Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4002 - 3208) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 - 3208) mod 8 ≡ (4002 mod 8 - 3208 mod 8) mod 8.

4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 8 ⋅ 500 +2.

3208 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3208 = 3200+8 = 8 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(4002 - 3208) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 27) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 27) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 27) mod 11 ≡ (8 ⋅ 5) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 522128 mod 787.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 522 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5221=522

2: 5222=5221+1=5221⋅5221 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 182 mod 787

4: 5224=5222+2=5222⋅5222 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 70 mod 787

8: 5228=5224+4=5224⋅5224 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 178 mod 787

16: 52216=5228+8=5228⋅5228 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 204 mod 787

32: 52232=52216+16=52216⋅52216 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 692 mod 787

64: 52264=52232+32=52232⋅52232 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 368 mod 787

128: 522128=52264+64=52264⋅52264 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 60 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12775 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 1271=127

2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 86 mod 263

4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263

8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263

16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 258 mod 263

32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 25 mod 263

64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 25⋅25=625 ≡ 99 mod 263

12775

= 12764+8+2+1

= 12764⋅1278⋅1272⋅1271

99 ⋅ 235 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263
23265 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263 ≡ 121 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263
10406 ⋅ 127 mod 263 ≡ 149 ⋅ 127 mod 263
18923 mod 263 ≡ 250 mod 263

Es gilt also: 12775 ≡ 250 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89 = 1⋅76 + 13
=>76 = 5⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13)
= 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76)
= -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.