Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1005 + 100) mod 5 ≡ (1005 mod 5 + 100 mod 5) mod 5.

1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005 = 1000+5 = 5 ⋅ 200 +5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(1005 + 100) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 60) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 60) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 268¹=268

2: 268²=268¹⁺¹=268¹⋅268¹ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 451 mod 643

4: 268⁴=268²⁺²=268²⋅268² ≡ 451⋅451=203401 ≡ 213 mod 643

8: 268⁸=268⁴⁺⁴=268⁴⋅268⁴ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 359 mod 643

16: 268¹⁶=268⁸⁺⁸=268⁸⋅268⁸ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 281 mod 643

32: 268³²=268¹⁶⁺¹⁶=268¹⁶⋅268¹⁶ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 515 mod 643

64: 268⁶⁴=268³²⁺³²=268³²⋅268³² ≡ 515⋅515=265225 ≡ 309 mod 643

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

271¹²⁷

= 271^{64+32+16+8+4+2+1}

= 271⁶⁴⋅271³²⋅271¹⁶⋅271⁸⋅271⁴⋅271²⋅271¹

≡ 361 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503
≡ 174724 ⋅ 22 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503 ≡ 183 ⋅ 22 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503
≡ 4026 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503 ≡ 2 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503
≡ 162 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503
≡ 1458 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503 ≡ 452 ⋅ 3 ⋅ 271 mod 503
≡ 1356 ⋅ 271 mod 503 ≡ 350 ⋅ 271 mod 503
≡ 94850 mod 503 ≡ 286 mod 503

Es gilt also: 271¹²⁷ ≡ 286 mod 503

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61