Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X\le 3)$ = $P_{0.35}^6(X=0)$ + $P_{0.35}^6(X=1)$ + $P_{0.35}^6(X=2)$ + $P_{0.35}^6(X=3)$ = 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.35}^4\cdot {0.65}^2$=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.35}^5\cdot {0.65}^1$=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.35}^6\cdot {0.65}^0$=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	500	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-13	7	487	4987
P(X=xi)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.902$	$10.25$	$9$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-11.4738$	$0.6657$	$9.9835$	$8.9766$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 20⋅0.0951 + 500⋅0.0205 + 5000⋅0.0018

≈ 21.15

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=21.15 - 13 = 8.15 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.8826 + 7⋅0.0951 + 487⋅0.0205 + 4987⋅0.0018

≈ 8.15

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{4}{261}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{14}{261}$ + $\frac{14}{261}$ + $\frac{14}{261}$ = $\frac{14}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{40}{261}$ + $\frac{40}{261}$ + $\frac{40}{261}$ = $\frac{40}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{261}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{4}{261}$	$\frac{14}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{95}{261}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{14}{87}$	$\frac{80}{87}$	$\frac{95}{87}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{4}{261}$ + 1⋅$\frac{14}{87}$ + 2⋅$\frac{40}{87}$ + 3⋅$\frac{95}{261}$

= $0$$+$ $\frac{14}{87}$$+$ $\frac{80}{87}$$+$ $\frac{95}{87}$
= $\frac{0}{87}$$+$ $\frac{14}{87}$$+$ $\frac{80}{87}$$+$ $\frac{95}{87}$
= $\frac{189}{87}$
= $\frac{63}{29}$

≈ 2.17