Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 32 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 192 | 0.547 |
| 193 | 0.5342 |
| 194 | 0.5214 |
| 195 | 0.5086 |
| 196 | 0.4958 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=195 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Würfel wird 81 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 13 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=81 und p=
(TI-Befehl: binompdf(81,1/6,13))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6488 | |
| 0.7946 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens
5 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 60 Freiwürfen mindestens 40 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥40)=1-P(X≤39) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.61 | 0.2227 |
| 0.62 | 0.2728 |
| 0.63 | 0.3283 |
| 0.64 | 0.3883 |
| 0.65 | 0.4516 |
| 0.66 | 0.5167 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(60,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 31 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=31 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(31,1/6,3))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 94 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=94⋅0.4 = 37.6
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 37.6, also 0.85⋅ 37.6 = 31.96 und 115% von 37.6, also 1.15⋅ 37.6 = 43.24
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37.6 entfernt sein darf als 31.96 bzw. 43.24, muss sie also zwischen 32 und 43 liegen.
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.4,43) - binomcdf(94,0.4,31))
