Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 35 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
205	0.6061
206	0.594
207	0.5818
208	0.5695
209	0.5573
210	0.545
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{\frac{1}{6}}$ ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅210) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.545 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=205 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 38 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=38 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{38} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 38 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{3} \cdot {(\frac{7}{8})}^{35}

=0.15386805565153≈ 0.1539
(TI-Befehl: binompdf(38,1/8,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.6281
$\frac{1}{7}$	0.7189
$\frac{1}{8}$	0.7841
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{13}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 73 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 34 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥34)=1-P(X≤33)
...	...
0.49	0.7021
0.5	0.7586
0.51	0.8087
0.52	0.8519
0.53	0.8881
0.54	0.9176
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{73} (X \geq 34)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{73} (X \leq 33)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 40 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 12 Treffer zu erzielen?

(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

9

10

11

12

13

14

...

P_{0.2}^{40} (X \geq 12)

= 1 -

P_{0.2}^{40} (X \leq 11)

= 0.0875
(TI-Befehl: 1-binomcdf(40,0.2,11))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 73 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=73⋅ $\frac{1}{6}$ = 12.166666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.167, also 0.8⋅ 12.167 = 9.733 und 120% von 12.166666666667, also 1.2⋅ 12.167 = 14.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.166666666667 entfernt sein darf als 9.733 bzw. 14.6, muss sie also zwischen 10 und 14 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{73} (10 \leq X \leq 14)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{73} (X \leq 9)

≈ 0.7731 - 0.2041 ≈ 0.569
(TI-Befehl: binomcdf(73, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(73, $\frac{1}{6}$ ,9))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert