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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,25 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X \leq 3)

P_{0.25}^{6} (X = 0)

P_{0.25}^{6} (X = 1)

P_{0.25}^{6} (X = 2)

P_{0.25}^{6} (X = 3)

= 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{4} \cdot {0.75}^{2}

=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{5} \cdot {0.75}^{1}

=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{6} \cdot {0.75}^{0}

=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	100	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	40	90	990
P(X=x_i)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1.65$	$0.44$	$0.2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9.624$	$1.32$	$0.396$	$0.198$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 50⋅0.033 + 100⋅0.0044 + 1000⋅0.0002

≈ 2.29

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.29 - 10 = -7.71 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9624 + 40⋅0.033 + 90⋅0.0044 + 990⋅0.0002

≈ -7.71

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 6 Asse, 10 Könige, 2 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 450, 2 Damen 100 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 30 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{5}{92}$
As -> König	$\frac{5}{46}$
As -> Dame	$\frac{1}{46}$
As -> Bube	$\frac{3}{46}$
König -> As	$\frac{5}{46}$
König -> König	$\frac{15}{92}$
König -> Dame	$\frac{5}{138}$
König -> Bube	$\frac{5}{46}$
Dame -> As	$\frac{1}{46}$
Dame -> König	$\frac{5}{138}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{276}$
Dame -> Bube	$\frac{1}{46}$
Bube -> As	$\frac{3}{46}$
Bube -> König	$\frac{5}{46}$
Bube -> Dame	$\frac{1}{46}$
Bube -> Bube	$\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{15}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{276}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{5}{138}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{5}{69}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	450	100	90	30
P(X=x_i)	$\frac{5}{92}$	$\frac{15}{92}$	$\frac{1}{276}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{5}{69}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{625}{23}$	$\frac{3375}{46}$	$\frac{25}{69}$	$\frac{225}{46}$	$\frac{50}{23}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{5}{92}$ + 450⋅ $\frac{15}{92}$ + 100⋅ $\frac{1}{276}$ + 90⋅ $\frac{5}{92}$ + 30⋅ $\frac{5}{69}$

= $\frac{625}{23}$ $+$ $\frac{3375}{46}$ $+$ $\frac{25}{69}$ $+$ $\frac{225}{46}$ $+$ $\frac{50}{23}$
= $\frac{3750}{138}$ $+$ $\frac{10125}{138}$ $+$ $\frac{50}{138}$ $+$ $\frac{675}{138}$ $+$ $\frac{300}{138}$
= $\frac{14900}{138}$
= $\frac{7450}{69}$

≈ 107.97