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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 6€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 79% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.21}^{5} (X = 0)

+

P_{0.21}^{5} (X = 1)

= 0.7166814904 ≈ 0.7167
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.21,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{2} \cdot {0.79}^{3}

=0.217430199≈ 0.2174
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{3} \cdot {0.79}^{2}

=0.057797901≈ 0.0578
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{4} \cdot {0.79}^{1}

=0.0076819995≈ 0.0077
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{5} \cdot {0.79}^{0}

=0.0004084101≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=x_i)	0.7167	0.2174	0.0578	0.0077	0.0004
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.8696$	$0.5202$	$0.1232$	$0.01$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4.3002$	$- 0.4348$	$0.1734$	$0.077$	$0.0076$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7167 + 4⋅0.2174 + 9⋅0.0578 + 16⋅0.0077 + 25⋅0.0004

≈ 1.52

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.52 - 6 = -4.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.7167 + -2⋅0.2174 + 3⋅0.0578 + 10⋅0.0077 + 19⋅0.0004

≈ -4.48

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 256€, bei 2 blauen bekommt er noch 16€, bei einer 4€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{24}{91}$
blau -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> blau -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> rot	$\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	16	256
P(X=x_i)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{80}{91}$	$\frac{720}{91}$	$\frac{6144}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{91}$ + 4⋅ $\frac{20}{91}$ + 16⋅ $\frac{45}{91}$ + 256⋅ $\frac{24}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{80}{91}$ $+$ $\frac{720}{91}$ $+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{80}{91}$ $+$ $\frac{720}{91}$ $+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{6944}{91}$
= $\frac{992}{13}$

≈ 76.31