Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X\le 1)$ = $P_{0.21}^5(X=0)$ + $P_{0.21}^5(X=1)$ = 0.7166814904 ≈ 0.7167
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.21,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.21}^2\cdot {0.79}^3$=0.217430199≈ 0.2174
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.21}^3\cdot {0.79}^2$=0.057797901≈ 0.0578
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^1$=0.0076819995≈ 0.0077
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^0$=0.0004084101≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=xi)	0.7167	0.2174	0.0578	0.0077	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.8696$	$0.5202$	$0.1232$	$0.01$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-4.3002$	$-0.4348$	$0.1734$	$0.077$	$0.0076$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7167 + 4⋅0.2174 + 9⋅0.0578 + 16⋅0.0077 + 25⋅0.0004

≈ 1.52

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.52 - 6 = -4.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.7167 + -2⋅0.2174 + 3⋅0.0578 + 10⋅0.0077 + 19⋅0.0004

≈ -4.48

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{44}$ + 1⋅$\frac{9}{44}$ + 2⋅$\frac{21}{44}$ + 3⋅$\frac{13}{44}$

= $0$$+$ $\frac{9}{44}$$+$ $\frac{21}{22}$$+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$$+$ $\frac{9}{44}$$+$ $\frac{42}{44}$$+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05