Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10001 + 20005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10001 + 20005) mod 5 ≡ (10001 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
Somit gilt:
(10001 + 20005) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 31) mod 7 ≡ (98 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 31) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26016 mod 373.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 87 mod 373
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 109 mod 373
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 318 mod 373
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 41 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 607193 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 6071=607
2: 6072=6071+1=6071⋅6071 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 518 mod 941
4: 6074=6072+2=6072⋅6072 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 139 mod 941
8: 6078=6074+4=6074⋅6074 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 501 mod 941
16: 60716=6078+8=6078⋅6078 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 695 mod 941
32: 60732=60716+16=60716⋅60716 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 292 mod 941
64: 60764=60732+32=60732⋅60732 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 574 mod 941
128: 607128=60764+64=60764⋅60764 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 126 mod 941
607193
= 607128+64+1
= 607128⋅60764⋅6071
≡ 126 ⋅ 574 ⋅ 607 mod 941
≡ 72324 ⋅ 607 mod 941 ≡ 808 ⋅ 607 mod 941
≡ 490456 mod 941 ≡ 195 mod 941
Es gilt also: 607193 ≡ 195 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26
| =>59 | = 2⋅26 + 7 |
| =>26 | = 3⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 26-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7) = 3⋅26 -11⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26) = -11⋅59 +25⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +25⋅26
Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1
Somit 25⋅26 = 1 mod 59
25 ist also das Inverse von 26 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
