Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1501 - 1498) mod 3 ≡ (1501 mod 3 - 1498 mod 3) mod 3.

1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 3 ⋅ 500 +1.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1501 - 1498) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 95) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 95) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 201¹=201

2: 201²=201¹⁺¹=201¹⋅201¹ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 236 mod 277

4: 201⁴=201²⁺²=201²⋅201² ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277

8: 201⁸=201⁴⁺⁴=201⁴⋅201⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 84 mod 277

16: 201¹⁶=201⁸⁺⁸=201⁸⋅201⁸ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 131 mod 277

32: 201³²=201¹⁶⁺¹⁶=201¹⁶⋅201¹⁶ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 264 mod 277

64: 201⁶⁴=201³²⁺³²=201³²⋅201³² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 169 mod 277

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

426¹⁰²

= 426^64+32+4+2

= 426⁶⁴⋅426³²⋅426⁴⋅426²

≡ 162 ⋅ 396 ⋅ 865 ⋅ 647 mod 967
≡ 64152 ⋅ 865 ⋅ 647 mod 967 ≡ 330 ⋅ 865 ⋅ 647 mod 967
≡ 285450 ⋅ 647 mod 967 ≡ 185 ⋅ 647 mod 967
≡ 119695 mod 967 ≡ 754 mod 967

Es gilt also: 426¹⁰² ≡ 754 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89