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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 30 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
47	0.7514
48	0.6889
49	0.6223
50	0.5535
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.6}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.6⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5535 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 55 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 40, aber höchstens 46 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.75}^{55} (40 \leq X \leq 46)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

...

P_{0.75}^{55} (X \leq 46)

-

P_{0.75}^{55} (X \leq 39)

≈ 0.9546 - 0.2868 ≈ 0.6678
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.75,46) - binomcdf(55,0.75,39))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{15}$	0.6482
$\frac{3}{16}$	0.6946
$\frac{3}{17}$	0.7344
$\frac{3}{18}$	0.7685
$\frac{3}{19}$	0.7977
$\frac{3}{20}$	0.8227
$\frac{3}{21}$	0.8441
$\frac{3}{22}$	0.8626
$\frac{3}{23}$	0.8785
$\frac{3}{24}$	0.8922
$\frac{3}{25}$	0.9041
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{15}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 25 sein.

Also werden noch 22 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 61 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 30 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥30)=1-P(X≤29)
...	...
0.52	0.66
0.53	0.7155
0.54	0.7663
0.55	0.8117
0.56	0.8513
0.57	0.885
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{61} (X \geq 30)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{61} (X \leq 29)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(61,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 13 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.2.

P_{0.2}^{70} (X \leq 13)

=

P_{0.2}^{70} (X = 0)

+

P_{0.2}^{70} (X = 1)

+

P_{0.2}^{70} (X = 2)

+... +

P_{0.2}^{70} (X = 13)

= 0.45241275623026 ≈ 0.4524
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.2,13))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 66 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 66 und p = 0.2 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 66 ⋅ 0.2 = 13.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{66 ⋅ 0.2 ⋅ 0.8}$ = $\sqrt{10.56}$ ≈ 3.25

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.