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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,25 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X \leq 3)

P_{0.25}^{6} (X = 0)

P_{0.25}^{6} (X = 1)

P_{0.25}^{6} (X = 2)

P_{0.25}^{6} (X = 3)

= 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{4} \cdot {0.75}^{2}

=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{5} \cdot {0.75}^{1}

=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{6} \cdot {0.75}^{0}

=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	100	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	10	90	3990
P(X=x_i)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.66$	$0.44$	$0.8$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9.624$	$0.33$	$0.396$	$0.798$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 20⋅0.033 + 100⋅0.0044 + 4000⋅0.0002

≈ 1.9

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.9 - 10 = -8.1 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9624 + 10⋅0.033 + 90⋅0.0044 + 3990⋅0.0002

≈ -8.1

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 147€, bei 2 blauen bekommt er noch 21€, bei einer 8€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{21}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	8	21	147
P(X=x_i)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{54}{55}$	$\frac{567}{55}$	$\frac{3087}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{220}$ + 8⋅ $\frac{27}{220}$ + 21⋅ $\frac{27}{55}$ + 147⋅ $\frac{21}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{54}{55}$ $+$ $\frac{567}{55}$ $+$ $\frac{3087}{55}$
= $\frac{0}{55}$ $+$ $\frac{54}{55}$ $+$ $\frac{567}{55}$ $+$ $\frac{3087}{55}$
= $\frac{3708}{55}$

≈ 67.42