Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ = 1 - $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ oder $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{0.45}}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.45⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4487 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 76 sein, damit $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.45}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{20}(X\le 3)$=0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{20}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{20}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{20}$⋅20 der Erwartungswert und somit $P_p^{20}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{20}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{26}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{45}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 45 sein.

Also werden noch 41 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{93}(X\le 36)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(93,X,36) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.