Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 - 15999) mod 4 ≡ (79 mod 4 - 15999 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

Somit gilt:

(79 - 15999) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 65) mod 10 ≡ (72 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 65) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 873¹=873

2: 873²=873¹⁺¹=873¹⋅873¹ ≡ 873⋅873=762129 ≡ 69 mod 977

4: 873⁴=873²⁺²=873²⋅873² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 853 mod 977

8: 873⁸=873⁴⁺⁴=873⁴⋅873⁴ ≡ 853⋅853=727609 ≡ 721 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

314²⁰⁷

= 314^{128+64+8+4+2+1}

= 314¹²⁸⋅314⁶⁴⋅314⁸⋅314⁴⋅314²⋅314¹

≡ 195 ⋅ 57 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
≡ 11115 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 426 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
≡ 54102 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 148 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
≡ 15392 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 122 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
≡ 43798 ⋅ 314 mod 509 ≡ 24 ⋅ 314 mod 509
≡ 7536 mod 509 ≡ 410 mod 509

Es gilt also: 314²⁰⁷ ≡ 410 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89