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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 9€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 78% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.22}^{5} (X = 0)

+

P_{0.22}^{5} (X = 1)

= 0.6958830528 ≈ 0.6959
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.22,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{2} \cdot {0.78}^{3}

=0.229683168≈ 0.2297
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{3} \cdot {0.78}^{2}

=0.064782432≈ 0.0648
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{4} \cdot {0.78}^{1}

=0.009135984≈ 0.0091
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{5} \cdot {0.78}^{0}

=0.0005153632≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=x_i)	0.6959	0.2297	0.0648	0.0091	0.0005
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.9188$	$0.5832$	$0.1456$	$0.0125$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 6.2631$	$- 1.1485$	$0$	$0.0637$	$0.008$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6959 + 4⋅0.2297 + 9⋅0.0648 + 16⋅0.0091 + 25⋅0.0005

≈ 1.66

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.66 - 9 = -7.34 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.6959 + -5⋅0.2297 + 0⋅0.0648 + 7⋅0.0091 + 16⋅0.0005

≈ -7.34

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1296€, bei 2 blauen bekommt er noch 36€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{24}{91}$
blau -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> blau -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> rot	$\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	36	1296
P(X=x_i)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{120}{91}$	$\frac{1620}{91}$	$\frac{31104}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{91}$ + 6⋅ $\frac{20}{91}$ + 36⋅ $\frac{45}{91}$ + 1296⋅ $\frac{24}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{120}{91}$ $+$ $\frac{1620}{91}$ $+$ $\frac{31104}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{120}{91}$ $+$ $\frac{1620}{91}$ $+$ $\frac{31104}{91}$
= $\frac{32844}{91}$
= $\frac{4692}{13}$

≈ 360.92