Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2802 + 136) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2802 + 136) mod 7 ≡ (2802 mod 7 + 136 mod 7) mod 7.

2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802 = 2800+2 = 7 ⋅ 400 +2.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(2802 + 136) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 55) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 55) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 55) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 401.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 29 mod 401

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 500134 mod 503.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 5001=500

2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 9 mod 503

4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 503

8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 22 mod 503

16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 503

32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 361 mod 503

64: 50064=50032+32=50032⋅50032 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 44 mod 503

128: 500128=50064+64=50064⋅50064 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 427 mod 503

500134

= 500128+4+2

= 500128⋅5004⋅5002

427 ⋅ 81 ⋅ 9 mod 503
34587 ⋅ 9 mod 503 ≡ 383 ⋅ 9 mod 503
3447 mod 503 ≡ 429 mod 503

Es gilt also: 500134 ≡ 429 mod 503

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71 = 1⋅42 + 29
=>42 = 1⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29)
= 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42)
= -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.