Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 26 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
87	0.5434
88	0.5155
89	0.4877
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.3}$ ≈ 87 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.3⋅87) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=87:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5434 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 53 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=53 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{53} (X \leq 2)

=

P_{\frac{1}{8}}^{53} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{53} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{53} (X = 2)

= 0.030975649220755 ≈ 0.031
(TI-Befehl: binomcdf(53,1/8,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{3}{16}$	0.9996
$\frac{3}{17}$	0.9988
$\frac{3}{18}$	0.9973
$\frac{3}{19}$	0.9945
$\frac{3}{20}$	0.9898
$\frac{3}{21}$	0.9828
$\frac{3}{22}$	0.9728
$\frac{3}{23}$	0.9594
$\frac{3}{24}$	0.9424
$\frac{3}{25}$	0.9218
$\frac{3}{26}$	0.8975
$\frac{3}{27}$	0.87
$\frac{3}{28}$	0.8394
$\frac{3}{29}$	0.8064
$\frac{3}{30}$	0.7714
$\frac{3}{31}$	0.7349
$\frac{3}{32}$	0.6975
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 9)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{16}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{31}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 31 sein.

Also wären noch 28 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 91 Stück nur an, wenn nicht mehr als 59 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.53	0.995
0.54	0.9915
0.55	0.986
0.56	0.9777
0.57	0.9654
0.58	0.9481
0.59	0.9243
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{91} (X \leq 59)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,59) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 94 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,35.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 32 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=94 und p=0.35.

P_{0.35}^{94} (X \leq 32)

=

P_{0.35}^{94} (X = 0)

+

P_{0.35}^{94} (X = 1)

+

P_{0.35}^{94} (X = 2)

+... +

P_{0.35}^{94} (X = 32)

= 0.46985999180558 ≈ 0.4699
(TI-Befehl: binomcdf(94,0.35,32))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=78⋅0.6 = 46.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 46.8, also 0.8⋅ 46.8 = 37.44 und 120% von 46.8, also 1.2⋅ 46.8 = 56.16

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 46.8 entfernt sein darf als 37.44 bzw. 56.16, muss sie also zwischen 38 und 56 liegen.

$P_{0.6}^{78} (38 \leq X \leq 56)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

...

P_{0.6}^{78} (X \leq 56)

-

P_{0.6}^{78} (X \leq 37)

≈ 0.9889 - 0.0166 ≈ 0.9723
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.6,56) - binomcdf(78,0.6,37))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert