Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (236 + 236) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(236 + 236) mod 6 ≡ (236 mod 6 + 236 mod 6) mod 6.
236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
Somit gilt:
(236 + 236) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 85) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 85) mod 8 ≡ (95 mod 8 ⋅ 85 mod 8) mod 8.
95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 85) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43632 mod 463.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4361=436
2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 266 mod 463
4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 380 mod 463
8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 407 mod 463
16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 358 mod 463
32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 376 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 390147 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 306 mod 937
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 873 mod 937
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 348 mod 937
16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 231 mod 937
32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 889 mod 937
64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 430 mod 937
128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 311 mod 937
390147
= 390128+16+2+1
= 390128⋅39016⋅3902⋅3901
≡ 311 ⋅ 231 ⋅ 306 ⋅ 390 mod 937
≡ 71841 ⋅ 306 ⋅ 390 mod 937 ≡ 629 ⋅ 306 ⋅ 390 mod 937
≡ 192474 ⋅ 390 mod 937 ≡ 389 ⋅ 390 mod 937
≡ 151710 mod 937 ≡ 853 mod 937
Es gilt also: 390147 ≡ 853 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
