Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 18% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 27-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.7069
33	0.5599
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.82}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.82}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.82⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.82}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5599 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 84 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=84 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{84} (X = 6)

=

(\begin{matrix} 84 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot {(\frac{7}{8})}^{78}

=0.046465332081359≈ 0.0465
(TI-Befehl: binompdf(84,1/8,6))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{2}{11}$	0.9993
$\frac{2}{12}$	0.9973
$\frac{2}{13}$	0.9924
$\frac{2}{14}$	0.9828
$\frac{2}{15}$	0.9665
$\frac{2}{16}$	0.9424
$\frac{2}{17}$	0.9101
$\frac{2}{18}$	0.87
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 9)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{11}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 17 sein.

Also wären noch 15 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 60 Freiwürfen mindestens 33 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥33)=1-P(X≤32)
...	...
0.53	0.3692
0.54	0.4292
0.55	0.4911
0.56	0.5532
0.57	0.6143
0.58	0.6728
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 33)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{60} (X \leq 32)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(60,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 10 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 60 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

7

8

9

10

11

12

...

P_{0.125}^{60} (X \geq 10)

= 1 -

P_{0.125}^{60} (X \leq 9)

= 0.2116
(TI-Befehl: 1-binomcdf(60,0.125,9))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 85⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 14.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{85\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.44

17.6 (14.17 + 3.44) und 10.73 (14.17 - 3.44) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 14.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 17 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 17 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{85} (11 \leq X \leq 17)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 10)

≈ 0.8348 - 0.1414 ≈ 0.6934
(TI-Befehl: binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ