Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 18% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt mindestens vorgeführt werden, damit sich mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, 22 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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nP(X≤k)
......
1360.2574
1370.245
1380.2329
1390.2213
1400.2101
1410.1993
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: P0.18n (X22) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.18n (X22) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.18n (X22) = 1 - P0.18n (X21) ≥ 0.8 |+ P0.18n (X21) - 0.8

0.2 ≥ P0.18n (X21) oder P0.18n (X21) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.18 ≈ 122 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.18⋅122) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=122:
P0.18n (X21) ≈ 0.4668 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=141 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 141 sein, damit P0.18n (X21) ≤ 0.2 oder eben P0.18n (X22) ≥ 0.8 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 26 Versuchen genau 2 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=26 und p=0.05.

P0.0526 (X=2) = ( 26 2 ) 0.052 0.9524 =0.23724108227525≈ 0.2372
(TI-Befehl: binompdf(26,0.05,2))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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pP(X≥10)=1-P(X≤9)
......
4 25 0.9998
4 26 0.9996
4 27 0.9993
4 28 0.9988
4 29 0.9981
4 30 0.9969
4 31 0.9953
4 32 0.993
4 33 0.99
4 34 0.9862
4 35 0.9814
4 36 0.9756
4 37 0.9685
4 38 0.9603
4 39 0.9508
4 40 0.94
4 41 0.9278
4 42 0.9144
4 43 0.8997
4 44 0.8839
4 45 0.8669
4 46 0.8489
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp150 (X10) = 1- Pp150 (X9) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp150 (X10) ('mindestens 10 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 25 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 45 sein.

Also wären noch 41 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 90 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 41 erkennen und dumm anlabern?

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pP(X≤k)
......
0.340.9914
0.350.9853
0.360.9758
0.370.9619
0.380.9423
0.390.9158
0.40.8812
......

Es muss gelten: Pp90 (X41) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(90,X,41) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 48 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 25, aber höchstens 31 Treffer zu erzielen?

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P0.5548 (25X31) =

...
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
...

P0.5548 (X31) - P0.5548 (X24) ≈ 0.9317 - 0.2898 ≈ 0.6419
(TI-Befehl: binomcdf(48,0.55,31) - binomcdf(48,0.55,24))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 29 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 29 und p = 0.5 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 29 ⋅ 0.5 = 14.5

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 29 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 7.25 2.69