Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ = 1 - $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ oder $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{0.9}}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.9⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≈ 0.38 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=23 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 23 sein, damit $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\le 19)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.9}^{\mathrm{n}}(X\ge 20)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.85⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 31)$ ≈ 0.645 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.7⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≈ 0.3818 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 42 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 26)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 27)$ ≥ 0.8 gilt.