Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45008 + 359) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45008 + 359) mod 9 ≡ (45008 mod 9 + 359 mod 9) mod 9.
45008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45008
= 45000
359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359
= 360
Somit gilt:
(45008 + 359) mod 9 ≡ (8 + 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 76) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 76) mod 9 ≡ (93 mod 9 ⋅ 76 mod 9) mod 9.
93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 76) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3608 mod 503.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3601=360
2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 329 mod 503
4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 96 mod 503
8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 162 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28097 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 169 mod 293
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 140 mod 293
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 262 mod 293
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 82 mod 293
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 278 mod 293
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 225 mod 293
28097
= 28064+32+1
= 28064⋅28032⋅2801
≡ 225 ⋅ 278 ⋅ 280 mod 293
≡ 62550 ⋅ 280 mod 293 ≡ 141 ⋅ 280 mod 293
≡ 39480 mod 293 ≡ 218 mod 293
Es gilt also: 28097 ≡ 218 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19
| =>61 | = 3⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 61-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19
oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅61 = -16⋅19
-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19
-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1
(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1
45⋅19 = 14⋅61 + 1
Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1
Somit 45⋅19 = 1 mod 61
45 ist also das Inverse von 19 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
