Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.5787037037037≈ 0.5787(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))
Trefferzahl: 1
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.34722222222222≈ 0.3472(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))
Trefferzahl: 2
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.069444444444444≈ 0.0694(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))
Trefferzahl: 3
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.0046296296296296≈ 0.0046(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | 0.5787 | 0.3472 | 0.0694 | 0.0046 |
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046
≈ 0.5
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 8 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As -> As | |
As -> As -> andereKarte | |
As -> andereKarte -> As | |
As -> andereKarte -> andereKarte | |
andereKarte -> As -> As | |
andereKarte -> As -> andereKarte | |
andereKarte -> andereKarte -> As | |
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 20 | 30 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 10⋅ + 20⋅ + 30⋅
=
=
=
=