Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 22 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
24	0.7075
25	0.4629
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.9}$ ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.9⋅24) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.7075 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 99 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 57, aber höchstens 59 Treffer zu erzielen?

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$P_{0.55}^{99} (57 \leq X \leq 59)$ =

...

54

55

56

57

58

59

60

61

...

P_{0.55}^{99} (X \leq 59)

-

P_{0.55}^{99} (X \leq 56)

≈ 0.8462 - 0.6595 ≈ 0.1867
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.55,59) - binomcdf(99,0.55,56))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{9}$	0.9994
$\frac{5}{10}$	0.9959
$\frac{6}{11}$	0.9848
$\frac{7}{12}$	0.9608
$\frac{8}{13}$	0.9213
$\frac{9}{14}$	0.8671
$\frac{10}{15}$	0.8014
$\frac{11}{16}$	0.7287
$\frac{12}{17}$	0.6534
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{11}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 47 Wiederholungen 25 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 90% liegt?

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p	P(X≥25)=1-P(X≤24)
...	...
0.57	0.7511
0.58	0.7933
0.59	0.8311
0.6	0.8644
0.61	0.893
0.62	0.9171
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{47} (X \geq 25)$ =0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{47} (X \leq 24)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(47,X,24) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 14 und höchstens 16 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 87 Glückskekse kauft?

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$P_{0.125}^{87} (15 \leq X \leq 16)$ =

...

12

13

14

15

16

17

18

...

P_{0.125}^{87} (X \leq 16)

-

P_{0.125}^{87} (X \leq 14)

≈ 0.9599 - 0.8778 ≈ 0.0821
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.125,16) - binomcdf(87,0.125,14))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 53 und p = 0.6
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 53 und p = 0.6 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 53 ⋅ 0.6 = 31.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{53 ⋅ 0.6 ⋅ 0.4}$ = $\sqrt{12.72}$ ≈ 3.57

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.