Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(144 - 2101) mod 7 ≡ (144 mod 7 - 2101 mod 7) mod 7.

144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144 = 140+4 = 7 ⋅ 20 +4.

2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101 = 2100+1 = 7 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(144 - 2101) mod 7 ≡ (4 - 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 17) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 17) mod 11 ≡ (6 ⋅ 6) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 83¹=83

2: 83²=83¹⁺¹=83¹⋅83¹ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 241 mod 277

4: 83⁴=83²⁺²=83²⋅83² ≡ 241⋅241=58081 ≡ 188 mod 277

8: 83⁸=83⁴⁺⁴=83⁴⋅83⁴ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 165 mod 277

16: 83¹⁶=83⁸⁺⁸=83⁸⋅83⁸ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 79 mod 277

32: 83³²=83¹⁶⁺¹⁶=83¹⁶⋅83¹⁶ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 147 mod 277

64: 83⁶⁴=83³²⁺³²=83³²⋅83³² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 3 mod 277

128: 83¹²⁸=83⁶⁴⁺⁶⁴=83⁶⁴⋅83⁶⁴ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

212¹⁸⁸

= 212^{128+32+16+8+4}

= 212¹²⁸⋅212³²⋅212¹⁶⋅212⁸⋅212⁴

≡ 225 ⋅ 121 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
≡ 27225 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229 ≡ 203 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
≡ 44254 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229 ≡ 57 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
≡ 11571 ⋅ 165 mod 229 ≡ 121 ⋅ 165 mod 229
≡ 19965 mod 229 ≡ 42 mod 229

Es gilt also: 212¹⁸⁸ ≡ 42 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79