Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2398 + 1800) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 + 1800) mod 6 ≡ (2398 mod 6 + 1800 mod 6) mod 6.

2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 6 ⋅ 400 -2 = 6 ⋅ 400 - 6 + 4.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(2398 + 1800) mod 6 ≡ (4 + 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 53) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 53) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 53 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

53 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 49 + 4 = 7 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 53) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51132 mod 631.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 511 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5111=511

2: 5112=5111+1=5111⋅5111 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 518 mod 631

4: 5114=5112+2=5112⋅5112 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 149 mod 631

8: 5118=5114+4=5114⋅5114 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 116 mod 631

16: 51116=5118+8=5118⋅5118 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 205 mod 631

32: 51132=51116+16=51116⋅51116 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 379 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 303121 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 22 mod 349

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 22⋅22=484 ≡ 135 mod 349

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 77 mod 349

16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 345 mod 349

32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 16 mod 349

64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 349

303121

= 30364+32+16+8+1

= 30364⋅30332⋅30316⋅3038⋅3031

256 ⋅ 16 ⋅ 345 ⋅ 77 ⋅ 303 mod 349
4096 ⋅ 345 ⋅ 77 ⋅ 303 mod 349 ≡ 257 ⋅ 345 ⋅ 77 ⋅ 303 mod 349
88665 ⋅ 77 ⋅ 303 mod 349 ≡ 19 ⋅ 77 ⋅ 303 mod 349
1463 ⋅ 303 mod 349 ≡ 67 ⋅ 303 mod 349
20301 mod 349 ≡ 59 mod 349

Es gilt also: 303121 ≡ 59 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31

=>83 = 2⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31)
= 3⋅83 -8⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -8⋅31

-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31

-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1

(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1

75⋅31 = 28⋅83 + 1

Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1

Somit 75⋅31 = 1 mod 83

75 ist also das Inverse von 31 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.