Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1803 - 45002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1803 - 45002) mod 9 ≡ (1803 mod 9 - 45002 mod 9) mod 9.
1803 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002
= 45000
Somit gilt:
(1803 - 45002) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 56) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 56) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 56 mod 7) mod 7.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 56) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58716 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 587 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5871=587
2: 5872=5871+1=5871⋅5871 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 163 mod 941
4: 5874=5872+2=5872⋅5872 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 221 mod 941
8: 5878=5874+4=5874⋅5874 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 850 mod 941
16: 58716=5878+8=5878⋅5878 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 753 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 451131 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 4511=451
2: 4512=4511+1=4511⋅4511 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 550 mod 683
4: 4514=4512+2=4512⋅4512 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 614 mod 683
8: 4518=4514+4=4514⋅4514 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 663 mod 683
16: 45116=4518+8=4518⋅4518 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 400 mod 683
32: 45132=45116+16=45116⋅45116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 178 mod 683
64: 45164=45132+32=45132⋅45132 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 266 mod 683
128: 451128=45164+64=45164⋅45164 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 407 mod 683
451131
= 451128+2+1
= 451128⋅4512⋅4511
≡ 407 ⋅ 550 ⋅ 451 mod 683
≡ 223850 ⋅ 451 mod 683 ≡ 509 ⋅ 451 mod 683
≡ 229559 mod 683 ≡ 71 mod 683
Es gilt also: 451131 ≡ 71 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24
| =>53 | = 2⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -11⋅24
-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24
-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1
(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1
42⋅24 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1
Somit 42⋅24 = 1 mod 53
42 ist also das Inverse von 24 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
