Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 90 mal getroffen und 10 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=90 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 90\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 90 Treffer und 10 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.35}^{90}$ ⋅ ${0.65}^{10}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.65}^{10}$ ⋅ ${0.35}^{90}$

Somit muss d = 0.65, sowie c = 10 und e = 90 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 8 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=8 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^8(X\le 5)$ ≈ 0.8555.

Analog betrachten wir nun die restlichen 6 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^6(Y=3)$ ≈ 0.3125.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^8(X\le 5)$ ⋅ $P_{0.5}^6(Y=3)$ = 0.8555 ⋅ 0.3125 ≈ 0.2673

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.49.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{60}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{60}(X\le 37)$ - $P_{0.49}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.9821 - 0.0633 ≈ 0.9188 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(60,0.49,37)- binompdf(60,0.49,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.72.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 32 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.72 zu erzielen, also $P_{0.72}^{35}(22\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.72}^{35}(X\le 32)$ - $P_{0.72}^{35}(X\le 21)$ ≈ 0.9989 - 0.0849 ≈ 0.914 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(35,0.72,32)- binompdf(35,0.72,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.9188 ⋅ 0.914 ≈ 0.8398

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 7 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOOO

OXXXOOOOOO

OOXXXOOOOO

OOOXXXOOOO

OOOOXXXOOO

OOOOOXXXOO

OOOOOOXXXO

OOOOOOOXXX

Es gibt also genau 8 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 8 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$ ≈ 0.0006

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.9.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.3231 ≈ 0.6769 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.9,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6769) und 'zu wenig'(p=0.3231).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.6769$; zu wenig: $0.3231$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.21870639$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.21870639$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.45819361$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.21870639$ + $0.21870639$ + $0.45819361$ = $0.89560639$