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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 5€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.3}^{5} (X = 0)

+

P_{0.3}^{5} (X = 1)

= 0.52822 ≈ 0.5282
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.3,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{3}

=0.3087≈ 0.3087
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{2}

=0.1323≈ 0.1323
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{1}

=0.02835≈ 0.0284
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.3.

P_{0.3}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{0}

=0.00243≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(5,0.3,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	-1	4	11	20
P(X=x_i)	0.5282	0.3087	0.1323	0.0284	0.0024
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1.2348$	$1.1907$	$0.4544$	$0.06$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 2.641$	$- 0.3087$	$0.5292$	$0.3124$	$0.048$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5282 + 4⋅0.3087 + 9⋅0.1323 + 16⋅0.0284 + 25⋅0.0024

≈ 2.94

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.94 - 5 = -2.06 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.5282 + -1⋅0.3087 + 4⋅0.1323 + 11⋅0.0284 + 20⋅0.0024

≈ -2.06

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 8 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{55}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{4}{55}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{56}{11}$	$\frac{48}{11}$	$\frac{6}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{14}{55}$ + 10⋅ $\frac{28}{55}$ + 20⋅ $\frac{12}{55}$ + 30⋅ $\frac{1}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{0}{11}$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{110}{11}$
= $10$