Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 1499) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 1499) mod 3 ≡ (300 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1500
Somit gilt:
(300 - 1499) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 25) mod 4 ≡ (43 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 25) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1828 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 69 mod 601
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 554 mod 601
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 406 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 336233 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:
233 = 128+64+32+8+1
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 214 mod 547
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 395 mod 547
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 130 mod 547
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 490 mod 547
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 514 mod 547
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 542 mod 547
128: 336128=33664+64=33664⋅33664 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 25 mod 547
336233
= 336128+64+32+8+1
= 336128⋅33664⋅33632⋅3368⋅3361
≡ 25 ⋅ 542 ⋅ 514 ⋅ 130 ⋅ 336 mod 547
≡ 13550 ⋅ 514 ⋅ 130 ⋅ 336 mod 547 ≡ 422 ⋅ 514 ⋅ 130 ⋅ 336 mod 547
≡ 216908 ⋅ 130 ⋅ 336 mod 547 ≡ 296 ⋅ 130 ⋅ 336 mod 547
≡ 38480 ⋅ 336 mod 547 ≡ 190 ⋅ 336 mod 547
≡ 63840 mod 547 ≡ 388 mod 547
Es gilt also: 336233 ≡ 388 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
