$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{8}{x}^4-3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+0$

= $\frac{1}{2}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

f'(0) = $-4\cdot 0$ = 0

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4x\right)·x^3$

= $x^2·x^3-4x·x^3$

= $x^5-4x^4$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $5x^4-16x^3$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·\left(-5x^3\right)+3x^3$

= $-5x^4-25x^3+3x^3$

= $-5x^4-22x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3-66x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{15}{t}^2{x}^5-5x^4-x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{t}^2{x}^4-20x^3-3x^2$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-x-4$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^2-x-4$ = -2.

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-4$ = $-2$

f '( $2$) = $2^2-2-4$ = $-2$

Die Gerade y = $x-2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+2x-2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2+2x-2$ = 1.

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)-2$ = $1$

f '( $1$) = $1^2+2\cdot 1-2$ = $1$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-6\left(x+5\right)+\frac{1}{6}{x}^2·\left(2x-9\right)+1$

= $-6x-30+\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right)+1$

= $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+\left(-6x-30\right)+1$

= $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x-29$

Die Gerade y = $-2x-1$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x-29$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-3x-6+0$

= $x^2-3x-6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^2-3x-6+0$ = -2.

$x^2-3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-6+0$ = $-2$

f '( $4$) = $4^2-3\cdot 4-6+0$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^2+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2tx+5$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2t\cdot \left(-2\right)+5$
= $-4t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert -15 besitzen, also gilt: