Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (368 + 275) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(368 + 275) mod 9 ≡ (368 mod 9 + 275 mod 9) mod 9.
368 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 368
= 360
275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275
= 270
Somit gilt:
(368 + 275) mod 9 ≡ (8 + 5) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 60) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 60) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7916 mod 211.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 79 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 791=79
2: 792=791+1=791⋅791 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 122 mod 211
4: 794=792+2=792⋅792 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 114 mod 211
8: 798=794+4=794⋅794 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211
16: 7916=798+8=798⋅798 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7867 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 781=78
2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 109 mod 239
4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 170 mod 239
8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 220 mod 239
16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 122 mod 239
32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 66 mod 239
64: 7864=7832+32=7832⋅7832 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 54 mod 239
7867
= 7864+2+1
= 7864⋅782⋅781
≡ 54 ⋅ 109 ⋅ 78 mod 239
≡ 5886 ⋅ 78 mod 239 ≡ 150 ⋅ 78 mod 239
≡ 11700 mod 239 ≡ 228 mod 239
Es gilt also: 7867 ≡ 228 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
