Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen genau 32 mal im grünen Bereich zu landen.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 32) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 32 mal getroffen und 8 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=32 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 32 Treffer und
8 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅ oder eben (einfach vertauscht) ⋅
Somit muss d = 0.4, sowie c = 8 und e = 32 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 30%. Es wird 20 mal gedreht.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.
In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird in den grünen Bereich gedreht" erkennen, also muss die Hochzahl 19 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 19 mal wird in den grünen Bereich gedreht.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.7.
Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein normaler Würfel wird 20 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass, Von den ersten 9 Versuchen höchstens 1 mal eine Sechs gewürfelt wird und von den restlichen Versuchen mindestens 3 Sechser gewürfelt werden?
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 9
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=9 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.5427.
Analog betrachten wir nun die restlichen 11 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=11 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als = 1- ≈ 0.2732.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.5427 ⋅ 0.2732 ≈ 0.1483
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 90% und im Stehen 88%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.3281Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
= ≈ 0.5277Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3281 ⋅ 0.5277 = 0.17313837
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.5905Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
= ≈ 0.3598Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.5905 ⋅ 0.3598 = 0.2124619
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.
= ≈ 0.5905Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
= ≈ 0.5277Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.5905 ⋅ 0.5277 = 0.31160685
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.1731 + 0.2125 + 0.3116 = 0.6972
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
6 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
⋅
⋅
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXXOO
OXXXXO
OOXXXX
Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 15 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 83% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.83.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.83,
also
Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit:
≈ 1 - 0.1098 ≈ 0.8902 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.83,14))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.8902) und 'zu wenig'(p=0.1098).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'
| Ereignis | P |
|---|---|
| genügend Treffer -> genügend Treffer | |
| genügend Treffer -> zu wenig | |
| zu wenig -> genügend Treffer | |
| zu wenig -> zu wenig |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer:
'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
