$\text{f(x)}=$ $x^5+x^4+x^2+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+4x^3+2x+0$

= $5x^4+4x^3+2x$

$\text{f(x)}=$ $5+\frac{5}{x^3}$

= $5+5x^{-3}$

=> f'(x) = $0-15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $0-\frac{15}{x^4}$

= $-\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt[4]{x}$

= $3x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

Die Gerade y = $9x-3$ hat als Steigung m = 9 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =9 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4+5x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+5x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}+5$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}+5$

Diese Ableitung muss ja = 9 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}+5$ = 9.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Also 9 = 9

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$) = $\sqrt[3]{64}+5$ = $9$