Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 2,00 € 1 kg Birnen.
Wie viel kosten 3 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 2 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 kg Birnen entspricht: 6,00 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 8-Minuten-Gespräch hat er nun 72 ct bezahlt.
Wie viel kostet ihn 1 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 8 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 1 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 72 ct durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten telefonieren entspricht:
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: 8
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: 8
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: 8
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: 8
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Minuten telefonieren entspricht: 9 ct
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 8 km braucht sie 48 Minuten.
Wie lange braucht sie für 12 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 8 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 48 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 km entspricht: 72 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 km | 42 min |
| ? | ? |
| 9 km | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 km:
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Um von 6 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 42 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 21 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 km entspricht: 63 min
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 90,00 € 30 kg Birnen.
Wie viel kosten 24 kg Birnen?
Wie viel kg Birnen bekommt man für 36 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 24 sein, also der ggT(30,24) = 6.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 kg Birnen:
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Um von 30 kg Birnen in der ersten Zeile auf 6 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 90 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 kg Birnen entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 6 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 24 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 4
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: 5
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 kg Birnen entspricht: 72,00 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Birnen bekommt man für 36 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Birnen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 90 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 90 und von 36 sein, also der ggT(90,36) = 18.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 18 €:
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Um von 90 € in der ersten Zeile auf 18 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 30 kg Birnen durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 18 € entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 18 € in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 36 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 2
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: 5
⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 36 € entspricht: 12 kg Birnen
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 31 € den 12 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Der Wert 31 € war also falsch, richtig wäre 30 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 10 € den 4 kg Birnen entsprechen.
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: 5
⋅ 2
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: 5
⋅ 2
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Der Wert 10 € war also korrekt.
