Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 164) mod 4 ≡ (20003 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 4 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(20003 - 164) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 43) mod 7 ≡ (100 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.

100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 43) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 633¹=633

2: 633²=633¹⁺¹=633¹⋅633¹ ≡ 633⋅633=400689 ≡ 764 mod 941

4: 633⁴=633²⁺²=633²⋅633² ≡ 764⋅764=583696 ≡ 276 mod 941

8: 633⁸=633⁴⁺⁴=633⁴⋅633⁴ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 896 mod 941

16: 633¹⁶=633⁸⁺⁸=633⁸⋅633⁸ ≡ 896⋅896=802816 ≡ 143 mod 941

32: 633³²=633¹⁶⁺¹⁶=633¹⁶⋅633¹⁶ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 688 mod 941

64: 633⁶⁴=633³²⁺³²=633³²⋅633³² ≡ 688⋅688=473344 ≡ 21 mod 941

128: 633¹²⁸=633⁶⁴⁺⁶⁴=633⁶⁴⋅633⁶⁴ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 941

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

457¹⁹⁶

= 457^128+64+4

= 457¹²⁸⋅457⁶⁴⋅457⁴

≡ 615 ⋅ 799 ⋅ 556 mod 919
≡ 491385 ⋅ 556 mod 919 ≡ 639 ⋅ 556 mod 919
≡ 355284 mod 919 ≡ 550 mod 919

Es gilt also: 457¹⁹⁶ ≡ 550 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79	= 1⋅72 + 7
=>72	= 10⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72) = -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79