Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 69 mal getroffen und 31 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=69 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}100\\ 69\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 69 Treffer und 31 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.55}^{69}$ ⋅ ${0.45}^{31}$

Somit muss d = 0.45, sowie c = 69 und e = 31 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim ersten Summand ${0.8}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.8}^{19}$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal trifft er in den Korb oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal trifft er nicht in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.2.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}20\\ 19\end{array}\right)$, also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 9 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^9(X\le 5)$ ≈ 0.7461.

Analog betrachten wir nun die restlichen 5 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^5(Y=2)$ ≈ 0.3125.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^9(X\le 5)$ ⋅ $P_{0.5}^5(Y=2)$ = 0.7461 ⋅ 0.3125 ≈ 0.2332

Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.91}^4\cdot {0.09}^1$≈ 0.3086
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.9}^5\cdot {0.1}^0$≈ 0.5905
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.3086 ⋅ 0.5905 = 0.1822283

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.91}^5\cdot {0.09}^0$≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.9}^4\cdot {0.1}^1$≈ 0.3281
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.624 ⋅ 0.3281 = 0.2047344

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.91.

$P_{0.91}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.91}^5\cdot {0.09}^0$≈ 0.624
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.9.

$P_{0.9}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.9}^5\cdot {0.1}^0$≈ 0.5905
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.624 ⋅ 0.5905 = 0.368472

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1822 + 0.2047 + 0.3685 = 0.7554

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ ≈ 0.0018

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.81.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{105}(X\le 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.81.

$P_{0.81}^{105}(X\le 94)$ = $P_{0.81}^{105}(X=0)$ + $P_{0.81}^{105}(X=1)$ + $P_{0.81}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{105}(X=94)$ = 0.99389749814908 ≈ 0.9939
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.81,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9939) und 'überbucht'(p=0.0061).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0.9939$; überbucht: $0.0061$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.981811403019$)
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$0.006025806981$)
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.006025806981$)
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$0.006025806981$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.981811403019$ + $0.006025806981$ + $0.006025806981$ + $0.006025806981$ = $0.999888823962$