Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 + 255) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 + 255) mod 5 ≡ (1999 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.
1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255
= 250
Somit gilt:
(1999 + 255) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 21) mod 4 ≡ (53 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 21) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 72 mod 359
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 158 mod 359
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 193 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 418224 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 4181=418
2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 119 mod 743
4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 44 mod 743
8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 450 mod 743
16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 404 mod 743
32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 499 mod 743
64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 96 mod 743
128: 418128=41864+64=41864⋅41864 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 300 mod 743
418224
= 418128+64+32
= 418128⋅41864⋅41832
≡ 300 ⋅ 96 ⋅ 499 mod 743
≡ 28800 ⋅ 499 mod 743 ≡ 566 ⋅ 499 mod 743
≡ 282434 mod 743 ≡ 94 mod 743
Es gilt also: 418224 ≡ 94 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21
| =>61 | = 2⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -29⋅21
-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21
-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1
(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1
32⋅21 = 11⋅61 + 1
Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1
Somit 32⋅21 = 1 mod 61
32 ist also das Inverse von 21 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
