Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 + 2001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 + 2001) mod 4 ≡ (81 mod 4 + 2001 mod 4) mod 4.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 80
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
Somit gilt:
(81 + 2001) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 78) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 78) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 78 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 78) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2588 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 311 mod 317
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 36 mod 317
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 28 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 237208 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 407 mod 569
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 70 mod 569
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 348 mod 569
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 476 mod 569
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 114 mod 569
64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 478 mod 569
128: 237128=23764+64=23764⋅23764 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 315 mod 569
237208
= 237128+64+16
= 237128⋅23764⋅23716
≡ 315 ⋅ 478 ⋅ 476 mod 569
≡ 150570 ⋅ 476 mod 569 ≡ 354 ⋅ 476 mod 569
≡ 168504 mod 569 ≡ 80 mod 569
Es gilt also: 237208 ≡ 80 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35
| =>89 | = 2⋅35 + 19 |
| =>35 | = 1⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 35-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19) = 6⋅35 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35) = -11⋅89 +28⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +28⋅35
Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1
Somit 28⋅35 = 1 mod 89
28 ist also das Inverse von 35 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
