Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16000 + 804) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 + 804) mod 4 ≡ (16000 mod 4 + 804 mod 4) mod 4.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(16000 + 804) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 38) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 38) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 38) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29232 mod 691.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 271 mod 691

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 195 mod 691

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 20 mod 691

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 691

32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 379 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 726180 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 7261=726

2: 7262=7261+1=7261⋅7261 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883

4: 7264=7262+2=7262⋅7262 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 327 mod 883

8: 7268=7264+4=7264⋅7264 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 86 mod 883

16: 72616=7268+8=7268⋅7268 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 332 mod 883

32: 72632=72616+16=72616⋅72616 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883

64: 72664=72632+32=72632⋅72632 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 726 mod 883

128: 726128=72664+64=72664⋅72664 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883

726180

= 726128+32+16+4

= 726128⋅72632⋅72616⋅7264

808 ⋅ 732 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883
591456 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883 ≡ 729 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883
242028 ⋅ 327 mod 883 ≡ 86 ⋅ 327 mod 883
28122 mod 883 ≡ 749 mod 883

Es gilt also: 726180 ≡ 749 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72

=>97 = 1⋅72 + 25
=>72 = 2⋅25 + 22
=>25 = 1⋅22 + 3
=>22 = 7⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-7⋅3
3= 25-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22)
= -7⋅25 +8⋅ 22 (=1)
22= 72-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25)
= 8⋅72 -23⋅ 25 (=1)
25= 97-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72)
= -23⋅97 +31⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72

oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅97 = +31⋅72

Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1

Somit 31⋅72 = 1 mod 97

31 ist also das Inverse von 72 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.