Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $2^2-3\cdot 2-1$ = $4-6-1$ = -3 und
f(4) = $4^2-3\cdot 4-1$ = $16-12-1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(2)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 3

f($1.5$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $2.5$

f($1.5$) +4 = $7.5$ |-4

f($1.5$) = 3.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2+1-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{x+2}$

= $\frac{3x^2+1-3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{x+2}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $3\left(x-2\right)$ = $3\left(-2-2\right)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+1-\left(3\cdot {\left(-2\right)}^2+1\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-2+h\right)}^2+1-3\cdot {\left(-2\right)}^2-1}{h}$

= $\frac{3{\left(h-2\right)}^2-12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-4h+4\right)-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h+12-12}{h}$

= $\frac{3h^2-12h}{h}$

= $\frac{3h\left(h-4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-4\right)$ = $3\left(0-4\right)$ = -12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{-3x^3-4x^2-\left(-3\cdot 2^3-4\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{-3x^3-4x^2+24+16}{x-2}$ = $\frac{-3x^3-4x^2+40}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{-3\cdot {2.1}^3-4\cdot {2.1}^2+40}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -54.23

x = 2.01: $\frac{-3\cdot {2.01}^3-4\cdot {2.01}^2+40}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -52.2203

x = 2.001: $\frac{-3\cdot {2.001}^3-4\cdot {2.001}^2+40}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -52.022

x = 2.0001: $\frac{-3\cdot {2.0001}^3-4\cdot {2.0001}^2+40}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -52.0022

x = 2.00001: $\frac{-3\cdot {2.00001}^3-4\cdot {2.00001}^2+40}{0.00001}$ ≈ -52.00022

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{-3x^3-4x^2+40}{x-2}$ ≈ -52

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-5-\left(-3u^2-5\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-5+3u^2+5}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+1-\left(-\frac{3}{u}+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+1+\frac{3}{u}-1}{x-u}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+\frac{3}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-3u}{x·u}+\frac{3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-3u+3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{3x-3u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 3 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{3(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{3}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{3}{xu}$ = $\frac{3}{u·u}$ = $\frac{3}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{3}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{3}{x^2}$.