Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2397 + 40000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2397 + 40000) mod 8 ≡ (2397 mod 8 + 40000 mod 8) mod 8.
2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000
= 40000
Somit gilt:
(2397 + 40000) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 99) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 99) mod 8 ≡ (19 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 99) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1688 mod 457.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 168 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1681=168
2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 347 mod 457
4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457
8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9766 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 971=97
2: 972=971+1=971⋅971 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 88 mod 239
4: 974=972+2=972⋅972 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 96 mod 239
8: 978=974+4=974⋅974 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 134 mod 239
16: 9716=978+8=978⋅978 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 31 mod 239
32: 9732=9716+16=9716⋅9716 ≡ 31⋅31=961 ≡ 5 mod 239
64: 9764=9732+32=9732⋅9732 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 239
9766
= 9764+2
= 9764⋅972
≡ 25 ⋅ 88 mod 239
≡ 2200 mod 239 ≡ 49 mod 239
Es gilt also: 9766 ≡ 49 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
