Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 - 6001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 - 6001) mod 6 ≡ (65 mod 6 - 6001 mod 6) mod 6.
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 60
6001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
Somit gilt:
(65 - 6001) mod 6 ≡ (5 - 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 42) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 42) mod 9 ≡ (86 mod 9 ⋅ 42 mod 9) mod 9.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.
42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 42) mod 9 ≡ (5 ⋅ 6) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63128 mod 211.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 63 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 631=63
2: 632=631+1=631⋅631 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 171 mod 211
4: 634=632+2=632⋅632 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 123 mod 211
8: 638=634+4=634⋅634 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 148 mod 211
16: 6316=638+8=638⋅638 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 171 mod 211
32: 6332=6316+16=6316⋅6316 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 123 mod 211
64: 6364=6332+32=6332⋅6332 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 148 mod 211
128: 63128=6364+64=6364⋅6364 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 171 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27881 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 202 mod 443
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 48 mod 443
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 89 mod 443
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 390 mod 443
32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 151 mod 443
64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 208 mod 443
27881
= 27864+16+1
= 27864⋅27816⋅2781
≡ 208 ⋅ 390 ⋅ 278 mod 443
≡ 81120 ⋅ 278 mod 443 ≡ 51 ⋅ 278 mod 443
≡ 14178 mod 443 ≡ 2 mod 443
Es gilt also: 27881 ≡ 2 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
