Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8000 - 397) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8000 - 397) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
Somit gilt:
(8000 - 397) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 23) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 23) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14432 mod 251.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 154 mod 251
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 122 mod 251
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 75 mod 251
16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 103 mod 251
32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 67 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 401203 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 178 mod 661
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 617 mod 661
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 614 mod 661
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 226 mod 661
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 179 mod 661
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 313 mod 661
128: 401128=40164+64=40164⋅40164 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 141 mod 661
401203
= 401128+64+8+2+1
= 401128⋅40164⋅4018⋅4012⋅4011
≡ 141 ⋅ 313 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 44133 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661 ≡ 507 ⋅ 614 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 311298 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661 ≡ 628 ⋅ 178 ⋅ 401 mod 661
≡ 111784 ⋅ 401 mod 661 ≡ 75 ⋅ 401 mod 661
≡ 30075 mod 661 ≡ 330 mod 661
Es gilt also: 401203 ≡ 330 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
