Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X\le 3)$ = $P_{0.28}^6(X=0)$ + $P_{0.28}^6(X=1)$ + $P_{0.28}^6(X=2)$ + $P_{0.28}^6(X=3)$ = 0.94428758016 ≈ 0.9443
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.28}^4\cdot {0.72}^2$=0.04779565056≈ 0.0478
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.28}^5\cdot {0.72}^1$=0.007434878976≈ 0.0074
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.28.

$P_{0.28}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.28}^6\cdot {0.72}^0$=0.000481890304≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(6,0.28,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	30	100	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-12	18	88	988
P(X=xi)	0.9443	0.0478	0.0074	0.0005
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.434$	$0.74$	$0.5$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-11.3316$	$0.8604$	$0.6512$	$0.494$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9443 + 30⋅0.0478 + 100⋅0.0074 + 1000⋅0.0005

≈ 2.67

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.67 - 12 = -9.33 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.9443 + 18⋅0.0478 + 88⋅0.0074 + 988⋅0.0005

≈ -9.33

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ = $\frac{216}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ = $\frac{297}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{22}{133}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{6}{95}$	$\frac{216}{665}$	$\frac{297}{665}$	$\frac{22}{133}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{216}{665}$	$\frac{594}{665}$	$\frac{66}{133}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{6}{95}$ + 1⋅$\frac{216}{665}$ + 2⋅$\frac{297}{665}$ + 3⋅$\frac{22}{133}$

= $0$$+$ $\frac{216}{665}$$+$ $\frac{594}{665}$$+$ $\frac{66}{133}$
= $\frac{0}{665}$$+$ $\frac{216}{665}$$+$ $\frac{594}{665}$$+$ $\frac{330}{665}$
= $\frac{1140}{665}$
= $\frac{12}{7}$

≈ 1.71