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Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 9€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 84% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

P_{0.16}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.16}^{5} (X = 0)

+

P_{0.16}^{5} (X = 1)

= 0.8165090304 ≈ 0.8165
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.16,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

P_{0.16}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.16}^{2} \cdot {0.84}^{3}

=0.151732224≈ 0.1517
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

P_{0.16}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.16}^{3} \cdot {0.84}^{2}

=0.028901376≈ 0.0289
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

P_{0.16}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.16}^{4} \cdot {0.84}^{1}

=0.002752512≈ 0.0028
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.16.

P_{0.16}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.16}^{5} \cdot {0.84}^{0}

=0.0001048576≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.16,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=x_i)	0.8165	0.1517	0.0289	0.0028	0.0001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0.6068$	$0.2601$	$0.0448$	$0.0025$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7.3485$	$- 0.7585$	$0$	$0.0196$	$0.0016$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8165 + 4⋅0.1517 + 9⋅0.0289 + 16⋅0.0028 + 25⋅0.0001

≈ 0.91

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.91 - 9 = -8.09 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8165 + -5⋅0.1517 + 0⋅0.0289 + 7⋅0.0028 + 16⋅0.0001

≈ -8.09

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 4€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 1€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{9}{64}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{64}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{9}{64}$
Raute -> Raute	$\frac{9}{64}$
Raute -> Stein	$\frac{3}{64}$
Raute -> Krone	$\frac{3}{64}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{64}$
Stein -> Raute	$\frac{3}{64}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{64}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{64}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{3}{64}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{64}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{19}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	1	4	40
P(X=x_i)	$\frac{19}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{19}{64}$	$\frac{7}{8}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{19}{64}$ + 4⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{19}{64}$ $+$ $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{19}{64}$ $+$ $\frac{56}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{115}{64}$

≈ 1.8