Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
In einer Mensa werden an einem Tag folgende Essen bestellt: 7 mal das Menü1 Maultauschen, 7 mal das Menü2 Spaghetti Bolognese und 6 mal das vegetarische Menü3.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Menüs in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Portionen zusammen und erhalten: 7 + 7 + 6 = 20
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 20 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Maultaschen: = = 35%
Spaghetti Bolognese: = = 35%
vegetarisch: = = 30%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 320 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 90°
C: 90°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=320 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅320 = 160 |
| B | = | ⋅320 = 80 |
| C | = | ⋅320 = 80 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 6800kg; 9900kg; 500kg; 800kg
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6800kg + 9900kg + 500kg + 800kg = 18000kg
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 4, teilen:
Mittelwert m = kg = 4500kg
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 14, ⬜; 15 haben den Mittelwert 33.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 33
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 33
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 33.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 33, also 3 ⋅ 33 = 99 sein, also ...
29 + ⬜ = 99
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 99 - 29 sein muss.
⬜ = 70
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
1,9€; 1,3€; 1,3€; 1,2€; 1,2€; 0,9€; 1,3€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.9€ und der größte Wert, also das Maximum 1.9€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1.9€ - 0.9€ = 1€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
1,9€ + 1,3€ + 1,3€ + 1,2€ + 1,2€ + 0,9€ + 1,3€ = 9,1€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = € = 1,3€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 1.9€ | 1 |
| 1.3€ | 3 |
| 1.2€ | 2 |
| 0.9€ | 1 |
Der Modalwert ist also 1.3€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
