Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (446 + 18000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(446 + 18000) mod 9 ≡ (446 mod 9 + 18000 mod 9) mod 9.
446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446
= 450
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(446 + 18000) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 20) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 20) mod 10 ≡ (92 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.
92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 20) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29116 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 285 mod 541
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 75 mod 541
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 240 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 803143 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 8031=803
2: 8032=8031+1=8031⋅8031 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 798 mod 881
4: 8034=8032+2=8032⋅8032 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 722 mod 881
8: 8038=8034+4=8034⋅8034 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 613 mod 881
16: 80316=8038+8=8038⋅8038 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 463 mod 881
32: 80332=80316+16=80316⋅80316 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 286 mod 881
64: 80364=80332+32=80332⋅80332 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881
128: 803128=80364+64=80364⋅80364 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
803143
= 803128+8+4+2+1
= 803128⋅8038⋅8034⋅8032⋅8031
≡ 268 ⋅ 613 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
≡ 164284 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881 ≡ 418 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
≡ 301796 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881 ≡ 494 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
≡ 394212 ⋅ 803 mod 881 ≡ 405 ⋅ 803 mod 881
≡ 325215 mod 881 ≡ 126 mod 881
Es gilt also: 803143 ≡ 126 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
