Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1502 + 603) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1502 + 603) mod 3 ≡ (1502 mod 3 + 603 mod 3) mod 3.
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603
= 600
Somit gilt:
(1502 + 603) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 79) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 79) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 79) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 933128 mod 967.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 933 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9331=933
2: 9332=9331+1=9331⋅9331 ≡ 933⋅933=870489 ≡ 189 mod 967
4: 9334=9332+2=9332⋅9332 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 909 mod 967
8: 9338=9334+4=9334⋅9334 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 463 mod 967
16: 93316=9338+8=9338⋅9338 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 662 mod 967
32: 93332=93316+16=93316⋅93316 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 193 mod 967
64: 93364=93332+32=93332⋅93332 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 503 mod 967
128: 933128=93364+64=93364⋅93364 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 622 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 342152 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 3421=342
2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 76 mod 769
4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 393 mod 769
8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 649 mod 769
16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 558 mod 769
32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 688 mod 769
64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769
128: 342128=34264+64=34264⋅34264 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769
342152
= 342128+16+8
= 342128⋅34216⋅3428
≡ 408 ⋅ 558 ⋅ 649 mod 769
≡ 227664 ⋅ 649 mod 769 ≡ 40 ⋅ 649 mod 769
≡ 25960 mod 769 ≡ 583 mod 769
Es gilt also: 342152 ≡ 583 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
