Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^3-5$ = $1-5$ = -4 und
f(2) = $2^3-5$ = $8-5$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(1)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{7}{1}$

= $7$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 3

f($3.5$) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $1.5$

f($3.5$) +2 = $4.5$ |-2

f($3.5$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2-3-\left(-{\left(-1\right)}^2-3\right)}{x+1}$

= $\frac{-x^2-3+{\left(-1\right)}^2+3}{x+1}$

= $\frac{-x^2+{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-\left(x-1\right)$ = $-\left(-1-1\right)$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-3-\left(-{\left(-1\right)}^2-3\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-3+{\left(-1\right)}^2+3}{h}$

= $\frac{-{\left(h-1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h}{h}$

= $\frac{h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+2$ = $-0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{2x^4+3x-\left(2\cdot {\left(-1\right)}^4+3\cdot \left(-1\right)\right)}{x+1}$ = $\frac{2x^4+3x-2+3}{x+1}$ = $\frac{2x^4+3x+1}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{2\cdot {\left(-0.9\right)}^4+3\cdot \left(-0.9\right)+1}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -3.878

x = -0.99: $\frac{2\cdot {\left(-0.99\right)}^4+3\cdot \left(-0.99\right)+1}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -4.8808

x = -0.999: $\frac{2\cdot {\left(-0.999\right)}^4+3\cdot \left(-0.999\right)+1}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -4.98801

x = -0.9999: $\frac{2\cdot {\left(-0.9999\right)}^4+3\cdot \left(-0.9999\right)+1}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -4.9988

x = -0.99999: $\frac{2\cdot {\left(-0.99999\right)}^4+3\cdot \left(-0.99999\right)+1}{0.00001}$ ≈ -4.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{2x^4+3x+1}{x+1}$ ≈ -5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+1-\left(u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+1-u^2-1}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+4x-\left(-5u^2+4u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+4x+5u^2-4u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2+4x-4u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)+4\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)+4$ = $-5·(u+u)+4$ = $-10u+4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u+4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x+4$.