Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 + 297) mod 3 ≡ (598 mod 3 + 297 mod 3) mod 3.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 3 ⋅ 100 -3 = 3 ⋅ 100 - 3 + 0.

Somit gilt:

(598 + 297) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 93) mod 9 ≡ (59 mod 9 ⋅ 93 mod 9) mod 9.

59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 93) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 458¹=458

2: 458²=458¹⁺¹=458¹⋅458¹ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 15 mod 601

4: 458⁴=458²⁺²=458²⋅458² ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 601

8: 458⁸=458⁴⁺⁴=458⁴⋅458⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 141 mod 601

16: 458¹⁶=458⁸⁺⁸=458⁸⋅458⁸ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 48 mod 601

32: 458³²=458¹⁶⁺¹⁶=458¹⁶⋅458¹⁶ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 501 mod 601

64: 458⁶⁴=458³²⁺³²=458³²⋅458³² ≡ 501⋅501=251001 ≡ 384 mod 601

128: 458¹²⁸=458⁶⁴⁺⁶⁴=458⁶⁴⋅458⁶⁴ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 211 mod 601

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

670¹⁴⁷

= 670^128+16+2+1

= 670¹²⁸⋅670¹⁶⋅670²⋅670¹

≡ 501 ⋅ 835 ⋅ 457 ⋅ 670 mod 977
≡ 418335 ⋅ 457 ⋅ 670 mod 977 ≡ 179 ⋅ 457 ⋅ 670 mod 977
≡ 81803 ⋅ 670 mod 977 ≡ 712 ⋅ 670 mod 977
≡ 477040 mod 977 ≡ 264 mod 977

Es gilt also: 670¹⁴⁷ ≡ 264 mod 977

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97	= 3⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97