Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 + 66) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 + 66) mod 6 ≡ (121 mod 6 + 66 mod 6) mod 6.
121 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66
= 60
Somit gilt:
(121 + 66) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 18) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 18) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 18 mod 8) mod 8.
32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 18) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16532 mod 409.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 165 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 231 mod 409
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 191 mod 409
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 80 mod 409
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409
32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 488212 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 4881=488
2: 4882=4881+1=4881⋅4881 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 521 mod 811
4: 4884=4882+2=4882⋅4882 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 567 mod 811
8: 4888=4884+4=4884⋅4884 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 333 mod 811
16: 48816=4888+8=4888⋅4888 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 593 mod 811
32: 48832=48816+16=48816⋅48816 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 486 mod 811
64: 48864=48832+32=48832⋅48832 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 195 mod 811
128: 488128=48864+64=48864⋅48864 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 719 mod 811
488212
= 488128+64+16+4
= 488128⋅48864⋅48816⋅4884
≡ 719 ⋅ 195 ⋅ 593 ⋅ 567 mod 811
≡ 140205 ⋅ 593 ⋅ 567 mod 811 ≡ 713 ⋅ 593 ⋅ 567 mod 811
≡ 422809 ⋅ 567 mod 811 ≡ 278 ⋅ 567 mod 811
≡ 157626 mod 811 ≡ 292 mod 811
Es gilt also: 488212 ≡ 292 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
