Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (104 - 1496) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(104 - 1496) mod 5 ≡ (104 mod 5 - 1496 mod 5) mod 5.

104 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 104 = 100+4 = 5 ⋅ 20 +4.

1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496 = 1400+96 = 5 ⋅ 280 +96.

Somit gilt:

(104 - 1496) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 22) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 22) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 22) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19416 mod 353.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 194 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1941=194

2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 218 mod 353

4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 222 mod 353

8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353

16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40481 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 4041=404

2: 4042=4041+1=4041⋅4041 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 67 mod 457

4: 4044=4042+2=4042⋅4042 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 376 mod 457

8: 4048=4044+4=4044⋅4044 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 163 mod 457

16: 40416=4048+8=4048⋅4048 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 63 mod 457

32: 40432=40416+16=40416⋅40416 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 313 mod 457

64: 40464=40432+32=40432⋅40432 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 171 mod 457

40481

= 40464+16+1

= 40464⋅40416⋅4041

171 ⋅ 63 ⋅ 404 mod 457
10773 ⋅ 404 mod 457 ≡ 262 ⋅ 404 mod 457
105848 mod 457 ≡ 281 mod 457

Es gilt also: 40481 ≡ 281 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.