Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 + 203) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 + 203) mod 5 ≡ (2002 mod 5 + 203 mod 5) mod 5.
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
Somit gilt:
(2002 + 203) mod 5 ≡ (2 + 3) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 27) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 27) mod 5 ≡ (52 mod 5 ⋅ 27 mod 5) mod 5.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 27) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 188128 mod 383.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 108 mod 383
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 174 mod 383
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 19 mod 383
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 383
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 101 mod 383
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 243 mod 383
128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 67 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 136170 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 91 mod 277
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 10 mod 277
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 277
64: 13664=13632+32=13632⋅13632 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 28 mod 277
128: 136128=13664+64=13664⋅13664 ≡ 28⋅28=784 ≡ 230 mod 277
136170
= 136128+32+8+2
= 136128⋅13632⋅1368⋅1362
≡ 230 ⋅ 100 ⋅ 248 ⋅ 214 mod 277
≡ 23000 ⋅ 248 ⋅ 214 mod 277 ≡ 9 ⋅ 248 ⋅ 214 mod 277
≡ 2232 ⋅ 214 mod 277 ≡ 16 ⋅ 214 mod 277
≡ 3424 mod 277 ≡ 100 mod 277
Es gilt also: 136170 ≡ 100 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
