Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 50%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 23 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.9002
40	0.8659
41	0.8256
42	0.7796
43	0.7288
44	0.6742
45	0.617
46	0.5585
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.5}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.5⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5585 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 22 Versuchen genau 9 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=22 und p=0.3.

P_{0.3}^{22} (X = 9)

=

(\begin{matrix} 22 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{9} \cdot {0.7}^{13}

=0.094861296462954≈ 0.0949
(TI-Befehl: binompdf(22,0.3,9))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9968
$\frac{1}{3}$	0.946
$\frac{1}{4}$	0.8416
$\frac{1}{5}$	0.7251
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 70% Wahrscheinlichkeit von 51 Freiwürfen mindestens 23 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥23)=1-P(X≤22)
...	...
0.43	0.4335
0.44	0.491
0.45	0.5485
0.46	0.6048
0.47	0.6589
0.48	0.7099
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{51} (X \geq 23)$ =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{51} (X \leq 22)$ =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(51,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 52 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 mal, aber weniger als 11 mal eine sechs gewürfelt wird?

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$P_{\frac{1}{6}}^{52} (5 \leq X \leq 10)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 10)

-

P_{\frac{1}{6}}^{52} (X \leq 4)

≈ 0.7594 - 0.0515 ≈ 0.7079
(TI-Befehl: binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,10) - binomcdf(52, $\frac{1}{6}$ ,4))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 59 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 59⋅0.5 ≈ 29.5,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{59\cdot0.5\cdot0.5}$ ≈ 3.84

33.34 (29.5 + 3.84) und 25.66 (29.5 - 3.84) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 29.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 26 und 33 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 26 und 33 liegt.

$P_{0.5}^{59} (26 \leq X \leq 33)$ =

...

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

...

P_{0.5}^{59} (X \leq 33)

-

P_{0.5}^{59} (X \leq 25)

≈ 0.8512 - 0.1488 ≈ 0.7024
(TI-Befehl: binomcdf(59,0.5,33) - binomcdf(59,0.5,25))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ