Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 94 mal getroffen und 6 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=94 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 94\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 94 Treffer und 6 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.8}^{94}$ ⋅ ${0.2}^6$

Somit muss d = 0.2, sowie c = 94 und e = 6 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Mehr als 8 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{11}(X\le 4)$ ≈ 0.2744.

Analog betrachten wir nun die restlichen 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{15}(Y=9)$ ≈ 0.1527.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{11}(X\le 4)$ ⋅ $P_{0.5}^{15}(Y=9)$ = 0.2744 ⋅ 0.1527 ≈ 0.0419

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.55.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.55 zu erzielen, also $P_{0.55}^{55}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.55}^{55}(X\le 37)$ - $P_{0.55}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9766 - 0.4179 ≈ 0.5587 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.55,37)- binompdf(55,0.55,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.64.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 26 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also $P_{0.64}^{40}(23\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.64}^{40}(X\le 26)$ - $P_{0.64}^{40}(X\le 22)$ ≈ 0.6109 - 0.1536 ≈ 0.4573 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(40,0.64,26)- binompdf(40,0.64,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5587 ⋅ 0.4573 ≈ 0.2555

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^1$

Dabei gibt ja ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^1$ ≈ 0.0307

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.81.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81,
also $P_{0.81}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.81}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.81}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.1643 ≈ 0.8357 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.81,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.8357) und 'zu wenig'(p=0.1643).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.8357$; zu wenig: $0.1643$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.13730551$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.13730551$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.69839449$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.13730551$ + $0.13730551$ + $0.69839449$ = $0.97300551$