Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 15%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit 36 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
2370.5049
2380.494
2390.4832
2400.4724
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X36) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.15n (X36) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X36) = 1 - P0.15n (X35) ≥ 0.5 |+ P0.15n (X35) - 0.5

0.5 ≥ P0.15n (X35) oder P0.15n (X35) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 36 0.15 ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.15⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
P0.15n (X35) ≈ 0.4724 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=238 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 238 sein, damit P0.15n (X35) ≤ 0.5 oder eben P0.15n (X36) ≥ 0.5 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 21 Versuchen nicht mehr als 9 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=21 und p=0.35.

P0.3521 (X9) = P0.3521 (X=0) + P0.3521 (X=1) + P0.3521 (X=2) +... + P0.3521 (X=9) = 0.83767479379588 ≈ 0.8377
(TI-Befehl: binomcdf(21,0.35,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
3 5 0.9998
4 6 0.9982
5 7 0.9923
6 8 0.9793
7 9 0.9578
8 10 0.9282
9 11 0.8921
10 12 0.8512
11 13 0.8075
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp27 (X24) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp27 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 3 5 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 10 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 44 Wiederholungen 35 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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pP(X≥35)=1-P(X≤34)
......
0.790.5525
0.80.6174
0.810.6807
0.820.7407
0.830.7958
0.840.8447
......

Es muss gelten: Pp44 (X35) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp44 (X34) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(44,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.84 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 10 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
7
8
9
10
11
12
...

P0.2550 (X10) = 1 - P0.2550 (X9) = 0.8363
(TI-Befehl: 1-binomcdf(50,0.25,9))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 89 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 89 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 89 ⋅ 0.15 = 13.35

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 89 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85 = 11.3475 3.37