Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1001 - 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1001 - 5000) mod 5 ≡ (1001 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.
1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001
= 1000
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(1001 - 5000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 51) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 51) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36164 mod 587.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 361 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 7 mod 587
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 587
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 53 mod 587
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 461 mod 587
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 27 mod 587
64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 27⋅27=729 ≡ 142 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 193128 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 1931=193
2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 356 mod 467
4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 179 mod 467
8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 285 mod 467
16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 434 mod 467
32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 155 mod 467
64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 208 mod 467
128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 300 mod 467
193128
= 193128
= 193128
≡ 300 mod 467
Es gilt also: 193128 ≡ 300 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39
| =>73 | = 1⋅39 + 34 |
| =>39 | = 1⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 39-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1) |
| 34= 73-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39
oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅73 = +15⋅39
Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1
Somit 15⋅39 = 1 mod 73
15 ist also das Inverse von 39 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
