Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (149 + 122) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(149 + 122) mod 3 ≡ (149 mod 3 + 122 mod 3) mod 3.
149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 150
122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(149 + 122) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 56) mod 8 ≡ (23 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 56) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3238 mod 431.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 323 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 27 mod 431
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 27⋅27=729 ≡ 298 mod 431
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 18 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 836174 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 8361=836
2: 8362=8361+1=8361⋅8361 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 288 mod 929
4: 8364=8362+2=8362⋅8362 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 263 mod 929
8: 8368=8364+4=8364⋅8364 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 423 mod 929
16: 83616=8368+8=8368⋅8368 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 561 mod 929
32: 83632=83616+16=83616⋅83616 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929
64: 83664=83632+32=83632⋅83632 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 437 mod 929
128: 836128=83664+64=83664⋅83664 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929
836174
= 836128+32+8+4+2
= 836128⋅83632⋅8368⋅8364⋅8362
≡ 524 ⋅ 719 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
≡ 376756 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929 ≡ 511 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
≡ 216153 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929 ≡ 625 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
≡ 164375 ⋅ 288 mod 929 ≡ 871 ⋅ 288 mod 929
≡ 250848 mod 929 ≡ 18 mod 929
Es gilt also: 836174 ≡ 18 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
