Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.3472$	$0.1388$	$0.0138$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046

≈ 0.5

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 2 Asse, 10 Könige, 7 Damen und 5 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 250, 2 Damen 180 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 15 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{276}$
As -> König	$\frac{5}{138}$
As -> Dame	$\frac{7}{276}$
As -> Bube	$\frac{5}{276}$
König -> As	$\frac{5}{138}$
König -> König	$\frac{15}{92}$
König -> Dame	$\frac{35}{276}$
König -> Bube	$\frac{25}{276}$
Dame -> As	$\frac{7}{276}$
Dame -> König	$\frac{35}{276}$
Dame -> Dame	$\frac{7}{92}$
Dame -> Bube	$\frac{35}{552}$
Bube -> As	$\frac{5}{276}$
Bube -> König	$\frac{25}{276}$
Bube -> Dame	$\frac{35}{552}$
Bube -> Bube	$\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{276}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{15}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{7}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{35}{276}$ + $\frac{35}{276}$ = $\frac{35}{138}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	250	180	90	15
P(X=x_i)	$\frac{1}{276}$	$\frac{15}{92}$	$\frac{7}{92}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{35}{138}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{250}{69}$	$\frac{1875}{46}$	$\frac{315}{23}$	$\frac{75}{23}$	$\frac{175}{46}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{1}{276}$ + 250⋅ $\frac{15}{92}$ + 180⋅ $\frac{7}{92}$ + 90⋅ $\frac{5}{138}$ + 15⋅ $\frac{35}{138}$

= $\frac{250}{69}$ $+$ $\frac{1875}{46}$ $+$ $\frac{315}{23}$ $+$ $\frac{75}{23}$ $+$ $\frac{175}{46}$
= $\frac{500}{138}$ $+$ $\frac{5625}{138}$ $+$ $\frac{1890}{138}$ $+$ $\frac{450}{138}$ $+$ $\frac{525}{138}$
= $\frac{8990}{138}$
= $\frac{4495}{69}$

≈ 65.14