Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10003 - 14995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10003 - 14995) mod 5 ≡ (10003 mod 5 - 14995 mod 5) mod 5.
10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003
= 10000
14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995
= 14000
Somit gilt:
(10003 - 14995) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 43) mod 7 ≡ (81 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 43) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 143128 mod 379.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 367 mod 379
64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 144 mod 379
128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 270 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24868 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 154 mod 409
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 403 mod 409
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 36 mod 409
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 69 mod 409
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409
24868
= 24864+4
= 24864⋅2484
≡ 341 ⋅ 403 mod 409
≡ 137423 mod 409 ≡ 408 mod 409
Es gilt also: 24868 ≡ 408 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 52
| =>89 | = 1⋅52 + 37 |
| =>52 | = 1⋅37 + 15 |
| =>37 | = 2⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 37-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15) = -2⋅37 +5⋅ 15 (=1) |
| 15= 52-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +5⋅(52 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅52 -5⋅ 37) = 5⋅52 -7⋅ 37 (=1) |
| 37= 89-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅52 -7⋅(89 -1⋅ 52)
= 5⋅52 -7⋅89 +7⋅ 52) = -7⋅89 +12⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,52)=1 = -7⋅89 +12⋅52
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +12⋅52
Es gilt also: 12⋅52 = 7⋅89 +1
Somit 12⋅52 = 1 mod 89
12 ist also das Inverse von 52 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
