Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (182 + 18002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(182 + 18002) mod 9 ≡ (182 mod 9 + 18002 mod 9) mod 9.
182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
18002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002
= 18000
Somit gilt:
(182 + 18002) mod 9 ≡ (2 + 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 53) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.
15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 53) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17716 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 4 mod 419
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 573164 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 5731=573
2: 5732=5731+1=5731⋅5731 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 104 mod 691
4: 5734=5732+2=5732⋅5732 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 451 mod 691
8: 5738=5734+4=5734⋅5734 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 247 mod 691
16: 57316=5738+8=5738⋅5738 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 201 mod 691
32: 57332=57316+16=57316⋅57316 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 323 mod 691
64: 57364=57332+32=57332⋅57332 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 679 mod 691
128: 573128=57364+64=57364⋅57364 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 144 mod 691
573164
= 573128+32+4
= 573128⋅57332⋅5734
≡ 144 ⋅ 323 ⋅ 451 mod 691
≡ 46512 ⋅ 451 mod 691 ≡ 215 ⋅ 451 mod 691
≡ 96965 mod 691 ≡ 225 mod 691
Es gilt also: 573164 ≡ 225 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
