Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ = 1 - $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ oder $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{0.2}}$ ≈ 185 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.2⋅185) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=185:
$P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.4707 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=198 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 198 sein, damit $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.2}^{\mathrm{n}}(X\ge 37)$ ≥ 0.7 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{12}(X\le 3)$=0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{12}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{12}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{12}$⋅12 der Erwartungswert und somit $P_p^{12}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{12}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{16}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{4}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 19 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{65}(X\le 44)$=0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(65,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.