Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 - 799) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 - 799) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 799 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799
= 700
Somit gilt:
(84 - 799) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 86) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 86) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 86) mod 10 ≡ (0 ⋅ 6) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18232 mod 251.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 243 mod 251
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 64 mod 251
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 80 mod 251
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 416205 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 4161=416
2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 398 mod 659
4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 244 mod 659
8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 226 mod 659
16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 333 mod 659
32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 177 mod 659
64: 41664=41632+32=41632⋅41632 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 356 mod 659
128: 416128=41664+64=41664⋅41664 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 208 mod 659
416205
= 416128+64+8+4+1
= 416128⋅41664⋅4168⋅4164⋅4161
≡ 208 ⋅ 356 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 74048 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659 ≡ 240 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 54240 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659 ≡ 202 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 49288 ⋅ 416 mod 659 ≡ 522 ⋅ 416 mod 659
≡ 217152 mod 659 ≡ 341 mod 659
Es gilt also: 416205 ≡ 341 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
