Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 10 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 7 mal getroffen und 3 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=10 und b=7 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 7 Treffer und 3 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^7$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ oder eben (einfach vertauscht) ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^7$

Somit muss d = 5, sowie c = 3 und e = 7 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim Summand ${0.2}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.8}^1$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤13).

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal trifft er in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.2.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$, also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.15.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.15}^{15}(X=4)$ ≈ 0.1156.

Analog betrachten wir nun die restlichen 65 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.15.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.15}^{65}(Y\ge 6)$ = 1- $P_{0.15}^{65}(Y\le 5)$ ≈ 0.9383.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.15}^{15}(X=4)$ ⋅ $P_{0.15}^{65}(Y\ge 6)$ = 0.1156 ⋅ 0.9383 ≈ 0.1085

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.45.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{65}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{65}(X\le 36)$ - $P_{0.45}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.9643 - 0.0749 ≈ 0.8894 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(65,0.45,36)- binompdf(65,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.66.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 32 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also $P_{0.66}^{50}(21\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.66}^{50}(X\le 32)$ - $P_{0.66}^{50}(X\le 20)$ ≈ 0.4346 - 0.0002 ≈ 0.4344 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.66,32)- binompdf(50,0.66,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8894 ⋅ 0.4344 ≈ 0.3864

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^5$

Dabei gibt ja ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOO

OXXXXOOOO

OOXXXXOOO

OOOXXXXOO

OOOOXXXXO

OOOOOXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^5$ ≈ 0.0002

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.84.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{103}(X\le 99)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.84.

$P_{0.84}^{103}(X\le 99)$ = $P_{0.84}^{103}(X=0)$ + $P_{0.84}^{103}(X=1)$ + $P_{0.84}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.84}^{103}(X=99)$ = 0.99997724251326 ≈ 1
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.84,99))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=1) und 'überbucht'(p=0).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $1$; überbucht: $0$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$1$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$1$ + $0$ + $0$ + $0$ = $1$