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Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben

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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.5}$ ≈ 0.8409

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ =1- $\frac{21}{2080}$ ≈0.9899
8	1- $\frac{8}{65}$ ⋅ $\frac{7}{64}$ =1- $\frac{7}{520}$ ≈0.9865
9	1- $\frac{9}{65}$ ⋅ $\frac{8}{64}$ =1- $\frac{9}{520}$ ≈0.9827
10	1- $\frac{10}{65}$ ⋅ $\frac{9}{64}$ =1- $\frac{9}{416}$ ≈0.9784
11	1- $\frac{11}{65}$ ⋅ $\frac{10}{64}$ =1- $\frac{11}{416}$ ≈0.9736
12	1- $\frac{12}{65}$ ⋅ $\frac{11}{64}$ =1- $\frac{33}{1040}$ ≈0.9683
13	1- $\frac{13}{65}$ ⋅ $\frac{12}{64}$ =1- $\frac{3}{80}$ ≈0.9625
14	1- $\frac{14}{65}$ ⋅ $\frac{13}{64}$ =1- $\frac{7}{160}$ ≈0.9563
15	1- $\frac{15}{65}$ ⋅ $\frac{14}{64}$ =1- $\frac{21}{416}$ ≈0.9495
16	1- $\frac{16}{65}$ ⋅ $\frac{15}{64}$ =1- $\frac{3}{52}$ ≈0.9423
17	1- $\frac{17}{65}$ ⋅ $\frac{16}{64}$ =1- $\frac{17}{260}$ ≈0.9346
18	1- $\frac{18}{65}$ ⋅ $\frac{17}{64}$ =1- $\frac{153}{2080}$ ≈0.9264
19	1- $\frac{19}{65}$ ⋅ $\frac{18}{64}$ =1- $\frac{171}{2080}$ ≈0.9178
20	1- $\frac{20}{65}$ ⋅ $\frac{19}{64}$ =1- $\frac{19}{208}$ ≈0.9087
21	1- $\frac{21}{65}$ ⋅ $\frac{20}{64}$ =1- $\frac{21}{208}$ ≈0.899
22	1- $\frac{22}{65}$ ⋅ $\frac{21}{64}$ =1- $\frac{231}{2080}$ ≈0.8889
23	1- $\frac{23}{65}$ ⋅ $\frac{22}{64}$ =1- $\frac{253}{2080}$ ≈0.8784
24	1- $\frac{24}{65}$ ⋅ $\frac{23}{64}$ =1- $\frac{69}{520}$ ≈0.8673
25	1- $\frac{25}{65}$ ⋅ $\frac{24}{64}$ =1- $\frac{15}{104}$ ≈0.8558
26	1- $\frac{26}{65}$ ⋅ $\frac{25}{64}$ =1- $\frac{5}{32}$ ≈0.8438
27	1- $\frac{27}{65}$ ⋅ $\frac{26}{64}$ =1- $\frac{27}{160}$ ≈0.8313
28	1- $\frac{28}{65}$ ⋅ $\frac{27}{64}$ =1- $\frac{189}{1040}$ ≈0.8183
29	1- $\frac{29}{65}$ ⋅ $\frac{28}{64}$ =1- $\frac{203}{1040}$ ≈0.8048
30	1- $\frac{30}{65}$ ⋅ $\frac{29}{64}$ =1- $\frac{87}{416}$ ≈0.7909
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{65}$ und beim zweiten $\frac{6}{64}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 29 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 29 sein.