Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (211 - 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(211 - 76) mod 7 ≡ (211 mod 7 - 76 mod 7) mod 7.
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 70
Somit gilt:
(211 - 76) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 25) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 25) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19316 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 268 mod 587
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 210 mod 587
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 75 mod 587
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 342 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 797134 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 7971=797
2: 7972=7971+1=7971⋅7971 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 719 mod 947
4: 7974=7972+2=7972⋅7972 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 846 mod 947
8: 7978=7974+4=7974⋅7974 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 731 mod 947
16: 79716=7978+8=7978⋅7978 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 253 mod 947
32: 79732=79716+16=79716⋅79716 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 560 mod 947
64: 79764=79732+32=79732⋅79732 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 143 mod 947
128: 797128=79764+64=79764⋅79764 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 562 mod 947
797134
= 797128+4+2
= 797128⋅7974⋅7972
≡ 562 ⋅ 846 ⋅ 719 mod 947
≡ 475452 ⋅ 719 mod 947 ≡ 58 ⋅ 719 mod 947
≡ 41702 mod 947 ≡ 34 mod 947
Es gilt also: 797134 ≡ 34 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
