Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 85%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit 28 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
330.3741
340.2409
350.1438
360.0801
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X28) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.85n (X28) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X28) = 1 - P0.85n (X27) ≥ 0.9 |+ P0.85n (X27) - 0.9

0.1 ≥ P0.85n (X27) oder P0.85n (X27) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 0.85 ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.85⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
P0.85n (X27) ≈ 0.3741 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit P0.85n (X27) ≤ 0.1 oder eben P0.85n (X28) ≥ 0.9 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 59 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 8 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.1.

P0.159 (X=8) = ( 59 8 ) 0.18 0.951 =0.10285514207197≈ 0.1029
(TI-Befehl: binompdf(59,0.1,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 18 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

Lösung einblenden
pP(X≤2)
......
1 9 0.677
1 10 0.7338
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X2) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X2) ('höchstens 2 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 2 18 . Mit diesem p wäre ja 2= 2 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X2) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 2 18 mit 1 2 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 9 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 10 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 77 Freiwürfen mindestens 70 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

Lösung einblenden
pP(X≥70)=1-P(X≤69)
......
0.890.3782
0.90.4902
0.910.6098
0.920.7268
0.930.83
0.940.9097
......

Es muss gelten: Pp77 (X70) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp77 (X69) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 30 Versuchen mindestens 9 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...
6
7
8
9
10
11
...

P0.330 (X9) = 1 - P0.330 (X8) = 0.5685
(TI-Befehl: 1-binomcdf(30,0.3,8))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅0.35 = 31.5

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 31.5, also 0.85⋅ 31.5 = 26.775 und 115% von 31.5, also 1.15⋅ 31.5 = 36.225

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.5 entfernt sein darf als 26.775 bzw. 36.225, muss sie also zwischen 27 und 36 liegen.

P0.3590 (27X36) =

...
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...

P0.3590 (X36) - P0.3590 (X26) ≈ 0.865 - 0.1339 ≈ 0.7311
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.35,36) - binomcdf(90,0.35,26))