Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3498 + 2803) mod 7 ≡ (3498 mod 7 + 2803 mod 7) mod 7.

3498 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3498 = 3500-2 = 7 ⋅ 500 -2 = 7 ⋅ 500 - 7 + 5.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(3498 + 2803) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 80) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 80 mod 4) mod 4.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 80) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 609¹=609

2: 609²=609¹⁺¹=609¹⋅609¹ ≡ 609⋅609=370881 ≡ 484 mod 631

4: 609⁴=609²⁺²=609²⋅609² ≡ 484⋅484=234256 ≡ 155 mod 631

8: 609⁸=609⁴⁺⁴=609⁴⋅609⁴ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 47 mod 631

16: 609¹⁶=609⁸⁺⁸=609⁸⋅609⁸ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 316 mod 631

32: 609³²=609¹⁶⁺¹⁶=609¹⁶⋅609¹⁶ ≡ 316⋅316=99856 ≡ 158 mod 631

64: 609⁶⁴=609³²⁺³²=609³²⋅609³² ≡ 158⋅158=24964 ≡ 355 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

221²⁰⁹

= 221^128+64+16+1

= 221¹²⁸⋅221⁶⁴⋅221¹⁶⋅221¹

≡ 311 ⋅ 79 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593
≡ 24569 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593 ≡ 256 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593
≡ 108800 ⋅ 221 mod 593 ≡ 281 ⋅ 221 mod 593
≡ 62101 mod 593 ≡ 429 mod 593

Es gilt also: 221²⁰⁹ ≡ 429 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54

=>73	= 1⋅54 + 19
=>54	= 2⋅19 + 16
=>19	= 1⋅16 + 3
=>16	= 5⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16) = 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 54-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19) = -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1)
19= 73-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54) = 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54

oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅73 = +23⋅54

Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1

Somit 23⋅54 = 1 mod 73

23 ist also das Inverse von 54 mod 73