Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 186 Versuchen auch ungefähr 31 (≈$\frac{1}{6}$⋅186) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=186:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.4695 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=211 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 211 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 31)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{15}(X\le 3)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{15}(X\le 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{3}{15}$. Mit diesem p wäre ja 3=$\frac{3}{15}$⋅15 der Erwartungswert und somit $P_p^{15}(X\le 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{3}{15}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{3}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 17 sein.

Also werden noch 14 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Es muss gelten: $P_p^{83}(X\ge 68)$=0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{83}(X\le 67)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(83,X,67) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.