Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (399 - 1604) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(399 - 1604) mod 4 ≡ (399 mod 4 - 1604 mod 4) mod 4.
399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 300
1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
Somit gilt:
(399 - 1604) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 65) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 65) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 65) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31716 mod 643.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 181 mod 643
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 611 mod 643
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 381 mod 643
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 486 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 119119 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 1191=119
2: 1192=1191+1=1191⋅1191 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 360 mod 373
4: 1194=1192+2=1192⋅1192 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 169 mod 373
8: 1198=1194+4=1194⋅1194 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 213 mod 373
16: 11916=1198+8=1198⋅1198 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 236 mod 373
32: 11932=11916+16=11916⋅11916 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 119 mod 373
64: 11964=11932+32=11932⋅11932 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 360 mod 373
119119
= 11964+32+16+4+2+1
= 11964⋅11932⋅11916⋅1194⋅1192⋅1191
≡ 360 ⋅ 119 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 42840 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 318 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 75048 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 75 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 12675 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 366 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 131760 ⋅ 119 mod 373 ≡ 91 ⋅ 119 mod 373
≡ 10829 mod 373 ≡ 12 mod 373
Es gilt also: 119119 ≡ 12 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
