Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15003 - 122) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 - 122) mod 3 ≡ (15003 mod 3 - 122 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(15003 - 122) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 25) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 25) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.

93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 25) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 365128 mod 541.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 365 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3651=365

2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 139 mod 541

4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 386 mod 541

8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 221 mod 541

16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 151 mod 541

32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 79 mod 541

64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 290 mod 541

128: 365128=36564+64=36564⋅36564 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 245 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 295111 mod 317.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 167 mod 317

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 310 mod 317

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 49 mod 317

16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 182 mod 317

32: 29532=29516+16=29516⋅29516 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 156 mod 317

64: 29564=29532+32=29532⋅29532 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 244 mod 317

295111

= 29564+32+8+4+2+1

= 29564⋅29532⋅2958⋅2954⋅2952⋅2951

244 ⋅ 156 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
38064 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 24 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
1176 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 225 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
69750 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 10 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
1670 ⋅ 295 mod 317 ≡ 85 ⋅ 295 mod 317
25075 mod 317 ≡ 32 mod 317

Es gilt also: 295111 ≡ 32 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59 = 1⋅31 + 28
=>31 = 1⋅28 + 3
=>28 = 9⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28)
= -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31)
= 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.