Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (240 - 24000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(240 - 24000) mod 6 ≡ (240 mod 6 - 24000 mod 6) mod 6.
240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(240 - 24000) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 86) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 86) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.
59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 86) mod 8 ≡ (3 ⋅ 6) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22632 mod 601.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 592 mod 601
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 81 mod 601
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 551 mod 601
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 96 mod 601
32: 22632=22616+16=22616⋅22616 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 201 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 429163 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 67 mod 773
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 624 mod 773
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 557 mod 773
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 276 mod 773
32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 422 mod 773
64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 294 mod 773
128: 429128=42964+64=42964⋅42964 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 633 mod 773
429163
= 429128+32+2+1
= 429128⋅42932⋅4292⋅4291
≡ 633 ⋅ 422 ⋅ 67 ⋅ 429 mod 773
≡ 267126 ⋅ 67 ⋅ 429 mod 773 ≡ 441 ⋅ 67 ⋅ 429 mod 773
≡ 29547 ⋅ 429 mod 773 ≡ 173 ⋅ 429 mod 773
≡ 74217 mod 773 ≡ 9 mod 773
Es gilt also: 429163 ≡ 9 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86
| =>97 | = 1⋅86 + 11 |
| =>86 | = 7⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 86-7⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11) = 5⋅86 -39⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86) = -39⋅97 +44⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +44⋅86
Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1
Somit 44⋅86 = 1 mod 97
44 ist also das Inverse von 86 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
