Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(325 + 24007) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 24007 mod 8) mod 8.

325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325 = 320+5 = 8 ⋅ 40 +5.

24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007 = 24000+7 = 8 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(325 + 24007) mod 8 ≡ (5 + 7) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 89) mod 7 ≡ (57 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 89) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 132¹=132

2: 132²=132¹⁺¹=132¹⋅132¹ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 303 mod 439

4: 132⁴=132²⁺²=132²⋅132² ≡ 303⋅303=91809 ≡ 58 mod 439

8: 132⁸=132⁴⁺⁴=132⁴⋅132⁴ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 291 mod 439

16: 132¹⁶=132⁸⁺⁸=132⁸⋅132⁸ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 393 mod 439

32: 132³²=132¹⁶⁺¹⁶=132¹⁶⋅132¹⁶ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 360 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

495¹²⁶

= 495^{64+32+16+8+4+2}

= 495⁶⁴⋅495³²⋅495¹⁶⋅495⁸⋅495⁴⋅495²

≡ 169 ⋅ 13 ⋅ 190 ⋅ 425 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523
≡ 2197 ⋅ 190 ⋅ 425 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523 ≡ 105 ⋅ 190 ⋅ 425 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523
≡ 19950 ⋅ 425 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523 ≡ 76 ⋅ 425 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523
≡ 32300 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523 ≡ 397 ⋅ 131 ⋅ 261 mod 523
≡ 52007 ⋅ 261 mod 523 ≡ 230 ⋅ 261 mod 523
≡ 60030 mod 523 ≡ 408 mod 523

Es gilt also: 495¹²⁶ ≡ 408 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79