Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ = 1 - $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ oder $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{0.85}}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.85⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≈ 0.3741 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\le 27)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.85}^{\mathrm{n}}(X\ge 28)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{18}(X\le 2)$=0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{18}(X\le 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=$\frac{2}{18}$. Mit diesem p wäre ja 2=$\frac{2}{18}$⋅18 der Erwartungswert und somit $P_p^{18}(X\le 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p=$\frac{2}{18}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Es muss gelten: $P_p^{77}(X\ge 70)$=0.9 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_p^{77}(X\le 69)$=0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(77,X,69) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.