$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3-3$

$\text{f(x)}=$ $-x^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

f'(1) = $-2\cdot 1$ = $-2$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-1\right)·x$

= $3x^2·x-1·x$

= $3x^3-x$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-1$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·\left(-4x+5\right)-7x^3-2x$

= $-4x^2+33x-35-7x^3-2x$

= $-7x^3-4x^2+33x-2x-35$

= $-7x^3-4x^2+31x-35$

$\text{f'(x)}=$ $-21x^2-8x+31$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3+5t^2$

$\text{f'(x)}=$ $4x^2+0$

= $4x^2$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-3x+3$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2-3x+3$ = 1.

$x^2-3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$) = $1^2-3\cdot 1+3$ = $1$

f '( $2$) = $2^2-3\cdot 2+3$ = $1$

Die Gerade y = $-2x+2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-6x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+3x-6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^2+3x-6$ = -2.

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = ${\left(-4\right)}^2+3\cdot \left(-4\right)-6$ = $-2$

f '( $1$) = $1^2+3\cdot 1-6$ = $-2$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $-2x+\frac{1}{3}{x}^2·\left(x+6\right)+8\left(x-4\right)$

= $-2x+\left(\frac{1}{3}{x}^3+2x^2\right)+\left(8x-32\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+\left(8x-32\right)-2x$

= $\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+6x-32$

Die Gerade y = $3x-2$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $-2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+6x-32$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+4x+6+0$

= $x^2+4x+6$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2+4x+6+0$ = 3.

$x^2+4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)+6+0$ = $3$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)+6+0$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $4x^5+t{x}^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4+4t{x}^3$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $20\cdot {\left(-1\right)}^4+4t\cdot {\left(-1\right)}^3$
= $20-4t$

Dieser Wert soll ja den Wert 28 besitzen, also gilt: