Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3207 - 321) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 - 321) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 321 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

321 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 321 = 320+1 = 8 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(3207 - 321) mod 8 ≡ (7 - 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 60) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 60) mod 4 ≡ (100 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 60) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 469128 mod 821.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 754 mod 821

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 384 mod 821

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 497 mod 821

16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 709 mod 821

32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 229 mod 821

64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 718 mod 821

128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 757 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61562 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 6151=615

2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 472 mod 751

4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 488 mod 751

8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 77 mod 751

16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 672 mod 751

32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 233 mod 751

61562

= 61532+16+8+4+2

= 61532⋅61516⋅6158⋅6154⋅6152

233 ⋅ 672 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
156576 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751 ≡ 368 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
28336 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751 ≡ 549 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
267912 ⋅ 472 mod 751 ≡ 556 ⋅ 472 mod 751
262432 mod 751 ≡ 333 mod 751

Es gilt also: 61562 ≡ 333 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.