Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,2 = $0.8$ beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = ${0.8}^3$ ≈ 0.512 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (6\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{6!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 3!}}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{2\cdot 5\cdot 4}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{5\cdot 4}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 20

Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25⋅24 = 600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerinnen) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2⋅1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{600}}{2}$ = 300 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>25</mn><mo>\cdot </mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 23! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

300 = $\frac{\mathrm{<mn>25</mn><mo>\cdot </mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{<mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{2!\; \cdot \; 23!}}$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 2\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{25!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 53130 verschiedene Möglichkeiten, die 5 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 5 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 12 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 12 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 4 Kreuze auf 24 Zahlen (alle außer der 12) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{24!}}{\mathrm{4!\; \cdot \; 20!}}$ = $\frac{\mathrm{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}}{\mathrm{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 10626.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{10626}}{\mathrm{53130}}$ ≈ 0.2, also ca. 20%.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=$\frac{1}{8}$.

$P_{\frac{1}{8}}^{44}(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}44\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^6\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{38}$=0.16846608136702≈ 0.1685
(TI-Befehl: binompdf(44,1/8,6))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(x) ≤ k
0	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
1	≈ 0	≈ 0 + 0 = 0
2	≈ 0.01	≈ 0 + 0.01 = 0.01
3	≈ 0.05	≈ 0.01 + 0.05 = 0.06
4	≈ 0.1	≈ 0.06 + 0.1 = 0.16
5	≈ 0.17	≈ 0.16 + 0.17 = 0.33
6	≈ 0.21	≈ 0.33 + 0.21 = 0.54

Während P(x ≤ 5) = 0.33 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.45 liegt, ist P(x ≤ 6) = 0.54 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 6.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.5.

$P_{0.5}^{46}(X\le 25)$ = $P_{0.5}^{46}(X=0)$ + $P_{0.5}^{46}(X=1)$ + $P_{0.5}^{46}(X=2)$ +... + $P_{0.5}^{46}(X=25)$ = 0.76930440893162 ≈ 0.7693
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.5,25))

...

$P_{0.125}^{97}(X\ge 4)$ = 1 - $P_{0.125}^{97}(X\le 3)$ = 0.9987
(TI-Befehl: 1-binomcdf(97,0.125,3))

$P_{\frac{1}{6}}^{66}(8\le X\le 17)$ =

...

$P_{\frac{1}{6}}^{66}(X\le 17)$ - $P_{\frac{1}{6}}^{66}(X\le 7)$ ≈ 0.9796 - 0.1204 ≈ 0.8592
(TI-Befehl: binomcdf(66,$\frac{1}{6}$,17) - binomcdf(66,$\frac{1}{6}$,7))