Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 + 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 + 40) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.
204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
Somit gilt:
(204 + 40) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 47) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 47) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 47) mod 11 ≡ (8 ⋅ 3) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80264 mod 1009.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 802 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8021=802
2: 8022=8021+1=8021⋅8021 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 471 mod 1009
4: 8024=8022+2=8022⋅8022 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 870 mod 1009
8: 8028=8024+4=8024⋅8024 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 150 mod 1009
16: 80216=8028+8=8028⋅8028 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 302 mod 1009
32: 80232=80216+16=80216⋅80216 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 394 mod 1009
64: 80264=80232+32=80232⋅80232 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 859 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 398122 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 3981=398
2: 3982=3981+1=3981⋅3981 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 108 mod 421
4: 3984=3982+2=3982⋅3982 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 297 mod 421
8: 3988=3984+4=3984⋅3984 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 220 mod 421
16: 39816=3988+8=3988⋅3988 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 406 mod 421
32: 39832=39816+16=39816⋅39816 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 225 mod 421
64: 39864=39832+32=39832⋅39832 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 105 mod 421
398122
= 39864+32+16+8+2
= 39864⋅39832⋅39816⋅3988⋅3982
≡ 105 ⋅ 225 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 23625 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421 ≡ 49 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 19894 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421 ≡ 107 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 23540 ⋅ 108 mod 421 ≡ 385 ⋅ 108 mod 421
≡ 41580 mod 421 ≡ 322 mod 421
Es gilt also: 398122 ≡ 322 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
