Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 65% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 23 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
660.4436
670.4087
680.375
690.3426
700.3116
710.2823
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: P0.35n (X23) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.35n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.35n (X23) = 1 - P0.35n (X22) ≥ 0.7 |+ P0.35n (X22) - 0.7

0.3 ≥ P0.35n (X22) oder P0.35n (X22) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.35 ≈ 66 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.35⋅66) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=66:
P0.35n (X22) ≈ 0.4436 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 71 sein, damit P0.35n (X22) ≤ 0.3 oder eben P0.35n (X23) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 55 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 9 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.26.

P0.2655 (X9) = P0.2655 (X=0) + P0.2655 (X=1) + P0.2655 (X=2) +... + P0.2655 (X=9) = 0.065221877817133 ≈ 0.0652
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.26,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 21 0.6362
4 22 0.6705
4 23 0.7014
4 24 0.7291
4 25 0.754
4 26 0.7763
4 27 0.7963
4 28 0.8143
4 29 0.8305
4 30 0.845
4 31 0.8581
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp16 (X3) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp16 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 16 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 16 ⋅16 der Erwartungswert und somit Pp16 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 16 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 21 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 31 sein.

Also werden noch 27 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 63 Wiederholungen 43 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 60% liegt?

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pP(X≥43)=1-P(X≤42)
......
0.640.2866
0.650.3454
0.660.4087
0.670.4751
0.680.543
0.690.6103
......

Es muss gelten: Pp63 (X43) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp63 (X42) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(63,X,42) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 66 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 14 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p= 1 4 .

P 1 4 66 (X=14) = ( 66 14 ) ( 1 4 )14 ( 3 4 )52 =0.091867788740837≈ 0.0919
(TI-Befehl: binompdf(66,1/4,14))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 90 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅0.35 = 31.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.5, also 0.8⋅ 31.5 = 25.2 und 120% von 31.5, also 1.2⋅ 31.5 = 37.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.5 entfernt sein darf als 25.2 bzw. 37.8, muss sie also zwischen 26 und 37 liegen.

P0.3590 (26X37) =

...
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.3590 (X37) - P0.3590 (X25) ≈ 0.9064 - 0.0908 ≈ 0.8156
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.35,37) - binomcdf(90,0.35,25))