Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 38 Freiwurfpunkte kommen lassen will?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 42 | 0.6164 |
| 43 | 0.4325 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.9⋅42) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
≈ 0.6164
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 97 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 47, aber höchstens 50 Treffer zu erzielen?
=
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.5,50) - binomcdf(97,0.5,46))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥1)=1-P(X≤0) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9961 | |
| 0.961 | |
| 0.8999 | |
| 0.8322 | |
| 0.7674 | |
| 0.7086 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
6 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 72 Freiwürfen mindestens 31 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥31)=1-P(X≤30) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.38 | 0.2218 |
| 0.39 | 0.2775 |
| 0.4 | 0.339 |
| 0.41 | 0.4046 |
| 0.42 | 0.4727 |
| 0.43 | 0.5414 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 51 Versuchen mindestens 36 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(51,0.7,35))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅ = 7.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 7.5, also 0.8⋅ 7.5 = 6 und 120% von 7.5, also 1.2⋅ 7.5 = 9
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 7.5 entfernt sein darf als 6 bzw. 9, muss sie also zwischen 6 und 9 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(45,,9) - binomcdf(45,,5))
