Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 - 164) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 - 164) mod 4 ≡ (20003 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.
20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(20003 - 164) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 43) mod 7 ≡ (100 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
100 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 98 + 2 = 14 ⋅ 7 + 2 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 43) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 633128 mod 941.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 633 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6331=633
2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 764 mod 941
4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 276 mod 941
8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 896 mod 941
16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 896⋅896=802816 ≡ 143 mod 941
32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 688 mod 941
64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 21 mod 941
128: 633128=63364+64=63364⋅63364 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 457196 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 4571=457
2: 4572=4571+1=4571⋅4571 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 236 mod 919
4: 4574=4572+2=4572⋅4572 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 556 mod 919
8: 4578=4574+4=4574⋅4574 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 352 mod 919
16: 45716=4578+8=4578⋅4578 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 758 mod 919
32: 45732=45716+16=45716⋅45716 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 189 mod 919
64: 45764=45732+32=45732⋅45732 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 799 mod 919
128: 457128=45764+64=45764⋅45764 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 615 mod 919
457196
= 457128+64+4
= 457128⋅45764⋅4574
≡ 615 ⋅ 799 ⋅ 556 mod 919
≡ 491385 ⋅ 556 mod 919 ≡ 639 ⋅ 556 mod 919
≡ 355284 mod 919 ≡ 550 mod 919
Es gilt also: 457196 ≡ 550 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
