Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.7847
13	0.769
14	0.7536
15	0.7386
16	0.7238
17	0.7093
18	0.6951
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 50 Versuchen höchstens 35 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.65.

P_{0.65}^{50} (X \leq 35)

=

P_{0.65}^{50} (X = 0)

+

P_{0.65}^{50} (X = 1)

+

P_{0.65}^{50} (X = 2)

+... +

P_{0.65}^{50} (X = 35)

= 0.81222300971944 ≈ 0.8122
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.65,35))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.999
$\frac{1}{3}$	0.9827
$\frac{1}{4}$	0.9437
$\frac{1}{5}$	0.8926
$\frac{1}{6}$	0.8385
$\frac{1}{7}$	0.7859
$\frac{1}{8}$	0.7369
$\frac{1}{9}$	0.6921
$\frac{1}{10}$	0.6513
$\frac{1}{11}$	0.6145
$\frac{1}{12}$	0.5811
$\frac{1}{13}$	0.5509
$\frac{1}{14}$	0.5234
$\frac{1}{15}$	0.4984
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 14 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 20 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 82 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≤k)
...	...
0.14	0.9962
0.15	0.9915
0.16	0.9829
0.17	0.9684
0.18	0.946
0.19	0.9136
0.2	0.87
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{82} (X \leq 20)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(82,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 5 und höchstens 11 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 75 Glückskekse kauft?

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$P_{0.125}^{75} (6 \leq X \leq 11)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.125}^{75} (X \leq 11)

-

P_{0.125}^{75} (X \leq 5)

≈ 0.777 - 0.0804 ≈ 0.6966
(TI-Befehl: binomcdf(75,0.125,11) - binomcdf(75,0.125,5))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 78 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 78⋅0.55 ≈ 42.9,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{78\cdot0.55\cdot0.45}$ ≈ 4.39

47.29 (42.9 + 4.39) und 38.51 (42.9 - 4.39) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 42.9 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 39 und 47 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 39 und 47 liegt.

$P_{0.55}^{78} (39 \leq X \leq 47)$ =

...

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

...

P_{0.55}^{78} (X \leq 47)

-

P_{0.55}^{78} (X \leq 38)

≈ 0.8525 - 0.1583 ≈ 0.6942
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.55,47) - binomcdf(78,0.55,38))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ