Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 - 9000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 - 9000) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 9000 mod 3) mod 3.
152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 150
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
Somit gilt:
(152 - 9000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 89) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 89) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43316 mod 439.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 36 mod 439
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 418 mod 439
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 2 mod 439
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 154211 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 22 mod 359
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 22⋅22=484 ≡ 125 mod 359
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 188 mod 359
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 162 mod 359
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 37 mod 359
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 292 mod 359
128: 154128=15464+64=15464⋅15464 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 181 mod 359
154211
= 154128+64+16+2+1
= 154128⋅15464⋅15416⋅1542⋅1541
≡ 181 ⋅ 292 ⋅ 162 ⋅ 22 ⋅ 154 mod 359
≡ 52852 ⋅ 162 ⋅ 22 ⋅ 154 mod 359 ≡ 79 ⋅ 162 ⋅ 22 ⋅ 154 mod 359
≡ 12798 ⋅ 22 ⋅ 154 mod 359 ≡ 233 ⋅ 22 ⋅ 154 mod 359
≡ 5126 ⋅ 154 mod 359 ≡ 100 ⋅ 154 mod 359
≡ 15400 mod 359 ≡ 322 mod 359
Es gilt also: 154211 ≡ 322 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
