Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(269 + 17991) mod 9 ≡ (269 mod 9 + 17991 mod 9) mod 9.

269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269 = 270-1 = 9 ⋅ 30 -1 = 9 ⋅ 30 - 9 + 8.

17991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17991 = 18000-9 = 9 ⋅ 2000 -9 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(269 + 17991) mod 9 ≡ (8 + 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 61) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 61) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 113¹=113

2: 113²=113¹⁺¹=113¹⋅113¹ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 27 mod 277

4: 113⁴=113²⁺²=113²⋅113² ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277

8: 113⁸=113⁴⁺⁴=113⁴⋅113⁴ ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277

16: 113¹⁶=113⁸⁺⁸=113⁸⋅113⁸ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

490²³³

= 490^{128+64+32+8+1}

= 490¹²⁸⋅490⁶⁴⋅490³²⋅490⁸⋅490¹

≡ 217 ⋅ 541 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 117397 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677 ≡ 276 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 171120 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677 ≡ 516 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 129000 ⋅ 490 mod 677 ≡ 370 ⋅ 490 mod 677
≡ 181300 mod 677 ≡ 541 mod 677

Es gilt also: 490²³³ ≡ 541 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59