Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 + 18001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 + 18001) mod 6 ≡ (300 mod 6 + 18001 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001
= 18000
Somit gilt:
(300 + 18001) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 28) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 28) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.
37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 28) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21764 mod 223.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 203 mod 223
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 177 mod 223
32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223
64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271116 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 187 mod 421
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 26 mod 421
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 26⋅26=676 ≡ 255 mod 421
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 191 mod 421
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 275 mod 421
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 266 mod 421
271116
= 27164+32+16+4
= 27164⋅27132⋅27116⋅2714
≡ 266 ⋅ 275 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421
≡ 73150 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421 ≡ 317 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421
≡ 60547 ⋅ 26 mod 421 ≡ 344 ⋅ 26 mod 421
≡ 8944 mod 421 ≡ 103 mod 421
Es gilt also: 271116 ≡ 103 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43
| =>79 | = 1⋅43 + 36 |
| =>43 | = 1⋅36 + 7 |
| =>36 | = 5⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 36-5⋅7 | |||
| 7= 43-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36) = -5⋅43 +6⋅ 36 (=1) |
| 36= 79-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43) = 6⋅79 -11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43
oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅79 = -11⋅43
-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43
-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1
(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1
68⋅43 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1
Somit 68⋅43 = 1 mod 79
68 ist also das Inverse von 43 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
