Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{15} x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{15} x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{4} - \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x - 4$

f'(-1) = $- 4 \cdot (- 1) - 4$ = $4 - 4$ = 0

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{2}}$

= $\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}$

= $3 + \frac{2}{x^{2}}$

= $3 + 2 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $- 4 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot 6 x^{3} + x^{3} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot 6 x^{3} + x^{3} + 7 x$

= $6 x^{4} - 42 x^{3} + x^{3} + 7 x$

= $6 x^{4} - 41 x^{3} + 7 x$

$f'(x) =$ $24 x^{3} - 123 x^{2} + 7$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} - 2 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} - 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $x^{3} - 15 x^{2} - 4 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x$ den Wert -3 hat, also dass f '(x) = -3 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} + 4 x + 1$ = -3.

x^{2} + 4 x + 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 1$ = $- 3$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 7 x$ parallel zur Geraden y = $x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x - 1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 7 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 7$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 7$ = 1.

x^{2} - 2 x - 7

=

1

|

- 1

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 7$ = $1$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 2 \cdot 4 - 7$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 9) - x + 12 (x + 1)$ parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 9) - x + 12 (x + 1)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - x + (12 x + 12)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + (12 x + 12) - x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 11 x + 12$

Die Gerade y = $3 x + 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 11 x + 12$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 x + 11 + 0$

= $x^{2} - 6 x + 11$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - 6 x + 11 + 0$ = 3.

x^{2} - 6 x + 11

=

3

|

- 3

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 6 \cdot 2 + 11 + 0$ = $3$

f '( $4$ ) = $4^{2} - 6 \cdot 4 + 11 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{5} + x^{2}$ im Punkt (2|f(2)) den Wert -76?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{5} + x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 t x^{4} + 2 x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 t \cdot 2^{4} + 2 \cdot 2$
= $80 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert -76 besitzen, also gilt:

$80 t + 4$	=	$- 76$	\| $- 4$
$80 t$	=	$- 80$	\|: $80$
$t$	=	$- 1$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter