Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 - 2004) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.

122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 4 ⋅ 30 +2.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(122 - 2004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 87) mod 7 ≡ (36 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 87) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 10 mod 401

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 401

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 376 mod 401

16: 211¹⁶=211⁸⁺⁸=211⁸⋅211⁸ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

320²⁴⁹

= 320^{128+64+32+16+8+1}

= 320¹²⁸⋅320⁶⁴⋅320³²⋅320¹⁶⋅320⁸⋅320¹

≡ 551 ⋅ 186 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
≡ 102486 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 351 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
≡ 99684 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 25 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
≡ 5850 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 279 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
≡ 147312 ⋅ 320 mod 619 ≡ 609 ⋅ 320 mod 619
≡ 194880 mod 619 ≡ 514 mod 619

Es gilt also: 320²⁴⁹ ≡ 514 mod 619

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83	= 1⋅66 + 17
=>66	= 3⋅17 + 15
=>17	= 1⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17) = -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66) = 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83