Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2403 - 60) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2403 - 60) mod 6 ≡ (2403 mod 6 - 60 mod 6) mod 6.
2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(2403 - 60) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 58) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 58) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 58) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4058 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 405 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 133212 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 225 mod 227
32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 4 mod 227
64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 227
128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 29 mod 227
133212
= 133128+64+16+4
= 133128⋅13364⋅13316⋅1334
≡ 29 ⋅ 16 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227
≡ 464 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227 ≡ 10 ⋅ 225 ⋅ 62 mod 227
≡ 2250 ⋅ 62 mod 227 ≡ 207 ⋅ 62 mod 227
≡ 12834 mod 227 ≡ 122 mod 227
Es gilt also: 133212 ≡ 122 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
