Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 40 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
80	0.5445
81	0.5
82	0.4561
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.5}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.5⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5445 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 99 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 24 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

21

22

23

24

25

26

...

P_{0.25}^{99} (X \geq 24)

= 1 -

P_{0.25}^{99} (X \leq 23)

= 0.6072
(TI-Befehl: 1-binomcdf(99,0.25,23))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 15 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.6355
$\frac{1}{8}$	0.7132
$\frac{1}{9}$	0.7717
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{15}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 44 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 26 erkennen und dumm anlabern?

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p	P(X≤k)
...	...
0.45	0.9786
0.46	0.9708
0.47	0.9607
0.48	0.9479
0.49	0.9321
0.5	0.9129
0.51	0.8899
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{44} (X \leq 26)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(44,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 78% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen mindestens 64 und weniger als 76 trifft?

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$P_{0.78}^{89} (64 \leq X \leq 75)$ =

...

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

...

P_{0.78}^{89} (X \leq 75)

-

P_{0.78}^{89} (X \leq 63)

≈ 0.9449 - 0.0682 ≈ 0.8767
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.78,75) - binomcdf(89,0.78,63))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 79 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 79 und p = 0.95 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 79 ⋅ 0.95 = 75.05

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{79 ⋅ 0.95 ⋅ 0.05}$ = $\sqrt{3.7525}$ ≈ 1.94

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.