Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit 38 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
480.3607
490.2645
500.1861
510.1257
520.0817
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X38) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.8n (X38) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.8n (X38) = 1 - P0.8n (X37) ≥ 0.9 |+ P0.8n (X37) - 0.9

0.1 ≥ P0.8n (X37) oder P0.8n (X37) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 38 0.8 ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.8⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
P0.8n (X37) ≈ 0.3607 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 52 sein, damit P0.8n (X37) ≤ 0.1 oder eben P0.8n (X38) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 21 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 100 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...
18
19
20
21
22
23
...

P0.125100 (X21) = 1 - P0.125100 (X20) = 0.0114
(TI-Befehl: 1-binomcdf(100,0.125,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden
pP(X≤3)
......
2 12 0.6479
2 13 0.7038
2 14 0.7501
2 15 0.7885
2 16 0.8201
2 17 0.8464
2 18 0.8683
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X3) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 18 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 18 mit 2 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 12 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 16 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 83 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 68 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden
pP(X≤k)
......
0.710.9921
0.720.9868
0.730.9785
0.740.966
0.750.9478
0.760.922
0.770.8868
......

Es muss gelten: Pp83 (X68) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(83,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 48 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p= 1 6 .

P 1 6 48 (X=12) = ( 48 12 ) ( 1 6 )12 ( 5 6 )36 =0.045154060713048≈ 0.0452
(TI-Befehl: binompdf(48,1/6,12))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 60 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=60⋅0.55 = 33

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 33, also 0.85⋅ 33 = 28.05 und 115% von 33, also 1.15⋅ 33 = 37.95

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 33 entfernt sein darf als 28.05 bzw. 37.95, muss sie also zwischen 29 und 37 liegen.

P0.5560 (29X37) =

...
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.5560 (X37) - P0.5560 (X28) ≈ 0.879 - 0.1216 ≈ 0.7574
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.55,37) - binomcdf(60,0.55,28))