Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	200	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	13	193	4993
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.85$	$1.26$	$2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.6556$	$0.5525$	$1.2159$	$1.9972$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 20⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 5000⋅0.0004

≈ 4.11

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.11 - 7 = -2.89 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.9508 + 13⋅0.0425 + 193⋅0.0063 + 4993⋅0.0004

≈ -2.89

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	80
P(X=xi)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{7}{4}$	$\frac{21}{2}$	$\frac{70}{3}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{120}$ + 10⋅$\frac{7}{40}$ + 20⋅$\frac{21}{40}$ + 80⋅$\frac{7}{24}$

= $0$$+$ $\frac{7}{4}$$+$ $\frac{21}{2}$$+$ $\frac{70}{3}$
= $\frac{0}{12}$$+$ $\frac{21}{12}$$+$ $\frac{126}{12}$$+$ $\frac{280}{12}$
= $\frac{427}{12}$

≈ 35.58