Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 - 1600) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 - 1600) mod 4 ≡ (12004 mod 4 - 1600 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(12004 - 1600) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 73) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 73) mod 3 ≡ (99 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 73) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39464 mod 643.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 273 mod 643
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 584 mod 643
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 266 mod 643
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 26 mod 643
32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 26⋅26=676 ≡ 33 mod 643
64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 446 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 263197 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 64 mod 271
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 31 mod 271
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 31⋅31=961 ≡ 148 mod 271
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 224 mod 271
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 41 mod 271
64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 55 mod 271
128: 263128=26364+64=26364⋅26364 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 44 mod 271
263197
= 263128+64+4+1
= 263128⋅26364⋅2634⋅2631
≡ 44 ⋅ 55 ⋅ 31 ⋅ 263 mod 271
≡ 2420 ⋅ 31 ⋅ 263 mod 271 ≡ 252 ⋅ 31 ⋅ 263 mod 271
≡ 7812 ⋅ 263 mod 271 ≡ 224 ⋅ 263 mod 271
≡ 58912 mod 271 ≡ 105 mod 271
Es gilt also: 263197 ≡ 105 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
