Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24005 + 2406) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24005 + 2406) mod 6 ≡ (24005 mod 6 + 2406 mod 6) mod 6.
24005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
Somit gilt:
(24005 + 2406) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 81) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 81) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 81 mod 6) mod 6.
88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 81) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 72916 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 729 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7291=729
2: 7292=7291+1=7291⋅7291 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 737 mod 809
4: 7294=7292+2=7292⋅7292 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 330 mod 809
8: 7298=7294+4=7294⋅7294 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809
16: 72916=7298+8=7298⋅7298 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 88076 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 8801=880
2: 8802=8801+1=8801⋅8801 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 779 mod 983
4: 8804=8802+2=8802⋅8802 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 330 mod 983
8: 8808=8804+4=8804⋅8804 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 770 mod 983
16: 88016=8808+8=8808⋅8808 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 151 mod 983
32: 88032=88016+16=88016⋅88016 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 192 mod 983
64: 88064=88032+32=88032⋅88032 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 493 mod 983
88076
= 88064+8+4
= 88064⋅8808⋅8804
≡ 493 ⋅ 770 ⋅ 330 mod 983
≡ 379610 ⋅ 330 mod 983 ≡ 172 ⋅ 330 mod 983
≡ 56760 mod 983 ≡ 729 mod 983
Es gilt also: 88076 ≡ 729 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 67
| =>83 | = 1⋅67 + 16 |
| =>67 | = 4⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 67-4⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(67 -4⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅67 +20⋅ 16) = -5⋅67 +21⋅ 16 (=1) |
| 16= 83-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅67 +21⋅(83 -1⋅ 67)
= -5⋅67 +21⋅83 -21⋅ 67) = 21⋅83 -26⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,67)=1 = 21⋅83 -26⋅67
oder wenn man 21⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -21⋅83 = -26⋅67
-26⋅67 = -21⋅83 + 1 |+83⋅67
-26⋅67 + 83⋅67 = -21⋅83 + 83⋅67 + 1
(-26 + 83) ⋅ 67 = (-21 + 67) ⋅ 83 + 1
57⋅67 = 46⋅83 + 1
Es gilt also: 57⋅67 = 46⋅83 +1
Somit 57⋅67 = 1 mod 83
57 ist also das Inverse von 67 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
