Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 27 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 38 | 0.4764 |
| 39 | 0.3818 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.7⋅39) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
≈ 0.3818
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 39 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 23 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=.
= =0.092825475286351≈ 0.0928(TI-Befehl: binompdf(23,1/8,5))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4672 | |
| 0.7256 | |
| 0.8614 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅11 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
7 sein.
Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 74 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 67 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.81 | 0.9921 |
| 0.82 | 0.9864 |
| 0.83 | 0.9772 |
| 0.84 | 0.9627 |
| 0.85 | 0.9406 |
| 0.86 | 0.9081 |
| 0.87 | 0.862 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(74,X,67) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=.
= + + +... + = 0.025767641239389 ≈ 0.0258(TI-Befehl: binomcdf(98,1/6,9))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 83 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅0.75 = 62.25
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 62.25, also 0.9⋅ 62.25 = 56.025 und 110% von 62.25, also 1.1⋅ 62.25 = 68.475
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 62.25 entfernt sein darf als 56.025 bzw. 68.475, muss sie also zwischen 57 und 68 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.75,68) - binomcdf(83,0.75,56))
