Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 31 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
36	0.8731
37	0.7775
38	0.6596
39	0.5317
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.8}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.8⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5317 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 91 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mindestens 32, aber höchstens 39 Treffer zu erzielen?

Lösung einblenden

$P_{0.4}^{91} (32 \leq X \leq 39)$ =

...

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

...

P_{0.4}^{91} (X \leq 39)

-

P_{0.4}^{91} (X \leq 31)

≈ 0.7476 - 0.147 ≈ 0.6006
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.4,39) - binomcdf(91,0.4,31))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9893
$\frac{1}{3}$	0.896
$\frac{1}{4}$	0.756
$\frac{1}{5}$	0.6242
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 69 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 69)
Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 47 Treffer erzielt werden?

Lösung einblenden

p	P(X≥47)=1-P(X≤46)
...	...
0.63	0.2265
0.64	0.2814
0.65	0.3426
0.66	0.4087
0.67	0.4783
0.68	0.5492
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{69} (X \geq 47)$ =0.5 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{69} (X \leq 46)$ =0.5 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(69,X,46) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Würfel wird 77 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 mal, aber weniger als 14 mal eine sechs gewürfelt wird?

Lösung einblenden

$P_{\frac{1}{6}}^{77} (6 \leq X \leq 13)$ =

...

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

...

P_{\frac{1}{6}}^{77} (X \leq 13)

-

P_{\frac{1}{6}}^{77} (X \leq 5)

≈ 0.5934 - 0.0074 ≈ 0.586
(TI-Befehl: binomcdf(77, $\frac{1}{6}$ ,13) - binomcdf(77, $\frac{1}{6}$ ,5))

Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 88 und p = 0.1
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 88 und p = 0.1 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 88 ⋅ 0.1 = 8.8

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{88 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9}$ = $\sqrt{7.92}$ ≈ 2.81

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Erwartungswert, Standardabweichung best.