Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1001 - 5000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1001 - 5000) mod 5 ≡ (1001 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.

1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001 = 1000+1 = 5 ⋅ 200 +1.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(1001 - 5000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 51) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36164 mod 587.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3611=361

2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 7 mod 587

4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 587

8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 53 mod 587

16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 461 mod 587

32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 27 mod 587

64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 27⋅27=729 ≡ 142 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 193128 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:

128 = 128

1: 1931=193

2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 356 mod 467

4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 179 mod 467

8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 285 mod 467

16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 434 mod 467

32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 155 mod 467

64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 208 mod 467

128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 300 mod 467

193128

= 193128

= 193128

300 mod 467

Es gilt also: 193128 ≡ 300 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

=>73 = 1⋅39 + 34
=>39 = 1⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 39-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34)
= 7⋅39 -8⋅ 34 (=1)
34= 73-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39)
= -8⋅73 +15⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39

oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅73 = +15⋅39

Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1

Somit 15⋅39 = 1 mod 73

15 ist also das Inverse von 39 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.