Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (805 + 328) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(805 + 328) mod 8 ≡ (805 mod 8 + 328 mod 8) mod 8.
805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805
= 800
328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328
= 320
Somit gilt:
(805 + 328) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 90) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 90 mod 3) mod 3.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 90) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3388 mod 367.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 107 mod 367
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 72 mod 367
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 46 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 462195 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:
195 = 128+64+2+1
1: 4621=462
2: 4622=4621+1=4621⋅4621 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 778 mod 941
4: 4624=4622+2=4622⋅4622 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 221 mod 941
8: 4628=4624+4=4624⋅4624 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 850 mod 941
16: 46216=4628+8=4628⋅4628 ≡ 850⋅850=722500 ≡ 753 mod 941
32: 46232=46216+16=46216⋅46216 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 527 mod 941
64: 46264=46232+32=46232⋅46232 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 134 mod 941
128: 462128=46264+64=46264⋅46264 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 77 mod 941
462195
= 462128+64+2+1
= 462128⋅46264⋅4622⋅4621
≡ 77 ⋅ 134 ⋅ 778 ⋅ 462 mod 941
≡ 10318 ⋅ 778 ⋅ 462 mod 941 ≡ 908 ⋅ 778 ⋅ 462 mod 941
≡ 706424 ⋅ 462 mod 941 ≡ 674 ⋅ 462 mod 941
≡ 311388 mod 941 ≡ 858 mod 941
Es gilt also: 462195 ≡ 858 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
