Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27008 - 175) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27008 - 175) mod 9 ≡ (27008 mod 9 - 175 mod 9) mod 9.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

175 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 9 ⋅ 20 -5 = 9 ⋅ 20 - 9 + 4.

Somit gilt:

(27008 - 175) mod 9 ≡ (8 - 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 94) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 94) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4158 mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 415 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4151=415

2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 22 mod 941

4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 941

8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328191 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 247 mod 967

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 88 mod 967

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 8 mod 967

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 967

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 228 mod 967

64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 733 mod 967

128: 328128=32864+64=32864⋅32864 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 604 mod 967

328191

= 328128+32+16+8+4+2+1

= 328128⋅32832⋅32816⋅3288⋅3284⋅3282⋅3281

604 ⋅ 228 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
137712 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 398 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
25472 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 330 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
2640 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 706 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
62128 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 240 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
59280 ⋅ 328 mod 967 ≡ 293 ⋅ 328 mod 967
96104 mod 967 ≡ 371 mod 967

Es gilt also: 328191 ≡ 371 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.