Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X\le 1)$ = $P_{0.18}^5(X=0)$ + $P_{0.18}^5(X=1)$ = 0.7776494272 ≈ 0.7776
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.18,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.18}^2\cdot {0.82}^3$=0.178643232≈ 0.1786
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.18}^3\cdot {0.82}^2$=0.039214368≈ 0.0392
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.18}^4\cdot {0.82}^1$=0.004304016≈ 0.0043
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.18.

$P_{0.18}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.18}^5\cdot {0.82}^0$=0.0001889568≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(5,0.18,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=xi)	0.7776	0.1786	0.0392	0.0043	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.7144$	$0.3528$	$0.0688$	$0.005$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-5.4432$	$-0.5358$	$0.0784$	$0.0387$	$0.0036$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7776 + 4⋅0.1786 + 9⋅0.0392 + 16⋅0.0043 + 25⋅0.0002

≈ 1.14

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.14 - 7 = -5.86 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.7776 + -3⋅0.1786 + 2⋅0.0392 + 9⋅0.0043 + 18⋅0.0002

≈ -5.86

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{300}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{20}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{100}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße xi	1000	300	100	80	20
P(X=xi)	$\frac{1}{300}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{3}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{10}{3}$	$45$	$15$	$\frac{4}{5}$	$\frac{20}{3}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅$\frac{1}{300}$ + 300⋅$\frac{3}{20}$ + 100⋅$\frac{3}{20}$ + 80⋅$\frac{1}{100}$ + 20⋅$\frac{1}{3}$

= $\frac{10}{3}$$+$ $45$$+$ $15$$+$ $\frac{4}{5}$$+$ $\frac{20}{3}$
= $\frac{50}{15}$$+$ $\frac{675}{15}$$+$ $\frac{225}{15}$$+$ $\frac{12}{15}$$+$ $\frac{100}{15}$
= $\frac{1062}{15}$
= $\frac{354}{5}$

≈ 70.8