Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6999 + 34999) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6999 + 34999) mod 7 ≡ (6999 mod 7 + 34999 mod 7) mod 7.
6999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6999
= 7000
34999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34999
= 35000
Somit gilt:
(6999 + 34999) mod 7 ≡ (6 + 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 76) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 76) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 76 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 76) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45932 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 76 mod 577
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 6 mod 577
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 577
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 142 mod 577
32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 546 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45097 mod 863.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 558 mod 863
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 18 mod 863
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 863
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 553 mod 863
45097
= 45064+32+1
= 45064⋅45032⋅4501
≡ 553 ⋅ 324 ⋅ 450 mod 863
≡ 179172 ⋅ 450 mod 863 ≡ 531 ⋅ 450 mod 863
≡ 238950 mod 863 ≡ 762 mod 863
Es gilt also: 45097 ≡ 762 mod 863
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
