Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 100 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 18 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 18) = ( a b ) dc 0.7e

Lösung einblenden

Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 18 mal getroffen und 82 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=18 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 100 18 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 18 Treffer und 82 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.7180.382 oder eben (einfach vertauscht) 0.3820.718

Somit muss d = 0.3, sowie c = 82 und e = 18 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - ( 5 6 )5 - ( 5 a ) ( 1 6 )1 ( b 6 )c die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ( 5 6 )5 steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ( 1 6 )1, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5

Y: keine Treffer:
5
4
3
2
1
0

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 4 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 5 1 ) , also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,3. Es wird 70 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
Von den ersten 15 Versuchen landen genau 6 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 20 mal auf grün gedreht.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.315 (X=6) ≈ 0.1472.

Analog betrachten wir nun die restlichen 55 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.355 (Y20) = 1- P0.355 (Y19) ≈ 0.1875.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.315 (X=6) P0.355 (Y20) = 0.1472 ⋅ 0.1875 ≈ 0.0276

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 45 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 35 am Samstag so zwischen 21 und 30 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 73% höher als am Freitag mit 47%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.47.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also P0.4750 (30X35) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.4750 (X35) - P0.4750 (X29) ≈ 0.9997 - 0.9554 ≈ 0.0443 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.47,35)- binompdf(50,0.47,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.73.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also P0.7345 (21X30) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.7345 (X30) - P0.7345 (X20) ≈ 0.2122 - 0 ≈ 0.2122 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.73,30)- binompdf(45,0.73,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0443 ⋅ 0.2122 ≈ 0.0094

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

9 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 9 3 ) ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 6

Dabei gibt ja ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 6 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und ( 9 3 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 9 3 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ( 1 6 ) 3 ( 5 6 ) 6 ≈ 0.0109

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 14% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 105 Tickets für ihr Flugzeug mit 96 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.86.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 96 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also P0.86105 (X96)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.86.

P0.86105 (X96) = P0.86105 (X=0) + P0.86105 (X=1) + P0.86105 (X=2) +... + P0.86105 (X=96) = 0.9666275280077 ≈ 0.9666
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.86,96))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9666) und 'überbucht'(p=0.0334).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.903109420296
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.031206139704
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.031206139704
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0.001078300296
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.031206139704
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.001078300296
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.001078300296
überbucht -> überbucht -> überbucht3.7259704E-5

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0.9666; überbucht: 0.0334;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.903109420296)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0.031206139704)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.031206139704)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.031206139704)


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0.903109420296 + 0.031206139704 + 0.031206139704 + 0.031206139704 = 0.996727839408