Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 20 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 104 | 0.8003 |
| 105 | 0.7873 |
| 106 | 0.7739 |
| 107 | 0.7601 |
| 108 | 0.7461 |
| 109 | 0.7317 |
| 110 | 0.717 |
| 111 | 0.702 |
| 112 | 0.6868 |
| 113 | 0.6713 |
| 114 | 0.6557 |
| 115 | 0.6399 |
| 116 | 0.6239 |
| 117 | 0.6079 |
| 118 | 0.5917 |
| 119 | 0.5756 |
| 120 | 0.5593 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 20
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=104 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 100 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 42 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.5.
(TI-Befehl: binompdf(100,0.5,42))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 55 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤8) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.42 | |
| 0.6144 | |
| 0.7553 | |
| 0.8478 | |
| 0.9056 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
10 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 79 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 79)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 71 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥71)=1-P(X≤70) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.86 | 0.2066 |
| 0.87 | 0.2863 |
| 0.88 | 0.3825 |
| 0.89 | 0.4917 |
| 0.9 | 0.6074 |
| 0.91 | 0.7204 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(79,X,70) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 39 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 19 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=39 und p=0.5.
(TI-Befehl: binomcdf(39,0.5,19))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 44 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 44⋅0.25 ≈ 11,
die Standardabweichung mit σ =
13.87 (11 + 2.87) und 8.13 (11 - 2.87) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 13 liegt.
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.25,13) - binomcdf(44,0.25,8))
