Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 15%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 27 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
2010.2389
2020.2301
2030.2215
2040.2131
2050.2049
2060.1969
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X27) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.15n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X27) = 1 - P0.15n (X26) ≥ 0.8 |+ P0.15n (X26) - 0.8

0.2 ≥ P0.15n (X26) oder P0.15n (X26) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.15 ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.15⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
P0.15n (X26) ≈ 0.4681 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=206 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 206 sein, damit P0.15n (X26) ≤ 0.2 oder eben P0.15n (X27) ≥ 0.8 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=52 und p= 1 6 .

P 1 6 52 (X9) = P 1 6 52 (X=0) + P 1 6 52 (X=1) + P 1 6 52 (X=2) +... + P 1 6 52 (X=9) = 0.6357782342355 ≈ 0.6358
(TI-Befehl: binomcdf(52,1/6,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
4 7 0.999
5 8 0.9951
6 9 0.9851
7 10 0.9668
8 11 0.9394
9 12 0.9038
10 13 0.8617
11 14 0.8151
12 15 0.766
13 16 0.716
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X21) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 7 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 12 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 51 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 51)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 32 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥32)=1-P(X≤31)
......
0.630.5772
0.640.6347
0.650.6897
0.660.7413
0.670.7885
0.680.8306
......

Es muss gelten: Pp51 (X32) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp51 (X31) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(51,X,31) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 35 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 16 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.5.

P0.535 (X=16) = ( 35 16 ) 0.516 0.519 =0.11815948382718≈ 0.1182
(TI-Befehl: binompdf(35,0.5,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 92 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=92⋅0.35 = 32.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 32.2, also 0.85⋅ 32.2 = 27.37 und 115% von 32.2, also 1.15⋅ 32.2 = 37.03

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 32.2 entfernt sein darf als 27.37 bzw. 37.03, muss sie also zwischen 28 und 37 liegen.

P0.3592 (28X37) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
...

P0.3592 (X37) - P0.3592 (X27) ≈ 0.876 - 0.1519 ≈ 0.7241
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.35,37) - binomcdf(92,0.35,27))