Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3500 + 2794) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 + 2794) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 2794 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

2794 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2794 = 2800-6 = 7 ⋅ 400 -6 = 7 ⋅ 400 - 7 + 1.

Somit gilt:

(3500 + 2794) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 70) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 70) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25764 mod 337.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 334 mod 337

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 9 mod 337

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 337

16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 158 mod 337

32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86793 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

1: 8671=867

2: 8672=8671+1=8671⋅8671 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 993 mod 1009

4: 8674=8672+2=8672⋅8672 ≡ 993⋅993=986049 ≡ 256 mod 1009

8: 8678=8674+4=8674⋅8674 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 960 mod 1009

16: 86716=8678+8=8678⋅8678 ≡ 960⋅960=921600 ≡ 383 mod 1009

32: 86732=86716+16=86716⋅86716 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 384 mod 1009

64: 86764=86732+32=86732⋅86732 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 142 mod 1009

86793

= 86764+16+8+4+1

= 86764⋅86716⋅8678⋅8674⋅8671

142 ⋅ 383 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
54386 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 909 ⋅ 960 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
872640 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 864 ⋅ 256 ⋅ 867 mod 1009
221184 ⋅ 867 mod 1009 ≡ 213 ⋅ 867 mod 1009
184671 mod 1009 ≡ 24 mod 1009

Es gilt also: 86793 ≡ 24 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.