Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 + 2497) mod 5 ≡ (15002 mod 5 + 2497 mod 5) mod 5.

15002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 5 ⋅ 3000 +2.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

Somit gilt:

(15002 + 2497) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 97) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 97) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 238¹=238

2: 238²=238¹⁺¹=238¹⋅238¹ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 343 mod 383

4: 238⁴=238²⁺²=238²⋅238² ≡ 343⋅343=117649 ≡ 68 mod 383

8: 238⁸=238⁴⁺⁴=238⁴⋅238⁴ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 28 mod 383

16: 238¹⁶=238⁸⁺⁸=238⁸⋅238⁸ ≡ 28⋅28=784 ≡ 18 mod 383

32: 238³²=238¹⁶⁺¹⁶=238¹⁶⋅238¹⁶ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 383

64: 238⁶⁴=238³²⁺³²=238³²⋅238³² ≡ 324⋅324=104976 ≡ 34 mod 383

128: 238¹²⁸=238⁶⁴⁺⁶⁴=238⁶⁴⋅238⁶⁴ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 7 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

374²⁴²

= 374^{128+64+32+16+2}

= 374¹²⁸⋅374⁶⁴⋅374³²⋅374¹⁶⋅374²

≡ 51 ⋅ 224 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
≡ 11424 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401 ≡ 196 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
≡ 4900 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401 ≡ 88 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
≡ 440 ⋅ 328 mod 401 ≡ 39 ⋅ 328 mod 401
≡ 12792 mod 401 ≡ 361 mod 401

Es gilt also: 374²⁴² ≡ 361 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61