Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
An einem Sommertag wird an einer Kreuzung in der Stadt eine Verkehrszählung durchgeführt. Dabei werden in einer Stunde 17 Autos mit Verbrennungsmotor, 13 Elektroautos, 13 Fahrradfahrer und 7 Fußgänger gezählt.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Verkehrsteilnehmer in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Verkehrsteilnehmer zusammen und erhalten: 17 + 13 + 13 + 7 = 50
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 50 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Verbrennungsmotor-Auto: = = 34%
Elektroauto: = = 26%
Fahrrad: = = 26%
Fußgänger: = = 14%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 80 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=80 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅80 = 30 |
| B | = | ⋅80 = 20 |
| C | = | ⋅80 = 20 |
| D | = | ⋅80 = 10 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 0,8m; 0,6m; 1,1m; 0,3m; 1,2m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
0,8m + 0,6m + 1,1m + 0,3m + 1,2m = 4m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = m = 0,8m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 93, ⬜; 63; 8 haben den Mittelwert 51.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 51
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 51
Wenn wir die Summe im Zähler durch 4 teilen, erhalten wir 51.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 4-fache von 51, also 4 ⋅ 51 = 204 sein, also ...
164 + ⬜ = 204
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 204 - 164 sein muss.
⬜ = 40
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
12€; 16€; 12€; 8€; 16€; 12€; 8€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 8€ und der größte Wert, also das Maximum 16€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 16€ - 8€ = 8€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
12€ + 16€ + 12€ + 8€ + 16€ + 12€ + 8€ = 84€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = € = 12€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 12€ | 3 |
| 16€ | 2 |
| 8€ | 2 |
Der Modalwert ist also 12€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
