Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4508 - 44997) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4508 - 44997) mod 9 ≡ (4508 mod 9 - 44997 mod 9) mod 9.

4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508 = 4500+8 = 9 ⋅ 500 +8.

44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997 = 45000-3 = 9 ⋅ 5000 -3 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(4508 - 44997) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 88) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 88) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 88 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 88) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61616 mod 967.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 616 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6161=616

2: 6162=6161+1=6161⋅6161 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 392 mod 967

4: 6164=6162+2=6162⋅6162 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 878 mod 967

8: 6168=6164+4=6164⋅6164 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 185 mod 967

16: 61616=6168+8=6168⋅6168 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 380 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157108 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 347 mod 419

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 156 mod 419

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 34 mod 419

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 318 mod 419

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 145 mod 419

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419

157108

= 15764+32+8+4

= 15764⋅15732⋅1578⋅1574

75 ⋅ 145 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419
10875 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419 ≡ 400 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419
13600 ⋅ 156 mod 419 ≡ 192 ⋅ 156 mod 419
29952 mod 419 ≡ 203 mod 419

Es gilt also: 157108 ≡ 203 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42

=>67 = 1⋅42 + 25
=>42 = 1⋅25 + 17
=>25 = 1⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17)
= -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 42-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25)
= 3⋅42 -5⋅ 25 (=1)
25= 67-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42)
= -5⋅67 +8⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +8⋅42

Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1

Somit 8⋅42 = 1 mod 67

8 ist also das Inverse von 42 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.