Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4503 + 44997) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4503 + 44997) mod 9 ≡ (4503 mod 9 + 44997 mod 9) mod 9.
4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503
= 4500
44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997
= 45000
Somit gilt:
(4503 + 44997) mod 9 ≡ (3 + 6) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 32) mod 9 ≡ (40 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 32) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60864 mod 617.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 608 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 81 mod 617
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 391 mod 617
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 482 mod 617
16: 60816=6088+8=6088⋅6088 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 332 mod 617
32: 60832=60816+16=60816⋅60816 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 398 mod 617
64: 60864=60832+32=60832⋅60832 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 452 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 120224 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1201=120
2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 198 mod 263
4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 17 mod 263
8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 17⋅17=289 ≡ 26 mod 263
16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 26⋅26=676 ≡ 150 mod 263
32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 145 mod 263
64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 248 mod 263
128: 120128=12064+64=12064⋅12064 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 225 mod 263
120224
= 120128+64+32
= 120128⋅12064⋅12032
≡ 225 ⋅ 248 ⋅ 145 mod 263
≡ 55800 ⋅ 145 mod 263 ≡ 44 ⋅ 145 mod 263
≡ 6380 mod 263 ≡ 68 mod 263
Es gilt also: 120224 ≡ 68 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69
| =>79 | = 1⋅69 + 10 |
| =>69 | = 6⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 69-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10) = -1⋅69 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 79-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69) = 7⋅79 -8⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -8⋅69
-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69
-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1
(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1
71⋅69 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1
Somit 71⋅69 = 1 mod 79
71 ist also das Inverse von 69 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
