Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $\sqrt{0}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(1) = $\sqrt{1}$ = $\sqrt{1}$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 4

f($0.5$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $0.5$

f($0.5$) +1 = $2$ |-1

f($0.5$) = 1

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2x^2-4-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2-4\right)}{x+2}$

= $\frac{2x^2-4-2\cdot {\left(-2\right)}^2+4}{x+2}$

= $\frac{2x^2-2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $2\left(x-2\right)$ = $2\left(-2-2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2-4-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^2-4\right)}{h}$

= $\frac{2{\left(-2+h\right)}^2-4-2\cdot {\left(-2\right)}^2+4}{h}$

= $\frac{2{\left(h-2\right)}^2-8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2\left(h^2-4h+4\right)-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h+8-8}{h}$

= $\frac{2h^2-8h}{h}$

= $\frac{2h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(h-4\right)$ = $2\left(0-4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{3x^4+2x-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot \left(-1\right)\right)}{x+1}$ = $\frac{3x^4+2x-3+2}{x+1}$ = $\frac{3x^4+2x-1}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3\cdot {\left(-0.9\right)}^4+2\cdot \left(-0.9\right)-1}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -8.317

x = -0.99: $\frac{3\cdot {\left(-0.99\right)}^4+2\cdot \left(-0.99\right)-1}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -9.8212

x = -0.999: $\frac{3\cdot {\left(-0.999\right)}^4+2\cdot \left(-0.999\right)-1}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -9.98201

x = -0.9999: $\frac{3\cdot {\left(-0.9999\right)}^4+2\cdot \left(-0.9999\right)-1}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -9.9982

x = -0.99999: $\frac{3\cdot {\left(-0.99999\right)}^4+2\cdot \left(-0.99999\right)-1}{0.00001}$ ≈ -9.99982

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{3x^4+2x-1}{x+1}$ ≈ -10

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2-5-\left(3u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2-5-3u^2+5}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3(x+u)$ = $3·(u+u)$ = $6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2+1-\left(-3u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+1+3u^2-1}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.