Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 5 ct.
Wie viel kosten ihn 6 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 5 ct mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Minuten telefonieren entspricht: 30 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 18,00 € 6 kg Birnen.
Wie viel kostet 1 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 6 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 18 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 6
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: 6
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: 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 3,00 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kosten 4 Brezeln immer 1,60 €.
Wie viel kosten 5 Brezeln?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:
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Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.6 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 0,40 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brezeln entspricht: 2,00 €
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 4 Brezeln | 1,40 € |
| ? | ? |
| 5 Brezeln | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brezeln in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Brezeln teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brezeln:
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Um von 4 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.4 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 4
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: 4
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(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brezeln in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Brezeln in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 0,35 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brezeln entspricht: 1,75 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Bei einem Marktstand bezahlt man 15,00 € für 6 kg Äpfel.
Wie viel kosten 7 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 20 € ?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 7 sein, also der ggT(6,7) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Äpfel:
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Um von 6 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 1 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 15 € durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Äpfel entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 7
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: 6
⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 kg Äpfel entspricht: 17,50 €
Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 20 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 20 sein, also der ggT(15,20) = 5.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 €:
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Um von 15 € in der ersten Zeile auf 5 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 6 kg Äpfel durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 € entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 5 € in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 20 € in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 € entspricht: 8 kg Äpfel
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 60 ct den 18 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Der Wert 60 ct war also falsch, richtig wäre 72 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 148 ct den 40 Minuten telefonieren entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 148 ct war also falsch, richtig wäre 160 ct gewesen.
