Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 - 1197) mod 3 ≡ (9003 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9003 - 1197) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 36) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 36) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 794¹=794

2: 794²=794¹⁺¹=794¹⋅794¹ ≡ 794⋅794=630436 ≡ 503 mod 953

4: 794⁴=794²⁺²=794²⋅794² ≡ 503⋅503=253009 ≡ 464 mod 953

8: 794⁸=794⁴⁺⁴=794⁴⋅794⁴ ≡ 464⋅464=215296 ≡ 871 mod 953

16: 794¹⁶=794⁸⁺⁸=794⁸⋅794⁸ ≡ 871⋅871=758641 ≡ 53 mod 953

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

350¹⁸⁵

= 350^{128+32+16+8+1}

= 350¹²⁸⋅350³²⋅350¹⁶⋅350⁸⋅350¹

≡ 296 ⋅ 208 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 61568 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367 ≡ 279 ⋅ 274 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 76446 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367 ≡ 110 ⋅ 170 ⋅ 350 mod 367
≡ 18700 ⋅ 350 mod 367 ≡ 350 ⋅ 350 mod 367
≡ 122500 mod 367 ≡ 289 mod 367

Es gilt also: 350¹⁸⁵ ≡ 289 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28

=>89	= 3⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 89-3⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +35⋅28

Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1

Somit 35⋅28 = 1 mod 89

35 ist also das Inverse von 28 mod 89