Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (894 - 1800) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(894 - 1800) mod 9 ≡ (894 mod 9 - 1800 mod 9) mod 9.
894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894
= 900
1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(894 - 1800) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 92) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 92) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2098 mod 421.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,421) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 318 mod 421
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 84 mod 421
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 320 mod 421
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 340179 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:
179 = 128+32+16+2+1
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 422 mod 433
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 121 mod 433
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 352 mod 433
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 66 mod 433
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 26 mod 433
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 26⋅26=676 ≡ 243 mod 433
128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433
340179
= 340128+32+16+2+1
= 340128⋅34032⋅34016⋅3402⋅3401
≡ 161 ⋅ 26 ⋅ 66 ⋅ 422 ⋅ 340 mod 433
≡ 4186 ⋅ 66 ⋅ 422 ⋅ 340 mod 433 ≡ 289 ⋅ 66 ⋅ 422 ⋅ 340 mod 433
≡ 19074 ⋅ 422 ⋅ 340 mod 433 ≡ 22 ⋅ 422 ⋅ 340 mod 433
≡ 9284 ⋅ 340 mod 433 ≡ 191 ⋅ 340 mod 433
≡ 64940 mod 433 ≡ 423 mod 433
Es gilt also: 340179 ≡ 423 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 71
| =>89 | = 1⋅71 + 18 |
| =>71 | = 3⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 71-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(71 -3⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅71 +3⋅ 18) = -1⋅71 +4⋅ 18 (=1) |
| 18= 89-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +4⋅(89 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +4⋅89 -4⋅ 71) = 4⋅89 -5⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,71)=1 = 4⋅89 -5⋅71
oder wenn man 4⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅89 = -5⋅71
-5⋅71 = -4⋅89 + 1 |+89⋅71
-5⋅71 + 89⋅71 = -4⋅89 + 89⋅71 + 1
(-5 + 89) ⋅ 71 = (-4 + 71) ⋅ 89 + 1
84⋅71 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 84⋅71 = 67⋅89 +1
Somit 84⋅71 = 1 mod 89
84 ist also das Inverse von 71 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
