Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35996 - 4503) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35996 - 4503) mod 9 ≡ (35996 mod 9 - 4503 mod 9) mod 9.
35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996
= 36000
4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503
= 4500
Somit gilt:
(35996 - 4503) mod 9 ≡ (5 - 3) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 74) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 74) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.
68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 74) mod 8 ≡ (4 ⋅ 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17964 mod 521.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 260 mod 521
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 391 mod 521
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 228 mod 521
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 405 mod 521
32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 431 mod 521
64: 17964=17932+32=17932⋅17932 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 285 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54970 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 5491=549
2: 5492=5491+1=5491⋅5491 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 414 mod 631
4: 5494=5492+2=5492⋅5492 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 395 mod 631
8: 5498=5494+4=5494⋅5494 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 168 mod 631
16: 54916=5498+8=5498⋅5498 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 460 mod 631
32: 54932=54916+16=54916⋅54916 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 215 mod 631
64: 54964=54932+32=54932⋅54932 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 162 mod 631
54970
= 54964+4+2
= 54964⋅5494⋅5492
≡ 162 ⋅ 395 ⋅ 414 mod 631
≡ 63990 ⋅ 414 mod 631 ≡ 259 ⋅ 414 mod 631
≡ 107226 mod 631 ≡ 587 mod 631
Es gilt also: 54970 ≡ 587 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
