Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (321 + 242) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(321 + 242) mod 8 ≡ (321 mod 8 + 242 mod 8) mod 8.
321 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 321
= 320
242 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242
= 240
Somit gilt:
(321 + 242) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 41) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 41) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 41 mod 4) mod 4.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 41) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 257128 mod 349.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 88 mod 349
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 66 mod 349
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 168 mod 349
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 304 mod 349
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 280 mod 349
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 224 mod 349
128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 269 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37473 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 235 mod 523
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 310 mod 523
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 391 mod 523
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 165 mod 523
32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 29 mod 523
64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 29⋅29=841 ≡ 318 mod 523
37473
= 37464+8+1
= 37464⋅3748⋅3741
≡ 318 ⋅ 391 ⋅ 374 mod 523
≡ 124338 ⋅ 374 mod 523 ≡ 387 ⋅ 374 mod 523
≡ 144738 mod 523 ≡ 390 mod 523
Es gilt also: 37473 ≡ 390 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 55
| =>101 | = 1⋅55 + 46 |
| =>55 | = 1⋅46 + 9 |
| =>46 | = 5⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-5⋅9 | |||
| 9= 55-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -5⋅(55 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -5⋅55 +5⋅ 46) = -5⋅55 +6⋅ 46 (=1) |
| 46= 101-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅55 +6⋅(101 -1⋅ 55)
= -5⋅55 +6⋅101 -6⋅ 55) = 6⋅101 -11⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,55)=1 = 6⋅101 -11⋅55
oder wenn man 6⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅101 = -11⋅55
-11⋅55 = -6⋅101 + 1 |+101⋅55
-11⋅55 + 101⋅55 = -6⋅101 + 101⋅55 + 1
(-11 + 101) ⋅ 55 = (-6 + 55) ⋅ 101 + 1
90⋅55 = 49⋅101 + 1
Es gilt also: 90⋅55 = 49⋅101 +1
Somit 90⋅55 = 1 mod 101
90 ist also das Inverse von 55 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
