Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 - 2994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 - 2994) mod 6 ≡ (3000 mod 6 - 2994 mod 6) mod 6.
3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
2994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2994
= 3000
Somit gilt:
(3000 - 2994) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 28) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 28) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 28) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45464 mod 563.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 454 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4541=454
2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 58 mod 563
4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 549 mod 563
8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 196 mod 563
16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 132 mod 563
32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 534 mod 563
64: 45464=45432+32=45432⋅45432 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 278 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24399 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 156 mod 293
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 17 mod 293
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 293
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 197 mod 293
24399
= 24364+32+2+1
= 24364⋅24332⋅2432⋅2431
≡ 197 ⋅ 256 ⋅ 156 ⋅ 243 mod 293
≡ 50432 ⋅ 156 ⋅ 243 mod 293 ≡ 36 ⋅ 156 ⋅ 243 mod 293
≡ 5616 ⋅ 243 mod 293 ≡ 49 ⋅ 243 mod 293
≡ 11907 mod 293 ≡ 187 mod 293
Es gilt also: 24399 ≡ 187 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
