Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,85. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 25 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
290.4445
300.2894
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X25) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.85n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X25) = 1 - P0.85n (X24) ≥ 0.6 |+ P0.85n (X24) - 0.6

0.4 ≥ P0.85n (X24) oder P0.85n (X24) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.85 ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.85⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
P0.85n (X24) ≈ 0.4445 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 30 sein, damit P0.85n (X24) ≤ 0.4 oder eben P0.85n (X25) ≥ 0.6 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 82 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 18, aber weniger als 23 Fragen richtig beantwortet hat?

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P0.2582 (18X22) =

...
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...

P0.2582 (X22) - P0.2582 (X17) ≈ 0.7004 - 0.2248 ≈ 0.4756
(TI-Befehl: binomcdf(82,0.25,22) - binomcdf(82,0.25,17))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
4 9 0.9998
5 10 0.9981
6 11 0.9924
7 12 0.9791
8 13 0.9552
9 14 0.9198
10 15 0.8738
11 16 0.8194
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 9 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 10 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 100 Wiederholungen 80 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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pP(X≥80)=1-P(X≤79)
......
0.80.5595
0.810.6571
0.820.7475
0.830.8255
0.840.8879
0.850.9337
......

Es muss gelten: Pp100 (X80) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp100 (X79) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(100,X,79) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 56 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 16 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
13
14
15
16
17
18
...

P0.2156 (X16) = 1 - P0.2156 (X15) = 0.1122
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56,0.21,15))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 81 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 81 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 81 ⋅ 0.4 = 32.4

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 81 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6 = 19.44 4.41