Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23996 - 23993) mod 8 ≡ (23996 mod 8 - 23993 mod 8) mod 8.

23996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 23000+996 = 8 ⋅ 2875 +996.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

Somit gilt:

(23996 - 23993) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 17) mod 11 ≡ (89 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.

89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 17) mod 11 ≡ (1 ⋅ 6) mod 11 ≡ 6 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 759¹=759

2: 759²=759¹⁺¹=759¹⋅759¹ ≡ 759⋅759=576081 ≡ 489 mod 827

4: 759⁴=759²⁺²=759²⋅759² ≡ 489⋅489=239121 ≡ 118 mod 827

8: 759⁸=759⁴⁺⁴=759⁴⋅759⁴ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 692 mod 827

16: 759¹⁶=759⁸⁺⁸=759⁸⋅759⁸ ≡ 692⋅692=478864 ≡ 31 mod 827

32: 759³²=759¹⁶⁺¹⁶=759¹⁶⋅759¹⁶ ≡ 31⋅31=961 ≡ 134 mod 827

64: 759⁶⁴=759³²⁺³²=759³²⋅759³² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 589 mod 827

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

87¹⁹⁰

= 87^{128+32+16+8+4+2}

= 87¹²⁸⋅87³²⋅87¹⁶⋅87⁸⋅87⁴⋅87²

≡ 51 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229
≡ 6579 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229 ≡ 167 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229
≡ 12525 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229 ≡ 159 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229
≡ 20034 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229 ≡ 111 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 229
≡ 15984 ⋅ 12 mod 229 ≡ 183 ⋅ 12 mod 229
≡ 2196 mod 229 ≡ 135 mod 229

Es gilt also: 87¹⁹⁰ ≡ 135 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

=>83	= 1⋅59 + 24
=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)
24= 83-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59) = 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59

oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅83 = +38⋅59

Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1

Somit 38⋅59 = 1 mod 83

38 ist also das Inverse von 59 mod 83