Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(2)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{4}{1}$

= $4$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-4$ = $1-2-4$ = -5 und
f(2) = $2^2+2\cdot 2-4$ = $4+4-4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 3

f($0.5$) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 3 |⋅ $0.5$

f($0.5$) +2 = $1.5$ |-2

f($0.5$) = -0.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2+3-\left({\left(-1\right)}^2+3\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2+3-{\left(-1\right)}^2-3}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+3-\left({\left(-1\right)}^2+3\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+3-{\left(-1\right)}^2-3}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{-\sqrt{x}+\sqrt{1}}{x-1}$ = $\frac{-\sqrt{x}+1}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{-\sqrt{1.1}+1}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.48809

x = 1.01: $\frac{-\sqrt{1.01}+1}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.49876

x = 1.001: $\frac{-\sqrt{1.001}+1}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.49988

x = 1.0001: $\frac{-\sqrt{1.0001}+1}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.49999

x = 1.00001: $\frac{-\sqrt{1.00001}+1}{0.00001}$ ≈ -0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{-\sqrt{x}+1}{x-1}$ ≈ -0.5

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-3-\left(-4u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-3+4u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2-4x-\left(-2u^2-4u\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2-4x+2u^2+4u}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2-4x+4u}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)-4\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)-4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2·(x+u)-4$ = $-2·(u+u)-4$ = $-4u-4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u-4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x-4$.