Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 + 5002) mod 5 ≡ (25005 mod 5 + 5002 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002 = 5000+2 = 5 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(25005 + 5002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 42) mod 4 ≡ (82 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 42) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 130¹=130

2: 130²=130¹⁺¹=130¹⋅130¹ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 13 mod 433

4: 130⁴=130²⁺²=130²⋅130² ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 433

8: 130⁸=130⁴⁺⁴=130⁴⋅130⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 416 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

787²⁴³

= 787^{128+64+32+16+2+1}

= 787¹²⁸⋅787⁶⁴⋅787³²⋅787¹⁶⋅787²⋅787¹

≡ 45 ⋅ 454 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
≡ 20430 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 726 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
≡ 82038 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 759 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
≡ 204171 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 563 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
≡ 188605 ⋅ 787 mod 821 ≡ 596 ⋅ 787 mod 821
≡ 469052 mod 821 ≡ 261 mod 821

Es gilt also: 787²⁴³ ≡ 261 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67