Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X\le 3)$ = $P_{0.33}^6(X=0)$ + $P_{0.33}^6(X=1)$ + $P_{0.33}^6(X=2)$ + $P_{0.33}^6(X=3)$ = 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.33}^4\cdot {0.67}^2$=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.33}^5\cdot {0.67}^1$=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

$P_{0.33}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.33}^6\cdot {0.67}^0$=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	400	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-8	2	392	992
P(X=xi)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.799$	$6.28$	$1.3$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-7.2248$	$0.1598$	$6.1544$	$1.2896$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 10⋅0.0799 + 400⋅0.0157 + 1000⋅0.0013

≈ 8.38

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=8.38 - 8 = 0.38 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.9031 + 2⋅0.0799 + 392⋅0.0157 + 992⋅0.0013

≈ 0.38

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{5}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{5}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{10}{1001}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{1001}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{5}{7}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{5}{91}$	$\frac{10}{1001}$	$\frac{1}{1001}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{5}{7}$	$\frac{40}{91}$	$\frac{15}{91}$	$\frac{40}{1001}$	$\frac{5}{1001}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{5}{7}$ + 2⋅$\frac{20}{91}$ + 3⋅$\frac{5}{91}$ + 4⋅$\frac{10}{1001}$ + 5⋅$\frac{1}{1001}$

= $\frac{5}{7}$$+$ $\frac{40}{91}$$+$ $\frac{15}{91}$$+$ $\frac{40}{1001}$$+$ $\frac{5}{1001}$
= $\frac{715}{1001}$$+$ $\frac{440}{1001}$$+$ $\frac{165}{1001}$$+$ $\frac{40}{1001}$$+$ $\frac{5}{1001}$
= $\frac{1365}{1001}$
= $\frac{15}{11}$

≈ 1.36