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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,33 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X \leq 3)

P_{0.33}^{6} (X = 0)

P_{0.33}^{6} (X = 1)

P_{0.33}^{6} (X = 2)

P_{0.33}^{6} (X = 3)

= 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{4} \cdot {0.67}^{2}

=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{5} \cdot {0.67}^{1}

=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{6} \cdot {0.67}^{0}

=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	400	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-13	27	387	4987
P(X=x_i)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3.196$	$6.28$	$6.5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 11.7403$	$2.1573$	$6.0759$	$6.4831$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 40⋅0.0799 + 400⋅0.0157 + 5000⋅0.0013

≈ 15.98

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=15.98 - 13 = 2.98 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.9031 + 27⋅0.0799 + 387⋅0.0157 + 4987⋅0.0013

≈ 2.98

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 162€, bei 2 blauen bekommt er noch 18€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	18	162
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{20}$	$\frac{189}{20}$	$\frac{189}{4}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 6⋅ $\frac{7}{40}$ + 18⋅ $\frac{21}{40}$ + 162⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{189}{20}$ $+$ $\frac{189}{4}$
= $\frac{0}{20}$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{189}{20}$ $+$ $\frac{945}{20}$
= $\frac{1155}{20}$
= $\frac{231}{4}$

≈ 57.75