Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 100 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 30 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 30) = ( a b ) 0.7c de

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 30 mal getroffen und 70 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=30 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 100 30 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 30 Treffer und 70 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.7300.370

Somit muss d = 0.3, sowie c = 30 und e = 70 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 20 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 -0.720 - ( 20 a ) 0.719 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

Lösung einblenden

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei 0.720 steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.719, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 20 und 19 Treffer möglich sind, also 18, 17, ..., kurz P(X≤18) bzw. P(Y≥2).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Y: keine Treffer:
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 19 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 20 19 ) , also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein normaler Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass, Von den ersten 13 Versuchen höchstens 2 mal eine Sechs gewürfelt wird und von den restlichen Versuchen mindestens 4 Sechser gewürfelt werden?

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 13 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=13 und p= 1 6 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P 1 6 13 (X2) ≈ 0.6281.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p= 1 6 .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P 1 6 18 (Y4) = 1- P 1 6 18 (Y3) ≈ 0.3521.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P 1 6 13 (X2) P 1 6 18 (Y4) = 0.6281 ⋅ 0.3521 ≈ 0.2212

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 90% und im Stehen 90%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

  • 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=4) = ( 5 4 ) 0.94 0.11 ≈ 0.3281
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=5) = ( 5 5 ) 0.95 0.10 ≈ 0.5905
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3281 ⋅ 0.5905 = 0.19374305

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=5) = ( 5 5 ) 0.95 0.10 ≈ 0.5905
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=4) = ( 5 4 ) 0.94 0.11 ≈ 0.3281
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.5905 ⋅ 0.3281 = 0.19374305

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=5) = ( 5 5 ) 0.95 0.10 ≈ 0.5905
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

P0.95 (X=5) = ( 5 5 ) 0.95 0.10 ≈ 0.5905
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.5905 ⋅ 0.5905 = 0.34869025


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1937 + 0.1937 + 0.3487 = 0.7362

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 5% wirft 7 mal auf den Korb.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 7 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 5 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 7 5 ) 0.05 5 0.95 2

Dabei gibt ja 0.05 5 0.95 2 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und ( 7 5 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 7 5 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ 0.05 5 0.95 2 ≈ 0

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 18% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 107 Tickets für ihr Flugzeug mit 95 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.82.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also P0.82107 (X95)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.82.

P0.82107 (X95) = P0.82107 (X=0) + P0.82107 (X=1) + P0.82107 (X=2) +... + P0.82107 (X=95) = 0.97977891654936 ≈ 0.9798
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.82,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9798) und 'überbucht'(p=0.0202).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.940615877592
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.019392162408
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.019392162408
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0.000399797592
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.019392162408
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.000399797592
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.000399797592
überbucht -> überbucht -> überbucht8.242408E-6

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0.9798; überbucht: 0.0202;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.940615877592)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0.019392162408)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.019392162408)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.019392162408)


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0.940615877592 + 0.019392162408 + 0.019392162408 + 0.019392162408 = 0.998792364816