Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (274 + 36003) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(274 + 36003) mod 9 ≡ (274 mod 9 + 36003 mod 9) mod 9.

274 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 270+4 = 9 ⋅ 30 +4.

36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003 = 36000+3 = 9 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(274 + 36003) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 19) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 19) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 19) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21364 mod 257.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 163168 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 1631=163

2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 98 mod 257

4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 95 mod 257

8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 30 mod 257

16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 30⋅30=900 ≡ 129 mod 257

32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

64: 16364=16332+32=16332⋅16332 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

128: 163128=16364+64=16364⋅16364 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

163168

= 163128+32+8

= 163128⋅16332⋅1638

256 ⋅ 193 ⋅ 30 mod 257
49408 ⋅ 30 mod 257 ≡ 64 ⋅ 30 mod 257
1920 mod 257 ≡ 121 mod 257

Es gilt also: 163168 ≡ 121 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59 = 1⋅35 + 24
=>35 = 1⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24)
= 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35)
= -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.