Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18008 + 357) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18008 + 357) mod 9 ≡ (18008 mod 9 + 357 mod 9) mod 9.

18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008 = 18000+8 = 9 ⋅ 2000 +8.

357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 360-3 = 9 ⋅ 40 -3 = 9 ⋅ 40 - 9 + 6.

Somit gilt:

(18008 + 357) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 47) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 47) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18616 mod 509.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 493 mod 509

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 256 mod 509

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 384 mod 509

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 355 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323207 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 327 mod 349

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 135 mod 349

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 77 mod 349

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 345 mod 349

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 16 mod 349

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 349

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 273 mod 349

323207

= 323128+64+8+4+2+1

= 323128⋅32364⋅3238⋅3234⋅3232⋅3231

273 ⋅ 256 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
69888 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 88 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
6776 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 145 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
19575 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 31 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
10137 ⋅ 323 mod 349 ≡ 16 ⋅ 323 mod 349
5168 mod 349 ≡ 282 mod 349

Es gilt also: 323207 ≡ 282 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.