Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (119 - 12001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(119 - 12001) mod 3 ≡ (119 mod 3 - 12001 mod 3) mod 3.
119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(119 - 12001) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 74) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 74) mod 9 ≡ (69 mod 9 ⋅ 74 mod 9) mod 9.
69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.
74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 74) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44232 mod 719.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 442 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 515 mod 719
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 633 mod 719
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 206 mod 719
16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 15 mod 719
32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 211139 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 107 mod 419
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 136 mod 419
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 60 mod 419
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 248 mod 419
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 330 mod 419
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 379 mod 419
128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 343 mod 419
211139
= 211128+8+2+1
= 211128⋅2118⋅2112⋅2111
≡ 343 ⋅ 60 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419
≡ 20580 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419 ≡ 49 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419
≡ 5243 ⋅ 211 mod 419 ≡ 215 ⋅ 211 mod 419
≡ 45365 mod 419 ≡ 113 mod 419
Es gilt also: 211139 ≡ 113 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
