Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 32 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
350.913
360.8094
370.6697
380.5146
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X32) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 32 0.85 ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
P0.85n (X32) ≈ 0.5146 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 13 mal, aber weniger als 22 mal eine sechs gewürfelt wird?

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P 1 6 99 (14X21) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...

P 1 6 99 (X21) - P 1 6 99 (X13) ≈ 0.908 - 0.2122 ≈ 0.6958
(TI-Befehl: binomcdf(99, 1 6 ,21) - binomcdf(99, 1 6 ,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
3 5 0.9978
4 6 0.9839
5 7 0.9468
6 8 0.8847
7 9 0.8045
8 10 0.7161
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp29 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp29 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 3 5 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 7 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 44 Freiwürfen mindestens 33 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥33)=1-P(X≤32)
......
0.710.3452
0.720.4007
0.730.4591
0.740.5193
0.750.5801
0.760.6401
......

Es muss gelten: Pp44 (X33) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp44 (X32) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(44,X,32) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen, mehr als 61 mal und höchstens 65 mal im grünen Bereich zu landen?

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P0.7578 (62X65) =

...
59
60
61
62
63
64
65
66
67
...

P0.7578 (X65) - P0.7578 (X61) ≈ 0.971 - 0.7811 ≈ 0.1899
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.75,65) - binomcdf(78,0.75,61))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 98 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 98⋅ 1 6 ≈ 16.33,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 98 1 6 5 6 ≈ 3.69

20.02 (16.33 + 3.69) und 12.64 (16.33 - 3.69) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.33 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 13 und 20 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 13 und 20 liegt.

P 1 6 98 (13X20) =

...
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
...

P 1 6 98 (X20) - P 1 6 98 (X12) ≈ 0.8694 - 0.1485 ≈ 0.7209
(TI-Befehl: binomcdf(98, 1 6 ,20) - binomcdf(98, 1 6 ,12))