Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

$P_{0.29}^5(X\le 1)$ = $P_{0.29}^5(X=0)$ + $P_{0.29}^5(X=1)$ = 0.5488923096 ≈ 0.5489
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.29,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

$P_{0.29}^5(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.29}^2\cdot {0.71}^3$=0.301003151≈ 0.301
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

$P_{0.29}^5(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.29}^3\cdot {0.71}^2$=0.122944949≈ 0.1229
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

$P_{0.29}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.29}^4\cdot {0.71}^1$=0.0251084755≈ 0.0251
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

$P_{0.29}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.29}^5\cdot {0.71}^0$=0.0020511149≈ 0.0021
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße xi	0	4	9	16	25
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=xi)	0.5489	0.301	0.1229	0.0251	0.0021
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$1.204$	$1.1061$	$0.4016$	$0.0525$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-4.3912$	$-1.204$	$0.1229$	$0.2008$	$0.0357$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5489 + 4⋅0.301 + 9⋅0.1229 + 16⋅0.0251 + 25⋅0.0021

≈ 2.76

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.76 - 8 = -5.24 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.5489 + -4⋅0.301 + 1⋅0.1229 + 8⋅0.0251 + 17⋅0.0021

≈ -5.24

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{975}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ + $\frac{24}{325}$ = $\frac{72}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ + $\frac{51}{325}$ = $\frac{153}{325}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{272}{975}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	1	2	3
P(X=xi)	$\frac{28}{975}$	$\frac{72}{325}$	$\frac{153}{325}$	$\frac{272}{975}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{72}{325}$	$\frac{306}{325}$	$\frac{272}{325}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{28}{975}$ + 1⋅$\frac{72}{325}$ + 2⋅$\frac{153}{325}$ + 3⋅$\frac{272}{975}$

= $0$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{0}{325}$$+$ $\frac{72}{325}$$+$ $\frac{306}{325}$$+$ $\frac{272}{325}$
= $\frac{650}{325}$
= $2$