Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1796 - 1205) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1796 - 1205) mod 6 ≡ (1796 mod 6 - 1205 mod 6) mod 6.
1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205
= 1200
Somit gilt:
(1796 - 1205) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 38) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 38) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36016 mod 877.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3601=360
2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 681 mod 877
4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 705 mod 877
8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 643 mod 877
16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 382 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 311165 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 449 mod 547
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 305 mod 547
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 35 mod 547
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 131 mod 547
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 204 mod 547
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 44 mod 547
128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 295 mod 547
311165
= 311128+32+4+1
= 311128⋅31132⋅3114⋅3111
≡ 295 ⋅ 204 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547
≡ 60180 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547 ≡ 10 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547
≡ 3050 ⋅ 311 mod 547 ≡ 315 ⋅ 311 mod 547
≡ 97965 mod 547 ≡ 52 mod 547
Es gilt also: 311165 ≡ 52 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59
| =>83 | = 1⋅59 + 24 |
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
| 24= 83-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59)
= 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59
oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅83 = +38⋅59
Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1
Somit 38⋅59 = 1 mod 83
38 ist also das Inverse von 59 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
