Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% nicht mehr als 32 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 187 | 0.611 |
| 188 | 0.5983 |
| 189 | 0.5855 |
| 190 | 0.5727 |
| 191 | 0.5599 |
| 192 | 0.547 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=187 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 mal, aber weniger als 14 mal eine sechs gewürfelt wird?
(TI-Befehl: binomcdf(57,
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9981 | |
| 0.9685 | |
| 0.8738 | |
| 0.7282 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 4 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 56 Ausspielungen nicht öfters als 35 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.49 | 0.9847 |
| 0.5 | 0.978 |
| 0.51 | 0.9689 |
| 0.52 | 0.9568 |
| 0.53 | 0.9413 |
| 0.54 | 0.9216 |
| 0.55 | 0.8973 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(56,X,35) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,19 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 41 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 10 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=41 und p=0.19.
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.19,10))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 72 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=72⋅0.7 = 50.4
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 50.4, also 0.8⋅ 50.4 = 40.32 und 120% von 50.4, also 1.2⋅ 50.4 = 60.48
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 50.4 entfernt sein darf als 40.32 bzw. 60.48, muss sie also zwischen 41 und 60 liegen.
(TI-Befehl: binomcdf(72,0.7,60) - binomcdf(72,0.7,40))
