Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (394 + 804) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(394 + 804) mod 8 ≡ (394 mod 8 + 804 mod 8) mod 8.

394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394 = 400-6 = 8 ⋅ 50 -6 = 8 ⋅ 50 - 8 + 2.

804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 8 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(394 + 804) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 57) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 57) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 57 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 57) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2578 mod 619.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 435 mod 619

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 430 mod 619

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 438 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 432208 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 4321=432

2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 422 mod 593

4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 184 mod 593

8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 55 mod 593

16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 60 mod 593

32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 42 mod 593

64: 43264=43232+32=43232⋅43232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 578 mod 593

128: 432128=43264+64=43264⋅43264 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 225 mod 593

432208

= 432128+64+16

= 432128⋅43264⋅43216

225 ⋅ 578 ⋅ 60 mod 593
130050 ⋅ 60 mod 593 ≡ 183 ⋅ 60 mod 593
10980 mod 593 ≡ 306 mod 593

Es gilt also: 432208 ≡ 306 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89 = 3⋅27 + 8
=>27 = 3⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8)
= 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27)
= -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.