Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -5 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-5) = $3\sqrt{-5+5}-4$ = $3\sqrt{0}-4$ = -4 und
f(-1) = $3\sqrt{-1+5}-4$ = $3\sqrt{4}-4$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-5)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 2

f($0.5$) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $0.5$

f($0.5$) -1 = $1$ |+1

f($0.5$) = 2

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-2x^2+5-\left(-2\cdot 2^2+5\right)}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+5+2\cdot 2^2-5}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-2\left(x+2\right)$ = $-2\left(2+2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+5-\left(-2\cdot 2^2+5\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+5+2\cdot 2^2-5}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h}{h}$

= $\frac{-2h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+4\right)$ = $-2\left(0+4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-x^3+4x^2-\left(-{\left(-2\right)}^3+4\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{-x^3+4x^2-8-16}{x+2}$ = $\frac{-x^3+4x^2-24}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-{\left(-1.9\right)}^3+4\cdot {\left(-1.9\right)}^2-24}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -27.01

x = -1.99: $\frac{-{\left(-1.99\right)}^3+4\cdot {\left(-1.99\right)}^2-24}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -27.9001

x = -1.999: $\frac{-{\left(-1.999\right)}^3+4\cdot {\left(-1.999\right)}^2-24}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -27.99

x = -1.9999: $\frac{-{\left(-1.9999\right)}^3+4\cdot {\left(-1.9999\right)}^2-24}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -27.999

x = -1.99999: $\frac{-{\left(-1.99999\right)}^3+4\cdot {\left(-1.99999\right)}^2-24}{0.00001}$ ≈ -27.9999

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-x^3+4x^2-24}{x+2}$ ≈ -28

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-3-\left(-4u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-3+4u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-2x-\left(2u^2-2u\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2x-2u^2+2u}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2-2x+2u}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)-2\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2·(x+u)-2$ = $2·(u+u)-2$ = $4u-2$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u-2$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x-2$.