Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16002 - 20003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16002 - 20003) mod 4 ≡ (16002 mod 4 - 20003 mod 4) mod 4.

16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002 = 16000+2 = 4 ⋅ 4000 +2.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(16002 - 20003) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 62) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 62) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 62) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3568 mod 827.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 356 -> x
2. mod(x²,827) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3561=356

2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 205 mod 827

4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 675 mod 827

8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 775 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46385 mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

1: 4631=463

2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 462 mod 523

4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 60 mod 523

8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 462 mod 523

16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 60 mod 523

32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 462 mod 523

64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 60 mod 523

46385

= 46364+16+4+1

= 46364⋅46316⋅4634⋅4631

60 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 463 mod 523
3600 ⋅ 60 ⋅ 463 mod 523 ≡ 462 ⋅ 60 ⋅ 463 mod 523
27720 ⋅ 463 mod 523 ≡ 1 ⋅ 463 mod 523
463 mod 523

Es gilt also: 46385 ≡ 463 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.