Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $12\cdot 0^2$

= $12\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0^3-3$ = $4\cdot 0-3$ = $0-3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = 0⋅0 + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-9\cdot 2^2$

= $-9\cdot 4$

= $-36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^3+2$ = $-3\cdot 8+2$ = $-24+2$ = $-22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-22$ = $-36$⋅ $2$ + c

$-22$ = $-72$ + c | + $72$

$50$ = c

also c= $50$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-36$⋅x + $50$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2$

= $-4$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2^2-2$ = $-4-2$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $\frac{1}{4}$⋅ $2$ + c

$-6$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{13}{2}$ = c

also c= $-\frac{13}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{13}{2}$

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-3x^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-6x+0$

f'(0) = $\frac{9}{2}\cdot 0^2-6\cdot 0$ = $\frac{9}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-74x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-74$

Es muss gelten:

$\frac{3}{5}{x}^3-74$	=	$1$	| $+74$
$\frac{3}{5}{x}^3$	=	$75$	|⋅$\frac{5}{3}$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-1-6$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+0+0$

= $3x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3-1-6$ = $1-1-6$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $3$⋅ $1$ + c

$-6$ = $3$ + c | $-3$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-9$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x-9$

$3x-9$	=	0	| $+9$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $3$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $6-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(3)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $6-\frac{1}{8}\cdot 3^2$ = $6-\frac{1}{8}\cdot 9$ = $6-\frac{9}{8}$ = $\frac{48}{8}-\frac{9}{8}$ = $\frac{39}{8}$ ≈ 4.88

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{39}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅3 + c

$\frac{39}{8}$ = $-\frac{9}{4}$ + c | + $\frac{9}{4}$

$\frac{57}{8}$ = c

also c= $\frac{57}{8}$ ≈ 7.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅t + $\frac{57}{8}$ oder y=-0.75t +7.13

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$

$-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}t+\frac{57}{8}\right)$	=	0
$-6t+57$	=	0	| $-57$
$-6t$	=	$-57$	|:($-6$)
$t$	=	$\frac{19}{2}$ = 9.5

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{19}{2}$ ≈ 9.5.