Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-15	35	385	1985
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$2.125$	$2.52$	$0.8$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-14.262$	$1.4875$	$2.4255$	$0.794$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 50⋅0.0425 + 400⋅0.0063 + 2000⋅0.0004

≈ 5.45

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.45 - 15 = -9.55 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -15⋅0.9508 + 35⋅0.0425 + 385⋅0.0063 + 1985⋅0.0004

≈ -9.56

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{9}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3
Zufallsgröße xi	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{9}{11}$	$\frac{9}{55}$	$\frac{1}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{9}{11}$	$\frac{18}{55}$	$\frac{3}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{9}{11}$ + 2⋅$\frac{9}{55}$ + 3⋅$\frac{1}{55}$

= $\frac{9}{11}$$+$ $\frac{18}{55}$$+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{45}{55}$$+$ $\frac{18}{55}$$+$ $\frac{3}{55}$
= $\frac{66}{55}$
= $\frac{6}{5}$

≈ 1.2