Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(996 + 998) mod 5 ≡ (996 mod 5 + 998 mod 5) mod 5.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

Somit gilt:

(996 + 998) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 40) mod 7 ≡ (46 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 40) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 277¹=277

2: 277²=277¹⁺¹=277¹⋅277¹ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 328 mod 653

4: 277⁴=277²⁺²=277²⋅277² ≡ 328⋅328=107584 ≡ 492 mod 653

8: 277⁸=277⁴⁺⁴=277⁴⋅277⁴ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 454 mod 653

16: 277¹⁶=277⁸⁺⁸=277⁸⋅277⁸ ≡ 454⋅454=206116 ≡ 421 mod 653

32: 277³²=277¹⁶⁺¹⁶=277¹⁶⋅277¹⁶ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 278 mod 653

64: 277⁶⁴=277³²⁺³²=277³²⋅277³² ≡ 278⋅278=77284 ≡ 230 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

78¹⁵⁷

= 78^128+16+8+4+1

= 78¹²⁸⋅78¹⁶⋅78⁸⋅78⁴⋅78¹

≡ 141 ⋅ 102 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
≡ 14382 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227 ≡ 81 ⋅ 97 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
≡ 7857 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227 ≡ 139 ⋅ 209 ⋅ 78 mod 227
≡ 29051 ⋅ 78 mod 227 ≡ 222 ⋅ 78 mod 227
≡ 17316 mod 227 ≡ 64 mod 227

Es gilt also: 78¹⁵⁷ ≡ 64 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24

=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -27⋅24

-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24

-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1

(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1

32⋅24 = 13⋅59 + 1

Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1

Somit 32⋅24 = 1 mod 59

32 ist also das Inverse von 24 mod 59