Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1796 - 1205) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1796 - 1205) mod 6 ≡ (1796 mod 6 - 1205 mod 6) mod 6.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(1796 - 1205) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 38) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 38) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36016 mod 877.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3601=360

2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 681 mod 877

4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 705 mod 877

8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 643 mod 877

16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 382 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 311165 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 3111=311

2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 449 mod 547

4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 305 mod 547

8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 35 mod 547

16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 131 mod 547

32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 204 mod 547

64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 44 mod 547

128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 295 mod 547

311165

= 311128+32+4+1

= 311128⋅31132⋅3114⋅3111

295 ⋅ 204 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547
60180 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547 ≡ 10 ⋅ 305 ⋅ 311 mod 547
3050 ⋅ 311 mod 547 ≡ 315 ⋅ 311 mod 547
97965 mod 547 ≡ 52 mod 547

Es gilt also: 311165 ≡ 52 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

=>83 = 1⋅59 + 24
=>59 = 2⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24)
= 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)
24= 83-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59)
= 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59)
= -27⋅83 +38⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59

oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅83 = +38⋅59

Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1

Somit 38⋅59 = 1 mod 83

38 ist also das Inverse von 59 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.