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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 20% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.2.

P_{0.2}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{0} \cdot {0.8}^{20}

=0.011529215046068≈ 0.0115
(TI-Befehl: binompdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.2}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 0)$ = 0.6181

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,4) - binomcdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.2}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ = 0.3604

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,8) - binomcdf(20,0.2,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.2}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ = 0.01

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,12) - binomcdf(20,0.2,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.2}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,16) - binomcdf(20,0.2,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.2}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,20) - binomcdf(20,0.2,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0115	0.6181	0.3604	0.01	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3.0905$	$3.604$	$0.15$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0115 + 5⋅0.6181 + 10⋅0.3604 + 15⋅0.01 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 6.84

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 9 Asse, 7 Könige, 9 Damen und 5 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 350, 2 Damen 180 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{12}{145}$
As -> König	$\frac{21}{290}$
As -> Dame	$\frac{27}{290}$
As -> Bube	$\frac{3}{58}$
König -> As	$\frac{21}{290}$
König -> König	$\frac{7}{145}$
König -> Dame	$\frac{21}{290}$
König -> Bube	$\frac{7}{174}$
Dame -> As	$\frac{27}{290}$
Dame -> König	$\frac{21}{290}$
Dame -> Dame	$\frac{12}{145}$
Dame -> Bube	$\frac{3}{58}$
Bube -> As	$\frac{3}{58}$
Bube -> König	$\frac{7}{174}$
Bube -> Dame	$\frac{3}{58}$
Bube -> Bube	$\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{12}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{21}{290}$ + $\frac{21}{290}$ = $\frac{21}{145}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	350	180	70	40
P(X=x_i)	$\frac{12}{145}$	$\frac{7}{145}$	$\frac{12}{145}$	$\frac{2}{87}$	$\frac{21}{145}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1200}{29}$	$\frac{490}{29}$	$\frac{432}{29}$	$\frac{140}{87}$	$\frac{168}{29}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{12}{145}$ + 350⋅ $\frac{7}{145}$ + 180⋅ $\frac{12}{145}$ + 70⋅ $\frac{2}{87}$ + 40⋅ $\frac{21}{145}$

= $\frac{1200}{29}$ $+$ $\frac{490}{29}$ $+$ $\frac{432}{29}$ $+$ $\frac{140}{87}$ $+$ $\frac{168}{29}$
= $\frac{3600}{87}$ $+$ $\frac{1470}{87}$ $+$ $\frac{1296}{87}$ $+$ $\frac{140}{87}$ $+$ $\frac{504}{87}$
= $\frac{7010}{87}$

≈ 80.57