Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 397) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

Somit gilt:

(8000 - 397) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 23) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 23) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 144¹=144

2: 144²=144¹⁺¹=144¹⋅144¹ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 154 mod 251

4: 144⁴=144²⁺²=144²⋅144² ≡ 154⋅154=23716 ≡ 122 mod 251

8: 144⁸=144⁴⁺⁴=144⁴⋅144⁴ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 75 mod 251

16: 144¹⁶=144⁸⁺⁸=144⁸⋅144⁸ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 103 mod 251

32: 144³²=144¹⁶⁺¹⁶=144¹⁶⋅144¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 67 mod 251

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

401²⁰³

= 401^128+64+8+2+1

= 401¹²⁸⋅401⁶⁴⋅401⁸⋅401²⋅401¹

≡ 141 ⋅ 313 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 44133 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661 ≡ 507 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 311298 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661 ≡ 628 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 111784 ⋅ 401 mod 661 ≡ 75 ⋅ 401 mod 661
≡ 30075 mod 661 ≡ 330 mod 661

Es gilt also: 401²⁰³ ≡ 330 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79	= 1⋅60 + 19
=>60	= 3⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60) = -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79