Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2106 + 208) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2106 + 208) mod 7 ≡ (2106 mod 7 + 208 mod 7) mod 7.
2106 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2106
= 2100
208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208
= 210
Somit gilt:
(2106 + 208) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 91) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 91) mod 5 ≡ (40 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.
40 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 8 ⋅ 5 + 0 ist.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 91) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67064 mod 971.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 670 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6701=670
2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 298 mod 971
4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 443 mod 971
8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 107 mod 971
16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 768 mod 971
32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 427 mod 971
64: 67064=67032+32=67032⋅67032 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 752 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54598 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 5451=545
2: 5452=5451+1=5451⋅5451 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 409 mod 727
4: 5454=5452+2=5452⋅5452 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 71 mod 727
8: 5458=5454+4=5454⋅5454 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 679 mod 727
16: 54516=5458+8=5458⋅5458 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 123 mod 727
32: 54532=54516+16=54516⋅54516 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 589 mod 727
64: 54564=54532+32=54532⋅54532 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 142 mod 727
54598
= 54564+32+2
= 54564⋅54532⋅5452
≡ 142 ⋅ 589 ⋅ 409 mod 727
≡ 83638 ⋅ 409 mod 727 ≡ 33 ⋅ 409 mod 727
≡ 13497 mod 727 ≡ 411 mod 727
Es gilt also: 54598 ≡ 411 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
