Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2402 - 124) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2402 - 124) mod 6 ≡ (2402 mod 6 - 124 mod 6) mod 6.
2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
124 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124
= 120
Somit gilt:
(2402 - 124) mod 6 ≡ (2 - 4) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 21) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 21) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22164 mod 233.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2211=221
2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 144 mod 233
4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 232 mod 233
8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 1 mod 233
16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 270103 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 157 mod 389
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 206 mod 389
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 35 mod 389
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389
270103
= 27064+32+4+2+1
= 27064⋅27032⋅2704⋅2702⋅2701
≡ 58 ⋅ 35 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 270 mod 389
≡ 2030 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 270 mod 389 ≡ 85 ⋅ 142 ⋅ 157 ⋅ 270 mod 389
≡ 12070 ⋅ 157 ⋅ 270 mod 389 ≡ 11 ⋅ 157 ⋅ 270 mod 389
≡ 1727 ⋅ 270 mod 389 ≡ 171 ⋅ 270 mod 389
≡ 46170 mod 389 ≡ 268 mod 389
Es gilt also: 270103 ≡ 268 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
