Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 3 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -40\\ 40\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 60\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-170\\ 140\\ 130\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-170|140|130\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 100\\ 250\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 100\\ 250\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}450\\ -300\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3800\\ -2300\\ 1050\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3800|-2300|1050\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(200|100|250\right)$ nach P$\left(3800|-2300|1050\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3600\\ -2400\\ 800\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3600}^2+{\mathrm{(-2400)}}^2+{800}^2}=\sqrt{19360000}=4400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}210\\ -120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{70}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 140m (also 120m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{10}}$s = 12s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{324000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 90$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -140\\ 80\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-140)}}^2+{80}^2}=\sqrt{32400}=180$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 90$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{90}}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t s befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 s zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-90)}}^2+{\mathrm{(-60)}}^2+{20}^2}=\sqrt{12100}=110$.
Die Geschwindigkeit ist also v=110$\frac{m}{s}$
Für die Strecke von 22 km braucht es also $\frac{\mathrm{22000}}{\mathrm{110}}$s = 200s
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 30\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}-90\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-18010\\ -12000\\ 4030\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-18010|-12000|4030\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 4030m.

F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ -27\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -2\\ 23\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ -27\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 10\\ -3\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 47.58 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 5\\ 1.4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -9\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{0,8}$ = 2 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,4}$

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-24\\ 21\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 21\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-61\\ -33\\ 0.3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 2s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $\left(\begin{array}{c}-61\\ -33\\ 0.3\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 21\\ 2.1\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 2s bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0.9\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 21\\ 1.1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.1 - 1.1 = 1 m

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}120\\ -240\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 40\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -80\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}190\\ -300\\ 80\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(190|-300|80\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(30|20|40\right)$ nach P$\left(190|-300|80\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -320\\ 40\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{160}^2+{\mathrm{(-320)}}^2+{40}^2}=\sqrt{129600}=360$m.

Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -24\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -24\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 1s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ -4\\ 0.9\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -32\\ 1.3\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 1s bei $\left(\begin{array}{c}-10\\ -24\\ 0.2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -32\\ 0.4\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.3 - 0.4 = 0.9 m