Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4000 - 197) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 197 mod 4) mod 4.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

Somit gilt:

(4000 - 197) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 43) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 43) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 296¹=296

2: 296²=296¹⁺¹=296¹⋅296¹ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 538 mod 631

4: 296⁴=296²⁺²=296²⋅296² ≡ 538⋅538=289444 ≡ 446 mod 631

8: 296⁸=296⁴⁺⁴=296⁴⋅296⁴ ≡ 446⋅446=198916 ≡ 151 mod 631

16: 296¹⁶=296⁸⁺⁸=296⁸⋅296⁸ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 85 mod 631

32: 296³²=296¹⁶⁺¹⁶=296¹⁶⋅296¹⁶ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 284 mod 631

64: 296⁶⁴=296³²⁺³²=296³²⋅296³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 519 mod 631

128: 296¹²⁸=296⁶⁴⁺⁶⁴=296⁶⁴⋅296⁶⁴ ≡ 519⋅519=269361 ≡ 555 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

327¹¹⁸

= 327^64+32+16+4+2

= 327⁶⁴⋅327³²⋅327¹⁶⋅327⁴⋅327²

≡ 111 ⋅ 400 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
≡ 44400 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569 ≡ 18 ⋅ 549 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
≡ 9882 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569 ≡ 209 ⋅ 142 ⋅ 526 mod 569
≡ 29678 ⋅ 526 mod 569 ≡ 90 ⋅ 526 mod 569
≡ 47340 mod 569 ≡ 113 mod 569

Es gilt also: 327¹¹⁸ ≡ 113 mod 569

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67	= 1⋅54 + 13
=>54	= 4⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54) = -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67