Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,28 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.
= + + + = 0.94428758016 ≈ 0.9443(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.
= =0.04779565056≈ 0.0478(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.
= =0.007434878976≈ 0.0074(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.
= =0.000481890304≈ 0.0005(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
| Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 100 | 2000 |
| Zufallsgröße yi (Gewinn) | -10 | 0 | 90 | 1990 |
| P(X=xi) | 0.9443 | 0.0478 | 0.0074 | 0.0005 |
| xi ⋅ P(X=xi) | ||||
| yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.9443 + 10⋅0.0478 + 100⋅0.0074 + 2000⋅0.0005
≈ 2.22
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.22 - 10 = -7.78 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -10⋅0.9443 + 0⋅0.0478 + 90⋅0.0074 + 1990⋅0.0005
≈ -7.78
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1250€, bei 2 blauen bekommt er noch 50€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| blau -> blau -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> rot -> rot |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 50 | 1250 |
| P(X=xi) | ||||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 10⋅ + 50⋅ + 1250⋅
=
=
=
≈ 356.59
