Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 - 38) mod 4 ≡ (7999 mod 4 - 38 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 40-2 = 4 ⋅ 10 -2 = 4 ⋅ 10 - 4 + 2.

Somit gilt:

(7999 - 38) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 38) mod 5 ≡ (70 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 38) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 534¹=534

2: 534²=534¹⁺¹=534¹⋅534¹ ≡ 534⋅534=285156 ≡ 641 mod 739

4: 534⁴=534²⁺²=534²⋅534² ≡ 641⋅641=410881 ≡ 736 mod 739

8: 534⁸=534⁴⁺⁴=534⁴⋅534⁴ ≡ 736⋅736=541696 ≡ 9 mod 739

16: 534¹⁶=534⁸⁺⁸=534⁸⋅534⁸ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 739

32: 534³²=534¹⁶⁺¹⁶=534¹⁶⋅534¹⁶ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 649 mod 739

64: 534⁶⁴=534³²⁺³²=534³²⋅534³² ≡ 649⋅649=421201 ≡ 710 mod 739

128: 534¹²⁸=534⁶⁴⁺⁶⁴=534⁶⁴⋅534⁶⁴ ≡ 710⋅710=504100 ≡ 102 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

131²³²

= 131^128+64+32+8

= 131¹²⁸⋅131⁶⁴⋅131³²⋅131⁸

≡ 173 ⋅ 141 ⋅ 289 ⋅ 143 mod 379
≡ 24393 ⋅ 289 ⋅ 143 mod 379 ≡ 137 ⋅ 289 ⋅ 143 mod 379
≡ 39593 ⋅ 143 mod 379 ≡ 177 ⋅ 143 mod 379
≡ 25311 mod 379 ≡ 297 mod 379

Es gilt also: 131²³² ≡ 297 mod 379

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53