Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10002 - 1499) mod 5 ≡ (10002 mod 5 - 1499 mod 5) mod 5.

10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002 = 10000+2 = 5 ⋅ 2000 +2.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

Somit gilt:

(10002 - 1499) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 47) mod 6 ≡ (41 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 47) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 361¹=361

2: 361²=361¹⁺¹=361¹⋅361¹ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397

4: 361⁴=361²⁺²=361²⋅361² ≡ 105⋅105=11025 ≡ 306 mod 397

8: 361⁸=361⁴⁺⁴=361⁴⋅361⁴ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 341 mod 397

16: 361¹⁶=361⁸⁺⁸=361⁸⋅361⁸ ≡ 341⋅341=116281 ≡ 357 mod 397

32: 361³²=361¹⁶⁺¹⁶=361¹⁶⋅361¹⁶ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 12 mod 397

64: 361⁶⁴=361³²⁺³²=361³²⋅361³² ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 397

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

327¹⁶³

= 327^128+32+2+1

= 327¹²⁸⋅327³²⋅327²⋅327¹

≡ 262 ⋅ 94 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389
≡ 24628 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389 ≡ 121 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389
≡ 41503 ⋅ 327 mod 389 ≡ 269 ⋅ 327 mod 389
≡ 87963 mod 389 ≡ 49 mod 389

Es gilt also: 327¹⁶³ ≡ 49 mod 389

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83