Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3197 - 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3197 - 80) mod 8 ≡ (3197 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.
3197 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3197
= 3200
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(3197 - 80) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 80) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 80 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 80) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21132 mod 691.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 297 mod 691
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 452 mod 691
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 459 mod 691
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 617 mod 691
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 639 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69573 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 6951=695
2: 6952=6951+1=6951⋅6951 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 36 mod 701
4: 6954=6952+2=6952⋅6952 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 595 mod 701
8: 6958=6954+4=6954⋅6954 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 20 mod 701
16: 69516=6958+8=6958⋅6958 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 701
32: 69532=69516+16=69516⋅69516 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 172 mod 701
64: 69564=69532+32=69532⋅69532 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 142 mod 701
69573
= 69564+8+1
= 69564⋅6958⋅6951
≡ 142 ⋅ 20 ⋅ 695 mod 701
≡ 2840 ⋅ 695 mod 701 ≡ 36 ⋅ 695 mod 701
≡ 25020 mod 701 ≡ 485 mod 701
Es gilt also: 69573 ≡ 485 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
