Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 11 mal getroffen und 89 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=11 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 11\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 11 Treffer und 89 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{11}$ ⋅ ${0.3}^{89}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^{89}$ ⋅ ${0.7}^{11}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 89 und e = 11 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥14)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Mindestens 14 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 7 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=7 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 1)$ ≈ 0.6698.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\ge 2)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\le 1)$ ≈ 0.8272.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 1)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\ge 2)$ = 0.6698 ⋅ 0.8272 ≈ 0.5541

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.

$P_{0.94}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.94}^4\cdot {0.06}^1$≈ 0.2342
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.81}^5\cdot {0.19}^0$≈ 0.3487
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2342 ⋅ 0.3487 = 0.08166554

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.

$P_{0.94}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.94}^5\cdot {0.06}^0$≈ 0.7339
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.81}^4\cdot {0.19}^1$≈ 0.4089
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7339 ⋅ 0.4089 = 0.30009171

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.94.

$P_{0.94}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.94}^5\cdot {0.06}^0$≈ 0.7339
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.81}^5\cdot {0.19}^0$≈ 0.3487
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7339 ⋅ 0.3487 = 0.25591093

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0817 + 0.3001 + 0.2559 = 0.6377

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOO

OXXXXXOO

OOXXXXXO

OOOXXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.9.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.3231 ≈ 0.6769 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.9,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6769) und 'zu wenig'(p=0.3231).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.6769$; zu wenig: $0.3231$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.21870639$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.21870639$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.45819361$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.21870639$ + $0.21870639$ + $0.45819361$ = $0.89560639$