Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,7. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% maximal 21 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
270.8642
280.7798
290.6786
300.5685
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X21) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.7 ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.7⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
P0.7n (X21) ≈ 0.5685 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Münze wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 32 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.5.

P0.557 (X32) = P0.557 (X=0) + P0.557 (X=1) + P0.557 (X=2) +... + P0.557 (X=32) = 0.85537812644549 ≈ 0.8554
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.5,32))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
5 26 0.6289
5 27 0.6572
5 28 0.6833
5 29 0.7072
5 30 0.7291
5 31 0.7492
5 32 0.7677
5 33 0.7846
5 34 0.8001
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp16 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp16 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 16 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 16 ⋅16 der Erwartungswert und somit Pp16 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 16 mit 5 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 26 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 34 sein.

Also werden noch 29 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 66 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 66)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 45 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥45)=1-P(X≤44)
......
0.630.2299
0.640.284
0.650.344
0.660.4087
0.670.4767
0.680.5461
......

Es muss gelten: Pp66 (X45) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp66 (X44) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(66,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 2 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 70 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p= 1 8 .

P 1 8 70 (X2) = P 1 8 70 (X=0) + P 1 8 70 (X=1) + P 1 8 70 (X=2) = 0.0052574859711767 ≈ 0.0053
(TI-Befehl: binomcdf(70,1/8,2))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 57 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=57⋅0.4 = 22.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 22.8, also 0.8⋅ 22.8 = 18.24 und 120% von 22.8, also 1.2⋅ 22.8 = 27.36

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 22.8 entfernt sein darf als 18.24 bzw. 27.36, muss sie also zwischen 19 und 27 liegen.

P0.457 (19X27) =

...
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
...

P0.457 (X27) - P0.457 (X18) ≈ 0.8973 - 0.1217 ≈ 0.7756
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.4,27) - binomcdf(57,0.4,18))