Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1806 + 241) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1806 + 241) mod 6 ≡ (1806 mod 6 + 241 mod 6) mod 6.

1806 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806 = 1800+6 = 6 ⋅ 300 +6.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(1806 + 241) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 52) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 52) mod 11 ≡ (35 mod 11 ⋅ 52 mod 11) mod 11.

35 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 3 ⋅ 11 + 2 ist.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 52) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60316 mod 661.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 603 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6031=603

2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 59 mod 661

4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 176 mod 661

8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 570 mod 661

16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 349 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230133 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 406 mod 673

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 624 mod 673

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 382 mod 673

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 556 mod 673

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 229 mod 673

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673

128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673

230133

= 230128+4+1

= 230128⋅2304⋅2301

117 ⋅ 624 ⋅ 230 mod 673
73008 ⋅ 230 mod 673 ≡ 324 ⋅ 230 mod 673
74520 mod 673 ≡ 490 mod 673

Es gilt also: 230133 ≡ 490 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.