Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8998 + 6003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 + 6003) mod 3 ≡ (8998 mod 3 + 6003 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(8998 + 6003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 26) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 26) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 26) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 71732 mod 883.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 717 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7171=717

2: 7172=7171+1=7171⋅7171 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 183 mod 883

4: 7174=7172+2=7172⋅7172 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 818 mod 883

8: 7178=7174+4=7174⋅7174 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 693 mod 883

16: 71716=7178+8=7178⋅7178 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 780 mod 883

32: 71732=71716+16=71716⋅71716 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 13 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12571 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 1251=125

2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 188 mod 359

4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 162 mod 359

8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 37 mod 359

16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 292 mod 359

32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 181 mod 359

64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 92 mod 359

12571

= 12564+4+2+1

= 12564⋅1254⋅1252⋅1251

92 ⋅ 162 ⋅ 188 ⋅ 125 mod 359
14904 ⋅ 188 ⋅ 125 mod 359 ≡ 185 ⋅ 188 ⋅ 125 mod 359
34780 ⋅ 125 mod 359 ≡ 316 ⋅ 125 mod 359
39500 mod 359 ≡ 10 mod 359

Es gilt also: 12571 ≡ 10 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 31

=>71 = 2⋅31 + 9
=>31 = 3⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9)
= -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 71-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +7⋅(71 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅71 -14⋅ 31)
= 7⋅71 -16⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(71,31)=1 = 7⋅71 -16⋅31

oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅71 = -16⋅31

-16⋅31 = -7⋅71 + 1 |+71⋅31

-16⋅31 + 71⋅31 = -7⋅71 + 71⋅31 + 1

(-16 + 71) ⋅ 31 = (-7 + 31) ⋅ 71 + 1

55⋅31 = 24⋅71 + 1

Es gilt also: 55⋅31 = 24⋅71 +1

Somit 55⋅31 = 1 mod 71

55 ist also das Inverse von 31 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.