Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 4 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 12 in einem 3-Personen-Haushalt, 25 in einem 4-Personen-Haushalt und 9 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 4 + 12 + 25 + 9 = 50
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 50 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
2-Personen: = = 8%
3-Personen: = = 24%
4-Personen: = = 50%
5-Personen oder mehr: = = 18%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 16 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 90°
C: 45°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=16 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅16 = 8 |
| B | = | ⋅16 = 4 |
| C | = | ⋅16 = 2 |
| D | = | ⋅16 = 2 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 19€; 67€; 6€; 8€
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
19€ + 67€ + 6€ + 8€ = 100€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 4, teilen:
Mittelwert m = € = 25€
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 1; 7, ⬜; 2; 6; 2; 1 haben den Mittelwert 4.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 4
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 4
Wenn wir die Summe im Zähler durch 7 teilen, erhalten wir 4.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 7-fache von 4, also 7 ⋅ 4 = 28 sein, also ...
19 + ⬜ = 28
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 28 - 19 sein muss.
⬜ = 9
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
13€; 8€; 10€; 8€; 8€; 13€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 8€ und der größte Wert, also das Maximum 13€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 13€ - 8€ = 5€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
13€ + 8€ + 10€ + 8€ + 8€ + 13€ = 60€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = € = 10€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 13€ | 2 |
| 8€ | 3 |
| 10€ | 1 |
Der Modalwert ist also 8€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
