Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1797 - 81) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1797 - 81) mod 9 ≡ (1797 mod 9 - 81 mod 9) mod 9.

1797 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 9 ⋅ 200 -3 = 9 ⋅ 200 - 9 + 6.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

Somit gilt:

(1797 - 81) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 50) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 50) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 50) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72232 mod 919.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 722 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7221=722

2: 7222=7221+1=7221⋅7221 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 211 mod 919

4: 7224=7222+2=7222⋅7222 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 409 mod 919

8: 7228=7224+4=7224⋅7224 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 23 mod 919

16: 72216=7228+8=7228⋅7228 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 919

32: 72232=72216+16=72216⋅72216 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 465 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 421180 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 4211=421

2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 620 mod 739

4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 120 mod 739

8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 359 mod 739

16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 295 mod 739

32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 562 mod 739

64: 42164=42132+32=42132⋅42132 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 291 mod 739

128: 421128=42164+64=42164⋅42164 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 435 mod 739

421180

= 421128+32+16+4

= 421128⋅42132⋅42116⋅4214

435 ⋅ 562 ⋅ 295 ⋅ 120 mod 739
244470 ⋅ 295 ⋅ 120 mod 739 ≡ 600 ⋅ 295 ⋅ 120 mod 739
177000 ⋅ 120 mod 739 ≡ 379 ⋅ 120 mod 739
45480 mod 739 ≡ 401 mod 739

Es gilt also: 421180 ≡ 401 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52

=>79 = 1⋅52 + 27
=>52 = 1⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 52-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27)
= 13⋅52 -25⋅ 27 (=1)
27= 79-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52)
= -25⋅79 +38⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52

oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅79 = +38⋅52

Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1

Somit 38⋅52 = 1 mod 79

38 ist also das Inverse von 52 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.