Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 3 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 9 in einem 3-Personen-Haushalt, 26 in einem 4-Personen-Haushalt und 12 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.
Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 3 + 9 + 26 + 12 = 50
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 50 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
2-Personen: = = 6%
3-Personen: = = 18%
4-Personen: = = 52%
5-Personen oder mehr: = = 24%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 64 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 135°
B: 90°
C: 90°
D: 45°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=64 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅64 = 24 |
| B | = | ⋅64 = 16 |
| C | = | ⋅64 = 16 |
| D | = | ⋅64 = 8 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 6100m; 1600m; 400m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
6100m + 1600m + 400m = 8100m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 3, teilen:
Mittelwert m = m = 2700m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 8, ⬜; 7; 9; 4; 2 haben den Mittelwert 6.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 6
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 6
Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 6.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 6, also 6 ⋅ 6 = 36 sein, also ...
30 + ⬜ = 36
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 36 - 30 sein muss.
⬜ = 6
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
14; 14; 11; 6; 6; 6; 13
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6 und der größte Wert, also das Maximum 14 ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 14 - 6 = 8.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
14 + 14 + 11 + 6 + 6 + 6 + 13 = 70
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = = 10
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 14 | 2 |
| 11 | 1 |
| 6 | 3 |
| 13 | 1 |
Der Modalwert ist also 6, weil er als einziger 3 mal auftritt.
