Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (282 + 35007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(282 + 35007) mod 7 ≡ (282 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.
282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282
= 280
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
Somit gilt:
(282 + 35007) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 92) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 92) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.
78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.
92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 92) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34464 mod 431.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 242 mod 431
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 379 mod 431
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 118 mod 431
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 132 mod 431
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 184 mod 431
64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 238 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 588194 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 5881=588
2: 5882=5881+1=5881⋅5881 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 587 mod 631
4: 5884=5882+2=5882⋅5882 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631
8: 5888=5884+4=5884⋅5884 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631
16: 58816=5888+8=5888⋅5888 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631
32: 58832=58816+16=58816⋅58816 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631
64: 58864=58832+32=58832⋅58832 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631
128: 588128=58864+64=58864⋅58864 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631
588194
= 588128+64+2
= 588128⋅58864⋅5882
≡ 587 ⋅ 43 ⋅ 587 mod 631
≡ 25241 ⋅ 587 mod 631 ≡ 1 ⋅ 587 mod 631
≡ 587 mod 631
Es gilt also: 588194 ≡ 587 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
