Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2-4$ = $3\cdot 0-4$ = $0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = 0⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-2$ = $-2\cdot 1-2$ = $-2-2$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-4$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-4$ + c | + $4$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^2-3\cdot 1$

= $2\cdot 1-3$

= $2-3$

= $-1$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 1^3-\frac{3}{2}\cdot 1^2$ = $\frac{2}{3}\cdot 1-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $\frac{2}{3}-\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{6}-\frac{9}{6}$ = $-\frac{5}{6}$ ≈ -0.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{5}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{5}{6}$ = $1$⋅ $1$ + c

$-\frac{5}{6}$ = $1$ + c | $-1$

$-\frac{11}{6}$ = c

also c= $-\frac{11}{6}$ ≈ -1.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$1$⋅x $-\frac{11}{6}$ oder y=1x -1.83

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+2$

f'(-3) = $2\cdot \left(-3\right)+2$ = $-6+2$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+9$ ab:

f'(x) = $2x^3$

Es muss gelten:

$2x^3$	=	$-2$	|:$2$
$x^3$	=	$-1$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{1}$	= $-1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+2$

= $3+2$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $5$⋅ $-1$ + c

$-2$ = $-5$ + c | + $5$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $5x+3$

$5x+3$	=	0	| $-3$
$5x$	=	$-3$	|:$5$
$x$	=	$-\frac{3}{5}$ = -0.6

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $-\frac{3}{5}$ ≈ -0.6.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{36}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{9}{t}^3$

= $-\frac{1}{9}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(3)}=$ $-\frac{1}{9}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{9}\cdot 27$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $9-\frac{1}{36}\cdot 3^4$ = $9-\frac{1}{36}\cdot 81$ = $9-\frac{9}{4}$ = $\frac{36}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{27}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{4}$ = $-3$⋅3 + c

$\frac{27}{4}$ = $-9$ + c | + $9$

$\frac{63}{4}$ = c

also c= $\frac{63}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $\frac{63}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+\frac{63}{4}$

$-3t+\frac{63}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-3t+\frac{63}{4}\right)$	=	0
$-12t+63$	=	0	| $-63$
$-12t$	=	$-63$	|:($-12$)
$t$	=	$\frac{21}{4}$ = 5.25

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{21}{4}$ ≈ 5.25.