Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27006 + 359) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27006 + 359) mod 9 ≡ (27006 mod 9 + 359 mod 9) mod 9.

27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006 = 27000+6 = 9 ⋅ 3000 +6.

359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359 = 360-1 = 9 ⋅ 40 -1 = 9 ⋅ 40 - 9 + 8.

Somit gilt:

(27006 + 359) mod 9 ≡ (6 + 8) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 84) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 84) mod 4 ≡ (26 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.

26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 84) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 257.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 29 mod 257

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 29⋅29=841 ≡ 70 mod 257

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 17 mod 257

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 402206 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 4021=402

2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 386 mod 541

4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 221 mod 541

8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 151 mod 541

16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 79 mod 541

32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 290 mod 541

64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 245 mod 541

128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 515 mod 541

402206

= 402128+64+8+4+2

= 402128⋅40264⋅4028⋅4024⋅4022

515 ⋅ 245 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
126175 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541 ≡ 122 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
18422 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541 ≡ 28 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
6188 ⋅ 386 mod 541 ≡ 237 ⋅ 386 mod 541
91482 mod 541 ≡ 53 mod 541

Es gilt also: 402206 ≡ 53 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72

=>89 = 1⋅72 + 17
=>72 = 4⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 72-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17)
= -4⋅72 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72)
= 17⋅89 -21⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -21⋅72

-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72

-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1

(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1

68⋅72 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1

Somit 68⋅72 = 1 mod 89

68 ist also das Inverse von 72 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.