Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}240\\ 280\\ 240\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}240\\ 280\\ 240\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 10\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 70\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}310\\ 360\\ 310\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(310|360|310\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ 160\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 11 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -10\\ 50\end{array}\right)+11\cdot \left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}850\\ 870\\ 490\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(850|870|490\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|-10|50\right)$ nach P$\left(850|870|490\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}880\\ 880\\ 440\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{880}^2+{880}^2+{440}^2}=\sqrt{1742400}=1320$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-270\\ -180\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$ = 396$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -60\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ -50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 500m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{20}}$min = 24min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-60)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}$s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{60}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 11 km braucht es also $\frac{\mathrm{11000}}{\mathrm{110}}$s = 100s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0\end{array}\right)+100\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9000\\ 6010\\ 2000\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-9000|6010|2000\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2000m.

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-25\\ -10\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-25\\ -10\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}28\\ 2\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}5\\ -8\\ -2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ 13\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}28\\ 2\\ -12\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -4\\ 6\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 24.37 km.

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-147\\ -90\\ 1.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 9+\mathrm{0,6}$ = 4.2 = $\mathrm{0,3}\cdot 9+\mathrm{1,5}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 20\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -22\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1.2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -22\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 2h und der Heißluftballon F2 nach 1h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 2h bei $\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1.2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ 1.4\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 1h bei $\left(\begin{array}{c}10\\ -22\\ 0\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ 0.3\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.4 - 0.3 = 1.1 km

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1050\\ 900\\ 900\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -100\\ 100\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 300\\ 300\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 300m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 100 auf 6400m (also 6300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{6300}}{\mathrm{300}}$s = 21s lang steigen (bzw. sinken).

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ -32\\ 1.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ -32\\ 1.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ 54\\ 1.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -8\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,5}\cdot 6+\mathrm{0,5}$ = 3.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{1,1}$