Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 249 dm³ = ..... mm³
249 dm³ = 249000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
1030 mm³ + 75 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
75 cm³ = 75000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1030 mm³ + 75 cm³
= 1030 mm³ + 75000 mm³
= 76030 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 7 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 7 dm³ Wasser eben 7 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 9 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 9 cm ⋅ 5 cm
= 360 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 80 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 20 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 20 mm = 80 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 mm lang, 10 mm breit und hat das Volumen V = 540 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 540 mm³ = 9 mm ⋅ 10 mm ⋅ ⬜
540 mm³ = ⬜ ⋅ 90 mm²
Das Kästchen kann man also mit 540 mm³ : 90 mm² = 6 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 3 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅3 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅3 m⋅10 m
= 30 m² + 100 m² + 60 m²
= 190 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 4 cm hoch und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = 8 cm ⋅ ⬜ ⋅ 4 cm
160 cm³ = ⬜ ⋅ 32 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 32 cm² = 5 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅4 cm + 2⋅8 cm⋅5 cm
+ 2⋅4 cm⋅5 cm
= 64 cm² + 80 cm² + 40 cm²
= 184 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(7|2), C(8|3) und G(8|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-3 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+5) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|2) liegen muss, also bei F(7|2+5) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+5) = H(4|8).
