Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,35. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 30 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
870.4198
880.3898
890.3607
900.3326
910.3057
920.2801
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: P0.35n (X30) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.35n (X30) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.35n (X30) = 1 - P0.35n (X29) ≥ 0.7 |+ P0.35n (X29) - 0.7

0.3 ≥ P0.35n (X29) oder P0.35n (X29) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 30 0.35 ≈ 86 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.35⋅86) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=86:
P0.35n (X29) ≈ 0.4505 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=92 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 92 sein, damit P0.35n (X29) ≤ 0.3 oder eben P0.35n (X30) ≥ 0.7 gilt.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 44 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,6.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=44 und p=0.6.

P0.644 (X31) = P0.644 (X=0) + P0.644 (X=1) + P0.644 (X=2) +... + P0.644 (X=31) = 0.94410490266549 ≈ 0.9441
(TI-Befehl: binomcdf(44,0.6,31))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
3 18 0.6479
3 19 0.6863
3 20 0.7202
3 21 0.7501
......

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 18 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 18 mit 3 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 18 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 21 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 21 sein.

Also werden noch 18 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 42 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 42).
Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 80% höchstens 34 Treffer erzielt werden?

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pP(X≤k)
......
0.710.9495
0.720.9334
0.730.9133
0.740.8887
0.750.8589
0.760.8234
0.770.782
......

Es muss gelten: Pp42 (X34) =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(42,X,34) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.76 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 11 oder mehr Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 64 Glückskekse kauft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...
8
9
10
11
12
13
...

P0.12564 (X11) = 1 - P0.12564 (X10) = 0.1704
(TI-Befehl: 1-binomcdf(64,0.125,10))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 33 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 33 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 33 ⋅ 0.15 = 4.95

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 33 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85 = 4.2075 2.05