Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (799 + 20001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 76) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 76) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 76 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 76) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37264 mod 461.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 372 -> x
2. mod(x²,461) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 84 mod 461

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 141 mod 461

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 58 mod 461

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 137 mod 461

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 329 mod 461

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 168221 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 1681=168

2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 209 mod 431

4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 150 mod 431

8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 88 mod 431

16: 16816=1688+8=1688⋅1688 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 417 mod 431

32: 16832=16816+16=16816⋅16816 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 196 mod 431

64: 16864=16832+32=16832⋅16832 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 57 mod 431

128: 168128=16864+64=16864⋅16864 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431

168221

= 168128+64+16+8+4+1

= 168128⋅16864⋅16816⋅1688⋅1684⋅1681

232 ⋅ 57 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
13224 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 294 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
122598 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 194 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
17072 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 263 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
39450 ⋅ 168 mod 431 ≡ 229 ⋅ 168 mod 431
38472 mod 431 ≡ 113 mod 431

Es gilt also: 168221 ≡ 113 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31

=>97 = 3⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 97-3⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31)
= 8⋅97 -25⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31

oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅97 = -25⋅31

-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31

-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1

(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1

72⋅31 = 23⋅97 + 1

Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1

Somit 72⋅31 = 1 mod 97

72 ist also das Inverse von 31 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.