Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24000 - 806) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24000 - 806) mod 8 ≡ (24000 mod 8 - 806 mod 8) mod 8.

24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 8 ⋅ 3000 +0.

806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806 = 800+6 = 8 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(24000 - 806) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 15) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 15) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.

44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 15) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25964 mod 337.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2591=259

2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 18 mod 337

4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 337

8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 169 mod 337

16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337

32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337

64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 104 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 165228 mod 241.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 233 mod 241

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 64 mod 241

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 240 mod 241

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 1 mod 241

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241

128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241

165228

= 165128+64+32+4

= 165128⋅16564⋅16532⋅1654

1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 64 mod 241
1 ⋅ 1 ⋅ 64 mod 241
1 ⋅ 64 mod 241
64 mod 241

Es gilt also: 165228 ≡ 64 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97 = 1⋅69 + 28
=>69 = 2⋅28 + 13
=>28 = 2⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13)
= -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28)
= 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69)
= -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.