Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$+$\frac{1}{18}$=$\frac{11}{36}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-$\frac{11}{36}$ =$\frac{25}{36}$.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $2$) setzt.

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -4⋅$\frac{1}{4}$ + -2⋅$\frac{25}{72}$ + 2⋅$\frac{25}{72}$ + 18⋅$\frac{1}{18}$

= $-1$$-\frac{25}{36}$$+$ $\frac{25}{36}$$+$ $1$
= $-\frac{36}{36}$ $-\frac{25}{36}$$+$ $\frac{25}{36}$$+$ $\frac{36}{36}$
= $\frac{0}{36}$
= $0$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 4⋅$\frac{1}{2}$ + 12⋅$\frac{1}{6}$ + 24⋅$\frac{1}{6}$ + 18⋅$\frac{1}{6}$

= $2$$+$ $2$$+$ $4$$+$ $3$
= $11$