Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 + 122) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 + 122) mod 6 ≡ (18000 mod 6 + 122 mod 6) mod 6.
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(18000 + 122) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 50) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 50) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 50 mod 10) mod 10.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 50) mod 10 ≡ (1 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3498 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 653 mod 977
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 437 mod 977
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 454 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 369129 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 600 mod 619
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 361 mod 619
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 331 mod 619
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 617 mod 619
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 4 mod 619
64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 619
128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 619
369129
= 369128+1
= 369128⋅3691
≡ 256 ⋅ 369 mod 619
≡ 94464 mod 619 ≡ 376 mod 619
Es gilt also: 369129 ≡ 376 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
