Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 + 2499) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 + 2499) mod 5 ≡ (99 mod 5 + 2499 mod 5) mod 5.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99
= 90
2499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2499
= 2400
Somit gilt:
(99 + 2499) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 92) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 92) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 92 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 92) mod 10 ≡ (9 ⋅ 2) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27316 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 273 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 388 mod 491
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 298 mod 491
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 424 mod 491
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 70 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 429138 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 19 mod 911
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 911
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 48 mod 911
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 482 mod 911
32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 19 mod 911
64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 911
128: 429128=42964+64=42964⋅42964 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 48 mod 911
429138
= 429128+8+2
= 429128⋅4298⋅4292
≡ 48 ⋅ 48 ⋅ 19 mod 911
≡ 2304 ⋅ 19 mod 911 ≡ 482 ⋅ 19 mod 911
≡ 9158 mod 911 ≡ 48 mod 911
Es gilt also: 429138 ≡ 48 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
