Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (400 - 15994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(400 - 15994) mod 8 ≡ (400 mod 8 - 15994 mod 8) mod 8.
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994
= 15000
Somit gilt:
(400 - 15994) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 33) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 33) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 33) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4418 mod 701.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 304 mod 701
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 585 mod 701
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 137 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 356222 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:
222 = 128+64+16+8+4+2
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 300 mod 433
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 369 mod 433
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 199 mod 433
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 198 mod 433
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 234 mod 433
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433
128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 234 mod 433
356222
= 356128+64+16+8+4+2
= 356128⋅35664⋅35616⋅3568⋅3564⋅3562
≡ 234 ⋅ 198 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 46332 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433 ≡ 1 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 39402 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433 ≡ 432 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 159408 ⋅ 300 mod 433 ≡ 64 ⋅ 300 mod 433
≡ 19200 mod 433 ≡ 148 mod 433
Es gilt also: 356222 ≡ 148 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
