Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 296) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 296) mod 6 ≡ (122 mod 6 - 296 mod 6) mod 6.
122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
296 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 296
= 300
Somit gilt:
(122 - 296) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 32) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 32) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.
95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.
32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 32) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47516 mod 641.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 634 mod 641
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 49 mod 641
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 478 mod 641
16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 288 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235229 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 272 mod 307
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 304 mod 307
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 9 mod 307
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 307
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 114 mod 307
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 102 mod 307
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 273 mod 307
235229
= 235128+64+32+4+1
= 235128⋅23564⋅23532⋅2354⋅2351
≡ 273 ⋅ 102 ⋅ 114 ⋅ 304 ⋅ 235 mod 307
≡ 27846 ⋅ 114 ⋅ 304 ⋅ 235 mod 307 ≡ 216 ⋅ 114 ⋅ 304 ⋅ 235 mod 307
≡ 24624 ⋅ 304 ⋅ 235 mod 307 ≡ 64 ⋅ 304 ⋅ 235 mod 307
≡ 19456 ⋅ 235 mod 307 ≡ 115 ⋅ 235 mod 307
≡ 27025 mod 307 ≡ 9 mod 307
Es gilt also: 235229 ≡ 9 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
