Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 40 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 74 | 0.3883 |
| 75 | 0.3413 |
| 76 | 0.2971 |
| 77 | 0.2563 |
| 78 | 0.2192 |
| 79 | 0.1857 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.55⋅73) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
≈ 0.4378
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 79 sein, damit ≤ 0.2 oder eben ≥ 0.8 gilt.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 88 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 69, aber höchstens 73 Treffer zu erzielen?
=
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.75,73) - binomcdf(88,0.75,68))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9996 | |
| 0.9988 | |
| 0.9971 | |
| 0.9939 | |
| 0.9889 | |
| 0.9817 | |
| 0.972 | |
| 0.9597 | |
| 0.9449 | |
| 0.9276 | |
| 0.9082 | |
| 0.8869 | |
| 0.864 | |
| 0.8398 | |
| 0.8146 | |
| 0.7887 | |
| 0.7624 | |
| 0.7358 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 23 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 72 Freiwürfen mindestens 30 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥30)=1-P(X≤29) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4 | 0.4301 |
| 0.41 | 0.499 |
| 0.42 | 0.5676 |
| 0.43 | 0.6339 |
| 0.44 | 0.6962 |
| 0.45 | 0.7531 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,29) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 1 und höchstens 13 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 98 Glückskekse kauft?
=
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.125,13) - binomcdf(98,0.125,1))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 49 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.75 = 36.75
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 36.75, also 0.8⋅ 36.75 = 29.4 und 120% von 36.75, also 1.2⋅ 36.75 = 44.1
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 36.75 entfernt sein darf als 29.4 bzw. 44.1, muss sie also zwischen 30 und 44 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.75,44) - binomcdf(49,0.75,29))
