Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	100	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	0	90	1990
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.478$	$0.74$	$1$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-9.443$	$0$	$0.666$	$0.995$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 10⋅0.0478 + 100⋅0.0074 + 2000⋅0.0005

≈ 2.22

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.22 - 10 = -7.78 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9443 + 0⋅0.0478 + 90⋅0.0074 + 1990⋅0.0005

≈ -7.78

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	50	1250
P(X=xi)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{200}{91}$	$\frac{2250}{91}$	$\frac{30000}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{2}{91}$ + 10⋅$\frac{20}{91}$ + 50⋅$\frac{45}{91}$ + 1250⋅$\frac{24}{91}$

= $0$$+$ $\frac{200}{91}$$+$ $\frac{2250}{91}$$+$ $\frac{30000}{91}$
= $\frac{0}{91}$$+$ $\frac{200}{91}$$+$ $\frac{2250}{91}$$+$ $\frac{30000}{91}$
= $\frac{32450}{91}$

≈ 356.59