Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 95% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit in mindestens 5 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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nP(X≤k)
......
1290.2222
1300.2165
1310.211
1320.2056
1330.2002
1340.195
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: P0.05n (X5) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.05n (X5) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.05n (X5) = 1 - P0.05n (X4) ≥ 0.8 |+ P0.05n (X4) - 0.8

0.2 ≥ P0.05n (X4) oder P0.05n (X4) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 5 0.05 ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.05⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
P0.05n (X4) ≈ 0.436 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=134 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 134 sein, damit P0.05n (X4) ≤ 0.2 oder eben P0.05n (X5) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 71% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 48 Versuchen mindestens 35 und weniger als 37 trifft?

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P0.7148 (35X36) =

...
32
33
34
35
36
37
38
...

P0.7148 (X36) - P0.7148 (X34) ≈ 0.7764 - 0.5443 ≈ 0.2321
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.71,36) - binomcdf(48,0.71,34))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
6 9 0.9996
7 10 0.9989
8 11 0.9973
9 12 0.9945
10 13 0.9904
11 14 0.9847
12 15 0.9773
13 16 0.9683
14 17 0.9578
15 18 0.9458
16 19 0.9326
17 20 0.9183
18 21 0.9031
19 22 0.8871
20 23 0.8706
21 24 0.8536
22 25 0.8363
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 6 9 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 21 24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 21 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 65 Freiwürfen mindestens 58 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥58)=1-P(X≤57)
......
0.860.2941
0.870.3788
0.880.4739
0.890.5752
0.90.6769
0.910.7719
......

Es muss gelten: Pp65 (X58) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp65 (X57) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(65,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 15 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 71 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
12
13
14
15
16
17
...

P0.12571 (X15) = 1 - P0.12571 (X14) = 0.0278
(TI-Befehl: 1-binomcdf(71,0.125,14))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 61 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=61⋅0.5 = 30.5

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 30.5, also 0.85⋅ 30.5 = 25.925 und 115% von 30.5, also 1.15⋅ 30.5 = 35.075

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30.5 entfernt sein darf als 25.925 bzw. 35.075, muss sie also zwischen 26 und 35 liegen.

P0.561 (26X35) =

...
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
...

P0.561 (X35) - P0.561 (X25) ≈ 0.9 - 0.1 ≈ 0.8
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.5,35) - binomcdf(61,0.5,25))