Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (205 + 7004) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(205 + 7004) mod 7 ≡ (205 mod 7 + 7004 mod 7) mod 7.

205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 210-5 = 7 ⋅ 30 -5 = 7 ⋅ 30 - 7 + 2.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(205 + 7004) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 53) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 53) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 53) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23464 mod 457.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 373 mod 457

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 201 mod 457

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 185 mod 457

16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 407 mod 457

32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 215 mod 457

64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 68 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 357216 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:

216 = 128+64+16+8

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 308 mod 443

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 62 mod 443

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 300 mod 443

16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 71 mod 443

32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 168 mod 443

64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 315 mod 443

128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 436 mod 443

357216

= 357128+64+16+8

= 357128⋅35764⋅35716⋅3578

436 ⋅ 315 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443
137340 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443 ≡ 10 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443
710 ⋅ 300 mod 443 ≡ 267 ⋅ 300 mod 443
80100 mod 443 ≡ 360 mod 443

Es gilt also: 357216 ≡ 360 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 57.

Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57

=>67 = 1⋅57 + 10
=>57 = 5⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,57)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 57-5⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10)
= 3⋅57 -17⋅ 10 (=1)
10= 67-1⋅57 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57)
= 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57)
= -17⋅67 +20⋅ 57 (=1)

Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +20⋅57

Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1

Somit 20⋅57 = 1 mod 67

20 ist also das Inverse von 57 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.