Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3202 + 239) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3202 + 239) mod 8 ≡ (3202 mod 8 + 239 mod 8) mod 8.

3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202 = 3200+2 = 8 ⋅ 400 +2.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

Somit gilt:

(3202 + 239) mod 8 ≡ (2 + 7) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 22) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 22) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 22) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34132 mod 977.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 18 mod 977

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 977

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 437 mod 977

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 454 mod 977

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 946 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26681 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 146 mod 307

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 133 mod 307

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 190 mod 307

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 181 mod 307

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307

26681

= 26664+16+1

= 26664⋅26616⋅2661

69 ⋅ 181 ⋅ 266 mod 307
12489 ⋅ 266 mod 307 ≡ 209 ⋅ 266 mod 307
55594 mod 307 ≡ 27 mod 307

Es gilt also: 26681 ≡ 27 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71 = 3⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22)
= 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.