Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 21 mal getroffen und 19 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=21 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}40\\ 21\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 21 Treffer und 19 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.9}^{21}$ ⋅ ${0.1}^{19}$

Somit muss d = 0.1, sowie c = 21 und e = 19 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei ${0.7}^{10}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 10 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=10) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^9$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 9 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 9 Treffer sein, also P(X=9) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 10 und 9 Treffer möglich sind, also 8, 7, ..., kurz P(X≤8) bzw. P(Y≥2).

Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 9 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{11}(X=1)$ ≈ 0.3617.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^{12}(Y=2)$ ≈ 0.2713.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{11}(X=1)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^{12}(Y=2)$ = 0.3617 ⋅ 0.2713 ≈ 0.0981

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.44.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.44 zu erzielen, also $P_{0.44}^{55}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.44}^{55}(X\le 37)$ - $P_{0.44}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9998 - 0.4268 ≈ 0.573 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.44,37)- binompdf(55,0.44,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.75.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 32 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{50}(21\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{50}(X\le 32)$ - $P_{0.75}^{50}(X\le 20)$ ≈ 0.0551 - 0 ≈ 0.0551 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.75,32)- binompdf(50,0.75,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.573 ⋅ 0.0551 ≈ 0.0316

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0139

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.92.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.92,
also $P_{0.92}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.92}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.92}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0038 ≈ 0.9962 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.92,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9962) und 'zu wenig'(p=0.0038).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.9962$; zu wenig: $0.0038$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.00378556$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.00378556$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.99241444$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.00378556$ + $0.00378556$ + $0.99241444$ = $0.99998556$