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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 34 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
52	0.8245
53	0.7741
54	0.7179
55	0.6571
56	0.5935
57	0.5287
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.6}$ ≈ 57 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.6⋅57) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=57:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5287 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,81. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 68 Versuchen mindestens 50 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.81}^{68} (X \geq 50)

= 1 -

P_{0.81}^{68} (X \leq 49)

= 0.953
(TI-Befehl: 1-binomcdf(68,0.81,49))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{2}{7}$	0.9987
$\frac{2}{8}$	0.989
$\frac{2}{9}$	0.9552
$\frac{2}{10}$	0.8848
$\frac{2}{11}$	0.7797
$\frac{2}{12}$	0.6545
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 13)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 11 sein.

Also wären noch 9 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 47 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 60 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.66	0.987
0.67	0.9806
0.68	0.9717
0.69	0.9596
0.7	0.9432
0.71	0.9218
0.72	0.8944
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 47)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(60,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{50} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 50 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{47}

=0.017229939637573≈ 0.0172
(TI-Befehl: binompdf(50,1/6,3))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 71 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=71⋅0.45 = 31.95

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.95, also 0.8⋅ 31.95 = 25.56 und 120% von 31.95, also 1.2⋅ 31.95 = 38.34

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.95 entfernt sein darf als 25.56 bzw. 38.34, muss sie also zwischen 26 und 38 liegen.

$P_{0.45}^{71} (26 \leq X \leq 38)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

...

P_{0.45}^{71} (X \leq 38)

-

P_{0.45}^{71} (X \leq 25)

≈ 0.9406 - 0.061 ≈ 0.8796
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.45,38) - binomcdf(71,0.45,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert