Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23996 - 17995) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23996 - 17995) mod 6 ≡ (23996 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.

23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 24000-4 = 6 ⋅ 4000 -4 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 2.

17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995 = 18000-5 = 6 ⋅ 3000 -5 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 1.

Somit gilt:

(23996 - 17995) mod 6 ≡ (2 - 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 81) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 81) mod 10 ≡ (97 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 81) mod 10 ≡ (7 ⋅ 1) mod 10 ≡ 7 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34664 mod 929.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3461=346

2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 804 mod 929

4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 761 mod 929

8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 354 mod 929

16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 830 mod 929

32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 511 mod 929

64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 72 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 654109 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:

109 = 64+32+8+4+1

1: 6541=654

2: 6542=6541+1=6541⋅6541 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 361 mod 673

4: 6544=6542+2=6542⋅6542 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 432 mod 673

8: 6548=6544+4=6544⋅6544 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 203 mod 673

16: 65416=6548+8=6548⋅6548 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 156 mod 673

32: 65432=65416+16=65416⋅65416 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 108 mod 673

64: 65464=65432+32=65432⋅65432 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

654109

= 65464+32+8+4+1

= 65464⋅65432⋅6548⋅6544⋅6541

223 ⋅ 108 ⋅ 203 ⋅ 432 ⋅ 654 mod 673
24084 ⋅ 203 ⋅ 432 ⋅ 654 mod 673 ≡ 529 ⋅ 203 ⋅ 432 ⋅ 654 mod 673
107387 ⋅ 432 ⋅ 654 mod 673 ≡ 380 ⋅ 432 ⋅ 654 mod 673
164160 ⋅ 654 mod 673 ≡ 621 ⋅ 654 mod 673
406134 mod 673 ≡ 315 mod 673

Es gilt also: 654109 ≡ 315 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101 = 2⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42)
= 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.