Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} - \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $15 x^{4} - x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 2 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 2 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 6 x^{2}$

f'(-1) = $- 20 \cdot {(- 1)}^{3} + 6 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 20 \cdot (- 1) + 6 \cdot 1$ = $20 + 6$ = $26$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- x^{3} + 5 x}{x}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- x^{3} + 5 x}{x}$

= $\frac{- x^{3}}{x} + \frac{5 x}{x}$

= $- x^{2} + 5$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 2 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + (x + 2) \cdot (- 7 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- 4 x^{2} + (x + 2) \cdot (- 7 x + 5)$

= $- 4 x^{2} + (- 7 x^{2} - 9 x + 10)$

= $- 11 x^{2} - 9 x + 10$

$f'(x) =$ $- 22 x - 9$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} t^{2} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} t^{2} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - 2$

$f'(x) =$ $- t^{2} x^{2} - \frac{2}{3} x + 0$

= $- t^{2} x^{2} - \frac{2}{3} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 1$ = 2.

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 + 1$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x$ parallel zur Geraden y = $- 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 4$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 4$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 4$ = 0.

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 4$ = 0

f '( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 4$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) - 2 x + 6 (x - 6)$ parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) - 2 x + 6 (x - 6)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x + (6 x - 36)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (6 x - 36) - 2 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 36$

Die Gerade y = $3 x + 1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 36$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x + 4 + 0$

= $x^{2} - 2 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x + 4 + 0$ = 3.

x^{2} - 2 x + 4

=

3

|

- 3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} + x$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 11?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $2 t x + 1$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot (- 1) + 1$
= $- 2 t + 1$

Dieser Wert soll ja den Wert 11 besitzen, also gilt:

$- 2 t + 1$	=	$11$	\| $- 1$
$- 2 t$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$- 5$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter