Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 38 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.6164
43	0.4325
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.9}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.9⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.6164 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 97 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 47, aber höchstens 50 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.5}^{97} (47 \leq X \leq 50)$ =

...

44

45

46

47

48

49

50

51

52

...

P_{0.5}^{97} (X \leq 50)

-

P_{0.5}^{97} (X \leq 46)

≈ 0.6576 - 0.3424 ≈ 0.3152
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.5,50) - binomcdf(97,0.5,46))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 72 Freiwürfen mindestens 31 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥31)=1-P(X≤30)
...	...
0.38	0.2218
0.39	0.2775
0.4	0.339
0.41	0.4046
0.42	0.4727
0.43	0.5414
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{72} (X \geq 31)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{72} (X \leq 30)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 51 Versuchen mindestens 36 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

33

34

35

36

37

38

...

P_{0.7}^{51} (X \geq 36)

= 1 -

P_{0.7}^{51} (X \leq 35)

= 0.5325
(TI-Befehl: 1-binomcdf(51,0.7,35))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅ $\frac{1}{6}$ = 7.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 7.5, also 0.8⋅ 7.5 = 6 und 120% von 7.5, also 1.2⋅ 7.5 = 9

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 7.5 entfernt sein darf als 6 bzw. 9, muss sie also zwischen 6 und 9 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{45} (6 \leq X \leq 9)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

...

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 9)

-

P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 5)

≈ 0.793 - 0.2167 ≈ 0.5763
(TI-Befehl: binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,9) - binomcdf(45, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert