Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 85%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 36 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.9453
40	0.8698
41	0.7567
42	0.6174
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.85}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.85⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.6174 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 79% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 85 Versuchen mindestens 63 und weniger als 69 trifft?

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$P_{0.79}^{85} (63 \leq X \leq 68)$ =

...

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

...

P_{0.79}^{85} (X \leq 68)

-

P_{0.79}^{85} (X \leq 62)

≈ 0.6317 - 0.1099 ≈ 0.5218
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.79,68) - binomcdf(85,0.79,62))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{16}$	0.648
$\frac{3}{17}$	0.6915
$\frac{3}{18}$	0.7291
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{16}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{16}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{18}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 63 Ausspielungen nicht öfters als 38 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.48	0.9815
0.49	0.973
0.5	0.9615
0.51	0.9463
0.52	0.9267
0.53	0.902
0.54	0.8716
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{63} (X \leq 38)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(63,X,38) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 71 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 33 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.4.

P_{0.4}^{71} (X = 33)

=

(\begin{matrix} 71 \\ 33 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{33} \cdot {0.6}^{38}

=0.05130792556819≈ 0.0513
(TI-Befehl: binompdf(71,0.4,33))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 83 und p = 0.25
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 83 und p = 0.25 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 83 ⋅ 0.25 = 20.75

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{83 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75}$ = $\sqrt{15.5625}$ ≈ 3.94

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.