Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3-5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-12\cdot 1^2-10\cdot 1$

= $-12\cdot 1-10$

= $-12-10$

= $-22$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-22$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^3-5\cdot 1^2$ = $-4\cdot 1-5\cdot 1$ = $-4-5$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $-22$⋅ $1$ + c

$-9$ = $-22$ + c | + $22$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-22$⋅x + $13$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+0$

= $\frac{1}{3}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 1^2$

= $\frac{1}{3}\cdot 1$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot 1^3-4$ = $\frac{1}{9}\cdot 1-4$ = $\frac{1}{9}-4$ = $\frac{1}{9}-\frac{36}{9}$ = $-\frac{35}{9}$ ≈ -3.89

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{35}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{35}{9}$ = $\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{35}{9}$ = $\frac{1}{3}$ + c | $-\frac{1}{3}$

$-\frac{38}{9}$ = c

also c= $-\frac{38}{9}$ ≈ -4.22

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{38}{9}$ oder y=0.33x -4.22

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 2-4$

= $-8-4$

= $-12$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{1}{12}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{1}{12}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2-4\cdot 2$ = $-2\cdot 4-8$ = $-8-8$ = $-16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16$ = $\frac{1}{12}$⋅ $2$ + c

$-16$ = $\frac{1}{6}$ + c | $-\frac{1}{6}$

$-\frac{97}{6}$ = c

also c= $-\frac{97}{6}$ ≈ -16.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{1}{12}$⋅x $-\frac{97}{6}$ oder y=0.08x -16.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x-2$

f'(-3) = $-3\cdot \left(-3\right)-2$ = $9-2$ = $7$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $7$)) ≈ 81.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x-3$ ab:

f'(x) = $x+6$

Es muss gelten:

$x+6$	=	$2$	| $-6$
$x$	=	$-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2+4\cdot 1$

= $3\cdot 1+4$

= $3+4$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+2\cdot 1^2$ = $1+2\cdot 1$ = $1+2$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $7$⋅ $1$ + c

$3$ = $7$ + c | $-7$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x-4$

$7x-4$	=	0	| $+4$
$7x$	=	$4$	|:$7$
$x$	=	$\frac{4}{7}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $15-\frac{1}{16}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{16}{t}^2$

= $-\frac{3}{16}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(4)}=$ $-\frac{3}{16}\cdot 4^2$

= $-\frac{3}{16}\cdot 16$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $15-\frac{1}{16}\cdot 4^3$ = $15-\frac{1}{16}\cdot 64$ = $15-4$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $-3$⋅4 + c

$11$ = $-12$ + c | + $12$

$23$ = c

also c= $23$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $23$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+23$

$-3t+23$	=	0	| $-23$
$-3t$	=	$-23$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{23}{3}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{23}{3}$ ≈ 7.67.