Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 - 2105) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 - 2105) mod 7 ≡ (72 mod 7 - 2105 mod 7) mod 7.
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72
= 70
2105 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2105
= 2100
Somit gilt:
(72 - 2105) mod 7 ≡ (2 - 5) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 88) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 88) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 88 mod 10) mod 10.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 88) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27216 mod 619.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 323 mod 619
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 337 mod 619
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 292 mod 619
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 461 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 417143 mod 977.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 4171=417
2: 4172=4171+1=4171⋅4171 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 960 mod 977
4: 4174=4172+2=4172⋅4172 ≡ 960⋅960=921600 ≡ 289 mod 977
8: 4178=4174+4=4174⋅4174 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 476 mod 977
16: 41716=4178+8=4178⋅4178 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 889 mod 977
32: 41732=41716+16=41716⋅41716 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 905 mod 977
64: 41764=41732+32=41732⋅41732 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 299 mod 977
128: 417128=41764+64=41764⋅41764 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 494 mod 977
417143
= 417128+8+4+2+1
= 417128⋅4178⋅4174⋅4172⋅4171
≡ 494 ⋅ 476 ⋅ 289 ⋅ 960 ⋅ 417 mod 977
≡ 235144 ⋅ 289 ⋅ 960 ⋅ 417 mod 977 ≡ 664 ⋅ 289 ⋅ 960 ⋅ 417 mod 977
≡ 191896 ⋅ 960 ⋅ 417 mod 977 ≡ 404 ⋅ 960 ⋅ 417 mod 977
≡ 387840 ⋅ 417 mod 977 ≡ 948 ⋅ 417 mod 977
≡ 395316 mod 977 ≡ 608 mod 977
Es gilt also: 417143 ≡ 608 mod 977
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
