Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (181 - 176) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 - 176) mod 6 ≡ (181 mod 6 - 176 mod 6) mod 6.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

Somit gilt:

(181 - 176) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 40) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 40) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.

93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 40) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50832 mod 659.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5081=508

2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 395 mod 659

4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 501 mod 659

8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 581 mod 659

16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 153 mod 659

32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 344 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 487168 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 4871=487

2: 4872=4871+1=4871⋅4871 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 132 mod 809

4: 4874=4872+2=4872⋅4872 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 435 mod 809

8: 4878=4874+4=4874⋅4874 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 728 mod 809

16: 48716=4878+8=4878⋅4878 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 89 mod 809

32: 48732=48716+16=48716⋅48716 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 640 mod 809

64: 48764=48732+32=48732⋅48732 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 246 mod 809

128: 487128=48764+64=48764⋅48764 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 650 mod 809

487168

= 487128+32+8

= 487128⋅48732⋅4878

650 ⋅ 640 ⋅ 728 mod 809
416000 ⋅ 728 mod 809 ≡ 174 ⋅ 728 mod 809
126672 mod 809 ≡ 468 mod 809

Es gilt also: 487168 ≡ 468 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53 = 1⋅50 + 3
=>50 = 16⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3)
= -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50)
= 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.