Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 39 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
2090.8083
2100.7995
2110.7905
2120.7812
2130.7718
2140.7622
2150.7524
2160.7425
2170.7323
2180.722
2190.7116
2200.701
2210.6903
2220.6794
2230.6684
2240.6573
2250.6462
2260.6349
2270.6235
2280.6121
2290.6006
2300.5891
2310.5775
2320.5659
2330.5543
2340.5426
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X39) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 1 6 ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39 (≈ 1 6 ⋅234) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
P 1 6 n (X39) ≈ 0.5426 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=209 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 87% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 45 Versuchen mindestens 39 und weniger als 43 trifft?

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P0.8745 (39X42) =

...
36
37
38
39
40
41
42
43
44

P0.8745 (X42) - P0.8745 (X38) ≈ 0.9434 - 0.3676 ≈ 0.5758
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.87,42) - binomcdf(45,0.87,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 60 Durchgänge reichen?

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pP(X≤8)
......
1 7 0.5073
1 8 0.6669
1 9 0.7815
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp60 (X8) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp60 (X8) ('höchstens 8 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 8 60 . Mit diesem p wäre ja 8= 8 60 ⋅60 der Erwartungswert und somit Pp60 (X8) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 8 60 mit 1 8 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 7 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 95 Stück nur an, wenn nicht mehr als 38 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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pP(X≤k)
......
0.290.9921
0.30.9858
0.310.9757
0.320.9606
0.330.9389
0.340.9091
0.350.8701
......

Es muss gelten: Pp95 (X38) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(95,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 100 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 25 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
22
23
24
25
26
27
...

P0.25100 (X25) = 1 - P0.25100 (X24) = 0.5383
(TI-Befehl: 1-binomcdf(100,0.25,24))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 97⋅ 1 6 ≈ 16.17,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 97 1 6 5 6 ≈ 3.67

19.84 (16.17 + 3.67) und 12.5 (16.17 - 3.67) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 19 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 19 liegt.

P 1 6 97 (13X19) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P 1 6 97 (X19) - P 1 6 97 (X12) ≈ 0.8197 - 0.1586 ≈ 0.6611
(TI-Befehl: binomcdf(97, 1 6 ,19) - binomcdf(97, 1 6 ,12))