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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 23 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
138	0.5554
139	0.5402
140	0.5251
141	0.5101
142	0.4951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{\frac{1}{6}}$ ≈ 138 Versuchen auch ungefähr 23 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅138) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=138:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5554 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=141 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 38 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.5.

P_{0.5}^{85} (X = 38)

=

(\begin{matrix} 85 \\ 38 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{38} \cdot {0.5}^{47}

=0.053835065519364≈ 0.0538
(TI-Befehl: binompdf(85,0.5,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9995
$\frac{1}{3}$	0.9884
$\frac{1}{4}$	0.9578
$\frac{1}{5}$	0.9141
$\frac{1}{6}$	0.8654
$\frac{1}{7}$	0.8165
$\frac{1}{8}$	0.7698
$\frac{1}{9}$	0.7263
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{11} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 76 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 76).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 46 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.51	0.9626
0.52	0.9461
0.53	0.9242
0.54	0.896
0.55	0.8609
0.56	0.8185
0.57	0.7685
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{76} (X \leq 46)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(76,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 1 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.05.

P_{0.05}^{50} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 50 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.05}^{1} \cdot {0.95}^{49}

=0.20248677704398≈ 0.2025
(TI-Befehl: binompdf(50,0.05,1))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=62⋅0.55 = 34.1

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 34.1, also 0.8⋅ 34.1 = 27.28 und 120% von 34.1, also 1.2⋅ 34.1 = 40.92

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 34.1 entfernt sein darf als 27.28 bzw. 40.92, muss sie also zwischen 28 und 40 liegen.

$P_{0.55}^{62} (28 \leq X \leq 40)$ =

...

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

...

P_{0.55}^{62} (X \leq 40)

-

P_{0.55}^{62} (X \leq 27)

≈ 0.95 - 0.0464 ≈ 0.9036
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.55,40) - binomcdf(62,0.55,27))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert