Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 35-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.5175
43	0.3814
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.84}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.84}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.84⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.84}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5175 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 60 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 12 mal eine sechs gewürfelt wird?

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$P_{\frac{1}{6}}^{60} (8 \leq X \leq 11)$ =

...

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \leq 11)

-

P_{\frac{1}{6}}^{60} (X \leq 7)

≈ 0.7079 - 0.1958 ≈ 0.5121
(TI-Befehl: binomcdf(60, $\frac{1}{6}$ ,11) - binomcdf(60, $\frac{1}{6}$ ,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 19 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.6451
$\frac{1}{10}$	0.7054
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{19}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 64 Stück nur an, wenn nicht mehr als 25 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.27	0.9875
0.28	0.9801
0.29	0.9693
0.3	0.9545
0.31	0.9346
0.32	0.909
0.33	0.877
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{64} (X \leq 25)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(64,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 65 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 27 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.5.

P_{0.5}^{65} (X = 27)

=

(\begin{matrix} 65 \\ 27 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{27} \cdot {0.5}^{38}

=0.039253399565143≈ 0.0393
(TI-Befehl: binompdf(65,0.5,27))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 88 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 88⋅0.5 ≈ 44,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{88\cdot0.5\cdot0.5}$ ≈ 4.69

48.69 (44 + 4.69) und 39.31 (44 - 4.69) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 44 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 40 und 48 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 40 und 48 liegt.

$P_{0.5}^{88} (40 \leq X \leq 48)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

...

P_{0.5}^{88} (X \leq 48)

-

P_{0.5}^{88} (X \leq 39)

≈ 0.8313 - 0.1687 ≈ 0.6626
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.5,48) - binomcdf(88,0.5,39))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ