Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X\le 1)$ = $P_{0.2}^5(X=0)$ + $P_{0.2}^5(X=1)$ = 0.73728 ≈ 0.7373
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.2,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.2}^2\cdot {0.8}^3$=0.2048≈ 0.2048
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.2}^3\cdot {0.8}^2$=0.0512≈ 0.0512
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.2}^4\cdot {0.8}^1$=0.0064≈ 0.0064
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.2}^5\cdot {0.8}^0$=0.00032≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.7373	0.2048	0.0512	0.0064	0.0003
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.8192$	$0.4608$	$0.1024$	$0.0075$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.6357$	$-1.024$	$0$	$0.0448$	$0.0048$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7373 + 4⋅0.2048 + 9⋅0.0512 + 16⋅0.0064 + 25⋅0.0003

≈ 1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 9 = -7.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.7373 + -5⋅0.2048 + 0⋅0.0512 + 7⋅0.0064 + 16⋅0.0003

≈ -7.61

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ + $\frac{21}{325}$ = $\frac{63}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{325}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{7}{325}$	$\frac{63}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{102}{325}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{63}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{306}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{325}$ + 1⋅$\frac{63}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{102}{325}$

= $0$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{63}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$
= $\frac{675}{325}$
= $\frac{27}{13}$

≈ 2.08