = $2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-5$ = $1$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $1$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(2)}=$ $3\cdot 2^2-12\cdot 2+11$

= $3\cdot 4-24+11$

= $12-24+11$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-5$ = $8-6\cdot 4+22-5$ = $8-24+22-5$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-1$⋅2 + c

$1$ = $-2$ + c | + $2$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 3.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-x+3$	=	0	| $-3$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 3 = $\frac{9}{2}$.

1. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{7}{4}{x}^2$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$	=	0	|⋅ 4
   $4\left(-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x\right)$	=	0
   $-3x^2+14x$	=	0
   $x\left(-3x+14\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $-3x+14$	=	0	| $-14$
   $-3x$	=	$-14$	|:($-3$)
   x2	=	$\frac{14}{3}$

   Die Lösungen 0, $\frac{14}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $-\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{7}{2}$= $0+\frac{7}{2}$= $\frac{7}{2}$ >0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $-\frac{1}{4}\cdot 0^3+\frac{7}{4}\cdot 0^2$ = 0
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

   
   

   2.: x=$\frac{14}{3}$

   f''($\frac{14}{3}$) = $-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{14}{3}\right)+\frac{7}{2}$= $-7+\frac{7}{2}$= $-\frac{7}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{14}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($\frac{14}{3}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^3+\frac{7}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^2$ = $\frac{343}{27}$ ≈ 12.704
   Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$)

   ≈ H:(4.667|12.704)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{14}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(7) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $\frac{14}{3}$ m ≈ 4.67 m erreicht.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$).

   Der größte Wert beträgt somit $\frac{343}{27}$ m ≈ 12.7 m.

3. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$\frac{7}{3}$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{3}{2}+0$

   = $-\frac{3}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\right)$	=	0
   $-3x+7$	=	0	| $-7$
   $-3x$	=	$-7$	|:($-3$)
   $x$	=	$\frac{7}{3}$

   Die Lösung x= $\frac{7}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f'''($\frac{7}{3}$) = $-\frac{3}{2}$= $-\frac{3}{2}$= $-\frac{3}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{7}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{7}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(7) = -12.25 und f'($\frac{7}{3}$) = 4.08 (Hochpunkt).

   Da f'(0) und f'(7) nicht größer als f'($\frac{7}{3}$) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 2.33.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $\frac{7}{3}$ m ≈ 2.33 m erreicht.

4. Maximaler Steigungswinkel

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Steigung oder dem stärksten Gefälle, also die Extremstellen der Ableitungsfunktion bzw. die x-Werte der Wendepunkte.

   Detail-Rechnung für alle Wendestellen von f einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{7}{4}{x}^2$

   Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$

   
   

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

   
   

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{3}{2}+0$

   = $-\frac{3}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

   (Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

   Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

   $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\right)$	=	0
   $-3x+7$	=	0	| $-7$
   $-3x$	=	$-7$	|:($-3$)
   $x$	=	$\frac{7}{3}$

   Die Lösung x= $\frac{7}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

   Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

   Überprüfung bei x = $\frac{7}{3}$:

   f'''($\frac{7}{3}$) = $-\frac{3}{2}+0$= $-\frac{3}{2}$

   Da f'''($\frac{7}{3}$)≠0, haben wir bei x = $\frac{7}{3}$ einen Wendepunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
   f($\frac{7}{3}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{7}{3}\right)}^3+\frac{7}{4}\cdot {\left(\frac{7}{3}\right)}^2$ = $\frac{343}{54}$
   Man erhält so den Wendepunkt: WP($\frac{7}{3}$| $\frac{343}{54}$)

   Jetzt berechnen wir die extremalen Tangentensteigungswerte in den Wendestellen:

   f'($\frac{7}{3}$) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(\frac{7}{3}\right)}^2+\frac{7}{2}\cdot \left(\frac{7}{3}\right)$ ≈ 4.08
   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Tangentensteigungswerte an den Rändern untersuchen:
   f'(0) = $-\frac{3}{4}\cdot 0^2+\frac{7}{2}\cdot 0$ ≈ 0
   f'(7) = $-\frac{3}{4}\cdot 7^2+\frac{7}{2}\cdot 7$ ≈ -12.25

   Um jetzt die steilste Stelle zu finden, brauchen wir den betragsmäßig größten Ableitungswert, weil es ja egal ist ob hier der Graph steigt oder fällt. Dieser ist bei x = 7 mit f'(7) ≈ -12.25.

   Für den Steigungswinkel gilt hier: tan(α) = |-12.25|, also α = arctan(12.25) ≈ 85.33° .