Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(285 + 135) mod 7 ≡ (285 mod 7 + 135 mod 7) mod 7.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135 = 140-5 = 7 ⋅ 20 -5 = 7 ⋅ 20 - 7 + 2.

Somit gilt:

(285 + 135) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 75) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 75) mod 11 ≡ (9 ⋅ 9) mod 11 ≡ 81 mod 11 ≡ 4 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 353¹=353

2: 353²=353¹⁺¹=353¹⋅353¹ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 50 mod 431

4: 353⁴=353²⁺²=353²⋅353² ≡ 50⋅50=2500 ≡ 345 mod 431

8: 353⁸=353⁴⁺⁴=353⁴⋅353⁴ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 69 mod 431

16: 353¹⁶=353⁸⁺⁸=353⁸⋅353⁸ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 20 mod 431

32: 353³²=353¹⁶⁺¹⁶=353¹⁶⋅353¹⁶ ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 431

64: 353⁶⁴=353³²⁺³²=353³²⋅353³² ≡ 400⋅400=160000 ≡ 99 mod 431

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

492²²⁰

= 492^{128+64+16+8+4}

= 492¹²⁸⋅492⁶⁴⋅492¹⁶⋅492⁸⋅492⁴

≡ 17 ⋅ 148 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 2516 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 480 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 58080 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 54 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
≡ 26892 ⋅ 45 mod 509 ≡ 424 ⋅ 45 mod 509
≡ 19080 mod 509 ≡ 247 mod 509

Es gilt also: 492²²⁰ ≡ 247 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38

=>83	= 2⋅38 + 7
=>38	= 5⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 83-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38) = -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38) = 11⋅83 -24⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -24⋅38

-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38

-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1

(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1

59⋅38 = 27⋅83 + 1

Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1

Somit 59⋅38 = 1 mod 83

59 ist also das Inverse von 38 mod 83