Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

$P_{0.19}^5(X\le 1)$ = $P_{0.19}^5(X=0)$ + $P_{0.19}^5(X=1)$ = 0.7576222896 ≈ 0.7576
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.19,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

$P_{0.19}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.19}^2\cdot {0.81}^3$=0.191850201≈ 0.1919
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

$P_{0.19}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.19}^3\cdot {0.81}^2$=0.045001899≈ 0.045
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

$P_{0.19}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.19}^4\cdot {0.81}^1$=0.0052780005≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

$P_{0.19}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.19}^5\cdot {0.81}^0$=0.0002476099≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=xi)	0.7576	0.1919	0.045	0.0053	0.0002
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$0.7676$	$0.405$	$0.0848$	$0.005$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-5.3032$	$-0.5757$	$0.09$	$0.0477$	$0.0036$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7576 + 4⋅0.1919 + 9⋅0.045 + 16⋅0.0053 + 25⋅0.0002

≈ 1.26

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.26 - 7 = -5.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.7576 + -3⋅0.1919 + 2⋅0.045 + 9⋅0.0053 + 18⋅0.0002

≈ -5.74

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{468}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ = $\frac{7}{52}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ = $\frac{35}{78}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{234}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{5}{468}$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{78}$	$\frac{95}{234}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{39}$	$\frac{95}{78}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{5}{468}$ + 1⋅$\frac{7}{52}$ + 2⋅$\frac{35}{78}$ + 3⋅$\frac{95}{234}$

= $0$$+$ $\frac{7}{52}$$+$ $\frac{35}{39}$$+$ $\frac{95}{78}$
= $\frac{0}{156}$$+$ $\frac{21}{156}$$+$ $\frac{140}{156}$$+$ $\frac{190}{156}$
= $\frac{351}{156}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25