Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24997 - 201) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24997 - 201) mod 5 ≡ (24997 mod 5 - 201 mod 5) mod 5.

24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997 = 24000+997 = 5 ⋅ 4800 +997.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(24997 - 201) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 69) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 69) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 69) mod 11 ≡ (9 ⋅ 3) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 240128 mod 421.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,421) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 344 mod 421

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 35 mod 421

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 383 mod 421

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 181 mod 421

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 344 mod 421

64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 35 mod 421

128: 240128=24064+64=24064⋅24064 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 383 mod 421

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 265239 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 2651=265

2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 420 mod 607

4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 370 mod 607

8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 325 mod 607

16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 7 mod 607

32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 607

64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 580 mod 607

128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 122 mod 607

265239

= 265128+64+32+8+4+2+1

= 265128⋅26564⋅26532⋅2658⋅2654⋅2652⋅2651

122 ⋅ 580 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
70760 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 348 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
17052 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 56 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
18200 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 597 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
220890 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 549 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
230580 ⋅ 265 mod 607 ≡ 527 ⋅ 265 mod 607
139655 mod 607 ≡ 45 mod 607

Es gilt also: 265239 ≡ 45 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101 = 1⋅70 + 31
=>70 = 2⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31)
= 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70)
= -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.