Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4507 + 3603) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4507 + 3603) mod 9 ≡ (4507 mod 9 + 3603 mod 9) mod 9.
4507 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4507
= 4500
3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603
= 3600
Somit gilt:
(4507 + 3603) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 33) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 33) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 33 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 33) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 227128 mod 349.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 226 mod 349
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 122 mod 349
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 226 mod 349
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 122 mod 349
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 226 mod 349
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 122 mod 349
128: 227128=22764+64=22764⋅22764 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 226 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25181 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 612 mod 701
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 210 mod 701
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 638 mod 701
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 464 mod 701
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 89 mod 701
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 210 mod 701
25181
= 25164+16+1
= 25164⋅25116⋅2511
≡ 210 ⋅ 464 ⋅ 251 mod 701
≡ 97440 ⋅ 251 mod 701 ≡ 1 ⋅ 251 mod 701
≡ 251 mod 701
Es gilt also: 25181 ≡ 251 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
