Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 35 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.5563
40	0.371
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.9}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5563 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 91 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 12 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{91} (X = 12)

=

(\begin{matrix} 91 \\ 12 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{12} \cdot {(\frac{5}{6})}^{79}

=0.080513561942284≈ 0.0805
(TI-Befehl: binompdf(91,1/6,12))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5989
$\frac{1}{11}$	0.6972
$\frac{1}{12}$	0.7736
$\frac{1}{13}$	0.8314
$\frac{1}{14}$	0.8745
$\frac{1}{15}$	0.9063
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{70}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 15 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 58 Ausspielungen nicht öfters als 49 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.73	0.987
0.74	0.9804
0.75	0.9711
0.76	0.958
0.77	0.9402
0.78	0.9164
0.79	0.8855
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{58} (X \leq 49)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(58,X,49) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,67. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 47 Versuchen mindestens 27 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

24

25

26

27

28

29

...

P_{0.67}^{47} (X \geq 27)

= 1 -

P_{0.67}^{47} (X \leq 26)

= 0.9368
(TI-Befehl: 1-binomcdf(47,0.67,26))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 34 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 34 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 34 ⋅ 0.35 = 11.9

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{34 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65}$ = $\sqrt{7.735}$ ≈ 2.78

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Erwartungswert, Standardabweichung best.