Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 37-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 40 | 0.9071 |
| 41 | 0.7979 |
| 42 | 0.6523 |
| 43 | 0.4934 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.87⋅43) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
≈ 0.4934
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 43 Versuchen nicht mehr als 27 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.7.
= + + +... + = 0.19191266643934 ≈ 0.1919(TI-Befehl: binomcdf(43,0.7,27))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?
| p | P(X≥12)=1-P(X≤11) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9994 | |
| 0.9984 | |
| 0.9966 | |
| 0.9934 | |
| 0.9882 | |
| 0.9805 | |
| 0.9697 | |
| 0.9554 | |
| 0.9374 | |
| 0.9156 | |
| 0.8901 | |
| 0.8611 | |
| 0.8291 | |
| 0.7945 | |
| 0.7578 | |
| 0.7196 | |
| 0.6804 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 12 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens
33 sein.
Also wären noch 30 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 53 Wiederholungen 29 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?
| p | P(X≥29)=1-P(X≤28) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.53 | 0.3988 |
| 0.54 | 0.4562 |
| 0.55 | 0.5146 |
| 0.56 | 0.5729 |
| 0.57 | 0.6297 |
| 0.58 | 0.684 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(53,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,77. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 24 Versuchen mindestens 21 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.77,20))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=41⋅0.25 = 10.25
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.25, also 0.8⋅ 10.25 = 8.2 und 120% von 10.25, also 1.2⋅ 10.25 = 12.3
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.25 entfernt sein darf als 8.2 bzw. 12.3, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.25,12) - binomcdf(41,0.25,8))
