Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X\le 3)$ = $P_{0.25}^6(X=0)$ + $P_{0.25}^6(X=1)$ + $P_{0.25}^6(X=2)$ + $P_{0.25}^6(X=3)$ = 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^2$=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^1$=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

$P_{0.25}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.25}^6\cdot {0.75}^0$=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	100	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	31	91	1991
P(X=xi)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.32$	$0.44$	$0.4$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-8.6616$	$1.023$	$0.4004$	$0.3982$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 40⋅0.033 + 100⋅0.0044 + 2000⋅0.0002

≈ 2.16

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.16 - 9 = -6.84 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.9624 + 31⋅0.033 + 91⋅0.0044 + 1991⋅0.0002

≈ -6.84

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	5	13	85
P(X=xi)	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{3}{2}$	$\frac{13}{2}$	$\frac{85}{6}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{30}$ + 5⋅$\frac{3}{10}$ + 13⋅$\frac{1}{2}$ + 85⋅$\frac{1}{6}$

= $0$$+$ $\frac{3}{2}$$+$ $\frac{13}{2}$$+$ $\frac{85}{6}$
= $\frac{0}{6}$$+$ $\frac{9}{6}$$+$ $\frac{39}{6}$$+$ $\frac{85}{6}$
= $\frac{133}{6}$

≈ 22.17