Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 - 1197) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(14998 - 1197) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 99) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 99) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 238¹=238

2: 238²=238¹⁺¹=238¹⋅238¹ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 98 mod 577

4: 238⁴=238²⁺²=238²⋅238² ≡ 98⋅98=9604 ≡ 372 mod 577

8: 238⁸=238⁴⁺⁴=238⁴⋅238⁴ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 481 mod 577

16: 238¹⁶=238⁸⁺⁸=238⁸⋅238⁸ ≡ 481⋅481=231361 ≡ 561 mod 577

32: 238³²=238¹⁶⁺¹⁶=238¹⁶⋅238¹⁶ ≡ 561⋅561=314721 ≡ 256 mod 577

64: 238⁶⁴=238³²⁺³²=238³²⋅238³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

347¹¹⁰

= 347^64+32+8+4+2

= 347⁶⁴⋅347³²⋅347⁸⋅347⁴⋅347²

≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
≡ 5832 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743 ≡ 631 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
≡ 162798 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743 ≡ 81 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
≡ 29403 ⋅ 43 mod 743 ≡ 426 ⋅ 43 mod 743
≡ 18318 mod 743 ≡ 486 mod 743

Es gilt also: 347¹¹⁰ ≡ 486 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75

=>89	= 1⋅75 + 14
=>75	= 5⋅14 + 5
=>14	= 2⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 75-5⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14) = -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1)
14= 89-1⋅75	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75) = 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75

oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅89 = +19⋅75

Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1

Somit 19⋅75 = 1 mod 89

19 ist also das Inverse von 75 mod 89