Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 175€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 5€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	5	20	175
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1.736$	$1.388$	$0.805$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 5⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 175⋅0.0046

≈ 3.93

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{266}{585}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{28}{195}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{28}{195}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{195}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{195}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{195}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{195}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{4}{585}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{4}{585}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{195}$ + $\frac{7}{195}$ + $\frac{7}{195}$ = $\frac{7}{65}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{195}$ + $\frac{28}{195}$ + $\frac{28}{195}$ = $\frac{28}{65}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{266}{585}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{4}{585}$	$\frac{7}{65}$	$\frac{28}{65}$	$\frac{266}{585}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{7}{65}$	$\frac{56}{65}$	$\frac{266}{195}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{4}{585}$ + 1⋅ $\frac{7}{65}$ + 2⋅ $\frac{28}{65}$ + 3⋅ $\frac{266}{585}$

= $0$ $+$ $\frac{7}{65}$ $+$ $\frac{56}{65}$ $+$ $\frac{266}{195}$
= $\frac{0}{195}$ $+$ $\frac{21}{195}$ $+$ $\frac{168}{195}$ $+$ $\frac{266}{195}$
= $\frac{455}{195}$
= $\frac{7}{3}$

≈ 2.33