Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^2+5$ = $-0+5$ = 5 und
f(3) = $-3^2+5$ = $-9+5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 30

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $15$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 15

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2-3-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2-3\right)}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $3\left(x-2\right)$ = $3\left(-2-2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2-3-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2-3\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2-3-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3}{h}$

= $\frac{3{\left(h-2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h}{h}$

= $\frac{3h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-4\right)$ = $3\left(0-4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1^2}}{x-1}$ = $\frac{\frac{1}{x^2}-1}{x-1}$ = $\frac{-1+\frac{1}{x^2}}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-1+\frac{1}{{1.1}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -1.73554

x = 1.01: $\frac{-1+\frac{1}{{1.01}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -1.9704

x = 1.001: $\frac{-1+\frac{1}{{1.001}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -1.997

x = 1.0001: $\frac{-1+\frac{1}{{1.0001}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -1.9997

x = 1.00001: $\frac{-1+\frac{1}{{1.00001}^2}}{0.00001}$ ≈ -1.99997

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-1+\frac{1}{x^2}}{x-1}$ ≈ -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+5-\left(-2u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+5+2u^2-5}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+5x-\left(u^2+5u\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+5x-u^2-5u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+5x-5u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)+5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $1·(x+u)+5$ = $1·(u+u)+5$ = $2u+5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u+5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x+5$.