Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39998 + 2408) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39998 + 2408) mod 8 ≡ (39998 mod 8 + 2408 mod 8) mod 8.
39998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39998
= 39000
2408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2408
= 2400
Somit gilt:
(39998 + 2408) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 23) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 23) mod 11 ≡ (99 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 23) mod 11 ≡ (0 ⋅ 1) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4918 mod 541.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 491 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 336 mod 541
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 368 mod 541
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 174 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24762 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 299 mod 467
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 204 mod 467
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 53 mod 467
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 7 mod 467
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 467
24762
= 24732+16+8+4+2
= 24732⋅24716⋅2478⋅2474⋅2472
≡ 49 ⋅ 7 ⋅ 53 ⋅ 204 ⋅ 299 mod 467
≡ 343 ⋅ 53 ⋅ 204 ⋅ 299 mod 467
≡ 18179 ⋅ 204 ⋅ 299 mod 467 ≡ 433 ⋅ 204 ⋅ 299 mod 467
≡ 88332 ⋅ 299 mod 467 ≡ 69 ⋅ 299 mod 467
≡ 20631 mod 467 ≡ 83 mod 467
Es gilt also: 24762 ≡ 83 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31
| =>83 | = 2⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31) = 3⋅83 -8⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -8⋅31
-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31
-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1
(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1
75⋅31 = 28⋅83 + 1
Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1
Somit 75⋅31 = 1 mod 83
75 ist also das Inverse von 31 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
