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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,25. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 24 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
96	0.5546
97	0.5311
98	0.5078
99	0.4846
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.25}$ ≈ 96 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.25⋅96) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=96:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5546 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=98 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 64 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 20 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

17

18

19

20

21

22

...

P_{0.25}^{64} (X \geq 20)

= 1 -

P_{0.25}^{64} (X \leq 19)

= 0.1561
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.25,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 50 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.576
$\frac{1}{8}$	0.7165
$\frac{1}{9}$	0.8136
$\frac{1}{10}$	0.8779
$\frac{1}{11}$	0.9195
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{50}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 43 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 43)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 27 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.57	0.2717
0.58	0.3175
0.59	0.3664
0.6	0.4178
0.61	0.471
0.62	0.5251
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{43} (X \geq 27)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{43} (X \leq 26)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 91 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.3.

P_{0.3}^{91} (X \leq 31)

=

P_{0.3}^{91} (X = 0)

+

P_{0.3}^{91} (X = 1)

+

P_{0.3}^{91} (X = 2)

+... +

P_{0.3}^{91} (X = 31)

= 0.83202257623294 ≈ 0.832
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.3,31))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 89 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.833, also 0.8⋅ 14.833 = 11.867 und 120% von 14.833333333333, also 1.2⋅ 14.833 = 17.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.833333333333 entfernt sein darf als 11.867 bzw. 17.8, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{89} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{89} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{89} (X \leq 11)

≈ 0.78 - 0.1721 ≈ 0.6079
(TI-Befehl: binomcdf(89, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(89, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert