Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 - 202) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 - 202) mod 5 ≡ (245 mod 5 - 202 mod 5) mod 5.
245 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(245 - 202) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 68) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 68) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48664 mod 941.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4861=486
2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 5 mod 941
4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 941
8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 941
16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 110 mod 941
32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 808 mod 941
64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 751 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149147 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 29 mod 241
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 29⋅29=841 ≡ 118 mod 241
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 187 mod 241
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
149147
= 149128+16+2+1
= 149128⋅14916⋅1492⋅1491
≡ 54 ⋅ 24 ⋅ 29 ⋅ 149 mod 241
≡ 1296 ⋅ 29 ⋅ 149 mod 241 ≡ 91 ⋅ 29 ⋅ 149 mod 241
≡ 2639 ⋅ 149 mod 241 ≡ 229 ⋅ 149 mod 241
≡ 34121 mod 241 ≡ 140 mod 241
Es gilt also: 149147 ≡ 140 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
