Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30006 + 24005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30006 + 24005) mod 6 ≡ (30006 mod 6 + 24005 mod 6) mod 6.
30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006
= 30000
24005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
Somit gilt:
(30006 + 24005) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 24) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 24) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74732 mod 929.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 747 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7471=747
2: 7472=7471+1=7471⋅7471 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 609 mod 929
4: 7474=7472+2=7472⋅7472 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 210 mod 929
8: 7478=7474+4=7474⋅7474 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 437 mod 929
16: 74716=7478+8=7478⋅7478 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929
32: 74732=74716+16=74716⋅74716 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 521 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 125109 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 23 mod 269
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 23⋅23=529 ≡ 260 mod 269
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 81 mod 269
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 105 mod 269
32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 265 mod 269
64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269
125109
= 12564+32+8+4+1
= 12564⋅12532⋅1258⋅1254⋅1251
≡ 16 ⋅ 265 ⋅ 81 ⋅ 260 ⋅ 125 mod 269
≡ 4240 ⋅ 81 ⋅ 260 ⋅ 125 mod 269 ≡ 205 ⋅ 81 ⋅ 260 ⋅ 125 mod 269
≡ 16605 ⋅ 260 ⋅ 125 mod 269 ≡ 196 ⋅ 260 ⋅ 125 mod 269
≡ 50960 ⋅ 125 mod 269 ≡ 119 ⋅ 125 mod 269
≡ 14875 mod 269 ≡ 80 mod 269
Es gilt also: 125109 ≡ 80 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
