Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 25 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 28 Schüler:innen würden die CDU wählen, 21 die SPD, 20 die FDP und 6 eine der anderen Parteien.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 25 + 28 + 21 + 20 + 6 = 100
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 100 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Grüne: = 25%
CDU: = 28%
SPD: = 21%
FDP: = 20%
andere: = 6%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 320 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 135°
C: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=320 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅320 = 160 |
| B | = | ⋅320 = 120 |
| C | = | ⋅320 = 40 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 20m; 110m; 10m; 100m; 10m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
20m + 110m + 10m + 100m + 10m = 250m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = m = 50m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 9, ⬜; 4; 2; 5; 6 haben den Mittelwert 5.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 5
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 5
Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 5.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 5, also 6 ⋅ 5 = 30 sein, also ...
26 + ⬜ = 30
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 30 - 26 sein muss.
⬜ = 4
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
6€; 15€; 16€; 11€; 19€; 12€; 12€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6€ und der größte Wert, also das Maximum 19€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 19€ - 6€ = 13€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6€ + 15€ + 16€ + 11€ + 19€ + 12€ + 12€ = 91€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = € = 13€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 6€ | 1 |
| 15€ | 1 |
| 16€ | 1 |
| 11€ | 1 |
| 19€ | 1 |
| 12€ | 2 |
Der Modalwert ist also 12€, weil er als einziger 2 mal auftritt.
