Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 65%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 36 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
55	0.5785
56	0.5055
57	0.434
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.65}$ ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.65⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5785 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 36 Versuchen höchstens 11 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p=0.2.

P_{0.2}^{36} (X \leq 11)

=

P_{0.2}^{36} (X = 0)

+

P_{0.2}^{36} (X = 1)

+

P_{0.2}^{36} (X = 2)

+... +

P_{0.2}^{36} (X = 11)

= 0.95757227669456 ≈ 0.9576
(TI-Befehl: binomcdf(36,0.2,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{5}{15}$	0.9997
$\frac{5}{16}$	0.9987
$\frac{5}{17}$	0.996
$\frac{5}{18}$	0.99
$\frac{5}{19}$	0.9786
$\frac{5}{20}$	0.9601
$\frac{5}{21}$	0.9329
$\frac{5}{22}$	0.8965
$\frac{5}{23}$	0.8513
$\frac{5}{24}$	0.7985
$\frac{5}{25}$	0.74
$\frac{5}{26}$	0.6778
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 15)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{15}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 25 sein.

Also wären noch 20 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 23 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 79 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.18	0.9949
0.19	0.9899
0.2	0.9814
0.21	0.968
0.22	0.948
0.23	0.9199
0.24	0.8826
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{79} (X \leq 23)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(79,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.23 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 90%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 64 Versuchen nicht mehr als 56 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.9.

P_{0.9}^{64} (X \leq 56)

=

P_{0.9}^{64} (X = 0)

+

P_{0.9}^{64} (X = 1)

+

P_{0.9}^{64} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{64} (X = 56)

= 0.3078292092155 ≈ 0.3078
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.9,56))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 96 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=96⋅0.65 = 62.4

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 62.4, also 0.8⋅ 62.4 = 49.92 und 120% von 62.4, also 1.2⋅ 62.4 = 74.88

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 62.4 entfernt sein darf als 49.92 bzw. 74.88, muss sie also zwischen 50 und 74 liegen.

$P_{0.65}^{96} (50 \leq X \leq 74)$ =

...

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76

...

P_{0.65}^{96} (X \leq 74)

-

P_{0.65}^{96} (X \leq 49)

≈ 0.9962 - 0.0034 ≈ 0.9928
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.65,74) - binomcdf(96,0.65,49))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert