Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 37 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
217	0.6033
218	0.5914
219	0.5796
220	0.5676
221	0.5557
222	0.5438
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{\frac{1}{6}}$ ≈ 222 Versuchen auch ungefähr 37 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅222) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=222:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.5438 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=217 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 41 Versuchen genau 32 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.85.

P_{0.85}^{41} (X = 32)

=

(\begin{matrix} 41 \\ 32 \end{matrix}) \cdot {0.85}^{32} \cdot {0.15}^{9}

=0.07425421296523≈ 0.0743
(TI-Befehl: binompdf(41,0.85,32))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9648
$\frac{1}{3}$	0.8049
$\frac{1}{4}$	0.6329
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 58 Freiwürfen mindestens 49 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥49)=1-P(X≤48)
...	...
0.83	0.4653
0.84	0.5475
0.85	0.6305
0.86	0.7105
0.87	0.7841
0.88	0.848
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \geq 49)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{58} (X \leq 48)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(58,X,48) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 75 Versuchen höchstens 32 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.45.

P_{0.45}^{75} (X \leq 32)

=

P_{0.45}^{75} (X = 0)

+

P_{0.45}^{75} (X = 1)

+

P_{0.45}^{75} (X = 2)

+... +

P_{0.45}^{75} (X = 32)

= 0.38734055188874 ≈ 0.3873
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.45,32))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 53 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 53⋅0.25 ≈ 13.25,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{53\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 3.15

16.4 (13.25 + 3.15) und 10.1 (13.25 - 3.15) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.25 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 16 liegt.

$P_{0.25}^{53} (11 \leq X \leq 16)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.25}^{53} (X \leq 16)

-

P_{0.25}^{53} (X \leq 10)

≈ 0.8486 - 0.1933 ≈ 0.6553
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.25,16) - binomcdf(53,0.25,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ