Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 37 mal getroffen und 23 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=37 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 37\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 37 Treffer und 23 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.05}^{37}$ ⋅ ${0.95}^{23}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.95}^{23}$ ⋅ ${0.05}^{37}$

Somit muss d = 0.95, sowie c = 23 und e = 37 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.4}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^{19}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.85}^{10}(X=10)$ ≈ 0.1969.

Analog betrachten wir nun die restlichen 90 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.85}^{90}(Y\ge 85)$ = 1- $P_{0.85}^{90}(Y\le 84)$ ≈ 0.0048.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.85}^{10}(X=10)$ ⋅ $P_{0.85}^{90}(Y\ge 85)$ = 0.1969 ⋅ 0.0048 ≈ 0.0009

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.47.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{50}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{50}(X\le 36)$ - $P_{0.47}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.9999 - 0.5011 ≈ 0.4988 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.47,36)- binompdf(50,0.47,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.62.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also $P_{0.62}^{45}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.62}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.62}^{45}(X\le 21)$ ≈ 0.7862 - 0.0261 ≈ 0.7601 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.62,30)- binompdf(45,0.62,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4988 ⋅ 0.7601 ≈ 0.3791

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0139

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.9.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0113 ≈ 0.9887 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.9,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9887) und 'zu wenig'(p=0.0113).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.9887$; zu wenig: $0.0113$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.01117231$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.01117231$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.97752769$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.01117231$ + $0.01117231$ + $0.97752769$ = $0.99987231$