Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(20 | 0 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2s ist es im Punkt B $(-100 | 120 | 100)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 10s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -120 \\ 120 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -580 \\ 600 \\ 340 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-580 | 600 | 340)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-20 | 40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min ist er im Punkt B $(60 | 200 | 50)$ angelangt.
Wie weit ist der Heißluftballon nach 6min geflogen?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 80 \\ 160 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 80 \\ 160 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -20 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 40 \\ 80 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 220 \\ 520 \\ 90 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(220 | 520 | 90)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(-20 | 40 | 30)$ nach P $(220 | 520 | 90)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} 240 \\ 480 \\ 60 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{240^{2} + 480^{2} + 60^{2}} = \sqrt{291600} = 540$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(150 | 50 | 100)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(1750 | -1550 | 900)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 1600 \\ -1600 \\ 800 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 1600 \\ -1600 \\ 800 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 400 \\ -400 \\ 200 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{400^{2} + {(-400)}^{2} + 200^{2}} = \sqrt{360000} = 600$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=600 $\frac{m}{s}$ = 2160 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-150 | -200 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-1350 | -2000 | 550)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 4550m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ -1800 \\ 400 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ -1800 \\ 400 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -300 \\ -450 \\ 100 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -150 \\ -200 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -300 \\ -450 \\ 100 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 4550m (also 4400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{4400}{100}$ s = 44s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(250 | 100 | 200)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 540km/h in Richtung des Punktes B $(1050 | 900 | 600)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{540000 m}{3600 s}$ = 150 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 800 \\ 800 \\ 400 \end{matrix})$ ist $\sqrt{800^{2} + 800^{2} + 400^{2}} = \sqrt{1440000} = 1200$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 150 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1200}{150}$ s = 8s.
Punkt B wird als nach 8s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(18 | 30 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Da der Wind extrem gleichmäßig ist, fliegt er mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Nach 2min ist er im Punkt B $(66 | 126 | 12)$ angelangt.
Welche Höhe hat der Heißluftballon, wenn er 6,48 km zurückgelegt hat?

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Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 48 \\ 96 \\ 12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 48 \\ 96 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 24 \\ 48 \\ 6 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 18 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 48 \\ 6 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{24^{2} + 48^{2} + 6^{2}} = \sqrt{2916} = 54$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=54 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 6.48 km braucht es also $\frac{6480}{54}$ min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) + 120 \cdot (\begin{matrix} 24 \\ 48 \\ 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2898 \\ 5790 \\ 720 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(2898 | 5790 | 720)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 720m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(27 | -14 | 18)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1min ist er im Punkt B $(24 | -10 | 12)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn).
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 2min von einander entfernt?

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Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 27 \\ -14 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ -10 \end{matrix})$ ; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 27 \\ -14 \\ 18 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 21 \\ -6 \\ 6 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(4 | 0 | -10)

und P₂

(21 | -6 | 6)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 21 - 4 \\ -6 - 0 \\ 6 - (-10) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 17 \\ -6 \\ 16 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 17 \\ -6 \\ 16 \end{matrix}) |

=

\sqrt{17^{2} + {(-6)}^{2} + 16^{2}}

=

\sqrt{581}

≈ 24.103941586388

Der Abstand ist also ca. 24.1 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ 0,8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(27 | 14 | 1,3)$ . Nach 4h ist er im Punkt B $(39 | 54 | 1,7)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 40 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 12 \\ 40 \\ 0.4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 10 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 27 \\ 14 \\ 1.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 10 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,2 t + 0,8$	=	$0,1 t + 1,3$	\| $- 0,8$ $- 0,1 t$
$0,1 t$	=	$0,5$	\|: $0,1$
$t$	=	$5$

nach 5 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,2 \cdot 5 + 0,8$ = 1.8 = $0,1 \cdot 5 + 1,3$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -157 \\ 78 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0,2 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | 6 | 0,9)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-15 | 22 | 1,1)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

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Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 16 \\ 0.2 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -20 \\ 16 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -157 \\ 78 \\ 0.5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0.9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -157 & +9 s & = & 5 & -10 t \\ 78 & +0 s & = & 6 & +8 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 9 s & + 10 t & = & 162 & (I) \\ - 8 t & = & - 72 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & + 10 t & = & 162 & (I) \\ - 8 t & = & - 72 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & + 10 t & = & + 162 & (I) \\ 0 s & - 8 t & = & - 72 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 9 s & + 10 t & = & 162 & (I) \\ - 8 t & = & - 72 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} - 8 t & = & - 72 \end{matrix}

t = $9$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 9 s & + 10 \cdot (9) & = & 162 \end{matrix}

| -

90

9

s =

72

| : 9

s = $8$

$L = {(8 | 9)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 9min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $(\begin{matrix} -157 \\ 78 \\ 0.5 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0.2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -85 \\ 78 \\ 2.1 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 9min bei $(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0.9 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -85 \\ 78 \\ 1.8 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.8 = 0.3 km

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -20 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(100 | -80 | 50)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 12s?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 40 \\ -20 \\ 20 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} 20 \\ -20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 280 \\ -260 \\ 140 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(280 | -260 | 140)$ .

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 15 \\ 13 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(89 | -50 | -31)$ . Nach 4min ist es im Punkt B $(-7 | 14 | 17)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 4min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -96 \\ 64 \\ 48 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -96 \\ 64 \\ 48 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 16 \\ 12 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 89 \\ -50 \\ -31 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 16 \\ 12 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 10 \\ -8 \\ -1 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 15 \\ 13 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -86 \\ 52 \\ 51 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 89 \\ -50 \\ -31 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 16 \\ 12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ 14 \\ 17 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-86 | 52 | 51)

und P₂

(-7 | 14 | 17)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -7 - (-86) \\ 14 - 52 \\ 17 - 51 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 79 \\ -38 \\ -34 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 79 \\ -38 \\ -34 \end{matrix}) |

=

\sqrt{79^{2} + {(-38)}^{2} + {(-34)}^{2}}

=

\sqrt{8841}

≈ 94.026591983332

Der Abstand ist also ca. 94.03 km.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Ort nach t Zeiteinheiten

Abstand zweier Objekte