Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt p = 0,6, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass nicht in den grünen Bereich gedreht wird) beträgt sie q = 1 - 0,6 = $0.4$. Wenn genau 3 Treffer unter den 4 Versuchen sein sollen, bedeutet das doch, dass es genau einen Nicht-Treffer unter den 4 Versuchen geben muss. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann dieser Nicht-Treffer eintritt:

NichtTreffer - Treffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 1-ten Versuch)
Treffer - NichtTreffer - Treffer - Treffer (also der NichtTreffer im 2-ten Versuch)
Treffer - Treffer - NichtTreffer - Treffer (also der NichtTreffer im 3-ten Versuch)
Treffer - Treffer - Treffer - NichtTreffer (also der NichtTreffer im 4-ten Versuch)

Bei jedem dieser 4 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $0.4·{0.6}^3$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 4 Fälle gilt somit P = $4·0.4·{0.6}^3$ ≈ 0.3456 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}9\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; (9\; -\; 8)!}}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 1!}}$ = $\frac{\mathrm{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
8! = 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{9}{1}$

= 9

Für die erste Stelle ist jede Eissorte möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Eissorte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 9⋅8 = 72 Möglichkeiten, die 9 Möglichkeiten (Eissorten) auf die 2 "Ziehungen" (Kugeln) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Ananas - Birne - Citrone und Birne - Citrone - Ananas zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 72 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{72}}{2}$ = 36 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 9 Elementen (Eissorten) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 7! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

36 = $\frac{\mathrm{<mn>9</mn><mo>\cdot </mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 7!}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{6!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 38760 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 6 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 8 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 8 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 8) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}19\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{19!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 14!}}$ = $\frac{\mathrm{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 11628.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{11628}}{\mathrm{38760}}$ ≈ 0.3, also ca. 30%.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=$\frac{1}{4}$.

$P_{\frac{1}{4}}^{69}(X=23)$ = $\left(\begin{array}{c}69\\ 23\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{23}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{46}$=0.030597165097364≈ 0.0306
(TI-Befehl: binompdf(69,1/4,23))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(x) ≤ k
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
2	≈ 0.09	≈ 0.03 + 0.09 = 0.12
3	≈ 0.18	≈ 0.12 + 0.18 = 0.3

Während P(x ≤ 2) = 0.12 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.2 liegt, ist P(x ≤ 3) = 0.3 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^{67}(X\le 13)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=0)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=1)$ + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=2)$ +... + $P_{\frac{1}{6}}^{67}(X=13)$ = 0.78241089091534 ≈ 0.7824
(TI-Befehl: binomcdf(67,1/6,13))

...

$P_{0.125}^{31}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{0.125}^{31}(X\le 2)$ = 0.7623
(TI-Befehl: 1-binomcdf(31,0.125,2))

$P_{0.3}^{94}(22\le X\le 30)$ =

...

$P_{0.3}^{94}(X\le 30)$ - $P_{0.3}^{94}(X\le 21)$ ≈ 0.7014 - 0.0629 ≈ 0.6385
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.3,30) - binomcdf(94,0.3,21))