Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,75. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 25 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
300.9021
310.8236
320.7221
330.6062
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: P0.75n (X25) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.75 ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.75⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
P0.75n (X25) ≈ 0.6062 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
8
9
10
11
12
13
...

P 1 6 62 (X11) = 1 - P 1 6 62 (X10) = 0.4622
(TI-Befehl: 1-binomcdf(62, 1 6 ,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 18 0.6202
4 19 0.6616
4 20 0.6982
4 21 0.7305
4 22 0.759
4 23 0.7841
4 24 0.8063
4 25 0.8258
4 26 0.8431
4 27 0.8584
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp14 (X3) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp14 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 14 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 14 ⋅14 der Erwartungswert und somit Pp14 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 14 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 18 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 27 sein.

Also werden noch 23 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 41 Wiederholungen 35 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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pP(X≥35)=1-P(X≤34)
......
0.840.5095
0.850.5805
0.860.6516
0.870.7202
0.880.7842
0.890.8413
......

Es muss gelten: Pp41 (X35) =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp41 (X34) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(41,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.89 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 13 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.5.

P0.523 (X=13) = ( 23 13 ) 0.513 0.510 =0.1363832950592≈ 0.1364
(TI-Befehl: binompdf(23,0.5,13))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.2 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.2 = 4.2

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 21 ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 = 3.36 1.83