Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (298 + 23995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(298 + 23995) mod 6 ≡ (298 mod 6 + 23995 mod 6) mod 6.
298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298
= 300
23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995
= 24000
Somit gilt:
(298 + 23995) mod 6 ≡ (4 + 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 28) mod 9 ≡ (23 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
23 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 2 ⋅ 9 + 5 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 28) mod 9 ≡ (5 ⋅ 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17316 mod 277.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 13 mod 277
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 277
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 30 mod 277
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 30⋅30=900 ≡ 69 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 205224 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 319 mod 331
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 144 mod 331
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 214 mod 331
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 118 mod 331
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 22 mod 331
64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 22⋅22=484 ≡ 153 mod 331
128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 239 mod 331
205224
= 205128+64+32
= 205128⋅20564⋅20532
≡ 239 ⋅ 153 ⋅ 22 mod 331
≡ 36567 ⋅ 22 mod 331 ≡ 157 ⋅ 22 mod 331
≡ 3454 mod 331 ≡ 144 mod 331
Es gilt also: 205224 ≡ 144 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
