Wir können insgesamt 10 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{10}$

1 t sind ja 1000 kg.

Also sind eine $\frac{1}{\mathrm{1000}}$ t doch gerade 1 kg.

Ein $\frac{1}{7}$ von 63 Kartoffeln sind 63 : 7 = 9 Kartoffeln.

Also sind $\frac{2}{7}$ von 63 Kartoffeln 2 ⋅ 9 = 18 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1m² in 100 dm² um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 100 dm² sind 100 dm² : 4 = 25 dm².

$\frac{3}{4}$ von 1dm² sind also 3 ⋅ 25 dm² = 75 dm².

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 24 h sind 24 h : 2 = 12 h.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 5}}{\mathrm{2\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{5}{10}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (28) und Nenner (42) sind:

$\frac{28}{42}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{14}{21}$ $\stackrel{\mathrm{k(7)}}{=}$ $\frac{2}{3}$

$\frac{28}{42}$ = $\frac{2}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 14 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 63 wird.

Wir müssen also mit 63 : 7 = 9 erweitern.

$\frac{4}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 9}}{\mathrm{7\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{36}{63}$

15% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

15% = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 4-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 4 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{4}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{3}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{3}{5}$ = $-\frac{5}{5}$ $-\frac{3}{5}$ = $-\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{5}{8}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{8}$ < $\frac{5}{7}$

Vergleich von $\frac{10}{7}$ und $\frac{9}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{7}$ > $\frac{9}{7}$

Vergleich von $\frac{5}{4}$ und $\frac{11}{8}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{8}$

Also gilt: $\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{8}$ < $\frac{11}{8}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{\mathrm{13}}{7}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{12}{7}$ und $\frac{14}{7}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{63}$ und $\frac{7}{9}$ = $\frac{49}{63}$

Die Mitte zwischen 9 und 49 ist $\frac{\mathrm{9\; +\; 49}}{2}$ = 29

Somit ist also $\frac{29}{63}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{9}{63}$ = $\frac{1}{7}$ und $\frac{49}{63}$ = $\frac{7}{9}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $2$ + $\frac{1}{2}$ = $2\frac{1}{2}$

$\frac{11}{4}$ = $\frac{\mathrm{8\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{8}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $2$ + $\frac{3}{4}$ = $2\frac{3}{4}$

$2\frac{1}{7}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 2 und 3 liegen. $2\frac{3}{4}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{3}{4}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{1}{7}$ oder $2\frac{1}{2}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{7}$ und $\frac{1}{2}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{2}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{1}{7}$ < $2\frac{1}{2}$ < $2\frac{3}{4}$ , also

$2\frac{1}{7}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{11}{4}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

11 = 9 + 2 = 3⋅3 + 2

also gilt:

$\frac{11}{3}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 3\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 3}}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 3 + $\frac{2}{3}$

Somit gilt: $\frac{11}{3}$ = $3\frac{2}{3}$