Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (300 + 18001) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 18001) mod 6 ≡ (300 mod 6 + 18001 mod 6) mod 6.

300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 6 ⋅ 50 +0.

18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001 = 18000+1 = 6 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(300 + 18001) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 28) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 28) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 28) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21764 mod 223.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 36 mod 223

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 181 mod 223

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 203 mod 223

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 177 mod 223

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 271116 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 2711=271

2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 187 mod 421

4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 26 mod 421

8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 26⋅26=676 ≡ 255 mod 421

16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 191 mod 421

32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 275 mod 421

64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 266 mod 421

271116

= 27164+32+16+4

= 27164⋅27132⋅27116⋅2714

266 ⋅ 275 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421
73150 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421 ≡ 317 ⋅ 191 ⋅ 26 mod 421
60547 ⋅ 26 mod 421 ≡ 344 ⋅ 26 mod 421
8944 mod 421 ≡ 103 mod 421

Es gilt also: 271116 ≡ 103 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.