Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13994 - 282) mod 7 ≡ (13994 mod 7 - 282 mod 7) mod 7.

13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994 = 14000-6 = 7 ⋅ 2000 -6 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 1.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(13994 - 282) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 38) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 38 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 38) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 671¹=671

2: 671²=671¹⁺¹=671¹⋅671¹ ≡ 671⋅671=450241 ≡ 392 mod 751

4: 671⁴=671²⁺²=671²⋅671² ≡ 392⋅392=153664 ≡ 460 mod 751

8: 671⁸=671⁴⁺⁴=671⁴⋅671⁴ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 569 mod 751

16: 671¹⁶=671⁸⁺⁸=671⁸⋅671⁸ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 80 mod 751

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

505¹⁸⁷

= 505^{128+32+16+8+2+1}

= 505¹²⁸⋅505³²⋅505¹⁶⋅505⁸⋅505²⋅505¹

≡ 64 ⋅ 381 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 24384 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 54 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 25056 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 726 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 389862 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 582 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 215922 ⋅ 505 mod 811 ≡ 196 ⋅ 505 mod 811
≡ 98980 mod 811 ≡ 38 mod 811

Es gilt also: 505¹⁸⁷ ≡ 38 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79