Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 20 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
22	0.6608
23	0.408
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.9}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.9⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.6608 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 77 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 12 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.25}^{77} (X \geq 12)

= 1 -

P_{0.25}^{77} (X \leq 11)

= 0.9834
(TI-Befehl: 1-binomcdf(77,0.25,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.9994
$\frac{2}{9}$	0.9951
$\frac{2}{10}$	0.9782
$\frac{2}{11}$	0.9374
$\frac{2}{12}$	0.8665
$\frac{2}{13}$	0.7692
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 15)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 12 sein.

Also wären noch 10 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 79 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 79).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 71 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.83	0.9693
0.84	0.95
0.85	0.9211
0.86	0.8794
0.87	0.8218
0.88	0.7458
0.89	0.651
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{79} (X \leq 71)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(79,X,71) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 5 und höchstens 14 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 69 Glückskekse kauft?

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$P_{0.125}^{69} (6 \leq X \leq 14)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.125}^{69} (X \leq 14)

-

P_{0.125}^{69} (X \leq 5)

≈ 0.9781 - 0.1236 ≈ 0.8545
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.125,14) - binomcdf(69,0.125,5))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=79⋅0.5 = 39.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 39.5, also 0.8⋅ 39.5 = 31.6 und 120% von 39.5, also 1.2⋅ 39.5 = 47.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 39.5 entfernt sein darf als 31.6 bzw. 47.4, muss sie also zwischen 32 und 47 liegen.

$P_{0.5}^{79} (32 \leq X \leq 47)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.5}^{79} (X \leq 47)

-

P_{0.5}^{79} (X \leq 31)

≈ 0.9644 - 0.0356 ≈ 0.9288
(TI-Befehl: binomcdf(79,0.5,47) - binomcdf(79,0.5,31))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert