Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1404 + 21007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1404 + 21007) mod 7 ≡ (1404 mod 7 + 21007 mod 7) mod 7.
1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404
= 1400
21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007
= 21000
Somit gilt:
(1404 + 21007) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (7 ⋅ 2) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5708 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 570 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5701=570
2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 289 mod 587
4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 167 mod 587
8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 300 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 494236 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 4941=494
2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 456 mod 641
4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 252 mod 641
8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 45 mod 641
16: 49416=4948+8=4948⋅4948 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 102 mod 641
32: 49432=49416+16=49416⋅49416 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 148 mod 641
64: 49464=49432+32=49432⋅49432 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 110 mod 641
128: 494128=49464+64=49464⋅49464 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 562 mod 641
494236
= 494128+64+32+8+4
= 494128⋅49464⋅49432⋅4948⋅4944
≡ 562 ⋅ 110 ⋅ 148 ⋅ 45 ⋅ 252 mod 641
≡ 61820 ⋅ 148 ⋅ 45 ⋅ 252 mod 641 ≡ 284 ⋅ 148 ⋅ 45 ⋅ 252 mod 641
≡ 42032 ⋅ 45 ⋅ 252 mod 641 ≡ 367 ⋅ 45 ⋅ 252 mod 641
≡ 16515 ⋅ 252 mod 641 ≡ 490 ⋅ 252 mod 641
≡ 123480 mod 641 ≡ 408 mod 641
Es gilt also: 494236 ≡ 408 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 32
| =>101 | = 3⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-3⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(101 -3⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅101 -39⋅ 32) = 13⋅101 -41⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,32)=1 = 13⋅101 -41⋅32
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -41⋅32
-41⋅32 = -13⋅101 + 1 |+101⋅32
-41⋅32 + 101⋅32 = -13⋅101 + 101⋅32 + 1
(-41 + 101) ⋅ 32 = (-13 + 32) ⋅ 101 + 1
60⋅32 = 19⋅101 + 1
Es gilt also: 60⋅32 = 19⋅101 +1
Somit 60⋅32 = 1 mod 101
60 ist also das Inverse von 32 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
