Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	500	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	-5	485	4985
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.478$	$3.7$	$2.5$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-14.1645$	$-0.239$	$3.589$	$2.4925$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 10⋅0.0478 + 500⋅0.0074 + 5000⋅0.0005

≈ 6.68

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=6.68 - 15 = -8.32 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9443 + -5⋅0.0478 + 485⋅0.0074 + 4985⋅0.0005

≈ -8.32

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{14}{285}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{285}$ + $\frac{28}{285}$ + $\frac{28}{285}$ = $\frac{28}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{44}{285}$ + $\frac{44}{285}$ + $\frac{44}{285}$ = $\frac{44}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{57}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{14}{285}$	$\frac{28}{95}$	$\frac{44}{95}$	$\frac{11}{57}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{28}{95}$	$\frac{88}{95}$	$\frac{11}{19}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{14}{285}$ + 1⋅$\frac{28}{95}$ + 2⋅$\frac{44}{95}$ + 3⋅$\frac{11}{57}$

= $0$$+$ $\frac{28}{95}$$+$ $\frac{88}{95}$$+$ $\frac{11}{19}$
= $\frac{0}{95}$$+$ $\frac{28}{95}$$+$ $\frac{88}{95}$$+$ $\frac{55}{95}$
= $\frac{171}{95}$
= $\frac{9}{5}$

≈ 1.8