Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 + 505) mod 5 ≡ (19997 mod 5 + 505 mod 5) mod 5.

19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 5 ⋅ 3800 +997.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(19997 + 505) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 59) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 59) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 662¹=662

2: 662²=662¹⁺¹=662¹⋅662¹ ≡ 662⋅662=438244 ≡ 669 mod 761

4: 662⁴=662²⁺²=662²⋅662² ≡ 669⋅669=447561 ≡ 93 mod 761

8: 662⁸=662⁴⁺⁴=662⁴⋅662⁴ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 278 mod 761

16: 662¹⁶=662⁸⁺⁸=662⁸⋅662⁸ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761

32: 662³²=662¹⁶⁺¹⁶=662¹⁶⋅662¹⁶ ≡ 423⋅423=178929 ≡ 94 mod 761

64: 662⁶⁴=662³²⁺³²=662³²⋅662³² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 465 mod 761

128: 662¹²⁸=662⁶⁴⁺⁶⁴=662⁶⁴⋅662⁶⁴ ≡ 465⋅465=216225 ≡ 101 mod 761

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

214¹⁰⁸

= 214^64+32+8+4

= 214⁶⁴⋅214³²⋅214⁸⋅214⁴

≡ 109 ⋅ 243 ⋅ 237 ⋅ 229 mod 421
≡ 26487 ⋅ 237 ⋅ 229 mod 421 ≡ 385 ⋅ 237 ⋅ 229 mod 421
≡ 91245 ⋅ 229 mod 421 ≡ 309 ⋅ 229 mod 421
≡ 70761 mod 421 ≡ 33 mod 421

Es gilt also: 214¹⁰⁸ ≡ 33 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43

=>97	= 2⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 97-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43

oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅97 = -9⋅43

-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43

-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1

(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1

88⋅43 = 39⋅97 + 1

Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1

Somit 88⋅43 = 1 mod 97

88 ist also das Inverse von 43 mod 97