Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(799 + 12000) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 12000 mod 4) mod 4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(799 + 12000) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 54) mod 4 ≡ (37 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 54) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 735¹=735

2: 735²=735¹⁺¹=735¹⋅735¹ ≡ 735⋅735=540225 ≡ 921 mod 977

4: 735⁴=735²⁺²=735²⋅735² ≡ 921⋅921=848241 ≡ 205 mod 977

8: 735⁸=735⁴⁺⁴=735⁴⋅735⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 14 mod 977

16: 735¹⁶=735⁸⁺⁸=735⁸⋅735⁸ ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 977

32: 735³²=735¹⁶⁺¹⁶=735¹⁶⋅735¹⁶ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 313 mod 977

64: 735⁶⁴=735³²⁺³²=735³²⋅735³² ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977

128: 735¹²⁸=735⁶⁴⁺⁶⁴=735⁶⁴⋅735⁶⁴ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

331²⁵⁴

= 331^{128+64+32+16+8+4+2}

= 331¹²⁸⋅331⁶⁴⋅331³²⋅331¹⁶⋅331⁸⋅331⁴⋅331²

≡ 525 ⋅ 93 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
≡ 48825 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 81 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
≡ 31833 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 14 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
≡ 7672 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 225 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
≡ 7875 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 428 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
≡ 249524 ⋅ 564 mod 677 ≡ 388 ⋅ 564 mod 677
≡ 218832 mod 677 ≡ 161 mod 677

Es gilt also: 331²⁵⁴ ≡ 161 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89