Aufgabenbeispiele von Differenzenquotient

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;-1].

Lösung einblenden

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -4 und x2 = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

f(-1) - f(-4) -1 - ( - 4 )

= -3 - 3 -1 - ( - 4 )

= -6 3

= -2

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 + x 2 -1 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Lösung einblenden

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = -1 und x2 = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ( -1 ) 3 + ( -1 ) 2 -1 = ( -1 ) + 1 -1 = -1 und
f(1) = 1 3 + 1 2 -1 = 1 + 1 -1 = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

f(1) - f(-1) 1 - ( - 1 )

= 1 - ( - 1 ) 1 - ( - 1 )

= 2 2

= 1

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 15 Minuten seiner Fahrt 20 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben 15 60 h = 1 4 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 4 ) - f(0) 1 4 - 0 = 20

f( 1 4 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 4 ) - 0 1 4 = 20 |⋅ 1 4

f( 1 4 ) -0 = 5 |+0

f( 1 4 ) = 5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -3 . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-1) x - ( - 1 )

= 2 x 2 -3 - ( 2 ( -1 ) 2 -3 ) x +1

= 2 x 2 -3 -2 ( -1 ) 2 +3 x +1

= 2 x 2 -2 ( -1 ) 2 x +1

= 2( x 2 - ( -1 ) 2 ) x +1

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 2 ( x -1 ) · ( x +1 ) x +1

Jetzt lässt sich der Nenner x +1 rauskürzen:

= 2 · ( x -1 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = lim x → -1 f(x) - f(-1) x - ( - 1 ) = lim x → -1 2( x -1 ) = 2( -1 -1 ) = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

f(-1+h) - f(-1) h

= 2 ( -1 + h ) 2 -3 - ( 2 ( -1 ) 2 -3 ) h

= 2 ( -1 + h ) 2 -3 -2 ( -1 ) 2 +3 h

= 2 ( h -1 ) 2 -2 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= 2( h 2 -2h +1 ) -2 h

= 2 h 2 -4h +2 -2 h

= 2 h 2 -4h h

= 2 h ( h -2 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= 2( h -2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = lim h → 0 f(-1+h) - f(-1) h = lim h → 0 2( h -2 ) = 2(0 -2 ) = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(1) x - 1 = - x + 1 x -1 = - x +1 x -1

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: - 1.1 +1 0,1 ≈ -0.48809

x = 1.01: - 1.01 +1 0,01 ≈ -0.49876

x = 1.001: - 1.001 +1 0,001 ≈ -0.49988

x = 1.0001: - 1.0001 +1 0,0001 ≈ -0.49999

x = 1.00001: - 1.00001 +1 0.00001 ≈ -0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = lim x → 1 f(x) - f(1) x - 1 = lim x → 1 - x +1 x -1 -0.5

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +1 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= x 2 +1 - ( u 2 +1 ) x - u

= x 2 +1 - u 2 -1 x - u

= x 2 - u 2 x - u

= x 2 - u 2 x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 1 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u x + u = 1 · ( u + u ) = 2u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 2u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 2x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - 1 x -1 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= - 1 x -1 - ( - 1 u -1 ) x - u

= - 1 x -1 + 1 u +1 x - u

= - 1 x + 1 u x - u

= -u x · u + x x · u x - u

= -u + x x · u x - u

= x - u u · x x - u 1

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler mit dem Kehrbruich des Nenners:

= x - u x · u · 1 x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u diagonal rauskürzen:

= 1 x u

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 1 x u = 1 u · u = 1 u 2

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 1 u 2 beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 1 x 2 .