Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 - 1200) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 - 1200) mod 4 ≡ (36 mod 4 - 1200 mod 4) mod 4.
36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36
= 40
1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(36 - 1200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 44) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 44) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 44) mod 11 ≡ (4 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5238 mod 967.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 523 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5231=523
2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 835 mod 967
4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 18 mod 967
8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31093 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 402 mod 811
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 215 mod 811
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 809 mod 811
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 4 mod 811
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 811
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 811
31093
= 31064+16+8+4+1
= 31064⋅31016⋅3108⋅3104⋅3101
≡ 256 ⋅ 4 ⋅ 809 ⋅ 215 ⋅ 310 mod 811
≡ 1024 ⋅ 809 ⋅ 215 ⋅ 310 mod 811 ≡ 213 ⋅ 809 ⋅ 215 ⋅ 310 mod 811
≡ 172317 ⋅ 215 ⋅ 310 mod 811 ≡ 385 ⋅ 215 ⋅ 310 mod 811
≡ 82775 ⋅ 310 mod 811 ≡ 53 ⋅ 310 mod 811
≡ 16430 mod 811 ≡ 210 mod 811
Es gilt also: 31093 ≡ 210 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25
| =>71 | = 2⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 71-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25) = 6⋅71 -17⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25
oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅71 = -17⋅25
-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25
-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1
(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1
54⋅25 = 19⋅71 + 1
Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1
Somit 54⋅25 = 1 mod 71
54 ist also das Inverse von 25 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
