$\text{f(x)}=$ $x^5+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^2}-2x$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-2}-2x$

=> f'(x) = $x^{-3}-2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3}-2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}+4x^5$

= $x^{\frac{1}{2}}+4x^5$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+20x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}+20x^4$

Die Gerade y = $-3x+1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =-3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4-6x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-6x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}-6$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}-6$ = -3.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $27$

Also -3 = -3

x = $27$ ist somit eine Lösung !

L={ $27$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $27$) = $\sqrt[3]{27}-6$ = $-3$