Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,6. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 23 dieser Fehler begeht?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 37 | 0.665 |
| 38 | 0.5873 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.6⋅38) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
≈ 0.5873
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 93 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=.
= =0.00035301538353937≈ 0.0004(TI-Befehl: binompdf(93,1/8,2))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 90 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤9) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5875 | |
| 0.699 | |
| 0.7841 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 9 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 9=⋅90 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
12 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 74 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 74)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 69 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥69)=1-P(X≤68) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.88 | 0.1078 |
| 0.89 | 0.1631 |
| 0.9 | 0.2383 |
| 0.91 | 0.3352 |
| 0.92 | 0.4523 |
| 0.93 | 0.5833 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(74,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 37 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(37,0.125,1))
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 22 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 22 und p = 0.8 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 22 ⋅ 0.8 = 17.6
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 1.88
