Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1996 - 5001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1996 - 5001) mod 5 ≡ (1996 mod 5 - 5001 mod 5) mod 5.
1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001
= 5000
Somit gilt:
(1996 - 5001) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 69) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 69) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 69) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22364 mod 409.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 240 mod 409
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 340 mod 409
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 262 mod 409
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 125 mod 409
64: 22364=22332+32=22332⋅22332 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 83 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 83479 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 8341=834
2: 8342=8341+1=8341⋅8341 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 148 mod 887
4: 8344=8342+2=8342⋅8342 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 616 mod 887
8: 8348=8344+4=8344⋅8344 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 707 mod 887
16: 83416=8348+8=8348⋅8348 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 468 mod 887
32: 83432=83416+16=83416⋅83416 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 822 mod 887
64: 83464=83432+32=83432⋅83432 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 677 mod 887
83479
= 83464+8+4+2+1
= 83464⋅8348⋅8344⋅8342⋅8341
≡ 677 ⋅ 707 ⋅ 616 ⋅ 148 ⋅ 834 mod 887
≡ 478639 ⋅ 616 ⋅ 148 ⋅ 834 mod 887 ≡ 546 ⋅ 616 ⋅ 148 ⋅ 834 mod 887
≡ 336336 ⋅ 148 ⋅ 834 mod 887 ≡ 163 ⋅ 148 ⋅ 834 mod 887
≡ 24124 ⋅ 834 mod 887 ≡ 175 ⋅ 834 mod 887
≡ 145950 mod 887 ≡ 482 mod 887
Es gilt also: 83479 ≡ 482 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
