Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1406 - 14005) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1406 - 14005) mod 7 ≡ (1406 mod 7 - 14005 mod 7) mod 7.
1406 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1406
= 1400
14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005
= 14000
Somit gilt:
(1406 - 14005) mod 7 ≡ (6 - 5) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 45) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 45) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 45) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2858 mod 409.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 243 mod 409
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 153 mod 409
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 96 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 268233 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:
233 = 128+64+32+8+1
1: 2681=268
2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 223 mod 823
4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 349 mod 823
8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 820 mod 823
16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 9 mod 823
32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 823
64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 800 mod 823
128: 268128=26864+64=26864⋅26864 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 529 mod 823
268233
= 268128+64+32+8+1
= 268128⋅26864⋅26832⋅2688⋅2681
≡ 529 ⋅ 800 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
≡ 423200 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823 ≡ 178 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
≡ 14418 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823 ≡ 427 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
≡ 350140 ⋅ 268 mod 823 ≡ 365 ⋅ 268 mod 823
≡ 97820 mod 823 ≡ 706 mod 823
Es gilt also: 268233 ≡ 706 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
