Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 1 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 3 in einem 3-Personen-Haushalt, 11 in einem 4-Personen-Haushalt und 5 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 1 + 3 + 11 + 5 = 20
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 20 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
2-Personen: = = 5%
3-Personen: = = 15%
4-Personen: = = 55%
5-Personen oder mehr: = = 25%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 160 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=160 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅160 = 60 |
| B | = | ⋅160 = 40 |
| C | = | ⋅160 = 40 |
| D | = | ⋅160 = 20 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 10km; 7km; 2km; 11km; 5km; 1km
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
10km + 7km + 2km + 11km + 5km + 1km = 36km
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = km = 6km
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 47, ⬜; 13 haben den Mittelwert 47.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 47
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 47
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 47.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 47, also 3 ⋅ 47 = 141 sein, also ...
60 + ⬜ = 141
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 141 - 60 sein muss.
⬜ = 81
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
9; 14; 7; 15; 15
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 7 und der größte Wert, also das Maximum 15 ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 15 - 7 = 8.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
9 + 14 + 7 + 15 + 15 = 60
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = = 12
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 9 | 1 |
| 14 | 1 |
| 7 | 1 |
| 15 | 2 |
Der Modalwert ist also 15, weil er als einziger 2 mal auftritt.
