Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X\le 1)$ = $P_{0.21}^5(X=0)$ + $P_{0.21}^5(X=1)$ = 0.7166814904 ≈ 0.7167
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.21,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.21}^2\cdot {0.79}^3$=0.217430199≈ 0.2174
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.21}^3\cdot {0.79}^2$=0.057797901≈ 0.0578
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.21}^4\cdot {0.79}^1$=0.0076819995≈ 0.0077
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

$P_{0.21}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.21}^5\cdot {0.79}^0$=0.0004084101≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=xi)	0.7167	0.2174	0.0578	0.0077	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.8696$	$0.5202$	$0.1232$	$0.01$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-6.4503$	$-1.087$	$0$	$0.0539$	$0.0064$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7167 + 4⋅0.2174 + 9⋅0.0578 + 16⋅0.0077 + 25⋅0.0004

≈ 1.52

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.52 - 9 = -7.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.7167 + -5⋅0.2174 + 0⋅0.0578 + 7⋅0.0077 + 16⋅0.0004

≈ -7.48

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{3}{4}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{1}{5}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{3}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{3}{455}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{1820}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{70}$	$\frac{3}{455}$	$\frac{1}{1820}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{3}{4}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{12}{455}$	$\frac{1}{364}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{3}{4}$ + 2⋅$\frac{1}{5}$ + 3⋅$\frac{3}{70}$ + 4⋅$\frac{3}{455}$ + 5⋅$\frac{1}{1820}$

= $\frac{3}{4}$$+$ $\frac{2}{5}$$+$ $\frac{9}{70}$$+$ $\frac{12}{455}$$+$ $\frac{1}{364}$
= $\frac{1365}{1820}$$+$ $\frac{728}{1820}$$+$ $\frac{234}{1820}$$+$ $\frac{48}{1820}$$+$ $\frac{5}{1820}$
= $\frac{2380}{1820}$
= $\frac{17}{13}$

≈ 1.31