Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (235 - 1596) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(235 - 1596) mod 8 ≡ (235 mod 8 - 1596 mod 8) mod 8.
235 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235
= 240
1596 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1600
Somit gilt:
(235 - 1596) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 24) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 24) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 24 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.
24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 24) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 196128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 132 mod 563
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 534 mod 563
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 278 mod 563
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 153 mod 563
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 326 mod 563
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 432 mod 563
128: 196128=19664+64=19664⋅19664 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 271 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12984 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 157 mod 317
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 240 mod 317
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 15 mod 317
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 317
12984
= 12964+16+4
= 12964⋅12916⋅1294
≡ 225 ⋅ 277 ⋅ 240 mod 317
≡ 62325 ⋅ 240 mod 317 ≡ 193 ⋅ 240 mod 317
≡ 46320 mod 317 ≡ 38 mod 317
Es gilt also: 12984 ≡ 38 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
