Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ = 1 - $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ oder $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 17% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{0.17}}$ ≈ 212 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.17⋅212) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=212:
$P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.4687 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=218 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 218 sein, damit $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.17}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{28}(X\le 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{28}(X\le 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{3}{5}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{9}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Es muss gelten: $P_p^{58}(X\le 28)$=0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(58,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.