Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 11997) mod 6 ≡ (12000 mod 6 + 11997 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(12000 + 11997) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 85) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 85 mod 5) mod 5.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 85) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 613¹=613

2: 613²=613¹⁺¹=613¹⋅613¹ ≡ 613⋅613=375769 ≡ 143 mod 641

4: 613⁴=613²⁺²=613²⋅613² ≡ 143⋅143=20449 ≡ 578 mod 641

8: 613⁸=613⁴⁺⁴=613⁴⋅613⁴ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 123 mod 641

16: 613¹⁶=613⁸⁺⁸=613⁸⋅613⁸ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 386 mod 641

32: 613³²=613¹⁶⁺¹⁶=613¹⁶⋅613¹⁶ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 284 mod 641

64: 613⁶⁴=613³²⁺³²=613³²⋅613³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 531 mod 641

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

183²⁵¹

= 183^{128+64+32+16+8+2+1}

= 183¹²⁸⋅183⁶⁴⋅183³²⋅183¹⁶⋅183⁸⋅183²⋅183¹

≡ 316 ⋅ 381 ⋅ 101 ⋅ 183 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491
≡ 120396 ⋅ 101 ⋅ 183 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491 ≡ 101 ⋅ 101 ⋅ 183 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491
≡ 10201 ⋅ 183 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491 ≡ 381 ⋅ 183 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491
≡ 69723 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491 ≡ 1 ⋅ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491
≡ 316 ⋅ 101 ⋅ 183 mod 491
≡ 31916 ⋅ 183 mod 491 ≡ 1 ⋅ 183 mod 491
≡ 183 mod 491

Es gilt also: 183²⁵¹ ≡ 183 mod 491

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89	= 1⋅70 + 19
=>70	= 3⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70) = 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89