Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(799 + 20001) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 76) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 76 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 76) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 372¹=372

2: 372²=372¹⁺¹=372¹⋅372¹ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 84 mod 461

4: 372⁴=372²⁺²=372²⋅372² ≡ 84⋅84=7056 ≡ 141 mod 461

8: 372⁸=372⁴⁺⁴=372⁴⋅372⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 58 mod 461

16: 372¹⁶=372⁸⁺⁸=372⁸⋅372⁸ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 137 mod 461

32: 372³²=372¹⁶⁺¹⁶=372¹⁶⋅372¹⁶ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 329 mod 461

64: 372⁶⁴=372³²⁺³²=372³²⋅372³² ≡ 329⋅329=108241 ≡ 367 mod 461

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

168²²¹

= 168^{128+64+16+8+4+1}

= 168¹²⁸⋅168⁶⁴⋅168¹⁶⋅168⁸⋅168⁴⋅168¹

≡ 232 ⋅ 57 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
≡ 13224 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 294 ⋅ 417 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
≡ 122598 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 194 ⋅ 88 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
≡ 17072 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431 ≡ 263 ⋅ 150 ⋅ 168 mod 431
≡ 39450 ⋅ 168 mod 431 ≡ 229 ⋅ 168 mod 431
≡ 38472 mod 431 ≡ 113 mod 431

Es gilt also: 168²²¹ ≡ 113 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31

=>97	= 3⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 97-3⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31) = 8⋅97 -25⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31

oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅97 = -25⋅31

-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31

-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1

(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1

72⋅31 = 23⋅97 + 1

Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1

Somit 72⋅31 = 1 mod 97

72 ist also das Inverse von 31 mod 97