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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,7. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 31 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6727
44	0.5827
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.7}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.7⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5827 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 41 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{41} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{2} \cdot {(\frac{7}{8})}^{39}

=0.070137122832911≈ 0.0701
(TI-Befehl: binompdf(41,1/8,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{5}{9}$	0.9994
$\frac{6}{10}$	0.9976
$\frac{7}{11}$	0.9933
$\frac{8}{12}$	0.9851
$\frac{9}{13}$	0.9722
$\frac{10}{14}$	0.9542
$\frac{11}{15}$	0.9312
$\frac{12}{16}$	0.9038
$\frac{13}{17}$	0.8727
$\frac{14}{18}$	0.8388
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{13}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 70 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.61	0.9759
0.62	0.9618
0.63	0.9417
0.64	0.9137
0.65	0.8764
0.66	0.8287
0.67	0.7699
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \leq 70)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(100,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{58} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 58 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{7} \cdot {(\frac{5}{6})}^{51}

=0.098354379135174≈ 0.0984
(TI-Befehl: binompdf(58,1/6,7))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 84 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 84⋅0.65 ≈ 54.6,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{84\cdot0.65\cdot0.35}$ ≈ 4.37

58.97 (54.6 + 4.37) und 50.23 (54.6 - 4.37) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 54.6 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 51 und 58 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 51 und 58 liegt.

$P_{0.65}^{84} (51 \leq X \leq 58)$ =

...

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

...

P_{0.65}^{84} (X \leq 58)

-

P_{0.65}^{84} (X \leq 50)

≈ 0.8132 - 0.1738 ≈ 0.6394
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.65,58) - binomcdf(84,0.65,50))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ