Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8004 - 20000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8004 - 20000) mod 4 ≡ (8004 mod 4 - 20000 mod 4) mod 4.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(8004 - 20000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 66) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 66) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.

67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 66) mod 11 ≡ (1 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33716 mod 449.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 421 mod 449

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 335 mod 449

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 945175 mod 997.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 9451=945

2: 9452=9451+1=9451⋅9451 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 710 mod 997

4: 9454=9452+2=9452⋅9452 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 615 mod 997

8: 9458=9454+4=9454⋅9454 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 362 mod 997

16: 94516=9458+8=9458⋅9458 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 437 mod 997

32: 94532=94516+16=94516⋅94516 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 542 mod 997

64: 94564=94532+32=94532⋅94532 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 646 mod 997

128: 945128=94564+64=94564⋅94564 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 570 mod 997

945175

= 945128+32+8+4+2+1

= 945128⋅94532⋅9458⋅9454⋅9452⋅9451

570 ⋅ 542 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
308940 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 867 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
313854 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 796 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
489540 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 13 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
9230 ⋅ 945 mod 997 ≡ 257 ⋅ 945 mod 997
242865 mod 997 ≡ 594 mod 997

Es gilt also: 945175 ≡ 594 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

=>67 = 1⋅58 + 9
=>58 = 6⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 58-6⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9)
= -2⋅58 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58)
= 13⋅67 -15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -15⋅58

-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58

-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1

(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1

52⋅58 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1

Somit 52⋅58 = 1 mod 67

52 ist also das Inverse von 58 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.