Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
In einer Mensa werden an einem Tag folgende Essen bestellt: 11 mal das Menü1 Maultauschen, 9 mal das Menü2 Spaghetti Bolognese und 5 mal das vegetarische Menü3.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Menüs in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Portionen zusammen und erhalten: 11 + 9 + 5 = 25
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
Maultaschen: = = 44%
Spaghetti Bolognese: = = 36%
vegetarisch: = = 20%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 160 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 135°
C: 45°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=160 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅160 = 60 |
| B | = | ⋅160 = 60 |
| C | = | ⋅160 = 20 |
| D | = | ⋅160 = 20 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 8m; 67m; 9m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
8m + 67m + 9m = 84m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 3, teilen:
Mittelwert m = m = 28m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 5; 10, ⬜; 7; 9; 1 haben den Mittelwert 6.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 6
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 6
Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 6.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 6, also 6 ⋅ 6 = 36 sein, also ...
32 + ⬜ = 36
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 36 - 32 sein muss.
⬜ = 4
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
0,7€; 0,7€; 1€; 0,7€; 0,7€; 1€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.7€ und der größte Wert, also das Maximum 1€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1€ - 0.7€ = 0.3€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
0,7€ + 0,7€ + 1€ + 0,7€ + 0,7€ + 1€ = 4,8€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = € = 0,8€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 0.7€ | 4 |
| 1€ | 2 |
Der Modalwert ist also 0.7€, weil er als einziger 4 mal auftritt.
