Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (196 - 3999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(196 - 3999) mod 4 ≡ (196 mod 4 - 3999 mod 4) mod 4.
196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196
= 200
3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 3000
Somit gilt:
(196 - 3999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 61) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 61) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 61 mod 9) mod 9.
64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.
61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 61) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3628 mod 433.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 278 mod 433
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 210 mod 433
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 367 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 252155 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 246 mod 811
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 502 mod 811
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 594 mod 811
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 51 mod 811
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 168 mod 811
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 650 mod 811
128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 780 mod 811
252155
= 252128+16+8+2+1
= 252128⋅25216⋅2528⋅2522⋅2521
≡ 780 ⋅ 51 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
≡ 39780 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811 ≡ 41 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
≡ 24354 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811 ≡ 24 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
≡ 5904 ⋅ 252 mod 811 ≡ 227 ⋅ 252 mod 811
≡ 57204 mod 811 ≡ 434 mod 811
Es gilt also: 252155 ≡ 434 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
