Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (153 - 9002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(153 - 9002) mod 3 ≡ (153 mod 3 - 9002 mod 3) mod 3.
153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153
= 150
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
Somit gilt:
(153 - 9002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 33) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 33) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 33) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24416 mod 449.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 268 mod 449
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 433 mod 449
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 256 mod 449
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 431 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 793238 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 7931=793
2: 7932=7931+1=7931⋅7931 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 438 mod 839
4: 7934=7932+2=7932⋅7932 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 552 mod 839
8: 7938=7934+4=7934⋅7934 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 147 mod 839
16: 79316=7938+8=7938⋅7938 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 634 mod 839
32: 79332=79316+16=79316⋅79316 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 75 mod 839
64: 79364=79332+32=79332⋅79332 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 591 mod 839
128: 793128=79364+64=79364⋅79364 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 257 mod 839
793238
= 793128+64+32+8+4+2
= 793128⋅79364⋅79332⋅7938⋅7934⋅7932
≡ 257 ⋅ 591 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 151887 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 28 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 2100 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 422 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 62034 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 787 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 434424 ⋅ 438 mod 839 ≡ 661 ⋅ 438 mod 839
≡ 289518 mod 839 ≡ 63 mod 839
Es gilt also: 793238 ≡ 63 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
