Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% nicht mehr als 28 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1560.7102
1570.6975
1580.6847
1590.6718
1600.6586
1610.6454
1620.632
1630.6185
1640.605
1650.5913
1660.5777
1670.564
1680.5502
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X28) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 1 6 ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 28 (≈ 1 6 ⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
P 1 6 n (X28) ≈ 0.5502 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=156 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 10 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=63 und p= 1 6 .

P 1 6 63 (X=10) = ( 63 10 ) ( 1 6 )10 ( 5 6 )53 =0.13440984625038≈ 0.1344
(TI-Befehl: binompdf(63,1/6,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.9893
1 3 0.896
1 4 0.756
1 5 0.6242
1 6 0.5155
1 7 0.4292
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp10 (X2) = 1- Pp10 (X1) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp10 (X2) ('mindestens 2 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 60 Ausspielungen nicht öfters als 47 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.660.987
0.670.9806
0.680.9717
0.690.9596
0.70.9432
0.710.9218
0.720.8944
......

Es muss gelten: Pp60 (X47) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(60,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 76 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 28 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.27.

P0.2776 (X28) = P0.2776 (X=0) + P0.2776 (X=1) + P0.2776 (X=2) +... + P0.2776 (X=28) = 0.97778889173765 ≈ 0.9778
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.27,28))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 76 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=76⋅ 1 6 = 12.666666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.667, also 0.8⋅ 12.667 = 10.133 und 120% von 12.666666666667, also 1.2⋅ 12.667 = 15.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.666666666667 entfernt sein darf als 10.133 bzw. 15.2, muss sie also zwischen 11 und 15 liegen.

P 1 6 76 (11X15) =

...
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
...

P 1 6 76 (X15) - P 1 6 76 (X10) ≈ 0.8109 - 0.2588 ≈ 0.5521
(TI-Befehl: binomcdf(76, 1 6 ,15) - binomcdf(76, 1 6 ,10))