Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (601 + 125) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(601 + 125) mod 6 ≡ (601 mod 6 + 125 mod 6) mod 6.
601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
125 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 125
= 120
Somit gilt:
(601 + 125) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 30) mod 4 ≡ (89 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 30) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33016 mod 409.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 106 mod 409
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 193 mod 409
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 30 mod 409
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 30⋅30=900 ≡ 82 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 676174 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 6761=676
2: 6762=6761+1=6761⋅6761 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 618 mod 881
4: 6764=6762+2=6762⋅6762 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 451 mod 881
8: 6768=6764+4=6764⋅6764 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 771 mod 881
16: 67616=6768+8=6768⋅6768 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 647 mod 881
32: 67632=67616+16=67616⋅67616 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 134 mod 881
64: 67664=67632+32=67632⋅67632 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 336 mod 881
128: 676128=67664+64=67664⋅67664 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 128 mod 881
676174
= 676128+32+8+4+2
= 676128⋅67632⋅6768⋅6764⋅6762
≡ 128 ⋅ 134 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 mod 881
≡ 17152 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 mod 881 ≡ 413 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 mod 881
≡ 318423 ⋅ 451 ⋅ 618 mod 881 ≡ 382 ⋅ 451 ⋅ 618 mod 881
≡ 172282 ⋅ 618 mod 881 ≡ 487 ⋅ 618 mod 881
≡ 300966 mod 881 ≡ 545 mod 881
Es gilt also: 676174 ≡ 545 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
