Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5000 + 1502) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5000 + 1502) mod 5 ≡ (5000 mod 5 + 1502 mod 5) mod 5.
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
1502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(5000 + 1502) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 95) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 95) mod 10 ≡ (61 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.
61 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 6 ⋅ 10 + 1 ist.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 95) mod 10 ≡ (1 ⋅ 5) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13664 mod 433.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 136 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1361=136
2: 1362=1361+1=1361⋅1361 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 310 mod 433
4: 1364=1362+2=1362⋅1362 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 407 mod 433
8: 1368=1364+4=1364⋅1364 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 243 mod 433
16: 13616=1368+8=1368⋅1368 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433
32: 13632=13616+16=13616⋅13616 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433
64: 13664=13632+32=13632⋅13632 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23496 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:
96 = 64+32
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 220 mod 401
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 280 mod 401
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 205 mod 401
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 321 mod 401
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 385 mod 401
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 256 mod 401
23496
= 23464+32
= 23464⋅23432
≡ 256 ⋅ 385 mod 401
≡ 98560 mod 401 ≡ 315 mod 401
Es gilt also: 23496 ≡ 315 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29
| =>83 | = 2⋅29 + 25 |
| =>29 | = 1⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 29-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29) = 7⋅83 -20⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -20⋅29
-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29
-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1
(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1
63⋅29 = 22⋅83 + 1
Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1
Somit 63⋅29 = 1 mod 83
63 ist also das Inverse von 29 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
