Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 - 1204) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 - 1204) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
Somit gilt:
(120 - 1204) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 38) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 38) mod 9 ≡ (33 mod 9 ⋅ 38 mod 9) mod 9.
33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 38) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12132 mod 241.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 121 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1211=121
2: 1212=1211+1=1211⋅1211 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 181 mod 241
4: 1214=1212+2=1212⋅1212 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 226 mod 241
8: 1218=1214+4=1214⋅1214 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241
16: 12116=1218+8=1218⋅1218 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
32: 12132=12116+16=12116⋅12116 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299158 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 286 mod 457
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 450 mod 457
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 79 mod 457
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 300 mod 457
299158
= 299128+16+8+4+2
= 299128⋅29916⋅2998⋅2994⋅2992
≡ 300 ⋅ 116 ⋅ 49 ⋅ 450 ⋅ 286 mod 457
≡ 34800 ⋅ 49 ⋅ 450 ⋅ 286 mod 457 ≡ 68 ⋅ 49 ⋅ 450 ⋅ 286 mod 457
≡ 3332 ⋅ 450 ⋅ 286 mod 457 ≡ 133 ⋅ 450 ⋅ 286 mod 457
≡ 59850 ⋅ 286 mod 457 ≡ 440 ⋅ 286 mod 457
≡ 125840 mod 457 ≡ 165 mod 457
Es gilt also: 299158 ≡ 165 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
