Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 + 12001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 + 12001) mod 3 ≡ (123 mod 3 + 12001 mod 3) mod 3.
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(123 + 12001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 79) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 79) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 79 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 79) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4758 mod 547.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4751=475
2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 261 mod 547
4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 293 mod 547
8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 517 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18873 mod 281.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 219 mod 281
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 191 mod 281
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 232 mod 281
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 153 mod 281
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 86 mod 281
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 90 mod 281
18873
= 18864+8+1
= 18864⋅1888⋅1881
≡ 90 ⋅ 232 ⋅ 188 mod 281
≡ 20880 ⋅ 188 mod 281 ≡ 86 ⋅ 188 mod 281
≡ 16168 mod 281 ≡ 151 mod 281
Es gilt also: 18873 ≡ 151 mod 281
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29
| =>67 | = 2⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29) = 13⋅67 -30⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -30⋅29
-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29
-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1
(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1
37⋅29 = 16⋅67 + 1
Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1
Somit 37⋅29 = 1 mod 67
37 ist also das Inverse von 29 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
