Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,15. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 36 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
2140.8021
2150.7938
2160.7853
2170.7766
2180.7677
2190.7587
2200.7496
2210.7403
2220.7308
2230.7213
2240.7116
2250.7017
2260.6918
2270.6817
2280.6715
2290.6613
2300.6509
2310.6405
2320.63
2330.6194
2340.6088
2350.5981
2360.5874
2370.5767
2380.5659
2390.5551
2400.5443
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X36) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 36 0.15 ≈ 240 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.15⋅240) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=240:
P0.15n (X36) ≈ 0.5443 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=214 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen höchstens 12 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.2.

P0.259 (X12) = P0.259 (X=0) + P0.259 (X=1) + P0.259 (X=2) +... + P0.259 (X=12) = 0.60200486698518 ≈ 0.602
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.2,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤2)
......
1 8 0.6409
1 9 0.7089
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X2) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X2) ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 2 17 . Mit diesem p wäre ja 2= 2 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X2) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 2 17 mit 1 2 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 24 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 41 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≤k)
......
0.440.9786
0.450.971
0.460.9613
0.470.9492
0.480.9342
0.490.9161
0.50.8945
......

Es muss gelten: Pp41 (X24) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(41,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 4 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 35 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und p= 1 8 .

P 1 8 35 (X4) = P 1 8 35 (X=0) + P 1 8 35 (X=1) + P 1 8 35 (X=2) +... + P 1 8 35 (X=4) = 0.55127699284963 ≈ 0.5513
(TI-Befehl: binomcdf(35,1/8,4))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 47 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 47⋅0.35 ≈ 16.45,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 47 0.35 0.65 ≈ 3.27

19.72 (16.45 + 3.27) und 13.18 (16.45 - 3.27) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.45 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 14 und 19 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 14 und 19 liegt.

P0.3547 (14X19) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...

P0.3547 (X19) - P0.3547 (X13) ≈ 0.8251 - 0.1843 ≈ 0.6408
(TI-Befehl: binomcdf(47,0.35,19) - binomcdf(47,0.35,13))