Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2403 - 244) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2403 - 244) mod 8 ≡ (2403 mod 8 - 244 mod 8) mod 8.
2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
Somit gilt:
(2403 - 244) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 64) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 64) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.
85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 64) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59064 mod 683.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 453 mod 683
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 309 mod 683
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 544 mod 683
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 197 mod 683
32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 561 mod 683
64: 59064=59032+32=59032⋅59032 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 541 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24167 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 561 mod 719
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 518 mod 719
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 137 mod 719
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 75 mod 719
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 592 mod 719
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 311 mod 719
24167
= 24164+2+1
= 24164⋅2412⋅2411
≡ 311 ⋅ 561 ⋅ 241 mod 719
≡ 174471 ⋅ 241 mod 719 ≡ 473 ⋅ 241 mod 719
≡ 113993 mod 719 ≡ 391 mod 719
Es gilt also: 24167 ≡ 391 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
