Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8001 + 1198) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8001 + 1198) mod 4 ≡ (8001 mod 4 + 1198 mod 4) mod 4.
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1100
Somit gilt:
(8001 + 1198) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 78) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 78) mod 8 ≡ (81 mod 8 ⋅ 78 mod 8) mod 8.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 78) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33732 mod 397.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 27 mod 397
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 27⋅27=729 ≡ 332 mod 397
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 255 mod 397
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 314 mod 397
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 672149 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 6721=672
2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 608 mod 829
4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 759 mod 829
8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 755 mod 829
16: 67216=6728+8=6728⋅6728 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 502 mod 829
32: 67232=67216+16=67216⋅67216 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 817 mod 829
64: 67264=67232+32=67232⋅67232 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 144 mod 829
128: 672128=67264+64=67264⋅67264 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 11 mod 829
672149
= 672128+16+4+1
= 672128⋅67216⋅6724⋅6721
≡ 11 ⋅ 502 ⋅ 759 ⋅ 672 mod 829
≡ 5522 ⋅ 759 ⋅ 672 mod 829 ≡ 548 ⋅ 759 ⋅ 672 mod 829
≡ 415932 ⋅ 672 mod 829 ≡ 603 ⋅ 672 mod 829
≡ 405216 mod 829 ≡ 664 mod 829
Es gilt also: 672149 ≡ 664 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 75
| =>97 | = 1⋅75 + 22 |
| =>75 | = 3⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 75-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(75 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅75 -15⋅ 22) = 5⋅75 -17⋅ 22 (=1) |
| 22= 97-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅75 -17⋅(97 -1⋅ 75)
= 5⋅75 -17⋅97 +17⋅ 75) = -17⋅97 +22⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,75)=1 = -17⋅97 +22⋅75
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +22⋅75
Es gilt also: 22⋅75 = 17⋅97 +1
Somit 22⋅75 = 1 mod 97
22 ist also das Inverse von 75 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
