Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 + 15996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 + 15996) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 15996 mod 4) mod 4.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

15996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996 = 15000+996 = 4 ⋅ 3750 +996.

Somit gilt:

(1199 + 15996) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2168 mod 223.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2161=216

2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 49 mod 223

4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 171 mod 223

8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 28 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 214196 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 395 mod 547

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 130 mod 547

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 490 mod 547

16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 514 mod 547

32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 542 mod 547

64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 25 mod 547

128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 25⋅25=625 ≡ 78 mod 547

214196

= 214128+64+4

= 214128⋅21464⋅2144

78 ⋅ 25 ⋅ 130 mod 547
1950 ⋅ 130 mod 547 ≡ 309 ⋅ 130 mod 547
40170 mod 547 ≡ 239 mod 547

Es gilt also: 214196 ≡ 239 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.