Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 11 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 12 Schüler:innen würden die CDU wählen, 11 die SPD, 10 die FDP und 6 eine der anderen Parteien.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 11 + 12 + 11 + 10 + 6 = 50
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 50 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Grüne: = = 22%
CDU: = = 24%
SPD: = = 22%
FDP: = = 20%
andere: = = 12%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 40 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 90°
C: 45°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=40 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅40 = 20 |
| B | = | ⋅40 = 10 |
| C | = | ⋅40 = 5 |
| D | = | ⋅40 = 5 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 700; 600; 500; 700; 600; 500
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
700 + 600 + 500 + 700 + 600 + 500 = 3600
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = = 600
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 2; 6, ⬜; 3; 6; 9; 1 haben den Mittelwert 4.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 4
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 4
Wenn wir die Summe im Zähler durch 7 teilen, erhalten wir 4.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 7-fache von 4, also 7 ⋅ 4 = 28 sein, also ...
27 + ⬜ = 28
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 28 - 27 sein muss.
⬜ = 1
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
6; 7; 10; 9; 7; 10; 7
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6 und der größte Wert, also das Maximum 10 ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 10 - 6 = 4.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6 + 7 + 10 + 9 + 7 + 10 + 7 = 56
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = = 8
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 6 | 1 |
| 7 | 3 |
| 10 | 2 |
| 9 | 1 |
Der Modalwert ist also 7, weil er als einziger 3 mal auftritt.
