Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24006 - 18003) mod 6 ≡ (24006 mod 6 - 18003 mod 6) mod 6.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

18003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003 = 18000+3 = 6 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(24006 - 18003) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 82) mod 9 ≡ (65 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.

65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 82) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 631¹=631

2: 631²=631¹⁺¹=631¹⋅631¹ ≡ 631⋅631=398161 ≡ 554 mod 719

4: 631⁴=631²⁺²=631²⋅631² ≡ 554⋅554=306916 ≡ 622 mod 719

8: 631⁸=631⁴⁺⁴=631⁴⋅631⁴ ≡ 622⋅622=386884 ≡ 62 mod 719

16: 631¹⁶=631⁸⁺⁸=631⁸⋅631⁸ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 249 mod 719

32: 631³²=631¹⁶⁺¹⁶=631¹⁶⋅631¹⁶ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 167 mod 719

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

139²⁰³

= 139^128+64+8+2+1

= 139¹²⁸⋅139⁶⁴⋅139⁸⋅139²⋅139¹

≡ 306 ⋅ 105 ⋅ 348 ⋅ 265 ⋅ 139 mod 397
≡ 32130 ⋅ 348 ⋅ 265 ⋅ 139 mod 397 ≡ 370 ⋅ 348 ⋅ 265 ⋅ 139 mod 397
≡ 128760 ⋅ 265 ⋅ 139 mod 397 ≡ 132 ⋅ 265 ⋅ 139 mod 397
≡ 34980 ⋅ 139 mod 397 ≡ 44 ⋅ 139 mod 397
≡ 6116 mod 397 ≡ 161 mod 397

Es gilt also: 139²⁰³ ≡ 161 mod 397

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101	= 2⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101