Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7007 - 65) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7007 - 65) mod 7 ≡ (7007 mod 7 - 65 mod 7) mod 7.

7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007 = 7000+7 = 7 ⋅ 1000 +7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 70-5 = 7 ⋅ 10 -5 = 7 ⋅ 10 - 7 + 2.

Somit gilt:

(7007 - 65) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 100) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 100) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 100 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 100) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11864 mod 281.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 118 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1181=118

2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 155 mod 281

4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 140 mod 281

8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 211 mod 281

16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 123 mod 281

32: 11832=11816+16=11816⋅11816 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281

64: 11864=11832+32=11832⋅11832 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242146 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:

146 = 128+16+2

1: 2421=242

2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 511 mod 523

4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 144 mod 523

8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 339 mod 523

16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 384 mod 523

32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 493 mod 523

64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 377 mod 523

128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 396 mod 523

242146

= 242128+16+2

= 242128⋅24216⋅2422

396 ⋅ 384 ⋅ 511 mod 523
152064 ⋅ 511 mod 523 ≡ 394 ⋅ 511 mod 523
201334 mod 523 ≡ 502 mod 523

Es gilt also: 242146 ≡ 502 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

=>71 = 2⋅28 + 15
=>28 = 1⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 28-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15)
= 7⋅28 -13⋅ 15 (=1)
15= 71-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28)
= -13⋅71 +33⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +33⋅28

Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1

Somit 33⋅28 = 1 mod 71

33 ist also das Inverse von 28 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.