Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2696 + 363) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2696 + 363) mod 9 ≡ (2696 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.
2696 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2696
= 2700
363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363
= 360
Somit gilt:
(2696 + 363) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 68) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 68) mod 10 ≡ (53 mod 10 ⋅ 68 mod 10) mod 10.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 68) mod 10 ≡ (3 ⋅ 8) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1678 mod 383.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 167 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 313 mod 383
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 304 mod 383
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 113 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63571 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 6351=635
2: 6352=6351+1=6351⋅6351 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 144 mod 647
4: 6354=6352+2=6352⋅6352 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 32 mod 647
8: 6358=6354+4=6354⋅6354 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 377 mod 647
16: 63516=6358+8=6358⋅6358 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 436 mod 647
32: 63532=63516+16=63516⋅63516 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 525 mod 647
64: 63564=63532+32=63532⋅63532 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 3 mod 647
63571
= 63564+4+2+1
= 63564⋅6354⋅6352⋅6351
≡ 3 ⋅ 32 ⋅ 144 ⋅ 635 mod 647
≡ 96 ⋅ 144 ⋅ 635 mod 647
≡ 13824 ⋅ 635 mod 647 ≡ 237 ⋅ 635 mod 647
≡ 150495 mod 647 ≡ 391 mod 647
Es gilt also: 63571 ≡ 391 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
