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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,55. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 31 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
49	0.9052
50	0.8727
51	0.8341
52	0.7899
53	0.7407
54	0.6873
55	0.6309
56	0.5728
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.55}$ ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.55⋅56) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5728 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 89 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 33, aber höchstens 41 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.4}^{89} (33 \leq X \leq 41)$ =

...

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

...

P_{0.4}^{89} (X \leq 41)

-

P_{0.4}^{89} (X \leq 32)

≈ 0.8985 - 0.2526 ≈ 0.6459
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.4,41) - binomcdf(89,0.4,32))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.9992
$\frac{6}{11}$	0.9967
$\frac{7}{12}$	0.99
$\frac{8}{13}$	0.9772
$\frac{9}{14}$	0.9567
$\frac{10}{15}$	0.9281
$\frac{11}{16}$	0.8919
$\frac{12}{17}$	0.8495
$\frac{13}{18}$	0.8024
$\frac{14}{19}$	0.7524
$\frac{15}{20}$	0.7011
$\frac{16}{21}$	0.6497
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{27} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{15}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 85 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 85).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 29 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.27	0.9425
0.28	0.9137
0.29	0.8759
0.3	0.8286
0.31	0.772
0.32	0.7069
0.33	0.6353
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 29)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(85,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 71 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X \leq 9)

=

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{71} (X = 9)

= 0.6052077669932 ≈ 0.6052
(TI-Befehl: binomcdf(71,1/8,9))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 42 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.35 = 14.7

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 14.7, also 0.85⋅ 14.7 = 12.495 und 115% von 14.7, also 1.15⋅ 14.7 = 16.905

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.7 entfernt sein darf als 12.495 bzw. 16.905, muss sie also zwischen 13 und 16 liegen.

$P_{0.35}^{42} (13 \leq X \leq 16)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.35}^{42} (X \leq 16)

-

P_{0.35}^{42} (X \leq 12)

≈ 0.7232 - 0.2411 ≈ 0.4821
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.35,16) - binomcdf(42,0.35,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert