Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 - 35992) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 - 35992) mod 9 ≡ (90 mod 9 - 35992 mod 9) mod 9.

90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 9 ⋅ 10 +0.

35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992 = 36000-8 = 9 ⋅ 4000 -8 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(90 - 35992) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 40) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 40) mod 9 ≡ (38 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.

38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 40) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2818 mod 881.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2811=281

2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 552 mod 881

4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 759 mod 881

8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 788 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 348243 mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 3481=348

2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373

4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 94 mod 373

8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 257 mod 373

16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 28 mod 373

32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 28⋅28=784 ≡ 38 mod 373

64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 325 mod 373

128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 66 mod 373

348243

= 348128+64+32+16+2+1

= 348128⋅34864⋅34832⋅34816⋅3482⋅3481

66 ⋅ 325 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
21450 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 189 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
7182 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 95 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
2660 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 49 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
12348 ⋅ 348 mod 373 ≡ 39 ⋅ 348 mod 373
13572 mod 373 ≡ 144 mod 373

Es gilt also: 348243 ≡ 144 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59 = 1⋅46 + 13
=>46 = 3⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13)
= 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46)
= -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.