Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25002 + 14995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25002 + 14995) mod 5 ≡ (25002 mod 5 + 14995 mod 5) mod 5.
25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002
= 25000
14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995
= 14000
Somit gilt:
(25002 + 14995) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 43) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 43) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 43) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31216 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 489 mod 587
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 212 mod 587
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 332 mod 587
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 455 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 226199 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 302 mod 479
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 194 mod 479
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 274 mod 479
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 352 mod 479
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 322 mod 479
64: 22664=22632+32=22632⋅22632 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 220 mod 479
128: 226128=22664+64=22664⋅22664 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 21 mod 479
226199
= 226128+64+4+2+1
= 226128⋅22664⋅2264⋅2262⋅2261
≡ 21 ⋅ 220 ⋅ 194 ⋅ 302 ⋅ 226 mod 479
≡ 4620 ⋅ 194 ⋅ 302 ⋅ 226 mod 479 ≡ 309 ⋅ 194 ⋅ 302 ⋅ 226 mod 479
≡ 59946 ⋅ 302 ⋅ 226 mod 479 ≡ 71 ⋅ 302 ⋅ 226 mod 479
≡ 21442 ⋅ 226 mod 479 ≡ 366 ⋅ 226 mod 479
≡ 82716 mod 479 ≡ 328 mod 479
Es gilt also: 226199 ≡ 328 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
