Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
6	0.8858
7	0.8681
8	0.8508
9	0.8337
10	0.8171
11	0.8007
12	0.7847
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 52 Versuchen, mehr als 20 mal und höchstens 26 mal im grünen Bereich zu landen?

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$P_{0.5}^{52} (21 \leq X \leq 26)$ =

...

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

...

P_{0.5}^{52} (X \leq 26)

-

P_{0.5}^{52} (X \leq 20)

≈ 0.5551 - 0.0632 ≈ 0.4919
(TI-Befehl: binomcdf(52,0.5,26) - binomcdf(52,0.5,20))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{11}$	0.9997
$\frac{9}{12}$	0.9992
$\frac{10}{13}$	0.9986
$\frac{11}{14}$	0.9976
$\frac{12}{15}$	0.9962
$\frac{13}{16}$	0.9944
$\frac{14}{17}$	0.9922
$\frac{15}{18}$	0.9895
$\frac{16}{19}$	0.9864
$\frac{17}{20}$	0.9828
$\frac{18}{21}$	0.9788
$\frac{19}{22}$	0.9744
$\frac{20}{23}$	0.9696
$\frac{21}{24}$	0.9645
$\frac{22}{25}$	0.9591
$\frac{23}{26}$	0.9533
$\frac{24}{27}$	0.9474
$\frac{25}{28}$	0.9412
$\frac{26}{29}$	0.9348
$\frac{27}{30}$	0.9282
$\frac{28}{31}$	0.9215
$\frac{29}{32}$	0.9147
$\frac{30}{33}$	0.9077
$\frac{31}{34}$	0.9007
$\frac{32}{35}$	0.8936
$\frac{33}{36}$	0.8864
$\frac{34}{37}$	0.8792
$\frac{35}{38}$	0.872
$\frac{36}{39}$	0.8648
$\frac{37}{40}$	0.8576
$\frac{38}{41}$	0.8504
$\frac{39}{42}$	0.8432
$\frac{40}{43}$	0.836
$\frac{41}{44}$	0.8289
$\frac{42}{45}$	0.8218
$\frac{43}{46}$	0.8147
$\frac{44}{47}$	0.8077
$\frac{45}{48}$	0.8008
$\frac{46}{49}$	0.7939
$\frac{47}{50}$	0.7871
$\frac{48}{51}$	0.7803
$\frac{49}{52}$	0.7736
$\frac{50}{53}$	0.767
$\frac{51}{54}$	0.7604
$\frac{52}{55}$	0.754
$\frac{53}{56}$	0.7475
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{11}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{52}{55}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 52 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 65 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 65)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 60% mindestens 48 Treffer erzielt werden?

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p	P(X≥48)=1-P(X≤47)
...	...
0.7	0.2988
0.71	0.3625
0.72	0.4312
0.73	0.5031
0.74	0.5759
0.75	0.6475
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \geq 48)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{65} (X \leq 47)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(65,X,47) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 32 Versuchen höchstens 23 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=32 und p=0.75.

P_{0.75}^{32} (X \leq 23)

=

P_{0.75}^{32} (X = 0)

+

P_{0.75}^{32} (X = 1)

+

P_{0.75}^{32} (X = 2)

+... +

P_{0.75}^{32} (X = 23)

= 0.40648834849733 ≈ 0.4065
(TI-Befehl: binomcdf(32,0.75,23))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,55 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 98 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=98⋅0.55 = 53.9

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 53.9, also 0.9⋅ 53.9 = 48.51 und 110% von 53.9, also 1.1⋅ 53.9 = 59.29

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 53.9 entfernt sein darf als 48.51 bzw. 59.29, muss sie also zwischen 49 und 59 liegen.

$P_{0.55}^{98} (49 \leq X \leq 59)$ =

...

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

...

P_{0.55}^{98} (X \leq 59)

-

P_{0.55}^{98} (X \leq 48)

≈ 0.8725 - 0.1365 ≈ 0.736
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.55,59) - binomcdf(98,0.55,48))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert