$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+5$

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+0$

= $-x^2$

$\text{f(x)}=$ $5x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $5+0$

= $5$

f'(-1) = $5$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\frac{5x^3-2x}{x^2}$

= $\frac{5x^3}{x^2}+\frac{-2x}{x^2}$

= $5x-\frac{2}{x}$

= $5x-2x^{-1}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $5+2x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5+\frac{2}{x^2}$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(-7x^3\right)-3-7x^5$

= $-7x^4-14x^3-3-7x^5$

= $-7x^5-7x^4-14x^3-3$

$\text{f'(x)}=$ $-35x^4-28x^3-42x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{t}^2{x}^4+x^3-5t$

$\text{f'(x)}=$ $-t^2{x}^3+3x^2+0$

= $-t^2{x}^3+3x^2$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{7}{2}{x}^2+12x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-7x+12$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^2-7x+12$ = 0.

$x^2-7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$) = $3^2-7\cdot 3+12$ = 0

f '( $4$) = $4^2-7\cdot 4+12$ = 0

Die Gerade y = $3x-3$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-6x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2-6$ = 3.

L={ $-3$; $3$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2-6$ = $3$

f '( $3$) = $3^2-6$ = $3$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $3+\frac{1}{2}x·\left(x+2\right)$

= $3+\left(\frac{1}{2}{x}^2+x\right)$

= $\frac{1}{2}{x}^2+x+3$

= $\frac{1}{2}{x}^2+x+3$

Die Gerade y = $2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x+3$

$\text{f'(x)}=$ $x+1+0$

= $x+1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x+1+0$ = 0.

L={ $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = $-1+1+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x+t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 1+t$
= $8+t$

Dieser Wert soll ja den Wert 7 besitzen, also gilt: