Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (996 + 998) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(996 + 998) mod 5 ≡ (996 mod 5 + 998 mod 5) mod 5.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

Somit gilt:

(996 + 998) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 40) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 40) mod 7 ≡ (46 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 40) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27764 mod 653.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 277 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2771=277

2: 2772=2771+1=2771⋅2771 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 328 mod 653

4: 2774=2772+2=2772⋅2772 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 492 mod 653

8: 2778=2774+4=2774⋅2774 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 454 mod 653

16: 27716=2778+8=2778⋅2778 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 421 mod 653

32: 27732=27716+16=27716⋅27716 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 278 mod 653

64: 27764=27732+32=27732⋅27732 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 230 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78157 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

1: 781=78

2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 182 mod 227

4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 209 mod 227

8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 97 mod 227

16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 102 mod 227

32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 189 mod 227

64: 7864=7832+32=7832⋅7832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 82 mod 227

128: 78128=7864+64=7864⋅7864 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 141 mod 227

78157

= 78128+16+8+4+1

= 78128⋅7816⋅788⋅784⋅781

141 ⋅ 102 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
14382 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227 ≡ 81 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
7857 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227 ≡ 139 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
29051 ⋅ 78 mod 227 ≡ 222 ⋅ 78 mod 227
17316 mod 227 ≡ 64 mod 227

Es gilt also: 78157 ≡ 64 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59 = 2⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24)
= 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.