Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 21 mal getroffen und 19 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=21 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}40\\ 21\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 21 Treffer und 19 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.95}^{21}$ ⋅ ${0.05}^{19}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.05}^{19}$ ⋅ ${0.95}^{21}$

Somit muss d = 0.05, sowie c = 19 und e = 21 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine blaue Kugel gezogen" erkennen, also muss die Hochzahl 1 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.28.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.28}^{10}(X=3)$ ≈ 0.2642.

Analog betrachten wir nun die restlichen 70 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.28.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.28}^{70}(Y\le 18)$ ≈ 0.3919.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.28}^{10}(X=3)$ ⋅ $P_{0.28}^{70}(Y\le 18)$ = 0.2642 ⋅ 0.3919 ≈ 0.1035

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.46.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 38 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.46 zu erzielen, also $P_{0.46}^{50}(24\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.46}^{50}(X\le 38)$ - $P_{0.46}^{50}(X\le 23)$ ≈ 1 - 0.5578 ≈ 0.4422 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.46,38)- binompdf(50,0.46,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.73.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{40}(24\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{40}(X\le 28)$ - $P_{0.73}^{40}(X\le 23)$ ≈ 0.3918 - 0.0246 ≈ 0.3672 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(40,0.73,28)- binompdf(40,0.73,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4422 ⋅ 0.3672 ≈ 0.1624

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.0259

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{25}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

$P_{0.09}^{25}(X\le 4)$ = $P_{0.09}^{25}(X=0)$ + $P_{0.09}^{25}(X=1)$ + $P_{0.09}^{25}(X=2)$ +... + $P_{0.09}^{25}(X=4)$ = 0.93138653918453 ≈ 0.9314
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.09,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.9314) und 'nicht ok'(p=0.0686).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.9314$; nicht ok: $0.0686$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.86750596$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.86750596$ = $0.86750596$