Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(159 + 3193) mod 8 ≡ (159 mod 8 + 3193 mod 8) mod 8.

159 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 8 ⋅ 20 -1 = 8 ⋅ 20 - 8 + 7.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

Somit gilt:

(159 + 3193) mod 8 ≡ (7 + 1) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 65) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 65) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 184¹=184

2: 184²=184¹⁺¹=184¹⋅184¹ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 157 mod 239

4: 184⁴=184²⁺²=184²⋅184² ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

8: 184⁸=184⁴⁺⁴=184⁴⋅184⁴ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

16: 184¹⁶=184⁸⁺⁸=184⁸⋅184⁸ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

32: 184³²=184¹⁶⁺¹⁶=184¹⁶⋅184¹⁶ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239

64: 184⁶⁴=184³²⁺³²=184³²⋅184³² ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239

128: 184¹²⁸=184⁶⁴⁺⁶⁴=184⁶⁴⋅184⁶⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

283¹¹⁵

= 283^64+32+16+2+1

= 283⁶⁴⋅283³²⋅283¹⁶⋅283²⋅283¹

≡ 191 ⋅ 367 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
≡ 70097 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739 ≡ 631 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
≡ 241673 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739 ≡ 20 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
≡ 5540 ⋅ 283 mod 739 ≡ 367 ⋅ 283 mod 739
≡ 103861 mod 739 ≡ 401 mod 739

Es gilt also: 283¹¹⁵ ≡ 401 mod 739

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83