Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 + 1800) mod 6 ≡ (2400 mod 6 + 1800 mod 6) mod 6.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(2400 + 1800) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 44) mod 10 ≡ (73 mod 10 ⋅ 44 mod 10) mod 10.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 44) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 130¹=130

2: 130²=130¹⁺¹=130¹⋅130¹ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 140 mod 419

4: 130⁴=130²⁺²=130²⋅130² ≡ 140⋅140=19600 ≡ 326 mod 419

8: 130⁸=130⁴⁺⁴=130⁴⋅130⁴ ≡ 326⋅326=106276 ≡ 269 mod 419

16: 130¹⁶=130⁸⁺⁸=130⁸⋅130⁸ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 293 mod 419

32: 130³²=130¹⁶⁺¹⁶=130¹⁶⋅130¹⁶ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 373 mod 419

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

299²⁰⁵

= 299^128+64+8+4+1

= 299¹²⁸⋅299⁶⁴⋅299⁸⋅299⁴⋅299¹

≡ 263 ⋅ 202 ⋅ 100 ⋅ 561 ⋅ 299 mod 571
≡ 53126 ⋅ 100 ⋅ 561 ⋅ 299 mod 571 ≡ 23 ⋅ 100 ⋅ 561 ⋅ 299 mod 571
≡ 2300 ⋅ 561 ⋅ 299 mod 571 ≡ 16 ⋅ 561 ⋅ 299 mod 571
≡ 8976 ⋅ 299 mod 571 ≡ 411 ⋅ 299 mod 571
≡ 122889 mod 571 ≡ 124 mod 571

Es gilt also: 299²⁰⁵ ≡ 124 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79