Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 - 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 - 11997) mod 3 ≡ (6000 mod 3 - 11997 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(6000 - 11997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 44) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 44) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 44) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21716 mod 317.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 173 mod 317
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 131 mod 317
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 43 mod 317
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 264 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 189139 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 39 mod 313
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 269 mod 313
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 58 mod 313
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 234 mod 313
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313
64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313
128: 189128=18964+64=18964⋅18964 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313
189139
= 189128+8+2+1
= 189128⋅1898⋅1892⋅1891
≡ 113 ⋅ 58 ⋅ 39 ⋅ 189 mod 313
≡ 6554 ⋅ 39 ⋅ 189 mod 313 ≡ 294 ⋅ 39 ⋅ 189 mod 313
≡ 11466 ⋅ 189 mod 313 ≡ 198 ⋅ 189 mod 313
≡ 37422 mod 313 ≡ 175 mod 313
Es gilt also: 189139 ≡ 175 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
