$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3+2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $\frac{1}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $1+0$

= $1$

f'(3) = $1$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+4\right)·x$

= $-x^2·x+4·x$

= $-x^3+4x$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+4$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $x^2-4+\left(x+5\right)·\left(-x\right)$

= $x^2-4+\left(-x^2-5x\right)$

= $x^2-x^2-5x-4$

= $-5x-4$

$\text{f'(x)}=$ $-5$

$\text{f(x)}=$ $4t{x}^5+\frac{1}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $20t{x}^4+\frac{2}{3}x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-3x-1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^2-3x-1$ = -3.

$x^2-3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$) = $1^2-3\cdot 1-1$ = $-3$

f '( $2$) = $2^2-3\cdot 2-1$ = $-3$

Die Gerade y = $-3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+2x+1$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^2+2x+1$ = 0.

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+1$ = 0

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6}{x}^2·\left(2x+3\right)+3\left(x+4\right)-2x$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+\left(3x+12\right)-2x$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+12$

Die Gerade y = $3x+1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+12$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+x+1+0$

= $x^2+x+1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2+x+1+0$ = 3.

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2-2+1+0$ = $3$

f '( $1$) = $1^2+1+1+0$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $5x^4+t{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+3t{x}^2$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $20\cdot {\left(-2\right)}^3+3t\cdot {\left(-2\right)}^2$
= $-160+12t$

Dieser Wert soll ja den Wert -136 besitzen, also gilt: