Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X\le 1)$ = $P_{0.2}^5(X=0)$ + $P_{0.2}^5(X=1)$ = 0.73728 ≈ 0.7373
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.2,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.2}^2\cdot {0.8}^3$=0.2048≈ 0.2048
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.2}^3\cdot {0.8}^2$=0.0512≈ 0.0512
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.2}^4\cdot {0.8}^1$=0.0064≈ 0.0064
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

$P_{0.2}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.2}^5\cdot {0.8}^0$=0.00032≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=xi)	0.7373	0.2048	0.0512	0.0064	0.0003
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.8192$	$0.4608$	$0.1024$	$0.0075$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-5.8984$	$-0.8192$	$0.0512$	$0.0512$	$0.0051$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7373 + 4⋅0.2048 + 9⋅0.0512 + 16⋅0.0064 + 25⋅0.0003

≈ 1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 8 = -6.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.7373 + -4⋅0.2048 + 1⋅0.0512 + 8⋅0.0064 + 17⋅0.0003

≈ -6.61

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{8}{33}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{4}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{8}{495}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{495}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	1	2	3	4	5
P(X=xi)	$\frac{2}{3}$	$\frac{8}{33}$	$\frac{4}{55}$	$\frac{8}{495}$	$\frac{1}{495}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{2}{3}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{32}{495}$	$\frac{1}{99}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{2}{3}$ + 2⋅$\frac{8}{33}$ + 3⋅$\frac{4}{55}$ + 4⋅$\frac{8}{495}$ + 5⋅$\frac{1}{495}$

= $\frac{2}{3}$$+$ $\frac{16}{33}$$+$ $\frac{12}{55}$$+$ $\frac{32}{495}$$+$ $\frac{1}{99}$
= $\frac{330}{495}$$+$ $\frac{240}{495}$$+$ $\frac{108}{495}$$+$ $\frac{32}{495}$$+$ $\frac{5}{495}$
= $\frac{715}{495}$
= $\frac{13}{9}$

≈ 1.44