Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 - 134) mod 7 ≡ (75 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70+5 = 7 ⋅ 10 +5.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

Somit gilt:

(75 - 134) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 89) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 89) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 572¹=572

2: 572²=572¹⁺¹=572¹⋅572¹ ≡ 572⋅572=327184 ≡ 352 mod 619

4: 572⁴=572²⁺²=572²⋅572² ≡ 352⋅352=123904 ≡ 104 mod 619

8: 572⁸=572⁴⁺⁴=572⁴⋅572⁴ ≡ 104⋅104=10816 ≡ 293 mod 619

16: 572¹⁶=572⁸⁺⁸=572⁸⋅572⁸ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 427 mod 619

32: 572³²=572¹⁶⁺¹⁶=572¹⁶⋅572¹⁶ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 343 mod 619

64: 572⁶⁴=572³²⁺³²=572³²⋅572³² ≡ 343⋅343=117649 ≡ 39 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

221²⁴⁶

= 221^{128+64+32+16+4+2}

= 221¹²⁸⋅221⁶⁴⋅221³²⋅221¹⁶⋅221⁴⋅221²

≡ 353 ⋅ 271 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
≡ 95663 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 306 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
≡ 28764 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 214 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
≡ 21186 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 59 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
≡ 33217 ⋅ 306 mod 571 ≡ 99 ⋅ 306 mod 571
≡ 30294 mod 571 ≡ 31 mod 571

Es gilt also: 221²⁴⁶ ≡ 31 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53