Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{4}{1}$

= $4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+2\cdot 0^2+5$ = $-0+2\cdot 0+5$ = 5 und
f(3) = $-3^3+2\cdot 3^2+5$ = $-27+2\cdot 9+5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 2

f($4.5$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $2.5$

f($4.5$) +5 = $5$ |-5

f($4.5$) = 0

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+3-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-3\left(x-2\right)$ = $-3\left(-2-2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+3-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+4\right)$ = $3\left(-0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{3}{x}+\frac{3}{\left(-2\right)}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{3}{x}-\frac{3}{2}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{x}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{\left(-1.9\right)}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.78947

x = -1.99: $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{\left(-1.99\right)}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.75377

x = -1.999: $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{\left(-1.999\right)}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.75038

x = -1.9999: $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{\left(-1.9999\right)}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.75004

x = -1.99999: $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{\left(-1.99999\right)}}{0.00001}$ ≈ 0.75

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3}{x}}{x+2}$ ≈ 0.75

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+4-\left(-2u^2+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+4+2u^2-4}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+5-\left(-\frac{1}{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+5+\frac{1}{u}-5}{x-u}$

= $\frac{-\frac{1}{x}+\frac{1}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u}{x·u}+\frac{x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-u+x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{x-u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{x-u}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{1}{xu}$ = $\frac{1}{u·u}$ = $\frac{1}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{x^2}$.