Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 + 150) mod 5 ≡ (14998 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.

14998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 14000+998 = 5 ⋅ 2800 +998.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(14998 + 150) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 504¹=504

2: 504²=504¹⁺¹=504¹⋅504¹ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 419 mod 691

4: 504⁴=504²⁺²=504²⋅504² ≡ 419⋅419=175561 ≡ 47 mod 691

8: 504⁸=504⁴⁺⁴=504⁴⋅504⁴ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 136 mod 691

16: 504¹⁶=504⁸⁺⁸=504⁸⋅504⁸ ≡ 136⋅136=18496 ≡ 530 mod 691

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

397¹⁷⁴

= 397^128+32+8+4+2

= 397¹²⁸⋅397³²⋅397⁸⋅397⁴⋅397²

≡ 494 ⋅ 30 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 14820 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821 ≡ 42 ⋅ 701 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 29442 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821 ≡ 707 ⋅ 529 ⋅ 798 mod 821
≡ 374003 ⋅ 798 mod 821 ≡ 448 ⋅ 798 mod 821
≡ 357504 mod 821 ≡ 369 mod 821

Es gilt also: 397¹⁷⁴ ≡ 369 mod 821

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67