Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Datenerhebung entscheiden sich 7 Personen für Option A, 5 Personen für Option B, 5 Personen für Option C und 3 Personen für Option D.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Optionen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Personen zusammen und erhalten: 7 + 5 + 5 + 3 = 20
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 20 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
A: = = 35%
B: = = 25%
C: = = 25%
D: = = 15%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 800 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=800 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅800 = 300 |
| B | = | ⋅800 = 200 |
| C | = | ⋅800 = 200 |
| D | = | ⋅800 = 100 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 980cm; 960cm; 740cm; 80cm
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
980cm + 960cm + 740cm + 80cm = 2760cm
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 4, teilen:
Mittelwert m = cm = 690cm
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 54; 54, ⬜ haben den Mittelwert 38.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 38
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 38
Wenn wir die Summe im Zähler durch 3 teilen, erhalten wir 38.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 3-fache von 38, also 3 ⋅ 38 = 114 sein, also ...
108 + ⬜ = 114
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 114 - 108 sein muss.
⬜ = 6
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
6; 9; 6; 6; 6; 9
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6 und der größte Wert, also das Maximum 9 ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 9 - 6 = 3.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6 + 9 + 6 + 6 + 6 + 9 = 42
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:
Mittelwert m = = 7
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 6 | 4 |
| 9 | 2 |
Der Modalwert ist also 6, weil er als einziger 4 mal auftritt.
