Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16000 + 4008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16000 + 4008) mod 8 ≡ (16000 mod 8 + 4008 mod 8) mod 8.
16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008
= 4000
Somit gilt:
(16000 + 4008) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 76) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 76) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76016 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 760 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7601=760
2: 7602=7601+1=7601⋅7601 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 729 mod 787
4: 7604=7602+2=7602⋅7602 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 216 mod 787
8: 7608=7604+4=7604⋅7604 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 223 mod 787
16: 76016=7608+8=7608⋅7608 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 148 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 438246 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 426 mod 523
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 518 mod 523
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 25 mod 523
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 25⋅25=625 ≡ 102 mod 523
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 467 mod 523
64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 521 mod 523
128: 438128=43864+64=43864⋅43864 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 4 mod 523
438246
= 438128+64+32+16+4+2
= 438128⋅43864⋅43832⋅43816⋅4384⋅4382
≡ 4 ⋅ 521 ⋅ 467 ⋅ 102 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523
≡ 2084 ⋅ 467 ⋅ 102 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523 ≡ 515 ⋅ 467 ⋅ 102 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523
≡ 240505 ⋅ 102 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523 ≡ 448 ⋅ 102 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523
≡ 45696 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523 ≡ 195 ⋅ 518 ⋅ 426 mod 523
≡ 101010 ⋅ 426 mod 523 ≡ 71 ⋅ 426 mod 523
≡ 30246 mod 523 ≡ 435 mod 523
Es gilt also: 438246 ≡ 435 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
