Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 34 mal getroffen und 66 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=34 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 34\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 34 Treffer und 66 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.85}^{34}$ ⋅ ${0.15}^{66}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.15}^{66}$ ⋅ ${0.85}^{34}$

Somit muss d = 0.15, sowie c = 66 und e = 34 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.3}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥4)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Mindestens 4 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{14}(X\le 6)$ ≈ 0.3953.

Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{10}(Y=6)$ ≈ 0.2051.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{14}(X\le 6)$ ⋅ $P_{0.5}^{10}(Y=6)$ = 0.3953 ⋅ 0.2051 ≈ 0.0811

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

• 1 mal unten und 3 mal oben
• 2 mal unten und 2 mal oben
• 3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.6}^1\cdot {0.4}^2$≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.3}^3\cdot {0.7}^0$≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.288 ⋅ 0.027 = 0.007776

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.6}^2\cdot {0.4}^1$≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.3}^2\cdot {0.7}^1$≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.432 ⋅ 0.189 = 0.081648

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.6}^3\cdot {0.4}^0$≈ 0.216
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.3}^1\cdot {0.7}^2$≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.216 ⋅ 0.441 = 0.095256

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0078 + 0.0816 + 0.0953 = 0.1847

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.06.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.06, also $P_{0.06}^{50}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.06.

$P_{0.06}^{50}(X\le 2)$ = $P_{0.06}^{50}(X=0)$ + $P_{0.06}^{50}(X=1)$ + $P_{0.06}^{50}(X=2)$ = 0.41624647241187 ≈ 0.4162
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.06,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.4162) und 'nicht ok'(p=0.5838).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.4162$; nicht ok: $0.5838$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.17322244$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.17322244$ = $0.17322244$