Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8999 + 27006) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8999 + 27006) mod 9 ≡ (8999 mod 9 + 27006 mod 9) mod 9.
8999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006
= 27000
Somit gilt:
(8999 + 27006) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 81) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 81) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 81) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 361128 mod 653.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 374 mod 653
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 134 mod 653
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 325 mod 653
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 492 mod 653
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 454 mod 653
64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 421 mod 653
128: 361128=36164+64=36164⋅36164 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 278 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216253 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:
253 = 128+64+32+16+8+4+1
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 161 mod 547
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 212 mod 547
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 90 mod 547
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 442 mod 547
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 85 mod 547
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 114 mod 547
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 415 mod 547
216253
= 216128+64+32+16+8+4+1
= 216128⋅21664⋅21632⋅21616⋅2168⋅2164⋅2161
≡ 415 ⋅ 114 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 47310 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 268 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 22780 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 353 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 156026 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 131 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 11790 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 303 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 64236 ⋅ 216 mod 547 ≡ 237 ⋅ 216 mod 547
≡ 51192 mod 547 ≡ 321 mod 547
Es gilt also: 216253 ≡ 321 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25
| =>61 | = 2⋅25 + 11 |
| =>25 | = 2⋅11 + 3 |
| =>11 | = 3⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 11-3⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1) |
| 3= 25-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1) |
| 11= 61-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +22⋅25
Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1
Somit 22⋅25 = 1 mod 61
22 ist also das Inverse von 25 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
