Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% nicht über 37 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.7772
41	0.5969
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.9}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.9⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.5969 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 44 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 15 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.3.

P_{0.3}^{44} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 44 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{15} \cdot {0.7}^{29}

=0.10622406014841≈ 0.1062
(TI-Befehl: binompdf(44,0.3,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.9997
$\frac{6}{11}$	0.9987
$\frac{7}{12}$	0.9959
$\frac{8}{13}$	0.9899
$\frac{9}{14}$	0.9796
$\frac{10}{15}$	0.9642
$\frac{11}{16}$	0.9435
$\frac{12}{17}$	0.9175
$\frac{13}{18}$	0.887
$\frac{14}{19}$	0.8527
$\frac{15}{20}$	0.8156
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{14}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 45 Wiederholungen 31 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.65	0.3533
0.66	0.407
0.67	0.463
0.68	0.5204
0.69	0.578
0.7	0.6347
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{45} (X \geq 31)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{45} (X \leq 30)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(45,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 67 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 23 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{67} (X = 23)

=

(\begin{matrix} 67 \\ 23 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{23} \cdot {(\frac{3}{4})}^{44}

=0.023997776546952≈ 0.024
(TI-Befehl: binompdf(67,1/4,23))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 41 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 41⋅0.4 ≈ 16.4,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{41\cdot0.4\cdot0.6}$ ≈ 3.14

19.54 (16.4 + 3.14) und 13.26 (16.4 - 3.14) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.4 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 14 und 19 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 14 und 19 liegt.

$P_{0.4}^{41} (14 \leq X \leq 19)$ =

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{0.4}^{41} (X \leq 19)

-

P_{0.4}^{41} (X \leq 13)

≈ 0.8386 - 0.1781 ≈ 0.6605
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.4,19) - binomcdf(41,0.4,13))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ