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Aufgabenbeispiele von Daten

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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 6 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 5 Schüler:innen würden die CDU wählen, 4 die SPD, 4 die FDP und 1 eine der anderen Parteien.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.

Lösung einblenden

Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 6 + 5 + 4 + 4 + 1 = 20

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 20 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Grüne: 6 20 = 30 100 = 30%

CDU: 5 20 = 25 100 = 25%

SPD: 4 20 = 20 100 = 20%

FDP: 4 20 = 20 100 = 20%

andere: 1 20 = 5 100 = 5%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

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(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 16 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

Lösung einblenden

Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 135°

C: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=16 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Optionrelative Häufigkeittatsächliche Zahl
A 180 360 = 1 2 1 2 ⋅16 = 8
B 135 360 = 3 8 3 8 ⋅16 = 6
C 45 360 = 1 8 1 8 ⋅16 = 2

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 11; 11; 11; 9; 9; 3; 2

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

11 + 11 + 11 + 9 + 9 + 3 + 2 = 56

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = 56 7 = 8

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 7; 3, ⬜; 5; 5; 12 haben den Mittelwert 6.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

7+3+⬜+5+5+12 6 = 6

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

32+⬜ 6 = 6

Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 6.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 6, also 6 ⋅ 6 = 36 sein, also ...

32 + ⬜ = 36

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 36 - 32 sein muss.

⬜ = 4

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:

11€; 11€; 14€; 11€; 11€; 14€

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 11€ und der größte Wert, also das Maximum 14€ ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 14€ - 11€ = 3€.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

11€ + 11€ + 14€ + 11€ + 11€ + 14€ = 72€

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:

Mittelwert m = 72 6 € = 12€

Modalwert

Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:

ZahlHäufigkeit
11€4
14€2

Der Modalwert ist also 11€, weil er als einziger 4 mal auftritt.