Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18003 - 274) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18003 - 274) mod 9 ≡ (18003 mod 9 - 274 mod 9) mod 9.
18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
274 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274
= 270
Somit gilt:
(18003 - 274) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 48) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 48) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 48) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28132 mod 563.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 141 mod 563
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 176 mod 563
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 11 mod 563
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 563
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 3 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 150159 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 1501=150
2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433
4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 256 mod 433
8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 153 mod 433
16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 27 mod 433
32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 27⋅27=729 ≡ 296 mod 433
64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 150 mod 433
128: 150128=15064+64=15064⋅15064 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 417 mod 433
150159
= 150128+16+8+4+2+1
= 150128⋅15016⋅1508⋅1504⋅1502⋅1501
≡ 417 ⋅ 27 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 11259 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433 ≡ 1 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 39168 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433 ≡ 198 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 82566 ⋅ 150 mod 433 ≡ 296 ⋅ 150 mod 433
≡ 44400 mod 433 ≡ 234 mod 433
Es gilt also: 150159 ≡ 234 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
