Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (453 + 4508) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(453 + 4508) mod 9 ≡ (453 mod 9 + 4508 mod 9) mod 9.
453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453
= 450
4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508
= 4500
Somit gilt:
(453 + 4508) mod 9 ≡ (3 + 8) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 35) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 35) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53632 mod 659.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 536 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5361=536
2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 631 mod 659
4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 125 mod 659
8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 468 mod 659
16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 236 mod 659
32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 340 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21370 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 183 mod 443
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 264 mod 443
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 145 mod 443
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 204 mod 443
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 417 mod 443
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 233 mod 443
21370
= 21364+4+2
= 21364⋅2134⋅2132
≡ 233 ⋅ 264 ⋅ 183 mod 443
≡ 61512 ⋅ 183 mod 443 ≡ 378 ⋅ 183 mod 443
≡ 69174 mod 443 ≡ 66 mod 443
Es gilt also: 21370 ≡ 66 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
