Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 60 mal getroffen und 40 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=60 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 60\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 60 Treffer und 40 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.75}^{60}$ ⋅ ${0.25}^{40}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.25}^{40}$ ⋅ ${0.75}^{60}$

Somit muss d = 0.25, sowie c = 40 und e = 60 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.9}^{10}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.1}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)

Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 2 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.9.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 12 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=12 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{12}(X=0)$ ≈ 0.2014.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^{13}(Y=0)$ ≈ 0.1762.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{12}(X=0)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^{13}(Y=0)$ = 0.2014 ⋅ 0.1762 ≈ 0.0355

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.46.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.46 zu erzielen, also $P_{0.46}^{50}(30\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.46}^{50}(X\le 35)$ - $P_{0.46}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9998 - 0.9673 ≈ 0.0325 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.46,35)- binompdf(50,0.46,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.73.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 32 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{50}(25\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{50}(X\le 32)$ - $P_{0.73}^{50}(X\le 24)$ ≈ 0.1034 - 0.0002 ≈ 0.1032 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.73,32)- binompdf(50,0.73,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0325 ⋅ 0.1032 ≈ 0.0034

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^4$

Dabei gibt ja ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOO

OXXXXXOOO

OOXXXXXOO

OOOXXXXXO

OOOOXXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^4$ ≈ 0.0026

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{25}(X\le 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

$P_{0.09}^{25}(X\le 4)$ = $P_{0.09}^{25}(X=0)$ + $P_{0.09}^{25}(X=1)$ + $P_{0.09}^{25}(X=2)$ +... + $P_{0.09}^{25}(X=4)$ = 0.93138653918453 ≈ 0.9314
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.09,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.9314) und 'nicht ok'(p=0.0686).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $0.9314$; nicht ok: $0.0686$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P=$0.86750596$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.86750596$ = $0.86750596$