Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2100 - 14006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2100 - 14006) mod 7 ≡ (2100 mod 7 - 14006 mod 7) mod 7.
2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100
= 2100
14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006
= 14000
Somit gilt:
(2100 - 14006) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 50) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 50) mod 5 ≡ (41 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.
41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 50) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21332 mod 461.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 191 mod 461
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 62 mod 461
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 156 mod 461
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 364 mod 461
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 189 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 236100 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 714 mod 743
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 98 mod 743
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 688 mod 743
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 53 mod 743
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 580 mod 743
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 564 mod 743
236100
= 23664+32+4
= 23664⋅23632⋅2364
≡ 564 ⋅ 580 ⋅ 98 mod 743
≡ 327120 ⋅ 98 mod 743 ≡ 200 ⋅ 98 mod 743
≡ 19600 mod 743 ≡ 282 mod 743
Es gilt also: 236100 ≡ 282 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43
| =>73 | = 1⋅43 + 30 |
| =>43 | = 1⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 43-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1) |
| 30= 73-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43
oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅73 = +17⋅43
Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1
Somit 17⋅43 = 1 mod 73
17 ist also das Inverse von 43 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
