Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45001 - 45004) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45001 - 45004) mod 9 ≡ (45001 mod 9 - 45004 mod 9) mod 9.
45001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45001
= 45000
45004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45004
= 45000
Somit gilt:
(45001 - 45004) mod 9 ≡ (1 - 4) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 30) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 30) mod 6 ≡ (24 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 30) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41116 mod 839.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 411 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 282 mod 839
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 658 mod 839
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 40 mod 839
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 761 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 700169 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 684 mod 821
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 707 mod 821
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 681 mod 821
16: 70016=7008+8=7008⋅7008 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 717 mod 821
32: 70032=70016+16=70016⋅70016 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 143 mod 821
64: 70064=70032+32=70032⋅70032 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 745 mod 821
128: 700128=70064+64=70064⋅70064 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 29 mod 821
700169
= 700128+32+8+1
= 700128⋅70032⋅7008⋅7001
≡ 29 ⋅ 143 ⋅ 681 ⋅ 700 mod 821
≡ 4147 ⋅ 681 ⋅ 700 mod 821 ≡ 42 ⋅ 681 ⋅ 700 mod 821
≡ 28602 ⋅ 700 mod 821 ≡ 688 ⋅ 700 mod 821
≡ 481600 mod 821 ≡ 494 mod 821
Es gilt also: 700169 ≡ 494 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 89.
Also bestimme x, so dass 89 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 89
| =>101 | = 1⋅89 + 12 |
| =>89 | = 7⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,89)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-7⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(89 -7⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅89 -35⋅ 12) = 5⋅89 -37⋅ 12 (=1) |
| 12= 101-1⋅89 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅89 -37⋅(101 -1⋅ 89)
= 5⋅89 -37⋅101 +37⋅ 89) = -37⋅101 +42⋅ 89 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,89)=1 = -37⋅101 +42⋅89
oder wenn man -37⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +37⋅101 = +42⋅89
Es gilt also: 42⋅89 = 37⋅101 +1
Somit 42⋅89 = 1 mod 101
42 ist also das Inverse von 89 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
