Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 85% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 21 Nasen hat.
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 172 | 0.127 |
| 173 | 0.1208 |
| 174 | 0.1148 |
| 175 | 0.109 |
| 176 | 0.1035 |
| 177 | 0.0982 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 140 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.15⋅140) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=140:
≈ 0.4638
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=177 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 177 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 37 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 3 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p=.
= + + + = 0.1142773500729 ≈ 0.1143(TI-Befehl: binomcdf(37,1/6,3))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9992 | |
| 0.9955 | |
| 0.9845 | |
| 0.9626 | |
| 0.9281 | |
| 0.8818 | |
| 0.8264 | |
| 0.7651 | |
| 0.7011 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 89 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 89).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 32 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.27 | 0.9759 |
| 0.28 | 0.9606 |
| 0.29 | 0.9386 |
| 0.3 | 0.9084 |
| 0.31 | 0.8691 |
| 0.32 | 0.8201 |
| 0.33 | 0.7617 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(89,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen genau 35 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.3.
= =0.01495135958556≈ 0.015(TI-Befehl: binompdf(89,0.3,35))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=63⋅ = 10.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 10.5, also 0.8⋅ 10.5 = 8.4 und 120% von 10.5, also 1.2⋅ 10.5 = 12.6
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 10.5 entfernt sein darf als 8.4 bzw. 12.6, muss sie also zwischen 9 und 12 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(63,,12) - binomcdf(63,,8))
