Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(254 - 502) mod 5 ≡ (254 mod 5 - 502 mod 5) mod 5.

254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254 = 250+4 = 5 ⋅ 50 +4.

502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502 = 500+2 = 5 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(254 - 502) mod 5 ≡ (4 - 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 85) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 85) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 152¹=152

2: 152²=152¹⁺¹=152¹⋅152¹ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 37 mod 233

4: 152⁴=152²⁺²=152²⋅152² ≡ 37⋅37=1369 ≡ 204 mod 233

8: 152⁸=152⁴⁺⁴=152⁴⋅152⁴ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 142 mod 233

16: 152¹⁶=152⁸⁺⁸=152⁸⋅152⁸ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 126 mod 233

32: 152³²=152¹⁶⁺¹⁶=152¹⁶⋅152¹⁶ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

261¹⁸⁸

= 261^{128+32+16+8+4}

= 261¹²⁸⋅261³²⋅261¹⁶⋅261⁸⋅261⁴

≡ 317 ⋅ 90 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
≡ 28530 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569 ≡ 80 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
≡ 35760 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569 ≡ 482 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
≡ 134960 ⋅ 245 mod 569 ≡ 107 ⋅ 245 mod 569
≡ 26215 mod 569 ≡ 41 mod 569

Es gilt also: 261¹⁸⁸ ≡ 41 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73