Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,15. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 28 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
1970.3485
1980.3377
1990.3271
2000.3166
2010.3063
2020.2962
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X28) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.15n (X28) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X28) = 1 - P0.15n (X27) ≥ 0.7 |+ P0.15n (X27) - 0.7

0.3 ≥ P0.15n (X27) oder P0.15n (X27) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 0.15 ≈ 187 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.15⋅187) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=187:
P0.15n (X27) ≈ 0.4646 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=202 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 202 sein, damit P0.15n (X27) ≤ 0.3 oder eben P0.15n (X28) ≥ 0.7 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 25 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 5 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
2
3
4
5
6
7
...

P0.1725 (X5) = 1 - P0.1725 (X4) = 0.4241
(TI-Befehl: 1-binomcdf(25,0.17,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
2 5 0.4478
2 6 0.6739
2 7 0.8136
2 8 0.8929
2 9 0.9373
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X6) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 17 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 17 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 9 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 75 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 75).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 38 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.440.8993
0.450.8648
0.460.823
0.470.7741
0.480.7185
0.490.6571
0.50.5912
......

Es muss gelten: Pp75 (X38) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(75,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen mindestens 38 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
35
36
37
38
39
40
...

P0.3587 (X38) = 1 - P0.3587 (X37) = 0.0581
(TI-Befehl: 1-binomcdf(87,0.35,37))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 61⋅0.3 ≈ 18.3,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 61 0.3 0.7 ≈ 3.58

21.88 (18.3 + 3.58) und 14.72 (18.3 - 3.58) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 18.3 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 15 und 21 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 15 und 21 liegt.

P0.361 (15X21) =

...
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...

P0.361 (X21) - P0.361 (X14) ≈ 0.8154 - 0.1435 ≈ 0.6719
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.3,21) - binomcdf(61,0.3,14))