Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,04. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.96
20.9216
30.8847
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.04 und variablem n.

Es muss gelten: P0.04n (X0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.04 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.04⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.04n (X0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 41 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 25 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.5.

P0.541 (X=25) = ( 41 25 ) 0.525 0.516 =0.046874195825694≈ 0.0469
(TI-Befehl: binompdf(41,0.5,25))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
5 7 0.9998
6 8 0.9992
7 9 0.9981
8 10 0.9962
9 11 0.9934
10 12 0.9895
11 13 0.9846
12 14 0.9788
13 15 0.9721
14 16 0.9645
15 17 0.9562
16 18 0.9474
17 19 0.938
18 20 0.9282
19 21 0.9181
20 22 0.9077
21 23 0.8971
22 24 0.8864
23 25 0.8756
24 26 0.8648
25 27 0.854
26 28 0.8432
27 29 0.8325
28 30 0.8218
29 31 0.8112
30 32 0.8008
31 33 0.7905
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 5 7 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 30 32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 30 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 52 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 52)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 48 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥48)=1-P(X≤47)
......
0.880.2367
0.890.3096
0.90.3954
0.910.4924
0.920.5964
0.930.7014
......

Es muss gelten: Pp52 (X48) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp52 (X47) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(52,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,18 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 21 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 5 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
2
3
4
5
6
7
...

P0.1821 (X5) = 1 - P0.1821 (X4) = 0.3231
(TI-Befehl: 1-binomcdf(21,0.18,4))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 34 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 34 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 34 ⋅ 0.1 = 3.4

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 34 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 3.06 1.75