Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	50	200	3000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-19	31	181	2981
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$2.125$	$1.26$	$1.2$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-18.0652$	$1.3175$	$1.1403$	$1.1924$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 50⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 3000⋅0.0004

≈ 4.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.59 - 19 = -14.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.9508 + 31⋅0.0425 + 181⋅0.0063 + 2981⋅0.0004

≈ -14.42

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ = $\frac{135}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ = $\frac{945}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{455}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{21}{506}$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{2024}$	$\frac{455}{2024}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{1012}$	$\frac{1365}{2024}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{21}{506}$ + 1⋅$\frac{135}{506}$ + 2⋅$\frac{945}{2024}$ + 3⋅$\frac{455}{2024}$

= $0$$+$ $\frac{135}{506}$$+$ $\frac{945}{1012}$$+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{0}{2024}$$+$ $\frac{540}{2024}$$+$ $\frac{1890}{2024}$$+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{3795}{2024}$
= $\frac{15}{8}$

≈ 1.88