Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8005 + 313) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8005 + 313) mod 8 ≡ (8005 mod 8 + 313 mod 8) mod 8.
8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005
= 8000
313 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 313
= 320
Somit gilt:
(8005 + 313) mod 8 ≡ (5 + 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 29) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 29) mod 7 ≡ (69 mod 7 ⋅ 29 mod 7) mod 7.
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 29) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27316 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 273 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 559 mod 569
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 100 mod 569
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 327 mod 569
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 526 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83191 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:
191 = 128+32+16+8+4+2+1
1: 831=83
2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 207 mod 257
4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 187 mod 257
8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 17 mod 257
16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257
32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257
64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
83191
= 83128+32+16+8+4+2+1
= 83128⋅8332⋅8316⋅838⋅834⋅832⋅831
≡ 256 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 17 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257
≡ 64768 ⋅ 32 ⋅ 17 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257 ≡ 4 ⋅ 32 ⋅ 17 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257
≡ 128 ⋅ 17 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257
≡ 2176 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257 ≡ 120 ⋅ 187 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257
≡ 22440 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257 ≡ 81 ⋅ 207 ⋅ 83 mod 257
≡ 16767 ⋅ 83 mod 257 ≡ 62 ⋅ 83 mod 257
≡ 5146 mod 257 ≡ 6 mod 257
Es gilt also: 83191 ≡ 6 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
