Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (901 + 35996) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(901 + 35996) mod 9 ≡ (901 mod 9 + 35996 mod 9) mod 9.

901 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 9 ⋅ 100 +1.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

Somit gilt:

(901 + 35996) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 54) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 54) mod 5 ≡ (82 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 54) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1838 mod 449.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 263 mod 449

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 23 mod 449

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 23⋅23=529 ≡ 80 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 948241 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:

241 = 128+64+32+16+1

1: 9481=948

2: 9482=9481+1=9481⋅9481 ≡ 948⋅948=898704 ≡ 361 mod 967

4: 9484=9482+2=9482⋅9482 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 743 mod 967

8: 9488=9484+4=9484⋅9484 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 859 mod 967

16: 94816=9488+8=9488⋅9488 ≡ 859⋅859=737881 ≡ 60 mod 967

32: 94832=94816+16=94816⋅94816 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 699 mod 967

64: 94864=94832+32=94832⋅94832 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 266 mod 967

128: 948128=94864+64=94864⋅94864 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 165 mod 967

948241

= 948128+64+32+16+1

= 948128⋅94864⋅94832⋅94816⋅9481

165 ⋅ 266 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
43890 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967 ≡ 375 ⋅ 699 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
262125 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967 ≡ 68 ⋅ 60 ⋅ 948 mod 967
4080 ⋅ 948 mod 967 ≡ 212 ⋅ 948 mod 967
200976 mod 967 ≡ 807 mod 967

Es gilt also: 948241 ≡ 807 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.