Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14998 - 601) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14998 - 601) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 601 mod 3) mod 3.
14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 15000
601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
Somit gilt:
(14998 - 601) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 78) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 78) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 78) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7138 mod 797.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 713 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7131=713
2: 7132=7131+1=7131⋅7131 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 680 mod 797
4: 7134=7132+2=7132⋅7132 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 140 mod 797
8: 7138=7134+4=7134⋅7134 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 472 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 229153 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 2291=229
2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 327 mod 367
4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 132 mod 367
8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 175 mod 367
16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 164 mod 367
32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 105 mod 367
64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 15 mod 367
128: 229128=22964+64=22964⋅22964 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 367
229153
= 229128+16+8+1
= 229128⋅22916⋅2298⋅2291
≡ 225 ⋅ 164 ⋅ 175 ⋅ 229 mod 367
≡ 36900 ⋅ 175 ⋅ 229 mod 367 ≡ 200 ⋅ 175 ⋅ 229 mod 367
≡ 35000 ⋅ 229 mod 367 ≡ 135 ⋅ 229 mod 367
≡ 30915 mod 367 ≡ 87 mod 367
Es gilt also: 229153 ≡ 87 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70
| =>101 | = 1⋅70 + 31 |
| =>70 | = 2⋅31 + 8 |
| =>31 | = 3⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 31-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1) |
| 8= 70-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +13⋅70
Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1
Somit 13⋅70 = 1 mod 101
13 ist also das Inverse von 70 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
