Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 175€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 5€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=0) = ( 3 0 ) ( 1 6 )0 ( 5 6 )3 =0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=1) = ( 3 1 ) ( 1 6 )1 ( 5 6 )2 =0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=2) = ( 3 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )1 =0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=3) = ( 3 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )0 =0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 5 20 175
P(X=xi) 0.5787 0.3472 0.0694 0.0046
xi ⋅ P(X=xi) 0 1.736 1.388 0.805

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 5⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 175⋅0.0046

3.93

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 80€, bei 2 blauen bekommt er noch 20€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
blau -> blau -> blau 24 91
blau -> blau -> rot 15 91
blau -> rot -> blau 15 91
blau -> rot -> rot 20 273
rot -> blau -> blau 15 91
rot -> blau -> rot 20 273
rot -> rot -> blau 20 273
rot -> rot -> rot 2 91

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: 2 91

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: 20 273 + 20 273 + 20 273 = 20 91

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: 15 91 + 15 91 + 15 91 = 45 91

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: 24 91

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 80
P(X=xi) 2 91 20 91 45 91 24 91
xi ⋅ P(X=xi) 0 200 91 900 91 1920 91

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 2 91 + 10⋅ 20 91 + 20⋅ 45 91 + 80⋅ 24 91

= 0+ 200 91 + 900 91 + 1920 91
= 0 91 + 200 91 + 900 91 + 1920 91
= 3020 91

33.19