Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2002 + 20002) mod 5 ≡ (2002 mod 5 + 20002 mod 5) mod 5.

2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 5 ⋅ 400 +2.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(2002 + 20002) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 18) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 18) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 748¹=748

2: 748²=748¹⁺¹=748¹⋅748¹ ≡ 748⋅748=559504 ≡ 295 mod 859

4: 748⁴=748²⁺²=748²⋅748² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 266 mod 859

8: 748⁸=748⁴⁺⁴=748⁴⋅748⁴ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 318 mod 859

16: 748¹⁶=748⁸⁺⁸=748⁸⋅748⁸ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 621 mod 859

32: 748³²=748¹⁶⁺¹⁶=748¹⁶⋅748¹⁶ ≡ 621⋅621=385641 ≡ 809 mod 859

64: 748⁶⁴=748³²⁺³²=748³²⋅748³² ≡ 809⋅809=654481 ≡ 782 mod 859

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

305¹⁰⁷

= 305^64+32+8+2+1

= 305⁶⁴⋅305³²⋅305⁸⋅305²⋅305¹

≡ 574 ⋅ 289 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
≡ 165886 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643 ≡ 635 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
≡ 354965 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643 ≡ 29 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
≡ 12557 ⋅ 305 mod 643 ≡ 340 ⋅ 305 mod 643
≡ 103700 mod 643 ≡ 177 mod 643

Es gilt also: 305¹⁰⁷ ≡ 177 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73