Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,40 €.
Wie viel kosten 4 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 4 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.4 € mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Brötchen entspricht:
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Brötchen entspricht: 1,60 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 9 km braucht sie 54 Minuten.
Wie lange braucht sie für 1 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 9 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 54 min durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:
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: 9
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: 9
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: 9
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: 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 km entspricht: 6 min
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
In den 6 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 2400 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 5 Bechern drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 5 sein, also der ggT(6,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Becher Joghurt:
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Um von 6 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 2400 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 400 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Becher Joghurt entspricht: 2000 g
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 15 Minuten telefonieren | 375 ct |
| ? | ? |
| 9 Minuten telefonieren | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 9 sein, also der ggT(15,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Minuten telefonieren:
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Um von 15 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 3 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 375 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten telefonieren entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 75 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Minuten telefonieren entspricht: 225 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 10-Minuten-Gespräch hat er nun 90 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 12 min telefonieren?
Wie lange kann er für 225 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 12 sein, also der ggT(10,12) = 2.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Minuten telefonieren:
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Um von 10 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 2 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 90 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 Minuten telefonieren entspricht:
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 12 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten telefonieren entspricht: 108 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 225 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 90 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 90 und von 225 sein, also der ggT(90,225) = 45.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 45 ct:
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Um von 90 ct in der ersten Zeile auf 45 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 10 Minuten telefonieren durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 45 ct entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 45 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 225 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 225 ct entspricht: 25 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 1800 g den 6 Becher Joghurt entsprechen.
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: 4
⋅ 3
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: 4
⋅ 3
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Der Wert 1800 g war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 3000 g den 10 Becher Joghurt entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Der Wert 3000 g war also korrekt.
