Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 75% wirft 20 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 9 mal trifft.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 9) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 9 mal getroffen und 11 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=9 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 9 Treffer und
11 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅ oder eben (einfach vertauscht) ⋅
Somit muss d = 0.25, sowie c = 11 und e = 9 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 20%. Es wird 15 mal gedreht.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = + die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)
Beim ersten Summand steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)
Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.8.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 20 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 4 Aufgaben keine einzige und von den restlichen Fragen nicht mehr als 2 richtig errät?
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.3164.
Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.1971.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.3164 ⋅ 0.1971 ≈ 0.0624
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 90% und im Stehen 86%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.3281Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.86.
= ≈ 0.4704Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3281 ⋅ 0.4704 = 0.15433824
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.5905Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.86.
= ≈ 0.3829Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.5905 ⋅ 0.3829 = 0.22610245
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.5905Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.86.
= ≈ 0.4704Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.5905 ⋅ 0.4704 = 0.2777712
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.1543 + 0.2261 + 0.2778 = 0.6582
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 8 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 5 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXOOOOO
OXXXOOOO
OOXXXOOO
OOOXXXOO
OOOOXXXO
OOOOOXXX
Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 6 ⋅ ⋅ ≈ 0.005
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 14% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 93 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.86.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.86.
= + + +... + = 0.73735932404903 ≈ 0.7374(TI-Befehl: binomcdf(106,0.86,93))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.7374) und 'überbucht'(p=0.2626).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: ; überbucht: ;
Die relevanten Pfade sind:
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
