Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1997 - 8000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 - 8000) mod 4 ≡ (1997 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(1997 - 8000) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 34) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 34) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 34 mod 10) mod 10.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 34) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 243128 mod 751.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2431=243

2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 471 mod 751

4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 296 mod 751

8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 500 mod 751

16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 668 mod 751

32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 130 mod 751

64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 378 mod 751

128: 243128=24364+64=24364⋅24364 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 194 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8979 mod 281.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 891=89

2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 53 mod 281

4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 280 mod 281

8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 1 mod 281

16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281

32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281

64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 281

8979

= 8964+8+4+2+1

= 8964⋅898⋅894⋅892⋅891

1 ⋅ 1 ⋅ 280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
1 ⋅ 280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
280 ⋅ 53 ⋅ 89 mod 281
14840 ⋅ 89 mod 281 ≡ 228 ⋅ 89 mod 281
20292 mod 281 ≡ 60 mod 281

Es gilt also: 8979 ≡ 60 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.