Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 60 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 4 blaue Kugeln gezogen werden.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 4) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 4 mal getroffen und 56 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=4 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 4 Treffer und
56 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅
Somit muss d = 0.3, sowie c = 4 und e = 56 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 15 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Man kann relativ gut erkennen, dass es sich hier um die Formel von Bernoulli handeln muss, das heißt also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gegeben ist.
In der Basis der ersten Potenz kann man die gegebene Wahrscheinlichkeit für "Es wird eine blaue Kugel gezogen" erkennen, also muss die Hochzahl 14 die Anzahl der Treffer sein und die gesuchte Option ist: Genau 14 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Genau 1 mal wird eine rote Kugel gezogen.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.
Die Hochzahl der ersten Potenz gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,23 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 18 nicht funktionieren.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.23.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.2942.
Analog betrachten wir nun die restlichen 50 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.23.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.9878.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.2942 ⋅ 0.9878 ≈ 0.2906
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 45 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 34 am Samstag so zwischen 20 und 26 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 64% höher als am Freitag mit 49%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Freitag:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.49.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.9979 - 0.9216 ≈ 0.0763 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.49,34)- binompdf(50,0.49,29)
Samstag:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.64.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.2355 - 0.0024 ≈ 0.2331 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(45,0.64,26)- binompdf(45,0.64,19)
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:
P ≈ 0.0763 ⋅ 0.2331 ≈ 0.0178
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 80% wirft 10 mal auf den Korb.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 10 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 4 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXXOOOOOO
OXXXXOOOOO
OOXXXXOOOO
OOOXXXXOOO
OOOOXXXXOO
OOOOOXXXXO
OOOOOOXXXX
Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 7 ⋅ ⋅ ≈ 0.0002
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 12% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 93 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.88.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.88, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.88.
= + + +... + = 0.51097701276491 ≈ 0.511(TI-Befehl: binomcdf(106,0.88,93))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.511) und 'überbucht'(p=0.489).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: ; überbucht: ;
Die relevanten Pfade sind:
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
