Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 16% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt mindestens vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 27 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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nP(X≤k)
......
1660.5046
1670.4911
1680.4776
1690.4643
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und variablem n.

Es muss gelten: P0.16n (X27) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.16n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.16n (X27) = 1 - P0.16n (X26) ≥ 0.5 |+ P0.16n (X26) - 0.5

0.5 ≥ P0.16n (X26) oder P0.16n (X26) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 16% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.16 ≈ 169 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.16⋅169) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=169:
P0.16n (X26) ≈ 0.4643 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=167 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 167 sein, damit P0.16n (X26) ≤ 0.5 oder eben P0.16n (X27) ≥ 0.5 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 28 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,05.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 Treffer zu erzielen?

(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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0
1
2
3
4
...

P0.0528 (X2) = 1 - P0.0528 (X1) = 0.4117
(TI-Befehl: 1-binomcdf(28,0.05,1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 17 0.6335
4 18 0.6767
4 19 0.7144
4 20 0.7473
4 21 0.776
4 22 0.801
4 23 0.8229
4 24 0.8419
4 25 0.8586
4 26 0.8732
4 27 0.8861
4 28 0.8974
4 29 0.9074
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp13 (X3) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp13 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 13 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 13 ⋅13 der Erwartungswert und somit Pp13 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 13 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 17 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 29 sein.

Also werden noch 25 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 87 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 87)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 80 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥80)=1-P(X≤79)
......
0.870.1076
0.880.1661
0.890.2462
0.90.3489
0.910.4713
0.920.605
......

Es muss gelten: Pp87 (X80) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp87 (X79) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,79) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 9 und höchstens 19 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 99 Glückskekse kauft?

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P0.12599 (10X19) =

...
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P0.12599 (X19) - P0.12599 (X9) ≈ 0.9801 - 0.1934 ≈ 0.7867
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.125,19) - binomcdf(99,0.125,9))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 55 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 55⋅0.65 ≈ 35.75,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 55 0.65 0.35 ≈ 3.54

39.29 (35.75 + 3.54) und 32.21 (35.75 - 3.54) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 35.75 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 39 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 39 liegt.

P0.6555 (33X39) =

...
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
...

P0.6555 (X39) - P0.6555 (X32) ≈ 0.856 - 0.1785 ≈ 0.6775
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.65,39) - binomcdf(55,0.65,32))