Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 19 mal getroffen und 1 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=19 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.85}^{19}$ ⋅ ${0.15}^1$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.15}^1$ ⋅ ${0.85}^{19}$

Somit muss d = 0.15, sowie c = 1 und e = 19 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.3}^{20}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 20 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=20).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=19).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥19)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Mehr als 18 mal wird eine rote Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=19 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 8 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=8 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^8(X\le 1)$ ≈ 0.6047.

Analog betrachten wir nun die restlichen 8 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=8 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^8(Y\ge 2)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^8(Y\le 1)$ ≈ 0.3953.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^8(X\le 1)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^8(Y\ge 2)$ = 0.6047 ⋅ 0.3953 ≈ 0.239

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.44.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.44 zu erzielen, also $P_{0.44}^{50}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.44}^{50}(X\le 37)$ - $P_{0.44}^{50}(X\le 23)$ ≈ 1 - 0.6669 ≈ 0.3331 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.44,37)- binompdf(50,0.44,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.74.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.74 zu erzielen, also $P_{0.74}^{50}(22\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.74}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.74}^{50}(X\le 21)$ ≈ 0.0007 - 0 ≈ 0.0007 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.74,26)- binompdf(50,0.74,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3331 ⋅ 0.0007 ≈ 0.0002

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^4$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOO

OXXXXXOOO

OOXXXXXOO

OOOXXXXXO

OOOOXXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^4$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.9.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9, also $P_{0.9}^{106}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.9.

$P_{0.9}^{106}(X\le 92)$ = $P_{0.9}^{106}(X=0)$ + $P_{0.9}^{106}(X=1)$ + $P_{0.9}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.9}^{106}(X=92)$ = 0.17205453652834 ≈ 0.1721
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.9,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.1721) und 'überbucht'(p=0.8279).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.1721$; überbucht: $0.8279$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.005097328361$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.024521081639$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.024521081639$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.024521081639$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.005097328361$ + $0.024521081639$ + $0.024521081639$ + $0.024521081639$ = $0.078660573278$