Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 15 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 mal eine 6 geworfen wird.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 0) = ( a b ) ( d 6 )c ( 1 6 )e

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 15 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 0 mal getroffen und 15 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=15 und b=0 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 15 0 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 0 Treffer und 15 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
( 1 6 )0( 5 6 )15 oder eben (einfach vertauscht) ( 5 6 )15( 1 6 )0

Somit muss d = 5, sowie c = 15 und e = 0 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 40%. Es wird 5 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 0.45 + ( 5 a ) 0.44 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand 0.45 steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.44, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5

Y: keine Treffer:
5
4
3
2
1
0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=5)+P(X=4)=P(X≥4) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 4 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 5 4 ) , also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Ein Lehrer verteilt bei einer Klassenarbeit an alle seine 24 Schülerinnen und Schüler jeweils einen Glückskeks. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 11 Mädchen genau 1 einen Glückskeks mit einer Peperoni und von den Jungs genau 3 einen Glückskeks mit einer Peperoni erwischen .

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p= 1 8 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P 1 8 11 (X=1) ≈ 0.3617.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p= 1 8 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P 1 8 13 (Y=3) ≈ 0.147.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P 1 8 11 (X=1) P 1 8 13 (Y=3) = 0.3617 ⋅ 0.147 ≈ 0.0532

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 70% und oben 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 2 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:

  • 0 mal unten und 2 mal oben
  • 1 mal unten und 1 mal oben
  • 2 mal unten und 0 mal oben

0 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P0.73 (X=0) = ( 3 0 ) 0.70 0.33 ≈ 0.027
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P0.43 (X=2) = ( 3 2 ) 0.42 0.61 ≈ 0.288
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.027 ⋅ 0.288 = 0.007776

1 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P0.73 (X=1) = ( 3 1 ) 0.71 0.32 ≈ 0.189
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P0.43 (X=1) = ( 3 1 ) 0.41 0.62 ≈ 0.432
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.189 ⋅ 0.432 = 0.081648

2 mal unten und 0 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P0.73 (X=2) = ( 3 2 ) 0.72 0.31 ≈ 0.441
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P0.43 (X=0) = ( 3 0 ) 0.40 0.63 ≈ 0.216
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.441 ⋅ 0.216 = 0.095256


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0078 + 0.0816 + 0.0953 = 0.1847

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 95%. Es wird 6 mal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 6 4 ) 0.95 4 0.05 2

Dabei gibt ja 0.95 4 0.05 2 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 2 Nicht-Treffern und ( 6 4 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 6 4 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOO

OXXXXO

OOXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ 0.95 4 0.05 2 ≈ 0.0061

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 16% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 108 Tickets für ihr Flugzeug mit 95 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.84.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also P0.84108 (X95)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.84.

P0.84108 (X95) = P0.84108 (X=0) + P0.84108 (X=1) + P0.84108 (X=2) +... + P0.84108 (X=95) = 0.89901937995112 ≈ 0.899
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.84,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.899) und 'überbucht'(p=0.101).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.726572699
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.081628301
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.081628301
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0.009170699
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.081628301
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.009170699
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.009170699
überbucht -> überbucht -> überbucht0.001030301

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0.899; überbucht: 0.101;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.726572699)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0.081628301)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.081628301)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.081628301)


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0.726572699 + 0.081628301 + 0.081628301 + 0.081628301 = 0.971457602