Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12006 - 1803) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12006 - 1803) mod 6 ≡ (12006 mod 6 - 1803 mod 6) mod 6.
12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006
= 12000
1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
Somit gilt:
(12006 - 1803) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 84) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 84) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 84) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41516 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 415 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 16 mod 419
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 419
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 172 mod 419
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 254 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 204212 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2041=204
2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251
4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251
8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251
16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251
32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251
64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251
128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251
204212
= 204128+64+16+4
= 204128⋅20464⋅20416⋅2044
≡ 91 ⋅ 51 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251
≡ 4641 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251 ≡ 123 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251
≡ 25953 ⋅ 241 mod 251 ≡ 100 ⋅ 241 mod 251
≡ 24100 mod 251 ≡ 4 mod 251
Es gilt also: 204212 ≡ 4 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
