Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 1795) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 1795) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 1795 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
Somit gilt:
(2997 + 1795) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 17) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 17) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 17 mod 8) mod 8.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 17) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 443128 mod 577.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 443 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4431=443
2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 69 mod 577
4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 145 mod 577
8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 253 mod 577
16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 539 mod 577
32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 290 mod 577
64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 435 mod 577
128: 443128=44364+64=44364⋅44364 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 503129 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 19 mod 937
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 937
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 78 mod 937
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 462 mod 937
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 745 mod 937
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 321 mod 937
128: 503128=50364+64=50364⋅50364 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 908 mod 937
503129
= 503128+1
= 503128⋅5031
≡ 908 ⋅ 503 mod 937
≡ 456724 mod 937 ≡ 405 mod 937
Es gilt also: 503129 ≡ 405 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67
| =>101 | = 1⋅67 + 34 |
| =>67 | = 1⋅34 + 33 |
| =>34 | = 1⋅33 + 1 |
| =>33 | = 33⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-1⋅33 | |||
| 33= 67-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1) |
| 34= 101-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67
oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅101 = -3⋅67
-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67
-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1
(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1
98⋅67 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1
Somit 98⋅67 = 1 mod 101
98 ist also das Inverse von 67 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
