Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4004 - 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4004 - 804) mod 4 ≡ (4004 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(4004 - 804) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 34) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 34) mod 3 ≡ (21 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.
21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 34) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14064 mod 383.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 67 mod 383
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 276 mod 383
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 342 mod 383
16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 149 mod 383
32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 370 mod 383
64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 169 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47067 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 4701=470
2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 289 mod 487
4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 244 mod 487
8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 122 mod 487
16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 274 mod 487
32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487
64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 240 mod 487
47067
= 47064+2+1
= 47064⋅4702⋅4701
≡ 240 ⋅ 289 ⋅ 470 mod 487
≡ 69360 ⋅ 470 mod 487 ≡ 206 ⋅ 470 mod 487
≡ 96820 mod 487 ≡ 394 mod 487
Es gilt also: 47067 ≡ 394 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71
| =>79 | = 1⋅71 + 8 |
| =>71 | = 8⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 71-8⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8) = -1⋅71 +9⋅ 8 (=1) |
| 8= 79-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71) = 9⋅79 -10⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71
oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅79 = -10⋅71
-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71
-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1
(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1
69⋅71 = 62⋅79 + 1
Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1
Somit 69⋅71 = 1 mod 79
69 ist also das Inverse von 71 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
