Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3-4x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $-12\cdot 0^2-8\cdot 0$

= $-12\cdot 0+0$

= $0+0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^3-4\cdot 0^2$ = $-4\cdot 0-4\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot 0^2+5$

= $-\frac{3}{2}\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 0^3+5\cdot 0$ = $-\frac{1}{2}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $5$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $9\cdot {\left(-1\right)}^2+\frac{1}{3}$

= $9\cdot 1+\frac{1}{3}$

= $9+\frac{1}{3}$

= $\frac{27}{3}+\frac{1}{3}$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9.33

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $-\frac{3}{28}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$-\frac{3}{28}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^3+\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $3\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{3}$ = $-3-\frac{1}{3}$ = $-\frac{9}{3}-\frac{1}{3}$ = $-\frac{10}{3}$ ≈ -3.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{10}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{10}{3}$ = $-\frac{3}{28}$⋅ $-1$ + c

$-\frac{10}{3}$ = $\frac{3}{28}$ + c | $-\frac{3}{28}$

$-\frac{289}{84}$ = c

also c= $-\frac{289}{84}$ ≈ -3.44

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$-\frac{3}{28}$⋅x $-\frac{289}{84}$ oder y=-0.11x -3.44

Als Steigungswinkel wird der Winkel zwischen der Geraden und der horizontalen Grundebene, also der x₁x₂-Ebene bezeichnet. Der Normalenvektor, x₁x₂-Ebene steht natürlich senkrecht nach oben, hat also die Koordinaten $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Nach der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ a\end{array}\right)$ und einer Ebene mit dem Normalenvektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ muss also gelten:

sin(7.5°)=

sinus ausgerechnet (Vorsicht: Gradmaß, nicht Bogenmaß) und rechts vereinfacht:

0.1305 =

Wir multiplizieren mit der Wurzel im Nenner durch:

$\mathrm{0,1305}\sqrt{a^2+58}$ = |a|

Jetzt wird auf beiden Seiten quadriert:

(Vorsicht: Hier wird zwar auf beiden Seiten quadriert. Es könnte also eine Scheinlösung der Gleichung $\mathrm{0,1305}\sqrt{a^2+58}$ = -|a| hinzukommen. Diese kann aber keine Lösung haben, da die linke Seite immer positiv und die rechte immer negativ ist. Es kann also keine falsche Lösung hinzukommen, somit ist eine Probe nicht erforderlich)

$\mathrm{0,017}\left(a^2+58\right)$ = $a^2$

$\mathrm{0,017}{a}^2+\mathrm{0,986}$ = $a^2$

$\mathrm{0,017}{a}^2+\mathrm{0,986}$	=	$a^2$	| $-\mathrm{0,986}$ $-a^2$
$-\mathrm{0,983}{a}^2$	=	$-\mathrm{0,986}$	|: $\left(-\mathrm{0,983}\right)$
$a^2$	=	$\mathrm{1,00305}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,00305}}$	≈ $-\mathrm{1,002}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,00305}}$	≈ $\mathrm{1,002}$

Für a= $\mathrm{1,002}$ ≈ 1 ist der Steigungswinkel also 7.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-14x-7$ ab:

f'(x) = $2x-14$

Es muss gelten:

$2x-14$	=	$-2$	| $+14$
$2x$	=	$12$	|:$2$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-3$ = $\left(-1\right)-3$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $3$⋅ $-1$ + c

$-4$ = $-3$ + c | + $3$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x-1$

$3x-1$	=	0	| $+1$
$3x$	=	$1$	|:$3$
$x$	=	$\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{12}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}{t}^2$

= $-\frac{1}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^2$

= $-\frac{1}{4}\cdot 9$

= $-\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{9}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $10-\frac{1}{12}\cdot 3^3$ = $10-\frac{1}{12}\cdot 27$ = $10-\frac{9}{4}$ = $\frac{40}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{31}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{31}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{9}{4}$⋅3 + c

$\frac{31}{4}$ = $-\frac{27}{4}$ + c | + $\frac{27}{4}$

$\frac{29}{2}$ = c

also c= $\frac{29}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{9}{4}$⋅t + $\frac{29}{2}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}$

$-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}t+\frac{29}{2}\right)$	=	0
$-9t+58$	=	0	| $-58$
$-9t$	=	$-58$	|:($-9$)
$t$	=	$\frac{58}{9}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{58}{9}$ ≈ 6.44.