Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ -1050\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}150\\ 100\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}-200\\ -350\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2250\\ -4100\\ 2450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2250|-4100|2450\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -30\\ 30\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-460\\ -310\\ 310\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-460|-310|310\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|-30|30\right)$ nach P$\left(-460|-310|310\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-490\\ -280\\ 280\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-490)}}^2+{\mathrm{(-280)}}^2+{280}^2}=\sqrt{396900}=630$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-320\\ 320\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-80\\ 80\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-80)}}^2+{80}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$.
Die Geschwindigkeit ist also v=120$\frac{m}{\min }$ = 7.2$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ 120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}30\\ 60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 0 auf 280m (also 280m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{280}}{\mathrm{20}}$s = 14s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}28\\ 56\\ -7\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{28}^2+{56}^2+{\mathrm{(-7)}}^2}=\sqrt{3969}=63$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{63}}{9}$s = 7s.
Punkt B wird als nach 7s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 2 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ 120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{60}^2+{60}^2+{30}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 19.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{19800}}{\mathrm{90}}$s = 220s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}50\\ -50\\ 40\end{array}\right)+220\cdot \left(\begin{array}{c}60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13250\\ 13150\\ 6640\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(13250|13150|6640\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 6640m.

Der Heißluftballon legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 12\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 10\end{array}\right)$; Der Heißluftballon an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 12\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 10\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 9 m.

Das Flugzeug F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -18\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -18\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 80\\ 2.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -9\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 10 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 10+\mathrm{0,6}$ = 4.6 = $\mathrm{0,2}\cdot 10+\mathrm{2,6}$

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ 1.2\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ 1.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 40\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 8s und die Seilbahngondel nach 4s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 8s bei $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 0.9\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 24\\ 2.5\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}8\\ 40\\ 0\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 24\\ 1.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 1.2 = 1.3 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-600\\ 300\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-200\\ -250\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-300\\ 150\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 250 auf 1850m (also 1600m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{1600}}{\mathrm{100}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Die Seilbahngondel legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-14\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-14\\ -4\\ 0.8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -35\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -35\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 7s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 7s bei $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0.5\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -39\\ 4\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}2\\ -35\\ 1.4\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -39\\ 2.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

4 - 2.2 = 1.8 m