Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 39 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
870.4458
880.4082
890.3719
900.3371
910.3039
920.2725
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X39) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.45n (X39) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.45n (X39) = 1 - P0.45n (X38) ≥ 0.7 |+ P0.45n (X38) - 0.7

0.3 ≥ P0.45n (X38) oder P0.45n (X38) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 0.45 ≈ 87 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.45⋅87) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=87:
P0.45n (X38) ≈ 0.4458 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 92 sein, damit P0.45n (X38) ≤ 0.3 oder eben P0.45n (X39) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,15 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 6 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.15.

P0.1561 (X6) = P0.1561 (X=0) + P0.1561 (X=1) + P0.1561 (X=2) +... + P0.1561 (X=6) = 0.17163489361936 ≈ 0.1716
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.15,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 85 Durchgänge reichen?

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pP(X≤7)
......
1 12 0.5858
1 13 0.67
1 14 0.739
1 15 0.7945
1 16 0.8385
1 17 0.873
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp85 (X7) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp85 (X7) ('höchstens 7 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 7 85 . Mit diesem p wäre ja 7= 7 85 ⋅85 der Erwartungswert und somit Pp85 (X7) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 7 85 mit 1 7 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 12 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 58 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 58)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 37 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥37)=1-P(X≤36)
......
0.640.5721
0.650.6339
0.660.6929
0.670.7478
0.680.7975
0.690.8413
......

Es muss gelten: Pp58 (X37) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp58 (X36) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 98 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p= 1 8 .

P 1 8 98 (X=6) = ( 98 6 ) ( 1 8 )6 ( 7 8 )92 =0.018555467899726≈ 0.0186
(TI-Befehl: binompdf(98,1/8,6))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 41 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=41⋅0.7 = 28.7

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 28.7, also 0.85⋅ 28.7 = 24.395 und 115% von 28.7, also 1.15⋅ 28.7 = 33.005

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 28.7 entfernt sein darf als 24.395 bzw. 33.005, muss sie also zwischen 25 und 33 liegen.

P0.741 (25X33) =

...
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
...

P0.741 (X33) - P0.741 (X24) ≈ 0.9542 - 0.0789 ≈ 0.8753
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.7,33) - binomcdf(41,0.7,24))