Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 15996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 15996) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 15996 mod 4) mod 4.
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
15996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996
= 15000
Somit gilt:
(1199 + 15996) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.
31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.
29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2168 mod 223.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 49 mod 223
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 171 mod 223
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 28 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214196 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 395 mod 547
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 130 mod 547
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 490 mod 547
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 514 mod 547
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 542 mod 547
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 25 mod 547
128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 25⋅25=625 ≡ 78 mod 547
214196
= 214128+64+4
= 214128⋅21464⋅2144
≡ 78 ⋅ 25 ⋅ 130 mod 547
≡ 1950 ⋅ 130 mod 547 ≡ 309 ⋅ 130 mod 547
≡ 40170 mod 547 ≡ 239 mod 547
Es gilt also: 214196 ≡ 239 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
