Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (248 + 2398) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(248 + 2398) mod 8 ≡ (248 mod 8 + 2398 mod 8) mod 8.
248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398
= 2400
Somit gilt:
(248 + 2398) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 56) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 56) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 56) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70264 mod 919.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 702 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7021=702
2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 220 mod 919
4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 612 mod 919
8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 511 mod 919
16: 70216=7028+8=7028⋅7028 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 125 mod 919
32: 70232=70216+16=70216⋅70216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 2 mod 919
64: 70264=70232+32=70232⋅70232 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16784 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 235 mod 419
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 336 mod 419
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419
16784
= 16764+16+4
= 16764⋅16716⋅1674
≡ 320 ⋅ 286 ⋅ 336 mod 419
≡ 91520 ⋅ 336 mod 419 ≡ 178 ⋅ 336 mod 419
≡ 59808 mod 419 ≡ 310 mod 419
Es gilt also: 16784 ≡ 310 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
