Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6993 - 704) mod 7 ≡ (6993 mod 7 - 704 mod 7) mod 7.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704 = 700+4 = 7 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(6993 - 704) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 25) mod 3 ≡ (31 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 25) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 448¹=448

2: 448²=448¹⁺¹=448¹⋅448¹ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 497 mod 773

4: 448⁴=448²⁺²=448²⋅448² ≡ 497⋅497=247009 ≡ 422 mod 773

8: 448⁸=448⁴⁺⁴=448⁴⋅448⁴ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 294 mod 773

16: 448¹⁶=448⁸⁺⁸=448⁸⋅448⁸ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 633 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

141⁹⁵

= 141^{64+16+8+4+2+1}

= 141⁶⁴⋅141¹⁶⋅141⁸⋅141⁴⋅141²⋅141¹

≡ 180 ⋅ 204 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
≡ 36720 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 93 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
≡ 2325 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 220 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
≡ 91520 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 163 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
≡ 15322 ⋅ 141 mod 421 ≡ 166 ⋅ 141 mod 421
≡ 23406 mod 421 ≡ 251 mod 421

Es gilt also: 141⁹⁵ ≡ 251 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56

=>59	= 1⋅56 + 3
=>56	= 18⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 56-18⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3) = -1⋅56 +19⋅ 3 (=1)
3= 59-1⋅56	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56) = -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56) = 19⋅59 -20⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -20⋅56

-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56

-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1

(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1

39⋅56 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1

Somit 39⋅56 = 1 mod 59

39 ist also das Inverse von 56 mod 59