Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 + 3197) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 + 3197) mod 8 ≡ (75 mod 8 + 3197 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 80
3197 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3197
= 3200
Somit gilt:
(75 + 3197) mod 8 ≡ (3 + 5) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 56) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 56) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 56) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39516 mod 823.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 478 mod 823
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 513 mod 823
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 632 mod 823
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 269 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 845121 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 8451=845
2: 8452=8451+1=8451⋅8451 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 934 mod 947
4: 8454=8452+2=8452⋅8452 ≡ 934⋅934=872356 ≡ 169 mod 947
8: 8458=8454+4=8454⋅8454 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 151 mod 947
16: 84516=8458+8=8458⋅8458 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 73 mod 947
32: 84532=84516+16=84516⋅84516 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 594 mod 947
64: 84564=84532+32=84532⋅84532 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 552 mod 947
845121
= 84564+32+16+8+1
= 84564⋅84532⋅84516⋅8458⋅8451
≡ 552 ⋅ 594 ⋅ 73 ⋅ 151 ⋅ 845 mod 947
≡ 327888 ⋅ 73 ⋅ 151 ⋅ 845 mod 947 ≡ 226 ⋅ 73 ⋅ 151 ⋅ 845 mod 947
≡ 16498 ⋅ 151 ⋅ 845 mod 947 ≡ 399 ⋅ 151 ⋅ 845 mod 947
≡ 60249 ⋅ 845 mod 947 ≡ 588 ⋅ 845 mod 947
≡ 496860 mod 947 ≡ 632 mod 947
Es gilt also: 845121 ≡ 632 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
