Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 - 1604) mod 4 ≡ (399 mod 4 - 1604 mod 4) mod 4.

399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 300+99 = 4 ⋅ 75 +99.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(399 - 1604) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 65) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 65) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 317¹=317

2: 317²=317¹⁺¹=317¹⋅317¹ ≡ 317⋅317=100489 ≡ 181 mod 643

4: 317⁴=317²⁺²=317²⋅317² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 611 mod 643

8: 317⁸=317⁴⁺⁴=317⁴⋅317⁴ ≡ 611⋅611=373321 ≡ 381 mod 643

16: 317¹⁶=317⁸⁺⁸=317⁸⋅317⁸ ≡ 381⋅381=145161 ≡ 486 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

119¹¹⁹

= 119^{64+32+16+4+2+1}

= 119⁶⁴⋅119³²⋅119¹⁶⋅119⁴⋅119²⋅119¹

≡ 360 ⋅ 119 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 42840 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 318 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 75048 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 75 ⋅ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 12675 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373 ≡ 366 ⋅ 360 ⋅ 119 mod 373
≡ 131760 ⋅ 119 mod 373 ≡ 91 ⋅ 119 mod 373
≡ 10829 mod 373 ≡ 12 mod 373

Es gilt also: 119¹¹⁹ ≡ 12 mod 373

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97	= 2⋅47 + 3
=>47	= 15⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47) = -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97