Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,06. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.94
2	0.8836
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.06}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.06⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 76 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 57 Treffer zu erzielen?

(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

54

55

56

57

58

59

...

P_{0.7}^{76} (X \geq 57)

= 1 -

P_{0.7}^{76} (X \leq 56)

= 0.206
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76,0.7,56))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{15}$	0.6482
$\frac{3}{16}$	0.6946
$\frac{3}{17}$	0.7344
$\frac{3}{18}$	0.7685
$\frac{3}{19}$	0.7977
$\frac{3}{20}$	0.8227
$\frac{3}{21}$	0.8441
$\frac{3}{22}$	0.8626
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{15}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{22}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 22 sein.

Also werden noch 19 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 79 Wiederholungen 64 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

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p	P(X≥64)=1-P(X≤63)
...	...
0.78	0.3117
0.79	0.3912
0.8	0.4777
0.81	0.5673
0.82	0.6559
0.83	0.739
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{79} (X \geq 64)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{79} (X \leq 63)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(79,X,63) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 81 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 20 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.3.

P_{0.3}^{81} (X = 20)

=

(\begin{matrix} 81 \\ 20 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{20} \cdot {0.7}^{61}

=0.058208844117161≈ 0.0582
(TI-Befehl: binompdf(81,0.3,20))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 57⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 9.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{57\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.81

12.31 (9.5 + 2.81) und 6.69 (9.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{57} (7 \leq X \leq 12)$ =

...

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

...

P_{\frac{1}{6}}^{57} (X \leq 12)

-

P_{\frac{1}{6}}^{57} (X \leq 6)

≈ 0.8563 - 0.1412 ≈ 0.7151
(TI-Befehl: binomcdf(57, $\frac{1}{6}$ ,12) - binomcdf(57, $\frac{1}{6}$ ,6))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ