Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 600) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 600) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 600 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
Somit gilt:
(1500 + 600) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 63) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 63) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33316 mod 541.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 525 mod 541
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 256 mod 541
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 75 mod 541
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 107162 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 1071=107
2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 76 mod 223
4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 201 mod 223
8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 38 mod 223
16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 106 mod 223
32: 10732=10716+16=10716⋅10716 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 86 mod 223
64: 10764=10732+32=10732⋅10732 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 37 mod 223
128: 107128=10764+64=10764⋅10764 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 31 mod 223
107162
= 107128+32+2
= 107128⋅10732⋅1072
≡ 31 ⋅ 86 ⋅ 76 mod 223
≡ 2666 ⋅ 76 mod 223 ≡ 213 ⋅ 76 mod 223
≡ 16188 mod 223 ≡ 132 mod 223
Es gilt also: 107162 ≡ 132 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 95.
Also bestimme x, so dass 95 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95
| =>101 | = 1⋅95 + 6 |
| =>95 | = 15⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,95)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 95-15⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6) = -1⋅95 +16⋅ 6 (=1) |
| 6= 101-1⋅95 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95)
= -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95) = 16⋅101 -17⋅ 95 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -17⋅95
-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95
-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1
(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1
84⋅95 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1
Somit 84⋅95 = 1 mod 101
84 ist also das Inverse von 95 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
