Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25002 - 5005) mod 5 ≡ (25002 mod 5 - 5005 mod 5) mod 5.

25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002 = 25000+2 = 5 ⋅ 5000 +2.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

Somit gilt:

(25002 - 5005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 34) mod 5 ≡ (46 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 34) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 579¹=579

2: 579²=579¹⁺¹=579¹⋅579¹ ≡ 579⋅579=335241 ≡ 94 mod 727

4: 579⁴=579²⁺²=579²⋅579² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 112 mod 727

8: 579⁸=579⁴⁺⁴=579⁴⋅579⁴ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 185 mod 727

16: 579¹⁶=579⁸⁺⁸=579⁸⋅579⁸ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 56 mod 727

32: 579³²=579¹⁶⁺¹⁶=579¹⁶⋅579¹⁶ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 228 mod 727

64: 579⁶⁴=579³²⁺³²=579³²⋅579³² ≡ 228⋅228=51984 ≡ 367 mod 727

128: 579¹²⁸=579⁶⁴⁺⁶⁴=579⁶⁴⋅579⁶⁴ ≡ 367⋅367=134689 ≡ 194 mod 727

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

234¹⁶³

= 234^128+32+2+1

= 234¹²⁸⋅234³²⋅234²⋅234¹

≡ 176 ⋅ 129 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271
≡ 22704 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271 ≡ 211 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271
≡ 2954 ⋅ 234 mod 271 ≡ 244 ⋅ 234 mod 271
≡ 57096 mod 271 ≡ 186 mod 271

Es gilt also: 234¹⁶³ ≡ 186 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83	= 1⋅66 + 17
=>66	= 3⋅17 + 15
=>17	= 1⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17) = -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66) = 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83