Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 - 3002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 - 3002) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 3002 mod 3) mod 3.
152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(152 - 3002) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 92) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 92) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4168 mod 1009.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4161=416
2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 517 mod 1009
4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 913 mod 1009
8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 913⋅913=833569 ≡ 135 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 214135 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 2141=214
2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 125 mod 419
4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 122 mod 419
8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 219 mod 419
16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 195 mod 419
32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 315 mod 419
64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419
128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419
214135
= 214128+4+2+1
= 214128⋅2144⋅2142⋅2141
≡ 218 ⋅ 122 ⋅ 125 ⋅ 214 mod 419
≡ 26596 ⋅ 125 ⋅ 214 mod 419 ≡ 199 ⋅ 125 ⋅ 214 mod 419
≡ 24875 ⋅ 214 mod 419 ≡ 154 ⋅ 214 mod 419
≡ 32956 mod 419 ≡ 274 mod 419
Es gilt also: 214135 ≡ 274 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
