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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,45. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% maximal 24 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
50	0.716
51	0.6699
52	0.6219
53	0.5729
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.45}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.45⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5729 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 7 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X \leq 7)

=

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X = 0)

+

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X = 1)

+

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X = 2)

+... +

P_{\frac{1}{6}}^{51} (X = 7)

= 0.36764401283242 ≈ 0.3676
(TI-Befehl: binomcdf(51,1/6,7))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{10}{14}$	0.9998
$\frac{11}{15}$	0.9996
$\frac{12}{16}$	0.9992
$\frac{13}{17}$	0.9988
$\frac{14}{18}$	0.9981
$\frac{15}{19}$	0.9973
$\frac{16}{20}$	0.9962
$\frac{17}{21}$	0.9949
$\frac{18}{22}$	0.9934
$\frac{19}{23}$	0.9916
$\frac{20}{24}$	0.9895
$\frac{21}{25}$	0.9872
$\frac{22}{26}$	0.9846
$\frac{23}{27}$	0.9818
$\frac{24}{28}$	0.9788
$\frac{25}{29}$	0.9755
$\frac{26}{30}$	0.9721
$\frac{27}{31}$	0.9684
$\frac{28}{32}$	0.9645
$\frac{29}{33}$	0.9605
$\frac{30}{34}$	0.9562
$\frac{31}{35}$	0.9519
$\frac{32}{36}$	0.9474
$\frac{33}{37}$	0.9427
$\frac{34}{38}$	0.938
$\frac{35}{39}$	0.9332
$\frac{36}{40}$	0.9282
$\frac{37}{41}$	0.9232
$\frac{38}{42}$	0.9181
$\frac{39}{43}$	0.9129
$\frac{40}{44}$	0.9077
$\frac{41}{45}$	0.9024
$\frac{42}{46}$	0.8971
$\frac{43}{47}$	0.8918
$\frac{44}{48}$	0.8864
$\frac{45}{49}$	0.881
$\frac{46}{50}$	0.8756
$\frac{47}{51}$	0.8702
$\frac{48}{52}$	0.8648
$\frac{49}{53}$	0.8594
$\frac{50}{54}$	0.854
$\frac{51}{55}$	0.8486
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{10}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{50}{54}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 50 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 66 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 66).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 52 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≤k)
...	...
0.74	0.8483
0.75	0.8013
0.76	0.7454
0.77	0.681
0.78	0.6091
0.79	0.5316
0.8	0.4511
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{66} (X \leq 52)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(66,X,52) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.79 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 75 Versuchen genau 29 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=0.45.

P_{0.45}^{75} (X = 29)

=

(\begin{matrix} 75 \\ 29 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{29} \cdot {0.55}^{46}

=0.05097413059752≈ 0.051
(TI-Befehl: binompdf(75,0.45,29))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 33 und p = 0.25
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 33 und p = 0.25 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 33 ⋅ 0.25 = 8.25

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{33 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75}$ = $\sqrt{6.1875}$ ≈ 2.49

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.