Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 50%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 32 grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
600.7405
610.6955
620.6482
630.5993
640.5497
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X32) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 32 0.5 ≈ 64 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.5⋅64) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=64:
P0.5n (X32) ≈ 0.5497 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 88% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 46 Versuchen mindestens 36 und weniger als 41 trifft?

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P0.8846 (36X40) =

...
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
...

P0.8846 (X40) - P0.8846 (X35) ≈ 0.4802 - 0.0181 ≈ 0.4621
(TI-Befehl: binomcdf(46,0.88,40) - binomcdf(46,0.88,35))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
6 10 0.9998
7 11 0.9993
8 12 0.9982
9 13 0.996
10 14 0.9923
11 15 0.9868
12 16 0.9793
13 17 0.9696
14 18 0.9578
15 19 0.9439
16 20 0.9282
17 21 0.9109
18 22 0.8921
19 23 0.8721
20 24 0.8512
21 25 0.8296
22 26 0.8075
23 27 0.7851
24 28 0.7625
25 29 0.7399
26 30 0.7174
27 31 0.6952
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp27 (X24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp27 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 6 10 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 26 30 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 26 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 62 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 62).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 70% höchstens 22 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.280.9244
0.290.8954
0.30.8596
0.310.817
0.320.7678
0.330.7127
0.340.6527
......

Es muss gelten: Pp62 (X22) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(62,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,18 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 24 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 2 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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0
1
2
3
4
...

P0.1824 (X2) = 1 - P0.1824 (X1) = 0.9465
(TI-Befehl: 1-binomcdf(24,0.18,1))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 87 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅ 1 6 = 14.5

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.5, also 0.8⋅ 14.5 = 11.6 und 120% von 14.5, also 1.2⋅ 14.5 = 17.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.5 entfernt sein darf als 11.6 bzw. 17.4, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

P 1 6 87 (12X17) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 87 (X17) - P 1 6 87 (X11) ≈ 0.8084 - 0.1962 ≈ 0.6122
(TI-Befehl: binomcdf(87, 1 6 ,17) - binomcdf(87, 1 6 ,11))