Aufgabenbeispiele von komplexere Erwartungswerte

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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,27 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X3) = P0.276 (X=0) + P0.276 (X=1) + P0.276 (X=2) + P0.276 (X=3) = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=4) = ( 6 4 ) 0.274 0.732 =0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=5) = ( 6 5 ) 0.275 0.731 =0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P0.276 (X=6) = ( 6 6 ) 0.276 0.730 =0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 0 30 100 4000
Zufallsgröße yi (Gewinn) -13 17 87 3987
P(X=xi) 0.9508 0.0425 0.0063 0.0004
xi ⋅ P(X=xi) 0 1.275 0.63 1.6
yi ⋅ P(Y=yi) -12.3604 0.7225 0.5481 1.5948

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 30⋅0.0425 + 100⋅0.0063 + 4000⋅0.0004

3.51

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.51 - 13 = -9.49 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -13⋅0.9508 + 17⋅0.0425 + 87⋅0.0063 + 3987⋅0.0004

-9.5

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1296€, bei 2 blauen bekommt er noch 36€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
blau -> blau -> blau 24 91
blau -> blau -> rot 15 91
blau -> rot -> blau 15 91
blau -> rot -> rot 20 273
rot -> blau -> blau 15 91
rot -> blau -> rot 20 273
rot -> rot -> blau 20 273
rot -> rot -> rot 2 91

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: 2 91

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: 20 273 + 20 273 + 20 273 = 20 91

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: 15 91 + 15 91 + 15 91 = 45 91

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: 24 91

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 6 36 1296
P(X=xi) 2 91 20 91 45 91 24 91
xi ⋅ P(X=xi) 0 120 91 1620 91 31104 91

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 2 91 + 6⋅ 20 91 + 36⋅ 45 91 + 1296⋅ 24 91

= 0+ 120 91 + 1620 91 + 31104 91
= 0 91 + 120 91 + 1620 91 + 31104 91
= 32844 91
= 4692 13

360.92