Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 - 8003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 - 8003) mod 4 ≡ (120 mod 4 - 8003 mod 4) mod 4.
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003
= 8000
Somit gilt:
(120 - 8003) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 26) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 26) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 26 mod 11) mod 11.
52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 26) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20916 mod 379.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 96 mod 379
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 120 mod 379
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 377 mod 379
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 4 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 408108 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 150 mod 523
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 11 mod 523
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 523
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 520 mod 523
32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 9 mod 523
64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 523
408108
= 40864+32+8+4
= 40864⋅40832⋅4088⋅4084
≡ 81 ⋅ 9 ⋅ 121 ⋅ 11 mod 523
≡ 729 ⋅ 121 ⋅ 11 mod 523 ≡ 206 ⋅ 121 ⋅ 11 mod 523
≡ 24926 ⋅ 11 mod 523 ≡ 345 ⋅ 11 mod 523
≡ 3795 mod 523 ≡ 134 mod 523
Es gilt also: 408108 ≡ 134 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
