Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 50 und p = 0.45 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 50 ⋅ 0.45 = 22.5

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{50\; \cdot \; 0.45\; \cdot \; 0.55}}$ = $\sqrt{\mathrm{12.375}}$ ≈ 3.52

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=48⋅0.55 = 26.4

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 26.4, also 0.8⋅ 26.4 = 21.12 und 120% von 26.4, also 1.2⋅ 26.4 = 31.68

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 26.4 entfernt sein darf als 21.12 bzw. 31.68, muss sie also zwischen 22 und 31 liegen.

$P_{0.55}^{48}(22\le X\le 31)$ =

...

$P_{0.55}^{48}(X\le 31)$ - $P_{0.55}^{48}(X\le 21)$ ≈ 0.9317 - 0.0779 ≈ 0.8538
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.55,31) - binomcdf(48,0.55,21))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 55⋅$\frac{1}{6}$ ≈ 9.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>55</mn>\; <mo>\cdot </mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; <mo>\cdot </mo>\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 2.76

11.93 (9.17 + 2.76) und 6.4 (9.17 - 2.76) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 11 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 11 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{55}(7\le X\le 11)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{55}(X\le 11)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{55}(X\le 6)$ ≈ 0.8042 - 0.1676 ≈ 0.6366
(TI-Befehl: binomcdf(55,$\frac{1}{6}$,11) - binomcdf(55,$\frac{1}{6}$,6))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 12. Somit gilt:

12 = 18 ⋅ p |:18

p = $\frac{12}{18}$ = $\frac{2}{3}$

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 13 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 13 Treffer bei 12 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 8 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.1 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 8 ⋅ 0.1 ≈ 0.8 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 12 ⋅ 0.7 = 8.4 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Also kann nur das Histogramm C das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=5)⋅5 + P(X=12)⋅12
= 0,7⋅2 + 0,1⋅5 + 0,2⋅12
= 1,4 + 0,5 + 2,4

= 4,3

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=2)⋅(4,3-2)² + P(X=5)⋅(4,3-5)² + P(X=12)⋅(4,3-12)²
= 0,7⋅(2,3)² + 0,1⋅(-0,7)² + 0,2⋅(-7,7)²
= 0,7⋅5,29 + 0,1⋅0,49 + 0,2⋅59,29
= 3,703 + 0,049 + 11,858
= 15.61

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{15.61}}$ ≈ 3,951

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.3⋅0 + 0.3⋅1 + 0.1⋅2 + 0.3⋅3
= 0 + 0.3 + 0.2 + 0.9

= 1.4

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.4-0)² + P(X=1)⋅(1.4-1)² + P(X=2)⋅(1.4-2)² + P(X=3)⋅(1.4-3)²
= 0.3⋅(1.4)² + 0.3⋅(0.4)² + 0.1⋅(-0.6)² + 0.3⋅(-1.6)²
= 0.3⋅1.96 + 0.3⋅0.16 + 0.1⋅0.36 + 0.3⋅2.56
= 0.588 + 0.048 + 0.036 + 0.768
= 1.44

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{1.44}}$ ≈ 1.2