Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 - 7999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 - 7999) mod 4 ≡ (39 mod 4 - 7999 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

Somit gilt:

(39 - 7999) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 81) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 81) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 81) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 299128 mod 631.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 299 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2991=299

2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 430 mod 631

4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 17 mod 631

8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 631

16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 229 mod 631

32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 68 mod 631

64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 207 mod 631

128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 572 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15097 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:

97 = 64+32+1

1: 1501=150

2: 1502=1501+1=1501⋅1501 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 107 mod 457

4: 1504=1502+2=1502⋅1502 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 24 mod 457

8: 1508=1504+4=1504⋅1504 ≡ 24⋅24=576 ≡ 119 mod 457

16: 15016=1508+8=1508⋅1508 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 451 mod 457

32: 15032=15016+16=15016⋅15016 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 36 mod 457

64: 15064=15032+32=15032⋅15032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 382 mod 457

15097

= 15064+32+1

= 15064⋅15032⋅1501

382 ⋅ 36 ⋅ 150 mod 457
13752 ⋅ 150 mod 457 ≡ 42 ⋅ 150 mod 457
6300 mod 457 ≡ 359 mod 457

Es gilt also: 15097 ≡ 359 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

=>71 = 2⋅28 + 15
=>28 = 1⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 28-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15)
= 7⋅28 -13⋅ 15 (=1)
15= 71-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28)
= -13⋅71 +33⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +33⋅28

Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1

Somit 33⋅28 = 1 mod 71

33 ist also das Inverse von 28 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.