Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1802 + 85) mod 9 ≡ (1802 mod 9 + 85 mod 9) mod 9.

1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 9 ⋅ 200 +2.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 90-5 = 9 ⋅ 10 -5 = 9 ⋅ 10 - 9 + 4.

Somit gilt:

(1802 + 85) mod 9 ≡ (2 + 4) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 74) mod 11 ≡ (73 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.

73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 74) mod 11 ≡ (7 ⋅ 8) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 342¹=342

2: 342²=342¹⁺¹=342¹⋅342¹ ≡ 342⋅342=116964 ≡ 535 mod 673

4: 342⁴=342²⁺²=342²⋅342² ≡ 535⋅535=286225 ≡ 200 mod 673

8: 342⁸=342⁴⁺⁴=342⁴⋅342⁴ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 293 mod 673

16: 342¹⁶=342⁸⁺⁸=342⁸⋅342⁸ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 378 mod 673

32: 342³²=342¹⁶⁺¹⁶=342¹⁶⋅342¹⁶ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 208 mod 673

64: 342⁶⁴=342³²⁺³²=342³²⋅342³² ≡ 208⋅208=43264 ≡ 192 mod 673

128: 342¹²⁸=342⁶⁴⁺⁶⁴=342⁶⁴⋅342⁶⁴ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 522 mod 673

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

252²⁴⁵

= 252^{128+64+32+16+4+1}

= 252¹²⁸⋅252⁶⁴⋅252³²⋅252¹⁶⋅252⁴⋅252¹

≡ 377 ⋅ 279 ⋅ 354 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421
≡ 105183 ⋅ 354 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421 ≡ 354 ⋅ 354 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421
≡ 125316 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421 ≡ 279 ⋅ 252 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421
≡ 70308 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421 ≡ 1 ⋅ 279 ⋅ 252 mod 421
≡ 279 ⋅ 252 mod 421
≡ 70308 mod 421 ≡ 1 mod 421

Es gilt also: 252²⁴⁵ ≡ 1 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47

=>71	= 1⋅47 + 24
=>47	= 1⋅24 + 23
=>24	= 1⋅23 + 1
=>23	= 23⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 24-1⋅23
23= 47-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24) = 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1)
24= 71-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47) = -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47

oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅71 = -3⋅47

-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47

-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1

(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1

68⋅47 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1

Somit 68⋅47 = 1 mod 71

68 ist also das Inverse von 47 mod 71