Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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nP(X≤k)
......
10.98
20.9604
30.9412
40.9224
50.9039
60.8858
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: P0.02n (X0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.02 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.02n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 10%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 63 Versuchen nicht mehr als 13 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p=0.1.

P0.163 (X13) = P0.163 (X=0) + P0.163 (X=1) + P0.163 (X=2) +... + P0.163 (X=13) = 0.99671295273361 ≈ 0.9967
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.1,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
3 9 0.5431
3 10 0.6655
3 11 0.7578
3 12 0.8251
3 13 0.8734
3 14 0.9078
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp19 (X6) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp19 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 19 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 19 ⋅19 der Erwartungswert und somit Pp19 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 19 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 9 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 14 sein.

Also werden noch 11 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 86 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 86).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% höchstens 69 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.690.993
0.70.9882
0.710.9807
0.720.9693
0.730.9525
0.740.9287
0.750.896
......

Es muss gelten: Pp86 (X69) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(86,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 63 Versuchen, mehr als 32 mal und höchstens 35 mal im grünen Bereich zu landen?

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P0.5563 (33X35) =

...
30
31
32
33
34
35
36
37
...

P0.5563 (X35) - P0.5563 (X32) ≈ 0.5835 - 0.2922 ≈ 0.2913
(TI-Befehl: binomcdf(63,0.55,35) - binomcdf(63,0.55,32))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 76 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=76⋅0.5 = 38

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 38, also 0.8⋅ 38 = 30.4 und 120% von 38, also 1.2⋅ 38 = 45.6

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 38 entfernt sein darf als 30.4 bzw. 45.6, muss sie also zwischen 31 und 45 liegen.

P0.576 (31X45) =

...
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
...

P0.576 (X45) - P0.576 (X30) ≈ 0.9577 - 0.0423 ≈ 0.9154
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.5,45) - binomcdf(76,0.5,30))