Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
44	0.6639
45	0.5218
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.85}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.85⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5218 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 85 Versuchen mindestens 56 und weniger als 70 trifft?

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$P_{0.75}^{85} (56 \leq X \leq 69)$ =

...

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

...

P_{0.75}^{85} (X \leq 69)

-

P_{0.75}^{85} (X \leq 55)

≈ 0.9289 - 0.0222 ≈ 0.9067
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.75,69) - binomcdf(85,0.75,55))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{5}{7}$	0.9998
$\frac{6}{8}$	0.9992
$\frac{7}{9}$	0.9981
$\frac{8}{10}$	0.9962
$\frac{9}{11}$	0.9934
$\frac{10}{12}$	0.9895
$\frac{11}{13}$	0.9846
$\frac{12}{14}$	0.9788
$\frac{13}{15}$	0.9721
$\frac{14}{16}$	0.9645
$\frac{15}{17}$	0.9562
$\frac{16}{18}$	0.9474
$\frac{17}{19}$	0.938
$\frac{18}{20}$	0.9282
$\frac{19}{21}$	0.9181
$\frac{20}{22}$	0.9077
$\frac{21}{23}$	0.8971
$\frac{22}{24}$	0.8864
$\frac{23}{25}$	0.8756
$\frac{24}{26}$	0.8648
$\frac{25}{27}$	0.854
$\frac{26}{28}$	0.8432
$\frac{27}{29}$	0.8325
$\frac{28}{30}$	0.8218
$\frac{29}{31}$	0.8112
$\frac{30}{32}$	0.8008
$\frac{31}{33}$	0.7905
$\frac{32}{34}$	0.7803
$\frac{33}{35}$	0.7703
$\frac{34}{36}$	0.7604
$\frac{35}{37}$	0.7507
$\frac{36}{38}$	0.7412
$\frac{37}{39}$	0.7318
$\frac{38}{40}$	0.7226
$\frac{39}{41}$	0.7136
$\frac{40}{42}$	0.7047
$\frac{41}{43}$	0.696
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{7}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{40}{42}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 40 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 43 Freiwürfen mindestens 28 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥28)=1-P(X≤27)
...	...
0.61	0.3495
0.62	0.4007
0.63	0.454
0.64	0.5085
0.65	0.5633
0.66	0.6174
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{43} (X \geq 28)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{43} (X \leq 27)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 88 Versuchen höchstens 37 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.45.

P_{0.45}^{88} (X \leq 37)

=

P_{0.45}^{88} (X = 0)

+

P_{0.45}^{88} (X = 1)

+

P_{0.45}^{88} (X = 2)

+... +

P_{0.45}^{88} (X = 37)

= 0.32752450916328 ≈ 0.3275
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.45,37))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 81 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 81⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 13.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{81\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 3.35

16.85 (13.5 + 3.35) und 10.15 (13.5 - 3.35) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 11 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 11 und 16 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{81} (11 \leq X \leq 16)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X \leq 16)

-

P_{\frac{1}{6}}^{81} (X \leq 10)

≈ 0.8165 - 0.1872 ≈ 0.6293
(TI-Befehl: binomcdf(81, $\frac{1}{6}$ ,16) - binomcdf(81, $\frac{1}{6}$ ,10))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ