Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = $2\sqrt{-4+4}-4$ = $2\sqrt{0}-4$ = -4 und
f(0) = $2\sqrt{0+4}-4$ = $2\sqrt{4}-4$ = 0
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 30

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $15$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 15

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2+4-\left({\left(-1\right)}^2+4\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2+4-{\left(-1\right)}^2-4}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+4-\left({\left(-1\right)}^2+4\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+4-{\left(-1\right)}^2-4}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-3x^4+4x^2-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^4+4\cdot {\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{-3x^4+4x^2+3-4}{x+1}$ = $\frac{-3x^4+4x^2-1}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-3\cdot {\left(-0.9\right)}^4+4\cdot {\left(-0.9\right)}^2-1}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 2.717

x = -0.99: $\frac{-3\cdot {\left(-0.99\right)}^4+4\cdot {\left(-0.99\right)}^2-1}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 3.8612

x = -0.999: $\frac{-3\cdot {\left(-0.999\right)}^4+4\cdot {\left(-0.999\right)}^2-1}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 3.98601

x = -0.9999: $\frac{-3\cdot {\left(-0.9999\right)}^4+4\cdot {\left(-0.9999\right)}^2-1}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 3.9986

x = -0.99999: $\frac{-3\cdot {\left(-0.99999\right)}^4+4\cdot {\left(-0.99999\right)}^2-1}{0.00001}$ ≈ 3.99986

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-3x^4+4x^2-1}{x+1}$ ≈ 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+3-\left(u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2+3-u^2-3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-3x-\left(-5u^2-3u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-3x+5u^2+3u}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2-3x+3u}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)-3\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)-3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5·(x+u)-3$ = $-5·(u+u)-3$ = $-10u-3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u-3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x-3$.