Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 55 mal getroffen und 5 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=55 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 55\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 55 Treffer und 5 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{55}$ ⋅ ${0.3}^5$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^5$ ⋅ ${0.7}^{55}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 5 und e = 55 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{16}(X=7)$ ≈ 0.1746.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{18}(Y\le 8)$ ≈ 0.4073.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{16}(X=7)$ ⋅ $P_{0.5}^{18}(Y\le 8)$ = 0.1746 ⋅ 0.4073 ≈ 0.0711

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.57.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.57 zu erzielen, also $P_{0.57}^{50}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.57}^{50}(X\le 33)$ - $P_{0.57}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9248 - 0.6099 ≈ 0.3149 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.57,33)- binompdf(50,0.57,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.75.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{40}(19\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{40}(X\le 30)$ - $P_{0.75}^{40}(X\le 18)$ ≈ 0.5605 - 0 ≈ 0.5605 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(40,0.75,30)- binompdf(40,0.75,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3149 ⋅ 0.5605 ≈ 0.1765

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ ≈ 0.0107

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

$P_{0.09}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.09}^{25}(X=0)$ + $P_{0.09}^{25}(X=1)$ + $P_{0.09}^{25}(X=2)$ = 0.60629854766143 ≈ 0.6063
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.09,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.6063) und 'nicht ok'(p=0.3937).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.6063$; nicht ok: $0.3937$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.36759969$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.36759969$ = $0.36759969$