Wir können insgesamt 4 Sektoren erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 4 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{4}$

1 min sind ja 60 s.

Also sind eine $\frac{1}{4}$ min doch gerade 60 s : 4 = 15 s.

Somit sind eine $\frac{3}{4}$ min das gleiche wie 15 s ⋅ 3 = 45 s.

Ein $\frac{1}{2}$ von 6 Birnen sind 6 : 2 = 3 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1cm in 10 mm um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 10 mm sind 10 mm : 2 = 5 mm.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 60 s sind 60 s : 3 = 20 s.

$\frac{2}{3}$ von 1s sind also 2 ⋅ 20 s = 40 s.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 4:

$\frac{5}{8}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 4}}{\mathrm{8\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{20}{32}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (32) und Nenner (48) sind:

$\frac{32}{48}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{16}{24}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{8}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{6}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{3}$

$\frac{32}{48}$ = $\frac{2}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 16 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 5 = 20 erweitern.

$\frac{8}{5}$ = $\frac{\mathrm{8\; \cdot \; 20}}{\mathrm{5\; \cdot \; 20}}$ = $\frac{160}{100}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$ = 25%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Das die Markierung auf dem 3-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 3 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{3}{4}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 3 und 4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen 3 und 4 liegt, muss der gemischte Bruch $3\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $3\frac{1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ $+\frac{1}{4}$ = $\frac{13}{4}$

Vergleich von $\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Also gilt: $\frac{3}{4}$ > $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$.

Vergleich von $\frac{2}{7}$ und $\frac{1}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{7}$ > $\frac{1}{7}$

Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{10}{15}$

$\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{15}$

Also gilt: $\frac{2}{3}$ = $\frac{10}{15}$ > $\frac{9}{15}$ = $\frac{3}{5}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 21 und 22.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{21}{19}$ = $\frac{42}{38}$ und $\frac{22}{19}$ = $\frac{44}{38}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 42 und 44, nämlich 43, somit ist also $\frac{\mathrm{43}}{\mathrm{38}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{21}{19}$ = $\frac{42}{38}$ und $\frac{22}{19}$ = $\frac{44}{38}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $-\frac{3}{3}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{4}{3}$ = $-\frac{4}{3}$ und $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{2}{3}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{29}{5}$ = $\frac{\mathrm{25\; +\; 4}}{5}$ = $\frac{25}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $5$ + $\frac{4}{5}$ = $5\frac{4}{5}$

$\frac{39}{7}$ = $\frac{\mathrm{35\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{35}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $5$ + $\frac{4}{7}$ = $5\frac{4}{7}$

$4\frac{7}{10}$

Jetzt sieht man sofort, dass $4\frac{7}{10}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $5\frac{4}{7}$ oder $5\frac{4}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{4}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 4 im Zähler haben, muss $\frac{4}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 4 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{4}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{7}{10}$ < $5\frac{4}{7}$ < $5\frac{4}{5}$ , also

$4\frac{7}{10}$ < $\frac{39}{7}$ < $\frac{29}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

17 = 15 + 2 = 5⋅3 + 2

also gilt:

$\frac{17}{3}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 3\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 3}}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 5 + $\frac{2}{3}$

Somit gilt: $\frac{17}{3}$ = $5\frac{2}{3}$