Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 17% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 20-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
230.7753
240.6014
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: P0.83n (X20) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 0.83 ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.83⋅24) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
P0.83n (X20) ≈ 0.6014 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=23 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 74 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 15 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p= 1 6 .

P 1 6 74 (X15) = P 1 6 74 (X=0) + P 1 6 74 (X=1) + P 1 6 74 (X=2) +... + P 1 6 74 (X=15) = 0.83898085113845 ≈ 0.839
(TI-Befehl: binomcdf(74,1/6,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
2 5 0.6098
2 6 0.797
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X6) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 15 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 15 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 6 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 71 Freiwürfen mindestens 61 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥61)=1-P(X≤60)
......
0.810.1842
0.820.246
0.830.3197
0.840.4038
0.850.4958
0.860.5914
......

Es muss gelten: Pp71 (X61) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp71 (X60) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(71,X,60) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 96 Glückskekse kauft?

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P0.12596 (3X13) =

...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
...

P0.12596 (X13) - P0.12596 (X2) ≈ 0.689 - 0.0003 ≈ 0.6887
(TI-Befehl: binomcdf(96,0.125,13) - binomcdf(96,0.125,2))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 99 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 99⋅0.4 ≈ 39.6,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 99 0.4 0.6 ≈ 4.87

44.47 (39.6 + 4.87) und 34.73 (39.6 - 4.87) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 39.6 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 35 und 44 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 35 und 44 liegt.

P0.499 (35X44) =

...
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
...

P0.499 (X44) - P0.499 (X34) ≈ 0.8426 - 0.1475 ≈ 0.6951
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.4,44) - binomcdf(99,0.4,34))