Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen genau 57 mal im grünen Bereich zu landen.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 57) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 57 mal getroffen und 23 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=57 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 57 Treffer und
23 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅
Somit muss d = 0.05, sowie c = 57 und e = 23 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 5 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = + die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)
Beim ersten Summand steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥4)
Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Mehr als 3 mal wird eine rote Kugel gezogen.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Eine faire Münze wird 24 mal geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 16 Versuchen landen höchstens 8 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 3 mal "Zahl".
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.5.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.5982.
Analog betrachten wir nun die restlichen 8 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=8 und p=0.5.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.2188.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.5982 ⋅ 0.2188 ≈ 0.1309
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 95% und im Stehen 84%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.2036Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
= ≈ 0.4182Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2036 ⋅ 0.4182 = 0.08514552
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.7738Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
= ≈ 0.3983Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7738 ⋅ 0.3983 = 0.30820454
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.7738Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.84.
= ≈ 0.4182Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7738 ⋅ 0.4182 = 0.32360316
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0851 + 0.3082 + 0.3236 = 0.717
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 40%. Es wird 10 mal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXXXOOOOO
OXXXXXOOOO
OOXXXXXOOO
OOOXXXXXOO
OOOOXXXXXO
OOOOOXXXXX
Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 6 ⋅ ⋅ ≈ 0.0048
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 17% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 108 Tickets für ihr Flugzeug mit 93 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.83.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.83.
= + + +... + = 0.83872151069244 ≈ 0.8387(TI-Befehl: binomcdf(108,0.83,93))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.8387) und 'überbucht'(p=0.1613).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: ; überbucht: ;
Die relevanten Pfade sind:
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
