Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Im einem Mathekurs beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein klassischer GeSchwa-Fehler begangen wird, p=0,5. Wie viele Aufgaben kann ein Schüler höchstens machen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% maximal 24 dieser Fehler begeht?

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n	P(X≤k)
...	...
47	0.6146
48	0.5573
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.5}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.5⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5573 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 63 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 mal, aber weniger als 16 mal eine sechs gewürfelt wird?

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$P_{\frac{1}{6}}^{63} (4 \leq X \leq 15)$ =

...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

...

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X \leq 15)

-

P_{\frac{1}{6}}^{63} (X \leq 3)

≈ 0.949 - 0.0042 ≈ 0.9448
(TI-Befehl: binomcdf(63, $\frac{1}{6}$ ,15) - binomcdf(63, $\frac{1}{6}$ ,3))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.8906
$\frac{1}{3}$	0.6488
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{6} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{6} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{2}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 60% Wahrscheinlichkeit von 93 Freiwürfen mindestens 76 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥76)=1-P(X≤75)
...	...
0.78	0.2327
0.79	0.3092
0.8	0.3971
0.81	0.4931
0.82	0.592
0.83	0.6879
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{93} (X \geq 76)$ =0.6 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{93} (X \leq 75)$ =0.6 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(93,X,75) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.6 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 87 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon nicht mehr als 31 defekte Chips enthalten sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=87 und p=0.27.

P_{0.27}^{87} (X \leq 31)

=

P_{0.27}^{87} (X = 0)

+

P_{0.27}^{87} (X = 1)

+

P_{0.27}^{87} (X = 2)

+... +

P_{0.27}^{87} (X = 31)

= 0.97079578102796 ≈ 0.9708
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.27,31))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 72 und p = 0.7
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 72 und p = 0.7 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 72 ⋅ 0.7 = 50.4

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{72 ⋅ 0.7 ⋅ 0.3}$ = $\sqrt{15.12}$ ≈ 3.89

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Erwartungswert, Standardabweichung best.