Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (145 + 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(145 + 5000) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 5000 mod 5) mod 5.
145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(145 + 5000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 94) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 94) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 94) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45616 mod 727.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 456 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4561=456
2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 14 mod 727
4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 727
8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 612 mod 727
16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 139 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 232165 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 2321=232
2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 357 mod 421
4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 307 mod 421
8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 366 mod 421
16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 78 mod 421
32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 190 mod 421
64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 315 mod 421
128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 290 mod 421
232165
= 232128+32+4+1
= 232128⋅23232⋅2324⋅2321
≡ 290 ⋅ 190 ⋅ 307 ⋅ 232 mod 421
≡ 55100 ⋅ 307 ⋅ 232 mod 421 ≡ 370 ⋅ 307 ⋅ 232 mod 421
≡ 113590 ⋅ 232 mod 421 ≡ 341 ⋅ 232 mod 421
≡ 79112 mod 421 ≡ 385 mod 421
Es gilt also: 232165 ≡ 385 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63
| =>67 | = 1⋅63 + 4 |
| =>63 | = 15⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 63-15⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1) |
| 4= 67-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -17⋅63
-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63
-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1
(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1
50⋅63 = 47⋅67 + 1
Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1
Somit 50⋅63 = 1 mod 67
50 ist also das Inverse von 63 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
