Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (327 - 2397) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(327 - 2397) mod 8 ≡ (327 mod 8 - 2397 mod 8) mod 8.
327 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 327
= 320
2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
Somit gilt:
(327 - 2397) mod 8 ≡ (7 - 5) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 25) mod 4 ≡ (53 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 25) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21764 mod 263.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 12 mod 263
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 263
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 222 mod 263
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 103 mod 263
32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 89 mod 263
64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 31 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 603224 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 6031=603
2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 100 mod 613
4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 192 mod 613
8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 84 mod 613
16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 313 mod 613
32: 60332=60316+16=60316⋅60316 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 502 mod 613
64: 60364=60332+32=60332⋅60332 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 61 mod 613
128: 603128=60364+64=60364⋅60364 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 43 mod 613
603224
= 603128+64+32
= 603128⋅60364⋅60332
≡ 43 ⋅ 61 ⋅ 502 mod 613
≡ 2623 ⋅ 502 mod 613 ≡ 171 ⋅ 502 mod 613
≡ 85842 mod 613 ≡ 22 mod 613
Es gilt also: 603224 ≡ 22 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 36
| =>101 | = 2⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 101-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(101 -2⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅101 -10⋅ 36) = 5⋅101 -14⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,36)=1 = 5⋅101 -14⋅36
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -14⋅36
-14⋅36 = -5⋅101 + 1 |+101⋅36
-14⋅36 + 101⋅36 = -5⋅101 + 101⋅36 + 1
(-14 + 101) ⋅ 36 = (-5 + 36) ⋅ 101 + 1
87⋅36 = 31⋅101 + 1
Es gilt also: 87⋅36 = 31⋅101 +1
Somit 87⋅36 = 1 mod 101
87 ist also das Inverse von 36 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
