Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 8997) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1200 + 8997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 29) mod 8 ≡ (21 mod 8 ⋅ 29 mod 8) mod 8.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 29) mod 8 ≡ (5 ⋅ 5) mod 8 ≡ 25 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 143¹=143

2: 143²=143¹⁺¹=143¹⋅143¹ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 19 mod 227

4: 143⁴=143²⁺²=143²⋅143² ≡ 19⋅19=361 ≡ 134 mod 227

8: 143⁸=143⁴⁺⁴=143⁴⋅143⁴ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 23 mod 227

16: 143¹⁶=143⁸⁺⁸=143⁸⋅143⁸ ≡ 23⋅23=529 ≡ 75 mod 227

32: 143³²=143¹⁶⁺¹⁶=143¹⁶⋅143¹⁶ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 177 mod 227

64: 143⁶⁴=143³²⁺³²=143³²⋅143³² ≡ 177⋅177=31329 ≡ 3 mod 227

128: 143¹²⁸=143⁶⁴⁺⁶⁴=143⁶⁴⋅143⁶⁴ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

258²¹⁷

= 258^{128+64+16+8+1}

= 258¹²⁸⋅258⁶⁴⋅258¹⁶⋅258⁸⋅258¹

≡ 349 ⋅ 382 ⋅ 527 ⋅ 237 ⋅ 258 mod 647
≡ 133318 ⋅ 527 ⋅ 237 ⋅ 258 mod 647 ≡ 36 ⋅ 527 ⋅ 237 ⋅ 258 mod 647
≡ 18972 ⋅ 237 ⋅ 258 mod 647 ≡ 209 ⋅ 237 ⋅ 258 mod 647
≡ 49533 ⋅ 258 mod 647 ≡ 361 ⋅ 258 mod 647
≡ 93138 mod 647 ≡ 617 mod 647

Es gilt also: 258²¹⁷ ≡ 617 mod 647

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73