Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 39 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.8049
43	0.6352
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.9}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.9⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.6352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 97 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 61 und höchstens 65 beträgt?

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$P_{0.6}^{97} (61 \leq X \leq 65)$ =

...

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

...

P_{0.6}^{97} (X \leq 65)

-

P_{0.6}^{97} (X \leq 60)

≈ 0.9362 - 0.6812 ≈ 0.255
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.6,65) - binomcdf(97,0.6,60))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{5}{26}$	0.9997
$\frac{5}{27}$	0.9995
$\frac{5}{28}$	0.999
$\frac{5}{29}$	0.9983
$\frac{5}{30}$	0.9973
$\frac{5}{31}$	0.9958
$\frac{5}{32}$	0.9937
$\frac{5}{33}$	0.9909
$\frac{5}{34}$	0.9873
$\frac{5}{35}$	0.9828
$\frac{5}{36}$	0.9772
$\frac{5}{37}$	0.9704
$\frac{5}{38}$	0.9624
$\frac{5}{39}$	0.9531
$\frac{5}{40}$	0.9424
$\frac{5}{41}$	0.9305
$\frac{5}{42}$	0.9172
$\frac{5}{43}$	0.9027
$\frac{5}{44}$	0.8869
$\frac{5}{45}$	0.87
$\frac{5}{46}$	0.852
$\frac{5}{47}$	0.833
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 9)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{26}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{46}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 46 sein.

Also wären noch 41 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft verkauft 86 Flugtickets für einen bestimmten Flug. Das sind 76 Tickets mehr, als das Flugzeug Plätze hat. Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer nicht mitfliegt, mindestens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

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p	P(X≥76)=1-P(X≤75)
...	...
0.87	0.4288
0.88	0.5406
0.89	0.6544
0.9	0.7608
0.91	0.8509
0.92	0.9185
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{86} (X \geq 76)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{86} (X \leq 75)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(86,X,75) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als 6 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 36 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=36 und p= $\frac{1}{8}$ .

P_{\frac{1}{8}}^{36} (X \leq 6)

=

P_{\frac{1}{8}}^{36} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{8}}^{36} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{8}}^{36} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{8}}^{36} (X = 6)

= 0.84439084859651 ≈ 0.8444
(TI-Befehl: binomcdf(36,1/8,6))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 90 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅ $\frac{1}{6}$ = 15

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 15, also 0.8⋅ 15 = 12 und 120% von 15, also 1.2⋅ 15 = 18

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 15 entfernt sein darf als 12 bzw. 18, muss sie also zwischen 12 und 18 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{90} (12 \leq X \leq 18)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

...

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \leq 18)

-

P_{\frac{1}{6}}^{90} (X \leq 11)

≈ 0.8394 - 0.1609 ≈ 0.6785
(TI-Befehl: binomcdf(90, $\frac{1}{6}$ ,18) - binomcdf(90, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert