Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 8 x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $15 x^{2} - 2$

f'(1) = $15 \cdot 1^{2} - 2$ = $15 \cdot 1 - 2$ = $15 - 2$ = $13$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4 x^{4} - 4}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{4 x^{4} - 4}{x^{2}}$

= $\frac{4 x^{4}}{x^{2}} + \frac{- 4}{x^{2}}$

= $4 x^{2} - \frac{4}{x^{2}}$

= $4 x^{2} - 4 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $8 x + 8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $8 x + \frac{8}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 8 x + (x + 4) \cdot (- 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- x^{2} - 8 x + (x + 4) \cdot (- 5 x^{2})$

= $- x^{2} - 8 x + (- 5 x^{3} - 20 x^{2})$

= $- 5 x^{3} - x^{2} - 20 x^{2} - 8 x$

= $- 5 x^{3} - 21 x^{2} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - 42 x - 8$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 t^{2} x^{5} + 2 x^{4} - \frac{2}{3} t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{5} + 2 x^{4} - \frac{2}{3} t^{2} x$

$f'(x) =$ $15 t^{2} x^{4} + 8 x^{3} - \frac{2}{3} t^{2}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 8 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 8 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 8$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 8$ = -2.

x^{2} - x - 8

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 8$ = $- 2$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 8$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ parallel zur Geraden y = $2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x + 2$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x + 2$ = 0.

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- 2 + 2$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3) - 8 (x - 2) + 5 x$ parallel zur Geraden y = $3 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 3) - 8 (x - 2) + 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + (- 8 x + 16) + 5 x$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 16$

Die Gerade y = $3 x - 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 16$

$f'(x) =$ $x^{2} - x - 3 + 0$

= $x^{2} - x - 3$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^{2} - x - 3 + 0$ = 3.

x^{2} - x - 3

=

3

|

- 3

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 3 + 0$ = $3$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 3 - 3 + 0$ = $3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} + 4 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert 20?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} + 4 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x + 4$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot (- 2) + 4$
= $- 4 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert 20 besitzen, also gilt:

$- 4 t + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$- 4 t$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$- 4$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter