Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2400 + 3004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 + 3004) mod 6 ≡ (2400 mod 6 + 3004 mod 6) mod 6.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004 = 3000+4 = 6 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(2400 + 3004) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 18) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 18) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 18) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7416 mod 241.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 74 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 741=74

2: 742=741+1=741⋅741 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 174 mod 241

4: 744=742+2=742⋅742 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 151 mod 241

8: 748=744+4=744⋅744 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241

16: 7416=748+8=748⋅748 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 452207 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 4521=452

2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 250 mod 479

4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 230 mod 479

8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 210 mod 479

16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 32 mod 479

32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 66 mod 479

64: 45264=45232+32=45232⋅45232 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 45 mod 479

128: 452128=45264+64=45264⋅45264 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 109 mod 479

452207

= 452128+64+8+4+2+1

= 452128⋅45264⋅4528⋅4524⋅4522⋅4521

109 ⋅ 45 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
4905 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 115 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
24150 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 200 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
46000 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 16 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
4000 ⋅ 452 mod 479 ≡ 168 ⋅ 452 mod 479
75936 mod 479 ≡ 254 mod 479

Es gilt also: 452207 ≡ 254 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.