Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 15 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal eine 6 geworfen wird.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 15) = ( a b ) ( d 6 )c ( 1 6 )e

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 15 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 15 mal getroffen und 0 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=15 und b=15 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 15 15 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 15 Treffer und 0 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
( 1 6 )15( 5 6 )0 oder eben (einfach vertauscht) ( 5 6 )0( 1 6 )15

Somit muss d = 5, sowie c = 0 und e = 15 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von p=0,5 wirft 5 mal auf den Korb.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 -0.55 - ( 5 a ) 0.54 bc die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei 0.55 steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz 0.54, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 5 und 4 Treffer möglich sind, also 3, 2, ..., kurz P(X≤3) bzw. P(Y≥2).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5

Y: keine Treffer:
5
4
3
2
1
0

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 3 mal trifft er in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 5 4 ) , also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 14 nicht funktionieren.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.15.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.1510 (X=2) ≈ 0.2759.

Analog betrachten wir nun die restlichen 60 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.15.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.1560 (Y14) ≈ 0.9709.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.1510 (X=2) P0.1560 (Y14) = 0.2759 ⋅ 0.9709 ≈ 0.2679

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 95% und im Stehen 83%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

  • 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

P0.955 (X=4) = ( 5 4 ) 0.954 0.051 ≈ 0.2036
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

P0.835 (X=5) = ( 5 5 ) 0.835 0.170 ≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2036 ⋅ 0.3939 = 0.08019804

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

P0.955 (X=5) = ( 5 5 ) 0.955 0.050 ≈ 0.7738
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

P0.835 (X=4) = ( 5 4 ) 0.834 0.171 ≈ 0.4034
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7738 ⋅ 0.4034 = 0.31215092

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

P0.955 (X=5) = ( 5 5 ) 0.955 0.050 ≈ 0.7738
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

P0.835 (X=5) = ( 5 5 ) 0.835 0.170 ≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7738 ⋅ 0.3939 = 0.30479982


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0802 + 0.3122 + 0.3048 = 0.6971

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 75% wirft 6 mal auf den Korb.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 6 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 6 3 ) 0.75 3 0.25 3

Dabei gibt ja 0.75 3 0.25 3 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und ( 6 3 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 6 3 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ 0.75 3 0.25 3 ≈ 0.0264

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 13% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 95 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.87.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87, also P0.87106 (X95)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.87.

P0.87106 (X95) = P0.87106 (X=0) + P0.87106 (X=1) + P0.87106 (X=2) +... + P0.87106 (X=95) = 0.82764132855314 ≈ 0.8276
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.87,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.8276) und 'überbucht'(p=0.1724).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

EreignisP
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.566841248576
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.118080511424
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.118080511424
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht0.024597728576
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht0.118080511424
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht0.024597728576
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht0.024597728576
überbucht -> überbucht -> überbucht0.005124031424

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: 0.8276; überbucht: 0.1724;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.566841248576)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=0.118080511424)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.118080511424)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=0.118080511424)


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0.566841248576 + 0.118080511424 + 0.118080511424 + 0.118080511424 = 0.921082782848