Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
116	0.712
117	0.6973
118	0.6824
119	0.6673
120	0.652
121	0.6366
122	0.621
123	0.6053
124	0.5896
125	0.5738
126	0.5579
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{\frac{1}{6}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=116 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,82. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 63 Versuchen mindestens 45 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

42

43

44

45

46

47

...

P_{0.82}^{63} (X \geq 45)

= 1 -

P_{0.82}^{63} (X \leq 44)

= 0.9871
(TI-Befehl: 1-binomcdf(63,0.82,44))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{2}{5}$	0.9997
$\frac{2}{6}$	0.9923
$\frac{2}{7}$	0.9509
$\frac{2}{8}$	0.8524
$\frac{2}{9}$	0.7084
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 11)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{5}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 8 sein.

Also wären noch 6 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 72 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 48 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.54	0.9893
0.55	0.9835
0.56	0.9751
0.57	0.9635
0.58	0.9477
0.59	0.9268
0.6	0.8999
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \leq 48)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(72,X,48) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 72 Versuchen genau 48 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.7.

P_{0.7}^{72} (X = 48)

=

(\begin{matrix} 72 \\ 48 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{48} \cdot {0.3}^{24}

=0.082413328838947≈ 0.0824
(TI-Befehl: binompdf(72,0.7,48))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=78⋅0.6 = 46.8

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 46.8, also 0.8⋅ 46.8 = 37.44 und 120% von 46.8, also 1.2⋅ 46.8 = 56.16

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 46.8 entfernt sein darf als 37.44 bzw. 56.16, muss sie also zwischen 38 und 56 liegen.

$P_{0.6}^{78} (38 \leq X \leq 56)$ =

...

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

...

P_{0.6}^{78} (X \leq 56)

-

P_{0.6}^{78} (X \leq 37)

≈ 0.9889 - 0.0166 ≈ 0.9723
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.6,56) - binomcdf(78,0.6,37))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert