Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24002 + 240) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24002 + 240) mod 6 ≡ (24002 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.
24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
Somit gilt:
(24002 + 240) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 70) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 70) mod 10 ≡ (36 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 70) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2228 mod 503.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 222 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 493 mod 503
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 100 mod 503
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 443 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29293 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 225 mod 307
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 277 mod 307
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 286 mod 307
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 134 mod 307
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 150 mod 307
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 89 mod 307
29293
= 29264+16+8+4+1
= 29264⋅29216⋅2928⋅2924⋅2921
≡ 89 ⋅ 134 ⋅ 286 ⋅ 277 ⋅ 292 mod 307
≡ 11926 ⋅ 286 ⋅ 277 ⋅ 292 mod 307 ≡ 260 ⋅ 286 ⋅ 277 ⋅ 292 mod 307
≡ 74360 ⋅ 277 ⋅ 292 mod 307 ≡ 66 ⋅ 277 ⋅ 292 mod 307
≡ 18282 ⋅ 292 mod 307 ≡ 169 ⋅ 292 mod 307
≡ 49348 mod 307 ≡ 228 mod 307
Es gilt also: 29293 ≡ 228 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
