Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3593 - 27003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3593 - 27003) mod 9 ≡ (3593 mod 9 - 27003 mod 9) mod 9.
3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593
= 3600
27003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27003
= 27000
Somit gilt:
(3593 - 27003) mod 9 ≡ (2 - 3) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 53) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 53) mod 10 ≡ (54 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.
54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 53) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31232 mod 313.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 1 mod 313
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 313
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 313
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 313
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 501196 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 420 mod 827
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 249 mod 827
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 803 mod 827
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 576 mod 827
32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 149 mod 827
64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 699 mod 827
128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 671 mod 827
501196
= 501128+64+4
= 501128⋅50164⋅5014
≡ 671 ⋅ 699 ⋅ 249 mod 827
≡ 469029 ⋅ 249 mod 827 ≡ 120 ⋅ 249 mod 827
≡ 29880 mod 827 ≡ 108 mod 827
Es gilt also: 501196 ≡ 108 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
