Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,75. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 27 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
360.4117
370.3091
380.2228
390.1545
400.1032
410.0666
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: P0.75n (X27) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.75n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.75n (X27) = 1 - P0.75n (X26) ≥ 0.9 |+ P0.75n (X26) - 0.9

0.1 ≥ P0.75n (X26) oder P0.75n (X26) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.75 ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.75⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
P0.75n (X26) ≈ 0.4117 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit P0.75n (X26) ≤ 0.1 oder eben P0.75n (X27) ≥ 0.9 gilt.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 61 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 35, aber höchstens 38 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

P0.661 (35X38) =

...
32
33
34
35
36
37
38
39
40
...

P0.661 (X38) - P0.661 (X34) ≈ 0.6877 - 0.2896 ≈ 0.3981
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.6,38) - binomcdf(61,0.6,34))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 15 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

Lösung einblenden
pP(X≤3)
......
1 5 0.6482
1 6 0.7685
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X3) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 15 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 15 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 44 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 44)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 70% mindestens 31 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden
pP(X≥31)=1-P(X≤30)
......
0.680.4333
0.690.4902
0.70.5479
0.710.6054
0.720.6615
0.730.7149
......

Es muss gelten: Pp44 (X31) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp44 (X30) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(44,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 47 Versuchen mindestens 14 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...
11
12
13
14
15
16
...

P0.247 (X14) = 1 - P0.247 (X13) = 0.0721
(TI-Befehl: 1-binomcdf(47,0.2,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 46 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=46⋅0.4 = 18.4

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 18.4, also 0.8⋅ 18.4 = 14.72 und 120% von 18.4, also 1.2⋅ 18.4 = 22.08

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 18.4 entfernt sein darf als 14.72 bzw. 22.08, muss sie also zwischen 15 und 22 liegen.

P0.446 (15X22) =

...
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...

P0.446 (X22) - P0.446 (X14) ≈ 0.8907 - 0.1193 ≈ 0.7714
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.4,22) - binomcdf(46,0.4,14))