Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 20 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.6352
29	0.5213
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.7}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.7⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.5213 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 68 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 15 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{68} (X = 15)

=

(\begin{matrix} 68 \\ 15 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{15} \cdot {(\frac{5}{6})}^{53}

=0.060001103225232≈ 0.06
(TI-Befehl: binompdf(68,1/6,15))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{10}$	0.5272
$\frac{4}{11}$	0.6457
$\frac{4}{12}$	0.7374
$\frac{4}{13}$	0.8061
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{16}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 13 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 85 Stück nur an, wenn nicht mehr als 47 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.

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p	P(X≤k)
...	...
0.43	0.9915
0.44	0.986
0.45	0.9779
0.46	0.966
0.47	0.9495
0.48	0.9271
0.49	0.8979
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 47)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(85,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 66 Versuchen genau 41 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=66 und p=0.55.

P_{0.55}^{66} (X = 41)

=

(\begin{matrix} 66 \\ 41 \end{matrix}) \cdot {0.55}^{41} \cdot {0.45}^{25}

=0.050813919993975≈ 0.0508
(TI-Befehl: binompdf(66,0.55,41))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=75⋅ $\frac{1}{6}$ = 12.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.5, also 0.8⋅ 12.5 = 10 und 120% von 12.5, also 1.2⋅ 12.5 = 15

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.5 entfernt sein darf als 10 bzw. 15, muss sie also zwischen 10 und 15 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{75} (10 \leq X \leq 15)$ =

...

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{75} (X \leq 9)

≈ 0.8252 - 0.1773 ≈ 0.6479
(TI-Befehl: binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(75, $\frac{1}{6}$ ,9))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert