Wir suchen alle Teiler von 99. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 99 ist, teilen wir 99 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 99 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 99, denn 99 = 1 ⋅ 99, also ist auch 99 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 2 ⋅ 49 + 1.

3 ist Teiler von 99, denn 99 = 3 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 4 ⋅ 24 + 3.

5 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 5 ⋅ 19 + 4.

6 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 6 ⋅ 16 + 3.

7 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 7 ⋅ 14 + 1.

8 ist kein Teiler von 99, denn 99 = 8 ⋅ 12 + 3.

9 ist Teiler von 99, denn 99 = 9 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 99, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 99:
1, 3, 9, 11, 33, 99

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜6.

Da an der letzten Stelle eine 6 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 16, 36, 56, 76, 96 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 616, für die Quersumme gilt dann: 6 + 1 + 6 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 636, für die Quersumme gilt dann: 6 + 3 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 656, für die Quersumme gilt dann: 6 + 5 + 6 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 676, für die Quersumme gilt dann: 6 + 7 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 696, für die Quersumme gilt dann: 6 + 9 + 6 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 40 bilden:

2 + 38 = 40, dabei ist 38 aber keine Primzahl

3 + 37 = 40, dabei ist 37 auch eine Primzahl

3 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 37 = 40

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 66 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
11 = 11

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 11 = 22
3 ⋅ 11 = 33

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 66

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66