Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 5% wirft 80 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 64 mal trifft.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 64) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 64 mal getroffen und 16 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=64 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 64 Treffer und
16 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅
Somit muss d = 0.95, sowie c = 64 und e = 16 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von p=0,9 wirft 10 mal auf den Korb.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = + die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)
Beim ersten Summand steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)
Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Mehr als 8 mal trifft er nicht in den Korb.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.1.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Ein Lehrer verteilt bei einer Klassenarbeit an alle seine 29 Schülerinnen und Schüler jeweils einen Glückskeks. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 16 Mädchen genau 2 einen Glückskeks mit einer Peperoni und von den Jungs genau 0 einen Glückskeks mit einer Peperoni erwischen .
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16
Durchgänge:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.2891.
Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.1762.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.2891 ⋅ 0.1762 ≈ 0.0509
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 50% und oben 20%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 2 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:
- 0 mal unten und 2 mal oben
- 1 mal unten und 1 mal oben
- 2 mal unten und 0 mal oben
0 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.125Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.096Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.125 ⋅ 0.096 = 0.012
1 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.375Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.384Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.375 ⋅ 0.384 = 0.144
2 mal unten und 0 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.375Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.512Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.375 ⋅ 0.512 = 0.192
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.012 + 0.144 + 0.192 = 0.348
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
9 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
⋅
⋅
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXXOOOOO
OXXXXOOOO
OOXXXXOOO
OOOXXXXOO
OOOOXXXXO
OOOOOXXXX
Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 11% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 103 Tickets für ihr Flugzeug mit 97 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.89.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.89, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.89.
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.89,97))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9756) und 'überbucht'(p=0.0244).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht:
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
