Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 12% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 23-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
26	0.6186
27	0.4096
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.88 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.88}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 88% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.88}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.88⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.88}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.6186 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 49 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 11 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

8

9

10

11

12

13

...

P_{0.25}^{49} (X \geq 11)

= 1 -

P_{0.25}^{49} (X \leq 10)

= 0.7115
(TI-Befehl: 1-binomcdf(49,0.25,10))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9648
$\frac{1}{3}$	0.8049
$\frac{1}{4}$	0.6329
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{3}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 78 Wiederholungen 27 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 80% liegt?

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p	P(X≥27)=1-P(X≤26)
...	...
0.34	0.4968
0.35	0.5707
0.36	0.6416
0.37	0.7074
0.38	0.7666
0.39	0.8182
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{78} (X \geq 27)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{78} (X \leq 26)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(78,X,26) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,28 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 21 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon 8 oder sogar noch mehr Chips defekt sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

5

6

7

8

9

10

...

P_{0.28}^{21} (X \geq 8)

= 1 -

P_{0.28}^{21} (X \leq 7)

= 0.2117
(TI-Befehl: 1-binomcdf(21,0.28,7))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 88 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=88⋅0.5 = 44

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 44, also 0.8⋅ 44 = 35.2 und 120% von 44, also 1.2⋅ 44 = 52.8

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 44 entfernt sein darf als 35.2 bzw. 52.8, muss sie also zwischen 36 und 52 liegen.

$P_{0.5}^{88} (36 \leq X \leq 52)$ =

...

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

...

P_{0.5}^{88} (X \leq 52)

-

P_{0.5}^{88} (X \leq 35)

≈ 0.9653 - 0.0347 ≈ 0.9306
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.5,52) - binomcdf(88,0.5,35))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert