Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14000 - 28003) mod 7 ≡ (14000 mod 7 - 28003 mod 7) mod 7.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

28003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28003 = 28000+3 = 7 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(14000 - 28003) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 62) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 62) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 461¹=461

2: 461²=461¹⁺¹=461¹⋅461¹ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 296 mod 653

4: 461⁴=461²⁺²=461²⋅461² ≡ 296⋅296=87616 ≡ 114 mod 653

8: 461⁸=461⁴⁺⁴=461⁴⋅461⁴ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 589 mod 653

16: 461¹⁶=461⁸⁺⁸=461⁸⋅461⁸ ≡ 589⋅589=346921 ≡ 178 mod 653

32: 461³²=461¹⁶⁺¹⁶=461¹⁶⋅461¹⁶ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 340 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

309²⁰⁷

= 309^{128+64+8+4+2+1}

= 309¹²⁸⋅309⁶⁴⋅309⁸⋅309⁴⋅309²⋅309¹

≡ 538 ⋅ 85 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 45730 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 407 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 240130 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 141 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 30456 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 736 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 277472 ⋅ 309 mod 743 ≡ 333 ⋅ 309 mod 743
≡ 102897 mod 743 ≡ 363 mod 743

Es gilt also: 309²⁰⁷ ≡ 363 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53