Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (453 + 36000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(453 + 36000) mod 9 ≡ (453 mod 9 + 36000 mod 9) mod 9.
453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453
= 450
36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000
= 36000
Somit gilt:
(453 + 36000) mod 9 ≡ (3 + 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 15) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 15) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 15 mod 7) mod 7.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 15) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56416 mod 709.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 564 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 464 mod 709
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 469 mod 709
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 171 mod 709
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 172 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 173104 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 131 mod 317
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 43 mod 317
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 264 mod 317
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 273 mod 317
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 34 mod 317
64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 205 mod 317
173104
= 17364+32+8
= 17364⋅17332⋅1738
≡ 205 ⋅ 34 ⋅ 264 mod 317
≡ 6970 ⋅ 264 mod 317 ≡ 313 ⋅ 264 mod 317
≡ 82632 mod 317 ≡ 212 mod 317
Es gilt also: 173104 ≡ 212 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
