Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 85% wirft 60 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 33 mal trifft.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 33) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 33 mal getroffen und 27 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=33 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 33 Treffer und
27 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅
Somit muss d = 0.15, sowie c = 33 und e = 27 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = +
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)
Beim ersten Summand
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)
Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal wird keine 6 gewürfelt.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 18 nicht funktionieren.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.17.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als
Analog betrachten wir nun die restlichen 80 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.17.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P =
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 95% und im Stehen 88%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2036 ⋅ 0.5277 = 0.10743972
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7738 ⋅ 0.3598 = 0.27841324
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.88.
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7738 ⋅ 0.5277 = 0.40833426
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.1074 + 0.2784 + 0.4083 = 0.7942
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 9 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXXOOOOO
OXXXXOOOO
OOXXXXOOO
OOOXXXXOO
OOOOXXXXO
OOOOOXXXX
Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 6% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 2 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.06.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.06, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.06.
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.06,2))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.4162) und 'nicht ok'(p=0.5838).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'
| Ereignis | P |
|---|---|
| kiste ok -> kiste ok | |
| kiste ok -> nicht ok | |
| nicht ok -> kiste ok | |
| nicht ok -> nicht ok |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok:
'kiste ok'-'kiste ok' (P=
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
