Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	500	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-17	13	483	1983
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.275$	$3.15$	$0.8$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-16.1636$	$0.5525$	$3.0429$	$0.7932$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 30⋅0.0425 + 500⋅0.0063 + 2000⋅0.0004

≈ 5.23

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.23 - 17 = -11.77 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -17⋅0.9508 + 13⋅0.0425 + 483⋅0.0063 + 1983⋅0.0004

≈ -11.78

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{30}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{5}{91}$ + $\frac{5}{91}$ + $\frac{5}{91}$ = $\frac{15}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	10	20	30
P(X=xi)	$\frac{30}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{15}{91}$	$\frac{1}{91}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{450}{91}$	$\frac{300}{91}$	$\frac{30}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{30}{91}$ + 10⋅$\frac{45}{91}$ + 20⋅$\frac{15}{91}$ + 30⋅$\frac{1}{91}$

= $0$$+$ $\frac{450}{91}$$+$ $\frac{300}{91}$$+$ $\frac{30}{91}$
= $\frac{0}{91}$$+$ $\frac{450}{91}$$+$ $\frac{300}{91}$$+$ $\frac{30}{91}$
= $\frac{780}{91}$
= $\frac{60}{7}$

≈ 8.57