Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,6. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 35 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
620.2407
630.1974
640.1598
650.1277
660.1008
670.0785
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X35) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.6n (X35) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.6n (X35) = 1 - P0.6n (X34) ≥ 0.9 |+ P0.6n (X34) - 0.9

0.1 ≥ P0.6n (X34) oder P0.6n (X34) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 0.6 ≈ 58 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.6⋅58) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=58:
P0.6n (X34) ≈ 0.4644 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 67 sein, damit P0.6n (X34) ≤ 0.1 oder eben P0.6n (X35) ≥ 0.9 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 58 Versuchen genau 3 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=0.15.

P0.1558 (X=3) = ( 58 3 ) 0.153 0.8555 =0.013666405961069≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(58,0.15,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 70 Durchgänge reichen?

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pP(X≤9)
......
1 7 0.4482
1 8 0.6228
1 9 0.7528
1 10 0.8414
1 11 0.8991
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp70 (X9) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp70 (X9) ('höchstens 9 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 9 70 . Mit diesem p wäre ja 9= 9 70 ⋅70 der Erwartungswert und somit Pp70 (X9) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 9 70 mit 1 9 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 7 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 99 Wiederholungen 67 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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pP(X≥67)=1-P(X≤66)
......
0.640.2573
0.650.3284
0.660.407
0.670.4904
0.680.575
0.690.6572
......

Es muss gelten: Pp99 (X67) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp99 (X66) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(99,X,66) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 53 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 18 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= 1 4 .

P 1 4 53 (X=18) = ( 53 18 ) ( 1 4 )18 ( 3 4 )35 =0.039848774339899≈ 0.0398
(TI-Befehl: binompdf(53,1/4,18))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 74 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 74 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 74 ⋅ 0.1 = 7.4

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 74 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 6.66 2.58