Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24004 - 234) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24004 - 234) mod 6 ≡ (24004 mod 6 - 234 mod 6) mod 6.

24004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004 = 24000+4 = 6 ⋅ 4000 +4.

234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234 = 240-6 = 6 ⋅ 40 -6 = 6 ⋅ 40 - 6 + 0.

Somit gilt:

(24004 - 234) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 18) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 18) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 18 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 18) mod 11 ≡ (8 ⋅ 7) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2948 mod 863.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 136 mod 863

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 373 mod 863

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 186 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236102 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 166 mod 617

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 408 mod 617

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617

236102

= 23664+32+4+2

= 23664⋅23632⋅2364⋅2362

491 ⋅ 408 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617
200328 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617 ≡ 420 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617
171360 ⋅ 166 mod 617 ≡ 451 ⋅ 166 mod 617
74866 mod 617 ≡ 209 mod 617

Es gilt also: 236102 ≡ 209 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.