Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,06. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 1 | 0.94 |
| 2 | 0.8836 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.06⋅0) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
≈ 1
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 76 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 57 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
(TI-Befehl: 1-binomcdf(76,0.7,56))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6482 | |
| 0.6946 | |
| 0.7344 | |
| 0.7685 | |
| 0.7977 | |
| 0.8227 | |
| 0.8441 | |
| 0.8626 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.85 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅15 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
22 sein.
Also werden noch 19 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 79 Wiederholungen 64 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?
| p | P(X≥64)=1-P(X≤63) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.78 | 0.3117 |
| 0.79 | 0.3912 |
| 0.8 | 0.4777 |
| 0.81 | 0.5673 |
| 0.82 | 0.6559 |
| 0.83 | 0.739 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.7 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(79,X,63) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 81 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 20 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.3.
= =0.058208844117161≈ 0.0582(TI-Befehl: binompdf(81,0.3,20))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 57⋅ ≈ 9.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.81
12.31 (9.5 + 2.81) und 6.69 (9.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
(TI-Befehl: binomcdf(57,
