Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2+4$

= $-3\cdot 4+4$

= $-12+4$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2^3+4\cdot 2$ = $-8+8$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-8$⋅ $2$ + c

0 = $-16$ + c | + $16$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $16$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2-5$

= $3\cdot 1-5$

= $3-5$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-5\cdot 1$ = $1-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-2$ + c | + $2$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $6\cdot \left(-1\right)-1$

= $-6-1$

= $-7$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{1}{7}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{1}{7}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)$ = $3\cdot 1+1$ = $3+1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $\frac{1}{7}$⋅ $-1$ + c

$4$ = $-\frac{1}{7}$ + c | + $\frac{1}{7}$

$\frac{29}{7}$ = c

also c= $\frac{29}{7}$ ≈ 4.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{1}{7}$⋅x + $\frac{29}{7}$ oder y=0.14x +4.14

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+4x$

f'(1) = $-4\cdot 1^3+4\cdot 1$ = $-4\cdot 1+4$ = $-4+4$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+9$ ab:

f'(x) = $2x$

Es muss gelten:

$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)+3\cdot 1$ = $-1+3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-3$⋅ $-1$ + c

$2$ = $3$ + c | $-3$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3x-1$

$-3x-1$	=	0	| $+1$
$-3x$	=	$1$	|:($-3$)
$x$	=	$-\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{12}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}{t}^2$

= $-\frac{1}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{4}\cdot 9$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $9-\frac{1}{12}\cdot 3^3$ = $9-\frac{1}{12}\cdot 27$ = $9-\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{27}{2}$ = c

also c= $\frac{27}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{27}{2}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}t+\frac{27}{2}\right)$	=	0
$-9t+54$	=	0	| $-54$
$-9t$	=	$-54$	|:($-9$)
$t$	=	$6$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $6$.