Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 14600000000 mm³ = ..... Liter
14600000000 mm³ = 14600 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
108 dm³ - 1120 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
108 dm³ = 108000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
108 dm³ - 1120 cm³
= 108000 cm³ - 1120 cm³
= 106880 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 14 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 14 l Wasser eben 14 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 3 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 3 mm ⋅ 8 mm
= 120 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 12 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 3 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 3 dm = 12 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 300 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 5 mm
300 mm³ = ⬜ ⋅ 30 mm²
Das Kästchen kann man also mit 300 mm³ : 30 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅8 cm + 2⋅6 cm⋅5 cm
+ 2⋅8 cm⋅5 cm
= 96 cm² + 60 cm² + 80 cm²
= 236 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 5 dm hoch und hat das Volumen V = 80 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 dm³ = 4 dm ⋅ ⬜ ⋅ 5 dm
80 dm³ = ⬜ ⋅ 20 dm²
Das Kästchen kann man also mit 80 dm³ : 20 dm² = 4 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅5 dm + 2⋅4 dm⋅4 dm
+ 2⋅5 dm⋅4 dm
= 40 dm² + 32 dm² + 40 dm²
= 112 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(9|6) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|6) = D(4|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+2) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|6) liegen muss, also bei H(4|6+2) = H(4|8).
