Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-4}}{2}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $2\sqrt{-1+1}-3$ = $2\sqrt{0}-3$ = -3 und
f(3) = $2\sqrt{3+1}-3$ = $2\sqrt{4}-3$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 4

f($2.5$) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $0.5$

f($2.5$) -5 = $2$ |+5

f($2.5$) = 7

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+1-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+1+3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-3\left(x-2\right)$ = $-3\left(-2-2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+1-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+1+3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+4\right)$ = $3\left(-0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{3x^3-5x^2-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^3-5\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{3x^3-5x^2+24+20}{x+2}$ = $\frac{3x^3-5x^2+44}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{3\cdot {\left(-1.9\right)}^3-5\cdot {\left(-1.9\right)}^2+44}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 53.73

x = -1.99: $\frac{3\cdot {\left(-1.99\right)}^3-5\cdot {\left(-1.99\right)}^2+44}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 55.7703

x = -1.999: $\frac{3\cdot {\left(-1.999\right)}^3-5\cdot {\left(-1.999\right)}^2+44}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 55.977

x = -1.9999: $\frac{3\cdot {\left(-1.9999\right)}^3-5\cdot {\left(-1.9999\right)}^2+44}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 55.9977

x = -1.99999: $\frac{3\cdot {\left(-1.99999\right)}^3-5\cdot {\left(-1.99999\right)}^2+44}{0.00001}$ ≈ 55.99977

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{3x^3-5x^2+44}{x+2}$ ≈ 56

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-4-\left(-5u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-4+5u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+4-\left(-\frac{5}{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+4+\frac{5}{u}-4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+\frac{5}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u}{x·u}+\frac{5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u+5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5x-5u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{5(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{5}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{5}{xu}$ = $\frac{5}{u·u}$ = $\frac{5}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{5}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{5}{x^2}$.