Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 - 119) mod 4 ≡ (124 mod 4 - 119 mod 4) mod 4.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 4 ⋅ 30 -1 = 4 ⋅ 30 - 4 + 3.

Somit gilt:

(124 - 119) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 98) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 98 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 98) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 607 mod 619

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 607⋅607=368449 ≡ 144 mod 619

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 309 mod 619

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 155 mod 619

32: 228³²=228¹⁶⁺¹⁶=228¹⁶⋅228¹⁶ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 503 mod 619

64: 228⁶⁴=228³²⁺³²=228³²⋅228³² ≡ 503⋅503=253009 ≡ 457 mod 619

128: 228¹²⁸=228⁶⁴⁺⁶⁴=228⁶⁴⋅228⁶⁴ ≡ 457⋅457=208849 ≡ 246 mod 619

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

251⁸¹

= 251^64+16+1

= 251⁶⁴⋅251¹⁶⋅251¹

≡ 702 ⋅ 353 ⋅ 251 mod 827
≡ 247806 ⋅ 251 mod 827 ≡ 533 ⋅ 251 mod 827
≡ 133783 mod 827 ≡ 636 mod 827

Es gilt also: 251⁸¹ ≡ 636 mod 827

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67