Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12006 + 234) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12006 + 234) mod 6 ≡ (12006 mod 6 + 234 mod 6) mod 6.
12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006
= 12000
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
Somit gilt:
(12006 + 234) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 84) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 84) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19816 mod 263.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 17 mod 263
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 17⋅17=289 ≡ 26 mod 263
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 26⋅26=676 ≡ 150 mod 263
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 145 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 469155 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 548 mod 701
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 276 mod 701
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 468 mod 701
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 312 mod 701
32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 606 mod 701
64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 613 mod 701
128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 33 mod 701
469155
= 469128+16+8+2+1
= 469128⋅46916⋅4698⋅4692⋅4691
≡ 33 ⋅ 312 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
≡ 10296 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701 ≡ 482 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
≡ 225576 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701 ≡ 555 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
≡ 304140 ⋅ 469 mod 701 ≡ 607 ⋅ 469 mod 701
≡ 284683 mod 701 ≡ 77 mod 701
Es gilt also: 469155 ≡ 77 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53
| =>71 | = 1⋅53 + 18 |
| =>53 | = 2⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 53-2⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1) |
| 18= 71-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53
oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅71 = -4⋅53
-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53
-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1
(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1
67⋅53 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1
Somit 67⋅53 = 1 mod 71
67 ist also das Inverse von 53 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
