Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 248) mod 5 ≡ (20003 mod 5 - 248 mod 5) mod 5.

20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 5 ⋅ 4000 +3.

248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 5 ⋅ 48 +8.

Somit gilt:

(20003 - 248) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 59) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 59) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 265¹=265

2: 265²=265¹⁺¹=265¹⋅265¹ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 291 mod 479

4: 265⁴=265²⁺²=265²⋅265² ≡ 291⋅291=84681 ≡ 377 mod 479

8: 265⁸=265⁴⁺⁴=265⁴⋅265⁴ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

705²²⁹

= 705^{128+64+32+4+1}

= 705¹²⁸⋅705⁶⁴⋅705³²⋅705⁴⋅705¹

≡ 475 ⋅ 231 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
≡ 109725 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853 ≡ 541 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
≡ 326223 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853 ≡ 377 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
≡ 4524 ⋅ 705 mod 853 ≡ 259 ⋅ 705 mod 853
≡ 182595 mod 853 ≡ 53 mod 853

Es gilt also: 705²²⁹ ≡ 53 mod 853

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59