$\text{f(x)}=$ $-x^3-3$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-2$

f'(1) = $-6\cdot 1^2-2$ = $-6\cdot 1-2$ = $-6-2$ = $-8$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3+x^2\right)·x$

= $-2x^3·x+x^2·x$

= $-2x^4+x^3$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+3x^2$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $-7x^3+\left(x-1\right)·\left(-2x+7\right)$

= $-7x^3+\left(-2x^2+9x-7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-21x^2-4x+9$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}t{x}^3-t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2t{x}^2-2tx$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+3x+1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^2+3x+1$ = -1.

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+1$ = $-1$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+1$ = $-1$

Die Gerade y = $x+2$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x$

$\text{f'(x)}=$ $x-1$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x-1$ = 1.

L={ $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2-1$ = $1$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3}{x}^2·\left(x+9\right)+x+5\left(x-4\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+x+\left(5x-20\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+\left(5x-20\right)+x$

= $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+6x-20$

Die Gerade y = $-3x+1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+6x-20$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+6x+6+0$

= $x^2+6x+6$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^2+6x+6+0$ = -3.

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$}

$-3$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+6+0$ = $-3$

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+t{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+3t{x}^2$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 2^3+3t\cdot 2^2$
= $-96+12t$

Dieser Wert soll ja den Wert -72 besitzen, also gilt: