Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 - 35992) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 - 35992) mod 9 ≡ (90 mod 9 - 35992 mod 9) mod 9.
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992
= 36000
Somit gilt:
(90 - 35992) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 40) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 40) mod 9 ≡ (38 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 40) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2818 mod 881.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 552 mod 881
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 759 mod 881
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 788 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 348243 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 3481=348
2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373
4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 94 mod 373
8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 257 mod 373
16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 28 mod 373
32: 34832=34816+16=34816⋅34816 ≡ 28⋅28=784 ≡ 38 mod 373
64: 34864=34832+32=34832⋅34832 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 325 mod 373
128: 348128=34864+64=34864⋅34864 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 66 mod 373
348243
= 348128+64+32+16+2+1
= 348128⋅34864⋅34832⋅34816⋅3482⋅3481
≡ 66 ⋅ 325 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
≡ 21450 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 189 ⋅ 38 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
≡ 7182 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 95 ⋅ 28 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
≡ 2660 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373 ≡ 49 ⋅ 252 ⋅ 348 mod 373
≡ 12348 ⋅ 348 mod 373 ≡ 39 ⋅ 348 mod 373
≡ 13572 mod 373 ≡ 144 mod 373
Es gilt also: 348243 ≡ 144 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
