Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Der, dessen Name nicht genannt werden darf, testet Zauber um seine Nase wiederherzustellen. Ein solcher Versuch endet zu 40% mit einer Konfettiexplosion. Wie viele Versuche muss er mindestens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 37 Nasen hat.

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nP(X≤k)
......
600.5489
610.4861
620.4248
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der geglückten Nasen-Zauberversuche an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X37) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.6n (X37) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.6n (X37) = 1 - P0.6n (X36) ≥ 0.5 |+ P0.6n (X36) - 0.5

0.5 ≥ P0.6n (X36) oder P0.6n (X36) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 37 0.6 ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.6⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
P0.6n (X36) ≈ 0.4248 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 61 sein, damit P0.6n (X36) ≤ 0.5 oder eben P0.6n (X37) ≥ 0.5 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen genau 10 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.1.

P0.156 (X=10) = ( 56 10 ) 0.110 0.946 =0.027969934327602≈ 0.028
(TI-Befehl: binompdf(56,0.1,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
3 20 0.6477
3 21 0.6822
3 22 0.7131
3 23 0.7407
3 24 0.7653
3 25 0.7873
3 26 0.807
3 27 0.8246
3 28 0.8403
3 29 0.8544
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X3) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 20 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 20 mit 3 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 20 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 29 sein.

Also werden noch 26 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 100 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 100)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 75 Treffer erzielt werden?

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pP(X≥75)=1-P(X≤74)
......
0.710.2222
0.720.2929
0.730.3737
0.740.4619
0.750.5535
0.760.6439
......

Es muss gelten: Pp100 (X75) =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp100 (X74) =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(100,X,74) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 76 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,1.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 9 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.1.

P0.176 (X9) = P0.176 (X=0) + P0.176 (X=1) + P0.176 (X=2) +... + P0.176 (X=9) = 0.77376607394789 ≈ 0.7738
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.1,9))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 82 und p = 0.75
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 82 und p = 0.75 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 82 ⋅ 0.75 = 61.5

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 82 ⋅ 0.75 ⋅ 0.25 = 15.375 3.92