Wir können insgesamt 9 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{9}$

1 h sind ja 60 min.

Also sind eine $\frac{1}{3}$ h doch gerade 60 min : 3 = 20 min.

Ein $\frac{1}{4}$ von 40 Brötchen sind 40 : 4 = 10 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1m² in 100 dm² um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 100 dm² sind 100 dm² : 5 = 20 dm².

$\frac{2}{5}$ von 1dm² sind also 2 ⋅ 20 dm² = 40 dm².

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 24 h sind 24 h : 3 = 8 h.

$\frac{2}{3}$ von 1h sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 8}}{\mathrm{4\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{24}{32}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (50) und Nenner (30) sind:

$\frac{50}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{25}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{5}{3}$

$\frac{50}{30}$ = $\frac{5}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 10 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 36 wird.

Wir müssen also mit 36 : 3 = 12 erweitern.

$\frac{1}{3}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 12}}{\mathrm{3\; \cdot \; 12}}$ = $\frac{12}{36}$

75% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

75% = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{4}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 3, weil die Markierung eben auf dem 3-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{3}{2}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Da die Markierung auf dem 7-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{7}{8}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{7}{8}$ = $-\frac{24}{8}$ $-\frac{7}{8}$ = $-\frac{31}{8}$

Vergleich von $\frac{3}{2}$ und $3$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{2}$ < $3$

Vergleich von $\frac{2}{17}$ und $\frac{3}{17}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 17 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 17 teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{17}$ < $\frac{3}{17}$

Vergleich von $\frac{7}{12}$ und $\frac{2}{3}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$

Also gilt: $\frac{7}{12}$ < $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{10}$ und $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{10}$ und $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{11}{7}$ = $-\frac{22}{14}$ und $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{21}{14}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 22 und 21.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{22}{14}$ = $-\frac{44}{28}$ und $-\frac{21}{14}$ = $-\frac{42}{28}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -44 und -42, nämlich -43, somit ist also $-\frac{43}{28}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{11}{7}$ = $-\frac{44}{28}$ und $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{42}{28}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{22}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $4$ + $\frac{2}{5}$ = $4\frac{2}{5}$

$\frac{14}{3}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{12}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $4$ + $\frac{2}{3}$ = $4\frac{2}{3}$

$\frac{15}{4}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{12}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $3$ + $\frac{3}{4}$ = $3\frac{3}{4}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{3}{4}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{2}{5}$ oder $4\frac{2}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $\frac{2}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{2}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{3}{4}$ < $4\frac{2}{5}$ < $4\frac{2}{3}$ , also

$\frac{15}{4}$ < $\frac{22}{5}$ < $\frac{14}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

29 = 27 + 2 = 3⋅9 + 2

also gilt:

$\frac{29}{9}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 9\; +\; 2}}{9}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 9}}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = 3 + $\frac{2}{9}$

Somit gilt: $\frac{29}{9}$ = $3\frac{2}{9}$