Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{2}$ und a₄ = $\frac{81}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c·1$
II: $\frac{81}{2}$ = $c·a^4$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{81}{2}$ = $\frac{1}{2}{a}^4$

$\frac{1}{2}{a}^4$	=	$\frac{81}{2}$	|⋅$2$
$a^4$	=	$81$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{81}$	= $-3$
a2	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{2}\cdot 3^n$

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $-\frac{128}{3}$ und a₆ = $-\frac{8192}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c·a^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{128}{3}$ = $c·a^3$
II: $-\frac{8192}{3}$ = $c·a^6$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-\frac{128}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{8192}{3}$ = $-\frac{128}{3a^3}·a^6$

also

II: $-\frac{8192}{3}$ = $-\frac{128}{3}{a}^3$

$-\frac{128}{3}{a}^3$	=	$-\frac{8192}{3}$	|⋅ $\left(-\frac{3}{128}\right)$
$a^3$	=	$64$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{128}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^3}$ = c

mit a=$4$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $-\frac{2}{3}\cdot 4^n$