Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 10 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 9 mal getroffen und 1 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=10 und b=9 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^9$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^9$

Somit muss d = 5, sowie c = 1 und e = 9 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim Summand ${0.3}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Höchstens 3 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.18}^{10}(X=2)$ ≈ 0.298.

Analog betrachten wir nun die restlichen 50 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.18}^{50}(Y\le 10)$ ≈ 0.7187.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.18}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.18}^{50}(Y\le 10)$ = 0.298 ⋅ 0.7187 ≈ 0.2142

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

• 1 mal unten und 3 mal oben
• 2 mal unten und 2 mal oben
• 3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

$P_{0.5}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.5}^1\cdot {0.5}^2$≈ 0.375
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.

$P_{0.2}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.2}^3\cdot {0.8}^0$≈ 0.008
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.375 ⋅ 0.008 = 0.003

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

$P_{0.5}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.5}^2\cdot {0.5}^1$≈ 0.375
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.

$P_{0.2}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.2}^2\cdot {0.8}^1$≈ 0.096
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.375 ⋅ 0.096 = 0.036

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

$P_{0.5}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.5}^3\cdot {0.5}^0$≈ 0.125
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.

$P_{0.2}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.2}^1\cdot {0.8}^2$≈ 0.384
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.125 ⋅ 0.384 = 0.048

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.003 + 0.036 + 0.048 = 0.087

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.6}^3$ ⋅ ${0.4}^2$

Dabei gibt ja ${0.6}^3$ ⋅ ${0.4}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.6}^3$ ⋅ ${0.4}^2$ ≈ 0.1037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.84.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 96 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{103}(X\le 96)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.84.

$P_{0.84}^{103}(X\le 96)$ = $P_{0.84}^{103}(X=0)$ + $P_{0.84}^{103}(X=1)$ + $P_{0.84}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.84}^{103}(X=96)$ = 0.99845218562948 ≈ 0.9985
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.84,96))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9985) und 'überbucht'(p=0.0014999999999999).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9985$; überbucht: $0.0014999999999999$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.995506746625$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.0014955033749999$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.0014955033749999$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.0014955033749999$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.995506746625$ + $0.0014955033749999$ + $0.0014955033749999$ + $0.0014955033749999$ = $0.99999325675$