Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.5787037037037≈ 0.5787(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))
Trefferzahl: 1
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.34722222222222≈ 0.3472(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))
Trefferzahl: 2
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.069444444444444≈ 0.0694(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))
Trefferzahl: 3
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=.
= =0.0046296296296296≈ 0.0046(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | 0.5787 | 0.3472 | 0.0694 | 0.0046 |
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046
≈ 0.5
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.2