Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40005 + 804) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40005 + 804) mod 8 ≡ (40005 mod 8 + 804 mod 8) mod 8.
40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005
= 40000
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(40005 + 804) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 37) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 37) mod 3 ≡ (22 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 37) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30332 mod 307.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 16 mod 307
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 307
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 145 mod 307
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 149 mod 307
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 97 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 431132 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 96 mod 523
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 325 mod 523
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 502 mod 523
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 441 mod 523
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 448 mod 523
64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 395 mod 523
128: 431128=43164+64=43164⋅43164 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 171 mod 523
431132
= 431128+4
= 431128⋅4314
≡ 171 ⋅ 325 mod 523
≡ 55575 mod 523 ≡ 137 mod 523
Es gilt also: 431132 ≡ 137 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
