Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1603 - 1201) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1603 - 1201) mod 4 ≡ (1603 mod 4 - 1201 mod 4) mod 4.
1603 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603
= 1600
1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(1603 - 1201) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 35) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 35) mod 4 ≡ (81 mod 4 ⋅ 35 mod 4) mod 4.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 35) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23664 mod 277.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 19⋅19=361 ≡ 84 mod 277
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 169 mod 277
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 30 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24566 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 158 mod 457
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 286 mod 457
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 450 mod 457
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457
64: 24564=24532+32=24532⋅24532 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 203 mod 457
24566
= 24564+2
= 24564⋅2452
≡ 203 ⋅ 158 mod 457
≡ 32074 mod 457 ≡ 84 mod 457
Es gilt also: 24566 ≡ 84 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 44
| =>97 | = 2⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-2⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(97 -2⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅97 -10⋅ 44) = 5⋅97 -11⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,44)=1 = 5⋅97 -11⋅44
oder wenn man 5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅97 = -11⋅44
-11⋅44 = -5⋅97 + 1 |+97⋅44
-11⋅44 + 97⋅44 = -5⋅97 + 97⋅44 + 1
(-11 + 97) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 97 + 1
86⋅44 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 86⋅44 = 39⋅97 +1
Somit 86⋅44 = 1 mod 97
86 ist also das Inverse von 44 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
