Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X\le 1)$ = $P_{0.18}^5(X=0)$ + $P_{0.18}^5(X=1)$ = 0.7776494272 ≈ 0.7776
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.18,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.18}^2\cdot {0.82}^3$=0.178643232≈ 0.1786
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.18}^3\cdot {0.82}^2$=0.039214368≈ 0.0392
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.18}^4\cdot {0.82}^1$=0.004304016≈ 0.0043
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.18}^5\cdot {0.82}^0$=0.0001889568≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.7776	0.1786	0.0392	0.0043	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.7144$	$0.3528$	$0.0688$	$0.005$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.9984$	$-0.893$	$0$	$0.0301$	$0.0032$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7776 + 4⋅0.1786 + 9⋅0.0392 + 16⋅0.0043 + 25⋅0.0002

≈ 1.14

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.14 - 9 = -7.86 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.7776 + -5⋅0.1786 + 0⋅0.0392 + 7⋅0.0043 + 16⋅0.0002

≈ -7.86

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{975}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ = $\frac{72}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{272}{975}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{28}{975}$	$\frac{72}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{272}{975}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{72}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{272}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{28}{975}$ + 1⋅$\frac{72}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{272}{975}$

= $0$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{650}{325}$
= $2$