Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21002 - 2095) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21002 - 2095) mod 7 ≡ (21002 mod 7 - 2095 mod 7) mod 7.
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
2095 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2095
= 2100
Somit gilt:
(21002 - 2095) mod 7 ≡ (2 - 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 99) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 99) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 99 mod 9) mod 9.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 99) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 803128 mod 883.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 803 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8031=803
2: 8032=8031+1=8031⋅8031 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 219 mod 883
4: 8034=8032+2=8032⋅8032 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 279 mod 883
8: 8038=8034+4=8034⋅8034 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 137 mod 883
16: 80316=8038+8=8038⋅8038 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 226 mod 883
32: 80332=80316+16=80316⋅80316 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 745 mod 883
64: 80364=80332+32=80332⋅80332 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 501 mod 883
128: 803128=80364+64=80364⋅80364 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 229 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24772 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 2471=247
2: 2472=2471+1=2471⋅2471 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 369 mod 379
4: 2474=2472+2=2472⋅2472 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 100 mod 379
8: 2478=2474+4=2474⋅2474 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 146 mod 379
16: 24716=2478+8=2478⋅2478 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 92 mod 379
32: 24732=24716+16=24716⋅24716 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 126 mod 379
64: 24764=24732+32=24732⋅24732 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 337 mod 379
24772
= 24764+8
= 24764⋅2478
≡ 337 ⋅ 146 mod 379
≡ 49202 mod 379 ≡ 311 mod 379
Es gilt also: 24772 ≡ 311 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22
| =>53 | = 2⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -12⋅22
-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22
-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1
(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1
41⋅22 = 17⋅53 + 1
Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1
Somit 41⋅22 = 1 mod 53
41 ist also das Inverse von 22 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
