Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20998 - 3505) mod 7 ≡ (20998 mod 7 - 3505 mod 7) mod 7.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

3505 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3505 = 3500+5 = 7 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(20998 - 3505) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 317¹=317

2: 317²=317¹⁺¹=317¹⋅317¹ ≡ 317⋅317=100489 ≡ 180 mod 829

4: 317⁴=317²⁺²=317²⋅317² ≡ 180⋅180=32400 ≡ 69 mod 829

8: 317⁸=317⁴⁺⁴=317⁴⋅317⁴ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829

16: 317¹⁶=317⁸⁺⁸=317⁸⋅317⁸ ≡ 616⋅616=379456 ≡ 603 mod 829

32: 317³²=317¹⁶⁺¹⁶=317¹⁶⋅317¹⁶ ≡ 603⋅603=363609 ≡ 507 mod 829

64: 317⁶⁴=317³²⁺³²=317³²⋅317³² ≡ 507⋅507=257049 ≡ 59 mod 829

128: 317¹²⁸=317⁶⁴⁺⁶⁴=317⁶⁴⋅317⁶⁴ ≡ 59⋅59=3481 ≡ 165 mod 829

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

447¹¹⁸

= 447^64+32+16+4+2

= 447⁶⁴⋅447³²⋅447¹⁶⋅447⁴⋅447²

≡ 444 ⋅ 517 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
≡ 229548 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643 ≡ 640 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
≡ 119040 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643 ≡ 85 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
≡ 45305 ⋅ 479 mod 643 ≡ 295 ⋅ 479 mod 643
≡ 141305 mod 643 ≡ 488 mod 643

Es gilt also: 447¹¹⁸ ≡ 488 mod 643

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71	= 2⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71