Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 - 1502) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 1502) mod 3 ≡ (120 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(120 - 1502) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 70) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 70) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.

23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 70) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42916 mod 503.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 429 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4291=429

2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 446 mod 503

4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 231 mod 503

8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 43 mod 503

16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 340 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31999 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 3191=319

2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 479 mod 569

4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569

8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569

16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569

32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 104 mod 569

64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 5 mod 569

31999

= 31964+32+2+1

= 31964⋅31932⋅3192⋅3191

5 ⋅ 104 ⋅ 479 ⋅ 319 mod 569
520 ⋅ 479 ⋅ 319 mod 569
249080 ⋅ 319 mod 569 ≡ 427 ⋅ 319 mod 569
136213 mod 569 ≡ 222 mod 569

Es gilt also: 31999 ≡ 222 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53 = 2⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24)
= 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.