Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 20%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 22 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 102 | 0.7046 |
| 103 | 0.6869 |
| 104 | 0.6689 |
| 105 | 0.6506 |
| 106 | 0.6321 |
| 107 | 0.6134 |
| 108 | 0.5946 |
| 109 | 0.5757 |
| 110 | 0.5567 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 110 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.2⋅110) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=110:
≈ 0.5567
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=102 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 25 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.5.
= =0.097416639328003≈ 0.0974(TI-Befehl: binompdf(25,0.5,10))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 80 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5807 | |
| 0.6539 | |
| 0.7157 | |
| 0.767 | |
| 0.8093 | |
| 0.8438 | |
| 0.8719 | |
| 0.8947 | |
| 0.9133 | |
| 0.9283 | |
| 0.9406 | |
| 0.9506 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.95 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅80 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
24 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 41 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 41)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 29 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥29)=1-P(X≤28) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.67 | 0.3728 |
| 0.68 | 0.4256 |
| 0.69 | 0.4804 |
| 0.7 | 0.5362 |
| 0.71 | 0.592 |
| 0.72 | 0.6468 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.6 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.6 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(41,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 95 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 14, aber weniger als 31 Fragen richtig beantwortet hat?
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.25,30) - binomcdf(95,0.25,13))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅ = 8.1666666666667
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 8.167, also 0.8⋅ 8.167 = 6.533 und 120% von 8.1666666666667, also 1.2⋅ 8.167 = 9.8
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 8.1666666666667 entfernt sein darf als 6.533 bzw. 9.8, muss sie also zwischen 7 und 9 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,,9) - binomcdf(49,,6))
