Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 21 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
24	0.8855
25	0.766
26	0.6167
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.8}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.8⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.6167 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 78 Versuchen genau 65 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.9.

P_{0.9}^{78} (X = 65)

=

(\begin{matrix} 78 \\ 65 \end{matrix}) \cdot {0.9}^{65} \cdot {0.1}^{13}

=0.023397162286294≈ 0.0234
(TI-Befehl: binompdf(78,0.9,65))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5003
$\frac{1}{12}$	0.6048
$\frac{1}{13}$	0.6921
$\frac{1}{14}$	0.7624
$\frac{1}{15}$	0.8177
$\frac{1}{16}$	0.8604
$\frac{1}{17}$	0.8932
$\frac{1}{18}$	0.9182
$\frac{1}{19}$	0.9372
$\frac{1}{20}$	0.9516
...	...

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{95}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 56 Freiwürfen mindestens 24 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?

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p	P(X≥24)=1-P(X≤23)
...	...
0.43	0.5597
0.44	0.6185
0.45	0.6745
0.46	0.7268
0.47	0.7744
0.48	0.8169
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{56} (X \geq 24)$ =0.8 (oder mehr)

oder eben: 1- $P_{p}^{56} (X \leq 23)$ =0.8 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(56,X,23) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 95 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so 14 oder gar noch mehr Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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...

11

12

13

14

15

16

...

P_{0.25}^{95} (X \geq 14)

= 1 -

P_{0.25}^{95} (X \leq 13)

= 0.9947
(TI-Befehl: 1-binomcdf(95,0.25,13))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 77 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=77⋅0.75 = 57.75

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 57.75, also 0.8⋅ 57.75 = 46.2 und 120% von 57.75, also 1.2⋅ 57.75 = 69.3

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 57.75 entfernt sein darf als 46.2 bzw. 69.3, muss sie also zwischen 47 und 69 liegen.

$P_{0.75}^{77} (47 \leq X \leq 69)$ =

...

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

...

P_{0.75}^{77} (X \leq 69)

-

P_{0.75}^{77} (X \leq 46)

≈ 0.9996 - 0.0023 ≈ 0.9973
(TI-Befehl: binomcdf(77,0.75,69) - binomcdf(77,0.75,46))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Formel v. Bernoulli

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Binomialverteilung X>=k

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert