Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 3005) mod 6 ≡ (120 mod 6 + 3005 mod 6) mod 6.

120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 6 ⋅ 20 +0.

3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005 = 3000+5 = 6 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(120 + 3005) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 18) mod 3 ≡ (37 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 872¹=872

2: 872²=872¹⁺¹=872¹⋅872¹ ≡ 872⋅872=760384 ≡ 81 mod 881

4: 872⁴=872²⁺²=872²⋅872² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 394 mod 881

8: 872⁸=872⁴⁺⁴=872⁴⋅872⁴ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 180 mod 881

16: 872¹⁶=872⁸⁺⁸=872⁸⋅872⁸ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 684 mod 881

32: 872³²=872¹⁶⁺¹⁶=872¹⁶⋅872¹⁶ ≡ 684⋅684=467856 ≡ 45 mod 881

64: 872⁶⁴=872³²⁺³²=872³²⋅872³² ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

212²⁴²

= 212^{128+64+32+16+2}

= 212¹²⁸⋅212⁶⁴⋅212³²⋅212¹⁶⋅212²

≡ 178 ⋅ 242 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 43076 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263 ≡ 207 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 21735 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263 ≡ 169 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 36504 ⋅ 234 mod 263 ≡ 210 ⋅ 234 mod 263
≡ 49140 mod 263 ≡ 222 mod 263

Es gilt also: 212²⁴² ≡ 222 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97	= 2⋅47 + 3
=>47	= 15⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47) = -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97