Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (698 + 204) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(698 + 204) mod 7 ≡ (698 mod 7 + 204 mod 7) mod 7.
698 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 698
= 700
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
Somit gilt:
(698 + 204) mod 7 ≡ (5 + 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 48) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 48) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 48) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 74816 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 748 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7481=748
2: 7482=7481+1=7481⋅7481 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 9 mod 751
4: 7484=7482+2=7482⋅7482 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 751
8: 7488=7484+4=7484⋅7484 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 553 mod 751
16: 74816=7488+8=7488⋅7488 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 152 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 192228 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 224 mod 229
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 25 mod 229
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 25⋅25=625 ≡ 167 mod 229
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 180 mod 229
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 111 mod 229
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229
128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229
192228
= 192128+64+32+4
= 192128⋅19264⋅19232⋅1924
≡ 193 ⋅ 184 ⋅ 111 ⋅ 25 mod 229
≡ 35512 ⋅ 111 ⋅ 25 mod 229 ≡ 17 ⋅ 111 ⋅ 25 mod 229
≡ 1887 ⋅ 25 mod 229 ≡ 55 ⋅ 25 mod 229
≡ 1375 mod 229 ≡ 1 mod 229
Es gilt also: 192228 ≡ 1 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
