Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 23 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 23 ⋅ 0.65 = 14.95

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{23\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; 0.35}}$ = $\sqrt{\mathrm{5.2325}}$ ≈ 2.29

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅$\frac{1}{6}$ = 13.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 13.833, also 0.8⋅ 13.833 = 11.067 und 120% von 13.833333333333, also 1.2⋅ 13.833 = 16.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 13.833333333333 entfernt sein darf als 11.067 bzw. 16.6, muss sie also zwischen 12 und 16 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{83}(12\le X\le 16)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{83}(X\le 16)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{83}(X\le 11)$ ≈ 0.7876 - 0.2516 ≈ 0.536
(TI-Befehl: binomcdf(83,$\frac{1}{6}$,16) - binomcdf(83,$\frac{1}{6}$,11))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 46⋅$\frac{1}{6}$ ≈ 7.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>46</mn>\; <mo>\cdot </mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; <mo>\cdot </mo>\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 2.53

10.19 (7.67 + 2.53) und 5.14 (7.67 - 2.53) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{46}(6\le X\le 10)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{46}(X\le 10)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{46}(X\le 5)$ ≈ 0.8674 - 0.1989 ≈ 0.6685
(TI-Befehl: binomcdf(46,$\frac{1}{6}$,10) - binomcdf(46,$\frac{1}{6}$,5))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 2. Somit gilt:

2 = 20 ⋅ p |:20

p = $\frac{2}{20}$ = $\frac{1}{10}$

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 19 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer bei 18 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 18 ⋅ 0.7 = 12.6 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.42 + 0.41+ 0.33 ≈ 1.16 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=11)⋅11 + P(X=12)⋅12 + P(X=15)⋅15 + P(X=17)⋅17
= 0,4⋅11 + 0,1⋅12 + 0,2⋅15 + 0,3⋅17
= 4,4 + 1,2 + 3 + 5,1

= 13,7

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=11)⋅(13,7-11)² + P(X=12)⋅(13,7-12)² + P(X=15)⋅(13,7-15)² + P(X=17)⋅(13,7-17)²
= 0,4⋅(2,7)² + 0,1⋅(1,7)² + 0,2⋅(-1,3)² + 0,3⋅(-3,3)²
= 0,4⋅7,29 + 0,1⋅2,89 + 0,2⋅1,69 + 0,3⋅10,89
= 2,916 + 0,289 + 0,338 + 3,267
= 6.81

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{6.81}}$ ≈ 2,61

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.3⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅2 + 0.3⋅3
= 0 + 0.2 + 0.4 + 0.9

= 1.5

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.5-0)² + P(X=1)⋅(1.5-1)² + P(X=2)⋅(1.5-2)² + P(X=3)⋅(1.5-3)²
= 0.3⋅(1.5)² + 0.2⋅(0.5)² + 0.2⋅(-0.5)² + 0.3⋅(-1.5)²
= 0.3⋅2.25 + 0.2⋅0.25 + 0.2⋅0.25 + 0.3⋅2.25
= 0.675 + 0.05 + 0.05 + 0.675
= 1.45

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{1.45}}$ ≈ 1.204