Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 50 mal getroffen und 30 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=50 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 50\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 50 Treffer und 30 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.3}^{50}$ ⋅ ${0.7}^{30}$

Somit muss d = 0.7, sowie c = 50 und e = 30 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.9}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.1}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥14)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.9.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{11}(X\le 7)$ ≈ 0.8867.

Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^7(Y=3)$ ≈ 0.2734.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{11}(X\le 7)$ ⋅ $P_{0.5}^7(Y=3)$ = 0.8867 ⋅ 0.2734 ≈ 0.2424

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.45.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{55}(24\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{55}(X\le 35)$ - $P_{0.45}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9982 - 0.3691 ≈ 0.6291 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.45,35)- binompdf(55,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.66.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also $P_{0.66}^{45}(25\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.66}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.66}^{45}(X\le 24)$ ≈ 0.593 - 0.0532 ≈ 0.5398 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.66,30)- binompdf(45,0.66,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6291 ⋅ 0.5398 ≈ 0.3396

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$ ≈ 0.0454

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.86.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also $P_{0.86}^{103}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.86.

$P_{0.86}^{103}(X\le 97)$ = $P_{0.86}^{103}(X=0)$ + $P_{0.86}^{103}(X=1)$ + $P_{0.86}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.86}^{103}(X=97)$ = 0.99748522467756 ≈ 0.9975
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.86,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9975) und 'überbucht'(p=0.0024999999999999).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9975$; überbucht: $0.0024999999999999$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.992518734375$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.0024875156249999$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.0024875156249999$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.0024875156249999$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.992518734375$ + $0.0024875156249999$ + $0.0024875156249999$ + $0.0024875156249999$ = $0.99998128125$