Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈$\frac{1}{6}$⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4695 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=201 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 201 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{29}(X\le 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{29}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{7}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{6}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.

Es muss gelten: $P_p^{87}(X\ge 71)$=0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{87}(X\le 70)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.