Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 15%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 29 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
189	0.6013
190	0.5893
191	0.5774
192	0.5654
193	0.5533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.15}$ ≈ 193 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.15⋅193) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=193:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5533 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=189 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 7 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 62 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=62 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{62} (X = 7)

=

(\begin{matrix} 62 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{7} \cdot {(\frac{7}{8})}^{55}

=0.15156472421718≈ 0.1516
(TI-Befehl: binompdf(62,1/8,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 80 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 80 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{1}{13}$	0.5807
$\frac{1}{14}$	0.6539
$\frac{1}{15}$	0.7157
$\frac{1}{16}$	0.767
$\frac{1}{17}$	0.8093
$\frac{1}{18}$	0.8438
$\frac{1}{19}$	0.8719
$\frac{1}{20}$	0.8947
$\frac{1}{21}$	0.9133
$\frac{1}{22}$	0.9283
$\frac{1}{23}$	0.9406
$\frac{1}{24}$	0.9506
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=80 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{80} (X \leq 6)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{80} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 80 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{80}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{80}$ ⋅80 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{80} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{80}$ mit $\frac{1}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{13}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 24 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 84 Ausspielungen nicht öfters als 60 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.6	0.989
0.61	0.9825
0.62	0.9727
0.63	0.9588
0.64	0.9394
0.65	0.9132
0.66	0.8791
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{84} (X \leq 60)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(84,X,60) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 85 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,7.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 62 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.7.

P_{0.7}^{85} (X \leq 62)

=

P_{0.7}^{85} (X = 0)

+

P_{0.7}^{85} (X = 1)

+

P_{0.7}^{85} (X = 2)

+... +

P_{0.7}^{85} (X = 62)

= 0.75860648184521 ≈ 0.7586
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.7,62))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.3 = 12.6

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.6, also 0.8⋅ 12.6 = 10.08 und 120% von 12.6, also 1.2⋅ 12.6 = 15.12

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.6 entfernt sein darf als 10.08 bzw. 15.12, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.

$P_{0.3}^{42} (11 \leq X \leq 15)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{0.3}^{42} (X \leq 15)

-

P_{0.3}^{42} (X \leq 10)

≈ 0.836 - 0.2436 ≈ 0.5924
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.3,15) - binomcdf(42,0.3,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert