Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21006 + 215) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21006 + 215) mod 7 ≡ (21006 mod 7 + 215 mod 7) mod 7.
21006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21006
= 21000
215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215
= 210
Somit gilt:
(21006 + 215) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 45) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 45) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.
94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 45) mod 11 ≡ (6 ⋅ 1) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56732 mod 691.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 567 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5671=567
2: 5672=5671+1=5671⋅5671 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 174 mod 691
4: 5674=5672+2=5672⋅5672 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 563 mod 691
8: 5678=5674+4=5674⋅5674 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 491 mod 691
16: 56716=5678+8=5678⋅5678 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 613 mod 691
32: 56732=56716+16=56716⋅56716 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 556 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13096 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:
96 = 64+32
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 60 mod 421
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 232 mod 421
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 357 mod 421
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 307 mod 421
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 366 mod 421
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 78 mod 421
13096
= 13064+32
= 13064⋅13032
≡ 78 ⋅ 366 mod 421
≡ 28548 mod 421 ≡ 341 mod 421
Es gilt also: 13096 ≡ 341 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
