Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (394 + 804) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(394 + 804) mod 8 ≡ (394 mod 8 + 804 mod 8) mod 8.
394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 394
= 400
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(394 + 804) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 57) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 57) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 57 mod 8) mod 8.
99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.
57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 57) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2578 mod 619.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 435 mod 619
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 430 mod 619
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 438 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 432208 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 422 mod 593
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 184 mod 593
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 55 mod 593
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 60 mod 593
32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 42 mod 593
64: 43264=43232+32=43232⋅43232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 578 mod 593
128: 432128=43264+64=43264⋅43264 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 225 mod 593
432208
= 432128+64+16
= 432128⋅43264⋅43216
≡ 225 ⋅ 578 ⋅ 60 mod 593
≡ 130050 ⋅ 60 mod 593 ≡ 183 ⋅ 60 mod 593
≡ 10980 mod 593 ≡ 306 mod 593
Es gilt also: 432208 ≡ 306 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
