Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(180 + 45000) mod 9 ≡ (180 mod 9 + 45000 mod 9) mod 9.

180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 9 ⋅ 20 +0.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(180 + 45000) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 58) mod 7 ≡ (87 mod 7 ⋅ 58 mod 7) mod 7.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 58) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 481¹=481

2: 481²=481¹⁺¹=481¹⋅481¹ ≡ 481⋅481=231361 ≡ 288 mod 743

4: 481⁴=481²⁺²=481²⋅481² ≡ 288⋅288=82944 ≡ 471 mod 743

8: 481⁸=481⁴⁺⁴=481⁴⋅481⁴ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 427 mod 743

16: 481¹⁶=481⁸⁺⁸=481⁸⋅481⁸ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 294 mod 743

32: 481³²=481¹⁶⁺¹⁶=481¹⁶⋅481¹⁶ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 248 mod 743

64: 481⁶⁴=481³²⁺³²=481³²⋅481³² ≡ 248⋅248=61504 ≡ 578 mod 743

128: 481¹²⁸=481⁶⁴⁺⁶⁴=481⁶⁴⋅481⁶⁴ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 477 mod 743

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

340¹⁷⁷

= 340^128+32+16+1

= 340¹²⁸⋅340³²⋅340¹⁶⋅340¹

≡ 417 ⋅ 347 ⋅ 316 ⋅ 340 mod 659
≡ 144699 ⋅ 316 ⋅ 340 mod 659 ≡ 378 ⋅ 316 ⋅ 340 mod 659
≡ 119448 ⋅ 340 mod 659 ≡ 169 ⋅ 340 mod 659
≡ 57460 mod 659 ≡ 127 mod 659

Es gilt also: 340¹⁷⁷ ≡ 127 mod 659

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

=>83	= 1⋅74 + 9
=>74	= 8⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 74-8⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1)
9= 83-1⋅74	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74) = -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74

oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅83 = -37⋅74

-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74

-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1

(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1

46⋅74 = 41⋅83 + 1

Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1

Somit 46⋅74 = 1 mod 83

46 ist also das Inverse von 74 mod 83