Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 24 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
26	0.7487
27	0.5154
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.9}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.9⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5154 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 9 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 73 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{73} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 73 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{9} \cdot {(\frac{7}{8})}^{64}

=0.14055435976019≈ 0.1406
(TI-Befehl: binompdf(73,1/8,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{4}{17}$	0.9997
$\frac{4}{18}$	0.999
$\frac{4}{19}$	0.9975
$\frac{4}{20}$	0.9944
$\frac{4}{21}$	0.989
$\frac{4}{22}$	0.9803
$\frac{4}{23}$	0.9675
$\frac{4}{24}$	0.9499
$\frac{4}{25}$	0.9271
$\frac{4}{26}$	0.8991
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 13)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 25 sein.

Also wären noch 21 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 87 Ausspielungen nicht öfters als 42 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.37	0.9881
0.38	0.9804
0.39	0.9691
0.4	0.953
0.41	0.9309
0.42	0.9018
0.43	0.8646
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{87} (X \leq 42)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(87,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 1 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 44 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{44} (X \leq 1)

=

P_{\frac{1}{8}}^{44} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{44} (X = 1)

= 0.020456271027088 ≈ 0.0205
(TI-Befehl: binomcdf(44,1/8,1))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 90 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅0.75 = 67.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 67.5, also 0.8⋅ 67.5 = 54 und 120% von 67.5, also 1.2⋅ 67.5 = 81

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 67.5 entfernt sein darf als 54 bzw. 81, muss sie also zwischen 54 und 81 liegen.

$P_{0.75}^{90} (54 \leq X \leq 81)$ =

...

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

...

P_{0.75}^{90} (X \leq 81)

-

P_{0.75}^{90} (X \leq 53)

≈ 0.9999 - 0.0006 ≈ 0.9993
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.75,81) - binomcdf(90,0.75,53))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert