Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (800 - 123) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 123) mod 4 ≡ (800 mod 4 - 123 mod 4) mod 4.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(800 - 123) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 89) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 89) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 89) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10616 mod 307.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1061=106

2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 184 mod 307

4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 86 mod 307

8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 28 mod 307

16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 28⋅28=784 ≡ 170 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 623244 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 6231=623

2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 478 mod 691

4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 454 mod 691

8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 198 mod 691

16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 508 mod 691

32: 62332=62316+16=62316⋅62316 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 321 mod 691

64: 62364=62332+32=62332⋅62332 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 82 mod 691

128: 623128=62364+64=62364⋅62364 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 505 mod 691

623244

= 623128+64+32+16+4

= 623128⋅62364⋅62332⋅62316⋅6234

505 ⋅ 82 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
41410 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691 ≡ 641 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
205761 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691 ≡ 534 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
271272 ⋅ 454 mod 691 ≡ 400 ⋅ 454 mod 691
181600 mod 691 ≡ 558 mod 691

Es gilt also: 623244 ≡ 558 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101 = 2⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42)
= 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.