Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßig exzessiven Alkoholgenuss bei 11% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
130.427
140.1939
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: P0.89n (X12) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.89n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.89n (X12) = 1 - P0.89n (X11) ≥ 0.7 |+ P0.89n (X11) - 0.7

0.3 ≥ P0.89n (X11) oder P0.89n (X11) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.89 ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.89⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
P0.89n (X11) ≈ 0.427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 14 sein, damit P0.89n (X11) ≤ 0.3 oder eben P0.89n (X12) ≥ 0.7 gilt.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 59 Versuchen genau 38 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=59 und p=0.75.

P0.7559 (X=38) = ( 59 38 ) 0.7538 0.2521 =0.021097325750255≈ 0.0211
(TI-Befehl: binompdf(59,0.75,38))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
3 7 0.5199
3 8 0.6852
3 9 0.797
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 15 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 15 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 7 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 9 sein.

Also werden noch 6 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 41 Ausspielungen nicht öfters als 26 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.490.9779
0.50.9702
0.510.9605
0.520.9483
0.530.9332
0.540.915
0.550.8933
......

Es muss gelten: Pp41 (X26) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(41,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 99 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 mal, aber weniger als 26 mal eine sechs gewürfelt wird?

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P 1 6 99 (8X25) =

...
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
...

P 1 6 99 (X25) - P 1 6 99 (X7) ≈ 0.9896 - 0.0042 ≈ 0.9854
(TI-Befehl: binomcdf(99, 1 6 ,25) - binomcdf(99, 1 6 ,7))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 93 und p = 0.25
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 93 und p = 0.25 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 93 ⋅ 0.25 = 23.25

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 93 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75 = 17.4375 4.18