Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15000 - 8997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15000 - 8997) mod 3 ≡ (15000 mod 3 - 8997 mod 3) mod 3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(15000 - 8997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 52) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 52) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 52 mod 9) mod 9.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 52) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57832 mod 631.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 578 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5781=578

2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 285 mod 631

4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 457 mod 631

8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 619 mod 631

16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 144 mod 631

32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 544 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 204248 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 545 mod 613

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 333 mod 613

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 549 mod 613

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 418 mod 613

32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 19 mod 613

64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 613

128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 365 mod 613

204248

= 204128+64+32+16+8

= 204128⋅20464⋅20432⋅20416⋅2048

365 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
131765 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613 ≡ 583 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
11077 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613 ≡ 43 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
17974 ⋅ 549 mod 613 ≡ 197 ⋅ 549 mod 613
108153 mod 613 ≡ 265 mod 613

Es gilt also: 204248 ≡ 265 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89 = 1⋅77 + 12
=>77 = 6⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12)
= 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77)
= -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.