Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 65%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 21 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
290.8493
300.7753
310.689
320.5953
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: P0.65n (X21) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.65 ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.65⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
P0.65n (X21) ≈ 0.5953 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 40 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,85.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.85.

P0.8540 (X31) = P0.8540 (X=0) + P0.8540 (X=1) + P0.8540 (X=2) +... + P0.8540 (X=31) = 0.13540203512924 ≈ 0.1354
(TI-Befehl: binomcdf(40,0.85,31))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 16 0.6488
4 17 0.6938
4 18 0.7325
4 19 0.7659
4 20 0.7946
4 21 0.8193
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 12 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 12 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 16 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 21 sein.

Also werden noch 17 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 82 Wiederholungen 28 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

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pP(X≥28)=1-P(X≤27)
......
0.320.3779
0.330.4536
0.340.5303
0.350.6052
0.360.6757
0.370.74
......

Es muss gelten: Pp82 (X28) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp82 (X27) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 84 Versuchen mindestens 80 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
77
78
79
80
81
82
...

P0.8584 (X80) = 1 - P0.8584 (X79) = 0.003
(TI-Befehl: 1-binomcdf(84,0.85,79))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 89 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅ 1 6 = 14.833333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.833, also 0.8⋅ 14.833 = 11.867 und 120% von 14.833333333333, also 1.2⋅ 14.833 = 17.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.833333333333 entfernt sein darf als 11.867 bzw. 17.8, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

P 1 6 89 (12X17) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 89 (X17) - P 1 6 89 (X11) ≈ 0.78 - 0.1721 ≈ 0.6079
(TI-Befehl: binomcdf(89, 1 6 ,17) - binomcdf(89, 1 6 ,11))