Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
360.9775
370.8964
380.7463
390.5563
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X35) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 0.9 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.9n (X35) ≈ 0.5563 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 49 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p= 1 8 .

P 1 8 49 (X=8) = ( 49 8 ) ( 1 8 )8 ( 7 8 )41 =0.11265894963171≈ 0.1127
(TI-Befehl: binompdf(49,1/8,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
2 3 0.289
2 4 0.7256
2 5 0.9006
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 11 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 11 ⋅11 der Erwartungswert und somit Pp11 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 11 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 3 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 5 sein.

Also werden noch 3 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 96 Freiwürfen mindestens 92 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥92)=1-P(X≤91)
......
0.910.0598
0.920.1094
0.930.1901
0.940.3106
0.950.4725
0.960.6607
......

Es muss gelten: Pp96 (X92) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp96 (X91) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(96,X,91) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.96 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,1.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 8 Treffer zu erzielen?

(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
5
6
7
8
9
10
...

P0.144 (X8) = 1 - P0.144 (X7) = 0.0679
(TI-Befehl: 1-binomcdf(44,0.1,7))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 54 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=54⋅0.55 = 29.7

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 29.7, also 0.85⋅ 29.7 = 25.245 und 115% von 29.7, also 1.15⋅ 29.7 = 34.155

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 29.7 entfernt sein darf als 25.245 bzw. 34.155, muss sie also zwischen 26 und 34 liegen.

P0.5554 (26X34) =

...
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
...

P0.5554 (X34) - P0.5554 (X25) ≈ 0.9062 - 0.1255 ≈ 0.7807
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.55,34) - binomcdf(54,0.55,25))