Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2500 - 20002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 - 20002) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 20002 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(2500 - 20002) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 60) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 60) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 60) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 188128 mod 251.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 204 mod 251

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251

16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251

32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251

64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251

128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 199208 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 1991=199

2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 166 mod 239

4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 71 mod 239

8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 22 mod 239

16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 22⋅22=484 ≡ 6 mod 239

32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 239

64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 101 mod 239

128: 199128=19964+64=19964⋅19964 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 163 mod 239

199208

= 199128+64+16

= 199128⋅19964⋅19916

163 ⋅ 101 ⋅ 6 mod 239
16463 ⋅ 6 mod 239 ≡ 211 ⋅ 6 mod 239
1266 mod 239 ≡ 71 mod 239

Es gilt also: 199208 ≡ 71 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 54

=>83 = 1⋅54 + 29
=>54 = 1⋅29 + 25
=>29 = 1⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25)
= -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 54-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅29 +7⋅(54 -1⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅54 -7⋅ 29)
= 7⋅54 -13⋅ 29 (=1)
29= 83-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅54 -13⋅(83 -1⋅ 54)
= 7⋅54 -13⋅83 +13⋅ 54)
= -13⋅83 +20⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(83,54)=1 = -13⋅83 +20⋅54

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +20⋅54

Es gilt also: 20⋅54 = 13⋅83 +1

Somit 20⋅54 = 1 mod 83

20 ist also das Inverse von 54 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.