Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 40 oder mehr 6er zu erzielen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 237 | 0.5078 |
| 238 | 0.4962 |
| 239 | 0.4846 |
| 240 | 0.4731 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.5 |+ - 0.5
0.5 ≥ oder ≤ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 40
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=238 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 238 sein, damit
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 96 Versuchen genau 14 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p=0.15.
(TI-Befehl: binompdf(96,0.15,14))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?
| p | P(X≥16)=1-P(X≤15) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9992 | |
| 0.9975 | |
| 0.9935 | |
| 0.9855 | |
| 0.9717 | |
| 0.9507 | |
| 0.9213 | |
| 0.8836 | |
| 0.8379 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens
22 sein.
Also wären noch 19 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 54 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 40 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.61 | 0.9846 |
| 0.62 | 0.9779 |
| 0.63 | 0.9689 |
| 0.64 | 0.9569 |
| 0.65 | 0.9413 |
| 0.66 | 0.9214 |
| 0.67 | 0.8965 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(54,X,40) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 82% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 32 und weniger als 38 trifft?
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.82,37) - binomcdf(40,0.82,31))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 75 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=75⋅0.25 = 18.75
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 18.75, also 0.85⋅ 18.75 = 15.938 und 115% von 18.75, also 1.15⋅ 18.75 = 21.563
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 18.75 entfernt sein darf als 15.938 bzw. 21.563, muss sie also zwischen 16 und 21 liegen.
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.25,21) - binomcdf(75,0.25,15))
