Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3504 - 3500) mod 7 ≡ (3504 mod 7 - 3500 mod 7) mod 7.

3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504 = 3500+4 = 7 ⋅ 500 +4.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(3504 - 3500) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 81) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 81) mod 11 ≡ (10 ⋅ 4) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 906¹=906

2: 906²=906¹⁺¹=906¹⋅906¹ ≡ 906⋅906=820836 ≡ 529 mod 929

4: 906⁴=906²⁺²=906²⋅906² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 212 mod 929

8: 906⁸=906⁴⁺⁴=906⁴⋅906⁴ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 352 mod 929

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

653¹⁸⁹

= 653^{128+32+16+8+4+1}

= 653¹²⁸⋅653³²⋅653¹⁶⋅653⁸⋅653⁴⋅653¹

≡ 556 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
≡ 395316 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 10 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
≡ 2130 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 476 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
≡ 198016 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 363 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
≡ 46101 ⋅ 653 mod 827 ≡ 616 ⋅ 653 mod 827
≡ 402248 mod 827 ≡ 326 mod 827

Es gilt also: 653¹⁸⁹ ≡ 326 mod 827

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57

=>67	= 1⋅57 + 10
=>57	= 5⋅10 + 7
=>10	= 1⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,57)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 57-5⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10) = -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10) = 3⋅57 -17⋅ 10 (=1)
10= 67-1⋅57	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57) = 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57) = -17⋅67 +20⋅ 57 (=1)

Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +20⋅57

Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1

Somit 20⋅57 = 1 mod 67

20 ist also das Inverse von 57 mod 67