Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	400	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-18	12	382	982
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.434$	$2.96$	$0.5$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-16.9974$	$0.5736$	$2.8268$	$0.491$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 30⋅0.0478 + 400⋅0.0074 + 1000⋅0.0005

≈ 4.89

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.89 - 18 = -13.11 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9443 + 12⋅0.0478 + 382⋅0.0074 + 982⋅0.0005

≈ -13.11

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{3}{58}$ + $\frac{3}{58}$ = $\frac{3}{29}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	400	240	70	35
P(X=xi)	$\frac{12}{145}$	$\frac{2}{87}$	$\frac{12}{145}$	$\frac{7}{145}$	$\frac{3}{29}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1200}{29}$	$\frac{800}{87}$	$\frac{576}{29}$	$\frac{98}{29}$	$\frac{105}{29}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{12}{145}$ + 400⋅$\frac{2}{87}$ + 240⋅$\frac{12}{145}$ + 70⋅$\frac{7}{145}$ + 35⋅$\frac{3}{29}$

= $\frac{1200}{29}$$+$ $\frac{800}{87}$$+$ $\frac{576}{29}$$+$ $\frac{98}{29}$$+$ $\frac{105}{29}$
= $\frac{3600}{87}$$+$ $\frac{800}{87}$$+$ $\frac{1728}{87}$$+$ $\frac{294}{87}$$+$ $\frac{315}{87}$
= $\frac{6737}{87}$

≈ 77.44