Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 - 24006) mod 6 ≡ (6003 mod 6 - 24006 mod 6) mod 6.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(6003 - 24006) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 70) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 70 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 70) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 486¹=486

2: 486²=486¹⁺¹=486¹⋅486¹ ≡ 486⋅486=236196 ≡ 12 mod 757

4: 486⁴=486²⁺²=486²⋅486² ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 757

8: 486⁸=486⁴⁺⁴=486⁴⋅486⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 297 mod 757

16: 486¹⁶=486⁸⁺⁸=486⁸⋅486⁸ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 397 mod 757

32: 486³²=486¹⁶⁺¹⁶=486¹⁶⋅486¹⁶ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 153 mod 757

64: 486⁶⁴=486³²⁺³²=486³²⋅486³² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 699 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

269⁶³

= 269^{32+16+8+4+2+1}

= 269³²⋅269¹⁶⋅269⁸⋅269⁴⋅269²⋅269¹

≡ 148 ⋅ 272 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
≡ 40256 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 115 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
≡ 4370 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 268 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
≡ 26800 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 137 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
≡ 38771 ⋅ 269 mod 293 ≡ 95 ⋅ 269 mod 293
≡ 25555 mod 293 ≡ 64 mod 293

Es gilt also: 269⁶³ ≡ 64 mod 293

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67	= 1⋅50 + 17
=>50	= 2⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50) = -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67