Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X\le 1)$ = $P_{0.25}^5(X=0)$ + $P_{0.25}^5(X=1)$ = 0.6328125 ≈ 0.6328
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.25}^2\cdot {0.75}^3$=0.263671875≈ 0.2637
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.25}^3\cdot {0.75}^2$=0.087890625≈ 0.0879
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.25}^4\cdot {0.75}^1$=0.0146484375≈ 0.0146
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

$P_{0.25}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.25}^5\cdot {0.75}^0$=0.0009765625≈ 0.001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=xi)	0.6328	0.2637	0.0879	0.0146	0.001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.0548$	$0.7911$	$0.2336$	$0.025$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.328$	$-1.5822$	$-0.0879$	$0.0876$	$0.015$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001

≈ 2.1

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 10 = -7.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.6328 + -6⋅0.2637 + -1⋅0.0879 + 6⋅0.0146 + 15⋅0.001

≈ -7.9

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{260}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{260}$ + $\frac{7}{260}$ + $\frac{7}{260}$ = $\frac{21}{260}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{52}$ + $\frac{7}{52}$ + $\frac{7}{52}$ = $\frac{21}{52}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{133}{260}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{260}$	$\frac{21}{260}$	$\frac{21}{52}$	$\frac{133}{260}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{21}{260}$	$\frac{21}{26}$	$\frac{399}{260}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{260}$ + 1⋅$\frac{21}{260}$ + 2⋅$\frac{21}{52}$ + 3⋅$\frac{133}{260}$

= $0$$+$ $\frac{21}{260}$$+$ $\frac{21}{26}$$+$ $\frac{399}{260}$
= $\frac{0}{260}$$+$ $\frac{21}{260}$$+$ $\frac{210}{260}$$+$ $\frac{399}{260}$
= $\frac{630}{260}$
= $\frac{63}{26}$

≈ 2.42