Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 10 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 10 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=10 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 10 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^0$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$

Somit muss d = 5, sowie c = 0 und e = 10 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^5$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^4$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=5)+P(X=4)=P(X≥4) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 3 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$, also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.85}^{15}(X=12)$ ≈ 0.2184.

Analog betrachten wir nun die restlichen 45 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.85}^{45}(Y\ge 36)$ = 1- $P_{0.85}^{45}(Y\le 35)$ ≈ 0.8726.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.85}^{15}(X=12)$ ⋅ $P_{0.85}^{45}(Y\ge 36)$ = 0.2184 ⋅ 0.8726 ≈ 0.1906

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.47.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{65}(24\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{65}(X\le 35)$ - $P_{0.47}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.8906 - 0.039 ≈ 0.8516 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(65,0.47,35)- binompdf(65,0.47,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.75.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{40}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{40}(X\le 30)$ - $P_{0.75}^{40}(X\le 22)$ ≈ 0.5605 - 0.0047 ≈ 0.5558 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(40,0.75,30)- binompdf(40,0.75,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8516 ⋅ 0.5558 ≈ 0.4733

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXO

OXXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ ≈ 0.0002

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.82.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{104}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.82.

$P_{0.82}^{104}(X\le 92)$ = $P_{0.82}^{104}(X=0)$ + $P_{0.82}^{104}(X=1)$ + $P_{0.82}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{104}(X=92)$ = 0.97291904503424 ≈ 0.9729
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.82,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9729) und 'überbucht'(p=0.0271).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9729$; überbucht: $0.0271$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.920883327489$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.025651082511$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.025651082511$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.025651082511$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.920883327489$ + $0.025651082511$ + $0.025651082511$ + $0.025651082511$ = $0.997836575022$