Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32004 + 39999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32004 + 39999) mod 8 ≡ (32004 mod 8 + 39999 mod 8) mod 8.
32004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32004
= 32000
39999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39999
= 39000
Somit gilt:
(32004 + 39999) mod 8 ≡ (4 + 7) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 53) mod 8 ≡ (76 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 53) mod 8 ≡ (4 ⋅ 5) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89532 mod 1009.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 895 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8951=895
2: 8952=8951+1=8951⋅8951 ≡ 895⋅895=801025 ≡ 888 mod 1009
4: 8954=8952+2=8952⋅8952 ≡ 888⋅888=788544 ≡ 515 mod 1009
8: 8958=8954+4=8954⋅8954 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 867 mod 1009
16: 89516=8958+8=8958⋅8958 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 993 mod 1009
32: 89532=89516+16=89516⋅89516 ≡ 993⋅993=986049 ≡ 256 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 739156 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 7391=739
2: 7392=7391+1=7391⋅7391 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 46 mod 809
4: 7394=7392+2=7392⋅7392 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 498 mod 809
8: 7398=7394+4=7394⋅7394 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 450 mod 809
16: 73916=7398+8=7398⋅7398 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 250 mod 809
32: 73932=73916+16=73916⋅73916 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 207 mod 809
64: 73964=73932+32=73932⋅73932 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 781 mod 809
128: 739128=73964+64=73964⋅73964 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 784 mod 809
739156
= 739128+16+8+4
= 739128⋅73916⋅7398⋅7394
≡ 784 ⋅ 250 ⋅ 450 ⋅ 498 mod 809
≡ 196000 ⋅ 450 ⋅ 498 mod 809 ≡ 222 ⋅ 450 ⋅ 498 mod 809
≡ 99900 ⋅ 498 mod 809 ≡ 393 ⋅ 498 mod 809
≡ 195714 mod 809 ≡ 745 mod 809
Es gilt also: 739156 ≡ 745 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
