Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $9\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^3+2$ = $3\cdot \left(-8\right)+2$ = $-24+2$ = $-22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-22$ = $36$⋅ $-2$ + c

$-22$ = $-72$ + c | + $72$

$50$ = c

also c= $50$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x + $50$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-9\cdot 1^2-3$

= $-9\cdot 1-3$

= $-9-3$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^3-3\cdot 1$ = $-3\cdot 1-3$ = $-3-3$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-12$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-12$ + c | + $12$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)-3$

= $\frac{4}{3}-3$

= $\frac{4}{3}-\frac{9}{3}$

= $-\frac{5}{3}$

≈ -1.67

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{2}{3}\cdot 1+3$ = $-\frac{2}{3}+3$ = $-\frac{2}{3}+\frac{9}{3}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{3}$ = $\frac{3}{5}$⋅ $-1$ + c

$\frac{7}{3}$ = $-\frac{3}{5}$ + c | + $\frac{3}{5}$

$\frac{44}{15}$ = c

also c= $\frac{44}{15}$ ≈ 2.93

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{3}{5}$⋅x + $\frac{44}{15}$ oder y=0.6x +2.93

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x-2+0$

f'(-3) = $-3\cdot \left(-3\right)-2$ = $9-2$ = $7$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $7$)) ≈ 81.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+22x-2$ ab:

f'(x) = $3x+22$

Es muss gelten:

$3x+22$	=	$1$	| $-22$
$3x$	=	$-21$	|:$3$
$x$	=	$-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+3$

= $3\cdot 1+3$

= $3+3$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $\left(-1\right)-3$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $6$⋅ $-1$ + c

$-4$ = $-6$ + c | + $6$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $6x+2$

$6x+2$	=	0	| $-2$
$6x$	=	$-2$	|:$6$
$x$	=	$-\frac{1}{3}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $13-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(3)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $13-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ = $13-\frac{1}{4}\cdot 9$ = $13-\frac{9}{4}$ = $\frac{52}{4}-\frac{9}{4}$ = $\frac{43}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{43}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{43}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅3 + c

$\frac{43}{4}$ = $-\frac{9}{2}$ + c | + $\frac{9}{2}$

$\frac{61}{4}$ = c

also c= $\frac{61}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $\frac{61}{4}$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+\frac{61}{4}$

$-\frac{3}{2}t+\frac{61}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{2}t+\frac{61}{4}\right)$	=	0
$-6t+61$	=	0	| $-61$
$-6t$	=	$-61$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{61}{6}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{61}{6}$ ≈ 10.17.