Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 - 1800) mod 6 ≡ (124 mod 6 - 1800 mod 6) mod 6.

124 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 6 ⋅ 20 +4.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(124 - 1800) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 80) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 80) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 141¹=141

2: 141²=141¹⁺¹=141¹⋅141¹ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 76 mod 233

4: 141⁴=141²⁺²=141²⋅141² ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233

8: 141⁸=141⁴⁺⁴=141⁴⋅141⁴ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 71 mod 233

16: 141¹⁶=141⁸⁺⁸=141⁸⋅141⁸ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 148 mod 233

32: 141³²=141¹⁶⁺¹⁶=141¹⁶⋅141¹⁶ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 2 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

437¹⁵⁵

= 437^128+16+8+2+1

= 437¹²⁸⋅437¹⁶⋅437⁸⋅437²⋅437¹

≡ 177 ⋅ 268 ⋅ 209 ⋅ 351 ⋅ 437 mod 499
≡ 47436 ⋅ 209 ⋅ 351 ⋅ 437 mod 499 ≡ 31 ⋅ 209 ⋅ 351 ⋅ 437 mod 499
≡ 6479 ⋅ 351 ⋅ 437 mod 499 ≡ 491 ⋅ 351 ⋅ 437 mod 499
≡ 172341 ⋅ 437 mod 499 ≡ 186 ⋅ 437 mod 499
≡ 81282 mod 499 ≡ 444 mod 499

Es gilt also: 437¹⁵⁵ ≡ 444 mod 499

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59	= 2⋅23 + 13
=>23	= 1⋅13 + 10
=>13	= 1⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13) = -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23) = 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59