Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1599 + 2400) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1599 + 2400) mod 8 ≡ (1599 mod 8 + 2400 mod 8) mod 8.

1599 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599 = 1600-1 = 8 ⋅ 200 -1 = 8 ⋅ 200 - 8 + 7.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(1599 + 2400) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 90) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 90) mod 5 ≡ (97 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 90) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49832 mod 967.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4981=498

2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 452 mod 967

4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 267 mod 967

8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 698 mod 967

16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 803 mod 967

32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 787 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 435186 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

1: 4351=435

2: 4352=4351+1=4351⋅4351 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 179 mod 661

4: 4354=4352+2=4352⋅4352 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 313 mod 661

8: 4358=4354+4=4354⋅4354 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 141 mod 661

16: 43516=4358+8=4358⋅4358 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 51 mod 661

32: 43532=43516+16=43516⋅43516 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 618 mod 661

64: 43564=43532+32=43532⋅43532 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 527 mod 661

128: 435128=43564+64=43564⋅43564 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 109 mod 661

435186

= 435128+32+16+8+2

= 435128⋅43532⋅43516⋅4358⋅4352

109 ⋅ 618 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
67362 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661 ≡ 601 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
30651 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661 ≡ 245 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
34545 ⋅ 179 mod 661 ≡ 173 ⋅ 179 mod 661
30967 mod 661 ≡ 561 mod 661

Es gilt also: 435186 ≡ 561 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101 = 1⋅70 + 31
=>70 = 2⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31)
= 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70)
= -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.