Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 23 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
37	0.665
38	0.5873
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.6}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.6⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5873 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 93 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{93} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 93 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{2} \cdot {(\frac{7}{8})}^{91}

=0.00035301538353937≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(93,1/8,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 90 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden

p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5875
$\frac{1}{11}$	0.699
$\frac{1}{12}$	0.7841
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 9)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{90}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{90}$ ⋅90 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{90} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{90}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 74 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 74)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 69 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥69)=1-P(X≤68)
...	...
0.88	0.1078
0.89	0.1631
0.9	0.2383
0.91	0.3352
0.92	0.4523
0.93	0.5833
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{74} (X \geq 69)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{74} (X \leq 68)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 37 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

0

1

2

3

4

...

P_{0.125}^{37} (X \geq 2)

= 1 -

P_{0.125}^{37} (X \leq 1)

= 0.9551
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37,0.125,1))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 22 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 22 und p = 0.8 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 22 ⋅ 0.8 = 17.6

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{22 ⋅ 0.8 ⋅ 0.2}$ = $\sqrt{3.52}$ ≈ 1.88

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.