Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,04. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
3	0.8847
4	0.8493
5	0.8154
6	0.7828
7	0.7514
8	0.7214
9	0.6925
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.04 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.04}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.04⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.04}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 83 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 17, aber weniger als 24 Fragen richtig beantwortet hat?

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$P_{0.25}^{83} (17 \leq X \leq 23)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

...

P_{0.25}^{83} (X \leq 23)

-

P_{0.25}^{83} (X \leq 16)

≈ 0.7605 - 0.1397 ≈ 0.6208
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.25,23) - binomcdf(83,0.25,16))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9687
$\frac{1}{3}$	0.8683
$\frac{1}{4}$	0.7627
$\frac{1}{5}$	0.6723
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{5} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{5} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{5} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 83 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 43 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥43)=1-P(X≤42)
...	...
0.54	0.6959
0.55	0.757
0.56	0.8108
0.57	0.8568
0.58	0.8947
0.59	0.9248
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{83} (X \geq 43)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{83} (X \leq 42)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(83,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 28 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{28} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 28 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{7} \cdot {(\frac{5}{6})}^{21}

=0.091939355408514≈ 0.0919
(TI-Befehl: binompdf(28,1/6,7))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 68 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 68⋅0.3 ≈ 20.4,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{68\cdot0.3\cdot0.7}$ ≈ 3.78

24.18 (20.4 + 3.78) und 16.62 (20.4 - 3.78) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 20.4 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 17 und 24 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 17 und 24 liegt.

$P_{0.3}^{68} (17 \leq X \leq 24)$ =

...

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.3}^{68} (X \leq 24)

-

P_{0.3}^{68} (X \leq 16)

≈ 0.8605 - 0.1506 ≈ 0.7099
(TI-Befehl: binomcdf(68,0.3,24) - binomcdf(68,0.3,16))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ