Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8003 + 40006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8003 + 40006) mod 8 ≡ (8003 mod 8 + 40006 mod 8) mod 8.
8003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003
= 8000
40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006
= 40000
Somit gilt:
(8003 + 40006) mod 8 ≡ (3 + 6) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 37) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 37) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 37) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2078 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 207 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2071=207
2: 2072=2071+1=2071⋅2071 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 180 mod 431
4: 2074=2072+2=2072⋅2072 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 75 mod 431
8: 2078=2074+4=2074⋅2074 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 22 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 541112 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 5411=541
2: 5412=5411+1=5411⋅5411 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 71 mod 1009
4: 5414=5412+2=5412⋅5412 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 1005 mod 1009
8: 5418=5414+4=5414⋅5414 ≡ 1005⋅1005=1010025 ≡ 16 mod 1009
16: 54116=5418+8=5418⋅5418 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 1009
32: 54132=54116+16=54116⋅54116 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 960 mod 1009
64: 54164=54132+32=54132⋅54132 ≡ 960⋅960=921600 ≡ 383 mod 1009
541112
= 54164+32+16
= 54164⋅54132⋅54116
≡ 383 ⋅ 960 ⋅ 256 mod 1009
≡ 367680 ⋅ 256 mod 1009 ≡ 404 ⋅ 256 mod 1009
≡ 103424 mod 1009 ≡ 506 mod 1009
Es gilt also: 541112 ≡ 506 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
