Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 15997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 15997) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 15997 mod 4) mod 4.
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
Somit gilt:
(122 - 15997) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 56) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 56) mod 3 ≡ (30 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1438 mod 281.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 217 mod 281
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 162 mod 281
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 303160 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 122 mod 331
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 320 mod 331
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 121 mod 331
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 77 mod 331
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 302 mod 331
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 179 mod 331
128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 265 mod 331
303160
= 303128+32
= 303128⋅30332
≡ 265 ⋅ 302 mod 331
≡ 80030 mod 331 ≡ 259 mod 331
Es gilt also: 303160 ≡ 259 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
