Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2-0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+0$

= $-8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+4$ = $-4\cdot 4+4$ = $-16+4$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $16$⋅ $-2$ + c

$-12$ = $-32$ + c | + $32$

$20$ = c

also c= $20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x + $20$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+0$

= $-15x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-15\cdot 1^2$

= $-15\cdot 1$

= $-15$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{1}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^3+5$ = $-5\cdot 1+5$ = $-5+5$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{15}$⋅ $1$ + c

0 = $\frac{1}{15}$ + c | $-\frac{1}{15}$

$-\frac{1}{15}$ = c

also c= $-\frac{1}{15}$ ≈ -0.07

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{1}{15}$⋅x $-\frac{1}{15}$ oder y=0.07x -0.07

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-2+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-2$ = $6\cdot 0-2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+x-6$ ab:

f'(x) = $3x^3+1$

Es muss gelten:

$3x^3+1$	=	$-2$	| $-1$
$3x^3$	=	$-3$	|:$3$
$x^3$	=	$-1$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{1}$	= $-1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $6\cdot 1+1$

= $6+1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2+1$ = $3\cdot 1+1$ = $3+1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $7$⋅ $1$ + c

$4$ = $7$ + c | $-7$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-3$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x-3$

$7x-3$	=	0	| $+3$
$7x$	=	$3$	|:$7$
$x$	=	$\frac{3}{7}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $\frac{3}{7}$ ≈ 0.43.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $8-\frac{1}{116}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{29}{t}^3$

= $-\frac{1}{29}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(4)}=$ $-\frac{1}{29}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{29}\cdot 64$

= $-\frac{64}{29}$

≈ -2.21

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{64}{29}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $8-\frac{1}{116}\cdot 4^4$ = $8-\frac{1}{116}\cdot 256$ = $8-\frac{64}{29}$ = $\frac{232}{29}-\frac{64}{29}$ = $\frac{168}{29}$ ≈ 5.79

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{168}{29}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{168}{29}$ = $-\frac{64}{29}$⋅4 + c

$\frac{168}{29}$ = $-\frac{256}{29}$ + c | + $\frac{256}{29}$

$\frac{424}{29}$ = c

also c= $\frac{424}{29}$ ≈ 14.62

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{64}{29}$⋅t + $\frac{424}{29}$ oder y=-2.21t +14.62

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{64}{29}t+\frac{424}{29}$

$-\frac{64}{29}t+\frac{424}{29}$	=	0	|⋅ 29
$29\left(-\frac{64}{29}t+\frac{424}{29}\right)$	=	0
$-64t+424$	=	0	| $-424$
$-64t$	=	$-424$	|:($-64$)
$t$	=	$\frac{53}{8}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $\frac{53}{8}$ ≈ 6.63.