Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6003 - 24006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 - 24006) mod 6 ≡ (6003 mod 6 - 24006 mod 6) mod 6.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(6003 - 24006) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 70) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 70) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 70 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 70) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48664 mod 757.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4861=486

2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 12 mod 757

4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 757

8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 297 mod 757

16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 397 mod 757

32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 153 mod 757

64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 699 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26963 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 283 mod 293

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 100 mod 293

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 38 mod 293

16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 272 mod 293

32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 148 mod 293

26963

= 26932+16+8+4+2+1

= 26932⋅26916⋅2698⋅2694⋅2692⋅2691

148 ⋅ 272 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
40256 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 115 ⋅ 38 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
4370 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 268 ⋅ 100 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
26800 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293 ≡ 137 ⋅ 283 ⋅ 269 mod 293
38771 ⋅ 269 mod 293 ≡ 95 ⋅ 269 mod 293
25555 mod 293 ≡ 64 mod 293

Es gilt also: 26963 ≡ 64 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.