Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1405 + 7004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1405 + 7004) mod 7 ≡ (1405 mod 7 + 7004 mod 7) mod 7.
1405 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1405
= 1400
7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004
= 7000
Somit gilt:
(1405 + 7004) mod 7 ≡ (5 + 4) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 63) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 63) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 63) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44716 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 698 mod 787
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 51 mod 787
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 240 mod 787
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 149 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253183 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 222 mod 281
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 109 mod 281
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 109 mod 281
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281
128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281
253183
= 253128+32+16+4+2+1
= 253128⋅25332⋅25316⋅2534⋅2532⋅2531
≡ 59 ⋅ 109 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 6431 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 249 ⋅ 59 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 14691 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 79 ⋅ 109 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 8611 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281 ≡ 181 ⋅ 222 ⋅ 253 mod 281
≡ 40182 ⋅ 253 mod 281 ≡ 280 ⋅ 253 mod 281
≡ 70840 mod 281 ≡ 28 mod 281
Es gilt also: 253183 ≡ 28 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
