Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 74 und p = 0.75 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 74 ⋅ 0.75 = 55.5

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{74\; \cdot \; 0.75\; \cdot \; 0.25}}$ = $\sqrt{\mathrm{13.875}}$ ≈ 3.72

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅0.6 = 58.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 58.8, also 0.8⋅ 58.8 = 47.04 und 120% von 58.8, also 1.2⋅ 58.8 = 70.56

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 58.8 entfernt sein darf als 47.04 bzw. 70.56, muss sie also zwischen 48 und 70 liegen.

$P_{0.6}^{98}(48\le X\le 70)$ =

...

$P_{0.6}^{98}(X\le 70)$ - $P_{0.6}^{98}(X\le 47)$ ≈ 0.993 - 0.0105 ≈ 0.9825
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.6,70) - binomcdf(98,0.6,47))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 73⋅$\frac{1}{6}$ ≈ 12.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>73</mn>\; <mo>\cdot </mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; <mo>\cdot </mo>\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 3.18

15.35 (12.17 + 3.18) und 8.98 (12.17 - 3.18) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 12.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 15 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 15 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{73}(9\le X\le 15)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{73}(X\le 15)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{73}(X\le 8)$ ≈ 0.8522 - 0.1216 ≈ 0.7306
(TI-Befehl: binomcdf(73,$\frac{1}{6}$,15) - binomcdf(73,$\frac{1}{6}$,8))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 8. Somit gilt:

8 = n ⋅ $\frac{2}{5}$ |⋅$\frac{5}{2}$

n = 20

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 11 ⋅ 0.9 = 9.9 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 12 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 12 Treffer bei 11 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.77 + 0.7+ 0.39 ≈ 1.86 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=1)⋅1 + P(X=6)⋅6 + P(X=16)⋅16
= 0,2⋅1 + 0,4⋅6 + 0,4⋅16
= 0,2 + 2,4 + 6,4

= 9

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=1)⋅(9-1)² + P(X=6)⋅(9-6)² + P(X=16)⋅(9-16)²
= 0,2⋅(8)² + 0,4⋅(3)² + 0,4⋅(-7)²
= 0,2⋅64 + 0,4⋅9 + 0,4⋅49
= 12,8 + 3,6 + 19,6
= 36

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{36}}$ ≈ 6

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.1⋅0 + 0.4⋅1 + 0.3⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6

= 1.6

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.6-0)² + P(X=1)⋅(1.6-1)² + P(X=2)⋅(1.6-2)² + P(X=3)⋅(1.6-3)²
= 0.1⋅(1.6)² + 0.4⋅(0.6)² + 0.3⋅(-0.4)² + 0.2⋅(-1.4)²
= 0.1⋅2.56 + 0.4⋅0.36 + 0.3⋅0.16 + 0.2⋅1.96
= 0.256 + 0.144 + 0.048 + 0.392
= 0.84

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{0.84}}$ ≈ 0.917