Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(145 + 505) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 505 mod 5) mod 5.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505 = 500+5 = 5 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(145 + 505) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 89) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 89) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 842¹=842

2: 842²=842¹⁺¹=842¹⋅842¹ ≡ 842⋅842=708964 ≡ 251 mod 887

4: 842⁴=842²⁺²=842²⋅842² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 24 mod 887

8: 842⁸=842⁴⁺⁴=842⁴⋅842⁴ ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 887

16: 842¹⁶=842⁸⁺⁸=842⁸⋅842⁸ ≡ 576⋅576=331776 ≡ 38 mod 887

32: 842³²=842¹⁶⁺¹⁶=842¹⁶⋅842¹⁶ ≡ 38⋅38=1444 ≡ 557 mod 887

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

700¹⁷¹

= 700^128+32+8+2+1

= 700¹²⁸⋅700³²⋅700⁸⋅700²⋅700¹

≡ 178 ⋅ 729 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 129762 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823 ≡ 551 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 330049 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823 ≡ 26 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 8190 ⋅ 700 mod 823 ≡ 783 ⋅ 700 mod 823
≡ 548100 mod 823 ≡ 805 mod 823

Es gilt also: 700¹⁷¹ ≡ 805 mod 823

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75

=>89	= 1⋅75 + 14
=>75	= 5⋅14 + 5
=>14	= 2⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 75-5⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14) = -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1)
14= 89-1⋅75	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75) = 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75

oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅89 = +19⋅75

Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1

Somit 19⋅75 = 1 mod 89

19 ist also das Inverse von 75 mod 89