Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (198 - 47) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(198 - 47) mod 5 ≡ (198 mod 5 - 47 mod 5) mod 5.
198 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 190
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47
= 40
Somit gilt:
(198 - 47) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 40) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 40) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 40) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12132 mod 283.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 121 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1211=121
2: 1212=1211+1=1211⋅1211 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 208 mod 283
4: 1214=1212+2=1212⋅1212 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 248 mod 283
8: 1218=1214+4=1214⋅1214 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 93 mod 283
16: 12116=1218+8=1218⋅1218 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 159 mod 283
32: 12132=12116+16=12116⋅12116 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 94 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31770 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 33 mod 433
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 223 mod 433
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 367 mod 433
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 26 mod 433
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 26⋅26=676 ≡ 243 mod 433
64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433
31770
= 31764+4+2
= 31764⋅3174⋅3172
≡ 161 ⋅ 223 ⋅ 33 mod 433
≡ 35903 ⋅ 33 mod 433 ≡ 397 ⋅ 33 mod 433
≡ 13101 mod 433 ≡ 111 mod 433
Es gilt also: 31770 ≡ 111 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68
| =>79 | = 1⋅68 + 11 |
| =>68 | = 6⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 68-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1) |
| 11= 79-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -36⋅68
-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68
-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1
(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1
43⋅68 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1
Somit 43⋅68 = 1 mod 79
43 ist also das Inverse von 68 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
