Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9003 - 1197) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9003 - 1197) mod 3 ≡ (9003 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.
9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003
= 9000
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
Somit gilt:
(9003 - 1197) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 36) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 36) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 36) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 79416 mod 953.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 794 -> x
2. mod(x²,953) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7941=794
2: 7942=7941+1=7941⋅7941 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 503 mod 953
4: 7944=7942+2=7942⋅7942 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 464 mod 953
8: 7948=7944+4=7944⋅7944 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 871 mod 953
16: 79416=7948+8=7948⋅7948 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 53 mod 953
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 350185 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 3501=350
2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 289 mod 367
4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 212 mod 367
8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 170 mod 367
16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 274 mod 367
32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 208 mod 367
64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 325 mod 367
128: 350128=35064+64=35064⋅35064 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 296 mod 367
350185
= 350128+32+16+8+1
= 350128⋅35032⋅35016⋅3508⋅3501
≡ 296 ⋅ 208 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 61568 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367 ≡ 279 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 76446 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367 ≡ 110 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 18700 ⋅ 350 mod 367 ≡ 350 ⋅ 350 mod 367
≡ 122500 mod 367 ≡ 289 mod 367
Es gilt also: 350185 ≡ 289 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
