Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X\le 3)$ = $P_{0.29}^6(X=0)$ + $P_{0.29}^6(X=1)$ + $P_{0.29}^6(X=2)$ + $P_{0.29}^6(X=3)$ = 0.93718637439 ≈ 0.9372
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.29}^4\cdot {0.71}^2$=0.053481052815≈ 0.0535
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.29}^5\cdot {0.71}^1$=0.008737749474≈ 0.0087
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.29}^6\cdot {0.71}^0$=0.000594823321≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	400	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-5	15	395	995
P(X=xi)	0.9372	0.0535	0.0087	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.07$	$3.48$	$0.6$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-4.686$	$0.8025$	$3.4365$	$0.597$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9372 + 20⋅0.0535 + 400⋅0.0087 + 1000⋅0.0006

≈ 5.15

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.15 - 5 = 0.15 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.9372 + 15⋅0.0535 + 395⋅0.0087 + 995⋅0.0006

≈ 0.15

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{14}{285}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{285}$ + $\frac{28}{285}$ + $\frac{28}{285}$ = $\frac{28}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{44}{285}$ + $\frac{44}{285}$ + $\frac{44}{285}$ = $\frac{44}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{57}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{14}{285}$	$\frac{28}{95}$	$\frac{44}{95}$	$\frac{11}{57}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{28}{95}$	$\frac{88}{95}$	$\frac{11}{19}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{14}{285}$ + 1⋅$\frac{28}{95}$ + 2⋅$\frac{44}{95}$ + 3⋅$\frac{11}{57}$

= $0$$+$ $\frac{28}{95}$$+$ $\frac{88}{95}$$+$ $\frac{11}{19}$
= $\frac{0}{95}$$+$ $\frac{28}{95}$$+$ $\frac{88}{95}$$+$ $\frac{55}{95}$
= $\frac{171}{95}$
= $\frac{9}{5}$

≈ 1.8