Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 - 12000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 - 12000) mod 3 ≡ (1200 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(1200 - 12000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 39) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 39) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 39) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34416 mod 373.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 95 mod 373
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 73 mod 373
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 107 mod 373
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 259 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 563168 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 114 mod 823
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 651 mod 823
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 779 mod 823
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 779⋅779=606841 ≡ 290 mod 823
32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 154 mod 823
64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 672 mod 823
128: 563128=56364+64=56364⋅56364 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 580 mod 823
563168
= 563128+32+8
= 563128⋅56332⋅5638
≡ 580 ⋅ 154 ⋅ 779 mod 823
≡ 89320 ⋅ 779 mod 823 ≡ 436 ⋅ 779 mod 823
≡ 339644 mod 823 ≡ 568 mod 823
Es gilt also: 563168 ≡ 568 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
