Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X\le 3)$ = $P_{0.29}^6(X=0)$ + $P_{0.29}^6(X=1)$ + $P_{0.29}^6(X=2)$ + $P_{0.29}^6(X=3)$ = 0.93718637439 ≈ 0.9372
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.29}^4\cdot {0.71}^2$=0.053481052815≈ 0.0535
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.29}^5\cdot {0.71}^1$=0.008737749474≈ 0.0087
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.29}^6\cdot {0.71}^0$=0.000594823321≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	200	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-16	4	184	1984
P(X=xi)	0.9372	0.0535	0.0087	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.07$	$1.74$	$1.2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-14.9952$	$0.214$	$1.6008$	$1.1904$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9372 + 20⋅0.0535 + 200⋅0.0087 + 2000⋅0.0006

≈ 4.01

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.01 - 16 = -11.99 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -16⋅0.9372 + 4⋅0.0535 + 184⋅0.0087 + 1984⋅0.0006

≈ -11.99

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{11}{28}$ + 10⋅$\frac{33}{70}$ + 20⋅$\frac{9}{70}$ + 30⋅$\frac{1}{140}$

= $0$$+$ $\frac{33}{7}$$+$ $\frac{18}{7}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$$+$ $\frac{66}{14}$$+$ $\frac{36}{14}$$+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5