Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 - 8000) mod 4 ≡ (1997 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(1997 - 8000) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 34) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 34 mod 10) mod 10.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 34) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 243¹=243

2: 243²=243¹⁺¹=243¹⋅243¹ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 471 mod 751

4: 243⁴=243²⁺²=243²⋅243² ≡ 471⋅471=221841 ≡ 296 mod 751

8: 243⁸=243⁴⁺⁴=243⁴⋅243⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 500 mod 751

16: 243¹⁶=243⁸⁺⁸=243⁸⋅243⁸ ≡ 500⋅500=250000 ≡ 668 mod 751

32: 243³²=243¹⁶⁺¹⁶=243¹⁶⋅243¹⁶ ≡ 668⋅668=446224 ≡ 130 mod 751

64: 243⁶⁴=243³²⁺³²=243³²⋅243³² ≡ 130⋅130=16900 ≡ 378 mod 751

128: 243¹²⁸=243⁶⁴⁺⁶⁴=243⁶⁴⋅243⁶⁴ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 194 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

89⁷⁹

= 89^64+8+4+2+1

= 89⁶⁴⋅89⁸⋅89⁴⋅89²⋅89¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
≡ 1 ⋅ 280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
≡ 280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
≡ 14840 ⋅ 89 mod 281 ≡ 228 ⋅ 89 mod 281
≡ 20292 mod 281 ≡ 60 mod 281

Es gilt also: 89⁷⁹ ≡ 60 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73	= 2⋅31 + 11
=>31	= 2⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31) = 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73