Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (180 - 278) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(180 - 278) mod 9 ≡ (180 mod 9 - 278 mod 9) mod 9.
180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
278 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 270
Somit gilt:
(180 - 278) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 31) mod 7 ≡ (60 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 31) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39564 mod 727.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 447 mod 727
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 611 mod 727
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 370 mod 727
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 224 mod 727
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 13 mod 727
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 276100 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 295 mod 449
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
64: 27664=27632+32=27632⋅27632 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 324 mod 449
276100
= 27664+32+4
= 27664⋅27632⋅2764
≡ 324 ⋅ 431 ⋅ 368 mod 449
≡ 139644 ⋅ 368 mod 449 ≡ 5 ⋅ 368 mod 449
≡ 1840 mod 449 ≡ 44 mod 449
Es gilt also: 276100 ≡ 44 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
