Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 11% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 23-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
25	0.7779
26	0.5565
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.89}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.89⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.89}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5565 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 53 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X \leq 4)

=

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{53} (X = 4)

= 0.045953729609599 ≈ 0.046
(TI-Befehl: binomcdf(53,1/6,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9968
$\frac{1}{3}$	0.946
$\frac{1}{4}$	0.8416
$\frac{1}{5}$	0.7251
$\frac{1}{6}$	0.6187
$\frac{1}{7}$	0.5282
$\frac{1}{8}$	0.4533
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 71 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 71)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 33 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.44	0.3801
0.45	0.4463
0.46	0.5139
0.47	0.581
0.48	0.6456
0.49	0.7063
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{71} (X \geq 33)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{71} (X \leq 32)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(71,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 23 Versuchen höchstens 9 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.5.

P_{0.5}^{23} (X \leq 9)

=

P_{0.5}^{23} (X = 0)

+

P_{0.5}^{23} (X = 1)

+

P_{0.5}^{23} (X = 2)

+... +

P_{0.5}^{23} (X = 9)

= 0.20243644714355 ≈ 0.2024
(TI-Befehl: binomcdf(23,0.5,9))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 86 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 86⋅0.25 ≈ 21.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{86\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 4.02

25.52 (21.5 + 4.02) und 17.48 (21.5 - 4.02) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 21.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 18 und 25 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 18 und 25 liegt.

$P_{0.25}^{86} (18 \leq X \leq 25)$ =

...

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

...

P_{0.25}^{86} (X \leq 25)

-

P_{0.25}^{86} (X \leq 17)

≈ 0.8406 - 0.1595 ≈ 0.6811
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.25,25) - binomcdf(86,0.25,17))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ