Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 31 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 62 | 0.8211 |
| 63 | 0.7878 |
| 64 | 0.7518 |
| 65 | 0.7134 |
| 66 | 0.673 |
| 67 | 0.6311 |
| 68 | 0.5882 |
| 69 | 0.5449 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.45⋅69) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
≈ 0.5449
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 44 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips mindestens 24 und höchstens 32 beträgt?
=
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.65,32) - binomcdf(44,0.65,23))
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9982 | |
| 0.9923 | |
| 0.9793 | |
| 0.9578 | |
| 0.9282 | |
| 0.8921 | |
| 0.8512 | |
| 0.8075 | |
| 0.7625 | |
| ... | ... |
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 91 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 83 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.82 | 0.9956 |
| 0.83 | 0.9916 |
| 0.84 | 0.9843 |
| 0.85 | 0.9718 |
| 0.86 | 0.951 |
| 0.87 | 0.9179 |
| 0.88 | 0.8679 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(91,X,83) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.87 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 10%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 89 Versuchen nicht mehr als 3 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.1.
= + + + = 0.018199199202557 ≈ 0.0182(TI-Befehl: binomcdf(89,0.1,3))
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 92 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=92⋅0.6 = 55.2
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 55.2, also 0.8⋅ 55.2 = 44.16 und 120% von 55.2, also 1.2⋅ 55.2 = 66.24
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 55.2 entfernt sein darf als 44.16 bzw. 66.24, muss sie also zwischen 45 und 66 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.6,66) - binomcdf(92,0.6,44))
