Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% nicht mehr als 23 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1380.5554
1390.5402
1400.5251
1410.5101
1420.4951
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X23) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 1 6 ≈ 138 Versuchen auch ungefähr 23 (≈ 1 6 ⋅138) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=138:
P 1 6 n (X23) ≈ 0.5554 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=141 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 38 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.5.

P0.585 (X=38) = ( 85 38 ) 0.538 0.547 =0.053835065519364≈ 0.0538
(TI-Befehl: binompdf(85,0.5,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9995
1 3 0.9884
1 4 0.9578
1 5 0.9141
1 6 0.8654
1 7 0.8165
1 8 0.7698
1 9 0.7263
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X1) = 1- Pp11 (X0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 76 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 76).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 46 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.510.9626
0.520.9461
0.530.9242
0.540.896
0.550.8609
0.560.8185
0.570.7685
......

Es muss gelten: Pp76 (X46) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(76,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 1 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.05.

P0.0550 (X=1) = ( 50 1 ) 0.051 0.9549 =0.20248677704398≈ 0.2025
(TI-Befehl: binompdf(50,0.05,1))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 62 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=62⋅0.55 = 34.1

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 34.1, also 0.8⋅ 34.1 = 27.28 und 120% von 34.1, also 1.2⋅ 34.1 = 40.92

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 34.1 entfernt sein darf als 27.28 bzw. 40.92, muss sie also zwischen 28 und 40 liegen.

P0.5562 (28X40) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
...

P0.5562 (X40) - P0.5562 (X27) ≈ 0.95 - 0.0464 ≈ 0.9036
(TI-Befehl: binomcdf(62,0.55,40) - binomcdf(62,0.55,27))