Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10002 - 1499) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10002 - 1499) mod 5 ≡ (10002 mod 5 - 1499 mod 5) mod 5.

10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002 = 10000+2 = 5 ⋅ 2000 +2.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

Somit gilt:

(10002 - 1499) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 47) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 47) mod 6 ≡ (41 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 47) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36164 mod 397.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,397) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3611=361

2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397

4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 306 mod 397

8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 341 mod 397

16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 357 mod 397

32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 12 mod 397

64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327163 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 343 mod 389

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 171 mod 389

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 66 mod 389

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 77 mod 389

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 94 mod 389

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 278 mod 389

128: 327128=32764+64=32764⋅32764 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 262 mod 389

327163

= 327128+32+2+1

= 327128⋅32732⋅3272⋅3271

262 ⋅ 94 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389
24628 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389 ≡ 121 ⋅ 343 ⋅ 327 mod 389
41503 ⋅ 327 mod 389 ≡ 269 ⋅ 327 mod 389
87963 mod 389 ≡ 49 mod 389

Es gilt also: 327163 ≡ 49 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83 = 2⋅32 + 19
=>32 = 1⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19)
= 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32)
= -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.