Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 - 1202) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 - 1202) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 1202 mod 4) mod 4.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(116 - 1202) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 88) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47632 mod 929.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 829 mod 929

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 710 mod 929

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 582 mod 929

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 568 mod 929

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 261 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16676 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:

76 = 64+8+4

1: 1661=166

2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 233 mod 307

4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307

8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 44 mod 307

16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 94 mod 307

32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 240 mod 307

64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 191 mod 307

16676

= 16664+8+4

= 16664⋅1668⋅1664

191 ⋅ 44 ⋅ 257 mod 307
8404 ⋅ 257 mod 307 ≡ 115 ⋅ 257 mod 307
29555 mod 307 ≡ 83 mod 307

Es gilt also: 16676 ≡ 83 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83 = 1⋅45 + 38
=>45 = 1⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38)
= 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45)
= -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.