Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 57) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 57 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
Somit gilt:
(6000 + 57) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 65) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 65) mod 11 ≡ (6 ⋅ 10) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 53332 mod 719.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 533 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5331=533
2: 5332=5331+1=5331⋅5331 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 84 mod 719
4: 5334=5332+2=5332⋅5332 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 585 mod 719
8: 5338=5334+4=5334⋅5334 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 700 mod 719
16: 53316=5338+8=5338⋅5338 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 361 mod 719
32: 53332=53316+16=53316⋅53316 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 182 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 205160 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 2051=205
2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313
4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313
16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 313
32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 301 mod 313
64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 144 mod 313
128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 78 mod 313
205160
= 205128+32
= 205128⋅20532
≡ 78 ⋅ 301 mod 313
≡ 23478 mod 313 ≡ 3 mod 313
Es gilt also: 205160 ≡ 3 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
