Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $2\sqrt{-3+3}-5$ = $2\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-2) = $2\sqrt{-2+3}-5$ = $2\sqrt{1}-5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-2)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 5

f($2.5$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $0.5$

f($2.5$) -0 = $2.5$ |+0

f($2.5$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1\right)}{x+2}$

= $\frac{-2x^2-1+2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-2\left(x-2\right)$ = $-2\left(-2-2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-1+2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+4\right)$ = $2\left(-0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{4}}{x-4}$ = $\frac{3\sqrt{x}-6}{x-4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{3\sqrt{4.1}-6}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.74537

x = 4.01: $\frac{3\sqrt{4.01}-6}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.74953

x = 4.001: $\frac{3\sqrt{4.001}-6}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.74995

x = 4.0001: $\frac{3\sqrt{4.0001}-6}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.75

x = 4.00001: $\frac{3\sqrt{4.00001}-6}{0.00001}$ ≈ 0.75

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(4)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>4</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 4}}{\lim }$ $\frac{3\sqrt{x}-6}{x-4}$ ≈ 0.75

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2-5-\left(5u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5-5u^2+5}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5(x+u)$ = $5·(u+u)$ = $10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-4-\left(u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-4-u^2+4}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.