Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7007 - 27999) mod 7 ≡ (7007 mod 7 - 27999 mod 7) mod 7.

7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007 = 7000+7 = 7 ⋅ 1000 +7.

27999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27999 = 28000-1 = 7 ⋅ 4000 -1 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 6.

Somit gilt:

(7007 - 27999) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 34) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 34) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 565¹=565

2: 565²=565¹⁺¹=565¹⋅565¹ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

4: 565⁴=565²⁺²=565²⋅565² ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613

8: 565⁸=565⁴⁺⁴=565⁴⋅565⁴ ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613

16: 565¹⁶=565⁸⁺⁸=565⁸⋅565⁸ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613

32: 565³²=565¹⁶⁺¹⁶=565¹⁶⋅565¹⁶ ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

227¹¹⁷

= 227^64+32+16+4+1

= 227⁶⁴⋅227³²⋅227¹⁶⋅227⁴⋅227¹

≡ 169 ⋅ 418 ⋅ 121 ⋅ 277 ⋅ 227 mod 431
≡ 70642 ⋅ 121 ⋅ 277 ⋅ 227 mod 431 ≡ 389 ⋅ 121 ⋅ 277 ⋅ 227 mod 431
≡ 47069 ⋅ 277 ⋅ 227 mod 431 ≡ 90 ⋅ 277 ⋅ 227 mod 431
≡ 24930 ⋅ 227 mod 431 ≡ 363 ⋅ 227 mod 431
≡ 82401 mod 431 ≡ 80 mod 431

Es gilt also: 227¹¹⁷ ≡ 80 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97	= 1⋅52 + 45
=>52	= 1⋅45 + 7
=>45	= 6⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45) = -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52) = 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97