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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 6€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.2}^{5} (X = 0)

+

P_{0.2}^{5} (X = 1)

= 0.73728 ≈ 0.7373
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.2,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{2} \cdot {0.8}^{3}

=0.2048≈ 0.2048
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{3} \cdot {0.8}^{2}

=0.0512≈ 0.0512
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{4} \cdot {0.8}^{1}

=0.0064≈ 0.0064
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{5} \cdot {0.8}^{0}

=0.00032≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	-2	3	10	19
P(X=x_i)	0.7373	0.2048	0.0512	0.0064	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.8192$	$0.4608$	$0.1024$	$0.0075$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4.4238$	$- 0.4096$	$0.1536$	$0.064$	$0.0057$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7373 + 4⋅0.2048 + 9⋅0.0512 + 16⋅0.0064 + 25⋅0.0003

≈ 1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 6 = -4.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.7373 + -2⋅0.2048 + 3⋅0.0512 + 10⋅0.0064 + 19⋅0.0003

≈ -4.61

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 8 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{55}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{4}{55}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{56}{11}$	$\frac{48}{11}$	$\frac{6}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{14}{55}$ + 10⋅ $\frac{28}{55}$ + 20⋅ $\frac{12}{55}$ + 30⋅ $\frac{1}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{0}{11}$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{110}{11}$
= $10$