Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(351 - 2106) mod 7 ≡ (351 mod 7 - 2106 mod 7) mod 7.

351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351 = 350+1 = 7 ⋅ 50 +1.

2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106 = 2100+6 = 7 ⋅ 300 +6.

Somit gilt:

(351 - 2106) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 30) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 30) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 710¹=710

2: 710²=710¹⁺¹=710¹⋅710¹ ≡ 710⋅710=504100 ≡ 318 mod 761

4: 710⁴=710²⁺²=710²⋅710² ≡ 318⋅318=101124 ≡ 672 mod 761

8: 710⁸=710⁴⁺⁴=710⁴⋅710⁴ ≡ 672⋅672=451584 ≡ 311 mod 761

16: 710¹⁶=710⁸⁺⁸=710⁸⋅710⁸ ≡ 311⋅311=96721 ≡ 74 mod 761

32: 710³²=710¹⁶⁺¹⁶=710¹⁶⋅710¹⁶ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 149 mod 761

64: 710⁶⁴=710³²⁺³²=710³²⋅710³² ≡ 149⋅149=22201 ≡ 132 mod 761

128: 710¹²⁸=710⁶⁴⁺⁶⁴=710⁶⁴⋅710⁶⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 682 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

638²³⁷

= 638^{128+64+32+8+4+1}

= 638¹²⁸⋅638⁶⁴⋅638³²⋅638⁸⋅638⁴⋅638¹

≡ 347 ⋅ 45 ⋅ 371 ⋅ 24 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839
≡ 15615 ⋅ 371 ⋅ 24 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839 ≡ 513 ⋅ 371 ⋅ 24 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839
≡ 190323 ⋅ 24 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839 ≡ 709 ⋅ 24 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839
≡ 17016 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839 ≡ 236 ⋅ 700 ⋅ 638 mod 839
≡ 165200 ⋅ 638 mod 839 ≡ 756 ⋅ 638 mod 839
≡ 482328 mod 839 ≡ 742 mod 839

Es gilt also: 638²³⁷ ≡ 742 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59