Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (318 + 78) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(318 + 78) mod 8 ≡ (318 mod 8 + 78 mod 8) mod 8.

318 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 318 = 320-2 = 8 ⋅ 40 -2 = 8 ⋅ 40 - 8 + 6.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 8 ⋅ 10 -2 = 8 ⋅ 10 - 8 + 6.

Somit gilt:

(318 + 78) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 58) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 58) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 58) mod 11 ≡ (6 ⋅ 3) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 521.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 408 mod 521

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 265 mod 521

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 411 mod 521

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 117 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 298136 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:

136 = 128+8

1: 2981=298

2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 478 mod 701

4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701

8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 362 mod 701

16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 658 mod 701

32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 447 mod 701

64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 24 mod 701

128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 701

298136

= 298128+8

= 298128⋅2988

576 ⋅ 362 mod 701
208512 mod 701 ≡ 315 mod 701

Es gilt also: 298136 ≡ 315 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59 = 2⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27)
= 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.