Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1502 + 147) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 + 147) mod 3 ≡ (1502 mod 3 + 147 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1502 + 147) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 62) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 62) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.

23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 62) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67716 mod 757.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 677 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6771=677

2: 6772=6771+1=6771⋅6771 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 344 mod 757

4: 6774=6772+2=6772⋅6772 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 244 mod 757

8: 6778=6774+4=6774⋅6774 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 490 mod 757

16: 67716=6778+8=6778⋅6778 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 131 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 383111 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 3831=383

2: 3832=3831+1=3831⋅3831 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 482 mod 499

4: 3834=3832+2=3832⋅3832 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 289 mod 499

8: 3838=3834+4=3834⋅3834 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 188 mod 499

16: 38316=3838+8=3838⋅3838 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 414 mod 499

32: 38332=38316+16=38316⋅38316 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 239 mod 499

64: 38364=38332+32=38332⋅38332 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 235 mod 499

383111

= 38364+32+8+4+2+1

= 38364⋅38332⋅3838⋅3834⋅3832⋅3831

235 ⋅ 239 ⋅ 188 ⋅ 289 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499
56165 ⋅ 188 ⋅ 289 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499 ≡ 277 ⋅ 188 ⋅ 289 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499
52076 ⋅ 289 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499 ≡ 180 ⋅ 289 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499
52020 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499 ≡ 124 ⋅ 482 ⋅ 383 mod 499
59768 ⋅ 383 mod 499 ≡ 387 ⋅ 383 mod 499
148221 mod 499 ≡ 18 mod 499

Es gilt also: 383111 ≡ 18 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 66

=>97 = 1⋅66 + 31
=>66 = 2⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 66-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(66 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅66 -16⋅ 31)
= 8⋅66 -17⋅ 31 (=1)
31= 97-1⋅66 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅66 -17⋅(97 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -17⋅97 +17⋅ 66)
= -17⋅97 +25⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(97,66)=1 = -17⋅97 +25⋅66

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +25⋅66

Es gilt also: 25⋅66 = 17⋅97 +1

Somit 25⋅66 = 1 mod 97

25 ist also das Inverse von 66 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.