Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 10% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 35 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
390.3504
400.2063
410.1102
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X35) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.9n (X35) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.9n (X35) = 1 - P0.9n (X34) ≥ 0.8 |+ P0.9n (X34) - 0.8

0.2 ≥ P0.9n (X34) oder P0.9n (X34) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 0.9 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.9n (X34) ≈ 0.3504 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit P0.9n (X34) ≤ 0.2 oder eben P0.9n (X35) ≥ 0.8 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 94% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 45 Versuchen mindestens 39 und weniger als 43 trifft?

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P0.9445 (39X42) =

...
36
37
38
39
40
41
42
43
44

P0.9445 (X42) - P0.9445 (X38) ≈ 0.5117 - 0.017 ≈ 0.4947
(TI-Befehl: binomcdf(45,0.94,42) - binomcdf(45,0.94,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
3 6 0.6128
3 7 0.7866
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 12 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 12 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 96 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 40 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥40)=1-P(X≤39)
......
0.430.6415
0.440.7123
0.450.7756
0.460.8299
0.470.875
0.480.9109
......

Es muss gelten: Pp96 (X40) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp96 (X39) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(96,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 29 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 16 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=29 und p=0.5.

P0.529 (X16) = P0.529 (X=0) + P0.529 (X=1) + P0.529 (X=2) +... + P0.529 (X=16) = 0.77087084017694 ≈ 0.7709
(TI-Befehl: binomcdf(29,0.5,16))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 52⋅0.65 ≈ 33.8,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 52 0.65 0.35 ≈ 3.44

37.24 (33.8 + 3.44) und 30.36 (33.8 - 3.44) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 33.8 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 31 und 37 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 31 und 37 liegt.

P0.6552 (31X37) =

...
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.6552 (X37) - P0.6552 (X30) ≈ 0.8596 - 0.1683 ≈ 0.6913
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.65,37) - binomcdf(52,0.65,30))