Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20995 + 2101) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20995 + 2101) mod 7 ≡ (20995 mod 7 + 2101 mod 7) mod 7.
20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995
= 21000
2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101
= 2100
Somit gilt:
(20995 + 2101) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 63) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 63) mod 7 ≡ (22 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.
22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 63) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3458 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 345 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3451=345
2: 3452=3451+1=3451⋅3451 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 380 mod 389
4: 3454=3452+2=3452⋅3452 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 81 mod 389
8: 3458=3454+4=3454⋅3454 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 337 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38165 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 316 mod 491
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 183 mod 491
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 101 mod 491
16: 38116=3818+8=3818⋅3818 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 381 mod 491
32: 38132=38116+16=38116⋅38116 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 316 mod 491
64: 38164=38132+32=38132⋅38132 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 183 mod 491
38165
= 38164+1
= 38164⋅3811
≡ 183 ⋅ 381 mod 491
≡ 69723 mod 491 ≡ 1 mod 491
Es gilt also: 38165 ≡ 1 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51
| =>89 | = 1⋅51 + 38 |
| =>51 | = 1⋅38 + 13 |
| =>38 | = 2⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 38-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 51-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1) |
| 38= 89-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51
oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅89 = +7⋅51
Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1
Somit 7⋅51 = 1 mod 89
7 ist also das Inverse von 51 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
