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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 10% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.1.

P_{0.1}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{0} \cdot {0.9}^{20}

=0.12157665459057≈ 0.1216
(TI-Befehl: binompdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.1}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 0)$ = 0.8352

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,4) - binomcdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.1}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ = 0.0431

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,8) - binomcdf(20,0.1,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.1}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ = 9.9999999999989E-5

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,12) - binomcdf(20,0.1,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.1}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,16) - binomcdf(20,0.1,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.1}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,20) - binomcdf(20,0.1,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.1216	0.8352	0.0431	9.9999999999989E-5	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$4.176$	$0.431$	$0.0014999999999998$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.1216 + 5⋅0.8352 + 10⋅0.0431 + 15⋅9.9999999999989E-5 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 4.61

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 16€, bei 2 blauen bekommt er noch 4€, bei einer 2€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{21}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	2	4	16
P(X=x_i)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{27}{110}$	$\frac{108}{55}$	$\frac{336}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{220}$ + 2⋅ $\frac{27}{220}$ + 4⋅ $\frac{27}{55}$ + 16⋅ $\frac{21}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{27}{110}$ $+$ $\frac{108}{55}$ $+$ $\frac{336}{55}$
= $\frac{0}{110}$ $+$ $\frac{27}{110}$ $+$ $\frac{216}{110}$ $+$ $\frac{672}{110}$
= $\frac{915}{110}$
= $\frac{183}{22}$

≈ 8.32