Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 - 800) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 - 800) mod 4 ≡ (19997 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.
19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
Somit gilt:
(19997 - 800) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 15) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 15) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 15 mod 4) mod 4.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 15) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 557128 mod 983.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 557 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5571=557
2: 5572=5571+1=5571⋅5571 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 604 mod 983
4: 5574=5572+2=5572⋅5572 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 123 mod 983
8: 5578=5574+4=5574⋅5574 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 384 mod 983
16: 55716=5578+8=5578⋅5578 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 6 mod 983
32: 55732=55716+16=55716⋅55716 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 983
64: 55764=55732+32=55732⋅55732 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 313 mod 983
128: 557128=55764+64=55764⋅55764 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 652 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45894 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 441 mod 479
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 7 mod 479
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 479
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 6 mod 479
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 479
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 338 mod 479
45894
= 45864+16+8+4+2
= 45864⋅45816⋅4588⋅4584⋅4582
≡ 338 ⋅ 6 ⋅ 49 ⋅ 7 ⋅ 441 mod 479
≡ 2028 ⋅ 49 ⋅ 7 ⋅ 441 mod 479 ≡ 112 ⋅ 49 ⋅ 7 ⋅ 441 mod 479
≡ 5488 ⋅ 7 ⋅ 441 mod 479 ≡ 219 ⋅ 7 ⋅ 441 mod 479
≡ 1533 ⋅ 441 mod 479 ≡ 96 ⋅ 441 mod 479
≡ 42336 mod 479 ≡ 184 mod 479
Es gilt also: 45894 ≡ 184 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 62
| =>71 | = 1⋅62 + 9 |
| =>62 | = 6⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 62-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(62 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅62 +6⋅ 9) = -1⋅62 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +7⋅(71 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +7⋅71 -7⋅ 62) = 7⋅71 -8⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,62)=1 = 7⋅71 -8⋅62
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -8⋅62
-8⋅62 = -7⋅71 + 1 |+71⋅62
-8⋅62 + 71⋅62 = -7⋅71 + 71⋅62 + 1
(-8 + 71) ⋅ 62 = (-7 + 62) ⋅ 71 + 1
63⋅62 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 63⋅62 = 55⋅71 +1
Somit 63⋅62 = 1 mod 71
63 ist also das Inverse von 62 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
