Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 + 1500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 + 1500) mod 5 ≡ (1999 mod 5 + 1500 mod 5) mod 5.
1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
Somit gilt:
(1999 + 1500) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 15) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 15) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 15) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29916 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 299 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 611 mod 683
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 403 mod 683
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 538 mod 683
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 535 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14490 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 184 mod 367
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 92 mod 367
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 23 mod 367
16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 23⋅23=529 ≡ 162 mod 367
32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 187 mod 367
64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 104 mod 367
14490
= 14464+16+8+2
= 14464⋅14416⋅1448⋅1442
≡ 104 ⋅ 162 ⋅ 23 ⋅ 184 mod 367
≡ 16848 ⋅ 23 ⋅ 184 mod 367 ≡ 333 ⋅ 23 ⋅ 184 mod 367
≡ 7659 ⋅ 184 mod 367 ≡ 319 ⋅ 184 mod 367
≡ 58696 mod 367 ≡ 343 mod 367
Es gilt also: 14490 ≡ 343 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47
| =>73 | = 1⋅47 + 26 |
| =>47 | = 1⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 47-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1) |
| 26= 73-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47
oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅73 = +14⋅47
Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1
Somit 14⋅47 = 1 mod 73
14 ist also das Inverse von 47 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
