Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1502 + 603) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 + 603) mod 3 ≡ (1502 mod 3 + 603 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(1502 + 603) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 79) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 79) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 79) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 933128 mod 967.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 933 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9331=933

2: 9332=9331+1=9331⋅9331 ≡ 933⋅933=870489 ≡ 189 mod 967

4: 9334=9332+2=9332⋅9332 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 909 mod 967

8: 9338=9334+4=9334⋅9334 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 463 mod 967

16: 93316=9338+8=9338⋅9338 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 662 mod 967

32: 93332=93316+16=93316⋅93316 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 193 mod 967

64: 93364=93332+32=93332⋅93332 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 503 mod 967

128: 933128=93364+64=93364⋅93364 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 622 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 342152 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 3421=342

2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 76 mod 769

4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 393 mod 769

8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 649 mod 769

16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 558 mod 769

32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 688 mod 769

64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

128: 342128=34264+64=34264⋅34264 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769

342152

= 342128+16+8

= 342128⋅34216⋅3428

408 ⋅ 558 ⋅ 649 mod 769
227664 ⋅ 649 mod 769 ≡ 40 ⋅ 649 mod 769
25960 mod 769 ≡ 583 mod 769

Es gilt also: 342152 ≡ 583 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53

=>97 = 1⋅53 + 44
=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)
44= 97-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53)
= -6⋅97 +11⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53

oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅97 = +11⋅53

Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1

Somit 11⋅53 = 1 mod 97

11 ist also das Inverse von 53 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.