Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 8€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P0.25 (X1) = P0.25 (X=0) + P0.25 (X=1) = 0.73728 ≈ 0.7373
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.2,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P0.25 (X=2) = ( 5 2 ) 0.22 0.83 =0.2048≈ 0.2048
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P0.25 (X=3) = ( 5 3 ) 0.23 0.82 =0.0512≈ 0.0512
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P0.25 (X=4) = ( 5 4 ) 0.24 0.81 =0.0064≈ 0.0064
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P0.25 (X=5) = ( 5 5 ) 0.25 0.80 =0.00032≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-1 2 3 4 5
Zufallsgröße xi 0 4 9 16 25
Zufallsgröße yi (Gewinn) -8 -4 1 8 17
P(X=xi) 0.7373 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003
xi ⋅ P(X=xi) 0 0.8192 0.4608 0.1024 0.0075
yi ⋅ P(Y=yi) -5.8984 -0.8192 0.0512 0.0512 0.0051

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7373 + 4⋅0.2048 + 9⋅0.0512 + 16⋅0.0064 + 25⋅0.0003

1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 8 = -6.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -8⋅0.7373 + -4⋅0.2048 + 1⋅0.0512 + 8⋅0.0064 + 17⋅0.0003

-6.61

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: 2 3

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: 8 33

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: 4 55

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: 8 495

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 5-ten Versuch st: 1 495

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4 5
Zufallsgröße xi 1 2 3 4 5
P(X=xi) 2 3 8 33 4 55 8 495 1 495
xi ⋅ P(X=xi) 2 3 16 33 12 55 32 495 1 99

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 2 3 + 2⋅ 8 33 + 3⋅ 4 55 + 4⋅ 8 495 + 5⋅ 1 495

= 2 3 + 16 33 + 12 55 + 32 495 + 1 99
= 330 495 + 240 495 + 108 495 + 32 495 + 5 495
= 715 495
= 13 9

1.44