Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7996 - 323) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7996 - 323) mod 8 ≡ (7996 mod 8 - 323 mod 8) mod 8.

7996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 8 ⋅ 875 +996.

323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323 = 320+3 = 8 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(7996 - 323) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 52) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 52 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 659.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 176 mod 659

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 3 mod 659

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 659

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 659

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 630 mod 659

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 182 mod 659

128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 174 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57084 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 5701=570

2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 761 mod 829

4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 479 mod 829

8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 637 mod 829

16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 388 mod 829

32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 495 mod 829

64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 470 mod 829

57084

= 57064+16+4

= 57064⋅57016⋅5704

470 ⋅ 388 ⋅ 479 mod 829
182360 ⋅ 479 mod 829 ≡ 809 ⋅ 479 mod 829
387511 mod 829 ≡ 368 mod 829

Es gilt also: 57084 ≡ 368 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65

=>71 = 1⋅65 + 6
=>65 = 10⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 65-10⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6)
= -1⋅65 +11⋅ 6 (=1)
6= 71-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65)
= 11⋅71 -12⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -12⋅65

-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65

-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1

(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1

59⋅65 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1

Somit 59⋅65 = 1 mod 71

59 ist also das Inverse von 65 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.