Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (898 - 88) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 - 88) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

Somit gilt:

(898 - 88) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 70) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 70) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 70) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23664 mod 257.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 184 mod 257

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 189 mod 257

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 255 mod 257

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 111224 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 1111=111

2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 63 mod 227

4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 110 mod 227

8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 69 mod 227

16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 221 mod 227

32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 36 mod 227

64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 161 mod 227

128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 43 mod 227

111224

= 111128+64+32

= 111128⋅11164⋅11132

43 ⋅ 161 ⋅ 36 mod 227
6923 ⋅ 36 mod 227 ≡ 113 ⋅ 36 mod 227
4068 mod 227 ≡ 209 mod 227

Es gilt also: 111224 ≡ 209 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49

=>59 = 1⋅49 + 10
=>49 = 4⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 49-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10)
= -1⋅49 +5⋅ 10 (=1)
10= 59-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49)
= 5⋅59 -6⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -6⋅49

-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49

-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1

(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1

53⋅49 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1

Somit 53⋅49 = 1 mod 59

53 ist also das Inverse von 49 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.