Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 38 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
228	0.5432
229	0.5314
230	0.5196
231	0.5079
232	0.4961
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{\frac{1}{6}}$ ≈ 228 Versuchen auch ungefähr 38 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅228) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=228:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5432 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=231 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 1 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 43 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{43} (X \leq 1)

=

P_{\frac{1}{8}}^{43} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{43} (X = 1)

= 0.02292019162699 ≈ 0.0229
(TI-Befehl: binomcdf(43,1/8,1))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{3}{13}$	0.9995
$\frac{3}{14}$	0.9981
$\frac{3}{15}$	0.9944
$\frac{3}{16}$	0.9865
$\frac{3}{17}$	0.9722
$\frac{3}{18}$	0.9499
$\frac{3}{19}$	0.9183
$\frac{3}{20}$	0.8776
$\frac{3}{21}$	0.8285
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 13)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{13}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 20 sein.

Also wären noch 17 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 100 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 96 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.88	0.9985
0.89	0.9966
0.9	0.9922
0.91	0.9827
0.92	0.9633
0.93	0.9256
0.94	0.857
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{100} (X \leq 96)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(100,X,96) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.93 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 75 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 45 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.55.

P_{0.55}^{75} (X = 45)

=

(\begin{matrix} 75 \\ 45 \end{matrix}) \cdot {0.55}^{45} \cdot {0.45}^{30}

=0.063949363840525≈ 0.0639
(TI-Befehl: binompdf(75,0.55,45))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=52⋅0.6 = 31.2

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 31.2, also 0.8⋅ 31.2 = 24.96 und 120% von 31.2, also 1.2⋅ 31.2 = 37.44

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 31.2 entfernt sein darf als 24.96 bzw. 37.44, muss sie also zwischen 25 und 37 liegen.

$P_{0.6}^{52} (25 \leq X \leq 37)$ =

...

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

...

P_{0.6}^{52} (X \leq 37)

-

P_{0.6}^{52} (X \leq 24)

≈ 0.965 - 0.03 ≈ 0.935
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.6,37) - binomcdf(52,0.6,24))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert