Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7999 - 1597) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 - 1597) mod 4 ≡ (7999 mod 4 - 1597 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1500+97 = 4 ⋅ 375 +97.

Somit gilt:

(7999 - 1597) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 99) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 99) mod 9 ≡ (80 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 99) mod 9 ≡ (8 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24864 mod 739.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2481=248

2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 167 mod 739

4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 546 mod 739

8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 299 mod 739

16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 721 mod 739

32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 324 mod 739

64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 38 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 688162 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 6881=688

2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 148 mod 839

4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 90 mod 839

8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 549 mod 839

16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 200 mod 839

32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 567 mod 839

64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 152 mod 839

128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 451 mod 839

688162

= 688128+32+2

= 688128⋅68832⋅6882

451 ⋅ 567 ⋅ 148 mod 839
255717 ⋅ 148 mod 839 ≡ 661 ⋅ 148 mod 839
97828 mod 839 ≡ 504 mod 839

Es gilt also: 688162 ≡ 504 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.

Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85

=>101 = 1⋅85 + 16
=>85 = 5⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,85)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 85-5⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16)
= -3⋅85 +16⋅ 16 (=1)
16= 101-1⋅85 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85)
= 16⋅101 -19⋅ 85 (=1)

Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -19⋅85

-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85

-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1

(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1

82⋅85 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1

Somit 82⋅85 = 1 mod 101

82 ist also das Inverse von 85 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.