$\text{f(x)}=$ $x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x}-1$

= $\frac{3}{2}{x}^{-1}-1$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-2}+0$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^2}+0$

= $-\frac{3}{2x^2}$

$\text{f(x)}=$ $3x^5+3\sqrt{x}$

= $3x^5+3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $15x^4+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $4x-1$ hat als Steigung m = 4 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-8$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-8$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}+0$

= $\sqrt{x}$

Diese Ableitung muss ja = 4 sein, also setzen wir $\sqrt{x}+0$ = 4.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also 4 = 4

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}+0$ = $4$