Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(30 | -10 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(390 | -250 | 130)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 10s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} 360 \\ -240 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 30 \\ -10 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 30 \\ -10 \\ 50 \end{matrix}) + 10 \cdot (\begin{matrix} 90 \\ -60 \\ 20 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 930 \\ -610 \\ 250 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(930 | -610 | 250)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(0 | -20 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-160 | -340 | 90)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 8s seit seinem Start zurückgelegt?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ -320 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ -320 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 50 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -20 \\ 50 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -40 \\ -80 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -320 \\ -660 \\ 130 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-320 | -660 | 130)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(0 | -20 | 50)$ nach P $(-320 | -660 | 130)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -320 \\ -640 \\ 80 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-320)}^{2} + {(-640)}^{2} + 80^{2}} = \sqrt{518400} = 720$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | 250 | 50)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-550 | -50 | 150)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-450)}^{2} + {(-300)}^{2} + 100^{2}} = \sqrt{302500} = 550$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=550 $\frac{m}{s}$ = 1980 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -50 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-250 | 230 | 270)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 2430m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -240 \\ 280 \\ 240 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -240 \\ 280 \\ 240 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -50 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ 70 \\ 60 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 30 auf 2430m (also 2400m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{2400}{60}$ s = 40s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Leuchtrakete befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-200 | -100 | 50)$ und fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1980km/h in Richtung des Punktes B $(700 | 950 | 950)$ (alle Koordinatenangaben in Meter).
Wann kommt sie im Punkt B an?

Lösung einblenden

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{1980000 m}{3600 s}$ = 550 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 900 \\ 1050 \\ 900 \end{matrix})$ ist $\sqrt{900^{2} + 1050^{2} + 900^{2}} = \sqrt{2722500} = 1650$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 550 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{1650}{550}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-10 | -40 | 20)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(60 | 20 | 80)$ angelangt.
Welche Höhe hat das Flugzeug, wenn es 13,2 km zurückgelegt hat?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -10 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{70^{2} + 60^{2} + 60^{2}} = \sqrt{12100} = 110$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=110 $\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 13.2 km braucht es also $\frac{13200}{110}$ s = 120s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -10 \\ -40 \\ 20 \end{matrix}) + 120 \cdot (\begin{matrix} 70 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8390 \\ 7160 \\ 7220 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(8390 | 7160 | 7220)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 7220m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(15 | 5 | 5)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-3 | 29 | -13)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 5min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -18 \\ 24 \\ -18 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -18 \\ 24 \\ -18 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 15 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 5min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -29 \\ 47 \\ -26 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 15 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -15 \\ 45 \\ -25 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-29 | 47 | -26)

und P₂

(-15 | 45 | -25)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -15 - (-29) \\ 45 - 47 \\ -25 - (-26) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 14 \\ -2 \\ 1 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 14 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) |

=

\sqrt{14^{2} + {(-2)}^{2} + 1^{2}}

=

\sqrt{201}

≈ 14.177446878758

Der Abstand ist also ca. 14.18 km.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 0,5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 0,5 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(53 | 1 | 1,1)$ . Nach 1h ist er im Punkt B $(44 | 3 | 1,4)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

Lösung einblenden

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 2 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 53 \\ 1 \\ 1.1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -9 \\ 2 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,5 t + 0,5$	=	$0,3 t + 1,1$	\| $- 0,5$ $- 0,3 t$
$0,2 t$	=	$0,6$	\|: $0,2$
$t$	=	$3$

nach 3 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,5 \cdot 3 + 0,5$ = 2 = $0,3 \cdot 3 + 1,1$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 0,7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-65 | -38 | 1,3)$ . Nach 3min ist es im Punkt B $(-59 | -14 | 1,6)$ angelangt.
Ein Beobachter steht direkt senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der beiden Flugbahnen. Wie hoch ist an dieser Stelle der Höhenunterschied der beiden Flugbahnen tatsächlich?

Lösung einblenden

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 24 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 6 \\ 24 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -65 \\ -38 \\ 1.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 0.7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -65 \\ -38 \\ 1.3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -1 & -7 s & = & -65 & +2 t \\ 10 & -2 s & = & -38 & +8 t \end{matrix}$

\begin{matrix} - 7 s & - 2 t & = & - 64 & (I) \\ - 2 s & - 8 t & = & - 48 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & - 2 t & = & - 64 & (I) \\ - 2 s & - 8 t & = & - 48 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 7$ ·(II)

\begin{matrix} - 7 s & - 2 t & = & - 64 & (I) \\ (- 14 + 14) s & +(- 4 + 56) t & = & (- 128 + 336) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} - 7 s & - 2 t & = & - 64 & (I) \\ + 52 t & = & 208 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 52 t & = & 208 \end{matrix}

t = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} - 7 s & - 2 \cdot (4) & = & - 64 \end{matrix}

| +

8

- 7

s =

- 56

| :

(-7)

s = $8$

$L = {(8 | 4)}$

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 4min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $(\begin{matrix} -1 \\ 10 \\ 0.7 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -57 \\ -6 \\ 3.1 \end{matrix})$ , während das Flugzeug F2 nach 4min bei $(\begin{matrix} -65 \\ -38 \\ 1.3 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -57 \\ -6 \\ 1.7 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.1 - 1.7 = 1.4 km

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(40 | -30 | 40)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3min ist er im Punkt B $(-230 | 150 | 100)$ angelangt.
Wann hat der Heißluftballon die Höhe von 580m erreicht?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -270 \\ 180 \\ 60 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -270 \\ 180 \\ 60 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 40 \\ -30 \\ 40 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -90 \\ 60 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 580m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{540}{20}$ min = 27min lang steigen (bzw. sinken).

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(9 | -15 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 2min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(45 | 3 | -12)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 5,04 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 2 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 36 \\ 18 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} 36 \\ 18 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{18^{2} + 9^{2} + {(-6)}^{2}} = \sqrt{441} = 21$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=21 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 5.04 km braucht es also $\frac{5040}{21}$ min = 240min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -15 \\ 0 \end{matrix}) + 240 \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4329 \\ 2145 \\ -1440 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(4329 | 2145 | -1440)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1440m.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Höhe nach x Kilometern