Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X\le 3)$ = $P_{0.29}^6(X=0)$ + $P_{0.29}^6(X=1)$ + $P_{0.29}^6(X=2)$ + $P_{0.29}^6(X=3)$ = 0.93718637439 ≈ 0.9372
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.29}^4\cdot {0.71}^2$=0.053481052815≈ 0.0535
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.29}^5\cdot {0.71}^1$=0.008737749474≈ 0.0087
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.29}^6\cdot {0.71}^0$=0.000594823321≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	300	5000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-12	18	288	4988
P(X=xi)	0.9372	0.0535	0.0087	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.605$	$2.61$	$3$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-11.2464$	$0.963$	$2.5056$	$2.9928$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9372 + 30⋅0.0535 + 300⋅0.0087 + 5000⋅0.0006

≈ 7.22

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=7.22 - 12 = -4.78 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.9372 + 18⋅0.0535 + 288⋅0.0087 + 4988⋅0.0006

≈ -4.79

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{7}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{35}{552}$ + $\frac{35}{552}$ = $\frac{35}{276}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	400	160	60	40
P(X=xi)	$\frac{5}{92}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{7}{92}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{35}{276}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{1250}{23}$	$\frac{1000}{69}$	$\frac{280}{23}$	$\frac{75}{23}$	$\frac{350}{69}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{5}{92}$ + 400⋅$\frac{5}{138}$ + 160⋅$\frac{7}{92}$ + 60⋅$\frac{5}{92}$ + 40⋅$\frac{35}{276}$

= $\frac{1250}{23}$$+$ $\frac{1000}{69}$$+$ $\frac{280}{23}$$+$ $\frac{75}{23}$$+$ $\frac{350}{69}$
= $\frac{3750}{69}$$+$ $\frac{1000}{69}$$+$ $\frac{840}{69}$$+$ $\frac{225}{69}$$+$ $\frac{350}{69}$
= $\frac{6165}{69}$
= $\frac{2055}{23}$

≈ 89.35