Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 91% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 60% Wahrscheinlichkeit in mindestens 5 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 56 | 0.4249 |
| 57 | 0.4088 |
| 58 | 0.3931 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.09⋅56) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
≈ 0.4249
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=58 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 58 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 56 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,15.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 6 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.15.
= + + +... + = 0.2455974389003 ≈ 0.2456(TI-Befehl: binomcdf(56,0.15,6))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 55 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤8) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.42 | |
| 0.6144 | |
| 0.7553 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 8 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 8=⋅55 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
8 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 98 Freiwürfen mindestens 69 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥69)=1-P(X≤68) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.71 | 0.6006 |
| 0.72 | 0.683 |
| 0.73 | 0.7582 |
| 0.74 | 0.8235 |
| 0.75 | 0.8771 |
| 0.76 | 0.9188 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(98,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 85% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 74 Versuchen mindestens 57 und weniger als 66 trifft?
=
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.85,65) - binomcdf(74,0.85,56))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 76 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 76⋅0.6 ≈ 45.6,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 4.27
49.87 (45.6 + 4.27) und 41.33 (45.6 - 4.27) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 45.6 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 42 und 49 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 42 und 49 liegt.
=
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.6,49) - binomcdf(76,0.6,41))
