Aufgabenbeispiele von Differenzenquotient

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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;1].

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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -2 und x2 = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

f(1) - f(-2) 1 - ( - 2 )

= 2 - 1 1 - ( - 2 )

= 1 3

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 -3 x 2 +2 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;3].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 2 und x2 = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = 2 3 -3 2 2 +2 = 8 -34 +2 = -2 und
f(3) = 3 3 -3 3 2 +2 = 27 -39 +2 = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

f(3) - f(2) 3 - 2

= 2 - ( - 2 ) 3 - 2

= 4 1

= 4

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 30 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 20 min eben 20 60 h = 1 3 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 3 ) - f(0) 1 3 - 0 = 30

f( 1 3 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 3 ) - 0 1 3 = 30 |⋅ 1 3

f( 1 3 ) -0 = 10 |+0

f( 1 3 ) = 10

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 2 -1 . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2

= - x 2 -1 - ( - 2 2 -1 ) x -2

= - x 2 -1 + 2 2 +1 x -2

= - x 2 + 2 2 x -2

= -( x 2 - 2 2 ) x -2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= - ( x +2 ) · ( x -2 ) x -2

Jetzt lässt sich der Nenner x -2 rauskürzen:

= -1 · ( x +2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 -( x +2 ) = -( 2 +2 ) = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

f(2+h) - f(2) h

= - ( 2 + h ) 2 -1 - ( - 2 2 -1 ) h

= - ( 2 + h ) 2 -1 + 2 2 +1 h

= - ( h +2 ) 2 +4 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= -( h 2 +4h +4 ) +4 h

= - h 2 -4h -4 +4 h

= - h 2 -4h h

= - h ( h +4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= -( h +4 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = lim h → 0 f(2+h) - f(2) h = lim h → 0 -( h +4 ) = -(0 +4 ) = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 4 + x . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(1) x - 1 = - x 4 + x - ( - 1 4 +1 ) x -1 = - x 4 + x +1 -1 x -1 = - x 4 + x x -1

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: - 1.1 4 +1,1 0,1 ≈ -3.641

x = 1.01: - 1.01 4 +1,01 0,01 ≈ -3.0604

x = 1.001: - 1.001 4 +1,001 0,001 ≈ -3.006

x = 1.0001: - 1.0001 4 +1,0001 0,0001 ≈ -3.0006

x = 1.00001: - 1.00001 4 +1,00001 0.00001 ≈ -3.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = lim x → 1 f(x) - f(1) x - 1 = lim x → 1 - x 4 + x x -1 -3

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -5 x 2 +2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -5 x 2 +2 - ( -5 u 2 +2 ) x - u

= -5 x 2 +2 +5 u 2 -2 x - u

= -5 x 2 +5 u 2 x - u

= -5( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -5 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -5 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -5( x + u) = -5 · ( u + u ) = -10u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -10u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -10x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x -1 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= x -1 - ( u -1 ) x - u

= x -1 - u +1 x - u

= x - u x - u

= x - u x - u

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ( x ) 2 statt x und ( u ) 2 statt u:

= x - u ( x ) 2 - ( u ) 2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= x - u ( x - u ) · ( x + u )

Jetzt lässt sich x - u diagonal rauskürzen:

= 1 x + u

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 1 x + u = 1 u + u = 1 2 u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 1 2 u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 1 2 x .