Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 35 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
210	0.545
211	0.5327
212	0.5204
213	0.5082
214	0.496
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{\frac{1}{6}}$ ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅210) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.545 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=213 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 79 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 30, aber höchstens 41 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.45}^{79} (30 \leq X \leq 41)$ =

...

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.45}^{79} (X \leq 41)

-

P_{0.45}^{79} (X \leq 29)

≈ 0.9105 - 0.0849 ≈ 0.8256
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.45,41) - binomcdf(79,0.45,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.6409
$\frac{1}{9}$	0.7089
$\frac{1}{10}$	0.7618
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{17}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 55 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 55).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 38 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.61	0.9162
0.62	0.8905
0.63	0.8594
0.64	0.8225
0.65	0.7797
0.66	0.7311
0.67	0.6771
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 38)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(55,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 51 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 5 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.1.

P_{0.1}^{51} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 51 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{5} \cdot {0.9}^{46}

=0.18452259089327≈ 0.1845
(TI-Befehl: binompdf(51,0.1,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 94 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=94⋅ $\frac{1}{6}$ = 15.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15.667, also 0.8⋅ 15.667 = 12.533 und 120% von 15.666666666667, also 1.2⋅ 15.667 = 18.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15.666666666667 entfernt sein darf als 12.533 bzw. 18.8, muss sie also zwischen 13 und 18 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{94} (13 \leq X \leq 18)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X \leq 18)

-

P_{\frac{1}{6}}^{94} (X \leq 12)

≈ 0.7871 - 0.1923 ≈ 0.5948
(TI-Befehl: binomcdf(94, $\frac{1}{6}$ ,18) - binomcdf(94, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert