Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (368 + 275) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(368 + 275) mod 9 ≡ (368 mod 9 + 275 mod 9) mod 9.

368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368 = 360+8 = 9 ⋅ 40 +8.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(368 + 275) mod 9 ≡ (8 + 5) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 60) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 60) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7916 mod 211.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 79 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 791=79

2: 792=791+1=791⋅791 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 122 mod 211

4: 794=792+2=792⋅792 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 114 mod 211

8: 798=794+4=794⋅794 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211

16: 7916=798+8=798⋅798 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7867 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 781=78

2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 109 mod 239

4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 170 mod 239

8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 220 mod 239

16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 122 mod 239

32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 66 mod 239

64: 7864=7832+32=7832⋅7832 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 54 mod 239

7867

= 7864+2+1

= 7864⋅782⋅781

54 ⋅ 109 ⋅ 78 mod 239
5886 ⋅ 78 mod 239 ≡ 150 ⋅ 78 mod 239
11700 mod 239 ≡ 228 mod 239

Es gilt also: 7867 ≡ 228 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23

=>53 = 2⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 53-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23)
= 10⋅53 -23⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23

oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅53 = -23⋅23

-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23

-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1

(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1

30⋅23 = 13⋅53 + 1

Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1

Somit 30⋅23 = 1 mod 53

30 ist also das Inverse von 23 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.