Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24005 - 32000) mod 8 ≡ (24005 mod 8 - 32000 mod 8) mod 8.

24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005 = 24000+5 = 8 ⋅ 3000 +5.

32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000 = 32000+0 = 8 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(24005 - 32000) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 56) mod 3 ≡ (21 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 514¹=514

2: 514²=514¹⁺¹=514¹⋅514¹ ≡ 514⋅514=264196 ≡ 149 mod 563

4: 514⁴=514²⁺²=514²⋅514² ≡ 149⋅149=22201 ≡ 244 mod 563

8: 514⁸=514⁴⁺⁴=514⁴⋅514⁴ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 421 mod 563

16: 514¹⁶=514⁸⁺⁸=514⁸⋅514⁸ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 459 mod 563

32: 514³²=514¹⁶⁺¹⁶=514¹⁶⋅514¹⁶ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 119 mod 563

64: 514⁶⁴=514³²⁺³²=514³²⋅514³² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 86 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

438¹¹⁷

= 438^64+32+16+4+1

= 438⁶⁴⋅438³²⋅438¹⁶⋅438⁴⋅438¹

≡ 153 ⋅ 94 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 14382 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457 ≡ 215 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 56330 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457 ≡ 119 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 9044 ⋅ 438 mod 457 ≡ 361 ⋅ 438 mod 457
≡ 158118 mod 457 ≡ 453 mod 457

Es gilt also: 438¹¹⁷ ≡ 453 mod 457

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101