Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 35 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 187 | 0.8042 |
| 188 | 0.7947 |
| 189 | 0.785 |
| 190 | 0.7751 |
| 191 | 0.765 |
| 192 | 0.7547 |
| 193 | 0.7442 |
| 194 | 0.7335 |
| 195 | 0.7226 |
| 196 | 0.7115 |
| 197 | 0.7003 |
| 198 | 0.689 |
| 199 | 0.6775 |
| 200 | 0.6658 |
| 201 | 0.6541 |
| 202 | 0.6422 |
| 203 | 0.6303 |
| 204 | 0.6183 |
| 205 | 0.6061 |
| 206 | 0.594 |
| 207 | 0.5818 |
| 208 | 0.5695 |
| 209 | 0.5573 |
| 210 | 0.545 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=187 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 44 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 9 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.25.
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.25,9))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9959 | |
| 0.943 | |
| 0.8014 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 3 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 91 Wiederholungen 31 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?
| p | P(X≥31)=1-P(X≤30) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.32 | 0.3737 |
| 0.33 | 0.4533 |
| 0.34 | 0.5341 |
| 0.35 | 0.6127 |
| 0.36 | 0.6863 |
| 0.37 | 0.7527 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
oder eben: 1-
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(91,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 24 Versuchen genau 24 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.95.
(TI-Befehl: binompdf(24,0.95,24))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 60 und p = 0.65
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 60 und p = 0.65 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 60 ⋅ 0.65 = 39
Standardabweichung S(X) =
