Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (144 - 2101) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(144 - 2101) mod 7 ≡ (144 mod 7 - 2101 mod 7) mod 7.

144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144 = 140+4 = 7 ⋅ 20 +4.

2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101 = 2100+1 = 7 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(144 - 2101) mod 7 ≡ (4 - 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 17) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 17) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 17 mod 11) mod 11.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 17) mod 11 ≡ (6 ⋅ 6) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 83128 mod 277.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 83 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 831=83

2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 241 mod 277

4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 188 mod 277

8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 165 mod 277

16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 79 mod 277

32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 147 mod 277

64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 3 mod 277

128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212188 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 2121=212

2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 60 mod 229

4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 165 mod 229

8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 203 mod 229

16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 218 mod 229

32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 121 mod 229

64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 214 mod 229

128: 212128=21264+64=21264⋅21264 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 225 mod 229

212188

= 212128+32+16+8+4

= 212128⋅21232⋅21216⋅2128⋅2124

225 ⋅ 121 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
27225 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229 ≡ 203 ⋅ 218 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
44254 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229 ≡ 57 ⋅ 203 ⋅ 165 mod 229
11571 ⋅ 165 mod 229 ≡ 121 ⋅ 165 mod 229
19965 mod 229 ≡ 42 mod 229

Es gilt also: 212188 ≡ 42 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.