Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
52	0.7332
53	0.6563
54	0.5747
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.7}$ ≈ 54 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.7⋅54) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=54:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5747 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 29 Versuchen nicht mehr als 10 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.35.

P_{0.35}^{29} (X \leq 10)

=

P_{0.35}^{29} (X = 0)

+

P_{0.35}^{29} (X = 1)

+

P_{0.35}^{29} (X = 2)

+... +

P_{0.35}^{29} (X = 10)

= 0.56168237964726 ≈ 0.5617
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.35,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9805
$\frac{1}{3}$	0.8569
$\frac{1}{4}$	0.6997
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 92 Wiederholungen 57 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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p	P(X≥57)=1-P(X≤56)
...	...
0.58	0.2547
0.59	0.3209
0.6	0.3936
0.61	0.4708
0.62	0.5495
0.63	0.6268
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{92} (X \geq 57)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{92} (X \leq 56)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(92,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.63 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 81 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 17 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X \leq 17)

=

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X = 17)

= 0.88140663362045 ≈ 0.8814
(TI-Befehl: binomcdf(81,1/6,17))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 51 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=51⋅0.55 = 28.05

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 28.05, also 0.8⋅ 28.05 = 22.44 und 120% von 28.05, also 1.2⋅ 28.05 = 33.66

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 28.05 entfernt sein darf als 22.44 bzw. 33.66, muss sie also zwischen 23 und 33 liegen.

$P_{0.55}^{51} (23 \leq X \leq 33)$ =

...

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.55}^{51} (X \leq 33)

-

P_{0.55}^{51} (X \leq 22)

≈ 0.9387 - 0.0595 ≈ 0.8792
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.55,33) - binomcdf(51,0.55,22))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert