Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 25 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 31 | 0.4289 |
| 32 | 0.3018 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.8⋅31) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
≈ 0.4289
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 32 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 97 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 mal, aber weniger als 26 mal eine sechs gewürfelt wird?
=
(TI-Befehl: binomcdf(97,,25) - binomcdf(97,,20))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.629 | |
| 0.6567 | |
| 0.6822 | |
| 0.7057 | |
| 0.7273 | |
| 0.7471 | |
| 0.7653 | |
| 0.7821 | |
| 0.7974 | |
| 0.8116 | |
| 0.8246 | |
| 0.8365 | |
| 0.8476 | |
| 0.8577 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅20 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
39 sein.
Also werden noch 35 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 47 Ausspielungen nicht öfters als 26 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.42 | 0.9764 |
| 0.43 | 0.9675 |
| 0.44 | 0.9559 |
| 0.45 | 0.9413 |
| 0.46 | 0.9232 |
| 0.47 | 0.9012 |
| 0.48 | 0.875 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(47,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 89% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 86 Versuchen mindestens 79 und weniger als 83 trifft?
=
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.89,82) - binomcdf(86,0.89,78))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 95 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=95⋅0.75 = 71.25
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 71.25, also 0.8⋅ 71.25 = 57 und 120% von 71.25, also 1.2⋅ 71.25 = 85.5
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 71.25 entfernt sein darf als 57 bzw. 85.5, muss sie also zwischen 57 und 85 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.75,85) - binomcdf(95,0.75,56))
