Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^0\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^3$=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2$=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^1$=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^0$=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	4	20	50
P(X=xi)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.3888$	$1.388$	$0.23$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 4⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 50⋅0.0046

≈ 3.01

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{3}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{1}{300}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{100}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{15}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	500	250	220	80	30
P(X=xi)	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{300}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{15}$
xi ⋅ P(X=xi)	$75$	$\frac{5}{6}$	$33$	$\frac{4}{5}$	$2$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅$\frac{3}{20}$ + 250⋅$\frac{1}{300}$ + 220⋅$\frac{3}{20}$ + 80⋅$\frac{1}{100}$ + 30⋅$\frac{1}{15}$

= $75$$+$ $\frac{5}{6}$$+$ $33$$+$ $\frac{4}{5}$$+$ $2$
= $\frac{2250}{30}$$+$ $\frac{25}{30}$$+$ $\frac{990}{30}$$+$ $\frac{24}{30}$$+$ $\frac{60}{30}$
= $\frac{3349}{30}$

≈ 111.63