Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 30 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
37	0.6302
38	0.4997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.8}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.8⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4997 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen genau 36 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=79 und p=0.35.

P_{0.35}^{79} (X = 36)

=

(\begin{matrix} 79 \\ 36 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{36} \cdot {0.65}^{43}

=0.013857339201002≈ 0.0139
(TI-Befehl: binompdf(79,0.35,36))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{14}$	0.616
$\frac{1}{15}$	0.6763
$\frac{1}{16}$	0.7276
$\frac{1}{17}$	0.7709
$\frac{1}{18}$	0.8072
$\frac{1}{19}$	0.8375
$\frac{1}{20}$	0.8628
$\frac{1}{21}$	0.8839
$\frac{1}{22}$	0.9015
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 5)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{70}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{22}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 22 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 65 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 65).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 60% höchstens 30 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.4	0.8723
0.41	0.8343
0.42	0.7899
0.43	0.7395
0.44	0.6837
0.45	0.6236
0.46	0.5606
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 30)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(65,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 45%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 97 Versuchen nicht mehr als 53 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.45.

P_{0.45}^{97} (X \leq 53)

=

P_{0.45}^{97} (X = 0)

+

P_{0.45}^{97} (X = 1)

+

P_{0.45}^{97} (X = 2)

+... +

P_{0.45}^{97} (X = 53)

= 0.97753168832852 ≈ 0.9775
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.45,53))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 89⋅0.5 ≈ 44.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{89\cdot0.5\cdot0.5}$ ≈ 4.72

49.22 (44.5 + 4.72) und 39.78 (44.5 - 4.72) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 44.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 40 und 49 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 40 und 49 liegt.

$P_{0.5}^{89} (40 \leq X \leq 49)$ =

...

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

...

P_{0.5}^{89} (X \leq 49)

-

P_{0.5}^{89} (X \leq 39)

≈ 0.8555 - 0.1445 ≈ 0.711
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.5,49) - binomcdf(89,0.5,39))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ