Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 3 mal getroffen und 17 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=3 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 3 Treffer und 17 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^{17}$

Somit muss d = 5, sowie c = 3 und e = 17 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 13 mal wird eine blaue Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 7 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=7 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 0)$ ≈ 0.2791.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\ge 2)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\le 1)$ ≈ 0.4573.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 0)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\ge 2)$ = 0.2791 ⋅ 0.4573 ≈ 0.1276

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

• 1 mal unten und 3 mal oben
• 2 mal unten und 2 mal oben
• 3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.6}^1\cdot {0.4}^2$≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.3}^3\cdot {0.7}^0$≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.288 ⋅ 0.027 = 0.007776

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.6}^2\cdot {0.4}^1$≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.3}^2\cdot {0.7}^1$≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.432 ⋅ 0.189 = 0.081648

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.6.

$P_{0.6}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.6}^3\cdot {0.4}^0$≈ 0.216
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.3}^1\cdot {0.7}^2$≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.216 ⋅ 0.441 = 0.095256

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0078 + 0.0816 + 0.0953 = 0.1847

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^1$ ≈ 0.0013

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.86.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 96 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also $P_{0.86}^{106}(X\le 96)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.86.

$P_{0.86}^{106}(X\le 96)$ = $P_{0.86}^{106}(X=0)$ + $P_{0.86}^{106}(X=1)$ + $P_{0.86}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.86}^{106}(X=96)$ = 0.93912621227808 ≈ 0.9391
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.86,96))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9391) und 'überbucht'(p=0.0609).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9391$; überbucht: $0.0609$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.828200563471$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.053708246529$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.053708246529$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.053708246529$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.828200563471$ + $0.053708246529$ + $0.053708246529$ + $0.053708246529$ = $0.989325303058$