Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2403 - 244) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2403 - 244) mod 8 ≡ (2403 mod 8 - 244 mod 8) mod 8.

2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 8 ⋅ 300 +3.

244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244 = 240+4 = 8 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(2403 - 244) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 64) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 64) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 64) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59064 mod 683.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5901=590

2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 453 mod 683

4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 309 mod 683

8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 544 mod 683

16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 197 mod 683

32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 561 mod 683

64: 59064=59032+32=59032⋅59032 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 541 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24167 mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 561 mod 719

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 518 mod 719

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 137 mod 719

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 75 mod 719

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 592 mod 719

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 311 mod 719

24167

= 24164+2+1

= 24164⋅2412⋅2411

311 ⋅ 561 ⋅ 241 mod 719
174471 ⋅ 241 mod 719 ≡ 473 ⋅ 241 mod 719
113993 mod 719 ≡ 391 mod 719

Es gilt also: 24167 ≡ 391 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.