Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^3+0^2-1$ = $0+0-1$ = -1 und
f(1) = $1^3+1^2-1$ = $1+1-1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 30

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{15}{2}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 7.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-3x^2+3-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{x+2}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-3\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-3·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-3\left(x-2\right)$ = $-3\left(-2-2\right)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+3-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(-2+h\right)}^2+3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{-3{\left(h-2\right)}^2+12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2-4h+4\right)+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h-12+12}{h}$

= $\frac{-3h^2+12h}{h}$

= $\frac{3h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(-h+4\right)$ = $3\left(-0+4\right)$ = 12

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{x^3-4x^2-\left({\left(-1\right)}^3-4\cdot {\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{x^3-4x^2+1+4}{x+1}$ = $\frac{x^3-4x^2+5}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{{\left(-0.9\right)}^3-4\cdot {\left(-0.9\right)}^2+5}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 10.31

x = -0.99: $\frac{{\left(-0.99\right)}^3-4\cdot {\left(-0.99\right)}^2+5}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 10.9301

x = -0.999: $\frac{{\left(-0.999\right)}^3-4\cdot {\left(-0.999\right)}^2+5}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 10.993

x = -0.9999: $\frac{{\left(-0.9999\right)}^3-4\cdot {\left(-0.9999\right)}^2+5}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 10.9993

x = -0.99999: $\frac{{\left(-0.99999\right)}^3-4\cdot {\left(-0.99999\right)}^2+5}{0.00001}$ ≈ 10.99993

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{x^3-4x^2+5}{x+1}$ ≈ 11

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2+3-\left(2u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2+3-2u^2-3}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2(x+u)$ = $2·(u+u)$ = $4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2\sqrt{x}+3-\left(2\sqrt{u}+3\right)}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}+3-2\sqrt{u}-3}{x-u}$

= $\frac{2\sqrt{x}-2\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.