Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(236 - 73) mod 8 ≡ (236 mod 8 - 73 mod 8) mod 8.

236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 8 ⋅ 30 -4 = 8 ⋅ 30 - 8 + 4.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

Somit gilt:

(236 - 73) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 44) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 44) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 236¹=236

2: 236²=236¹⁺¹=236¹⋅236¹ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 449 mod 547

4: 236⁴=236²⁺²=236²⋅236² ≡ 449⋅449=201601 ≡ 305 mod 547

8: 236⁸=236⁴⁺⁴=236⁴⋅236⁴ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 35 mod 547

16: 236¹⁶=236⁸⁺⁸=236⁸⋅236⁸ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 131 mod 547

32: 236³²=236¹⁶⁺¹⁶=236¹⁶⋅236¹⁶ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 204 mod 547

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

146¹²³

= 146^{64+32+16+8+2+1}

= 146⁶⁴⋅146³²⋅146¹⁶⋅146⁸⋅146²⋅146¹

≡ 125 ⋅ 106 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
≡ 13250 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 242 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
≡ 40898 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 248 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
≡ 63984 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 28 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
≡ 4984 ⋅ 146 mod 271 ≡ 106 ⋅ 146 mod 271
≡ 15476 mod 271 ≡ 29 mod 271

Es gilt also: 146¹²³ ≡ 29 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59	= 1⋅31 + 28
=>31	= 1⋅28 + 3
=>28	= 9⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28) = 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31) = -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59