Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ = 1 - $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ oder $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.65}}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.65⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≈ 0.4577 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\le 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.65}^{\mathrm{n}}(X\ge 23)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≈ 0.5146 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ = 1 - $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ oder $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 136 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.25⋅136) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=136:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≈ 0.4671 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=146 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 146 sein, damit $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 33)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\ge 34)$ ≥ 0.7 gilt.