Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^3-2\cdot 0^2-5$ = $0-2\cdot 0-5$ = -5 und
f(3) = $3^3-2\cdot 3^2-5$ = $27-2\cdot 9-5$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 1

f($0.5$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $2.5$

f($0.5$) +4 = $2.5$ |-4

f($0.5$) = -1.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-3x^2+1-\left(-3\cdot 2^2+1\right)}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+1+3\cdot 2^2-1}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-3\left(x+2\right)$ = $-3\left(2+2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+1-\left(-3\cdot 2^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+1+3\cdot 2^2-1}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h}{h}$

= $\frac{-3h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+4\right)$ = $-3\left(0+4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{2\sqrt{x}-2\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{2\sqrt{x}-10}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{2\sqrt{25.1}-10}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.1998

x = 25.01: $\frac{2\sqrt{25.01}-10}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.19998

x = 25.001: $\frac{2\sqrt{25.001}-10}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.2

x = 25.0001: $\frac{2\sqrt{25.0001}-10}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.2

x = 25.00001: $\frac{2\sqrt{25.00001}-10}{0.00001}$ ≈ 0.2

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{2\sqrt{x}-10}{x-25}$ ≈ 0.2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2+3-3u^2-3}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3(x+u)$ = $3·(u+u)$ = $6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5\sqrt{x}+1-\left(5\sqrt{u}+1\right)}{x-u}$

= $\frac{5\sqrt{x}+1-5\sqrt{u}-1}{x-u}$

= $\frac{5\sqrt{x}-5\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{5}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{5}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{5}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{5}{2\sqrt{x}}$.