Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5004 - 151) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5004 - 151) mod 5 ≡ (5004 mod 5 - 151 mod 5) mod 5.

5004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5004 = 5000+4 = 5 ⋅ 1000 +4.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(5004 - 151) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 97) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 97) mod 10 ≡ (17 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 97) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36332 mod 389.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 363 -> x
2. mod(x²,389) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3631=363

2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 287 mod 389

4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 290 mod 389

8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 76 mod 389

16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 330 mod 389

32: 36332=36316+16=36316⋅36316 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 369 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16996 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:

96 = 64+32

1: 1691=169

2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 186 mod 227

4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 92 mod 227

8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 65 mod 227

16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 139 mod 227

32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 26 mod 227

64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 26⋅26=676 ≡ 222 mod 227

16996

= 16964+32

= 16964⋅16932

222 ⋅ 26 mod 227
5772 mod 227 ≡ 97 mod 227

Es gilt also: 16996 ≡ 97 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51

=>97 = 1⋅51 + 46
=>51 = 1⋅46 + 5
=>46 = 9⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 46-9⋅5
5= 51-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46)
= -9⋅51 +10⋅ 46 (=1)
46= 97-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51)
= 10⋅97 -19⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51

oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅97 = -19⋅51

-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51

-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1

(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1

78⋅51 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1

Somit 78⋅51 = 1 mod 97

78 ist also das Inverse von 51 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.