Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (247 - 100) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(247 - 100) mod 5 ≡ (247 mod 5 - 100 mod 5) mod 5.
247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
Somit gilt:
(247 - 100) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 22) mod 3 ≡ (88 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 22) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17532 mod 353.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 175 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 267 mod 353
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 336 mod 353
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 289 mod 353
16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 213 mod 353
32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 185 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 666124 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 6661=666
2: 6662=6661+1=6661⋅6661 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 780 mod 971
4: 6664=6662+2=6662⋅6662 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 554 mod 971
8: 6668=6664+4=6664⋅6664 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 80 mod 971
16: 66616=6668+8=6668⋅6668 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 574 mod 971
32: 66632=66616+16=66616⋅66616 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 307 mod 971
64: 66664=66632+32=66632⋅66632 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 62 mod 971
666124
= 66664+32+16+8+4
= 66664⋅66632⋅66616⋅6668⋅6664
≡ 62 ⋅ 307 ⋅ 574 ⋅ 80 ⋅ 554 mod 971
≡ 19034 ⋅ 574 ⋅ 80 ⋅ 554 mod 971 ≡ 585 ⋅ 574 ⋅ 80 ⋅ 554 mod 971
≡ 335790 ⋅ 80 ⋅ 554 mod 971 ≡ 795 ⋅ 80 ⋅ 554 mod 971
≡ 63600 ⋅ 554 mod 971 ≡ 485 ⋅ 554 mod 971
≡ 268690 mod 971 ≡ 694 mod 971
Es gilt also: 666124 ≡ 694 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 69
| =>83 | = 1⋅69 + 14 |
| =>69 | = 4⋅14 + 13 |
| =>14 | = 1⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 14-1⋅13 | |||
| 13= 69-4⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅14 -1⋅(69 -4⋅ 14)
= 1⋅14 -1⋅69 +4⋅ 14) = -1⋅69 +5⋅ 14 (=1) |
| 14= 83-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +5⋅(83 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +5⋅83 -5⋅ 69) = 5⋅83 -6⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,69)=1 = 5⋅83 -6⋅69
oder wenn man 5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅83 = -6⋅69
-6⋅69 = -5⋅83 + 1 |+83⋅69
-6⋅69 + 83⋅69 = -5⋅83 + 83⋅69 + 1
(-6 + 83) ⋅ 69 = (-5 + 69) ⋅ 83 + 1
77⋅69 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 77⋅69 = 64⋅83 +1
Somit 77⋅69 = 1 mod 83
77 ist also das Inverse von 69 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
