Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 22 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 132 | 0.5566 |
| 133 | 0.5411 |
| 134 | 0.5257 |
| 135 | 0.5103 |
| 136 | 0.495 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 22
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=135 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 82 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 10 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=82 und p=0.05.
(TI-Befehl: binompdf(82,0.05,10))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9893 | |
| 0.896 | |
| 0.756 | |
| 0.6242 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 41 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 41).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 29 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.64 | 0.8561 |
| 0.65 | 0.824 |
| 0.66 | 0.7874 |
| 0.67 | 0.7463 |
| 0.68 | 0.7009 |
| 0.69 | 0.6516 |
| 0.7 | 0.599 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(41,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,21 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 99 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 21 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(99,0.21,20))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 86 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅0.6 = 51.6
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 51.6, also 0.85⋅ 51.6 = 43.86 und 115% von 51.6, also 1.15⋅ 51.6 = 59.34
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 51.6 entfernt sein darf als 43.86 bzw. 59.34, muss sie also zwischen 44 und 59 liegen.
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.6,59) - binomcdf(86,0.6,43))
