Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (210 - 14007) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(210 - 14007) mod 7 ≡ (210 mod 7 - 14007 mod 7) mod 7.
210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210
= 210
14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007
= 14000
Somit gilt:
(210 - 14007) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 56) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 56) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32432 mod 383.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 34 mod 383
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 7 mod 383
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 383
16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 103 mod 383
32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 268 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13163 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:
63 = 32+16+8+4+2+1
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 276 mod 307
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 40 mod 307
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 65 mod 307
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 234 mod 307
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 110 mod 307
13163
= 13132+16+8+4+2+1
= 13132⋅13116⋅1318⋅1314⋅1312⋅1311
≡ 110 ⋅ 234 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 25740 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 259 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 16835 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 257 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 10280 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 149 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 41124 ⋅ 131 mod 307 ≡ 293 ⋅ 131 mod 307
≡ 38383 mod 307 ≡ 8 mod 307
Es gilt also: 13163 ≡ 8 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38
| =>67 | = 1⋅38 + 29 |
| =>38 | = 1⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 38-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1) |
| 29= 67-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +30⋅38
Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1
Somit 30⋅38 = 1 mod 67
30 ist also das Inverse von 38 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
