Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6000 + 3002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 3002) mod 6 ≡ (6000 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(6000 + 3002) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 46) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 46) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 46) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 96128 mod 227.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 96 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 961=96

2: 962=961+1=961⋅961 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 136 mod 227

4: 964=962+2=962⋅962 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 109 mod 227

8: 968=964+4=964⋅964 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 77 mod 227

16: 9616=968+8=968⋅968 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 27 mod 227

32: 9632=9616+16=9616⋅9616 ≡ 27⋅27=729 ≡ 48 mod 227

64: 9664=9632+32=9632⋅9632 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 34 mod 227

128: 96128=9664+64=9664⋅9664 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 21 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 625174 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 6251=625

2: 6252=6251+1=6251⋅6251 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 50 mod 919

4: 6254=6252+2=6252⋅6252 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 662 mod 919

8: 6258=6254+4=6254⋅6254 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 800 mod 919

16: 62516=6258+8=6258⋅6258 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 376 mod 919

32: 62532=62516+16=62516⋅62516 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 769 mod 919

64: 62564=62532+32=62532⋅62532 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 444 mod 919

128: 625128=62564+64=62564⋅62564 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 470 mod 919

625174

= 625128+32+8+4+2

= 625128⋅62532⋅6258⋅6254⋅6252

470 ⋅ 769 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
361430 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919 ≡ 263 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
210400 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919 ≡ 868 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
574616 ⋅ 50 mod 919 ≡ 241 ⋅ 50 mod 919
12050 mod 919 ≡ 103 mod 919

Es gilt also: 625174 ≡ 103 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63

=>79 = 1⋅63 + 16
=>63 = 3⋅16 + 15
=>16 = 1⋅15 + 1
=>15 = 15⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-1⋅15
15= 63-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16)
= -1⋅63 +4⋅ 16 (=1)
16= 79-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63)
= 4⋅79 -5⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -5⋅63

-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63

-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1

(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1

74⋅63 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1

Somit 74⋅63 = 1 mod 79

74 ist also das Inverse von 63 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.