Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 - 16000) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(43 - 16000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 65) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 65) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 262¹=262

2: 262²=262¹⁺¹=262¹⋅262¹ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 364 mod 569

4: 262⁴=262²⁺²=262²⋅262² ≡ 364⋅364=132496 ≡ 488 mod 569

8: 262⁸=262⁴⁺⁴=262⁴⋅262⁴ ≡ 488⋅488=238144 ≡ 302 mod 569

16: 262¹⁶=262⁸⁺⁸=262⁸⋅262⁸ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569

32: 262³²=262¹⁶⁺¹⁶=262¹⁶⋅262¹⁶ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 153 mod 569

64: 262⁶⁴=262³²⁺³²=262³²⋅262³² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 80 mod 569

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

474²²⁶

= 474^128+64+32+2

= 474¹²⁸⋅474⁶⁴⋅474³²⋅474²

≡ 421 ⋅ 389 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503
≡ 163769 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503 ≡ 294 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503
≡ 14406 ⋅ 338 mod 503 ≡ 322 ⋅ 338 mod 503
≡ 108836 mod 503 ≡ 188 mod 503

Es gilt also: 474²²⁶ ≡ 188 mod 503

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45

=>59	= 1⋅45 + 14
=>45	= 3⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 45-3⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14) = 5⋅45 -16⋅ 14 (=1)
14= 59-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45) = 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45) = -16⋅59 +21⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +21⋅45

Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1

Somit 21⋅45 = 1 mod 59

21 ist also das Inverse von 45 mod 59