Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 1799) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 1799) mod 6 ≡ (123 mod 6 - 1799 mod 6) mod 6.
123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
1799 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799
= 1800
Somit gilt:
(123 - 1799) mod 6 ≡ (3 - 5) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 70) mod 11 ≡ (57 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
57 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 5 ⋅ 11 + 2 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 70) mod 11 ≡ (2 ⋅ 4) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57416 mod 859.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 574 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5741=574
2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 479 mod 859
4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 88 mod 859
8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 13 mod 859
16: 57416=5748+8=5748⋅5748 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54361 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 5431=543
2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 596 mod 911
4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 837 mod 911
8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 837⋅837=700569 ≡ 10 mod 911
16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 911
32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 890 mod 911
54361
= 54332+16+8+4+1
= 54332⋅54316⋅5438⋅5434⋅5431
≡ 890 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 837 ⋅ 543 mod 911
≡ 89000 ⋅ 10 ⋅ 837 ⋅ 543 mod 911 ≡ 633 ⋅ 10 ⋅ 837 ⋅ 543 mod 911
≡ 6330 ⋅ 837 ⋅ 543 mod 911 ≡ 864 ⋅ 837 ⋅ 543 mod 911
≡ 723168 ⋅ 543 mod 911 ≡ 745 ⋅ 543 mod 911
≡ 404535 mod 911 ≡ 51 mod 911
Es gilt also: 54361 ≡ 51 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
