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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,4. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 25 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
58	0.7329
59	0.6953
60	0.6563
61	0.6161
62	0.5752
63	0.5341
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.4}$ ≈ 63 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.4⋅63) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=63:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5341 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 46 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 12 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.22}^{46} (X \geq 12)

= 1 -

P_{0.22}^{46} (X \leq 11)

= 0.303
(TI-Befehl: 1-binomcdf(46,0.22,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9687
$\frac{1}{3}$	0.8683
$\frac{1}{4}$	0.7627
$\frac{1}{5}$	0.6723
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{5} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{5} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{5} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 68 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 28 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥28)=1-P(X≤27)
...	...
0.44	0.7216
0.45	0.7744
0.46	0.821
0.47	0.8609
0.48	0.8942
0.49	0.9214
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \geq 28)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{68} (X \leq 27)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(68,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,82. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 74 Versuchen mindestens 54 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.82}^{74} (X \geq 54)

= 1 -

P_{0.82}^{74} (X \leq 53)

= 0.9812
(TI-Befehl: 1-binomcdf(74,0.82,53))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=51⋅ $\frac{1}{6}$ = 8.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 8.5, also 0.8⋅ 8.5 = 6.8 und 120% von 8.5, also 1.2⋅ 8.5 = 10.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 8.5 entfernt sein darf als 6.8 bzw. 10.2, muss sie also zwischen 7 und 10 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{51} (7 \leq X \leq 10)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 6)

≈ 0.7794 - 0.2319 ≈ 0.5475
(TI-Befehl: binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,6))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert