Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 46 mal getroffen und 14 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=46 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}60\\ 46\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 46 Treffer und 14 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.8}^{46}$ ⋅ ${0.2}^{14}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.2}^{14}$ ⋅ ${0.8}^{46}$

Somit muss d = 0.2, sowie c = 14 und e = 46 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei ${0.2}^{10}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 10 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=10) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.2}^9$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 9 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 9 Treffer sein, also P(X=9) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 10 und 9 Treffer möglich sind, also 8, 7, ..., kurz P(X≤8) bzw. P(Y≥2).

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 8 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Mindestens 2 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.8.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)$, also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 7 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^7(X\le 4)$ ≈ 0.7734.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{12}(Y=7)$ ≈ 0.1934.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^7(X\le 4)$ ⋅ $P_{0.5}^{12}(Y=7)$ = 0.7734 ⋅ 0.1934 ≈ 0.1496

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.45.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 37 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{65}(24\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{65}(X\le 37)$ - $P_{0.45}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.9799 - 0.0749 ≈ 0.905 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(65,0.45,37)- binompdf(65,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.72.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.72 zu erzielen, also $P_{0.72}^{50}(19\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.72}^{50}(X\le 28)$ - $P_{0.72}^{50}(X\le 18)$ ≈ 0.0112 - 0 ≈ 0.0112 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.72,28)- binompdf(50,0.72,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.905 ⋅ 0.0112 ≈ 0.0101

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$

Dabei gibt ja ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.75}^4$ ⋅ ${0.25}^1$ ≈ 0.1582

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.81.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{108}(X\le 98)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.81.

$P_{0.81}^{108}(X\le 98)$ = $P_{0.81}^{108}(X=0)$ + $P_{0.81}^{108}(X=1)$ + $P_{0.81}^{108}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{108}(X=98)$ = 0.99828190276774 ≈ 0.9983
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.81,98))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9983) und 'überbucht'(p=0.0017).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9983$; überbucht: $0.0017$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.994908665087$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.001694224913$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.001694224913$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.001694224913$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.994908665087$ + $0.001694224913$ + $0.001694224913$ + $0.001694224913$ = $0.999991339826$