Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2496 + 15000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2496 + 15000) mod 5 ≡ (2496 mod 5 + 15000 mod 5) mod 5.
2496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2496
= 2400
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
Somit gilt:
(2496 + 15000) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 74) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 74) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.
68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 74) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3308 mod 439.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 28 mod 439
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 28⋅28=784 ≡ 345 mod 439
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 56 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22761 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 39 mod 271
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 166 mod 271
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 185 mod 271
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 79 mod 271
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 8 mod 271
22761
= 22732+16+8+4+1
= 22732⋅22716⋅2278⋅2274⋅2271
≡ 8 ⋅ 79 ⋅ 185 ⋅ 166 ⋅ 227 mod 271
≡ 632 ⋅ 185 ⋅ 166 ⋅ 227 mod 271 ≡ 90 ⋅ 185 ⋅ 166 ⋅ 227 mod 271
≡ 16650 ⋅ 166 ⋅ 227 mod 271 ≡ 119 ⋅ 166 ⋅ 227 mod 271
≡ 19754 ⋅ 227 mod 271 ≡ 242 ⋅ 227 mod 271
≡ 54934 mod 271 ≡ 192 mod 271
Es gilt also: 22761 ≡ 192 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 80
| =>83 | = 1⋅80 + 3 |
| =>80 | = 26⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 80-26⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(80 -26⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅80 +26⋅ 3) = -1⋅80 +27⋅ 3 (=1) |
| 3= 83-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +27⋅(83 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +27⋅83 -27⋅ 80) = 27⋅83 -28⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,80)=1 = 27⋅83 -28⋅80
oder wenn man 27⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅83 = -28⋅80
-28⋅80 = -27⋅83 + 1 |+83⋅80
-28⋅80 + 83⋅80 = -27⋅83 + 83⋅80 + 1
(-28 + 83) ⋅ 80 = (-27 + 80) ⋅ 83 + 1
55⋅80 = 53⋅83 + 1
Es gilt also: 55⋅80 = 53⋅83 +1
Somit 55⋅80 = 1 mod 83
55 ist also das Inverse von 80 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
