Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(178 + 2996) mod 6 ≡ (178 mod 6 + 2996 mod 6) mod 6.

178 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 6 ⋅ 30 -2 = 6 ⋅ 30 - 6 + 4.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(178 + 2996) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 38) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 38 mod 4) mod 4.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 38) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 529¹=529

2: 529²=529¹⁺¹=529¹⋅529¹ ≡ 529⋅529=279841 ≡ 508 mod 757

4: 529⁴=529²⁺²=529²⋅529² ≡ 508⋅508=258064 ≡ 684 mod 757

8: 529⁸=529⁴⁺⁴=529⁴⋅529⁴ ≡ 684⋅684=467856 ≡ 30 mod 757

16: 529¹⁶=529⁸⁺⁸=529⁸⋅529⁸ ≡ 30⋅30=900 ≡ 143 mod 757

32: 529³²=529¹⁶⁺¹⁶=529¹⁶⋅529¹⁶ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 10 mod 757

64: 529⁶⁴=529³²⁺³²=529³²⋅529³² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 757

128: 529¹²⁸=529⁶⁴⁺⁶⁴=529⁶⁴⋅529⁶⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 159 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

733¹⁸³

= 733^{128+32+16+4+2+1}

= 733¹²⁸⋅733³²⋅733¹⁶⋅733⁴⋅733²⋅733¹

≡ 181 ⋅ 376 ⋅ 543 ⋅ 210 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757
≡ 68056 ⋅ 543 ⋅ 210 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757 ≡ 683 ⋅ 543 ⋅ 210 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757
≡ 370869 ⋅ 210 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757 ≡ 696 ⋅ 210 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757
≡ 146160 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757 ≡ 59 ⋅ 576 ⋅ 733 mod 757
≡ 33984 ⋅ 733 mod 757 ≡ 676 ⋅ 733 mod 757
≡ 495508 mod 757 ≡ 430 mod 757

Es gilt also: 733¹⁸³ ≡ 430 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71	= 1⋅59 + 12
=>59	= 4⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59) = -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71