Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = -3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = $2\sqrt{-4+4}-5$ = $2\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(-3) = $2\sqrt{-3+4}-5$ = $2\sqrt{1}-5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-3) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -3 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-3)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $10$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 10

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{3x^2+5-\left(3\cdot 1^2+5\right)}{x-1}$

= $\frac{3x^2+5-3\cdot 1^2-5}{x-1}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $3\left(x+1\right)$ = $3\left(1+1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+5-\left(3\cdot 1^2+5\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+5-3\cdot 1^2-5}{h}$

= $\frac{3{\left(h+1\right)}^2-3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+2h+1\right)-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h+3-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+2\right)$ = $3\left(0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{x^4+x-\left({\left(-1\right)}^4-1\right)}{x+1}$ = $\frac{x^4+x-1+1}{x+1}$ = $\frac{x^4+x}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{{\left(-0.9\right)}^4-\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -2.439

x = -0.99: $\frac{{\left(-0.99\right)}^4-\mathrm{0,99}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -2.9404

x = -0.999: $\frac{{\left(-0.999\right)}^4-\mathrm{0,999}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -2.994

x = -0.9999: $\frac{{\left(-0.9999\right)}^4-\mathrm{0,9999}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -2.9994

x = -0.99999: $\frac{{\left(-0.99999\right)}^4-\mathrm{0,99999}}{0.00001}$ ≈ -2.99994

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{x^4+x}{x+1}$ ≈ -3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-4+3u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2+3x-\left(3u^2+3u\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2+3x-3u^2-3u}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2+3x-3u}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)+3\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{3\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)+3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3·(x+u)+3$ = $3·(u+u)+3$ = $6u+3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u+3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x+3$.