Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2802 + 136) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2802 + 136) mod 7 ≡ (2802 mod 7 + 136 mod 7) mod 7.
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136
= 140
Somit gilt:
(2802 + 136) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 55) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 55) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 55) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 401.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 29 mod 401
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 29⋅29=841 ≡ 39 mod 401
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 500134 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 5001=500
2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 9 mod 503
4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 503
8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 22 mod 503
16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 503
32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 361 mod 503
64: 50064=50032+32=50032⋅50032 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 44 mod 503
128: 500128=50064+64=50064⋅50064 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 427 mod 503
500134
= 500128+4+2
= 500128⋅5004⋅5002
≡ 427 ⋅ 81 ⋅ 9 mod 503
≡ 34587 ⋅ 9 mod 503 ≡ 383 ⋅ 9 mod 503
≡ 3447 mod 503 ≡ 429 mod 503
Es gilt also: 500134 ≡ 429 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
