Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 13 mal getroffen und 7 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=13 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 13\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 13 Treffer und 7 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{13}$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^7$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^7$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^{13}$

Somit muss d = 5, sowie c = 7 und e = 13 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^{14}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=15)+P(X=14)=P(X≥14) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 14 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal wird eine rote Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 14\end{array}\right)$, also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{11}(X=2)$ ≈ 0.2584.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^{18}(Y=4)$ ≈ 0.1152.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{11}(X=2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^{18}(Y=4)$ = 0.2584 ⋅ 0.1152 ≈ 0.0298

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.56.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.56 zu erzielen, also $P_{0.56}^{55}(24\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.56}^{55}(X\le 35)$ - $P_{0.56}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9 - 0.0241 ≈ 0.8759 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.56,35)- binompdf(55,0.56,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.73.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{50}(25\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.73}^{50}(X\le 24)$ ≈ 0.0012 - 0.0002 ≈ 0.001 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.73,26)- binompdf(50,0.73,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8759 ⋅ 0.001 ≈ 0.0009

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 7 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOOO

OXXXOOOOOO

OOXXXOOOOO

OOOXXXOOOO

OOOOXXXOOO

OOOOOXXXOO

OOOOOOXXXO

OOOOOOOXXX

Es gibt also genau 8 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 8 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^7$ ≈ 0.0006

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.89.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89, also $P_{0.89}^{107}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.89.

$P_{0.89}^{107}(X\le 97)$ = $P_{0.89}^{107}(X=0)$ + $P_{0.89}^{107}(X=1)$ + $P_{0.89}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.89}^{107}(X=97)$ = 0.7518769923116 ≈ 0.7519
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.89,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.7519) und 'überbucht'(p=0.2481).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.7519$; überbucht: $0.2481$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.425089379359$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.140264230641$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.140264230641$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.140264230641$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.425089379359$ + $0.140264230641$ + $0.140264230641$ + $0.140264230641$ = $0.845882071282$