Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 26 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
121	0.7051
122	0.6889
123	0.6724
124	0.6557
125	0.6387
126	0.6216
127	0.6044
128	0.5871
129	0.5697
130	0.5522
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.2}$ ≈ 130 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.2⋅130) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=130:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5522 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=121 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen genau 21 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.4.

P_{0.4}^{56} (X = 21)

=

(\begin{matrix} 56 \\ 21 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{21} \cdot {0.6}^{35}

=0.10182296976003≈ 0.1018
(TI-Befehl: binompdf(56,0.4,21))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{12}{17}$	0.9998
$\frac{13}{18}$	0.9997
$\frac{14}{19}$	0.9995
$\frac{15}{20}$	0.9992
$\frac{16}{21}$	0.9989
$\frac{17}{22}$	0.9984
$\frac{18}{23}$	0.9978
$\frac{19}{24}$	0.9971
$\frac{20}{25}$	0.9962
$\frac{21}{26}$	0.9952
$\frac{22}{27}$	0.994
$\frac{23}{28}$	0.9927
$\frac{24}{29}$	0.9912
$\frac{25}{30}$	0.9895
$\frac{26}{31}$	0.9877
$\frac{27}{32}$	0.9857
$\frac{28}{33}$	0.9836
$\frac{29}{34}$	0.9813
$\frac{30}{35}$	0.9788
$\frac{31}{36}$	0.9762
$\frac{32}{37}$	0.9735
$\frac{33}{38}$	0.9706
$\frac{34}{39}$	0.9676
$\frac{35}{40}$	0.9645
$\frac{36}{41}$	0.9613
$\frac{37}{42}$	0.9579
$\frac{38}{43}$	0.9545
$\frac{39}{44}$	0.951
$\frac{40}{45}$	0.9474
$\frac{41}{46}$	0.9437
$\frac{42}{47}$	0.9399
$\frac{43}{48}$	0.9361
$\frac{44}{49}$	0.9322
$\frac{45}{50}$	0.9282
$\frac{46}{51}$	0.9242
$\frac{47}{52}$	0.9201
$\frac{48}{53}$	0.916
$\frac{49}{54}$	0.9119
$\frac{50}{55}$	0.9077
$\frac{51}{56}$	0.9035
$\frac{52}{57}$	0.8993
$\frac{53}{58}$	0.895
$\frac{54}{59}$	0.8907
$\frac{55}{60}$	0.8864
$\frac{56}{61}$	0.8821
$\frac{57}{62}$	0.8778
$\frac{58}{63}$	0.8735
$\frac{59}{64}$	0.8691
$\frac{60}{65}$	0.8648
$\frac{61}{66}$	0.8605
$\frac{62}{67}$	0.8561
$\frac{63}{68}$	0.8518
$\frac{64}{69}$	0.8475
$\frac{65}{70}$	0.8432
$\frac{66}{71}$	0.8389
$\frac{67}{72}$	0.8346
$\frac{68}{73}$	0.8303
$\frac{69}{74}$	0.826
$\frac{70}{75}$	0.8218
$\frac{71}{76}$	0.8176
$\frac{72}{77}$	0.8133
$\frac{73}{78}$	0.8091
$\frac{74}{79}$	0.805
$\frac{75}{80}$	0.8008
$\frac{76}{81}$	0.7967
$\frac{77}{82}$	0.7925
$\frac{78}{83}$	0.7885
$\frac{79}{84}$	0.7844
$\frac{80}{85}$	0.7803
$\frac{81}{86}$	0.7763
$\frac{82}{87}$	0.7723
$\frac{83}{88}$	0.7683
$\frac{84}{89}$	0.7644
$\frac{85}{90}$	0.7604
$\frac{86}{91}$	0.7565
$\frac{87}{92}$	0.7527
$\frac{88}{93}$	0.7488
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{12}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{87}{92}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 87 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 51 Wiederholungen 33 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.67	0.6948
0.68	0.7467
0.69	0.7941
0.7	0.8363
0.71	0.8728
0.72	0.9037
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{51} (X \geq 33)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{51} (X \leq 32)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(51,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 91 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 55, aber höchstens 63 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.65}^{91} (55 \leq X \leq 63)$ =

...

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

...

P_{0.65}^{91} (X \leq 63)

-

P_{0.65}^{91} (X \leq 54)

≈ 0.8302 - 0.1535 ≈ 0.6767
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.65,63) - binomcdf(91,0.65,54))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 49 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 49 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 49 ⋅ 0.1 = 4.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{49 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9}$ = $\sqrt{4.41}$ ≈ 2.1

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.