Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 + 302) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 + 302) mod 6 ≡ (56 mod 6 + 302 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56
= 60
302 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302
= 300
Somit gilt:
(56 + 302) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 89) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 89) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17932 mod 349.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 179 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1791=179
2: 1792=1791+1=1791⋅1791 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 282 mod 349
4: 1794=1792+2=1792⋅1792 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 301 mod 349
8: 1798=1794+4=1794⋅1794 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 210 mod 349
16: 17916=1798+8=1798⋅1798 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 126 mod 349
32: 17932=17916+16=17916⋅17916 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 171 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 594109 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 5941=594
2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 617 mod 751
4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 683 mod 751
8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 118 mod 751
16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 406 mod 751
32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 367 mod 751
64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 260 mod 751
594109
= 59464+32+8+4+1
= 59464⋅59432⋅5948⋅5944⋅5941
≡ 260 ⋅ 367 ⋅ 118 ⋅ 683 ⋅ 594 mod 751
≡ 95420 ⋅ 118 ⋅ 683 ⋅ 594 mod 751 ≡ 43 ⋅ 118 ⋅ 683 ⋅ 594 mod 751
≡ 5074 ⋅ 683 ⋅ 594 mod 751 ≡ 568 ⋅ 683 ⋅ 594 mod 751
≡ 387944 ⋅ 594 mod 751 ≡ 428 ⋅ 594 mod 751
≡ 254232 mod 751 ≡ 394 mod 751
Es gilt also: 594109 ≡ 394 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
