Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-1)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^2-2\cdot 0-2$ = $0+0-2$ = -2 und
f(3) = $3^2-2\cdot 3-2$ = $9-6-2$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 5

f($3.5$) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $1.5$

f($3.5$) +2 = $7.5$ |-2

f($3.5$) = 5.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-3x^2+3-\left(-3\cdot 2^2+3\right)}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3+3\cdot 2^2-3}{x-2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-3\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-3\left(x+2\right)$ = $-3\left(2+2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+3-\left(-3\cdot 2^2+3\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(2+h\right)}^2+3+3\cdot 2^2-3}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2-12h}{h}$

= $\frac{-3h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+4\right)$ = $-3\left(0+4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+2\sqrt{25}}{x-25}$ = $\frac{-2\sqrt{x}+10}{x-25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{-2\sqrt{25.1}+10}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.1998

x = 25.01: $\frac{-2\sqrt{25.01}+10}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.19998

x = 25.001: $\frac{-2\sqrt{25.001}+10}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.2

x = 25.0001: $\frac{-2\sqrt{25.0001}+10}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.2

x = 25.00001: $\frac{-2\sqrt{25.00001}+10}{0.00001}$ ≈ -0.2

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(25)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>25</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 25}}{\lim }$ $\frac{-2\sqrt{x}+10}{x-25}$ ≈ -0.2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2-3-\left(-2u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2-3+2u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-1-\left(2u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-1-2u^2+1}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.