Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 - 404) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 - 404) mod 8 ≡ (78 mod 8 - 404 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404
= 400
Somit gilt:
(78 - 404) mod 8 ≡ (6 - 4) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 35) mod 6 ≡ (21 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
21 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 3 ⋅ 6 + 3 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 35) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3008 mod 967.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 300 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 69 mod 967
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 893 mod 967
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 641 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 399173 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 3991=399
2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 637 mod 809
4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 460 mod 809
8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 451 mod 809
16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 342 mod 809
32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 468 mod 809
64: 39964=39932+32=39932⋅39932 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 594 mod 809
128: 399128=39964+64=39964⋅39964 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 112 mod 809
399173
= 399128+32+8+4+1
= 399128⋅39932⋅3998⋅3994⋅3991
≡ 112 ⋅ 468 ⋅ 451 ⋅ 460 ⋅ 399 mod 809
≡ 52416 ⋅ 451 ⋅ 460 ⋅ 399 mod 809 ≡ 640 ⋅ 451 ⋅ 460 ⋅ 399 mod 809
≡ 288640 ⋅ 460 ⋅ 399 mod 809 ≡ 636 ⋅ 460 ⋅ 399 mod 809
≡ 292560 ⋅ 399 mod 809 ≡ 511 ⋅ 399 mod 809
≡ 203889 mod 809 ≡ 21 mod 809
Es gilt also: 399173 ≡ 21 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
