Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 26 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.6398
33	0.4996
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.8}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.8⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.4996 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 14 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 14)

=

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X = 14)

= 0.73915299737007 ≈ 0.7392
(TI-Befehl: binomcdf(75,1/6,14))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{19}$	0.6478
$\frac{3}{20}$	0.6841
$\frac{3}{21}$	0.7165
$\frac{3}{22}$	0.7452
$\frac{3}{23}$	0.7707
$\frac{3}{24}$	0.7933
$\frac{3}{25}$	0.8133
$\frac{3}{26}$	0.8312
$\frac{3}{27}$	0.847
$\frac{3}{28}$	0.8611
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{19}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{19}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{28}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 28 sein.

Also werden noch 25 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 96 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 96)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 80 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥80)=1-P(X≤79)
...	...
0.81	0.3334
0.82	0.4288
0.83	0.5314
0.84	0.6352
0.85	0.7328
0.86	0.818
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{96} (X \geq 80)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{96} (X \leq 79)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(96,X,79) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 28 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 8 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{28} (X = 8)

=

(\begin{matrix} 28 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{8} \cdot {(\frac{3}{4})}^{20}

=0.15039763921296≈ 0.1504
(TI-Befehl: binompdf(28,1/4,8))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 80⋅0.45 ≈ 36,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{80\cdot0.45\cdot0.55}$ ≈ 4.45

40.45 (36 + 4.45) und 31.55 (36 - 4.45) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 36 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 32 und 40 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 32 und 40 liegt.

$P_{0.45}^{80} (32 \leq X \leq 40)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.45}^{80} (X \leq 40)

-

P_{0.45}^{80} (X \leq 31)

≈ 0.8441 - 0.1559 ≈ 0.6882
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.45,40) - binomcdf(80,0.45,31))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ