Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 + 160) mod 4 ≡ (403 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(403 + 160) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 72) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 72) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 413¹=413

2: 413²=413¹⁺¹=413¹⋅413¹ ≡ 413⋅413=170569 ≡ 822 mod 853

4: 413⁴=413²⁺²=413²⋅413² ≡ 822⋅822=675684 ≡ 108 mod 853

8: 413⁸=413⁴⁺⁴=413⁴⋅413⁴ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 575 mod 853

16: 413¹⁶=413⁸⁺⁸=413⁸⋅413⁸ ≡ 575⋅575=330625 ≡ 514 mod 853

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

376¹⁹¹

= 376^{128+32+16+8+4+2+1}

= 376¹²⁸⋅376³²⋅376¹⁶⋅376⁸⋅376⁴⋅376²⋅376¹

≡ 309 ⋅ 328 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
≡ 101352 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 285 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
≡ 73530 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 442 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
≡ 102102 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 464 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
≡ 69600 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 509 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
≡ 172551 ⋅ 376 mod 571 ≡ 109 ⋅ 376 mod 571
≡ 40984 mod 571 ≡ 443 mod 571

Es gilt also: 376¹⁹¹ ≡ 443 mod 571

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59