Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 40 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
43	0.8176
44	0.6534
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.9}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.9⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.6534 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 73 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 45 mal eine blaue Kugel gezogen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.7.

P_{0.7}^{73} (X = 45)

=

(\begin{matrix} 73 \\ 45 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{45} \cdot {0.3}^{28}

=0.030003573981616≈ 0.03
(TI-Befehl: binompdf(73,0.7,45))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{3}{8}$	0.9989
$\frac{3}{9}$	0.9923
$\frac{3}{10}$	0.9705
$\frac{3}{11}$	0.9246
$\frac{3}{12}$	0.8524
$\frac{3}{13}$	0.7596
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 11)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 12 sein.

Also wären noch 9 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 85 Ausspielungen nicht öfters als 66 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.67	0.9883
0.68	0.9811
0.69	0.9703
0.7	0.9545
0.71	0.9323
0.72	0.9021
0.73	0.8625
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{85} (X \leq 66)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(85,X,66) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen genau 30 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.4.

P_{0.4}^{87} (X = 30)

=

(\begin{matrix} 87 \\ 30 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{30} \cdot {0.6}^{57}

=0.051149093913375≈ 0.0511
(TI-Befehl: binompdf(87,0.4,30))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 85 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=85⋅ $\frac{1}{6}$ = 14.166666666667

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.167, also 0.8⋅ 14.167 = 11.333 und 120% von 14.166666666667, also 1.2⋅ 14.167 = 17

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.166666666667 entfernt sein darf als 11.333 bzw. 17, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

$P_{\frac{1}{6}}^{85} (12 \leq X \leq 17)$ =

...

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{85} (X \leq 11)

≈ 0.8348 - 0.2227 ≈ 0.6121
(TI-Befehl: binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(85, $\frac{1}{6}$ ,11))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert