Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 45% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 22 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
400.4349
410.3693
420.3087
430.2542
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X22) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.55n (X22) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X22) = 1 - P0.55n (X21) ≥ 0.7 |+ P0.55n (X21) - 0.7

0.3 ≥ P0.55n (X21) oder P0.55n (X21) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.55 ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.55⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
P0.55n (X21) ≈ 0.4349 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit P0.55n (X21) ≤ 0.3 oder eben P0.55n (X22) ≥ 0.7 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 47 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 9 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=47 und p= 1 6 .

P 1 6 47 (X=9) = ( 47 9 ) ( 1 6 )9 ( 5 6 )38 =0.1324754626183≈ 0.1325
(TI-Befehl: binompdf(47,1/6,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 50 Durchgänge reichen?

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pP(X≤7)
......
1 7 0.576
1 8 0.7165
1 9 0.8136
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp50 (X7) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp50 (X7) ('höchstens 7 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 7 50 . Mit diesem p wäre ja 7= 7 50 ⋅50 der Erwartungswert und somit Pp50 (X7) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 7 50 mit 1 7 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 7 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 82 Freiwürfen mindestens 57 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥57)=1-P(X≤56)
......
0.640.1779
0.650.2311
0.660.2926
0.670.3615
0.680.436
0.690.5137
......

Es muss gelten: Pp82 (X57) =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp82 (X56) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(82,X,56) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 46 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 10 mal eine sechs gewürfelt wird?

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P 1 6 46 (8X9) =

...
5
6
7
8
9
10
11
...

P 1 6 46 (X9) - P 1 6 46 (X7) ≈ 0.7723 - 0.4916 ≈ 0.2807
(TI-Befehl: binomcdf(46, 1 6 ,9) - binomcdf(46, 1 6 ,7))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 65 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=65⋅0.6 = 39

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 39, also 0.9⋅ 39 = 35.1 und 110% von 39, also 1.1⋅ 39 = 42.9

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 39 entfernt sein darf als 35.1 bzw. 42.9, muss sie also zwischen 36 und 42 liegen.

P0.665 (36X42) =

...
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
...

P0.665 (X42) - P0.665 (X35) ≈ 0.8117 - 0.1873 ≈ 0.6244
(TI-Befehl: binomcdf(65,0.6,42) - binomcdf(65,0.6,35))