Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13994 - 282) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13994 - 282) mod 7 ≡ (13994 mod 7 - 282 mod 7) mod 7.
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282
= 280
Somit gilt:
(13994 - 282) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 38) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 38) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 38 mod 10) mod 10.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 38) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67116 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 671 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6711=671
2: 6712=6711+1=6711⋅6711 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 392 mod 751
4: 6714=6712+2=6712⋅6712 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 460 mod 751
8: 6718=6714+4=6714⋅6714 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 569 mod 751
16: 67116=6718+8=6718⋅6718 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 80 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 505187 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 5051=505
2: 5052=5051+1=5051⋅5051 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 371 mod 811
4: 5054=5052+2=5052⋅5052 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 582 mod 811
8: 5058=5054+4=5054⋅5054 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 537 mod 811
16: 50516=5058+8=5058⋅5058 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 464 mod 811
32: 50532=50516+16=50516⋅50516 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 381 mod 811
64: 50564=50532+32=50532⋅50532 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 803 mod 811
128: 505128=50564+64=50564⋅50564 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 64 mod 811
505187
= 505128+32+16+8+2+1
= 505128⋅50532⋅50516⋅5058⋅5052⋅5051
≡ 64 ⋅ 381 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 24384 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 54 ⋅ 464 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 25056 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 726 ⋅ 537 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 389862 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811 ≡ 582 ⋅ 371 ⋅ 505 mod 811
≡ 215922 ⋅ 505 mod 811 ≡ 196 ⋅ 505 mod 811
≡ 98980 mod 811 ≡ 38 mod 811
Es gilt also: 505187 ≡ 38 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47
| =>79 | = 1⋅47 + 32 |
| =>47 | = 1⋅32 + 15 |
| =>32 | = 2⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 32-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1) |
| 15= 47-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1) |
| 32= 79-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47
oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅79 = +37⋅47
Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1
Somit 37⋅47 = 1 mod 79
37 ist also das Inverse von 47 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
