Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (134 + 3493) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(134 + 3493) mod 7 ≡ (134 mod 7 + 3493 mod 7) mod 7.
134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134
= 140
3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493
= 3500
Somit gilt:
(134 + 3493) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 77) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 77) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8638 mod 907.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 863 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8631=863
2: 8632=8631+1=8631⋅8631 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 122 mod 907
4: 8634=8632+2=8632⋅8632 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 372 mod 907
8: 8638=8634+4=8634⋅8634 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 520 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 571104 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 5711=571
2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 250 mod 683
4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 347 mod 683
8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 201 mod 683
16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 104 mod 683
32: 57132=57116+16=57116⋅57116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 571 mod 683
64: 57164=57132+32=57132⋅57132 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 250 mod 683
571104
= 57164+32+8
= 57164⋅57132⋅5718
≡ 250 ⋅ 571 ⋅ 201 mod 683
≡ 142750 ⋅ 201 mod 683 ≡ 3 ⋅ 201 mod 683
≡ 603 mod 683
Es gilt also: 571104 ≡ 603 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 67
| =>97 | = 1⋅67 + 30 |
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
| 30= 97-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅67 -29⋅(97 -1⋅ 67)
= 13⋅67 -29⋅97 +29⋅ 67) = -29⋅97 +42⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,67)=1 = -29⋅97 +42⋅67
oder wenn man -29⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +29⋅97 = +42⋅67
Es gilt also: 42⋅67 = 29⋅97 +1
Somit 42⋅67 = 1 mod 97
42 ist also das Inverse von 67 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
