Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8003 - 1199) mod 4 ≡ (8003 mod 4 - 1199 mod 4) mod 4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

Somit gilt:

(8003 - 1199) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 62) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 62) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 471¹=471

2: 471²=471¹⁺¹=471¹⋅471¹ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 171 mod 821

4: 471⁴=471²⁺²=471²⋅471² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 506 mod 821

8: 471⁸=471⁴⁺⁴=471⁴⋅471⁴ ≡ 506⋅506=256036 ≡ 705 mod 821

16: 471¹⁶=471⁸⁺⁸=471⁸⋅471⁸ ≡ 705⋅705=497025 ≡ 320 mod 821

32: 471³²=471¹⁶⁺¹⁶=471¹⁶⋅471¹⁶ ≡ 320⋅320=102400 ≡ 596 mod 821

64: 471⁶⁴=471³²⁺³²=471³²⋅471³² ≡ 596⋅596=355216 ≡ 544 mod 821

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

292²²²

= 292^{128+64+16+8+4+2}

= 292¹²⁸⋅292⁶⁴⋅292¹⁶⋅292⁸⋅292⁴⋅292²

≡ 444 ⋅ 176 ⋅ 335 ⋅ 28 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449
≡ 78144 ⋅ 335 ⋅ 28 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449 ≡ 18 ⋅ 335 ⋅ 28 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449
≡ 6030 ⋅ 28 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449 ≡ 193 ⋅ 28 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449
≡ 5404 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449 ≡ 16 ⋅ 320 ⋅ 403 mod 449
≡ 5120 ⋅ 403 mod 449 ≡ 181 ⋅ 403 mod 449
≡ 72943 mod 449 ≡ 205 mod 449

Es gilt also: 292²²² ≡ 205 mod 449

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89