Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(707 - 697) mod 7 ≡ (707 mod 7 - 697 mod 7) mod 7.

707 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 707 = 700+7 = 7 ⋅ 100 +7.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

Somit gilt:

(707 - 697) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 45) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 45) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 281¹=281

2: 281²=281¹⁺¹=281¹⋅281¹ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 424 mod 557

4: 281⁴=281²⁺²=281²⋅281² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 422 mod 557

8: 281⁸=281⁴⁺⁴=281⁴⋅281⁴ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 401 mod 557

16: 281¹⁶=281⁸⁺⁸=281⁸⋅281⁸ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 385 mod 557

32: 281³²=281¹⁶⁺¹⁶=281¹⁶⋅281¹⁶ ≡ 385⋅385=148225 ≡ 63 mod 557

64: 281⁶⁴=281³²⁺³²=281³²⋅281³² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 70 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

312⁷¹

= 312^64+4+2+1

= 312⁶⁴⋅312⁴⋅312²⋅312¹

≡ 546 ⋅ 288 ⋅ 408 ⋅ 312 mod 577
≡ 157248 ⋅ 408 ⋅ 312 mod 577 ≡ 304 ⋅ 408 ⋅ 312 mod 577
≡ 124032 ⋅ 312 mod 577 ≡ 554 ⋅ 312 mod 577
≡ 172848 mod 577 ≡ 325 mod 577

Es gilt also: 312⁷¹ ≡ 325 mod 577

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97	= 1⋅69 + 28
=>69	= 2⋅28 + 13
=>28	= 2⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28) = -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69) = 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97