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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 35 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
38	0.7463
39	0.5563
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.9}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.9⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5563 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 87 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 13 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p= $\frac{1}{4}$ .

P_{\frac{1}{4}}^{87} (X = 13)

=

(\begin{matrix} 87 \\ 13 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{13} \cdot {(\frac{3}{4})}^{74}

=0.0086644984512382≈ 0.0087
(TI-Befehl: binompdf(87,1/4,13))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.8125
$\frac{1}{3}$	0.5391
$\frac{1}{4}$	0.3672
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{5} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{5} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{5} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 90% Wahrscheinlichkeit von 76 Freiwürfen mindestens 27 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.38	0.7107
0.39	0.7686
0.4	0.819
0.41	0.8618
0.42	0.8969
0.43	0.925
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{76} (X \geq 27)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{76} (X \leq 26)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(76,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 64 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 14 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{64} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.25}^{64} (X \leq 13)

= 0.761
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.25,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 96 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=96⋅ $\frac{1}{6}$ = 16

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 16, also 0.8⋅ 16 = 12.8 und 120% von 16, also 1.2⋅ 16 = 19.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 16 entfernt sein darf als 12.8 bzw. 19.2, muss sie also zwischen 13 und 19 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{96} (13 \leq X \leq 19)$ =

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

...

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 19)

-

P_{\frac{1}{6}}^{96} (X \leq 12)

≈ 0.832 - 0.1693 ≈ 0.6627
(TI-Befehl: binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,19) - binomcdf(96, $\frac{1}{6}$ ,12))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert