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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 40% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.4.

P_{0.4}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{0} \cdot {0.6}^{20}

=3.656158440063E-5≈ 0
(TI-Befehl: binompdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.4}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 0)$ = 0.051

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,4) - binomcdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.4}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 4)$ = 0.5446

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,8) - binomcdf(20,0.4,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.4}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 8)$ = 0.3834

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,12) - binomcdf(20,0.4,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.4}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 12)$ = 0.021

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,16) - binomcdf(20,0.4,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.4}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.4}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.4}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,20) - binomcdf(20,0.4,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0	0.051	0.5446	0.3834	0.021	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.255$	$5.446$	$5.751$	$0.42$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0 + 5⋅0.051 + 10⋅0.5446 + 15⋅0.3834 + 20⋅0.021 + 25⋅0

≈ 11.87

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen und 7 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 16€, bei 2 blauen bekommt er noch 4€, bei einer 2€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{120}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> rot -> rot	$\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	2	4	16
P(X=x_i)	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{20}$	$\frac{7}{10}$	$\frac{2}{15}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{7}{24}$ + 2⋅ $\frac{21}{40}$ + 4⋅ $\frac{7}{40}$ + 16⋅ $\frac{1}{120}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{7}{10}$ $+$ $\frac{2}{15}$
= $\frac{0}{60}$ $+$ $\frac{63}{60}$ $+$ $\frac{42}{60}$ $+$ $\frac{8}{60}$
= $\frac{113}{60}$

≈ 1.88