Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
29	0.5566
30	0.5455
31	0.5346
32	0.5239
33	0.5134
34	0.5031
35	0.4931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und höchstens 19 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 95 Glückskekse kauft?

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$P_{0.125}^{95} (3 \leq X \leq 19)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{0.125}^{95} (X \leq 19)

-

P_{0.125}^{95} (X \leq 2)

≈ 0.9871 - 0.0003 ≈ 0.9868
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.125,19) - binomcdf(95,0.125,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{5}{16}$	0.9998
$\frac{5}{17}$	0.9993
$\frac{5}{18}$	0.9979
$\frac{5}{19}$	0.9948
$\frac{5}{20}$	0.989
$\frac{5}{21}$	0.9793
$\frac{5}{22}$	0.9647
$\frac{5}{23}$	0.9443
$\frac{5}{24}$	0.9176
$\frac{5}{25}$	0.8848
$\frac{5}{26}$	0.8463
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 13)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{16}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 25 sein.

Also wären noch 20 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 78 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥78)=1-P(X≤77)
...	...
0.73	0.1552
0.74	0.2144
0.75	0.2864
0.76	0.3696
0.77	0.4612
0.78	0.5568
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \geq 78)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{100} (X \leq 77)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(100,X,77) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 50 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X \leq 9)

=

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{50} (X = 9)

= 0.91210658071565 ≈ 0.9121
(TI-Befehl: binomcdf(50,1/8,9))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 76⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 12.67,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{76\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.25

15.92 (12.67 + 3.25) und 9.42 (12.67 - 3.25) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 12.67 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 10 und 15 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 10 und 15 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{76} (10 \leq X \leq 15)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{76} (X \leq 9)

≈ 0.8109 - 0.165 ≈ 0.6459
(TI-Befehl: binomcdf(76, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(76, $\frac{1}{6}$ ,9))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ