Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 19€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,27 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X3) = P0.276 (X=0) + P0.276 (X=1) + P0.276 (X=2) + P0.276 (X=3) = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=4) = ( 6 4 ) 0.274 0.732 =0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=5) = ( 6 5 ) 0.275 0.731 =0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=6) = ( 6 6 ) 0.276 0.730 =0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 0 50 200 3000
Zufallsgröße yi (Gewinn) -19 31 181 2981
P(X=xi) 0.9508 0.0425 0.0063 0.0004
xi ⋅ P(X=xi) 0 2.125 1.26 1.2
yi ⋅ P(Y=yi) -18.0652 1.3175 1.1403 1.1924

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 50⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 3000⋅0.0004

4.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.59 - 19 = -14.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -19⋅0.9508 + 31⋅0.0425 + 181⋅0.0063 + 2981⋅0.0004

-14.42

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 455 2024
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 315 2024
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 315 2024
Mädchen -> Jungs -> Jungs 45 506
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 315 2024
Jungs -> Mädchen -> Jungs 45 506
Jungs -> Jungs -> Mädchen 45 506
Jungs -> Jungs -> Jungs 21 506

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 21 506

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 45 506 + 45 506 + 45 506 = 135 506

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 315 2024 + 315 2024 + 315 2024 = 945 2024

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 455 2024

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 21 506 135 506 945 2024 455 2024
xi ⋅ P(X=xi) 0 135 506 945 1012 1365 2024

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 21 506 + 1⋅ 135 506 + 2⋅ 945 2024 + 3⋅ 455 2024

= 0+ 135 506 + 945 1012 + 1365 2024
= 0 2024 + 540 2024 + 1890 2024 + 1365 2024
= 3795 2024
= 15 8

1.88