Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X\le 3)$ = $P_{0.29}^6(X=0)$ + $P_{0.29}^6(X=1)$ + $P_{0.29}^6(X=2)$ + $P_{0.29}^6(X=3)$ = 0.93718637439 ≈ 0.9372
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.29}^4\cdot {0.71}^2$=0.053481052815≈ 0.0535
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.29}^5\cdot {0.71}^1$=0.008737749474≈ 0.0087
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.29.

$P_{0.29}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.29}^6\cdot {0.71}^0$=0.000594823321≈ 0.0006
(TI-Befehl: binompdf(6,0.29,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	400	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	43	393	1993
P(X=xi)	0.9372	0.0535	0.0087	0.0006
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$2.675$	$3.48$	$1.2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.5604$	$2.3005$	$3.4191$	$1.1958$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9372 + 50⋅0.0535 + 400⋅0.0087 + 2000⋅0.0006

≈ 7.36

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=7.36 - 7 = 0.36 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.9372 + 43⋅0.0535 + 393⋅0.0087 + 1993⋅0.0006

≈ 0.36

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	9	16	51
P(X=xi)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{243}{220}$	$\frac{432}{55}$	$\frac{1071}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{220}$ + 9⋅$\frac{27}{220}$ + 16⋅$\frac{27}{55}$ + 51⋅$\frac{21}{55}$

= $0$$+$ $\frac{243}{220}$$+$ $\frac{432}{55}$$+$ $\frac{1071}{55}$
= $\frac{0}{220}$$+$ $\frac{243}{220}$$+$ $\frac{1728}{220}$$+$ $\frac{4284}{220}$
= $\frac{6255}{220}$
= $\frac{1251}{44}$

≈ 28.43