Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 60% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 23 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
580.4291
590.3883
600.3493
610.3123
620.2776
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: P0.4n (X23) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.4n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.4n (X23) = 1 - P0.4n (X22) ≥ 0.7 |+ P0.4n (X22) - 0.7

0.3 ≥ P0.4n (X22) oder P0.4n (X22) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.4 ≈ 58 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.4⋅58) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=58:
P0.4n (X22) ≈ 0.4291 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 62 sein, damit P0.4n (X22) ≤ 0.3 oder eben P0.4n (X23) ≥ 0.7 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 28 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=28 und p= 1 8 .

P 1 8 28 (X=4) = ( 28 4 ) ( 1 8 )4 ( 7 8 )24 =0.20279499623101≈ 0.2028
(TI-Befehl: binompdf(28,1/8,4))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
4 8 0.5
4 9 0.659
4 10 0.7712
4 11 0.8466
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp13 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp13 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 13 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 13 ⋅13 der Erwartungswert und somit Pp13 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 13 mit 4 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 72 Freiwürfen mindestens 69 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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pP(X≥69)=1-P(X≤68)
......
0.920.1625
0.930.2493
0.940.3663
0.950.5119
0.960.6747
0.970.8297
......

Es muss gelten: Pp72 (X69) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp72 (X68) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(72,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 13 und höchstens 20 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 93 Glückskekse kauft?

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P0.12593 (14X20) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
...

P0.12593 (X20) - P0.12593 (X13) ≈ 0.9951 - 0.7302 ≈ 0.2649
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.125,20) - binomcdf(93,0.125,13))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 70 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 70⋅0.45 ≈ 31.5,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 70 0.45 0.55 ≈ 4.16

35.66 (31.5 + 4.16) und 27.34 (31.5 - 4.16) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 31.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 28 und 35 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 28 und 35 liegt.

P0.4570 (28X35) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
...

P0.4570 (X35) - P0.4570 (X27) ≈ 0.8318 - 0.1684 ≈ 0.6634
(TI-Befehl: binomcdf(70,0.45,35) - binomcdf(70,0.45,27))