Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 - 5003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 - 5003) mod 5 ≡ (1499 mod 5 - 5003 mod 5) mod 5.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003 = 5000+3 = 5 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(1499 - 5003) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 51) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 51) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 51) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28164 mod 919.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2811=281

2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 846 mod 919

4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 734 mod 919

8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 222 mod 919

16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 577 mod 919

32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 251 mod 919

64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 509 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 572252 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 5721=572

2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 341 mod 691

4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 193 mod 691

8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 626 mod 691

16: 57216=5728+8=5728⋅5728 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 79 mod 691

32: 57232=57216+16=57216⋅57216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 22 mod 691

64: 57264=57232+32=57232⋅57232 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 691

128: 572128=57264+64=57264⋅57264 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 7 mod 691

572252

= 572128+64+32+16+8+4

= 572128⋅57264⋅57232⋅57216⋅5728⋅5724

7 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
3388 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 624 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
13728 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 599 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
47321 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 333 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
208458 ⋅ 193 mod 691 ≡ 467 ⋅ 193 mod 691
90131 mod 691 ≡ 301 mod 691

Es gilt also: 572252 ≡ 301 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67 = 1⋅63 + 4
=>63 = 15⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4)
= -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63)
= 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.