Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-180\\ 90\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 50\\ 20\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ 30\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-360\\ 230\\ 140\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-360|230|140\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -150\\ 50\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}350\\ 200\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4300\\ 2250\\ 2450\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(4300|2250|2450\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|-150|50\right)$ nach P$\left(4300|2250|2450\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}4200\\ 2400\\ 2400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{4200}^2+{2400}^2+{2400}^2}=\sqrt{29160000}=5400$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-140\\ -80\\ 80\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ -40\\ 40\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-70)}}^2+{\mathrm{(-40)}}^2+{40}^2}=\sqrt{8100}=90$.
Die Geschwindigkeit ist also v=90$\frac{m}{\min }$ = 5.4$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 50\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 10 auf 230m (also 220m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{10}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{32400\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 9$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 14\\ -8\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+{14}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{324}=18$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 9$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{18}}{9}$s = 2s.
Punkt B wird als nach 2s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{21}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{729}=27$.
Die Geschwindigkeit ist also v=27$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.62 km braucht es also $\frac{\mathrm{1620}}{\mathrm{27}}$min = 60min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 0\end{array}\right)+60\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1251\\ -717\\ -720\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1251|-717|-720\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -720m.

F2 legt in 2min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 11\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 3min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -17\\ 25\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 11\\ -4\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 20\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 11.22 km.

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}18\\ -17\\ 1.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{1,2}$

Der Heißluftballon F2 legt in 2h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -31\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -31\\ 0.5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 6h und der Heißluftballon F2 nach 5h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 6h bei $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 0.8\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-55\\ -26\\ 2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 5h bei $\left(\begin{array}{c}-60\\ -31\\ 0.5\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-55\\ -26\\ 2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2 - 2 = 0 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 5 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ 150\\ 200\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ -200\\ 100\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1100\\ -850\\ 700\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1100|-850|700\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(100|150|200\right)$ nach P$\left(1100|-850|700\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}1000\\ -1000\\ 500\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{1000}^2+{\mathrm{(-1000)}}^2+{500}^2}=\sqrt{2250000}=1500$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-84\\ -72\\ -72\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-84\\ -72\\ -72\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-21)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 3.96 km braucht es also $\frac{\mathrm{3960}}{\mathrm{33}}$min = 120min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 0\end{array}\right)+120\cdot \left(\begin{array}{c}-21\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2520\\ -2145\\ -2160\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-2520|-2145|-2160\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -2160m.