Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 9 mal getroffen und 11 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=9 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 9\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 9 Treffer und 11 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^9$ ⋅ ${0.3}^{11}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.3}^{11}$ ⋅ ${0.7}^9$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 11 und e = 9 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤3).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Höchstens 3 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^4(X=0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{16}(Y\le 5)$ ≈ 0.8103.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^4(X=0)$ ⋅ $P_{0.25}^{16}(Y\le 5)$ = 0.3164 ⋅ 0.8103 ≈ 0.2564

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.52.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also $P_{0.52}^{60}(30\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.52}^{60}(X\le 36)$ - $P_{0.52}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.9151 - 0.3299 ≈ 0.5852 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(60,0.52,36)- binompdf(60,0.52,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.69.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{35}(25\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{35}(X\le 28)$ - $P_{0.69}^{35}(X\le 24)$ ≈ 0.9493 - 0.5416 ≈ 0.4077 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(35,0.69,28)- binompdf(35,0.69,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5852 ⋅ 0.4077 ≈ 0.2386

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.07.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.07.

$P_{0.07}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.07}^{25}(X=0)$ + $P_{0.07}^{25}(X=1)$ + $P_{0.07}^{25}(X=2)$ = 0.74656243172887 ≈ 0.7466
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.07,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.7466) und 'nicht ok'(p=0.2534).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.7466$; nicht ok: $0.2534$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.55741156$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.55741156$ = $0.55741156$