Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15003 + 19997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15003 + 19997) mod 5 ≡ (15003 mod 5 + 19997 mod 5) mod 5.
15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003
= 15000
19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
Somit gilt:
(15003 + 19997) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 19) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 19) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 19) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85816 mod 859.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 858 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8581=858
2: 8582=8581+1=8581⋅8581 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 1 mod 859
4: 8584=8582+2=8582⋅8582 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 859
8: 8588=8584+4=8584⋅8584 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 859
16: 85816=8588+8=8588⋅8588 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 173197 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 119 mod 271
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 69 mod 271
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 154 mod 271
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 139 mod 271
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 80 mod 271
64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 167 mod 271
128: 173128=17364+64=17364⋅17364 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 247 mod 271
173197
= 173128+64+4+1
= 173128⋅17364⋅1734⋅1731
≡ 247 ⋅ 167 ⋅ 69 ⋅ 173 mod 271
≡ 41249 ⋅ 69 ⋅ 173 mod 271 ≡ 57 ⋅ 69 ⋅ 173 mod 271
≡ 3933 ⋅ 173 mod 271 ≡ 139 ⋅ 173 mod 271
≡ 24047 mod 271 ≡ 199 mod 271
Es gilt also: 173197 ≡ 199 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
