Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X\le 3)$ = $P_{0.33}^6(X=0)$ + $P_{0.33}^6(X=1)$ + $P_{0.33}^6(X=2)$ + $P_{0.33}^6(X=3)$ = 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.33}^4\cdot {0.67}^2$=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.33}^5\cdot {0.67}^1$=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.33}^6\cdot {0.67}^0$=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	300	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-20	10	280	4980
P(X=xi)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$2.397$	$4.71$	$6.5$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-18.062$	$0.799$	$4.396$	$6.474$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 30⋅0.0799 + 300⋅0.0157 + 5000⋅0.0013

≈ 13.61

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=13.61 - 20 = -6.39 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9031 + 10⋅0.0799 + 280⋅0.0157 + 4980⋅0.0013

≈ -6.39

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ = $\frac{189}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ = $\frac{420}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{266}{899}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{24}{899}$	$\frac{189}{899}$	$\frac{420}{899}$	$\frac{266}{899}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{189}{899}$	$\frac{840}{899}$	$\frac{798}{899}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{24}{899}$ + 1⋅$\frac{189}{899}$ + 2⋅$\frac{420}{899}$ + 3⋅$\frac{266}{899}$

= $0$$+$ $\frac{189}{899}$$+$ $\frac{840}{899}$$+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{0}{899}$$+$ $\frac{189}{899}$$+$ $\frac{840}{899}$$+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{1827}{899}$
= $\frac{63}{31}$

≈ 2.03