Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25004 + 10001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25004 + 10001) mod 5 ≡ (25004 mod 5 + 10001 mod 5) mod 5.
25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004
= 25000
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
Somit gilt:
(25004 + 10001) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 53) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 53) mod 5 ≡ (67 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 53) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 93932 mod 941.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 939 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9391=939
2: 9392=9391+1=9391⋅9391 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 4 mod 941
4: 9394=9392+2=9392⋅9392 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 941
8: 9398=9394+4=9394⋅9394 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 941
16: 93916=9398+8=9398⋅9398 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 607 mod 941
32: 93932=93916+16=93916⋅93916 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 518 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 513238 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 5131=513
2: 5132=5131+1=5131⋅5131 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 208 mod 599
4: 5134=5132+2=5132⋅5132 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 136 mod 599
8: 5138=5134+4=5134⋅5134 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 526 mod 599
16: 51316=5138+8=5138⋅5138 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 537 mod 599
32: 51332=51316+16=51316⋅51316 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 250 mod 599
64: 51364=51332+32=51332⋅51332 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 204 mod 599
128: 513128=51364+64=51364⋅51364 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 285 mod 599
513238
= 513128+64+32+8+4+2
= 513128⋅51364⋅51332⋅5138⋅5134⋅5132
≡ 285 ⋅ 204 ⋅ 250 ⋅ 526 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599
≡ 58140 ⋅ 250 ⋅ 526 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599 ≡ 37 ⋅ 250 ⋅ 526 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599
≡ 9250 ⋅ 526 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599 ≡ 265 ⋅ 526 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599
≡ 139390 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599 ≡ 422 ⋅ 136 ⋅ 208 mod 599
≡ 57392 ⋅ 208 mod 599 ≡ 487 ⋅ 208 mod 599
≡ 101296 mod 599 ≡ 65 mod 599
Es gilt also: 513238 ≡ 65 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42
| =>101 | = 2⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -12⋅42
-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42
-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1
(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1
89⋅42 = 37⋅101 + 1
Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1
Somit 89⋅42 = 1 mod 101
89 ist also das Inverse von 42 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
