Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1+2$

= $-4+2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+2\cdot 1$ = $-2\cdot 1+2$ = $-2+2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅ $1$ + c

0 = $-2$ + c | + $2$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2$

= $-3\cdot 1$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^3-2$ = $-1-2$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-3$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-3$ + c | + $3$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)-4$

= $-\frac{4}{3}-4$

= $-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}$

= $-\frac{16}{3}$

≈ -5.33

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{3}{16}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{3}{16}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{2}{3}\cdot 1+4$ = $\frac{2}{3}+4$ = $\frac{2}{3}+\frac{12}{3}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{14}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{14}{3}$ = $\frac{3}{16}$⋅ $-1$ + c

$\frac{14}{3}$ = $-\frac{3}{16}$ + c | + $\frac{3}{16}$

$\frac{233}{48}$ = c

also c= $\frac{233}{48}$ ≈ 4.85

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{3}{16}$⋅x + $\frac{233}{48}$ oder y=0.19x +4.85

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-3x^2+0$

f'(1) = $1^3-3\cdot 1^2$ = $1-3\cdot 1$ = $1-3$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-6x+3$ ab:

f'(x) = $2x-6$

Es muss gelten:

$2x-6$	=	$-2$	| $+6$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2-5$

= $3\cdot 1-5$

= $3-5$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-5\cdot 1$ = $1-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-2$ + c | + $2$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-2x-2$

$-2x-2$	=	0	| $+2$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $-1$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $10-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $10-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $10-2$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $-4$⋅2 + c

$8$ = $-8$ + c | + $8$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $16$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+16$

$-4t+16$	=	0	| $-16$
$-4t$	=	$-16$	|:($-4$)
$t$	=	$4$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $4$.