Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 - 122) mod 3 ≡ (15003 mod 3 - 122 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(15003 - 122) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 25) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.

93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 25) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 365¹=365

2: 365²=365¹⁺¹=365¹⋅365¹ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 139 mod 541

4: 365⁴=365²⁺²=365²⋅365² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 386 mod 541

8: 365⁸=365⁴⁺⁴=365⁴⋅365⁴ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 221 mod 541

16: 365¹⁶=365⁸⁺⁸=365⁸⋅365⁸ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 151 mod 541

32: 365³²=365¹⁶⁺¹⁶=365¹⁶⋅365¹⁶ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 79 mod 541

64: 365⁶⁴=365³²⁺³²=365³²⋅365³² ≡ 79⋅79=6241 ≡ 290 mod 541

128: 365¹²⁸=365⁶⁴⁺⁶⁴=365⁶⁴⋅365⁶⁴ ≡ 290⋅290=84100 ≡ 245 mod 541

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

295¹¹¹

= 295^{64+32+8+4+2+1}

= 295⁶⁴⋅295³²⋅295⁸⋅295⁴⋅295²⋅295¹

≡ 244 ⋅ 156 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
≡ 38064 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 24 ⋅ 49 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
≡ 1176 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 225 ⋅ 310 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
≡ 69750 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317 ≡ 10 ⋅ 167 ⋅ 295 mod 317
≡ 1670 ⋅ 295 mod 317 ≡ 85 ⋅ 295 mod 317
≡ 25075 mod 317 ≡ 32 mod 317

Es gilt also: 295¹¹¹ ≡ 32 mod 317

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59	= 1⋅31 + 28
=>31	= 1⋅28 + 3
=>28	= 9⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28) = 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31) = -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59