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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 22 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.8316
40	0.7852
41	0.7336
42	0.678
43	0.6196
44	0.5598
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.5}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.5⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.5598 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 35 Versuchen genau 11 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.2.

P_{0.2}^{35} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 35 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{11} \cdot {0.8}^{24}

=0.040351613049756≈ 0.0404
(TI-Befehl: binompdf(35,0.2,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.6488
$\frac{1}{5}$	0.7946
$\frac{1}{6}$	0.8748
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 90 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 90).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 62 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.64	0.8595
0.65	0.811
0.66	0.7528
0.67	0.6855
0.68	0.6106
0.69	0.5306
0.7	0.4482
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 62)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(90,X,62) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,22 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 83 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 21 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

18

19

20

21

22

23

...

P_{0.22}^{83} (X \geq 21)

= 1 -

P_{0.22}^{83} (X \leq 20)

= 0.2712
(TI-Befehl: 1-binomcdf(83,0.22,20))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 97 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=97⋅0.45 = 43.65

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 43.65, also 0.8⋅ 43.65 = 34.92 und 120% von 43.65, also 1.2⋅ 43.65 = 52.38

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 43.65 entfernt sein darf als 34.92 bzw. 52.38, muss sie also zwischen 35 und 52 liegen.

$P_{0.45}^{97} (35 \leq X \leq 52)$ =

...

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

...

P_{0.45}^{97} (X \leq 52)

-

P_{0.45}^{97} (X \leq 34)

≈ 0.9642 - 0.03 ≈ 0.9342
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.45,52) - binomcdf(97,0.45,34))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert