Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (327 - 40003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(327 - 40003) mod 8 ≡ (327 mod 8 - 40003 mod 8) mod 8.
327 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 327
= 320
40003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40003
= 40000
Somit gilt:
(327 - 40003) mod 8 ≡ (7 - 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 70) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 70) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 70 mod 8) mod 8.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 70) mod 8 ≡ (3 ⋅ 6) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1438 mod 229.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 68 mod 229
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 44 mod 229
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 104 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59079 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 222 mod 619
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 383 mod 619
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 605 mod 619
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 196 mod 619
32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 38 mod 619
64: 59064=59032+32=59032⋅59032 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 206 mod 619
59079
= 59064+8+4+2+1
= 59064⋅5908⋅5904⋅5902⋅5901
≡ 206 ⋅ 605 ⋅ 383 ⋅ 222 ⋅ 590 mod 619
≡ 124630 ⋅ 383 ⋅ 222 ⋅ 590 mod 619 ≡ 211 ⋅ 383 ⋅ 222 ⋅ 590 mod 619
≡ 80813 ⋅ 222 ⋅ 590 mod 619 ≡ 343 ⋅ 222 ⋅ 590 mod 619
≡ 76146 ⋅ 590 mod 619 ≡ 9 ⋅ 590 mod 619
≡ 5310 mod 619 ≡ 358 mod 619
Es gilt also: 59079 ≡ 358 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 95.
Also bestimme x, so dass 95 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95
| =>101 | = 1⋅95 + 6 |
| =>95 | = 15⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,95)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 95-15⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6) = -1⋅95 +16⋅ 6 (=1) |
| 6= 101-1⋅95 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95)
= -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95) = 16⋅101 -17⋅ 95 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -17⋅95
-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95
-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1
(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1
84⋅95 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1
Somit 84⋅95 = 1 mod 101
84 ist also das Inverse von 95 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
