Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 - 598) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 598) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 598 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1198 - 598) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 38) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 38) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.

93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 38) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 301128 mod 809.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,809) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3011=301

2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 802 mod 809

4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 49 mod 809

8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 783 mod 809

16: 30116=3018+8=3018⋅3018 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 676 mod 809

32: 30132=30116+16=30116⋅30116 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 700 mod 809

64: 30164=30132+32=30132⋅30132 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 555 mod 809

128: 301128=30164+64=30164⋅30164 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 605 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 249182 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 230 mod 277

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 270 mod 277

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 49 mod 277

16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 185 mod 277

32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 154 mod 277

64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 171 mod 277

128: 249128=24964+64=24964⋅24964 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277

249182

= 249128+32+16+4+2

= 249128⋅24932⋅24916⋅2494⋅2492

156 ⋅ 154 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
24024 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277 ≡ 202 ⋅ 185 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
37370 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277 ≡ 252 ⋅ 270 ⋅ 230 mod 277
68040 ⋅ 230 mod 277 ≡ 175 ⋅ 230 mod 277
40250 mod 277 ≡ 85 mod 277

Es gilt also: 249182 ≡ 85 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83 = 2⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30)
= -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.