Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 - 799) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 799 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

Somit gilt:

(84 - 799) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 86) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 86) mod 10 ≡ (0 ⋅ 6) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 182¹=182

2: 182²=182¹⁺¹=182¹⋅182¹ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 243 mod 251

4: 182⁴=182²⁺²=182²⋅182² ≡ 243⋅243=59049 ≡ 64 mod 251

8: 182⁸=182⁴⁺⁴=182⁴⋅182⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 80 mod 251

16: 182¹⁶=182⁸⁺⁸=182⁸⋅182⁸ ≡ 80⋅80=6400 ≡ 125 mod 251

32: 182³²=182¹⁶⁺¹⁶=182¹⁶⋅182¹⁶ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 63 mod 251

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

416²⁰⁵

= 416^128+64+8+4+1

= 416¹²⁸⋅416⁶⁴⋅416⁸⋅416⁴⋅416¹

≡ 208 ⋅ 356 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 74048 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659 ≡ 240 ⋅ 226 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 54240 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659 ≡ 202 ⋅ 244 ⋅ 416 mod 659
≡ 49288 ⋅ 416 mod 659 ≡ 522 ⋅ 416 mod 659
≡ 217152 mod 659 ≡ 341 mod 659

Es gilt also: 416²⁰⁵ ≡ 341 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97	= 1⋅78 + 19
=>78	= 4⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78) = -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97