Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1405 + 7004) mod 7 ≡ (1405 mod 7 + 7004 mod 7) mod 7.

1405 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1405 = 1400+5 = 7 ⋅ 200 +5.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(1405 + 7004) mod 7 ≡ (5 + 4) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 63) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 63) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 447¹=447

2: 447²=447¹⁺¹=447¹⋅447¹ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 698 mod 787

4: 447⁴=447²⁺²=447²⋅447² ≡ 698⋅698=487204 ≡ 51 mod 787

8: 447⁸=447⁴⁺⁴=447⁴⋅447⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 240 mod 787

16: 447¹⁶=447⁸⁺⁸=447⁸⋅447⁸ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 149 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

253¹⁸³

= 253^{128+32+16+4+2+1}

= 253¹²⁸⋅253³²⋅253¹⁶⋅253⁴⋅253²⋅253¹

≡ 59 ⋅ 109 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 6431 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 249 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 14691 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 79 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 8611 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 181 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 40182 ⋅ 253 mod 281 ≡ 280 ⋅ 253 mod 281
≡ 70840 mod 281 ≡ 28 mod 281

Es gilt also: 253¹⁸³ ≡ 28 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71	= 1⋅42 + 29
=>42	= 1⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42) = 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71