Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 + 120) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 + 120) mod 3 ≡ (600 mod 3 + 120 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(600 + 120) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 80) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 80) mod 5 ≡ (37 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 80) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1408 mod 251.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 22 mod 251
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 22⋅22=484 ≡ 233 mod 251
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 73 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 809148 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 8091=809
2: 8092=8091+1=8091⋅8091 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 465 mod 929
4: 8094=8092+2=8092⋅8092 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 697 mod 929
8: 8098=8094+4=8094⋅8094 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 871 mod 929
16: 80916=8098+8=8098⋅8098 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 577 mod 929
32: 80932=80916+16=80916⋅80916 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 347 mod 929
64: 80964=80932+32=80932⋅80932 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 568 mod 929
128: 809128=80964+64=80964⋅80964 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 261 mod 929
809148
= 809128+16+4
= 809128⋅80916⋅8094
≡ 261 ⋅ 577 ⋅ 697 mod 929
≡ 150597 ⋅ 697 mod 929 ≡ 99 ⋅ 697 mod 929
≡ 69003 mod 929 ≡ 257 mod 929
Es gilt also: 809148 ≡ 257 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55
| =>59 | = 1⋅55 + 4 |
| =>55 | = 13⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 55-13⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4) = -1⋅55 +14⋅ 4 (=1) |
| 4= 59-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55) = 14⋅59 -15⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55
oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅59 = -15⋅55
-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55
-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1
(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1
44⋅55 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1
Somit 44⋅55 = 1 mod 59
44 ist also das Inverse von 55 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
