Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39994 - 161) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39994 - 161) mod 8 ≡ (39994 mod 8 - 161 mod 8) mod 8.
39994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39994
= 39000
161 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161
= 160
Somit gilt:
(39994 - 161) mod 8 ≡ (2 - 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 24) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 24) mod 11 ≡ (83 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 24) mod 11 ≡ (6 ⋅ 2) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3888 mod 467.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 170 mod 467
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 413 mod 467
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 114 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 483146 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 4831=483
2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 340 mod 829
4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 369 mod 829
8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 205 mod 829
16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 575 mod 829
32: 48332=48316+16=48316⋅48316 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 683 mod 829
64: 48364=48332+32=48332⋅48332 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 591 mod 829
128: 483128=48364+64=48364⋅48364 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 272 mod 829
483146
= 483128+16+2
= 483128⋅48316⋅4832
≡ 272 ⋅ 575 ⋅ 340 mod 829
≡ 156400 ⋅ 340 mod 829 ≡ 548 ⋅ 340 mod 829
≡ 186320 mod 829 ≡ 624 mod 829
Es gilt also: 483146 ≡ 624 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26
| =>61 | = 2⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26
oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅61 = -7⋅26
-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26
-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1
(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1
54⋅26 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1
Somit 54⋅26 = 1 mod 61
54 ist also das Inverse von 26 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
