Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 20%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 27 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
1410.3673
1420.3518
1430.3366
1440.3218
1450.3073
1460.2932
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: P0.2n (X27) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.2n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.2n (X27) = 1 - P0.2n (X26) ≥ 0.7 |+ P0.2n (X26) - 0.7

0.3 ≥ P0.2n (X26) oder P0.2n (X26) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.2 ≈ 135 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.2⋅135) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=135:
P0.2n (X26) ≈ 0.4657 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=146 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 146 sein, damit P0.2n (X26) ≤ 0.3 oder eben P0.2n (X27) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 3 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 58 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= 1 8 .

P 1 8 58 (X3) = P 1 8 58 (X=0) + P 1 8 58 (X=1) + P 1 8 58 (X=2) + P 1 8 58 (X=3) = 0.057577402808289 ≈ 0.0576
(TI-Befehl: binomcdf(58,1/8,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
3 6 0.9992
4 7 0.9928
5 8 0.9713
6 9 0.9281
7 10 0.8642
8 11 0.786
9 12 0.7011
10 13 0.6159
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp27 (X21) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp27 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 3 6 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 9 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 55 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 55)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 22 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥22)=1-P(X≤21)
......
0.380.4296
0.390.4904
0.40.5511
0.410.6102
0.420.6666
0.430.7193
......

Es muss gelten: Pp55 (X22) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp55 (X21) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(55,X,21) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 59 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 52 Treffer zu erzielen?

(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
49
50
51
52
53
54
...

P0.959 (X52) = 1 - P0.959 (X51) = 0.7658
(TI-Befehl: 1-binomcdf(59,0.9,51))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 45 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅0.45 = 20.25

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 20.25, also 0.8⋅ 20.25 = 16.2 und 120% von 20.25, also 1.2⋅ 20.25 = 24.3

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 20.25 entfernt sein darf als 16.2 bzw. 24.3, muss sie also zwischen 17 und 24 liegen.

P0.4545 (17X24) =

...
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
...

P0.4545 (X24) - P0.4545 (X16) ≈ 0.8983 - 0.1302 ≈ 0.7681
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.45,24) - binomcdf(45,0.45,16))