Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 60) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
Somit gilt:
(150 - 60) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 79) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 79) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 79) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83964 mod 967.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 839 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8391=839
2: 8392=8391+1=8391⋅8391 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 912 mod 967
4: 8394=8392+2=8392⋅8392 ≡ 912⋅912=831744 ≡ 124 mod 967
8: 8398=8394+4=8394⋅8394 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 871 mod 967
16: 83916=8398+8=8398⋅8398 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 513 mod 967
32: 83932=83916+16=83916⋅83916 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 145 mod 967
64: 83964=83932+32=83932⋅83932 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 718 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 148255 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:
255 = 128+64+32+16+8+4+2+1
1: 1481=148
2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 149 mod 229
4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229
16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229
32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229
64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
148255
= 148128+64+32+16+8+4+2+1
= 148128⋅14864⋅14832⋅14816⋅1488⋅1484⋅1482⋅1481
≡ 153 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 19737 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 43 ⋅ 75 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 3225 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 19 ⋅ 126 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 2394 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 104 ⋅ 144 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 14976 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 91 ⋅ 217 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 19747 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229 ≡ 53 ⋅ 149 ⋅ 148 mod 229
≡ 7897 ⋅ 148 mod 229 ≡ 111 ⋅ 148 mod 229
≡ 16428 mod 229 ≡ 169 mod 229
Es gilt also: 148255 ≡ 169 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
