Wir suchen alle Teiler von 15. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 15 ist, teilen wir 15 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 15 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 15, denn 15 = 1 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 15, denn 15 = 2 ⋅ 7 + 1.

3 ist Teiler von 15, denn 15 = 3 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 4 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 4 ⋅ 4 = 16 > 15, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 15:
1, 3, 5, 15

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1000, für die Quersumme gilt dann: 0 + 0 + 0 = 0, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1020, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 0 = 3, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1040, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 4 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1060, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1080, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 8 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0, 2 und 8.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 20 bilden:

2 + 18 = 20, dabei ist 18 aber keine Primzahl

3 + 17 = 20, dabei ist 17 auch eine Primzahl

3 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 17 = 20

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 40 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 144 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

144
= 2 ⋅ 72
= 2 ⋅ 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 144 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
3 ⋅ 3 = 9

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 72

6 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 144

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 144:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144