Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2000 - 16000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2000 - 16000) mod 4 ≡ (2000 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(2000 - 16000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 54) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 54) mod 8 ≡ (50 mod 8 ⋅ 54 mod 8) mod 8.
50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 54) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 455128 mod 709.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 455 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4551=455
2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 706 mod 709
4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 9 mod 709
8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 709
16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709
32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709
64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709
128: 455128=45564+64=45564⋅45564 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 568 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 91682 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 9161=916
2: 9162=9161+1=9161⋅9161 ≡ 916⋅916=839056 ≡ 14 mod 947
4: 9164=9162+2=9162⋅9162 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 947
8: 9168=9164+4=9164⋅9164 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 536 mod 947
16: 91616=9168+8=9168⋅9168 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 355 mod 947
32: 91632=91616+16=91616⋅91616 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 74 mod 947
64: 91664=91632+32=91632⋅91632 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 741 mod 947
91682
= 91664+16+2
= 91664⋅91616⋅9162
≡ 741 ⋅ 355 ⋅ 14 mod 947
≡ 263055 ⋅ 14 mod 947 ≡ 736 ⋅ 14 mod 947
≡ 10304 mod 947 ≡ 834 mod 947
Es gilt also: 91682 ≡ 834 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43
| =>73 | = 1⋅43 + 30 |
| =>43 | = 1⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 43-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1) |
| 30= 73-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43
oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅73 = +17⋅43
Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1
Somit 17⋅43 = 1 mod 73
17 ist also das Inverse von 43 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
