Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 25 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 28 Schüler:innen würden die CDU wählen, 22 die SPD, 19 die FDP und 6 eine der anderen Parteien.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 25 + 28 + 22 + 19 + 6 = 100
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 100 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Grüne: = 25%
CDU: = 28%
SPD: = 22%
FDP: = 19%
andere: = 6%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 16 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=16 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅16 = 6 |
| B | = | ⋅16 = 4 |
| C | = | ⋅16 = 4 |
| D | = | ⋅16 = 2 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 6cm; 1cm; 9cm; 4cm; 4cm; 12cm
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6cm + 1cm + 9cm + 4cm + 4cm + 12cm = 36cm
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = cm = 6cm
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 98; 53, ⬜ haben den Mittelwert 52.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 52
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 52
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 52.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 52, also 3 ⋅ 52 = 156 sein, also ...
151 + ⬜ = 156
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 156 - 151 sein muss.
⬜ = 5
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
1,5€; 1,5€; 1€; 1€; 0,6€; 1€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.6€ und der größte Wert, also das Maximum 1.5€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1.5€ - 0.6€ = 0.9€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
1,5€ + 1,5€ + 1€ + 1€ + 0,6€ + 1€ = 6,6€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = € = 1,1€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 1.5€ | 2 |
| 1€ | 3 |
| 0.6€ | 1 |
Der Modalwert ist also 1€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
