Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1395 - 7003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1395 - 7003) mod 7 ≡ (1395 mod 7 - 7003 mod 7) mod 7.
1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395
= 1400
7003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7003
= 7000
Somit gilt:
(1395 - 7003) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 24) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 24) mod 6 ≡ (40 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.
40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 24) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38364 mod 997.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 383 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3831=383
2: 3832=3831+1=3831⋅3831 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 130 mod 997
4: 3834=3832+2=3832⋅3832 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 948 mod 997
8: 3838=3834+4=3834⋅3834 ≡ 948⋅948=898704 ≡ 407 mod 997
16: 38316=3838+8=3838⋅3838 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 147 mod 997
32: 38332=38316+16=38316⋅38316 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 672 mod 997
64: 38364=38332+32=38332⋅38332 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 940 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 313134 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:
134 = 128+4+2
1: 3131=313
2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 147 mod 829
4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 55 mod 829
8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 538 mod 829
16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 123 mod 829
32: 31332=31316+16=31316⋅31316 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 207 mod 829
64: 31364=31332+32=31332⋅31332 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 570 mod 829
128: 313128=31364+64=31364⋅31364 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 761 mod 829
313134
= 313128+4+2
= 313128⋅3134⋅3132
≡ 761 ⋅ 55 ⋅ 147 mod 829
≡ 41855 ⋅ 147 mod 829 ≡ 405 ⋅ 147 mod 829
≡ 59535 mod 829 ≡ 676 mod 829
Es gilt also: 313134 ≡ 676 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
