Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13998 + 2097) mod 7 ≡ (13998 mod 7 + 2097 mod 7) mod 7.

13998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13998 = 14000-2 = 7 ⋅ 2000 -2 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 5.

2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097 = 2100-3 = 7 ⋅ 300 -3 = 7 ⋅ 300 - 7 + 4.

Somit gilt:

(13998 + 2097) mod 7 ≡ (5 + 4) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 26) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 26) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 458¹=458

2: 458²=458¹⁺¹=458¹⋅458¹ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 118 mod 613

4: 458⁴=458²⁺²=458²⋅458² ≡ 118⋅118=13924 ≡ 438 mod 613

8: 458⁸=458⁴⁺⁴=458⁴⋅458⁴ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 588 mod 613

16: 458¹⁶=458⁸⁺⁸=458⁸⋅458⁸ ≡ 588⋅588=345744 ≡ 12 mod 613

32: 458³²=458¹⁶⁺¹⁶=458¹⁶⋅458¹⁶ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 613

64: 458⁶⁴=458³²⁺³²=458³²⋅458³² ≡ 144⋅144=20736 ≡ 507 mod 613

128: 458¹²⁸=458⁶⁴⁺⁶⁴=458⁶⁴⋅458⁶⁴ ≡ 507⋅507=257049 ≡ 202 mod 613

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

212¹⁶⁵

= 212^128+32+4+1

= 212¹²⁸⋅212³²⋅212⁴⋅212¹

≡ 316 ⋅ 276 ⋅ 94 ⋅ 212 mod 359
≡ 87216 ⋅ 94 ⋅ 212 mod 359 ≡ 338 ⋅ 94 ⋅ 212 mod 359
≡ 31772 ⋅ 212 mod 359 ≡ 180 ⋅ 212 mod 359
≡ 38160 mod 359 ≡ 106 mod 359

Es gilt also: 212¹⁶⁵ ≡ 106 mod 359

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73