Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 - 60) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(150 - 60) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 79) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 79) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 839¹=839

2: 839²=839¹⁺¹=839¹⋅839¹ ≡ 839⋅839=703921 ≡ 912 mod 967

4: 839⁴=839²⁺²=839²⋅839² ≡ 912⋅912=831744 ≡ 124 mod 967

8: 839⁸=839⁴⁺⁴=839⁴⋅839⁴ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 871 mod 967

16: 839¹⁶=839⁸⁺⁸=839⁸⋅839⁸ ≡ 871⋅871=758641 ≡ 513 mod 967

32: 839³²=839¹⁶⁺¹⁶=839¹⁶⋅839¹⁶ ≡ 513⋅513=263169 ≡ 145 mod 967

64: 839⁶⁴=839³²⁺³²=839³²⋅839³² ≡ 145⋅145=21025 ≡ 718 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

148²⁵⁵

= 148^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 148¹²⁸⋅148⁶⁴⋅148³²⋅148¹⁶⋅148⁸⋅148⁴⋅148²⋅148¹

≡ 153 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 19737 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 43 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 3225 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 19 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 2394 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 104 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 14976 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 91 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 19747 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 53 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 7897 ⋅ 148 mod 229 ≡ 111 ⋅ 148 mod 229
≡ 16428 mod 229 ≡ 169 mod 229

Es gilt also: 148²⁵⁵ ≡ 169 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61