Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4000 - 197) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4000 - 197) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 197 mod 4) mod 4.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

Somit gilt:

(4000 - 197) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 43) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 43) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 43) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 296128 mod 631.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 296 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2961=296

2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 538 mod 631

4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 446 mod 631

8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 151 mod 631

16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 85 mod 631

32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 284 mod 631

64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 519 mod 631

128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 555 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327118 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 526 mod 569

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 142 mod 569

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 249 mod 569

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 549 mod 569

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 400 mod 569

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 111 mod 569

327118

= 32764+32+16+4+2

= 32764⋅32732⋅32716⋅3274⋅3272

111 ⋅ 400 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
44400 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569 ≡ 18 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
9882 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569 ≡ 209 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
29678 ⋅ 526 mod 569 ≡ 90 ⋅ 526 mod 569
47340 mod 569 ≡ 113 mod 569

Es gilt also: 327118 ≡ 113 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.