Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min ist er im Punkt B $(80 | 50 | 90)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 11min?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -30 \\ 50 \end{matrix}) + 11 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 220 \\ 190 \\ 160 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(220 | 190 | 160)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | -150 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-600 | -1050 | 350)$ angelangt.
Wie weit ist die Rakete nach 5s geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -900 \\ 300 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -450 \\ -900 \\ 300 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -150 \\ -150 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -150 \\ -150 \\ 50 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -150 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -900 \\ -1650 \\ 550 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-900 | -1650 | 550)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-150 | -150 | 50)$ nach P $(-900 | -1650 | 550)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -750 \\ -1500 \\ 500 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-750)}^{2} + {(-1500)}^{2} + 500^{2}} = \sqrt{3062500} = 1750$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | -200 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-450 | 850 | 700)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -600 \\ 1050 \\ 600 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -600 \\ 1050 \\ 600 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -200 \\ 350 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-200)}^{2} + 350^{2} + 200^{2}} = \sqrt{202500} = 450$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=450 $\frac{m}{s}$ = 1620 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | -30 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(-50 | -90 | 30)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 230m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -30 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ -30 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -30 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 230m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{220}{20}$ min = 11min lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | -100 | 100)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1260km/h in Richtung des Punktes B $(-1050 | 2300 | 900)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1260000 m}{3600 s}$ = 350 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ 2400 \\ 800 \end{matrix})$ ist $\sqrt{{(-1200)}^{2} + 2400^{2} + 800^{2}} = \sqrt{7840000} = 2800$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 350 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{2800}{350}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-6 | 3 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(-27 | 21 | -18)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 7,92 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -21 \\ 18 \\ -18 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -21 \\ 18 \\ -18 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-21)}^{2} + 18^{2} + {(-18)}^{2}} = \sqrt{1089} = 33$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=33 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 7.92 km braucht es also $\frac{7920}{33}$ min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + 240 \cdot (\begin{matrix} -21 \\ 18 \\ -18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -5046 \\ 4323 \\ -4320 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-5046 | 4323 | -4320)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -4320m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-6 | 1 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(6 | -3 | 0)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -15 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 3min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -30 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -4 \\ -30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -15 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -6 \\ 1 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -15 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 3min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ -2 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -15 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 15 \\ -6 \\ -47 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} -6 \\ 1 \\ 30 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ -15 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -5 \\ -15 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(15 | -6 | -47)

und P₂

(12 | -5 | -15)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 12 - 15 \\ -5 - (-6) \\ -15 - (-47) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 32 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 32 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-3)}^{2} + 1^{2} + 32^{2}}

=

\sqrt{1034}

≈ 32.155870381627

Der Abstand ist also ca. 32.16 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -5 \\ 2 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-63 | 44 | 1,1)$ . Nach 1min ist es im Punkt B $(-54 | 37 | 1,5)$ angelangt.
Wann sind die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?

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Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -63 \\ 44 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ -7 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,4 t + 1,1$	\| $- 0,5$ $- 0,4 t$
$0,1 t$	=	$0,6$	\|: $0,1$
$t$	=	$6$

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 6 + 0,5$ = 3.5 = $0,4 \cdot 6 + 1,1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -48 \\ 23 \\ 0,2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ 0,4 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 4 | 0,7)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(15 | -16 | 1,9)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -20 \\ 1.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ -20 \\ 1.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -48 \\ 23 \\ 0.2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -48 & +8 s & = & 3 & +3 t \\ 23 & -6 s & = & 4 & -5 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 8 s & - 3 t & = & 51 & (I) \\ - 6 s & + 5 t & = & - 19 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & - 3 t & = & 51 & (I) \\ - 6 s & + 5 t & = & - 19 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $3$ ·(I) + $4$ ·(II)

\begin{matrix} 8 s & - 3 t & = & 51 & (I) \\ (24 - 24) s & +(- 9 + 20) t & = & (153 - 76) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 8 s & - 3 t & = & 51 & (I) \\ + 11 t & = & 77 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 11 t & = & 77 \end{matrix}

t = $7$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 8 s & - 3 \cdot (7) & = & 51 \end{matrix}

| +

21

8

s =

72

| : 8

s = $9$

$L = {(9 | 7)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 9min und das Flugzeug F2 nach 7min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 9min bei $(\begin{matrix} -48 \\ 23 \\ 0.2 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -31 \\ 3.8 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 7min bei $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0.7 \end{matrix}) + 7 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ -31 \\ 2.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.8 - 2.8 = 1 km

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 30 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(90 | 170 | 130)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 9min geflogen?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 140 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 70 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 370 \\ 660 \\ 410 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(370 | 660 | 410)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | 30 | 50)$ nach P $(370 | 660 | 410)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 360 \\ 630 \\ 360 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{360^{2} + 630^{2} + 360^{2}} = \sqrt{656100} = 810$ m.

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | 150 | 200)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1080km/h in Richtung des Punktes B $(-50 | -50 | 300)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1080000 m}{3600 s}$ = 300 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 200 \\ -200 \\ 100 \end{matrix})$ ist $\sqrt{200^{2} + {(-200)}^{2} + 100^{2}} = \sqrt{90000} = 300$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{300}{300}$ s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit rückwärts