Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3002 - 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3002 - 60) mod 3 ≡ (3002 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(3002 - 60) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 76) mod 4 ≡ (70 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 76) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2828 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2821=282
2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 769 mod 829
4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 284 mod 829
8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 243 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73298 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 7321=732
2: 7322=7321+1=7321⋅7321 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 156 mod 911
4: 7324=7322+2=7322⋅7322 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 650 mod 911
8: 7328=7324+4=7324⋅7324 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 707 mod 911
16: 73216=7328+8=7328⋅7328 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 621 mod 911
32: 73232=73216+16=73216⋅73216 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 288 mod 911
64: 73264=73232+32=73232⋅73232 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 43 mod 911
73298
= 73264+32+2
= 73264⋅73232⋅7322
≡ 43 ⋅ 288 ⋅ 156 mod 911
≡ 12384 ⋅ 156 mod 911 ≡ 541 ⋅ 156 mod 911
≡ 84396 mod 911 ≡ 584 mod 911
Es gilt also: 73298 ≡ 584 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
