Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 24 dieser Fehler begeht?

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nP(X≤k)
......
500.716
510.6699
520.6219
530.5729
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X24) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 0.45 ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.45⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
P0.45n (X24) ≈ 0.5729 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p= 1 6 .

P 1 6 51 (X7) = P 1 6 51 (X=0) + P 1 6 51 (X=1) + P 1 6 51 (X=2) +... + P 1 6 51 (X=7) = 0.36764401283242 ≈ 0.3676
(TI-Befehl: binomcdf(51,1/6,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
10 14 0.9998
11 15 0.9996
12 16 0.9992
13 17 0.9988
14 18 0.9981
15 19 0.9973
16 20 0.9962
17 21 0.9949
18 22 0.9934
19 23 0.9916
20 24 0.9895
21 25 0.9872
22 26 0.9846
23 27 0.9818
24 28 0.9788
25 29 0.9755
26 30 0.9721
27 31 0.9684
28 32 0.9645
29 33 0.9605
30 34 0.9562
31 35 0.9519
32 36 0.9474
33 37 0.9427
34 38 0.938
35 39 0.9332
36 40 0.9282
37 41 0.9232
38 42 0.9181
39 43 0.9129
40 44 0.9077
41 45 0.9024
42 46 0.8971
43 47 0.8918
44 48 0.8864
45 49 0.881
46 50 0.8756
47 51 0.8702
48 52 0.8648
49 53 0.8594
50 54 0.854
51 55 0.8486
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 10 14 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 50 54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 50 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 66 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 66).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 52 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.740.8483
0.750.8013
0.760.7454
0.770.681
0.780.6091
0.790.5316
0.80.4511
......

Es muss gelten: Pp66 (X52) =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(66,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 75 Versuchen genau 29 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.45.

P0.4575 (X=29) = ( 75 29 ) 0.4529 0.5546 =0.05097413059752≈ 0.051
(TI-Befehl: binompdf(75,0.45,29))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 33 und p = 0.25
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 33 und p = 0.25 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 33 ⋅ 0.25 = 8.25

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 33 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75 = 6.1875 2.49