Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,15. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 33 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
2320.3428
2330.3328
2340.3231
2350.3134
2360.304
2370.2946
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X33) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.15n (X33) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X33) = 1 - P0.15n (X32) ≥ 0.7 |+ P0.15n (X32) - 0.7

0.3 ≥ P0.15n (X32) oder P0.15n (X32) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.15 ≈ 220 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.15⋅220) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=220:
P0.15n (X32) ≈ 0.4711 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=237 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 237 sein, damit P0.15n (X32) ≤ 0.3 oder eben P0.15n (X33) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 53 Versuchen nicht mehr als 2 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p=0.05.

P0.0553 (X2) = P0.0553 (X=0) + P0.0553 (X=1) + P0.0553 (X=2) = 0.5018158925109 ≈ 0.5018
(TI-Befehl: binomcdf(53,0.05,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
2 4 0.9981
3 5 0.9685
4 6 0.8738
5 7 0.7282
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X21) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 4 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 87 Wiederholungen 30 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?

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pP(X≥30)=1-P(X≤29)
......
0.290.1565
0.30.2115
0.310.2757
0.320.3472
0.330.4237
0.340.5024
......

Es muss gelten: Pp87 (X30) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp87 (X29) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 46 Versuchen höchstens 26 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.65.

P0.6546 (X26) = P0.6546 (X=0) + P0.6546 (X=1) + P0.6546 (X=2) +... + P0.6546 (X=26) = 0.14685674712279 ≈ 0.1469
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.65,26))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=73⋅ 1 6 = 12.166666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.167, also 0.8⋅ 12.167 = 9.733 und 120% von 12.166666666667, also 1.2⋅ 12.167 = 14.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.166666666667 entfernt sein darf als 9.733 bzw. 14.6, muss sie also zwischen 10 und 14 liegen.

P 1 6 73 (10X14) =

...
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 73 (X14) - P 1 6 73 (X9) ≈ 0.7731 - 0.2041 ≈ 0.569
(TI-Befehl: binomcdf(73, 1 6 ,14) - binomcdf(73, 1 6 ,9))