Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (901 + 35996) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(901 + 35996) mod 9 ≡ (901 mod 9 + 35996 mod 9) mod 9.
901 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901
= 900
35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996
= 36000
Somit gilt:
(901 + 35996) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 54) mod 5 ≡ (82 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 54) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1838 mod 449.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 263 mod 449
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 23 mod 449
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 23⋅23=529 ≡ 80 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 948241 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 9481=948
2: 9482=9481+1=9481⋅9481 ≡ 948⋅948=898704 ≡ 361 mod 967
4: 9484=9482+2=9482⋅9482 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 743 mod 967
8: 9488=9484+4=9484⋅9484 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 859 mod 967
16: 94816=9488+8=9488⋅9488 ≡ 859⋅859=737881 ≡ 60 mod 967
32: 94832=94816+16=94816⋅94816 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 699 mod 967
64: 94864=94832+32=94832⋅94832 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 266 mod 967
128: 948128=94864+64=94864⋅94864 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 165 mod 967
948241
= 948128+64+32+16+1
= 948128⋅94864⋅94832⋅94816⋅9481
≡ 165 ⋅ 266 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
≡ 43890 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967 ≡ 375 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
≡ 262125 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967 ≡ 68 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
≡ 4080 ⋅ 948 mod 967 ≡ 212 ⋅ 948 mod 967
≡ 200976 mod 967 ≡ 807 mod 967
Es gilt also: 948241 ≡ 807 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43
| =>79 | = 1⋅43 + 36 |
| =>43 | = 1⋅36 + 7 |
| =>36 | = 5⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 36-5⋅7 | |||
| 7= 43-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36) = -5⋅43 +6⋅ 36 (=1) |
| 36= 79-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43) = 6⋅79 -11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43
oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅79 = -11⋅43
-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43
-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1
(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1
68⋅43 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1
Somit 68⋅43 = 1 mod 79
68 ist also das Inverse von 43 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
