Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15995 + 7999) mod 8 ≡ (15995 mod 8 + 7999 mod 8) mod 8.

15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995 = 15000+995 = 8 ⋅ 1875 +995.

7999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 8 ⋅ 875 +999.

Somit gilt:

(15995 + 7999) mod 8 ≡ (3 + 7) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 37) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 37 mod 10) mod 10.

88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.

37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 37) mod 10 ≡ (8 ⋅ 7) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 129¹=129

2: 129²=129¹⁺¹=129¹⋅129¹ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 332 mod 347

4: 129⁴=129²⁺²=129²⋅129² ≡ 332⋅332=110224 ≡ 225 mod 347

8: 129⁸=129⁴⁺⁴=129⁴⋅129⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 310 mod 347

16: 129¹⁶=129⁸⁺⁸=129⁸⋅129⁸ ≡ 310⋅310=96100 ≡ 328 mod 347

32: 129³²=129¹⁶⁺¹⁶=129¹⁶⋅129¹⁶ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 14 mod 347

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

379²⁵⁴

= 379^{128+64+32+16+8+4+2}

= 379¹²⁸⋅379⁶⁴⋅379³²⋅379¹⁶⋅379⁸⋅379⁴⋅379²

≡ 476 ⋅ 623 ⋅ 45 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701
≡ 296548 ⋅ 45 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701 ≡ 25 ⋅ 45 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701
≡ 1125 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701 ≡ 424 ⋅ 542 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701
≡ 229808 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701 ≡ 581 ⋅ 183 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701
≡ 106323 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701 ≡ 472 ⋅ 591 ⋅ 637 mod 701
≡ 278952 ⋅ 637 mod 701 ≡ 655 ⋅ 637 mod 701
≡ 417235 mod 701 ≡ 140 mod 701

Es gilt also: 379²⁵⁴ ≡ 140 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79	= 1⋅60 + 19
=>60	= 3⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60) = -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79