Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-2)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $-{\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-\left(-8\right)-2\cdot 4+2$ = 2 und
f(1) = $-1^3-2\cdot 1^2+2$ = $-1-2\cdot 1+2$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3}}{3}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 2

f($3.5$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $1.5$

f($3.5$) +1 = $3$ |-1

f($3.5$) = 2

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-2x^2-2-\left(-2\cdot 1^2-2\right)}{x-1}$

= $\frac{-2x^2-2+2\cdot 1^2+2}{x-1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-2\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-2\left(x+1\right)$ = $-2\left(1+1\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2-2-\left(-2\cdot 1^2-2\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2-2+2\cdot 1^2+2}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h}{h}$

= $\frac{-2h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+2\right)$ = $-2\left(0+2\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{{\left(-2\right)}^2}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2}}{x+2}$ = $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{{\left(-1.9\right)}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.54017

x = -1.99: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{{\left(-1.99\right)}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.50378

x = -1.999: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{{\left(-1.999\right)}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.50038

x = -1.9999: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{{\left(-1.9999\right)}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.50004

x = -1.99999: $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{{\left(-1.99999\right)}^2}}{0.00001}$ ≈ -0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}}{x+2}$ ≈ -0.5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-3-\left(-5u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-3+5u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{4}{x}-4-\left(-\frac{4}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{4}{x}-4+\frac{4}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{4}{x}+\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4u}{x·u}+\frac{4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4u+4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4x-4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{4}{xu}$ = $\frac{4}{u·u}$ = $\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{4}{x^2}$.