Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (277 - 28000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(277 - 28000) mod 7 ≡ (277 mod 7 - 28000 mod 7) mod 7.
277 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 277
= 280
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
Somit gilt:
(277 - 28000) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 88) mod 9 ≡ (71 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 88) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3498 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 493 mod 919
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 433 mod 919
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 13 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 536128 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 5361=536
2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 321 mod 883
4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 613 mod 883
8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 494 mod 883
16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 328 mod 883
32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 741 mod 883
64: 53664=53632+32=53632⋅53632 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 738 mod 883
128: 536128=53664+64=53664⋅53664 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 716 mod 883
536128
= 536128
= 536128
≡ 716 mod 883
Es gilt also: 536128 ≡ 716 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28
| =>53 | = 1⋅28 + 25 |
| =>28 | = 1⋅25 + 3 |
| =>25 | = 8⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-8⋅3 | |||
| 3= 28-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1) |
| 25= 53-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28
oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅53 = -17⋅28
-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28
-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1
(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1
36⋅28 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1
Somit 36⋅28 = 1 mod 53
36 ist also das Inverse von 28 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
