Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $9\cdot 0^2-1$

= $9\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^3-0$ = $3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $8\cdot 2$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+4$ = $4\cdot 4+4$ = $16+4$ = $20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $20$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$20$ = $16$⋅ $2$ + c

$20$ = $32$ + c | $-32$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x $-12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x+0$

= $-\frac{4}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2.67

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $-\frac{3}{8}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$-\frac{3}{8}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2+1$ = $-\frac{2}{3}\cdot 4+1$ = $-\frac{8}{3}+1$ = $-\frac{8}{3}+\frac{3}{3}$ = $-\frac{5}{3}$ ≈ -1.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{5}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{5}{3}$ = $-\frac{3}{8}$⋅ $-2$ + c

$-\frac{5}{3}$ = $\frac{3}{4}$ + c | $-\frac{3}{4}$

$-\frac{29}{12}$ = c

also c= $-\frac{29}{12}$ ≈ -2.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$-\frac{3}{8}$⋅x $-\frac{29}{12}$ oder y=-0.38x -2.42

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}$

f'(2) = $-2\cdot 2+\frac{3}{2}$ = $-4+\frac{3}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-96x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-96$

Es muss gelten:

$-\frac{2}{7}{x}^3-96$	=	$2$	| $+96$
$-\frac{2}{7}{x}^3$	=	$98$	|⋅ $\left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2+6\cdot 1$

= $3\cdot 1+6$

= $3+6$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+3\cdot 1^2$ = $1+3\cdot 1$ = $1+3$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $9$⋅ $1$ + c

$4$ = $9$ + c | $-9$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x $-5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $9x-5$

$9x-5$	=	0	| $+5$
$9x$	=	$5$	|:$9$
$x$	=	$\frac{5}{9}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{9}$ ≈ 0.56.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{8}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}{t}^3$

= $-\frac{1}{2}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^3$

= $-\frac{1}{2}\cdot 8$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $8-\frac{1}{8}\cdot 2^4$ = $8-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-4$⋅2 + c

$6$ = $-8$ + c | + $8$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅t + $14$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4t+14$

$-4t+14$	=	0	| $-14$
$-4t$	=	$-14$	|:($-4$)
$t$	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5.