Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(599 + 12000) mod 6 ≡ (599 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.

599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 6 ⋅ 100 -1 = 6 ⋅ 100 - 6 + 5.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(599 + 12000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 95) mod 7 ≡ (88 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 95) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 148¹=148

2: 148²=148¹⁺¹=148¹⋅148¹ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 134 mod 311

4: 148⁴=148²⁺²=148²⋅148² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 229 mod 311

8: 148⁸=148⁴⁺⁴=148⁴⋅148⁴ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 193 mod 311

16: 148¹⁶=148⁸⁺⁸=148⁸⋅148⁸ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 240 mod 311

32: 148³²=148¹⁶⁺¹⁶=148¹⁶⋅148¹⁶ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 65 mod 311

64: 148⁶⁴=148³²⁺³²=148³²⋅148³² ≡ 65⋅65=4225 ≡ 182 mod 311

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

340⁹⁹

= 340^64+32+2+1

= 340⁶⁴⋅340³²⋅340²⋅340¹

≡ 419 ⋅ 367 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463
≡ 153773 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463 ≡ 57 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463
≡ 17841 ⋅ 340 mod 463 ≡ 247 ⋅ 340 mod 463
≡ 83980 mod 463 ≡ 177 mod 463

Es gilt also: 340⁹⁹ ≡ 177 mod 463

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35

=>73	= 2⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 73-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -25⋅35

-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35

-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1

(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1

48⋅35 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1

Somit 48⋅35 = 1 mod 73

48 ist also das Inverse von 35 mod 73