Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,15. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 25 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
1460.8004
1470.7902
1480.7797
1490.769
1500.7581
1510.7469
1520.7356
1530.724
1540.7123
1550.7004
1560.6883
1570.6761
1580.6637
1590.6513
1600.6387
1610.626
1620.6132
1630.6004
1640.5876
1650.5747
1660.5617
1670.5488
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X25) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.15 ≈ 167 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.15⋅167) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=167:
P0.15n (X25) ≈ 0.5488 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=146 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 88% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 84 Versuchen mindestens 69 und weniger als 80 trifft?

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P0.8884 (69X79) =

...
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
...

P0.8884 (X79) - P0.8884 (X68) ≈ 0.9786 - 0.0406 ≈ 0.938
(TI-Befehl: binomcdf(84,0.88,79) - binomcdf(84,0.88,68))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
4 8 0.9981
5 9 0.9899
6 10 0.9685
7 11 0.9297
8 12 0.8738
9 13 0.8048
10 14 0.7282
11 15 0.6493
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 8 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 10 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 62 Freiwürfen mindestens 55 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥55)=1-P(X≤54)
......
0.830.151
0.840.2042
0.850.2695
0.860.3466
0.870.4343
0.880.5294
......

Es muss gelten: Pp62 (X55) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp62 (X54) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(62,X,54) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 98 Versuchen höchstens 47 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.5.

P0.598 (X47) = P0.598 (X=0) + P0.598 (X=1) + P0.598 (X=2) +... + P0.598 (X=47) = 0.38101810976462 ≈ 0.381
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.5,47))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 95 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=95⋅0.65 = 61.75

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 61.75, also 0.8⋅ 61.75 = 49.4 und 120% von 61.75, also 1.2⋅ 61.75 = 74.1

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 61.75 entfernt sein darf als 49.4 bzw. 74.1, muss sie also zwischen 50 und 74 liegen.

P0.6595 (50X74) =

...
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
...

P0.6595 (X74) - P0.6595 (X49) ≈ 0.9977 - 0.0048 ≈ 0.9929
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.65,74) - binomcdf(95,0.65,49))