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Aufgabenbeispiele von Pfadregel (Wdh. aus 7/8)

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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$
= $\frac{2}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{3}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{8}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{1}{45}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{8}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: $\frac{2}{5}$ ; 8: $\frac{1}{5}$ ; 9: $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{8}{45}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{8}{45}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{17}{45}$