Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% nicht über 20 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
21	0.8906
22	0.6608
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.9}$ ≈ 22 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.9⋅22) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=22:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.6608 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 72 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 18 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=0.25.

P_{0.25}^{72} (X \leq 18)

=

P_{0.25}^{72} (X = 0)

+

P_{0.25}^{72} (X = 1)

+

P_{0.25}^{72} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{72} (X = 18)

= 0.56289162490588 ≈ 0.5629
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.25,18))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{9}$	0.9998
$\frac{5}{10}$	0.9981
$\frac{6}{11}$	0.9924
$\frac{7}{12}$	0.9791
$\frac{8}{13}$	0.9552
$\frac{9}{14}$	0.9198
$\frac{10}{15}$	0.8738
$\frac{11}{16}$	0.8194
$\frac{12}{17}$	0.7594
$\frac{13}{18}$	0.6967
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{12}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 61 Ausspielungen nicht öfters als 58 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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p	P(X≤k)
...	...
0.86	0.994
0.87	0.9896
0.88	0.9822
0.89	0.9701
0.9	0.9509
0.91	0.9209
0.92	0.8755
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{61} (X \leq 58)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(61,X,58) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 17 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 80 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

14

15

16

17

18

19

...

P_{0.125}^{80} (X \geq 17)

= 1 -

P_{0.125}^{80} (X \leq 16)

= 0.019
(TI-Befehl: 1-binomcdf(80,0.125,16))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=55%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 57 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=57⋅0.55 = 31.35

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 31.35, also 0.9⋅ 31.35 = 28.215 und 110% von 31.35, also 1.1⋅ 31.35 = 34.485

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.35 entfernt sein darf als 28.215 bzw. 34.485, muss sie also zwischen 29 und 34 liegen.

$P_{0.55}^{57} (29 \leq X \leq 34)$ =

...

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

...

P_{0.55}^{57} (X \leq 34)

-

P_{0.55}^{57} (X \leq 28)

≈ 0.7987 - 0.2236 ≈ 0.5751
(TI-Befehl: binomcdf(57,0.55,34) - binomcdf(57,0.55,28))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert