Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1596 + 3997) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1596 + 3997) mod 4 ≡ (1596 mod 4 + 3997 mod 4) mod 4.
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 3000
Somit gilt:
(1596 + 3997) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 80) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66164 mod 863.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 661 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6611=661
2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 243 mod 863
4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 365 mod 863
8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 323 mod 863
16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 769 mod 863
32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 206 mod 863
64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 149 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149151 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 120 mod 311
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 98 mod 311
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 274 mod 311
149151
= 149128+16+4+2+1
= 149128⋅14916⋅1494⋅1492⋅1491
≡ 274 ⋅ 212 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 58088 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311 ≡ 242 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 22748 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311 ≡ 45 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 5400 ⋅ 149 mod 311 ≡ 113 ⋅ 149 mod 311
≡ 16837 mod 311 ≡ 43 mod 311
Es gilt also: 149151 ≡ 43 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
