Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (800 - 123) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(800 - 123) mod 4 ≡ (800 mod 4 - 123 mod 4) mod 4.
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
Somit gilt:
(800 - 123) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 89) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 89) mod 5 ≡ (49 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 9 ⋅ 5 + 4 ist.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 89) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10616 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1061=106
2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 184 mod 307
4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 86 mod 307
8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 28 mod 307
16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 28⋅28=784 ≡ 170 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 623244 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:
244 = 128+64+32+16+4
1: 6231=623
2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 478 mod 691
4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 454 mod 691
8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 198 mod 691
16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 508 mod 691
32: 62332=62316+16=62316⋅62316 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 321 mod 691
64: 62364=62332+32=62332⋅62332 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 82 mod 691
128: 623128=62364+64=62364⋅62364 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 505 mod 691
623244
= 623128+64+32+16+4
= 623128⋅62364⋅62332⋅62316⋅6234
≡ 505 ⋅ 82 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
≡ 41410 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691 ≡ 641 ⋅ 321 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
≡ 205761 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691 ≡ 534 ⋅ 508 ⋅ 454 mod 691
≡ 271272 ⋅ 454 mod 691 ≡ 400 ⋅ 454 mod 691
≡ 181600 mod 691 ≡ 558 mod 691
Es gilt also: 623244 ≡ 558 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42
| =>101 | = 2⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -12⋅42
-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42
-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1
(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1
89⋅42 = 37⋅101 + 1
Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1
Somit 89⋅42 = 1 mod 101
89 ist also das Inverse von 42 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
