Wir suchen alle Teiler von 25. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 25 ist, teilen wir 25 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 25 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 25, denn 25 = 1 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 2 ⋅ 12 + 1.

3 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 3 ⋅ 8 + 1.

4 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 4 ⋅ 6 + 1.

5 ist Teiler von 25, denn 25 = 5 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 25, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 25:
1, 5, 25

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1600, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 0 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1620, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 2 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1640, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 4 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1660, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 6 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1680, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 8 + 0 = 15, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 32 bilden:

2 + 30 = 32, dabei ist 30 aber keine Primzahl

3 + 29 = 32, dabei ist 29 auch eine Primzahl

3 und 29 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 29 = 32

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 126 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

126
= 2 ⋅ 63
= 2 ⋅ 3 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 108 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 108 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
3 ⋅ 3 = 9

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 54

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 108

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 108:
1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108