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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 30% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

P_{0.3}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{0} \cdot {0.7}^{20}

=0.00079792266297612≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.3}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 0)$ = 0.2367

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,4) - binomcdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.3}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ = 0.6492

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,8) - binomcdf(20,0.3,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.3}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ = 0.112

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,12) - binomcdf(20,0.3,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.3}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ = 0.0013

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,16) - binomcdf(20,0.3,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.3}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,20) - binomcdf(20,0.3,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0008	0.2367	0.6492	0.112	0.0013	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1.1835$	$6.492$	$1.68$	$0.025999999999999$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0008 + 5⋅0.2367 + 10⋅0.6492 + 15⋅0.112 + 20⋅0.0013 + 25⋅0

≈ 9.38

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 8 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{55}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{4}{55}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{56}{11}$	$\frac{48}{11}$	$\frac{6}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{14}{55}$ + 10⋅ $\frac{28}{55}$ + 20⋅ $\frac{12}{55}$ + 30⋅ $\frac{1}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{0}{11}$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{110}{11}$
= $10$