Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8999 + 27006) mod 9 ≡ (8999 mod 9 + 27006 mod 9) mod 9.

8999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 9 ⋅ 1000 -1 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 8.

27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006 = 27000+6 = 9 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(8999 + 27006) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 81) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 81 mod 7) mod 7.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 81) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 361¹=361

2: 361²=361¹⁺¹=361¹⋅361¹ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 374 mod 653

4: 361⁴=361²⁺²=361²⋅361² ≡ 374⋅374=139876 ≡ 134 mod 653

8: 361⁸=361⁴⁺⁴=361⁴⋅361⁴ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 325 mod 653

16: 361¹⁶=361⁸⁺⁸=361⁸⋅361⁸ ≡ 325⋅325=105625 ≡ 492 mod 653

32: 361³²=361¹⁶⁺¹⁶=361¹⁶⋅361¹⁶ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 454 mod 653

64: 361⁶⁴=361³²⁺³²=361³²⋅361³² ≡ 454⋅454=206116 ≡ 421 mod 653

128: 361¹²⁸=361⁶⁴⁺⁶⁴=361⁶⁴⋅361⁶⁴ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 278 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

216²⁵³

= 216^{128+64+32+16+8+4+1}

= 216¹²⁸⋅216⁶⁴⋅216³²⋅216¹⁶⋅216⁸⋅216⁴⋅216¹

≡ 415 ⋅ 114 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 47310 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 268 ⋅ 85 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 22780 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 353 ⋅ 442 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 156026 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 131 ⋅ 90 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 11790 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547 ≡ 303 ⋅ 212 ⋅ 216 mod 547
≡ 64236 ⋅ 216 mod 547 ≡ 237 ⋅ 216 mod 547
≡ 51192 mod 547 ≡ 321 mod 547

Es gilt also: 216²⁵³ ≡ 321 mod 547

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 25

=>61	= 2⋅25 + 11
=>25	= 2⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 25-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(25 -2⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅25 -8⋅ 11) = 4⋅25 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -9⋅(61 -2⋅ 25) = 4⋅25 -9⋅61 +18⋅ 25) = -9⋅61 +22⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(61,25)=1 = -9⋅61 +22⋅25

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +22⋅25

Es gilt also: 22⋅25 = 9⋅61 +1

Somit 22⋅25 = 1 mod 61

22 ist also das Inverse von 25 mod 61