Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2701 + 1796) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2701 + 1796) mod 9 ≡ (2701 mod 9 + 1796 mod 9) mod 9.
2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701
= 2700
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
Somit gilt:
(2701 + 1796) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 97) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 97) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.
27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.
97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 97) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1898 mod 239.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 189 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 110 mod 239
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 150 mod 239
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 34 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 688136 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 6881=688
2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 531 mod 811
4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 544 mod 811
8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 732 mod 811
16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 564 mod 811
32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 184 mod 811
64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 605 mod 811
128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 264 mod 811
688136
= 688128+8
= 688128⋅6888
≡ 264 ⋅ 732 mod 811
≡ 193248 mod 811 ≡ 230 mod 811
Es gilt also: 688136 ≡ 230 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
