Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 + 3001) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(60 + 3001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 26) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 26 mod 7) mod 7.

42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 26) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 646¹=646

2: 646²=646¹⁺¹=646¹⋅646¹ ≡ 646⋅646=417316 ≡ 333 mod 839

4: 646⁴=646²⁺²=646²⋅646² ≡ 333⋅333=110889 ≡ 141 mod 839

8: 646⁸=646⁴⁺⁴=646⁴⋅646⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 584 mod 839

16: 646¹⁶=646⁸⁺⁸=646⁸⋅646⁸ ≡ 584⋅584=341056 ≡ 422 mod 839

32: 646³²=646¹⁶⁺¹⁶=646¹⁶⋅646¹⁶ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 216 mod 839

64: 646⁶⁴=646³²⁺³²=646³²⋅646³² ≡ 216⋅216=46656 ≡ 511 mod 839

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

344¹¹⁵

= 344^64+32+16+2+1

= 344⁶⁴⋅344³²⋅344¹⁶⋅344²⋅344¹

≡ 305 ⋅ 244 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 74420 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971 ≡ 624 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 411216 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971 ≡ 483 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 408135 ⋅ 344 mod 971 ≡ 315 ⋅ 344 mod 971
≡ 108360 mod 971 ≡ 579 mod 971

Es gilt also: 344¹¹⁵ ≡ 579 mod 971

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59	= 1⋅31 + 28
=>31	= 1⋅28 + 3
=>28	= 9⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28) = 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31) = -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59