Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
In einer Mensa werden an einem Tag folgende Essen bestellt: 70 mal das Menü1 Maultauschen, 71 mal das Menü2 Spaghetti Bolognese und 59 mal das vegetarische Menü3.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Menüs in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Portionen zusammen und erhalten: 70 + 71 + 59 = 200
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 200 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Maultaschen: = = 35%
Spaghetti Bolognese: = = 35.5%
vegetarisch: = = 29.5%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 80 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=80 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅80 = 30 |
| B | = | ⋅80 = 20 |
| C | = | ⋅80 = 20 |
| D | = | ⋅80 = 10 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 0,1km; 1,1km; 0,1km; 0,3km; 1,4km
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
0,1km + 1,1km + 0,1km + 0,3km + 1,4km = 3km
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = km = 0,6km
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 78, ⬜; 34; 9 haben den Mittelwert 40.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 40
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 40
Wenn wir die Summe im Zähler durch 4 teilen, erhalten wir 40.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 4-fache von 40, also 4 ⋅ 40 = 160 sein, also ...
121 + ⬜ = 160
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 160 - 121 sein muss.
⬜ = 39
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
13m; 16m; 20m; 14m; 14m; 6m; 15m
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6m und der größte Wert, also das Maximum 20m ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 20m - 6m = 14m.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
13m + 16m + 20m + 14m + 14m + 6m + 15m = 98m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = m = 14m
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 13m | 1 |
| 16m | 1 |
| 20m | 1 |
| 14m | 2 |
| 6m | 1 |
| 15m | 1 |
Der Modalwert ist also 14m, weil er als einziger 2 mal auftritt.
