Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.6 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.6 = 12.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{21\; \cdot \; 0.6\; \cdot \; 0.4}}$ = $\sqrt{\mathrm{5.04}}$ ≈ 2.24

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=72⋅0.75 = 54

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 54, also 0.85⋅ 54 = 45.9 und 115% von 54, also 1.15⋅ 54 = 62.1

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 54 entfernt sein darf als 45.9 bzw. 62.1, muss sie also zwischen 46 und 62 liegen.

$P_{0.75}^{72}(46\le X\le 62)$ =

...

$P_{0.75}^{72}(X\le 62)$ - $P_{0.75}^{72}(X\le 45)$ ≈ 0.9928 - 0.0127 ≈ 0.9801
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.75,62) - binomcdf(72,0.75,45))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 89⋅0.35 ≈ 31.15,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>89</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.35\; <mo>\cdot </mo>\; 0.65}}$ ≈ 4.5

35.65 (31.15 + 4.5) und 26.65 (31.15 - 4.5) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 31.15 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 27 und 35 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 27 und 35 liegt.

$P_{0.35}^{89}(27\le X\le 35)$ =

...

$P_{0.35}^{89}(X\le 35)$ - $P_{0.35}^{89}(X\le 26)$ ≈ 0.8334 - 0.1505 ≈ 0.6829
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.35,35) - binomcdf(89,0.35,26))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 12. Somit gilt:

12 = n ⋅ $\frac{2}{3}$ |⋅$\frac{3}{2}$

n = 18

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.5 + 0.42+ 0.41 ≈ 1.33 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 15 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bei 14 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 14 ⋅ 0.75 = 10.5 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=14)⋅14 + P(X=20)⋅20
= 0,4⋅2 + 0,2⋅3 + 0,2⋅14 + 0,2⋅20
= 0,8 + 0,6 + 2,8 + 4

= 8,2

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=2)⋅(8,2-2)² + P(X=3)⋅(8,2-3)² + P(X=14)⋅(8,2-14)² + P(X=20)⋅(8,2-20)²
= 0,4⋅(6,2)² + 0,2⋅(5,2)² + 0,2⋅(-5,8)² + 0,2⋅(-11,8)²
= 0,4⋅38,44 + 0,2⋅27,04 + 0,2⋅33,64 + 0,2⋅139,24
= 15,376 + 5,408 + 6,728 + 27,848
= 55.36

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{55.36}}$ ≈ 7,44

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.3⋅2 + 0.1⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.3 + 0.6 + 0.3 + 0.8

= 2

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)² + P(X=1)⋅(2-1)² + P(X=2)⋅(2-2)² + P(X=3)⋅(2-3)² + P(X=4)⋅(2-4)²
= 0.1⋅(2)² + 0.3⋅(1)² + 0.3⋅(0)² + 0.1⋅(-1)² + 0.2⋅(-2)²
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.3⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.6

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{1.6}}$ ≈ 1.265