Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1194 + 596) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1194 + 596) mod 6 ≡ (1194 mod 6 + 596 mod 6) mod 6.

1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194 = 1200-6 = 6 ⋅ 200 -6 = 6 ⋅ 200 - 6 + 0.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1194 + 596) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 22) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 22) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 22) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 343128 mod 349.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3431=343

2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 36 mod 349

4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 249 mod 349

8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349

16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349

32: 34332=34316+16=34316⋅34316 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349

64: 34364=34332+32=34332⋅34332 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 110 mod 349

128: 343128=34364+64=34364⋅34364 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 234 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 77398 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:

98 = 64+32+2

1: 7731=773

2: 7732=7731+1=7731⋅7731 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 182 mod 929

4: 7734=7732+2=7732⋅7732 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 609 mod 929

8: 7738=7734+4=7734⋅7734 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 210 mod 929

16: 77316=7738+8=7738⋅7738 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 437 mod 929

32: 77332=77316+16=77316⋅77316 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929

64: 77364=77332+32=77332⋅77332 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 521 mod 929

77398

= 77364+32+2

= 77364⋅77332⋅7732

521 ⋅ 524 ⋅ 182 mod 929
273004 ⋅ 182 mod 929 ≡ 807 ⋅ 182 mod 929
146874 mod 929 ≡ 92 mod 929

Es gilt also: 77398 ≡ 92 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.

Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85

=>101 = 1⋅85 + 16
=>85 = 5⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,85)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 85-5⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16)
= -3⋅85 +16⋅ 16 (=1)
16= 101-1⋅85 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85)
= 16⋅101 -19⋅ 85 (=1)

Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -19⋅85

-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85

-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1

(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1

82⋅85 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1

Somit 82⋅85 = 1 mod 101

82 ist also das Inverse von 85 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.