Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% nicht mehr als 28 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
156	0.7102
157	0.6975
158	0.6847
159	0.6718
160	0.6586
161	0.6454
162	0.632
163	0.6185
164	0.605
165	0.5913
166	0.5777
167	0.564
168	0.5502
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{\frac{1}{6}}$ ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 28 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.5502 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=156 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X = 10)

=

(\begin{matrix} 63 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{10} \cdot {(\frac{5}{6})}^{53}

=0.13440984625038≈ 0.1344
(TI-Befehl: binompdf(63,1/6,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9893
$\frac{1}{3}$	0.896
$\frac{1}{4}$	0.756
$\frac{1}{5}$	0.6242
$\frac{1}{6}$	0.5155
$\frac{1}{7}$	0.4292
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 60 Ausspielungen nicht öfters als 47 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.66	0.987
0.67	0.9806
0.68	0.9717
0.69	0.9596
0.7	0.9432
0.71	0.9218
0.72	0.8944
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 47)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(60,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 76 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 28 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.27.

P_{0.27}^{76} (X \leq 28)

=

P_{0.27}^{76} (X = 0)

+

P_{0.27}^{76} (X = 1)

+

P_{0.27}^{76} (X = 2)

+... +

P_{0.27}^{76} (X = 28)

= 0.97778889173765 ≈ 0.9778
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.27,28))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=76⋅ $\frac{1}{6}$ = 12.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.667, also 0.8⋅ 12.667 = 10.133 und 120% von 12.666666666667, also 1.2⋅ 12.667 = 15.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.666666666667 entfernt sein darf als 10.133 bzw. 15.2, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{76} (11 \leq X \leq 15)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X \leq 10)

≈ 0.8109 - 0.2588 ≈ 0.5521
(TI-Befehl: binomcdf(76, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(76, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert