Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,04. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
30.8847
40.8493
50.8154
60.7828
70.7514
80.7214
90.6925
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.04 und variablem n.

Es muss gelten: P0.04n (X0) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.04 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.04⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.04n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 27 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 5 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=27 und p=0.25.

P0.2527 (X5) = P0.2527 (X=0) + P0.2527 (X=1) + P0.2527 (X=2) +... + P0.2527 (X=5) = 0.29894788875605 ≈ 0.2989
(TI-Befehl: binomcdf(27,0.25,5))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9998
1 3 0.9923
1 4 0.9683
1 5 0.9313
1 6 0.8878
1 7 0.8427
1 8 0.7986
1 9 0.7567
1 10 0.7176
1 11 0.6814
1 12 0.648
1 13 0.6173
1 14 0.5891
1 15 0.563
1 16 0.539
1 17 0.5169
1 18 0.4964
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X1) = 1- Pp12 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 93 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 93)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 38 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥38)=1-P(X≤37)
......
0.390.3941
0.40.4719
0.410.5503
0.420.6264
0.430.6976
0.440.7618
......

Es muss gelten: Pp93 (X38) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp93 (X37) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und höchstens 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 42 Glückskekse kauft?

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P0.12542 (3X6) =

...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...

P0.12542 (X6) - P0.12542 (X2) ≈ 0.7329 - 0.0901 ≈ 0.6428
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.125,6) - binomcdf(42,0.125,2))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 67 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=67⋅0.6 = 40.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 40.2, also 0.85⋅ 40.2 = 34.17 und 115% von 40.2, also 1.15⋅ 40.2 = 46.23

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 40.2 entfernt sein darf als 34.17 bzw. 46.23, muss sie also zwischen 35 und 46 liegen.

P0.667 (35X46) =

...
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
...

P0.667 (X46) - P0.667 (X34) ≈ 0.9437 - 0.0785 ≈ 0.8652
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.6,46) - binomcdf(67,0.6,34))