Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4007 - 236) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4007 - 236) mod 8 ≡ (4007 mod 8 - 236 mod 8) mod 8.
4007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4007
= 4000
236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
Somit gilt:
(4007 - 236) mod 8 ≡ (7 - 4) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 87) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 87) mod 8 ≡ (29 mod 8 ⋅ 87 mod 8) mod 8.
29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 87) mod 8 ≡ (5 ⋅ 7) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30616 mod 401.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 203 mod 401
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 307 mod 401
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 14 mod 401
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198170 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 147 mod 277
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 3 mod 277
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 277
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 277
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277
198170
= 198128+32+8+2
= 198128⋅19832⋅1988⋅1982
≡ 67 ⋅ 190 ⋅ 9 ⋅ 147 mod 277
≡ 12730 ⋅ 9 ⋅ 147 mod 277 ≡ 265 ⋅ 9 ⋅ 147 mod 277
≡ 2385 ⋅ 147 mod 277 ≡ 169 ⋅ 147 mod 277
≡ 24843 mod 277 ≡ 190 mod 277
Es gilt also: 198170 ≡ 190 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
