Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 1498) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 1498) mod 3 ≡ (12000 mod 3 - 1498 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

Somit gilt:

(12000 - 1498) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 96) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 96) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25264 mod 443.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 155 mod 443

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 103 mod 443

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 420 mod 443

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 86 mod 443

32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 308 mod 443

64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 62 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 548226 mod 863.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 5481=548

2: 5482=5481+1=5481⋅5481 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 843 mod 863

4: 5484=5482+2=5482⋅5482 ≡ 843⋅843=710649 ≡ 400 mod 863

8: 5488=5484+4=5484⋅5484 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 345 mod 863

16: 54816=5488+8=5488⋅5488 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 794 mod 863

32: 54832=54816+16=54816⋅54816 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 446 mod 863

64: 54864=54832+32=54832⋅54832 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 426 mod 863

128: 548128=54864+64=54864⋅54864 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 246 mod 863

548226

= 548128+64+32+2

= 548128⋅54864⋅54832⋅5482

246 ⋅ 426 ⋅ 446 ⋅ 843 mod 863
104796 ⋅ 446 ⋅ 843 mod 863 ≡ 373 ⋅ 446 ⋅ 843 mod 863
166358 ⋅ 843 mod 863 ≡ 662 ⋅ 843 mod 863
558066 mod 863 ≡ 568 mod 863

Es gilt also: 548226 ≡ 568 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58

=>97 = 1⋅58 + 39
=>58 = 1⋅39 + 19
=>39 = 2⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 39-2⋅19
19= 58-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39)
= -2⋅58 +3⋅ 39 (=1)
39= 97-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58)
= 3⋅97 -5⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -5⋅58

-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58

-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1

(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1

92⋅58 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1

Somit 92⋅58 = 1 mod 97

92 ist also das Inverse von 58 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.