Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{2} + 10 x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + 4 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + 4 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 16 x^{3}$

f'(2) = $5 \cdot 2^{4} + 16 \cdot 2^{3}$ = $5 \cdot 16 + 16 \cdot 8$ = $80 + 128$ = $208$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{2} + 5}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{x^{2} + 5}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

= $1 + \frac{5}{x^{2}}$

= $1 + 5 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot (- 7 x^{3}) - 6 + 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot (- 7 x^{3}) - 6 + 5 x^{5}$

= $- 7 x^{4} + 42 x^{3} - 6 + 5 x^{5}$

= $5 x^{5} - 7 x^{4} + 42 x^{3} - 6$

$f'(x) =$ $25 x^{4} - 28 x^{3} + 126 x^{2}$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- t x^{4} + \frac{3}{2} x - 2 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t x^{4} + \frac{3}{2} x - 2 t^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 t x^{3} + \frac{3}{2} + 0$

= $- 4 t x^{3} + \frac{3}{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 7$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 7$ = 2.

$x^{2} - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 7$ = $2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 7$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 5$ = 2.

x^{2} + 4 x + 5

=

2

|

- 2

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 5$ = $2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 5$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 6 (x + 4)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $4 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x + 3) - 6 (x + 4)$

= $4 x + (\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}) + (- 6 x - 24)$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + (- 6 x - 24) + 4 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2 x - 24$

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2 x - 24$

$f'(x) =$ $x^{2} + 2 x - 2 + 0$

= $x^{2} + 2 x - 2$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 2 x - 2 + 0$ = -3.

x^{2} + 2 x - 2

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 3 x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert 5?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 - 3$
= $2 t - 3$

Dieser Wert soll ja den Wert 5 besitzen, also gilt:

$2 t - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$2 t$	=	$8$	\|: $2$
$t$	=	$4$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter