Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1401 - 1397) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1401 - 1397) mod 7 ≡ (1401 mod 7 - 1397 mod 7) mod 7.
1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401
= 1400
1397 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1397
= 1400
Somit gilt:
(1401 - 1397) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 59) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 59) mod 4 ≡ (57 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.
57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 59) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2008 mod 563.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 200 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2001=200
2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 27 mod 563
4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 27⋅27=729 ≡ 166 mod 563
8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 532 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13999 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 1391=139
2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 338 mod 463
4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 346 mod 463
8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 262 mod 463
16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 120 mod 463
32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 47 mod 463
64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 357 mod 463
13999
= 13964+32+2+1
= 13964⋅13932⋅1392⋅1391
≡ 357 ⋅ 47 ⋅ 338 ⋅ 139 mod 463
≡ 16779 ⋅ 338 ⋅ 139 mod 463 ≡ 111 ⋅ 338 ⋅ 139 mod 463
≡ 37518 ⋅ 139 mod 463 ≡ 15 ⋅ 139 mod 463
≡ 2085 mod 463 ≡ 233 mod 463
Es gilt also: 13999 ≡ 233 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
