Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(154 - 248) mod 8 ≡ (154 mod 8 - 248 mod 8) mod 8.

154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 160-6 = 8 ⋅ 20 -6 = 8 ⋅ 20 - 8 + 2.

248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 8 ⋅ 30 +8.

Somit gilt:

(154 - 248) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 87) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 87) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 673¹=673

2: 673²=673¹⁺¹=673¹⋅673¹ ≡ 673⋅673=452929 ≡ 558 mod 821

4: 673⁴=673²⁺²=673²⋅673² ≡ 558⋅558=311364 ≡ 205 mod 821

8: 673⁸=673⁴⁺⁴=673⁴⋅673⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 154 mod 821

16: 673¹⁶=673⁸⁺⁸=673⁸⋅673⁸ ≡ 154⋅154=23716 ≡ 728 mod 821

32: 673³²=673¹⁶⁺¹⁶=673¹⁶⋅673¹⁶ ≡ 728⋅728=529984 ≡ 439 mod 821

64: 673⁶⁴=673³²⁺³²=673³²⋅673³² ≡ 439⋅439=192721 ≡ 607 mod 821

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

515¹⁸⁸

= 515^{128+32+16+8+4}

= 515¹²⁸⋅515³²⋅515¹⁶⋅515⁸⋅515⁴

≡ 182 ⋅ 350 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
≡ 63700 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727 ≡ 451 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
≡ 283228 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727 ≡ 425 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
≡ 22525 ⋅ 179 mod 727 ≡ 715 ⋅ 179 mod 727
≡ 127985 mod 727 ≡ 33 mod 727

Es gilt also: 515¹⁸⁸ ≡ 33 mod 727

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79