zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14006 - 1403) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14006 - 1403) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 1403 mod 7) mod 7.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(14006 - 1403) mod 7 ≡ (6 - 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 77) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 77) mod 8 ≡ (28 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.

28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 77) mod 8 ≡ (4 ⋅ 5) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49932 mod 613.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4991=499

2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 123 mod 613

4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 417 mod 613

8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 410 mod 613

16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 138 mod 613

32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 41 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 550186 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

1: 5501=550

2: 5502=5501+1=5501⋅5501 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 323 mod 673

4: 5504=5502+2=5502⋅5502 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 14 mod 673

8: 5508=5504+4=5504⋅5504 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 673

16: 55016=5508+8=5508⋅5508 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 55 mod 673

32: 55032=55016+16=55016⋅55016 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673

64: 55064=55032+32=55032⋅55032 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

128: 550128=55064+64=55064⋅55064 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673

550186

= 550128+32+16+8+2

= 550128⋅55032⋅55016⋅5508⋅5502

≡ 108 ⋅ 333 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 35964 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673 ≡ 295 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 16225 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673 ≡ 73 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 14308 ⋅ 323 mod 673 ≡ 175 ⋅ 323 mod 673
≡ 56525 mod 673 ≡ 666 mod 673

Es gilt also: 550186 ≡ 666 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden