Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 19% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 22-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.6026
28	0.4456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.81 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.81}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 81% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.81}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.81⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.81}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.6026 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 27 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 5 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

2

3

4

5

6

7

...

P_{0.25}^{27} (X \geq 5)

= 1 -

P_{0.25}^{27} (X \leq 4)

= 0.8417
(TI-Befehl: 1-binomcdf(27,0.25,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.5
$\frac{5}{11}$	0.6311
$\frac{5}{12}$	0.7314
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{5}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 68 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 68)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 90% mindestens 36 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥36)=1-P(X≤35)
...	...
0.55	0.6794
0.56	0.7366
0.57	0.7882
0.58	0.8336
0.59	0.8723
0.6	0.9045
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \geq 36)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{68} (X \leq 35)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(68,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 43 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 23 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.5.

P_{0.5}^{43} (X = 23)

=

(\begin{matrix} 43 \\ 23 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{23} \cdot {0.5}^{20}

=0.10920381535243≈ 0.1092
(TI-Befehl: binompdf(43,0.5,23))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 73⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 12.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{73\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.18

15.35 (12.17 + 3.18) und 8.98 (12.17 - 3.18) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 12.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 15 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 15 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{73} (9 \leq X \leq 15)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 8)

≈ 0.8522 - 0.1216 ≈ 0.7306
(TI-Befehl: binomcdf(73, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(73, $\frac{1}{6}$ ,8))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ