Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14998 - 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14998 - 6000) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(14998 - 6000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 93) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 93) mod 3 ≡ (17 mod 3 ⋅ 93 mod 3) mod 3.
17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 93) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38916 mod 523.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 174 mod 523
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 465 mod 523
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 226 mod 523
16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 345 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83226 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 831=83
2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 141 mod 241
4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 119 mod 241
8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241
16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241
32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241
64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241
128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241
83226
= 83128+64+32+2
= 83128⋅8364⋅8332⋅832
≡ 183 ⋅ 119 ⋅ 100 ⋅ 141 mod 241
≡ 21777 ⋅ 100 ⋅ 141 mod 241 ≡ 87 ⋅ 100 ⋅ 141 mod 241
≡ 8700 ⋅ 141 mod 241 ≡ 24 ⋅ 141 mod 241
≡ 3384 mod 241 ≡ 10 mod 241
Es gilt also: 83226 ≡ 10 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
