Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X\le 3)$ = $P_{0.26}^6(X=0)$ + $P_{0.26}^6(X=1)$ + $P_{0.26}^6(X=2)$ + $P_{0.26}^6(X=3)$ = 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.26}^4\cdot {0.74}^2$=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.26}^5\cdot {0.74}^1$=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

$P_{0.26}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.26}^6\cdot {0.74}^0$=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	40	200	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	31	191	2991
P(X=xi)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.5$	$1.06$	$0.9$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-8.6121$	$1.1625$	$1.0123$	$0.8973$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 40⋅0.0375 + 200⋅0.0053 + 3000⋅0.0003

≈ 3.46

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.46 - 9 = -5.54 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.9569 + 31⋅0.0375 + 191⋅0.0053 + 2991⋅0.0003

≈ -5.54

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{2}{133}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{266}$ + $\frac{15}{266}$ + $\frac{15}{266}$ = $\frac{45}{266}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{19}$ + $\frac{3}{19}$ + $\frac{3}{19}$ = $\frac{9}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{38}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{2}{133}$	$\frac{45}{266}$	$\frac{9}{19}$	$\frac{13}{38}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{45}{266}$	$\frac{18}{19}$	$\frac{39}{38}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{2}{133}$ + 1⋅$\frac{45}{266}$ + 2⋅$\frac{9}{19}$ + 3⋅$\frac{13}{38}$

= $0$$+$ $\frac{45}{266}$$+$ $\frac{18}{19}$$+$ $\frac{39}{38}$
= $\frac{0}{266}$$+$ $\frac{45}{266}$$+$ $\frac{252}{266}$$+$ $\frac{273}{266}$
= $\frac{570}{266}$
= $\frac{15}{7}$

≈ 2.14