Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 6001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 6001) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 6001 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
Somit gilt:
(1197 + 6001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 50) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 50) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 50 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 50) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12632 mod 317.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 126 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 26 mod 317
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 26⋅26=676 ≡ 42 mod 317
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 179 mod 317
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 24 mod 317
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 24⋅24=576 ≡ 259 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 616207 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:
207 = 128+64+8+4+2+1
1: 6161=616
2: 6162=6161+1=6161⋅6161 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 828 mod 919
4: 6164=6162+2=6162⋅6162 ≡ 828⋅828=685584 ≡ 10 mod 919
8: 6168=6164+4=6164⋅6164 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 919
16: 61616=6168+8=6168⋅6168 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 810 mod 919
32: 61632=61616+16=61616⋅61616 ≡ 810⋅810=656100 ≡ 853 mod 919
64: 61664=61632+32=61632⋅61632 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 680 mod 919
128: 616128=61664+64=61664⋅61664 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 143 mod 919
616207
= 616128+64+8+4+2+1
= 616128⋅61664⋅6168⋅6164⋅6162⋅6161
≡ 143 ⋅ 680 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919
≡ 97240 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919 ≡ 745 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919
≡ 74500 ⋅ 10 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919 ≡ 61 ⋅ 10 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919
≡ 610 ⋅ 828 ⋅ 616 mod 919
≡ 505080 ⋅ 616 mod 919 ≡ 549 ⋅ 616 mod 919
≡ 338184 mod 919 ≡ 911 mod 919
Es gilt also: 616207 ≡ 911 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
