Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1403 + 347) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1403 + 347) mod 7 ≡ (1403 mod 7 + 347 mod 7) mod 7.
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347
= 350
Somit gilt:
(1403 + 347) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 96) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3948 mod 433.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 222 mod 433
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 355 mod 433
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 22 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 378136 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 447 mod 601
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 277 mod 601
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 402 mod 601
16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 536 mod 601
32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 18 mod 601
64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 601
128: 378128=37864+64=37864⋅37864 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 402 mod 601
378136
= 378128+8
= 378128⋅3788
≡ 402 ⋅ 402 mod 601
≡ 161604 mod 601 ≡ 536 mod 601
Es gilt also: 378136 ≡ 536 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
