Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 124 | 0.4656 |
| 125 | 0.4452 |
| 126 | 0.425 |
| 127 | 0.4052 |
| 128 | 0.3857 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 124 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.25⋅124) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=124:
≈ 0.4656
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=128 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 128 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 45% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 94 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 34 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.45.
= =0.018924446948544≈ 0.0189(TI-Befehl: binompdf(94,0.45,34))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.
| p | P(X≤2) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6774 | |
| 0.7601 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 2=⋅12 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens
7 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 42 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 37 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.76 | 0.9845 |
| 0.77 | 0.978 |
| 0.78 | 0.9692 |
| 0.79 | 0.9575 |
| 0.8 | 0.942 |
| 0.81 | 0.9218 |
| 0.82 | 0.8961 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(42,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 81 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 18 und höchstens 24 beträgt?
=
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.3,24) - binomcdf(81,0.3,17))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 60 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 60⋅0.6 ≈ 36,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.79
39.79 (36 + 3.79) und 32.21 (36 - 3.79) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 36 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 39 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 39 liegt.
=
(TI-Befehl: binomcdf(60,0.6,39) - binomcdf(60,0.6,32))
