Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(1)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{7}{1}$

= $7$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+4$ = $-0+4$ = 4 und
f(2) = $-2^3+4$ = $-8+4$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-8}}{2}$

= $-4$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 1

f($2.5$) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>4</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $2.5$

f($2.5$) -4 = $2.5$ |+4

f($2.5$) = 6.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2+2-\left({\left(-1\right)}^2+2\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2+2-{\left(-1\right)}^2-2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+2-\left({\left(-1\right)}^2+2\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+2-{\left(-1\right)}^2-2}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-3x^3-3x^2-\left(-3\cdot 1^3-3\cdot 1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{-3x^3-3x^2+3+3}{x-1}$ = $\frac{-3x^3-3x^2+6}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-3\cdot {1.1}^3-3\cdot {1.1}^2+6}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -16.23

x = 1.01: $\frac{-3\cdot {1.01}^3-3\cdot {1.01}^2+6}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -15.1203

x = 1.001: $\frac{-3\cdot {1.001}^3-3\cdot {1.001}^2+6}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -15.012

x = 1.0001: $\frac{-3\cdot {1.0001}^3-3\cdot {1.0001}^2+6}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -15.0012

x = 1.00001: $\frac{-3\cdot {1.00001}^3-3\cdot {1.00001}^2+6}{0.00001}$ ≈ -15.00012

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-3x^3-3x^2+6}{x-1}$ ≈ -15

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-x^2-3-\left(-u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-x^2-3+u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-x^2+u^2}{x-u}$

= $\frac{-\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-(x+u)$ = $-1·(u+u)$ = $-2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+1-\left(-2u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+1+2u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.