Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 + 118) mod 6 ≡ (24003 mod 6 + 118 mod 6) mod 6.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

118 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 6 ⋅ 20 -2 = 6 ⋅ 20 - 6 + 4.

Somit gilt:

(24003 + 118) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 53) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 53) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 435¹=435

2: 435²=435¹⁺¹=435¹⋅435¹ ≡ 435⋅435=189225 ≡ 92 mod 659

4: 435⁴=435²⁺²=435²⋅435² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 556 mod 659

8: 435⁸=435⁴⁺⁴=435⁴⋅435⁴ ≡ 556⋅556=309136 ≡ 65 mod 659

16: 435¹⁶=435⁸⁺⁸=435⁸⋅435⁸ ≡ 65⋅65=4225 ≡ 271 mod 659

32: 435³²=435¹⁶⁺¹⁶=435¹⁶⋅435¹⁶ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 292 mod 659

64: 435⁶⁴=435³²⁺³²=435³²⋅435³² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 253 mod 659

128: 435¹²⁸=435⁶⁴⁺⁶⁴=435⁶⁴⋅435⁶⁴ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 86 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:

241 = 128+64+32+16+1

450²⁴¹

= 450^{128+64+32+16+1}

= 450¹²⁸⋅450⁶⁴⋅450³²⋅450¹⁶⋅450¹

≡ 345 ⋅ 454 ⋅ 232 ⋅ 277 ⋅ 450 mod 593
≡ 156630 ⋅ 232 ⋅ 277 ⋅ 450 mod 593 ≡ 78 ⋅ 232 ⋅ 277 ⋅ 450 mod 593
≡ 18096 ⋅ 277 ⋅ 450 mod 593 ≡ 306 ⋅ 277 ⋅ 450 mod 593
≡ 84762 ⋅ 450 mod 593 ≡ 556 ⋅ 450 mod 593
≡ 250200 mod 593 ≡ 547 mod 593

Es gilt also: 450²⁴¹ ≡ 547 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59	= 1⋅44 + 15
=>44	= 2⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44) = -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59