Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2697 + 2691) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2697 + 2691) mod 9 ≡ (2697 mod 9 + 2691 mod 9) mod 9.
2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697
= 2700
2691 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2691
= 2700
Somit gilt:
(2697 + 2691) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 96) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 96) mod 8 ≡ (45 mod 8 ⋅ 96 mod 8) mod 8.
45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 96) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30516 mod 457.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 254 mod 457
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 79 mod 457
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 300 mod 457
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 428 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149208 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 29 mod 241
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 29⋅29=841 ≡ 118 mod 241
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 187 mod 241
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
149208
= 149128+64+16
= 149128⋅14964⋅14916
≡ 54 ⋅ 160 ⋅ 24 mod 241
≡ 8640 ⋅ 24 mod 241 ≡ 205 ⋅ 24 mod 241
≡ 4920 mod 241 ≡ 100 mod 241
Es gilt also: 149208 ≡ 100 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84
| =>89 | = 1⋅84 + 5 |
| =>84 | = 16⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 84-16⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5) = -1⋅84 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84) = 17⋅89 -18⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -18⋅84
-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84
-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1
(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1
71⋅84 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1
Somit 71⋅84 = 1 mod 89
71 ist also das Inverse von 84 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
