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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 38 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
58	0.8393
59	0.794
60	0.7432
61	0.6877
62	0.6289
63	0.5681
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.6}$ ≈ 63 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.6⋅63) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=63:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5681 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 81 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 23 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{81} (X = 23)

=

(\begin{matrix} 81 \\ 23 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{23} \cdot {(\frac{3}{4})}^{58}

=0.076863508042907≈ 0.0769
(TI-Befehl: binompdf(81,1/4,23))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 18 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.6479
$\frac{1}{7}$	0.7501
$\frac{1}{8}$	0.8201
$\frac{1}{9}$	0.8683
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{18}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{18}$ ⋅18 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{18}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 59 Wiederholungen 36 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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p	P(X≥36)=1-P(X≤35)
...	...
0.61	0.5558
0.62	0.6176
0.63	0.6769
0.64	0.7325
0.65	0.7832
0.66	0.8282
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{59} (X \geq 36)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{59} (X \leq 35)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(59,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 41 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 10 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.25.

P_{0.25}^{41} (X \leq 10)

=

P_{0.25}^{41} (X = 0)

+

P_{0.25}^{41} (X = 1)

+

P_{0.25}^{41} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{41} (X = 10)

= 0.54781299143973 ≈ 0.5478
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.25,10))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.333, also 0.8⋅ 14.333 = 11.467 und 120% von 14.333333333333, also 1.2⋅ 14.333 = 17.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.333333333333 entfernt sein darf als 11.467 bzw. 17.2, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{86} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 11)

≈ 0.8218 - 0.2092 ≈ 0.6126
(TI-Befehl: binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert