Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
340.4455
350.3484
360.2635
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X24) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.7n (X24) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X24) = 1 - P0.7n (X23) ≥ 0.7 |+ P0.7n (X23) - 0.7

0.3 ≥ P0.7n (X23) oder P0.7n (X23) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 0.7 ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.7⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
P0.7n (X23) ≈ 0.4455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit P0.7n (X23) ≤ 0.3 oder eben P0.7n (X24) ≥ 0.7 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen genau 29 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.35.

P0.3589 (X=29) = ( 89 29 ) 0.3529 0.6560 =0.080122463825234≈ 0.0801
(TI-Befehl: binompdf(89,0.35,29))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
2 4 0.9981
3 5 0.9685
4 6 0.8738
5 7 0.7282
6 8 0.5721
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 4 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 64 Ausspielungen nicht öfters als 30 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.340.9881
0.350.9816
0.360.9724
0.370.9597
0.380.9429
0.390.9211
0.40.8937
......

Es muss gelten: Pp64 (X30) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(64,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 49 Versuchen höchstens 44 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.9.

P0.949 (X44) = P0.949 (X=0) + P0.949 (X=1) + P0.949 (X=2) +... + P0.949 (X=44) = 0.55030913308142 ≈ 0.5503
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.9,44))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 97 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=97⋅0.25 = 24.25

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 24.25, also 0.9⋅ 24.25 = 21.825 und 110% von 24.25, also 1.1⋅ 24.25 = 26.675

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 24.25 entfernt sein darf als 21.825 bzw. 26.675, muss sie also zwischen 22 und 26 liegen.

P0.2597 (22X26) =

...
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
...

P0.2597 (X26) - P0.2597 (X21) ≈ 0.7059 - 0.2634 ≈ 0.4425
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.25,26) - binomcdf(97,0.25,21))