Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 + 343) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 + 343) mod 7 ≡ (352 mod 7 + 343 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
Somit gilt:
(352 + 343) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 20) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 20) mod 4 ≡ (77 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.
77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 20) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32816 mod 613.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 309 mod 613
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 466 mod 613
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 154 mod 613
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 422 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 418123 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 4181=418
2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 225 mod 433
4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 397 mod 433
8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 430 mod 433
16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 9 mod 433
32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433
64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433
418123
= 41864+32+16+8+2+1
= 41864⋅41832⋅41816⋅4188⋅4182⋅4181
≡ 66 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 430 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433
≡ 5346 ⋅ 9 ⋅ 430 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433 ≡ 150 ⋅ 9 ⋅ 430 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433
≡ 1350 ⋅ 430 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433 ≡ 51 ⋅ 430 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433
≡ 21930 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433 ≡ 280 ⋅ 225 ⋅ 418 mod 433
≡ 63000 ⋅ 418 mod 433 ≡ 215 ⋅ 418 mod 433
≡ 89870 mod 433 ≡ 239 mod 433
Es gilt also: 418123 ≡ 239 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
