Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,25. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% maximal 26 dieser Fehler begeht?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
104	0.5524
105	0.5299
106	0.5075
107	0.4852
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.25}$ ≈ 104 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.25⋅104) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=104:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5524 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=106 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,95. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 79 Versuchen mindestens 72 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

...

69

70

71

72

73

74

...

P_{0.95}^{79} (X \geq 72)

= 1 -

P_{0.95}^{79} (X \leq 71)

= 0.9562
(TI-Befehl: 1-binomcdf(79,0.95,71))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤21)
...	...
$\frac{2}{4}$	0.9997
$\frac{3}{5}$	0.9934
$\frac{4}{6}$	0.9642
$\frac{5}{7}$	0.9028
$\frac{6}{8}$	0.8156
$\frac{7}{9}$	0.7164
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{4}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{6}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 78 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 30 erkennen und dumm anlabern?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.27	0.9902
0.28	0.9833
0.29	0.9729
0.3	0.9578
0.31	0.9369
0.32	0.909
0.33	0.8734
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{78} (X \leq 30)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(78,X,30) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 mal, aber weniger als 18 mal eine sechs gewürfelt wird?

Lösung einblenden

$P_{\frac{1}{6}}^{86} (11 \leq X \leq 17)$ =

...

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 17)

-

P_{\frac{1}{6}}^{86} (X \leq 10)

≈ 0.8218 - 0.1315 ≈ 0.6903
(TI-Befehl: binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,17) - binomcdf(86, $\frac{1}{6}$ ,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 21 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 21 und p = 0.4 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 21 ⋅ 0.4 = 8.4

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{21 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6}$ = $\sqrt{5.04}$ ≈ 2.24

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.