Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11994 - 246) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11994 - 246) mod 6 ≡ (11994 mod 6 - 246 mod 6) mod 6.
11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994
= 12000
246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
Somit gilt:
(11994 - 246) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 47) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 47) mod 9 ≡ (36 mod 9 ⋅ 47 mod 9) mod 9.
36 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 4 ⋅ 9 + 0 ist.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 47) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31064 mod 389.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 17 mod 389
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 159 mod 389
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 385 mod 389
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 16 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 227225 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 343 mod 449
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 11 mod 449
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 449
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 273 mod 449
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 444 mod 449
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449
128: 227128=22764+64=22764⋅22764 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449
227225
= 227128+64+32+1
= 227128⋅22764⋅22732⋅2271
≡ 176 ⋅ 25 ⋅ 444 ⋅ 227 mod 449
≡ 4400 ⋅ 444 ⋅ 227 mod 449 ≡ 359 ⋅ 444 ⋅ 227 mod 449
≡ 159396 ⋅ 227 mod 449 ≡ 1 ⋅ 227 mod 449
≡ 227 mod 449
Es gilt also: 227225 ≡ 227 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45
| =>83 | = 1⋅45 + 38 |
| =>45 | = 1⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 45-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1) |
| 38= 83-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +24⋅45
Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1
Somit 24⋅45 = 1 mod 83
24 ist also das Inverse von 45 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
