Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ 80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 50\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ 330\\ 280\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|330|280\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}900\\ 600\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 200\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 200\\ 0\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ 300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4200\\ 2900\\ 900\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4200|2900|900\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(150|200|0\right)$ nach P$\left(4200|2900|900\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}4050\\ 2700\\ 900\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{4050}^2+{2700}^2+{900}^2}=\sqrt{24502500}=4950$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$ = 108$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 20\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 310m (also 280m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{280}}{\mathrm{20}}$min = 14min lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1620000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 450$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1800\\ -1800\\ 900\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{1800}^2+{\mathrm{(-1800)}}^2+{900}^2}=\sqrt{7290000}=2700$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 450$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{2700}}{\mathrm{450}}$s = 6s.
Punkt B wird als nach 6s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-20)}}^2+{20}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$.
Die Geschwindigkeit ist also v=30$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 6.6 km braucht es also $\frac{\mathrm{6600}}{\mathrm{30}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ 50\\ 20\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4450\\ 4450\\ 2220\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-4450|4450|2220\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 2220m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -7\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 21\\ 19\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -7\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 1\\ -8\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}3\\ 21\\ 19\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 18\\ 12\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 26.93 m.

Die Seilbahngondel legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}49\\ 89\\ 0.1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 s sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,7}$ = 2.5 = $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,1}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}15\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}15\\ -25\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-31\\ -80\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 3s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-31\\ -80\\ 1.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ 4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 3s bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.6\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ 1.8\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 1.8 = 2.2 m

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 140m (also 100m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{100}}{\mathrm{10}}$s = 10s lang steigen (bzw. sinken).

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -5\\ -17\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 1\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-63\\ 42\\ 36\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}40\\ -5\\ -17\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 25\\ 23\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 48.03 m.