Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ = 1 - $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ oder $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{\mathrm{0.05}}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.05⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≈ 0.3991 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 77 sein, damit $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\le 1)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.05}^{\mathrm{n}}(X\ge 2)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{15}(X\le 3)$=0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{15}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{15}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{15}$⋅15 der Erwartungswert und somit $P_p^{15}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{15}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{25}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{5}{36}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 36 sein.

Also werden noch 31 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{74}(X\ge 23)$=0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{74}(X\le 22)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.