Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 15 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 5 mal getroffen und 10 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=15 und b=5 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}15\\ 5\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 5 Treffer und 10 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{10}$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$

Somit muss d = 5, sowie c = 10 und e = 5 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim Summand ${0.3}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal trifft er in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.2}^{10}(X=3)$ ≈ 0.2013.

Analog betrachten wir nun die restlichen 50 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.2}^{50}(Y\le 12)$ ≈ 0.8139.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.2}^{10}(X=3)$ ⋅ $P_{0.2}^{50}(Y\le 12)$ = 0.2013 ⋅ 0.8139 ≈ 0.1638

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 3 kommen kann:

• 0 mal unten und 3 mal oben
• 1 mal unten und 2 mal oben
• 2 mal unten und 1 mal oben
• 3 mal unten und 0 mal oben

0 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.6}^0\cdot {0.4}^3$≈ 0.064
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.3}^3\cdot {0.7}^0$≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.064 ⋅ 0.027 = 0.001728

1 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.6}^1\cdot {0.4}^2$≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.3}^2\cdot {0.7}^1$≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.189 = 0.054432

2 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.6}^2\cdot {0.4}^1$≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.3}^1\cdot {0.7}^2$≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.432 ⋅ 0.441 = 0.190512

3 mal unten und 0 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.6}^3\cdot {0.4}^0$≈ 0.216
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.3}^0\cdot {0.7}^3$≈ 0.343
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p4=0.216 ⋅ 0.343 = 0.074088

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 4 Kombinationen addiert:

0.0017 + 0.0544 + 0.1905 + 0.0741 = 0.3208

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ ≈ 0.0013

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.08.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.08, also $P_{0.08}^{50}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.08.

$P_{0.08}^{50}(X\le 4)$ = $P_{0.08}^{50}(X=0)$ + $P_{0.08}^{50}(X=1)$ + $P_{0.08}^{50}(X=2)$ +... + $P_{0.08}^{50}(X=4)$ = 0.62895013881712 ≈ 0.629
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.08,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.629) und 'nicht ok'(p=0.371).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.629$; nicht ok: $0.371$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.395641$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.395641$ = $0.395641$