Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(499 + 10004) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 10004 mod 5) mod 5.

499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499 = 400+99 = 5 ⋅ 80 +99.

10004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10004 = 10000+4 = 5 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(499 + 10004) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 89) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 89) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 623¹=623

2: 623²=623¹⁺¹=623¹⋅623¹ ≡ 623⋅623=388129 ≡ 476 mod 701

4: 623⁴=623²⁺²=623²⋅623² ≡ 476⋅476=226576 ≡ 153 mod 701

8: 623⁸=623⁴⁺⁴=623⁴⋅623⁴ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 276 mod 701

16: 623¹⁶=623⁸⁺⁸=623⁸⋅623⁸ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 468 mod 701

32: 623³²=623¹⁶⁺¹⁶=623¹⁶⋅623¹⁶ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 312 mod 701

64: 623⁶⁴=623³²⁺³²=623³²⋅623³² ≡ 312⋅312=97344 ≡ 606 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

377¹⁵⁴

= 377^128+16+8+2

= 377¹²⁸⋅377¹⁶⋅377⁸⋅377²

≡ 473 ⋅ 750 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811
≡ 354750 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811 ≡ 343 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811
≡ 49735 ⋅ 204 mod 811 ≡ 264 ⋅ 204 mod 811
≡ 53856 mod 811 ≡ 330 mod 811

Es gilt also: 377¹⁵⁴ ≡ 330 mod 811

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53