Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% nicht mehr als 38 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 204 | 0.8028 |
| 205 | 0.7937 |
| 206 | 0.7844 |
| 207 | 0.7749 |
| 208 | 0.7653 |
| 209 | 0.7554 |
| 210 | 0.7454 |
| 211 | 0.7351 |
| 212 | 0.7247 |
| 213 | 0.7142 |
| 214 | 0.7035 |
| 215 | 0.6926 |
| 216 | 0.6817 |
| 217 | 0.6706 |
| 218 | 0.6593 |
| 219 | 0.648 |
| 220 | 0.6366 |
| 221 | 0.6251 |
| 222 | 0.6135 |
| 223 | 0.6019 |
| 224 | 0.5902 |
| 225 | 0.5785 |
| 226 | 0.5667 |
| 227 | 0.555 |
| 228 | 0.5432 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 228 Versuchen auch ungefähr 38
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=228:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=204 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Würfel wird 39 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass nicht öfter als 5 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an.
X ist binomialverteilt mit n=39 und p=
(TI-Befehl: binomcdf(39,1/6,5))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9994 | |
| 0.9976 | |
| 0.9933 | |
| 0.9851 | |
| 0.9722 | |
| 0.9542 | |
| 0.9312 | |
| 0.9038 | |
| 0.8727 | |
| 0.8388 | |
| 0.803 | |
| 0.766 | |
| 0.7285 | |
| 0.6912 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 17 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 96 Stück nur an, wenn nicht mehr als 68 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6 | 0.9896 |
| 0.61 | 0.9827 |
| 0.62 | 0.9723 |
| 0.63 | 0.957 |
| 0.64 | 0.9353 |
| 0.65 | 0.9056 |
| 0.66 | 0.8666 |
| ... | ... |
Es muss gelten:
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(96,X,68) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 94 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 24 mal eine sechs gewürfelt wird?
(TI-Befehl: binomcdf(94,
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 39 und p = 0.45
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 39 und p = 0.45 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 39 ⋅ 0.45 = 17.55
Standardabweichung S(X) =
