Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36003 + 36006) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36003 + 36006) mod 9 ≡ (36003 mod 9 + 36006 mod 9) mod 9.

36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003 = 36000+3 = 9 ⋅ 4000 +3.

36006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36006 = 36000+6 = 9 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(36003 + 36006) mod 9 ≡ (3 + 6) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 40) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 40) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 40) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18032 mod 409.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 180 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1801=180

2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 409

32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 25⋅25=625 ≡ 216 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230110 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 147 mod 743

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 62 mod 743

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 129 mod 743

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 295 mod 743

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 94 mod 743

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 663 mod 743

230110

= 23064+32+8+4+2

= 23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2302

663 ⋅ 94 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
62322 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743 ≡ 653 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
84237 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743 ≡ 278 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
17236 ⋅ 147 mod 743 ≡ 147 ⋅ 147 mod 743
21609 mod 743 ≡ 62 mod 743

Es gilt also: 230110 ≡ 62 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.