Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 + 1505) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 + 1505) mod 5 ≡ (53 mod 5 + 1505 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50+3 = 5 ⋅ 10 +3.

1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505 = 1500+5 = 5 ⋅ 300 +5.

Somit gilt:

(53 + 1505) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 65) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 65) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 65) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46964 mod 911.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 410 mod 911

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 476 mod 911

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 648 mod 911

16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 844 mod 911

32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 844⋅844=712336 ≡ 845 mod 911

64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 712 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328100 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:

100 = 64+32+4

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 90 mod 757

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 530 mod 757

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 53 mod 757

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 538 mod 757

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 270 mod 757

64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 228 mod 757

328100

= 32864+32+4

= 32864⋅32832⋅3284

228 ⋅ 270 ⋅ 530 mod 757
61560 ⋅ 530 mod 757 ≡ 243 ⋅ 530 mod 757
128790 mod 757 ≡ 100 mod 757

Es gilt also: 328100 ≡ 100 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65

=>101 = 1⋅65 + 36
=>65 = 1⋅36 + 29
=>36 = 1⋅29 + 7
=>29 = 4⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-4⋅7
7= 36-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29)
= -4⋅36 +5⋅ 29 (=1)
29= 65-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36)
= 5⋅65 -9⋅ 36 (=1)
36= 101-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65)
= -9⋅101 +14⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +14⋅65

Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1

Somit 14⋅65 = 1 mod 101

14 ist also das Inverse von 65 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.