Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 3,00 € 1 kg Birnen.
Wie viel kosten 7 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 kg Birnen in der ersten Zeile auf 7 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3 € mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 kg Birnen entspricht:
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 kg Birnen entspricht: 21,00 €
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Bäcker Allesfresh kosten 3 Brezeln immer 0,90 €.
Wie viel kostet 1 Brezel?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 3 Brezeln in der ersten Zeile auf 1 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 0.9 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brezeln entspricht:
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: 3
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: 3
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: 3
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: 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brezeln entspricht: 0,30 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 100 g. Er besteht aus 10 gleichen Scheiben.
Wie schwer sind dann 9 Scheiben Käse?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 9 sein, also der ggT(10,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Scheiben Käse:
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Um von 10 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Somit müssen wir auch die 100 g durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 10
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: 10
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: 10
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: 10
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 10
⋅ 9
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: 10
⋅ 9
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Wir müssen somit auch rechts die 10 g in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren:
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: 10
⋅ 9
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: 10
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Scheiben Käse entspricht: 90 g
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 12 kg Birnen | 42,00 € |
| ? | ? |
| 9 kg Birnen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 9 sein, also der ggT(12,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Birnen:
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Um von 12 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 42 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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(Beim Teilen durch 4 kann man einfach zwei mal halbieren.)
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 3
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: 4
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 10,50 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 4
⋅ 3
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: 4
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Birnen entspricht: 31,50 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für sein 18-Minuten-Gespräch hat er nun 90 ct bezahlt.
Wie viel kosten ihn 15 min telefonieren?
Wie lange kann er für 120 ct telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 18 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 18 und von 15 sein, also der ggT(18,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Minuten telefonieren:
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Um von 18 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 3 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 90 ct durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Minuten telefonieren entspricht:
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: 6
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: 6
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.
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: 6
⋅ 5
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: 6
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Minuten telefonieren entspricht: 75 ct
Für die andere Frage (Wie lange kann er für 120 ct telefonieren?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Minuten telefonieren"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 90 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 90 und von 120 sein, also der ggT(90,120) = 30.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 30 ct:
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Um von 90 ct in der ersten Zeile auf 30 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 18 Minuten telefonieren durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 30 ct entspricht:
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 30 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 120 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 120 ct entspricht: 24 Minuten telefonieren
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 700 ct den 12 Eier entsprechen.
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: 5
⋅ 3
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: 5
⋅ 3
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Der Wert 700 ct war also falsch, richtig wäre 600 ct gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 1500 ct den 30 Eier entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 1500 ct war also korrekt.
