Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(284 + 211) mod 7 ≡ (284 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.

284 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 284 = 280+4 = 7 ⋅ 40 +4.

211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211 = 210+1 = 7 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(284 + 211) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 260¹=260

2: 260²=260¹⁺¹=260¹⋅260¹ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 79 mod 317

4: 260⁴=260²⁺²=260²⋅260² ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317

8: 260⁸=260⁴⁺⁴=260⁴⋅260⁴ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317

16: 260¹⁶=260⁸⁺⁸=260⁸⋅260⁸ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

482²⁴²

= 482^{128+64+32+16+2}

= 482¹²⁸⋅482⁶⁴⋅482³²⋅482¹⁶⋅482²

≡ 507 ⋅ 355 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 179985 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647 ≡ 119 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 28322 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647 ≡ 501 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 46593 ⋅ 51 mod 647 ≡ 9 ⋅ 51 mod 647
≡ 459 mod 647

Es gilt also: 482²⁴² ≡ 459 mod 647

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52

=>79	= 1⋅52 + 27
=>52	= 1⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 52-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1)
27= 79-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52) = 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52

oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅79 = +38⋅52

Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1

Somit 38⋅52 = 1 mod 79

38 ist also das Inverse von 52 mod 79