Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X\le 1)$ = $P_{0.28}^5(X=0)$ + $P_{0.28}^5(X=1)$ = 0.5697257472 ≈ 0.5697
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.28,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.28}^2\cdot {0.72}^3$=0.292626432≈ 0.2926
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.28}^3\cdot {0.72}^2$=0.113799168≈ 0.1138
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^1$=0.022127616≈ 0.0221
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

$P_{0.28}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^0$=0.0017210368≈ 0.0017
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.5697	0.2926	0.1138	0.0221	0.0017
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.1704$	$1.0242$	$0.3536$	$0.0425$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-5.1273$	$-1.463$	$0$	$0.1547$	$0.0272$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5697 + 4⋅0.2926 + 9⋅0.1138 + 16⋅0.0221 + 25⋅0.0017

≈ 2.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.59 - 9 = -6.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.5697 + -5⋅0.2926 + 0⋅0.1138 + 7⋅0.0221 + 16⋅0.0017

≈ -6.41

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{975}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ = $\frac{72}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{272}{975}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{28}{975}$	$\frac{72}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{272}{975}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{72}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{272}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{28}{975}$ + 1⋅$\frac{72}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{272}{975}$

= $0$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{650}{325}$
= $2$