Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7996 - 323) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7996 - 323) mod 8 ≡ (7996 mod 8 - 323 mod 8) mod 8.
7996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323
= 320
Somit gilt:
(7996 - 323) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 52) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 52 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 52) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 659.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 176 mod 659
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 3 mod 659
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 659
16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 659
32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 630 mod 659
64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 182 mod 659
128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 174 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57084 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 5701=570
2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 761 mod 829
4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 761⋅761=579121 ≡ 479 mod 829
8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 637 mod 829
16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 388 mod 829
32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 495 mod 829
64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 470 mod 829
57084
= 57064+16+4
= 57064⋅57016⋅5704
≡ 470 ⋅ 388 ⋅ 479 mod 829
≡ 182360 ⋅ 479 mod 829 ≡ 809 ⋅ 479 mod 829
≡ 387511 mod 829 ≡ 368 mod 829
Es gilt also: 57084 ≡ 368 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
