Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 2 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 4 in einem 3-Personen-Haushalt, 12 in einem 4-Personen-Haushalt und 7 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 2 + 4 + 12 + 7 = 25
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
2-Personen: = = 8%
3-Personen: = = 16%
4-Personen: = = 48%
5-Personen oder mehr: = = 28%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 3200 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=3200 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅3200 = 1200 |
| B | = | ⋅3200 = 800 |
| C | = | ⋅3200 = 800 |
| D | = | ⋅3200 = 400 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 10m; 100m; 80m; 90m; 100m; 40m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
10m + 100m + 80m + 90m + 100m + 40m = 420m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = m = 70m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 3; 22, ⬜ haben den Mittelwert 13.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 13
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 13
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 13.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 13, also 3 ⋅ 13 = 39 sein, also ...
25 + ⬜ = 39
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 39 - 25 sein muss.
⬜ = 14
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
9€; 10€; 10€; 10€; 8€; 15€; 8€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 8€ und der größte Wert, also das Maximum 15€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 15€ - 8€ = 7€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
9€ + 10€ + 10€ + 10€ + 8€ + 15€ + 8€ = 70€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = € = 10€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 9€ | 1 |
| 10€ | 3 |
| 8€ | 2 |
| 15€ | 1 |
Der Modalwert ist also 10€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
