Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 29 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
32	0.6333
33	0.4231
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.9}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.9⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.6333 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 80 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 45 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.5.

P_{0.5}^{80} (X \leq 45)

=

P_{0.5}^{80} (X = 0)

+

P_{0.5}^{80} (X = 1)

+

P_{0.5}^{80} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{80} (X = 45)

= 0.89074098026065 ≈ 0.8907
(TI-Befehl: binomcdf(80,0.5,45))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 70 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden

p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5989
$\frac{1}{11}$	0.6972
$\frac{1}{12}$	0.7736
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{70}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 55 Freiwürfen mindestens 27 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

Lösung einblenden

p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.45	0.3166
0.46	0.3717
0.47	0.4294
0.48	0.4885
0.49	0.5479
0.5	0.6061
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \geq 27)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{55} (X \leq 26)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(55,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 11 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 97 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

$P_{0.125}^{97} (12 \leq X \leq 13)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{0.125}^{97} (X \leq 13)

-

P_{0.125}^{97} (X \leq 11)

≈ 0.6749 - 0.4388 ≈ 0.2361
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.125,13) - binomcdf(97,0.125,11))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 85 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=85⋅0.6 = 51

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 51, also 0.8⋅ 51 = 40.8 und 120% von 51, also 1.2⋅ 51 = 61.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 51 entfernt sein darf als 40.8 bzw. 61.2, muss sie also zwischen 41 und 61 liegen.

$P_{0.6}^{85} (41 \leq X \leq 61)$ =

...

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

...

P_{0.6}^{85} (X \leq 61)

-

P_{0.6}^{85} (X \leq 40)

≈ 0.9911 - 0.0106 ≈ 0.9805
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.6,61) - binomcdf(85,0.6,40))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert