Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=0) = ( 3 0 ) ( 1 6 )0 ( 5 6 )3 =0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=1) = ( 3 1 ) ( 1 6 )1 ( 5 6 )2 =0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=2) = ( 3 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )1 =0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= 1 6 .

P 1 6 3 (X=3) = ( 3 3 ) ( 1 6 )3 ( 5 6 )0 =0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 0.5787 0.3472 0.0694 0.0046
xi ⋅ P(X=xi) 0 0.3472 0.1388 0.0138

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046

0.5

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: 9 11

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: 9 55

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: 1 55

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3
Zufallsgröße xi 1 2 3
P(X=xi) 9 11 9 55 1 55
xi ⋅ P(X=xi) 9 11 18 55 3 55

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 9 11 + 2⋅ 9 55 + 3⋅ 1 55

= 9 11 + 18 55 + 3 55
= 45 55 + 18 55 + 3 55
= 66 55
= 6 5

1.2