Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X\le 3)$ = $P_{0.35}^6(X=0)$ + $P_{0.35}^6(X=1)$ + $P_{0.35}^6(X=2)$ + $P_{0.35}^6(X=3)$ = 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.35}^4\cdot {0.65}^2$=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.35}^5\cdot {0.65}^1$=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

$P_{0.35}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.35}^6\cdot {0.65}^0$=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	200	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	21	191	1991
P(X=xi)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$2.853$	$4.1$	$3.6$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-7.9434$	$1.9971$	$3.9155$	$3.5838$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 30⋅0.0951 + 200⋅0.0205 + 2000⋅0.0018

≈ 10.55

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=10.55 - 9 = 1.55 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8826 + 21⋅0.0951 + 191⋅0.0205 + 1991⋅0.0018

≈ 1.55

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{50}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{7}{75}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{100}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	350	160	50	20
P(X=xi)	$\frac{1}{50}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{75}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{4}{15}$
xi ⋅ P(X=xi)	$20$	$\frac{105}{2}$	$\frac{224}{15}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{16}{3}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{1}{50}$ + 350⋅$\frac{3}{20}$ + 160⋅$\frac{7}{75}$ + 50⋅$\frac{1}{100}$ + 20⋅$\frac{4}{15}$

= $20$$+$ $\frac{105}{2}$$+$ $\frac{224}{15}$$+$ $\frac{1}{2}$$+$ $\frac{16}{3}$
= $\frac{600}{30}$$+$ $\frac{1575}{30}$$+$ $\frac{448}{30}$$+$ $\frac{15}{30}$$+$ $\frac{160}{30}$
= $\frac{2798}{30}$
= $\frac{1399}{15}$

≈ 93.27