Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 6 mal getroffen und 14 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=6 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 6 Treffer und 14 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.55}^6$ ⋅ ${0.45}^{14}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.45}^{14}$ ⋅ ${0.55}^6$

Somit muss d = 0.45, sowie c = 14 und e = 6 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.5}^5$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.5}^4$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=5)+P(X=4)=P(X≥4) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 4 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Höchstens 1 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$, also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{10}(X=6)$ ≈ 0.2051.

Analog betrachten wir nun die restlichen 70 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{70}(Y\ge 39)$ = 1- $P_{0.5}^{70}(Y\le 38)$ ≈ 0.2015.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{10}(X=6)$ ⋅ $P_{0.5}^{70}(Y\ge 39)$ = 0.2051 ⋅ 0.2015 ≈ 0.0413

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.6.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.6 zu erzielen, also $P_{0.6}^{55}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.6}^{55}(X\le 33)$ - $P_{0.6}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.5511 - 0.1675 ≈ 0.3836 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.6,33)- binompdf(55,0.6,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.65.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 32 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.65 zu erzielen, also $P_{0.65}^{40}(23\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.65}^{40}(X\le 32)$ - $P_{0.65}^{40}(X\le 22)$ ≈ 0.9876 - 0.1239 ≈ 0.8637 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(40,0.65,32)- binompdf(40,0.65,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3836 ⋅ 0.8637 ≈ 0.3313

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^6$

Dabei gibt ja ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.4}^4$ ⋅ ${0.6}^6$ ≈ 0.0084

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.88.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.88, also $P_{0.88}^{103}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.88.

$P_{0.88}^{103}(X\le 97)$ = $P_{0.88}^{103}(X=0)$ + $P_{0.88}^{103}(X=1)$ + $P_{0.88}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.88}^{103}(X=97)$ = 0.98810570720173 ≈ 0.9881
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.88,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9881) und 'überbucht'(p=0.0119).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9881$; überbucht: $0.0119$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.964723144841$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.011618465159$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.011618465159$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.011618465159$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.964723144841$ + $0.011618465159$ + $0.011618465159$ + $0.011618465159$ = $0.999578540318$