Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,75. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% maximal 25 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
30	0.9021
31	0.8236
32	0.7221
33	0.6062
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.75}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.75⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.6062 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Würfel wird 62 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...

8

9

10

11

12

13

...

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \geq 11)

= 1 -

P_{\frac{1}{6}}^{62} (X \leq 10)

= 0.4622
(TI-Befehl: 1-binomcdf(62, $\frac{1}{6}$ ,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{4}{18}$	0.6202
$\frac{4}{19}$	0.6616
$\frac{4}{20}$	0.6982
$\frac{4}{21}$	0.7305
$\frac{4}{22}$	0.759
$\frac{4}{23}$	0.7841
$\frac{4}{24}$	0.8063
$\frac{4}{25}$	0.8258
$\frac{4}{26}$	0.8431
$\frac{4}{27}$	0.8584
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{27}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 27 sein.

Also werden noch 23 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 41 Wiederholungen 35 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

Lösung einblenden

p	P(X≥35)=1-P(X≤34)
...	...
0.84	0.5095
0.85	0.5805
0.86	0.6516
0.87	0.7202
0.88	0.7842
0.89	0.8413
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{41} (X \geq 35)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{41} (X \leq 34)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(41,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.89 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Eine Münze wird 23 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 13 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=23 und p=0.5.

P_{0.5}^{23} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 23 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{13} \cdot {0.5}^{10}

=0.1363832950592≈ 0.1364
(TI-Befehl: binompdf(23,0.5,13))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.2 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.2 = 4.2

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{21 ⋅ 0.2 ⋅ 0.8}$ = $\sqrt{3.36}$ ≈ 1.83

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Erwartungswert, Standardabweichung best.