Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 21 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
350.9123
360.8785
370.838
380.7912
390.7388
400.6821
410.6224
420.5612
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X21) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.5 ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.5⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
P0.5n (X21) ≈ 0.5612 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 8 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 53 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= 1 8 .

P 1 8 53 (X8) = P 1 8 53 (X=0) + P 1 8 53 (X=1) + P 1 8 53 (X=2) +... + P 1 8 53 (X=8) = 0.78823610056222 ≈ 0.7882
(TI-Befehl: binomcdf(53,1/8,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden
pP(X≤6)
......
2 3 0.289
2 4 0.7256
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X6) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 11 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 11 ⋅11 der Erwartungswert und somit Pp11 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 11 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 3 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 4 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 4 sein.

Also werden noch 2 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 48 Ausspielungen nicht öfters als 39 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

Lösung einblenden
pP(X≤k)
......
0.690.9809
0.70.9731
0.710.9626
0.720.9489
0.730.9313
0.740.9089
0.750.881
......

Es muss gelten: Pp48 (X39) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(48,X,39) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 4 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...
1
2
3
4
5
6
...

P 1 6 35 (X4) = 1 - P 1 6 35 (X3) = 0.8575
(TI-Befehl: 1-binomcdf(35, 1 6 ,3))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 84 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=84⋅ 1 6 = 14

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14, also 0.8⋅ 14 = 11.2 und 120% von 14, also 1.2⋅ 14 = 16.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14 entfernt sein darf als 11.2 bzw. 16.8, muss sie also zwischen 12 und 16 liegen.

P 1 6 84 (12X16) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...

P 1 6 84 (X16) - P 1 6 84 (X11) ≈ 0.7725 - 0.2369 ≈ 0.5356
(TI-Befehl: binomcdf(84, 1 6 ,16) - binomcdf(84, 1 6 ,11))