Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Datenerhebung entscheiden sich 54 Personen für Option A, 56 Personen für Option B, 50 Personen für Option C und 40 Personen für Option D.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Optionen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Personen zusammen und erhalten: 54 + 56 + 50 + 40 = 200
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 200 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
A: = = 27%
B: = = 28%
C: = = 25%
D: = = 20%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 8 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 135°
C: 90°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=8 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅8 = 3 |
| B | = | ⋅8 = 3 |
| C | = | ⋅8 = 2 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 2; 8; 11; 7; 5; 10; 6
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
2 + 8 + 11 + 7 + 5 + 10 + 6 = 49
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = = 7
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 1; 5, ⬜; 11; 3 haben den Mittelwert 6.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 6
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 6
Wenn wir die Summe im Zähler durch 5 teilen, erhalten wir 6.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 5-fache von 6, also 5 ⋅ 6 = 30 sein, also ...
20 + ⬜ = 30
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 30 - 20 sein muss.
⬜ = 10
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
1,6€; 0,8€; 1€; 0,8€; 1€; 0,8€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.8€ und der größte Wert, also das Maximum 1.6€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1.6€ - 0.8€ = 0.8€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
1,6€ + 0,8€ + 1€ + 0,8€ + 1€ + 0,8€ = 6€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = € = 1€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 1.6€ | 1 |
| 0.8€ | 3 |
| 1€ | 2 |
Der Modalwert ist also 0.8€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
