Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.75⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.4003 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{20}(X\le 3)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{20}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{20}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{20}$⋅20 der Erwartungswert und somit $P_p^{20}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{20}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{26}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{32}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 32 sein.

Also werden noch 28 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{89}(X\ge 75)$=0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{89}(X\le 74)$=0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(89,X,74) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.