Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ort nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | 40 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-170 | -140 | 120)$ angelangt.
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 12s?

Lösung einblenden

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -180 \\ -180 \\ 90 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ 40 \\ 30 \end{matrix}) + 12 \cdot (\begin{matrix} -60 \\ -60 \\ 30 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -710 \\ -680 \\ 390 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-710 | -680 | 390)$ .

Strecke nach t Zeiteinheiten

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(10 | -20 | 30)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-70 | 60 | 70)$ angelangt.
Welche Strecke hat das Flugzeug nach 8s seit seinem Start zurückgelegt?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -80 \\ 80 \\ 40 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} -20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -150 \\ 140 \\ 110 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-150 | 140 | 110)$ .

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A $(10 | -20 | 30)$ nach P $(-150 | 140 | 110)$ bewegt, also um den Vektor $\vec{AP}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 160 \\ 80 \end{matrix})$ . Dessen Länge ist $\sqrt{{(-160)}^{2} + 160^{2} + 80^{2}} = \sqrt{57600} = 240$ m.

Geschwindigkeit in km/h

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-250 | 200 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 1s ist es im Punkt B $(-700 | -100 | 100)$ angelangt.
Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete in km/h?

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Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -450 \\ -300 \\ 100 \end{matrix})$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge = $\sqrt{{(-450)}^{2} + {(-300)}^{2} + 100^{2}} = \sqrt{302500} = 550$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=550 $\frac{m}{s}$ = 1980 $\frac{km}{h}$

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Eine Rakete startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-100 | -50 | 150)$ (alle Angaben in Meter). Nach 3s ist es im Punkt B $(-1300 | -650 | 300)$ angelangt.
Wann hat die Rakete die Höhe von 1500m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -1200 \\ -600 \\ 150 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} -1200 \\ -600 \\ 150 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -400 \\ -200 \\ 50 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -100 \\ -50 \\ 150 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -400 \\ -200 \\ 50 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 50m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 1500m (also 1350m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{1350}{50}$ s = 27s lang steigen (bzw. sinken).

Geschwindigkeit rückwärts

Beispiel:

Eine Seilbahn fährt zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(5 | -4 | 654)$ in der Bergstation los und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 39,6km/h in Richtung des Punktes B $(26 | -22 | 636)$ (alle Koordinatenangaben in Meter). Ihre Bewegungsbahn soll als geradlinig angenommen werden.
Wann kommt die Seilbahngondel im Punkt B an?

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Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{39600 m}{3600 s}$ = 11 $\frac{m}{s}$ .
Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 21 \\ -18 \\ -18 \end{matrix})$ ist $\sqrt{21^{2} + {(-18)}^{2} + {(-18)}^{2}} = \sqrt{1089} = 33$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 11 $\frac{m}{s}$ . braucht er für diese Strecke $\frac{33}{11}$ s = 3s.
Punkt B wird als nach 3s erreicht.

Höhe nach x Kilometern

Beispiel:

Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(-9 | 9 | 0)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4min geradliniger Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit ist es im Punkt B $(-105 | 105 | -48)$ angelangt.
Wie tief ist das Uboot, wenn es 3,6 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)

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Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -96 \\ 96 \\ -48 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -96 \\ 96 \\ -48 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ zurück.
Die Geradengleichung $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge = $\sqrt{{(-24)}^{2} + 24^{2} + {(-12)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ .
Die Geschwindigkeit ist also v=36 $\frac{m}{\min}$
Für die Strecke von 3.6 km braucht es also $\frac{3600}{36}$ min = 100min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\vec{OP}$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 9 \\ 0 \end{matrix}) + 100 \cdot (\begin{matrix} -24 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2409 \\ 2409 \\ -1200 \end{matrix})$ , also im Punkt P $(-2409 | 2409 | -1200)$ .

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -1200m.

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -27 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(9 | -35 | 61)$ . Nach 3s ist sie im Punkt B $(9 | 13 | -23)$ angelangt. Wie weit sind die Drohne und die Seilbahngondel nach 1s von einander entfernt?

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Die Seilbahngondel legt in 3s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 48 \\ -84 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 48 \\ -84 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 9 \\ -35 \\ 61 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 1s an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} 5 \\ -10 \\ 1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 16 \\ -27 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ -26 \end{matrix})$ ; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 9 \\ -35 \\ 61 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 16 \\ -28 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ -19 \\ 33 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(4 | 6 | -26)

und P₂

(9 | -19 | 33)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 9 - 4 \\ -19 - 6 \\ 33 - (-26) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 5 \\ -25 \\ 59 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 5 \\ -25 \\ 59 \end{matrix}) |

=

\sqrt{5^{2} + {(-25)}^{2} + 59^{2}}

=

\sqrt{4131}

≈ 64.272855856886

Der Abstand ist also ca. 64.27 m.

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Beispiel:

Die Position eines Heißluftballon F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0,9 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 0,3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Stunden seit Beobachtungsbeginn). Ein zweiter Heißluftballon F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(54 | 36 | 0)$ . Nach 2h ist er im Punkt B $(38 | 24 | 0,8)$ angelangt. Bei beiden soll angenommen werden, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn fortbewegen.
Wann sind die beiden Heißluftballone auf gleicher Höhe?

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Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -16 \\ -12 \\ 0.8 \end{matrix})$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -16 \\ -12 \\ 0.8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 54 \\ 36 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -6 \\ 0.4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

$0,3 t + 0,9$	=	$0,4 t + 0$
$0,3 t + 0,9$	=	$0,4 t$	\| $- 0,9$ $- 0,4 t$
$- 0,1 t$	=	$- 0,9$	\|:( $- 0,1$ )
$t$	=	$9$

nach 9 h sind also beide auf gleicher Höhe: $0,3 \cdot 9 + 0,9$ = 3.6 = $0,4 \cdot 9 + 0$

Höhendifferenz der Flugbahnen

Beispiel:

Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(8 | -4 | 0,7)$ . Nach 5s ist sie im Punkt B $(8 | -14 | 2,2)$ angelangt. Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -37 \\ 4 \\ 2,1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 0,1 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in m; t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn).
Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist. Berechne den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.

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Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -10 \\ 1.5 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -10 \\ 1.5 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$(\begin{matrix} -37 \\ 4 \\ 2.1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0.7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{matrix} -37 & +5 s & = & 8 & +0 t \\ 4 & -2 s & = & -4 & -2 t \end{matrix}$

\begin{matrix} 5 s & = & 45 & (I) \\ - 2 s & + 2 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & = & 45 & (I) \\ - 2 s & + 2 t & = & - 8 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) + $5$ ·(II)

\begin{matrix} 5 s & = & 45 & (I) \\ (10 - 10) s & +(0 + 10) t & = & (90 - 40) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 5 s & = & 45 & (I) \\ + 10 t & = & 50 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 10 t & = & 50 \end{matrix}

t = $5$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 5 s & = & 45 \end{matrix}

s = $9$

$L = {(9 | 5)}$

Das heißt also, dass die Drohne nach 9s und die Seilbahngondel nach 5s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 9s bei $(\begin{matrix} -37 \\ 4 \\ 2.1 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 0.1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -14 \\ 3 \end{matrix})$ , während die Seilbahngondel nach 5s bei $(\begin{matrix} 8 \\ -4 \\ 0.7 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0.3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -14 \\ 2.2 \end{matrix})$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3 - 2.2 = 0.8 m

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Beispiel:

Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(50 | 0 | 10)$ (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B $(-110 | 160 | 90)$ angelangt.
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 650m erreicht?

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Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -160 \\ 160 \\ 80 \end{matrix})$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $(\begin{matrix} -160 \\ 160 \\ 80 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 50 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -40 \\ 40 \\ 20 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 650m (also 640m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{640}{20}$ s = 32s lang steigen (bzw. sinken).

Abstand zweier Objekte

Beispiel:

Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -8 \\ -2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ . (alle Koordinaten in km; t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Ein zweites Flugzeug F2 startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A $(3 | 0 | 6)$ . Nach 2min ist es im Punkt B $(-3 | 8 | -2)$ angelangt.
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?

Lösung einblenden

F2 legt in 2min den Vektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -8 \end{matrix})$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ -8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 4min an der Stelle P₁ $(\begin{matrix} -8 \\ -2 \\ 2 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -20 \\ 14 \\ -10 \end{matrix})$ ; F2 an der Stelle P₂ $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -9 \\ 16 \\ -10 \end{matrix})$ .

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(-20 | 14 | -10)

und P₂

(-9 | 16 | -10)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -9 - (-20) \\ 16 - 14 \\ -10 - (-10) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 11 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 11 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) |

=

\sqrt{11^{2} + 2^{2} + 0^{2}}

=

\sqrt{125}

≈ 11.180339887499

Der Abstand ist also ca. 11.18 km.

Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben

Ort nach t Zeiteinheiten

Strecke nach t Zeiteinheiten

Geschwindigkeit in km/h

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Geschwindigkeit rückwärts

Höhe nach x Kilometern

Abstand zweier Objekte

Gleiche Höhe bei 2 Objekten

Höhendifferenz der Flugbahnen

Zeit zu gegebener Höhe gesucht

Abstand zweier Objekte