Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4500 - 35996) mod 9 ≡ (4500 mod 9 - 35996 mod 9) mod 9.

4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500 = 4500+0 = 9 ⋅ 500 +0.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(4500 - 35996) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 42) mod 10 ≡ (25 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 42) mod 10 ≡ (5 ⋅ 2) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 516¹=516

2: 516²=516¹⁺¹=516¹⋅516¹ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 846 mod 983

4: 516⁴=516²⁺²=516²⋅516² ≡ 846⋅846=715716 ≡ 92 mod 983

8: 516⁸=516⁴⁺⁴=516⁴⋅516⁴ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 600 mod 983

16: 516¹⁶=516⁸⁺⁸=516⁸⋅516⁸ ≡ 600⋅600=360000 ≡ 222 mod 983

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

154²¹³

= 154^{128+64+16+4+1}

= 154¹²⁸⋅154⁶⁴⋅154¹⁶⋅154⁴⋅154¹

≡ 18 ⋅ 359 ⋅ 431 ⋅ 275 ⋅ 154 mod 449
≡ 6462 ⋅ 431 ⋅ 275 ⋅ 154 mod 449 ≡ 176 ⋅ 431 ⋅ 275 ⋅ 154 mod 449
≡ 75856 ⋅ 275 ⋅ 154 mod 449 ≡ 424 ⋅ 275 ⋅ 154 mod 449
≡ 116600 ⋅ 154 mod 449 ≡ 309 ⋅ 154 mod 449
≡ 47586 mod 449 ≡ 441 mod 449

Es gilt also: 154²¹³ ≡ 441 mod 449

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98

=>101	= 1⋅98 + 3
=>98	= 32⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,98)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 98-32⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1)
3= 101-1⋅98	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98) = -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1)

Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -34⋅98

-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98

-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1

(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1

67⋅98 = 65⋅101 + 1

Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1

Somit 67⋅98 = 1 mod 101

67 ist also das Inverse von 98 mod 101