Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9001 + 2696) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9001 + 2696) mod 9 ≡ (9001 mod 9 + 2696 mod 9) mod 9.
9001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
2696 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2696
= 2700
Somit gilt:
(9001 + 2696) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 17) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 17) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 17 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 17) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5398 mod 809.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 539 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5391=539
2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 90 mod 809
4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 10 mod 809
8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 455203 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 4551=455
2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 444 mod 613
4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 363 mod 613
8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 587 mod 613
16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 63 mod 613
32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 291 mod 613
64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 87 mod 613
128: 455128=45564+64=45564⋅45564 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 213 mod 613
455203
= 455128+64+8+2+1
= 455128⋅45564⋅4558⋅4552⋅4551
≡ 213 ⋅ 87 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
≡ 18531 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613 ≡ 141 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
≡ 82767 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613 ≡ 12 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
≡ 5328 ⋅ 455 mod 613 ≡ 424 ⋅ 455 mod 613
≡ 192920 mod 613 ≡ 438 mod 613
Es gilt also: 455203 ≡ 438 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
