Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1806 + 241) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1806 + 241) mod 6 ≡ (1806 mod 6 + 241 mod 6) mod 6.
1806 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806
= 1800
241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
Somit gilt:
(1806 + 241) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 52) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 52) mod 11 ≡ (35 mod 11 ⋅ 52 mod 11) mod 11.
35 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 3 ⋅ 11 + 2 ist.
52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 52) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60316 mod 661.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 603 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6031=603
2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 59 mod 661
4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 176 mod 661
8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 570 mod 661
16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 349 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230133 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 406 mod 673
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 624 mod 673
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 382 mod 673
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 556 mod 673
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 229 mod 673
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 620 mod 673
128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 117 mod 673
230133
= 230128+4+1
= 230128⋅2304⋅2301
≡ 117 ⋅ 624 ⋅ 230 mod 673
≡ 73008 ⋅ 230 mod 673 ≡ 324 ⋅ 230 mod 673
≡ 74520 mod 673 ≡ 490 mod 673
Es gilt also: 230133 ≡ 490 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
