Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 - 93) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 - 93) mod 3 ≡ (3000 mod 3 - 93 mod 3) mod 3.
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93
= 90
Somit gilt:
(3000 - 93) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 57) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 57) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.
37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.
57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 57) mod 9 ≡ (1 ⋅ 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 158128 mod 293.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 158 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1581=158
2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 59 mod 293
4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293
8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293
16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293
32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293
64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 81 mod 293
128: 158128=15864+64=15864⋅15864 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 115 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 401103 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 487
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 487
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 487
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 278 mod 487
401103
= 40164+32+4+2+1
= 40164⋅40132⋅4014⋅4012⋅4011
≡ 278 ⋅ 256 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 71168 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487 ≡ 66 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 132 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 12012 ⋅ 401 mod 487 ≡ 324 ⋅ 401 mod 487
≡ 129924 mod 487 ≡ 382 mod 487
Es gilt also: 401103 ≡ 382 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47
| =>67 | = 1⋅47 + 20 |
| =>47 | = 2⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 47-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1) |
| 20= 67-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47
oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅67 = +10⋅47
Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1
Somit 10⋅47 = 1 mod 67
10 ist also das Inverse von 47 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
