Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23995 + 238) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23995 + 238) mod 6 ≡ (23995 mod 6 + 238 mod 6) mod 6.
23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995
= 24000
238 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238
= 240
Somit gilt:
(23995 + 238) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 19) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 19) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 19 mod 6) mod 6.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 19) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48564 mod 733.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 485 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 665 mod 733
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 226 mod 733
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 499 mod 733
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 514 mod 733
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 316 mod 733
64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 168 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 954130 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 9541=954
2: 9542=9541+1=9541⋅9541 ≡ 954⋅954=910116 ≡ 852 mod 997
4: 9544=9542+2=9542⋅9542 ≡ 852⋅852=725904 ≡ 88 mod 997
8: 9548=9544+4=9544⋅9544 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 765 mod 997
16: 95416=9548+8=9548⋅9548 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 983 mod 997
32: 95432=95416+16=95416⋅95416 ≡ 983⋅983=966289 ≡ 196 mod 997
64: 95464=95432+32=95432⋅95432 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 530 mod 997
128: 954128=95464+64=95464⋅95464 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 743 mod 997
954130
= 954128+2
= 954128⋅9542
≡ 743 ⋅ 852 mod 997
≡ 633036 mod 997 ≡ 938 mod 997
Es gilt also: 954130 ≡ 938 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35
| =>53 | = 1⋅35 + 18 |
| =>35 | = 1⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 35-1⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1) |
| 18= 53-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -3⋅35
-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35
-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1
(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1
50⋅35 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1
Somit 50⋅35 = 1 mod 53
50 ist also das Inverse von 35 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
