Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 + 2794) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 2794 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

2794 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2794 = 2800-6 = 7 ⋅ 400 -6 = 7 ⋅ 400 - 7 + 1.

Somit gilt:

(3500 + 2794) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 70) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 70) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 257¹=257

2: 257²=257¹⁺¹=257¹⋅257¹ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 334 mod 337

4: 257⁴=257²⁺²=257²⋅257² ≡ 334⋅334=111556 ≡ 9 mod 337

8: 257⁸=257⁴⁺⁴=257⁴⋅257⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 337

16: 257¹⁶=257⁸⁺⁸=257⁸⋅257⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 158 mod 337

32: 257³²=257¹⁶⁺¹⁶=257¹⁶⋅257¹⁶ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

64: 257⁶⁴=257³²⁺³²=257³²⋅257³² ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

867⁹³

= 867^64+16+8+4+1

= 867⁶⁴⋅867¹⁶⋅867⁸⋅867⁴⋅867¹

≡ 142 ⋅ 383 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
≡ 54386 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 909 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
≡ 872640 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 864 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
≡ 221184 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 213 ⋅ 867 mod 1009
≡ 184671 mod 1009 ≡ 24 mod 1009

Es gilt also: 867⁹³ ≡ 24 mod 1009

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59