Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 51000000000 cm³ = ..... m³
51000000000 cm³ = 51000 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
720 mm³ + 96 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
96 dm³ = 96000 cm³ = 96000000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
720 mm³ + 96 dm³
= 720 mm³ + 96000000 mm³
= 96000720 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 13 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 13 ml Wasser eben 13 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 10 m breit und 6 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 10 m ⋅ 6 m
= 600 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 18 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 3 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 3 dm ⋅ 3 dm = 18 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 6 dm hoch und hat das Volumen V = 90 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 dm³ = 5 dm ⋅ ⬜ ⋅ 6 dm
90 dm³ = ⬜ ⋅ 30 dm²
Das Kästchen kann man also mit 90 dm³ : 30 dm² = 3 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 3 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅3 mm + 2⋅5 mm⋅4 mm
+ 2⋅3 mm⋅4 mm
= 30 mm² + 40 mm² + 24 mm²
= 94 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 120 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 5 mm
120 mm³ = ⬜ ⋅ 30 mm²
Das Kästchen kann man also mit 120 mm³ : 30 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅5 mm + 2⋅6 mm⋅4 mm
+ 2⋅5 mm⋅4 mm
= 60 mm² + 48 mm² + 40 mm²
= 148 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(4|2), C(5|3) und G(5|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-3 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+3) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(4|2) liegen muss, also bei F(4|2+3) = F(4|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+3) = H(3|6).
