Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (360 - 9002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(360 - 9002) mod 9 ≡ (360 mod 9 - 9002 mod 9) mod 9.
360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360
= 360
9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
Somit gilt:
(360 - 9002) mod 9 ≡ (0 - 2) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 99) mod 5 ≡ (39 mod 5 ⋅ 99 mod 5) mod 5.
39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 99) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 220128 mod 617.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 274 mod 617
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 419 mod 617
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 333 mod 617
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 242 mod 617
64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617
128: 220128=22064+64=22064⋅22064 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 133 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 105145 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 1051=105
2: 1052=1051+1=1051⋅1051 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 31 mod 239
4: 1054=1052+2=1052⋅1052 ≡ 31⋅31=961 ≡ 5 mod 239
8: 1058=1054+4=1054⋅1054 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 239
16: 10516=1058+8=1058⋅1058 ≡ 25⋅25=625 ≡ 147 mod 239
32: 10532=10516+16=10516⋅10516 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 99 mod 239
64: 10564=10532+32=10532⋅10532 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 2 mod 239
128: 105128=10564+64=10564⋅10564 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 239
105145
= 105128+16+1
= 105128⋅10516⋅1051
≡ 4 ⋅ 147 ⋅ 105 mod 239
≡ 588 ⋅ 105 mod 239 ≡ 110 ⋅ 105 mod 239
≡ 11550 mod 239 ≡ 78 mod 239
Es gilt also: 105145 ≡ 78 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
