Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39992 + 23992) mod 8 ≡ (39992 mod 8 + 23992 mod 8) mod 8.

39992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39992 = 39000+992 = 8 ⋅ 4875 +992.

23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992 = 23000+992 = 8 ⋅ 2875 +992.

Somit gilt:

(39992 + 23992) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 55) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 55 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 55) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 196¹=196

2: 196²=196¹⁺¹=196¹⋅196¹ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 5 mod 541

4: 196⁴=196²⁺²=196²⋅196² ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 541

8: 196⁸=196⁴⁺⁴=196⁴⋅196⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 84 mod 541

16: 196¹⁶=196⁸⁺⁸=196⁸⋅196⁸ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 23 mod 541

32: 196³²=196¹⁶⁺¹⁶=196¹⁶⋅196¹⁶ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 541

64: 196⁶⁴=196³²⁺³²=196³²⋅196³² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 144 mod 541

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

685²¹⁷

= 685^{128+64+16+8+1}

= 685¹²⁸⋅685⁶⁴⋅685¹⁶⋅685⁸⋅685¹

≡ 115 ⋅ 208 ⋅ 565 ⋅ 317 ⋅ 685 mod 757
≡ 23920 ⋅ 565 ⋅ 317 ⋅ 685 mod 757 ≡ 453 ⋅ 565 ⋅ 317 ⋅ 685 mod 757
≡ 255945 ⋅ 317 ⋅ 685 mod 757 ≡ 79 ⋅ 317 ⋅ 685 mod 757
≡ 25043 ⋅ 685 mod 757 ≡ 62 ⋅ 685 mod 757
≡ 42470 mod 757 ≡ 78 mod 757

Es gilt also: 685²¹⁷ ≡ 78 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53	= 1⋅28 + 25
=>28	= 1⋅25 + 3
=>25	= 8⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25) = 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28) = -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53