Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (176 - 18005) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 18005) mod 6 ≡ (176 mod 6 - 18005 mod 6) mod 6.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

Somit gilt:

(176 - 18005) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 35) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 35) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 35) mod 10 ≡ (6 ⋅ 5) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37364 mod 509.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 373 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3731=373

2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 172 mod 509

4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 62 mod 509

8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 281 mod 509

16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 66 mod 509

32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 284 mod 509

64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 234 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 176209 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 220 mod 233

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 169 mod 233

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233

64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233

176209

= 176128+64+16+1

= 176128⋅17664⋅17616⋅1761

19 ⋅ 46 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233
874 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233 ≡ 175 ⋅ 51 ⋅ 176 mod 233
8925 ⋅ 176 mod 233 ≡ 71 ⋅ 176 mod 233
12496 mod 233 ≡ 147 mod 233

Es gilt also: 176209 ≡ 147 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101 = 1⋅87 + 14
=>87 = 6⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14)
= 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87)
= 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87)
= -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.