Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(2)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{2}$

= $-3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $2\sqrt{0}-3$ = $2\cdot 0-3$ = -3 und
f(4) = $2\sqrt{4}-3$ = $2\cdot 2-3$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(0)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; f(1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>1</mn>}}$ = 2

f($3.5$) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3.5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2.5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $2.5$

f($3.5$) +4 = $5$ |-4

f($3.5$) = 1

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-5-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\right)}{x+2}$

= $\frac{-2x^2-5+2\cdot {\left(-2\right)}^2+5}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-2\left(x-2\right)$ = $-2\left(-2-2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-5-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-5+2\cdot {\left(-2\right)}^2+5}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+4\right)$ = $2\left(-0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{{\left(-1\right)}^3}}{x+1}$ = $\frac{-\frac{1}{x^3}-1}{x+1}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x^3}}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.9\right)}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 3.71742

x = -0.99: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.99\right)}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 3.06102

x = -0.999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.999\right)}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 3.00601

x = -0.9999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.9999\right)}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 3.0006

x = -0.99999: $\frac{-1-\frac{1}{{\left(-0.99999\right)}^3}}{0.00001}$ ≈ 3.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-1-\frac{1}{x^3}}{x+1}$ ≈ 3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4x^2+1-\left(4u^2+1\right)}{x-u}$

= $\frac{4x^2+1-4u^2-1}{x-u}$

= $\frac{4x^2-4u^2}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $4(x+u)$ = $4·(u+u)$ = $8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{4}{x}-2-\left(\frac{4}{u}-2\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-2-\frac{4}{u}+2}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u}{x·u}+\frac{-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4x+4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{4}{xu}$ = $\frac{-4}{u·u}$ = $-\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{4}{x^2}$.