Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 - 151) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 151) mod 3 ≡ (120 mod 3 - 151 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(120 - 151) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 16) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 16) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 16) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 52564 mod 977.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 525 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5251=525

2: 5252=5251+1=5251⋅5251 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 111 mod 977

4: 5254=5252+2=5252⋅5252 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 597 mod 977

8: 5258=5254+4=5254⋅5254 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 781 mod 977

16: 52516=5258+8=5258⋅5258 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 313 mod 977

32: 52532=52516+16=52516⋅52516 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977

64: 52564=52532+32=52532⋅52532 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 224249 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 180 mod 431

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 75 mod 431

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 22 mod 431

16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 22⋅22=484 ≡ 53 mod 431

32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 223 mod 431

64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 164 mod 431

128: 224128=22464+64=22464⋅22464 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 174 mod 431

224249

= 224128+64+32+16+8+1

= 224128⋅22464⋅22432⋅22416⋅2248⋅2241

174 ⋅ 164 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
28536 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 90 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
20070 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 244 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
12932 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 2 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
44 ⋅ 224 mod 431
9856 mod 431 ≡ 374 mod 431

Es gilt also: 224249 ≡ 374 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.