Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = 5 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $\sqrt{-3+4}-5$ = $\sqrt{1}-5$ = -4 und
f(5) = $\sqrt{5+4}-5$ = $\sqrt{9}-5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(5)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{8}$

= $\frac{1}{4}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 5

f($2.5$) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1.5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $1.5$

f($2.5$) +5 = $7.5$ |-5

f($2.5$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2-4\right)}{x+1}$

= $\frac{-3x^2-4+3\cdot {\left(-1\right)}^2+4}{x+1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-3\left(x-1\right)$ = $-3\left(-1-1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2-4-\left(-3\cdot {\left(-1\right)}^2-4\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-1+h\right)}^2-4+3\cdot {\left(-1\right)}^2+4}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+2\right)$ = $3\left(-0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{{\left(-1\right)}^3}}{x+1}$ = $\frac{-\frac{1}{x^3}-1}{x+1}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x^3}}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.9\right)}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 3.71742

x = -0.99: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.99\right)}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 3.06102

x = -0.999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.999\right)}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 3.00601

x = -0.9999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.9999\right)}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 3.0006

x = -0.99999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.99999\right)}^3}}{0.00001}$ ≈ 3.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-1-\frac{1}{x^3}}{x+1}$ ≈ 3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-4+3u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{4}{x}-4-\left(-\frac{4}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{4}{x}-4+\frac{4}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{-\frac{4}{x}+\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4u}{x·u}+\frac{4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4u+4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4x-4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{4}{xu}$ = $\frac{4}{u·u}$ = $\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{4}{x^2}$.