Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 + 1203) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 + 1203) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 1203 mod 3) mod 3.
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(121 + 1203) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 57) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 57) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 57 mod 4) mod 4.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 57) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16032 mod 263.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 160 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1601=160
2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 89 mod 263
4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 31 mod 263
8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 31⋅31=961 ≡ 172 mod 263
16: 16016=1608+8=1608⋅1608 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 128 mod 263
32: 16032=16016+16=16016⋅16016 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 78 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39370 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 3931=393
2: 3932=3931+1=3931⋅3931 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 259 mod 907
4: 3934=3932+2=3932⋅3932 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 870 mod 907
8: 3938=3934+4=3934⋅3934 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 462 mod 907
16: 39316=3938+8=3938⋅3938 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 299 mod 907
32: 39332=39316+16=39316⋅39316 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 515 mod 907
64: 39364=39332+32=39332⋅39332 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 381 mod 907
39370
= 39364+4+2
= 39364⋅3934⋅3932
≡ 381 ⋅ 870 ⋅ 259 mod 907
≡ 331470 ⋅ 259 mod 907 ≡ 415 ⋅ 259 mod 907
≡ 107485 mod 907 ≡ 459 mod 907
Es gilt also: 39370 ≡ 459 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
