Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 24 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1740.1301
1750.1234
1760.1169
1770.1107
1780.1048
1790.0992
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X24) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 6 n (X24) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X24) = 1 - P 1 6 n (X23) ≥ 0.9 |+ P 1 6 n (X23) - 0.9

0.1 ≥ P 1 6 n (X23) oder P 1 6 n (X23) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 1 6 ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 24 (≈ 1 6 ⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
P 1 6 n (X23) ≈ 0.4653 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=179 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 179 sein, damit P 1 6 n (X23) ≤ 0.1 oder eben P 1 6 n (X24) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 82 Versuchen mindestens 65 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
62
63
64
65
66
67
...

P0.782 (X65) = 1 - P0.782 (X64) = 0.0401
(TI-Befehl: 1-binomcdf(82,0.7,64))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤3)
......
1 5 0.5489
1 6 0.6887
1 7 0.7829
1 8 0.8457
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 17 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 17 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 54 Stück nur an, wenn nicht mehr als 32 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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pP(X≤k)
......
0.460.9817
0.470.9739
0.480.9636
0.490.9502
0.50.9332
0.510.9119
0.520.886
......

Es muss gelten: Pp54 (X32) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(54,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 64 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 6 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=0.2.

P0.264 (X6) = P0.264 (X=0) + P0.264 (X=1) + P0.264 (X=2) +... + P0.264 (X=6) = 0.018219940017062 ≈ 0.0182
(TI-Befehl: binomcdf(64,0.2,6))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 80 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 80 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 80 ⋅ 0.1 = 8

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 80 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 7.2 2.68