Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2403 - 60) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2403 - 60) mod 6 ≡ (2403 mod 6 - 60 mod 6) mod 6.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(2403 - 60) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 58) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 58) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 58) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4058 mod 409.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 405 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4051=405

2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409

8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 133212 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 1331=133

2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227

4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227

8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227

16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 225 mod 227

32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 4 mod 227

64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 227

128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 29 mod 227

133212

= 133128+64+16+4

= 133128⋅13364⋅13316⋅1334

29 ⋅ 16 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227
464 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227 ≡ 10 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227
2250 ⋅ 62 mod 227 ≡ 207 ⋅ 62 mod 227
12834 mod 227 ≡ 122 mod 227

Es gilt also: 133212 ≡ 122 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59 = 2⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27)
= 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.