Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 16% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 60%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
13 | 0.6396 |
14 | 0.3932 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.84⋅14) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
≈ 0.3932
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 14 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 15 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 92 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(92,0.125,14))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 60 Durchgänge reichen?
p | P(X≤8) |
---|---|
... | ... |
0.5073 | |
0.6669 | |
0.7815 | |
0.8584 | |
0.9083 | |
0.9404 | |
0.9609 | |
... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.95 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 8 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 8=⋅60 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
13 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 95 Ausspielungen nicht öfters als 81 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
p | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
0.75 | 0.9947 |
0.76 | 0.9904 |
0.77 | 0.9831 |
0.78 | 0.9713 |
0.79 | 0.9529 |
0.8 | 0.9253 |
0.81 | 0.8857 |
... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(95,X,81) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,87. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 56 Versuchen mindestens 44 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(56,0.87,43))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 78 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 78⋅ ≈ 13,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.29
16.29 (13 + 3.29) und 9.71 (13 - 3.29) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 13 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 10 und 16 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 10 und 16 liegt.
(TI-Befehl: binomcdf(78,