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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 31 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.9657
33	0.8558
34	0.6745
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.9}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.9⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.6745 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 65 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 19 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{65} (X = 19)

=

(\begin{matrix} 65 \\ 19 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{19} \cdot {(\frac{3}{4})}^{46}

=0.080231372336079≈ 0.0802
(TI-Befehl: binompdf(65,1/4,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 50 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.6161
$\frac{1}{11}$	0.6991
$\frac{1}{12}$	0.7647
$\frac{1}{13}$	0.8158
$\frac{1}{14}$	0.8554
$\frac{1}{15}$	0.886
$\frac{1}{16}$	0.9096
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{50}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 16 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 69 Freiwürfen mindestens 20 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥20)=1-P(X≤19)
...	...
0.25	0.2613
0.26	0.3279
0.27	0.3992
0.28	0.4729
0.29	0.5465
0.3	0.6175
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{69} (X \geq 20)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{69} (X \leq 19)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(69,X,19) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 99 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 50 und höchstens 54 beträgt?

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$P_{0.45}^{99} (50 \leq X \leq 54)$ =

...

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

...

P_{0.45}^{99} (X \leq 54)

-

P_{0.45}^{99} (X \leq 49)

≈ 0.9775 - 0.8413 ≈ 0.1362
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.45,54) - binomcdf(99,0.45,49))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 49⋅ $\frac{1}{6}$ ≈ 8.17,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{49\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}$ ≈ 2.61

10.78 (8.17 + 2.61) und 5.56 (8.17 - 2.61) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.17 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

$P_{\frac{1}{6}}^{49} (6 \leq X \leq 10)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{49} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{49} (X \leq 5)

≈ 0.8171 - 0.1522 ≈ 0.6649
(TI-Befehl: binomcdf(49, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(49, $\frac{1}{6}$ ,5))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ