Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 35 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
85	0.9033
86	0.888
87	0.8713
88	0.853
89	0.8334
90	0.8123
91	0.7899
92	0.7662
93	0.7413
94	0.7154
95	0.6886
96	0.661
97	0.6328
98	0.6041
99	0.575
100	0.5458
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.35}$ ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.35⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5458 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 15 mal eine sechs gewürfelt wird?

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$P_{\frac{1}{6}}^{51} (9 \leq X \leq 14)$ =

...

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

...

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 14)

-

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 8)

≈ 0.9833 - 0.5169 ≈ 0.4664
(TI-Befehl: binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,14) - binomcdf(51, $\frac{1}{6}$ ,8))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{5}$	0.5489
$\frac{1}{6}$	0.6887
$\frac{1}{7}$	0.7829
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{17}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 53 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 53).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 45 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.76	0.9596
0.77	0.9432
0.78	0.9216
0.79	0.8935
0.8	0.858
0.81	0.8142
0.82	0.7613
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{53} (X \leq 45)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(53,X,45) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=96 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 96 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{9} \cdot {(\frac{5}{6})}^{87}

=0.016621007899685≈ 0.0166
(TI-Befehl: binompdf(96,1/6,9))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 58 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=58⋅0.45 = 26.1

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 26.1, also 0.8⋅ 26.1 = 20.88 und 120% von 26.1, also 1.2⋅ 26.1 = 31.32

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 26.1 entfernt sein darf als 20.88 bzw. 31.32, muss sie also zwischen 21 und 31 liegen.

$P_{0.45}^{58} (21 \leq X \leq 31)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

...

P_{0.45}^{58} (X \leq 31)

-

P_{0.45}^{58} (X \leq 20)

≈ 0.9226 - 0.0686 ≈ 0.854
(TI-Befehl: binomcdf(58,0.45,31) - binomcdf(58,0.45,20))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert