Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.9241
41	0.8558
42	0.7624
43	0.6503
44	0.5298
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.8}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.8⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5298 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{56} (X \geq 11)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{56} (X \leq 10)

= 0.3261
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56, $\frac{1}{6}$ ,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
$\frac{1}{9}$	0.6536
$\frac{1}{10}$	0.6126
$\frac{1}{11}$	0.5759
$\frac{1}{12}$	0.543
$\frac{1}{13}$	0.5134
$\frac{1}{14}$	0.4867
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 13 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 53 Freiwürfen mindestens 44 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥44)=1-P(X≤43)
...	...
0.82	0.5097
0.83	0.5863
0.84	0.6621
0.85	0.734
0.86	0.7995
0.87	0.8563
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{53} (X \geq 44)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{53} (X \leq 43)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(53,X,43) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 70 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 6 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X \leq 6)

=

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{70} (X = 6)

= 0.040932621214419 ≈ 0.0409
(TI-Befehl: binomcdf(70,1/6,6))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 97 und p = 0.6
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 97 und p = 0.6 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 97 ⋅ 0.6 = 58.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{97 ⋅ 0.6 ⋅ 0.4}$ = $\sqrt{23.28}$ ≈ 4.82

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.