Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,85. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 21 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 23 | 0.692 |
| 24 | 0.4951 |
| 25 | 0.3179 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.5 |+ - 0.5
0.5 ≥ oder ≤ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 25 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.85⋅25) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=25:
≈ 0.3179
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 24 sein, damit ≤ 0.5 oder eben ≥ 0.5 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 87 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,55.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 50 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.55.
= + + +... + = 0.71507151159559 ≈ 0.7151(TI-Befehl: binomcdf(87,0.55,50))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5431 | |
| 0.6655 | |
| 0.7578 | |
| 0.8251 | |
| 0.8734 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅19 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
13 sein.
Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 85 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 85)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 42 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥42)=1-P(X≤41) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.47 | 0.3675 |
| 0.48 | 0.4391 |
| 0.49 | 0.5127 |
| 0.5 | 0.5858 |
| 0.51 | 0.656 |
| 0.52 | 0.7213 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(85,X,41) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 85 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 46, aber höchstens 51 Treffer zu erzielen?
=
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.6,51) - binomcdf(85,0.6,45))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 43 und p = 0.3
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 43 und p = 0.3 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 43 ⋅ 0.3 = 12.9
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3
