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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 10% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.1.

P_{0.1}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{0} \cdot {0.9}^{20}

=0.12157665459057≈ 0.1216
(TI-Befehl: binompdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.1}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 0)$ = 0.8352

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,4) - binomcdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.1}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ = 0.0431

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,8) - binomcdf(20,0.1,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.1}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ = 9.9999999999989E-5

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,12) - binomcdf(20,0.1,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.1}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,16) - binomcdf(20,0.1,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.1}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,20) - binomcdf(20,0.1,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.1216	0.8352	0.0431	9.9999999999989E-5	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$4.176$	$0.431$	$0.0014999999999998$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.1216 + 5⋅0.8352 + 10⋅0.0431 + 15⋅9.9999999999989E-5 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 4.61

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{102}{253}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ = $\frac{135}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ = $\frac{459}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{253}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{5}{506}$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{1012}$	$\frac{102}{253}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{506}$	$\frac{306}{253}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{5}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{1012}$ + 2⋅ $\frac{459}{1012}$ + 3⋅ $\frac{102}{253}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{459}{506}$ $+$ $\frac{306}{253}$
= $\frac{0}{1012}$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{918}{1012}$ $+$ $\frac{1224}{1012}$
= $\frac{2277}{1012}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25