Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (894 + 8995) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(894 + 8995) mod 9 ≡ (894 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.

894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894 = 900-6 = 9 ⋅ 100 -6 = 9 ⋅ 100 - 9 + 3.

8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995 = 9000-5 = 9 ⋅ 1000 -5 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 4.

Somit gilt:

(894 + 8995) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 45) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 45) mod 7 ≡ (55 mod 7 ⋅ 45 mod 7) mod 7.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

45 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 6 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 45) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30316 mod 313.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3031=303

2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 100 mod 313

4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 297 mod 313

8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 256 mod 313

16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 252238 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 90 mod 271

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 241 mod 271

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 87 mod 271

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 252 mod 271

32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 90 mod 271

64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 241 mod 271

128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 87 mod 271

252238

= 252128+64+32+8+4+2

= 252128⋅25264⋅25232⋅2528⋅2524⋅2522

87 ⋅ 241 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
20967 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 100 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
9000 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 57 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
4959 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 81 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
19521 ⋅ 90 mod 271 ≡ 9 ⋅ 90 mod 271
810 mod 271 ≡ 268 mod 271

Es gilt also: 252238 ≡ 268 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71 = 1⋅49 + 22
=>49 = 2⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22)
= 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49)
= -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.