Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (270 - 35993) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(270 - 35993) mod 9 ≡ (270 mod 9 - 35993 mod 9) mod 9.
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
35993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35993
= 36000
Somit gilt:
(270 - 35993) mod 9 ≡ (0 - 2) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 16) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 16) mod 8 ≡ (35 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.
35 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 4 ⋅ 8 + 3 ist.
16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 16) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27964 mod 293.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 279 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 367200 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 65 mod 601
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 18 mod 601
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 601
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 402 mod 601
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 536 mod 601
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 18 mod 601
128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 601
367200
= 367128+64+8
= 367128⋅36764⋅3678
≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 324 mod 601
≡ 5832 ⋅ 324 mod 601 ≡ 423 ⋅ 324 mod 601
≡ 137052 mod 601 ≡ 24 mod 601
Es gilt also: 367200 ≡ 24 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
