Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $3\sqrt{-1+1}-3$ = $3\sqrt{0}-3$ = -3 und
f(3) = $3\sqrt{3+1}-3$ = $3\sqrt{4}-3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $\frac{15}{2}$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 7.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3\cdot 1^2+3\right)}{x-1}$

= $\frac{3x^2+3-3\cdot 1^2-3}{x-1}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $3\left(x+1\right)$ = $3\left(1+1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+3-\left(3\cdot 1^2+3\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+3-3\cdot 1^2-3}{h}$

= $\frac{3{\left(h+1\right)}^2-3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+2h+1\right)-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h+3-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+2\right)$ = $3\left(0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{\left(-2\right)}}{x+2}$ = $\frac{\frac{3}{x}+\frac{3}{2}}{x+2}$ = $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{x}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{\left(-1.9\right)}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.78947

x = -1.99: $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{\left(-1.99\right)}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.75377

x = -1.999: $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{\left(-1.999\right)}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.75038

x = -1.9999: $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{\left(-1.9999\right)}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.75004

x = -1.99999: $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{\left(-1.99999\right)}}{0.00001}$ ≈ -0.75

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{x}}{x+2}$ ≈ -0.75

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-4+3u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2\sqrt{x}+1-\left(-2\sqrt{u}+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-2\sqrt{x}+1+2\sqrt{u}-1}{x-u}$

= $\frac{-2\sqrt{x}+2\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-2}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-2}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{1}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{1}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{1}{\sqrt{x}}$.