Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 + 1503) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 + 1503) mod 5 ≡ (15000 mod 5 + 1503 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
1503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
Somit gilt:
(15000 + 1503) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 79) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 79) mod 5 ≡ (37 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.
37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.
79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 79) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17416 mod 277.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 83 mod 277
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 241 mod 277
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 188 mod 277
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 165 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27883 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 2781=278
2: 2782=2781+1=2781⋅2781 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 292 mod 401
4: 2784=2782+2=2782⋅2782 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 252 mod 401
8: 2788=2784+4=2784⋅2784 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 146 mod 401
16: 27816=2788+8=2788⋅2788 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 63 mod 401
32: 27832=27816+16=27816⋅27816 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 360 mod 401
64: 27864=27832+32=27832⋅27832 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401
27883
= 27864+16+2+1
= 27864⋅27816⋅2782⋅2781
≡ 77 ⋅ 63 ⋅ 292 ⋅ 278 mod 401
≡ 4851 ⋅ 292 ⋅ 278 mod 401 ≡ 39 ⋅ 292 ⋅ 278 mod 401
≡ 11388 ⋅ 278 mod 401 ≡ 160 ⋅ 278 mod 401
≡ 44480 mod 401 ≡ 370 mod 401
Es gilt also: 27883 ≡ 370 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 36
| =>101 | = 2⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 101-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(101 -2⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅101 -10⋅ 36) = 5⋅101 -14⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,36)=1 = 5⋅101 -14⋅36
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -14⋅36
-14⋅36 = -5⋅101 + 1 |+101⋅36
-14⋅36 + 101⋅36 = -5⋅101 + 101⋅36 + 1
(-14 + 101) ⋅ 36 = (-5 + 36) ⋅ 101 + 1
87⋅36 = 31⋅101 + 1
Es gilt also: 87⋅36 = 31⋅101 +1
Somit 87⋅36 = 1 mod 101
87 ist also das Inverse von 36 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
