Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 200€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 10€, bei einer Sechs 1€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=0) = ( 3 0 ) ( 1 6 )0 ( 5 6 )3 =0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=1) = ( 3 1 ) ( 1 6 )1 ( 5 6 )2 =0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=2) = ( 3 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )1 =0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=3) = ( 3 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )0 =0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 10 200
P(X=xi) 0.5787 0.3472 0.0694 0.0046
xi ⋅ P(X=xi) 0 0.3472 0.694 0.92

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 10⋅0.0694 + 200⋅0.0046

1.96

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 2 Asse, 3 Könige, 8 Damen und 7 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 400, 2 Damen 120 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 1 190
As -> König 3 190
As -> Dame 4 95
As -> Bube 7 190
König -> As 3 190
König -> König 3 190
König -> Dame 6 95
König -> Bube 21 380
Dame -> As 4 95
Dame -> König 6 95
Dame -> Dame 14 95
Dame -> Bube 14 95
Bube -> As 7 190
Bube -> König 21 380
Bube -> Dame 14 95
Bube -> Bube 21 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 1 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 3 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 14 95

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 21 190

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 6 95 + 6 95 = 12 95

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 500 400 120 70 35
P(X=xi) 1 190 3 190 14 95 21 190 12 95
xi ⋅ P(X=xi) 50 19 120 19 336 19 147 19 84 19

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ 1 190 + 400⋅ 3 190 + 120⋅ 14 95 + 70⋅ 21 190 + 35⋅ 12 95

= 50 19 + 120 19 + 336 19 + 147 19 + 84 19
= 737 19

38.79