Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 18 mal getroffen und 82 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=18 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 18\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 18 Treffer und 82 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{18}$ ⋅ ${0.3}^{82}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^{82}$ ⋅ ${0.7}^{18}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 82 und e = 18 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 4 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.3}^{15}(X=6)$ ≈ 0.1472.

Analog betrachten wir nun die restlichen 55 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.3}^{55}(Y\ge 20)$ = 1- $P_{0.3}^{55}(Y\le 19)$ ≈ 0.1875.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.3}^{15}(X=6)$ ⋅ $P_{0.3}^{55}(Y\ge 20)$ = 0.1472 ⋅ 0.1875 ≈ 0.0276

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.47.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{50}(30\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{50}(X\le 35)$ - $P_{0.47}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9997 - 0.9554 ≈ 0.0443 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.47,35)- binompdf(50,0.47,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.73.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{45}(21\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.73}^{45}(X\le 20)$ ≈ 0.2122 - 0 ≈ 0.2122 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.73,30)- binompdf(45,0.73,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0443 ⋅ 0.2122 ≈ 0.0094

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^6$ ≈ 0.0109

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.86.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 96 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86, also $P_{0.86}^{105}(X\le 96)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.86.

$P_{0.86}^{105}(X\le 96)$ = $P_{0.86}^{105}(X=0)$ + $P_{0.86}^{105}(X=1)$ + $P_{0.86}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.86}^{105}(X=96)$ = 0.9666275280077 ≈ 0.9666
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.86,96))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9666) und 'überbucht'(p=0.0334).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9666$; überbucht: $0.0334$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.903109420296$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.031206139704$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.031206139704$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.031206139704$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.903109420296$ + $0.031206139704$ + $0.031206139704$ + $0.031206139704$ = $0.996727839408$