Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 + 2397) mod 6 ≡ (1797 mod 6 + 2397 mod 6) mod 6.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

Somit gilt:

(1797 + 2397) mod 6 ≡ (3 + 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 28) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 28 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 28) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 411¹=411

2: 411²=411¹⁺¹=411¹⋅411¹ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 444 mod 631

4: 411⁴=411²⁺²=411²⋅411² ≡ 444⋅444=197136 ≡ 264 mod 631

8: 411⁸=411⁴⁺⁴=411⁴⋅411⁴ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 286 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

118²³⁵

= 118^{128+64+32+8+2+1}

= 118¹²⁸⋅118⁶⁴⋅118³²⋅118⁸⋅118²⋅118¹

≡ 123 ⋅ 330 ⋅ 164 ⋅ 120 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359
≡ 40590 ⋅ 164 ⋅ 120 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359 ≡ 23 ⋅ 164 ⋅ 120 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359
≡ 3772 ⋅ 120 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359 ≡ 182 ⋅ 120 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359
≡ 21840 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359 ≡ 300 ⋅ 282 ⋅ 118 mod 359
≡ 84600 ⋅ 118 mod 359 ≡ 235 ⋅ 118 mod 359
≡ 27730 mod 359 ≡ 87 mod 359

Es gilt also: 118²³⁵ ≡ 87 mod 359

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 31

=>101	= 3⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 101-3⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(101 -3⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅101 -12⋅ 31) = 4⋅101 -13⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(101,31)=1 = 4⋅101 -13⋅31

oder wenn man 4⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅101 = -13⋅31

-13⋅31 = -4⋅101 + 1 |+101⋅31

-13⋅31 + 101⋅31 = -4⋅101 + 101⋅31 + 1

(-13 + 101) ⋅ 31 = (-4 + 31) ⋅ 101 + 1

88⋅31 = 27⋅101 + 1

Es gilt also: 88⋅31 = 27⋅101 +1

Somit 88⋅31 = 1 mod 101

88 ist also das Inverse von 31 mod 101