Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 - 5003) mod 5 ≡ (1499 mod 5 - 5003 mod 5) mod 5.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003 = 5000+3 = 5 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(1499 - 5003) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 51) mod 3 ≡ (84 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 51) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 281¹=281

2: 281²=281¹⁺¹=281¹⋅281¹ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 846 mod 919

4: 281⁴=281²⁺²=281²⋅281² ≡ 846⋅846=715716 ≡ 734 mod 919

8: 281⁸=281⁴⁺⁴=281⁴⋅281⁴ ≡ 734⋅734=538756 ≡ 222 mod 919

16: 281¹⁶=281⁸⁺⁸=281⁸⋅281⁸ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 577 mod 919

32: 281³²=281¹⁶⁺¹⁶=281¹⁶⋅281¹⁶ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 251 mod 919

64: 281⁶⁴=281³²⁺³²=281³²⋅281³² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 509 mod 919

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

572²⁵²

= 572^{128+64+32+16+8+4}

= 572¹²⁸⋅572⁶⁴⋅572³²⋅572¹⁶⋅572⁸⋅572⁴

≡ 7 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
≡ 3388 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 624 ⋅ 22 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
≡ 13728 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 599 ⋅ 79 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
≡ 47321 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691 ≡ 333 ⋅ 626 ⋅ 193 mod 691
≡ 208458 ⋅ 193 mod 691 ≡ 467 ⋅ 193 mod 691
≡ 90131 mod 691 ≡ 301 mod 691

Es gilt also: 572²⁵² ≡ 301 mod 691

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67	= 1⋅63 + 4
=>63	= 15⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63) = -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67