Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4508 - 44997) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4508 - 44997) mod 9 ≡ (4508 mod 9 - 44997 mod 9) mod 9.
4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508
= 4500
44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997
= 45000
Somit gilt:
(4508 - 44997) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 88) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 88) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 88 mod 6) mod 6.
15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.
88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 88) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61616 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 616 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6161=616
2: 6162=6161+1=6161⋅6161 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 392 mod 967
4: 6164=6162+2=6162⋅6162 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 878 mod 967
8: 6168=6164+4=6164⋅6164 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 185 mod 967
16: 61616=6168+8=6168⋅6168 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 380 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 157108 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 347 mod 419
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 156 mod 419
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 34 mod 419
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 318 mod 419
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 145 mod 419
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419
157108
= 15764+32+8+4
= 15764⋅15732⋅1578⋅1574
≡ 75 ⋅ 145 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419
≡ 10875 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419 ≡ 400 ⋅ 34 ⋅ 156 mod 419
≡ 13600 ⋅ 156 mod 419 ≡ 192 ⋅ 156 mod 419
≡ 29952 mod 419 ≡ 203 mod 419
Es gilt also: 157108 ≡ 203 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
