Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24997 - 201) mod 5 ≡ (24997 mod 5 - 201 mod 5) mod 5.

24997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24997 = 24000+997 = 5 ⋅ 4800 +997.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(24997 - 201) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 69) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 69) mod 11 ≡ (9 ⋅ 3) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 344 mod 421

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 344⋅344=118336 ≡ 35 mod 421

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 383 mod 421

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 181 mod 421

32: 240³²=240¹⁶⁺¹⁶=240¹⁶⋅240¹⁶ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 344 mod 421

64: 240⁶⁴=240³²⁺³²=240³²⋅240³² ≡ 344⋅344=118336 ≡ 35 mod 421

128: 240¹²⁸=240⁶⁴⁺⁶⁴=240⁶⁴⋅240⁶⁴ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 383 mod 421

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

265²³⁹

= 265^{128+64+32+8+4+2+1}

= 265¹²⁸⋅265⁶⁴⋅265³²⋅265⁸⋅265⁴⋅265²⋅265¹

≡ 122 ⋅ 580 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 70760 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 348 ⋅ 49 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 17052 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 56 ⋅ 325 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 18200 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 597 ⋅ 370 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 220890 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607 ≡ 549 ⋅ 420 ⋅ 265 mod 607
≡ 230580 ⋅ 265 mod 607 ≡ 527 ⋅ 265 mod 607
≡ 139655 mod 607 ≡ 45 mod 607

Es gilt also: 265²³⁹ ≡ 45 mod 607

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101