Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (282 + 34993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(282 + 34993) mod 7 ≡ (282 mod 7 + 34993 mod 7) mod 7.
282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282
= 280
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
Somit gilt:
(282 + 34993) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 19) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 19) mod 8 ≡ (46 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 19) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30916 mod 617.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 463 mod 617
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 270 mod 617
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 94 mod 617
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 198 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 189234 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 39 mod 313
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 269 mod 313
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 58 mod 313
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 234 mod 313
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313
64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313
128: 189128=18964+64=18964⋅18964 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313
189234
= 189128+64+32+8+2
= 189128⋅18964⋅18932⋅1898⋅1892
≡ 113 ⋅ 48 ⋅ 294 ⋅ 58 ⋅ 39 mod 313
≡ 5424 ⋅ 294 ⋅ 58 ⋅ 39 mod 313 ≡ 103 ⋅ 294 ⋅ 58 ⋅ 39 mod 313
≡ 30282 ⋅ 58 ⋅ 39 mod 313 ≡ 234 ⋅ 58 ⋅ 39 mod 313
≡ 13572 ⋅ 39 mod 313 ≡ 113 ⋅ 39 mod 313
≡ 4407 mod 313 ≡ 25 mod 313
Es gilt also: 189234 ≡ 25 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
