Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1205 + 24006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1205 + 24006) mod 6 ≡ (1205 mod 6 + 24006 mod 6) mod 6.
1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205
= 1200
24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006
= 24000
Somit gilt:
(1205 + 24006) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 100) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29516 mod 563.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2951=295
2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 323 mod 563
4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 174 mod 563
8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 437 mod 563
16: 29516=2958+8=2958⋅2958 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 112 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 194209 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 276 mod 467
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467
16: 19416=1948+8=1948⋅1948 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467
32: 19432=19416+16=19416⋅19416 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 159 mod 467
64: 19464=19432+32=19432⋅19432 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 63 mod 467
128: 194128=19464+64=19464⋅19464 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 233 mod 467
194209
= 194128+64+16+1
= 194128⋅19464⋅19416⋅1941
≡ 233 ⋅ 63 ⋅ 227 ⋅ 194 mod 467
≡ 14679 ⋅ 227 ⋅ 194 mod 467 ≡ 202 ⋅ 227 ⋅ 194 mod 467
≡ 45854 ⋅ 194 mod 467 ≡ 88 ⋅ 194 mod 467
≡ 17072 mod 467 ≡ 260 mod 467
Es gilt also: 194209 ≡ 260 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66
| =>97 | = 1⋅66 + 31 |
| =>66 | = 2⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 66-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31) = 8⋅66 -17⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66) = -17⋅97 +25⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +25⋅66
Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1
Somit 25⋅66 = 1 mod 97
25 ist also das Inverse von 66 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
