Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26991 - 892) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26991 - 892) mod 9 ≡ (26991 mod 9 - 892 mod 9) mod 9.
26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991
= 27000
892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892
= 900
Somit gilt:
(26991 - 892) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 25) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 25) mod 8 ≡ (65 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.
65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 25) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89364 mod 947.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 893 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8931=893
2: 8932=8931+1=8931⋅8931 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 75 mod 947
4: 8934=8932+2=8932⋅8932 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 890 mod 947
8: 8938=8934+4=8934⋅8934 ≡ 890⋅890=792100 ≡ 408 mod 947
16: 89316=8938+8=8938⋅8938 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 739 mod 947
32: 89332=89316+16=89316⋅89316 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 649 mod 947
64: 89364=89332+32=89332⋅89332 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 733 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 488102 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 4881=488
2: 4882=4881+1=4881⋅4881 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 460 mod 683
4: 4884=4882+2=4882⋅4882 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 553 mod 683
8: 4888=4884+4=4884⋅4884 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 508 mod 683
16: 48816=4888+8=4888⋅4888 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 573 mod 683
32: 48832=48816+16=48816⋅48816 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 489 mod 683
64: 48864=48832+32=48832⋅48832 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 71 mod 683
488102
= 48864+32+4+2
= 48864⋅48832⋅4884⋅4882
≡ 71 ⋅ 489 ⋅ 553 ⋅ 460 mod 683
≡ 34719 ⋅ 553 ⋅ 460 mod 683 ≡ 569 ⋅ 553 ⋅ 460 mod 683
≡ 314657 ⋅ 460 mod 683 ≡ 477 ⋅ 460 mod 683
≡ 219420 mod 683 ≡ 177 mod 683
Es gilt also: 488102 ≡ 177 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
