Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-0$ = $-0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+0$

= $-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^2+1$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4+1$ = $-2+1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-2$⋅ $2$ + c

$-1$ = $-4$ + c | + $4$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 1-3$

= $\frac{4}{3}-3$

= $\frac{4}{3}-\frac{9}{3}$

= $-\frac{5}{3}$

≈ -1.67

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 1^2-3\cdot 1$ = $\frac{2}{3}\cdot 1-3$ = $\frac{2}{3}-3$ = $\frac{2}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{7}{3}$ ≈ -2.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{7}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{3}{5}$⋅ $1$ + c

$-\frac{7}{3}$ = $\frac{3}{5}$ + c | $-\frac{3}{5}$

$-\frac{44}{15}$ = c

also c= $-\frac{44}{15}$ ≈ -2.93

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$\frac{3}{5}$⋅x $-\frac{44}{15}$ oder y=0.6x -2.93

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+1$

f'(-2) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+1$ = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+13x-1$ ab:

f'(x) = $3x+13$

Es muss gelten:

$3x+13$	=	$-2$	| $-13$
$3x$	=	$-15$	|:$3$
$x$	=	$-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-10\cdot \left(-1\right)$

= $3\cdot 1+10$

= $3+10$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^3-5\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)-5\cdot 1$ = $-1-5$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $13$⋅ $-1$ + c

$-6$ = $-13$ + c | + $13$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $13x+7$

$13x+7$	=	0	| $-7$
$13x$	=	$-7$	|:$13$
$x$	=	$-\frac{7}{13}$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei x = $-\frac{7}{13}$ ≈ -0.54.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $15-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $15-\frac{1}{4}\cdot 2^2$ = $15-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $15-1$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $-1$⋅2 + c

$14$ = $-2$ + c | + $2$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $16$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+16$

$-t+16$	=	0	| $-16$
$-t$	=	$-16$	|:($-1$)
$t$	=	$16$

Die gesuchte Nullstelle des Tangente ist somit bei t = $16$.