Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 + 3997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 + 3997) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 3997 mod 4) mod 4.
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 3000
Somit gilt:
(1199 + 3997) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 98) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 98) mod 4 ≡ (37 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 98) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42616 mod 673.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 426 -> x
2. mod(x²,673) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4261=426
2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 439 mod 673
4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 243 mod 673
8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 498 mod 673
16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 340 mod 673
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 543132 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 5431=543
2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 365 mod 887
4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 175 mod 887
8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 467 mod 887
16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 774 mod 887
32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 774⋅774=599076 ≡ 351 mod 887
64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 795 mod 887
128: 543128=54364+64=54364⋅54364 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 481 mod 887
543132
= 543128+4
= 543128⋅5434
≡ 481 ⋅ 175 mod 887
≡ 84175 mod 887 ≡ 797 mod 887
Es gilt also: 543132 ≡ 797 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
