Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 81 m³ = ..... dm³
81 m³ = 81000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
71 m³ + 740 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
71 m³ + 740 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
71 m³ = 71000 dm³ = 71000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
71 m³ + 740 cm³
= 71000000 cm³ + 740 cm³
= 71000740 cm³
= 71000740000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2000 dm³ Wasser ?
2000 dm³ = 2 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 2 m³ Wasser eben 2 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 6 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 6 m ⋅ 10 m
= 300 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 42 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 7 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 3 dm ⋅ 7 dm = 42 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 3 dm breit und hat das Volumen V = 180 dm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 dm³ = 6 dm ⋅ 3 dm ⋅ ⬜
180 dm³ = ⬜ ⋅ 18 dm²
Das Kästchen kann man also mit 180 dm³ : 18 dm² = 10 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 4 m breit und 5 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 m⋅4 m + 2⋅2 m⋅5 m
+ 2⋅4 m⋅5 m
= 16 m² + 20 m² + 40 m²
= 76 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 240 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 mm³ = 10 mm ⋅ ⬜ ⋅ 6 mm
240 mm³ = ⬜ ⋅ 60 mm²
Das Kästchen kann man also mit 240 mm³ : 60 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅4 mm
+ 2⋅6 mm⋅4 mm
= 120 mm² + 80 mm² + 48 mm²
= 248 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(5|3), C(7|5) und G(7|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-5 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+4) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+4) = F(5|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+4) = H(5|9).
