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Aufgabenbeispiele von Pfadregel (Wdh. aus 7/8)

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{2}$ ; "nicht König": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'König' bzw. 0 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'König')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
König -> König	$\frac{3}{14}$
König -> nicht König	$\frac{2}{7}$
nicht König -> König	$\frac{2}{7}$
nicht König -> nicht König	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: König: $\frac{1}{2}$ ; nicht König: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{2}{7}$ )
'König'-'König' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$