Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 23 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 35 | 0.8048 |
| 36 | 0.7385 |
| 37 | 0.665 |
| 38 | 0.5873 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.6⋅38) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
≈ 0.5873
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 59 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 18, aber höchstens 20 Treffer zu erzielen?
=
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.3,20) - binomcdf(59,0.3,17))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 55 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5876 | |
| 0.6904 | |
| 0.7694 | |
| 0.8286 | |
| 0.8723 | |
| 0.9044 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅55 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
14 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 51 Freiwürfen mindestens 23 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥23)=1-P(X≤22) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.46 | 0.6048 |
| 0.47 | 0.6589 |
| 0.48 | 0.7099 |
| 0.49 | 0.7569 |
| 0.5 | 0.7995 |
| 0.51 | 0.8372 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(51,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.51 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 15%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 74 Versuchen nicht mehr als 18 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.15.
= + + +... + = 0.98842420451138 ≈ 0.9884(TI-Befehl: binomcdf(74,0.15,18))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 42 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=42⋅0.3 = 12.6
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.6, also 0.8⋅ 12.6 = 10.08 und 120% von 12.6, also 1.2⋅ 12.6 = 15.12
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.6 entfernt sein darf als 10.08 bzw. 15.12, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.3,15) - binomcdf(42,0.3,10))
