Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15004 - 1995) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 1995 mod 5) mod 5.

15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004 = 15000+4 = 5 ⋅ 3000 +4.

1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995 = 1900+95 = 5 ⋅ 380 +95.

Somit gilt:

(15004 - 1995) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 46) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 46 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 46) mod 10 ≡ (3 ⋅ 6) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 426¹=426

2: 426²=426¹⁺¹=426¹⋅426¹ ≡ 426⋅426=181476 ≡ 93 mod 587

4: 426⁴=426²⁺²=426²⋅426² ≡ 93⋅93=8649 ≡ 431 mod 587

8: 426⁸=426⁴⁺⁴=426⁴⋅426⁴ ≡ 431⋅431=185761 ≡ 269 mod 587

16: 426¹⁶=426⁸⁺⁸=426⁸⋅426⁸ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 160 mod 587

32: 426³²=426¹⁶⁺¹⁶=426¹⁶⋅426¹⁶ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 359 mod 587

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

771¹²³

= 771^{64+32+16+8+2+1}

= 771⁶⁴⋅771³²⋅771¹⁶⋅771⁸⋅771²⋅771¹

≡ 771 ⋅ 640 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 493440 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 726 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 76956 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 135 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 47655 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 856 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 155792 ⋅ 771 mod 883 ≡ 384 ⋅ 771 mod 883
≡ 296064 mod 883 ≡ 259 mod 883

Es gilt also: 771¹²³ ≡ 259 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73	= 1⋅47 + 26
=>47	= 1⋅26 + 21
=>26	= 1⋅21 + 5
=>21	= 4⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21) = 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26) = -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47) = 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73