Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14998 - 1197) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 - 1197) mod 3 ≡ (14998 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(14998 - 1197) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 99) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 99) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 99) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23864 mod 577.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 98 mod 577

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 372 mod 577

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 481 mod 577

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 561 mod 577

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 256 mod 577

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 347110 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 3471=347

2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 43 mod 743

4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 363 mod 743

8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 258 mod 743

16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 437 mod 743

32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 18 mod 743

64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 743

347110

= 34764+32+8+4+2

= 34764⋅34732⋅3478⋅3474⋅3472

324 ⋅ 18 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
5832 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743 ≡ 631 ⋅ 258 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
162798 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743 ≡ 81 ⋅ 363 ⋅ 43 mod 743
29403 ⋅ 43 mod 743 ≡ 426 ⋅ 43 mod 743
18318 mod 743 ≡ 486 mod 743

Es gilt also: 347110 ≡ 486 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.

Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75

=>89 = 1⋅75 + 14
=>75 = 5⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,75)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 75-5⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14)
= 3⋅75 -16⋅ 14 (=1)
14= 89-1⋅75 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75)
= -16⋅89 +19⋅ 75 (=1)

Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75

oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅89 = +19⋅75

Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1

Somit 19⋅75 = 1 mod 89

19 ist also das Inverse von 75 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.