Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^0\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^3$=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2$=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^1$=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{6}$.

$P_{\frac{1}{6}}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^0$=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.3472$	$0.1388$	$0.0138$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046

≈ 0.5

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{3}{17}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{34}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{1}{68}$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{11}{34}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{33}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{68}$ + 1⋅$\frac{3}{17}$ + 2⋅$\frac{33}{68}$ + 3⋅$\frac{11}{34}$

= $0$$+$ $\frac{3}{17}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{0}{34}$$+$ $\frac{6}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$$+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{72}{34}$
= $\frac{36}{17}$

≈ 2.12