Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X\le 3)$ = $P_{0.2}^6(X=0)$ + $P_{0.2}^6(X=1)$ + $P_{0.2}^6(X=2)$ + $P_{0.2}^6(X=3)$ = 0.98304 ≈ 0.983
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.2}^4\cdot {0.8}^2$=0.01536≈ 0.0154
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.2}^5\cdot {0.8}^1$=0.001536≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

$P_{0.2}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.2}^6\cdot {0.8}^0$=6.4E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	200	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	43	193	1993
P(X=xi)	0.983	0.0154	0.0015	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.77$	$0.3$	$0.2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.881$	$0.6622$	$0.2895$	$0.1993$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.983 + 50⋅0.0154 + 200⋅0.0015 + 2000⋅0.0001

≈ 1.27

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.27 - 7 = -5.73 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.983 + 43⋅0.0154 + 193⋅0.0015 + 1993⋅0.0001

≈ -5.73

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{460}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ = $\frac{189}{1150}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ = $\frac{1071}{2300}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{204}{575}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{7}{460}$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{2300}$	$\frac{204}{575}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{1150}$	$\frac{612}{575}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{7}{460}$ + 1⋅$\frac{189}{1150}$ + 2⋅$\frac{1071}{2300}$ + 3⋅$\frac{204}{575}$

= $0$$+$ $\frac{189}{1150}$$+$ $\frac{1071}{1150}$$+$ $\frac{612}{575}$
= $\frac{0}{1150}$$+$ $\frac{189}{1150}$$+$ $\frac{1071}{1150}$$+$ $\frac{1224}{1150}$
= $\frac{2484}{1150}$
= $\frac{54}{25}$

≈ 2.16