Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 23 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
750.5067
760.4768
770.4472
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: P0.3n (X23) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.3n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.3n (X23) = 1 - P0.3n (X22) ≥ 0.5 |+ P0.3n (X22) - 0.5

0.5 ≥ P0.3n (X22) oder P0.3n (X22) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.3 ≈ 77 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.3⋅77) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=77:
P0.3n (X22) ≈ 0.4472 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 76 sein, damit P0.3n (X22) ≤ 0.5 oder eben P0.3n (X23) ≥ 0.5 gilt.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,92. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 76 Versuchen mindestens 68 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
65
66
67
68
69
70
...

P0.9276 (X68) = 1 - P0.9276 (X67) = 0.8475
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76,0.92,67))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
5 14 0.5946
5 15 0.6739
5 16 0.739
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp17 (X6) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp17 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 17 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 17 ⋅17 der Erwartungswert und somit Pp17 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 17 mit 5 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 14 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 16 sein.

Also werden noch 11 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 95 Wiederholungen 88 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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pP(X≥88)=1-P(X≤87)
......
0.910.3697
0.920.5064
0.930.6527
0.940.7895
0.950.8968
0.960.9632
......

Es muss gelten: Pp95 (X88) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp95 (X87) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(95,X,87) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.96 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 5 und höchstens 10 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 81 Glückskekse kauft?

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P0.12581 (6X10) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

P0.12581 (X10) - P0.12581 (X5) ≈ 0.5665 - 0.0511 ≈ 0.5154
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.125,10) - binomcdf(81,0.125,5))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 57 und p = 0.45
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 57 und p = 0.45 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 57 ⋅ 0.45 = 25.65

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 57 ⋅ 0.45 ⋅ 0.55 = 14.1075 3.76