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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 5€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,26 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X \leq 3)

P_{0.26}^{6} (X = 0)

P_{0.26}^{6} (X = 1)

P_{0.26}^{6} (X = 2)

P_{0.26}^{6} (X = 3)

= 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{4} \cdot {0.74}^{2}

=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{5} \cdot {0.74}^{1}

=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{6} \cdot {0.74}^{0}

=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	15	195	995
P(X=x_i)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.75$	$1.06$	$0.3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4.7845$	$0.5625$	$1.0335$	$0.2985$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 20⋅0.0375 + 200⋅0.0053 + 1000⋅0.0003

≈ 2.11

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.11 - 5 = -2.89 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.9569 + 15⋅0.0375 + 195⋅0.0053 + 995⋅0.0003

≈ -2.89

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 6 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{30}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{1}{10}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{1}{10}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{1}{10}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{30}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$5$	$6$	$1$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{6}$ + 10⋅ $\frac{1}{2}$ + 20⋅ $\frac{3}{10}$ + 30⋅ $\frac{1}{30}$

= $0$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $1$
= $12$