Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
48	0.5573
49	0.5
50	0.4439
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.5}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.5⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5573 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 82 Versuchen nicht mehr als 33 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.35.

P_{0.35}^{82} (X \leq 33)

=

P_{0.35}^{82} (X = 0)

+

P_{0.35}^{82} (X = 1)

+

P_{0.35}^{82} (X = 2)

+... +

P_{0.35}^{82} (X = 33)

= 0.8663194832331 ≈ 0.8663
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.35,33))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{5}{28}$	0.9998
$\frac{5}{29}$	0.9997
$\frac{5}{30}$	0.9994
$\frac{5}{31}$	0.9989
$\frac{5}{32}$	0.9981
$\frac{5}{33}$	0.997
$\frac{5}{34}$	0.9955
$\frac{5}{35}$	0.9934
$\frac{5}{36}$	0.9905
$\frac{5}{37}$	0.9868
$\frac{5}{38}$	0.9822
$\frac{5}{39}$	0.9765
$\frac{5}{40}$	0.9697
$\frac{5}{41}$	0.9616
$\frac{5}{42}$	0.9521
$\frac{5}{43}$	0.9413
$\frac{5}{44}$	0.9292
$\frac{5}{45}$	0.9156
$\frac{5}{46}$	0.9008
$\frac{5}{47}$	0.8846
$\frac{5}{48}$	0.8672
$\frac{5}{49}$	0.8487
$\frac{5}{50}$	0.8291
$\frac{5}{51}$	0.8086
$\frac{5}{52}$	0.7873
$\frac{5}{53}$	0.7652
$\frac{5}{54}$	0.7426
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{150} (X \leq 11)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{28}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{53}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 53 sein.

Also wären noch 48 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 68 Freiwürfen mindestens 58 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

Lösung einblenden

p	P(X≥58)=1-P(X≤57)
...	...
0.82	0.2999
0.83	0.3784
0.84	0.4649
0.85	0.5562
0.86	0.6478
0.87	0.7347
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{68} (X \geq 58)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{68} (X \leq 57)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(68,X,57) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 58 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 9, aber weniger als 19 Fragen richtig beantwortet hat?

Lösung einblenden

$P_{0.25}^{58} (9 \leq X \leq 18)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{0.25}^{58} (X \leq 18)

-

P_{0.25}^{58} (X \leq 8)

≈ 0.8856 - 0.0289 ≈ 0.8567
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.25,18) - binomcdf(58,0.25,8))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 90⋅0.35 ≈ 31.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{90\cdot0.35\cdot0.65}$ ≈ 4.52

36.02 (31.5 + 4.52) und 26.98 (31.5 - 4.52) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 31.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 27 und 36 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 27 und 36 liegt.

$P_{0.35}^{90} (27 \leq X \leq 36)$ =

...

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.35}^{90} (X \leq 36)

-

P_{0.35}^{90} (X \leq 26)

≈ 0.865 - 0.1339 ≈ 0.7311
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.35,36) - binomcdf(90,0.35,26))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ