Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 598) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 598 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1198 - 598) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 38) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.

93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 38) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 301¹=301

2: 301²=301¹⁺¹=301¹⋅301¹ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 802 mod 809

4: 301⁴=301²⁺²=301²⋅301² ≡ 802⋅802=643204 ≡ 49 mod 809

8: 301⁸=301⁴⁺⁴=301⁴⋅301⁴ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 783 mod 809

16: 301¹⁶=301⁸⁺⁸=301⁸⋅301⁸ ≡ 783⋅783=613089 ≡ 676 mod 809

32: 301³²=301¹⁶⁺¹⁶=301¹⁶⋅301¹⁶ ≡ 676⋅676=456976 ≡ 700 mod 809

64: 301⁶⁴=301³²⁺³²=301³²⋅301³² ≡ 700⋅700=490000 ≡ 555 mod 809

128: 301¹²⁸=301⁶⁴⁺⁶⁴=301⁶⁴⋅301⁶⁴ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 605 mod 809

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

249¹⁸²

= 249^{128+32+16+4+2}

= 249¹²⁸⋅249³²⋅249¹⁶⋅249⁴⋅249²

≡ 156 ⋅ 154 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
≡ 24024 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277 ≡ 202 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
≡ 37370 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277 ≡ 252 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
≡ 68040 ⋅ 230 mod 277 ≡ 175 ⋅ 230 mod 277
≡ 40250 mod 277 ≡ 85 mod 277

Es gilt also: 249¹⁸² ≡ 85 mod 277

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83