Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31999 - 792) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31999 - 792) mod 8 ≡ (31999 mod 8 - 792 mod 8) mod 8.
31999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31999
= 31000
792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792
= 800
Somit gilt:
(31999 - 792) mod 8 ≡ (7 - 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 42) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 42) mod 7 ≡ (100 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.
100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 42) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 272128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 557 mod 727
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 547 mod 727
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 412 mod 727
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 353 mod 727
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 292 mod 727
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 205 mod 727
128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 586 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29079 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 407 mod 659
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 240 mod 659
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 267 mod 659
16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 117 mod 659
32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 509 mod 659
64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 94 mod 659
29079
= 29064+8+4+2+1
= 29064⋅2908⋅2904⋅2902⋅2901
≡ 94 ⋅ 267 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 290 mod 659
≡ 25098 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 290 mod 659 ≡ 56 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 290 mod 659
≡ 13440 ⋅ 407 ⋅ 290 mod 659 ≡ 260 ⋅ 407 ⋅ 290 mod 659
≡ 105820 ⋅ 290 mod 659 ≡ 380 ⋅ 290 mod 659
≡ 110200 mod 659 ≡ 147 mod 659
Es gilt also: 29079 ≡ 147 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 71
| =>89 | = 1⋅71 + 18 |
| =>71 | = 3⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 71-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(71 -3⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅71 +3⋅ 18) = -1⋅71 +4⋅ 18 (=1) |
| 18= 89-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +4⋅(89 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +4⋅89 -4⋅ 71) = 4⋅89 -5⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,71)=1 = 4⋅89 -5⋅71
oder wenn man 4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅89 = -5⋅71
-5⋅71 = -4⋅89 + 1 |+89⋅71
-5⋅71 + 89⋅71 = -4⋅89 + 89⋅71 + 1
(-5 + 89) ⋅ 71 = (-4 + 71) ⋅ 89 + 1
84⋅71 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 84⋅71 = 67⋅89 +1
Somit 84⋅71 = 1 mod 89
84 ist also das Inverse von 71 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
