Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 40 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
1560.6146
1570.5967
1580.5787
1590.5605
1600.5424
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: P0.25n (X40) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 0.25 ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
P0.25n (X40) ≈ 0.5424 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=156 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 73 Versuchen mindestens 15 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
12
13
14
15
16
17
...

P0.373 (X15) = 1 - P0.373 (X14) = 0.9742
(TI-Befehl: 1-binomcdf(73,0.3,14))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤3)
......
1 4 0.5843
1 5 0.7473
1 6 0.8419
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp13 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp13 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 13 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 13 ⋅13 der Erwartungswert und somit Pp13 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 13 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 4 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 55 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 52 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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pP(X≥52)=1-P(X≤51)
......
0.920.3492
0.930.4571
0.940.5783
0.950.7045
0.960.8226
0.970.9171
......

Es muss gelten: Pp55 (X52) =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp55 (X51) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(55,X,51) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 98 Versuchen, mehr als 60 mal und höchstens 64 mal im grünen Bereich zu landen?

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P0.6598 (61X64) =

...
58
59
60
61
62
63
64
65
66
...

P0.6598 (X64) - P0.6598 (X60) ≈ 0.5631 - 0.2472 ≈ 0.3159
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.65,64) - binomcdf(98,0.65,60))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 35 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 35 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 35 ⋅ 0.05 = 1.75

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 35 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95 = 1.6625 1.29