Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 18005) mod 6 ≡ (176 mod 6 - 18005 mod 6) mod 6.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(176 - 18005) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 35) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 35) mod 10 ≡ (6 ⋅ 5) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 373¹=373

2: 373²=373¹⁺¹=373¹⋅373¹ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 172 mod 509

4: 373⁴=373²⁺²=373²⋅373² ≡ 172⋅172=29584 ≡ 62 mod 509

8: 373⁸=373⁴⁺⁴=373⁴⋅373⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 281 mod 509

16: 373¹⁶=373⁸⁺⁸=373⁸⋅373⁸ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 66 mod 509

32: 373³²=373¹⁶⁺¹⁶=373¹⁶⋅373¹⁶ ≡ 66⋅66=4356 ≡ 284 mod 509

64: 373⁶⁴=373³²⁺³²=373³²⋅373³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 234 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

176²⁰⁹

= 176^128+64+16+1

= 176¹²⁸⋅176⁶⁴⋅176¹⁶⋅176¹

≡ 19 ⋅ 46 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233
≡ 874 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233 ≡ 175 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233
≡ 8925 ⋅ 176 mod 233 ≡ 71 ⋅ 176 mod 233
≡ 12496 mod 233 ≡ 147 mod 233

Es gilt also: 176²⁰⁹ ≡ 147 mod 233

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101