Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(0)}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{1}$

= $-2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $-{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2+1$ = $-\left(-1\right)-1+1$ = 1 und
f(1) = $-1^3-1^2+1$ = $-1-1+1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 1

f($0.5$) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0.5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $0.5$

f($0.5$) +1 = $0.5$ |-1

f($0.5$) = -0.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2-5-\left(-{\left(-2\right)}^2-5\right)}{x+2}$

= $\frac{-x^2-5+{\left(-2\right)}^2+5}{x+2}$

= $\frac{-x^2+{\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-\left(x-2\right)$ = $-\left(-2-2\right)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-2+h\right)}^2-5-\left(-{\left(-2\right)}^2-5\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-2+h\right)}^2-5+{\left(-2\right)}^2+5}{h}$

= $\frac{-{\left(h-2\right)}^2+4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-4h+4\right)+4}{h}$

= $\frac{-h^2+4h-4+4}{h}$

= $\frac{-h^2+4h}{h}$

= $\frac{h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+4$ = $-0+4$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{2x^4+5x-\left(2\cdot 2^4+5\cdot 2\right)}{x-2}$ = $\frac{2x^4+5x-32-10}{x-2}$ = $\frac{2x^4+5x-42}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{2\cdot {2.1}^4+5\cdot 2.1-42}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 73.962

x = 2.01: $\frac{2\cdot {2.01}^4+5\cdot 2.01-42}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 69.4816

x = 2.001: $\frac{2\cdot {2.001}^4+5\cdot 2.001-42}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 69.04802

x = 2.0001: $\frac{2\cdot {2.0001}^4+5\cdot 2.0001-42}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 69.0048

x = 2.00001: $\frac{2\cdot {2.00001}^4+5\cdot 2.00001-42}{0.00001}$ ≈ 69.00048

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{2x^4+5x-42}{x-2}$ ≈ 69

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+5-\left(-2u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+5+2u^2-5}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{2}{x}+2-\left(\frac{2}{u}+2\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}+2-\frac{2}{u}-2}{x-u}$

= $\frac{\frac{2}{x}-\frac{2}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u}{x·u}+\frac{-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{2u-2x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-2x+2u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -2 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-2(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{2}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{2}{xu}$ = $\frac{-2}{u·u}$ = $-\frac{2}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{2}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{2}{x^2}$.