Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (209 - 68) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(209 - 68) mod 7 ≡ (209 mod 7 - 68 mod 7) mod 7.

209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209 = 210-1 = 7 ⋅ 30 -1 = 7 ⋅ 30 - 7 + 6.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 70-2 = 7 ⋅ 10 -2 = 7 ⋅ 10 - 7 + 5.

Somit gilt:

(209 - 68) mod 7 ≡ (6 - 5) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 92) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 92) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 92) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78932 mod 827.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 789 -> x
2. mod(x²,827) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7891=789

2: 7892=7891+1=7891⋅7891 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 617 mod 827

4: 7894=7892+2=7892⋅7892 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 269 mod 827

8: 7898=7894+4=7894⋅7894 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 412 mod 827

16: 78916=7898+8=7898⋅7898 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 209 mod 827

32: 78932=78916+16=78916⋅78916 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 677 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 75875 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 7581=758

2: 7582=7581+1=7581⋅7581 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 442 mod 929

4: 7584=7582+2=7582⋅7582 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 274 mod 929

8: 7588=7584+4=7584⋅7584 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 756 mod 929

16: 75816=7588+8=7588⋅7588 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 201 mod 929

32: 75832=75816+16=75816⋅75816 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929

64: 75864=75832+32=75832⋅75832 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 807 mod 929

75875

= 75864+8+2+1

= 75864⋅7588⋅7582⋅7581

807 ⋅ 756 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929
610092 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929 ≡ 668 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929
295256 ⋅ 758 mod 929 ≡ 763 ⋅ 758 mod 929
578354 mod 929 ≡ 516 mod 929

Es gilt also: 75875 ≡ 516 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.