Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2496 - 5003) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2496 - 5003) mod 5 ≡ (2496 mod 5 - 5003 mod 5) mod 5.
2496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2496
= 2400
5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003
= 5000
Somit gilt:
(2496 - 5003) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 68) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 68) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67216 mod 797.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6721=672
2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 482 mod 797
4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 397 mod 797
8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 600 mod 797
16: 67216=6728+8=6728⋅6728 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 553 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36480 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 423 mod 457
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 242 mod 457
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 68 mod 457
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 54 mod 457
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 174 mod 457
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 114 mod 457
36480
= 36464+16
= 36464⋅36416
≡ 114 ⋅ 54 mod 457
≡ 6156 mod 457 ≡ 215 mod 457
Es gilt also: 36480 ≡ 215 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
