Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 - 16000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 - 16000) mod 8 ≡ (88 mod 8 - 16000 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 8 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(88 - 16000) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 98) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 98) mod 8 ≡ (25 mod 8 ⋅ 98 mod 8) mod 8.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 98) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30564 mod 641.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 80 mod 641

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 631 mod 641

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 100 mod 641

16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 385 mod 641

32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 154 mod 641

64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28966 mod 433.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 2891=289

2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 385 mod 433

4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 139 mod 433

8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433

16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433

32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433

64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433

28966

= 28964+2

= 28964⋅2892

78 ⋅ 385 mod 433
30030 mod 433 ≡ 153 mod 433

Es gilt also: 28966 ≡ 153 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89 = 1⋅48 + 41
=>48 = 1⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41)
= 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48)
= -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.