Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 25 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 110 | 0.8 |
| 111 | 0.7859 |
| 112 | 0.7713 |
| 113 | 0.7563 |
| 114 | 0.7409 |
| 115 | 0.7251 |
| 116 | 0.7089 |
| 117 | 0.6924 |
| 118 | 0.6757 |
| 119 | 0.6587 |
| 120 | 0.6414 |
| 121 | 0.624 |
| 122 | 0.6064 |
| 123 | 0.5888 |
| 124 | 0.571 |
| 125 | 0.5533 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 125 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.2⋅125) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=125:
≈ 0.5533
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=110 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,89. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 40 Versuchen mindestens 38 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(40,0.89,37))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.608 | |
| 0.7093 | |
| 0.7858 | |
| 0.8422 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅20 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
13 sein.
Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft hat 40 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 77 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4 | 0.9873 |
| 0.41 | 0.98 |
| 0.42 | 0.9695 |
| 0.43 | 0.9549 |
| 0.44 | 0.9352 |
| 0.45 | 0.9096 |
| 0.46 | 0.8772 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(77,X,40) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 57 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 22, aber höchstens 24 Treffer zu erzielen?
=
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.35,24) - binomcdf(57,0.35,21))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 58 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=58⋅0.25 = 14.5
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 14.5, also 0.85⋅ 14.5 = 12.325 und 115% von 14.5, also 1.15⋅ 14.5 = 16.675
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.5 entfernt sein darf als 12.325 bzw. 16.675, muss sie also zwischen 13 und 16 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.25,16) - binomcdf(58,0.25,12))
