Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14998 + 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14998 + 150) mod 5 ≡ (14998 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.
14998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998
= 14000
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(14998 + 150) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 93) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 691.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 419 mod 691
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 47 mod 691
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 136 mod 691
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 530 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 397174 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 3971=397
2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 798 mod 821
4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 529 mod 821
8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 701 mod 821
16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 443 mod 821
32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 30 mod 821
64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 30⋅30=900 ≡ 79 mod 821
128: 397128=39764+64=39764⋅39764 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 494 mod 821
397174
= 397128+32+8+4+2
= 397128⋅39732⋅3978⋅3974⋅3972
≡ 494 ⋅ 30 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 14820 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821 ≡ 42 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 29442 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821 ≡ 707 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 374003 ⋅ 798 mod 821 ≡ 448 ⋅ 798 mod 821
≡ 357504 mod 821 ≡ 369 mod 821
Es gilt also: 397174 ≡ 369 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38
| =>67 | = 1⋅38 + 29 |
| =>38 | = 1⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 38-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1) |
| 29= 67-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +30⋅38
Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1
Somit 30⋅38 = 1 mod 67
30 ist also das Inverse von 38 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
