Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 + 2997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 + 2997) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 2997 mod 3) mod 3.
12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
Somit gilt:
(12003 + 2997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 100) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 100) mod 5 ≡ (38 mod 5 ⋅ 100 mod 5) mod 5.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 100) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62432 mod 883.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 624 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 856 mod 883
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 729 mod 883
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 758 mod 883
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 614 mod 883
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 838 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 123145 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 1231=123
2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 51 mod 359
4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 88 mod 359
8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 205 mod 359
16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 22 mod 359
32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 22⋅22=484 ≡ 125 mod 359
64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 188 mod 359
128: 123128=12364+64=12364⋅12364 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 162 mod 359
123145
= 123128+16+1
= 123128⋅12316⋅1231
≡ 162 ⋅ 22 ⋅ 123 mod 359
≡ 3564 ⋅ 123 mod 359 ≡ 333 ⋅ 123 mod 359
≡ 40959 mod 359 ≡ 33 mod 359
Es gilt also: 123145 ≡ 33 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45
| =>79 | = 1⋅45 + 34 |
| =>45 | = 1⋅34 + 11 |
| =>34 | = 3⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-3⋅11 | |||
| 11= 45-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1) |
| 34= 79-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -7⋅45
-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45
-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1
(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1
72⋅45 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1
Somit 72⋅45 = 1 mod 79
72 ist also das Inverse von 45 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
