Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 34 mal getroffen und 46 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=34 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}80\\ 34\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 34 Treffer und 46 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{34}$ ⋅ ${0.3}^{46}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 34 und e = 46 sein.

Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.

In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine 6 gewürfelt" erkennen, also muss die Hochzahl 19 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 19 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Genau 1 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^{20}(X=3)$ ≈ 0.1339.

Analog betrachten wir nun die restlichen 40 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{40}(Y\ge 9)$ = 1- $P_{0.25}^{40}(Y\le 8)$ ≈ 0.7002.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^{20}(X=3)$ ⋅ $P_{0.25}^{40}(Y\ge 9)$ = 0.1339 ⋅ 0.7002 ≈ 0.0938

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.48.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.48 zu erzielen, also $P_{0.48}^{60}(24\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.48}^{60}(X\le 35)$ - $P_{0.48}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.9584 - 0.0849 ≈ 0.8735 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(60,0.48,35)- binompdf(60,0.48,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.69.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 32 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{45}(23\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{45}(X\le 32)$ - $P_{0.69}^{45}(X\le 22)$ ≈ 0.6738 - 0.0039 ≈ 0.6699 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.69,32)- binompdf(45,0.69,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8735 ⋅ 0.6699 ≈ 0.5852

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.0259

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.9.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0113 ≈ 0.9887 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.9,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9887) und 'zu wenig'(p=0.0113).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.9887$; zu wenig: $0.0113$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.01117231$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.01117231$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.97752769$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.01117231$ + $0.01117231$ + $0.97752769$ = $0.99987231$