Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (368 - 3603) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(368 - 3603) mod 9 ≡ (368 mod 9 - 3603 mod 9) mod 9.
368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368
= 360
3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603
= 3600
Somit gilt:
(368 - 3603) mod 9 ≡ (8 - 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 17) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 17) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 17) mod 11 ≡ (10 ⋅ 6) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30164 mod 787.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 96 mod 787
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 559 mod 787
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 42 mod 787
16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 190 mod 787
32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 685 mod 787
64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 685⋅685=469225 ≡ 173 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 688172 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 6881=688
2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 814 mod 829
4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 225 mod 829
8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 56 mod 829
16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 649 mod 829
32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 69 mod 829
64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829
128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 603 mod 829
688172
= 688128+32+8+4
= 688128⋅68832⋅6888⋅6884
≡ 603 ⋅ 69 ⋅ 56 ⋅ 225 mod 829
≡ 41607 ⋅ 56 ⋅ 225 mod 829 ≡ 157 ⋅ 56 ⋅ 225 mod 829
≡ 8792 ⋅ 225 mod 829 ≡ 502 ⋅ 225 mod 829
≡ 112950 mod 829 ≡ 206 mod 829
Es gilt also: 688172 ≡ 206 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38
| =>83 | = 2⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38) = 11⋅83 -24⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -24⋅38
-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38
-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1
(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1
59⋅38 = 27⋅83 + 1
Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1
Somit 59⋅38 = 1 mod 83
59 ist also das Inverse von 38 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
