Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 - 153) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 - 153) mod 3 ≡ (59 mod 3 - 153 mod 3) mod 3.
59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59
= 60
153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153
= 150
Somit gilt:
(59 - 153) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 43) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 43) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 43 mod 4) mod 4.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 43) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2358 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 57 mod 431
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 380 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71387 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 7131=713
2: 7132=7131+1=7131⋅7131 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 896 mod 997
4: 7134=7132+2=7132⋅7132 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 231 mod 997
8: 7138=7134+4=7134⋅7134 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 520 mod 997
16: 71316=7138+8=7138⋅7138 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 213 mod 997
32: 71332=71316+16=71316⋅71316 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 504 mod 997
64: 71364=71332+32=71332⋅71332 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 778 mod 997
71387
= 71364+16+4+2+1
= 71364⋅71316⋅7134⋅7132⋅7131
≡ 778 ⋅ 213 ⋅ 231 ⋅ 896 ⋅ 713 mod 997
≡ 165714 ⋅ 231 ⋅ 896 ⋅ 713 mod 997 ≡ 212 ⋅ 231 ⋅ 896 ⋅ 713 mod 997
≡ 48972 ⋅ 896 ⋅ 713 mod 997 ≡ 119 ⋅ 896 ⋅ 713 mod 997
≡ 106624 ⋅ 713 mod 997 ≡ 942 ⋅ 713 mod 997
≡ 671646 mod 997 ≡ 665 mod 997
Es gilt also: 71387 ≡ 665 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 89.
Also bestimme x, so dass 89 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89
| =>101 | = 1⋅89 + 12 |
| =>89 | = 7⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,89)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-7⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1) |
| 12= 101-1⋅89 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89)
= 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89
oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +37⋅101 = +42⋅89
Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1
Somit 42⋅89 = 1 mod 101
42 ist also das Inverse von 89 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
