Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11996 - 6003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11996 - 6003) mod 6 ≡ (11996 mod 6 - 6003 mod 6) mod 6.
11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 12000
6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003
= 6000
Somit gilt:
(11996 - 6003) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 57) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 57) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.
84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.
57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 57) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2348 mod 523.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 364 mod 523
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 177 mod 523
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 472 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 324217 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 15 mod 593
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 593
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 220 mod 593
16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 367 mod 593
32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 78 mod 593
64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593
128: 324128=32464+64=32464⋅32464 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 589 mod 593
324217
= 324128+64+16+8+1
= 324128⋅32464⋅32416⋅3248⋅3241
≡ 589 ⋅ 154 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
≡ 90706 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593 ≡ 570 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
≡ 209190 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593 ≡ 454 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
≡ 99880 ⋅ 324 mod 593 ≡ 256 ⋅ 324 mod 593
≡ 82944 mod 593 ≡ 517 mod 593
Es gilt also: 324217 ≡ 517 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
