Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 39 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 217 | 0.9044 |
| 218 | 0.8992 |
| 219 | 0.8939 |
| 220 | 0.8884 |
| 221 | 0.8827 |
| 222 | 0.8768 |
| 223 | 0.8707 |
| 224 | 0.8644 |
| 225 | 0.858 |
| 226 | 0.8513 |
| 227 | 0.8445 |
| 228 | 0.8375 |
| 229 | 0.8304 |
| 230 | 0.823 |
| 231 | 0.8155 |
| 232 | 0.8078 |
| 233 | 0.8 |
| 234 | 0.792 |
| 235 | 0.7838 |
| 236 | 0.7754 |
| 237 | 0.767 |
| 238 | 0.7583 |
| 239 | 0.7495 |
| 240 | 0.7406 |
| 241 | 0.7316 |
| 242 | 0.7224 |
| 243 | 0.7131 |
| 244 | 0.7037 |
| 245 | 0.6942 |
| 246 | 0.6845 |
| 247 | 0.6748 |
| 248 | 0.665 |
| 249 | 0.6551 |
| 250 | 0.6451 |
| 251 | 0.6351 |
| 252 | 0.625 |
| 253 | 0.6148 |
| 254 | 0.6046 |
| 255 | 0.5943 |
| 256 | 0.584 |
| 257 | 0.5737 |
| 258 | 0.5633 |
| 259 | 0.553 |
| 260 | 0.5426 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 260 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.15⋅260) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=260:
≈ 0.5426
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=217 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 81 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 18 mal, aber weniger als 23 mal eine sechs gewürfelt wird?
=
(TI-Befehl: binomcdf(81,,22) - binomcdf(81,,18))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
Ein neuer Multiple Choice Test mit 16 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5981 | |
| 0.7291 | |
| 0.8143 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅16 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens
7 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 48 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 48)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 29 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥29)=1-P(X≤28) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.61 | 0.5951 |
| 0.62 | 0.6497 |
| 0.63 | 0.7016 |
| 0.64 | 0.7501 |
| 0.65 | 0.7944 |
| 0.66 | 0.834 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(48,X,28) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.66 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Eine Münze wird 100 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 49 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p=0.5.
= =0.078028664105077≈ 0.078(TI-Befehl: binompdf(100,0.5,49))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 41 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 41⋅0.35 ≈ 14.35,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.05
17.4 (14.35 + 3.05) und 11.3 (14.35 - 3.05) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 14.35 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 12 und 17 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 12 und 17 liegt.
=
(TI-Befehl: binomcdf(41,0.35,17) - binomcdf(41,0.35,11))
