Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = -4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-4)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $-{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+1$ = $-4+2+1$ = -1 und
f(0) = $-0^2-0+1$ = $-0+0+1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 3

f($-0.5$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $1.5$

f($-0.5$) +1 = $4.5$ |-1

f($-0.5$) = 3.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-2x^2+5-\left(-2\cdot 1^2+5\right)}{x-1}$

= $\frac{-2x^2+5+2\cdot 1^2-5}{x-1}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-2\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-2\left(x+1\right)$ = $-2\left(1+1\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2+5-\left(-2\cdot 1^2+5\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(1+h\right)}^2+5+2\cdot 1^2-5}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+1\right)}^2+2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+2h+1\right)+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h-2+2}{h}$

= $\frac{-2h^2-4h}{h}$

= $\frac{-2h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+2\right)$ = $-2\left(0+2\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{3x^3+2x-\left(3\cdot 1^3+2\cdot 1\right)}{x-1}$ = $\frac{3x^3+2x-3-2}{x-1}$ = $\frac{3x^3+2x-5}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3\cdot {1.1}^3+2\cdot 1.1-5}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 11.93

x = 1.01: $\frac{3\cdot {1.01}^3+2\cdot 1.01-5}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 11.0903

x = 1.001: $\frac{3\cdot {1.001}^3+2\cdot 1.001-5}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 11.009

x = 1.0001: $\frac{3\cdot {1.0001}^3+2\cdot 1.0001-5}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 11.0009

x = 1.00001: $\frac{3\cdot {1.00001}^3+2\cdot 1.00001-5}{0.00001}$ ≈ 11.00009

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{3x^3+2x-5}{x-1}$ ≈ 11

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2+5-\left(-3u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+5+3u^2-5}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+5-\left(-\frac{1}{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+5+\frac{1}{u}-5}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+\frac{1}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u}{x·u}+\frac{x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u+x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{x-u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{x-u}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{1}{xu}$ = $\frac{1}{u·u}$ = $\frac{1}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{x^2}$.