Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 25-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.848
29	0.7038
30	0.5365
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.84}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.84}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.84⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.84}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5365 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,17 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 76 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 11 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.17.

P_{0.17}^{76} (X \leq 11)

=

P_{0.17}^{76} (X = 0)

+

P_{0.17}^{76} (X = 1)

+

P_{0.17}^{76} (X = 2)

+... +

P_{0.17}^{76} (X = 11)

= 0.34264051230017 ≈ 0.3426
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.17,11))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9375
$\frac{1}{3}$	0.7366
$\frac{1}{4}$	0.5551
$\frac{1}{5}$	0.4233
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 62 Freiwürfen mindestens 44 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥44)=1-P(X≤43)
...	...
0.67	0.3024
0.68	0.3632
0.69	0.4284
0.7	0.4964
0.71	0.5654
0.72	0.6333
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{62} (X \geq 44)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{62} (X \leq 43)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(62,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 75 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 11 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.15.

P_{0.15}^{75} (X = 11)

=

(\begin{matrix} 75 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{11} \cdot {0.85}^{64}

=0.12878171490744≈ 0.1288
(TI-Befehl: binompdf(75,0.15,11))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 23 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 23 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 23 ⋅ 0.5 = 11.5

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{23 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5}$ = $\sqrt{5.75}$ ≈ 2.4

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.