Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24999 + 254) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24999 + 254) mod 5 ≡ (24999 mod 5 + 254 mod 5) mod 5.
24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999
= 24000
254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254
= 250
Somit gilt:
(24999 + 254) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 83) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 83) mod 11 ≡ (22 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.
22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 83) mod 11 ≡ (0 ⋅ 6) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 353128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3531=353
2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 292 mod 727
4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 205 mod 727
8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 586 mod 727
16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 252 mod 727
32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 255 mod 727
64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 322 mod 727
128: 353128=35364+64=35364⋅35364 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 450 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 252204 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 25 mod 257
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 25⋅25=625 ≡ 111 mod 257
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 242 mod 257
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
252204
= 252128+64+8+4
= 252128⋅25264⋅2528⋅2524
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257
≡ 4096 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257 ≡ 241 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257
≡ 58322 ⋅ 111 mod 257 ≡ 240 ⋅ 111 mod 257
≡ 26640 mod 257 ≡ 169 mod 257
Es gilt also: 252204 ≡ 169 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
