Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 - 996) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 996 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

Somit gilt:

(2500 - 996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 35) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 35) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 413¹=413

2: 413²=413¹⁺¹=413¹⋅413¹ ≡ 413⋅413=170569 ≡ 71 mod 523

4: 413⁴=413²⁺²=413²⋅413² ≡ 71⋅71=5041 ≡ 334 mod 523

8: 413⁸=413⁴⁺⁴=413⁴⋅413⁴ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 157 mod 523

16: 413¹⁶=413⁸⁺⁸=413⁸⋅413⁸ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 68 mod 523

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

196¹⁸⁶

= 196^{128+32+16+8+2}

= 196¹²⁸⋅196³²⋅196¹⁶⋅196⁸⋅196²

≡ 134 ⋅ 84 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 11256 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227 ≡ 133 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 21147 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227 ≡ 36 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 6768 ⋅ 53 mod 227 ≡ 185 ⋅ 53 mod 227
≡ 9805 mod 227 ≡ 44 mod 227

Es gilt also: 196¹⁸⁶ ≡ 44 mod 227

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59	= 3⋅18 + 5
=>18	= 3⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18) = 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59