Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (282 - 7006) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(282 - 7006) mod 7 ≡ (282 mod 7 - 7006 mod 7) mod 7.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

7006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7006 = 7000+6 = 7 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(282 - 7006) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 37) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 37) mod 7 ≡ (44 mod 7 ⋅ 37 mod 7) mod 7.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 37) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 206128 mod 257.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 31 mod 257

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 31⋅31=961 ≡ 190 mod 257

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 120 mod 257

16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 8 mod 257

32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 680134 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 6801=680

2: 6802=6801+1=6801⋅6801 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 737 mod 907

4: 6804=6802+2=6802⋅6802 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 783 mod 907

8: 6808=6804+4=6804⋅6804 ≡ 783⋅783=613089 ≡ 864 mod 907

16: 68016=6808+8=6808⋅6808 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 35 mod 907

32: 68032=68016+16=68016⋅68016 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 318 mod 907

64: 68064=68032+32=68032⋅68032 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 447 mod 907

128: 680128=68064+64=68064⋅68064 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 269 mod 907

680134

= 680128+4+2

= 680128⋅6804⋅6802

269 ⋅ 783 ⋅ 737 mod 907
210627 ⋅ 737 mod 907 ≡ 203 ⋅ 737 mod 907
149611 mod 907 ≡ 863 mod 907

Es gilt also: 680134 ≡ 863 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79 = 2⋅27 + 25
=>27 = 1⋅25 + 2
=>25 = 12⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25)
= -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27)
= 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.