Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19998 - 997) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19998 - 997) mod 5 ≡ (19998 mod 5 - 997 mod 5) mod 5.
19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 997
= 900
Somit gilt:
(19998 - 997) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 88) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 88) mod 8 ≡ (31 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.
31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 88) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61016 mod 757.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 610 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6101=610
2: 6102=6101+1=6101⋅6101 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 413 mod 757
4: 6104=6102+2=6102⋅6102 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 244 mod 757
8: 6108=6104+4=6104⋅6104 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 490 mod 757
16: 61016=6108+8=6108⋅6108 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 131 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 656193 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 6561=656
2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 606 mod 877
4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 650 mod 877
8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 663 mod 877
16: 65616=6568+8=6568⋅6568 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 192 mod 877
32: 65632=65616+16=65616⋅65616 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 30 mod 877
64: 65664=65632+32=65632⋅65632 ≡ 30⋅30=900 ≡ 23 mod 877
128: 656128=65664+64=65664⋅65664 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 877
656193
= 656128+64+1
= 656128⋅65664⋅6561
≡ 529 ⋅ 23 ⋅ 656 mod 877
≡ 12167 ⋅ 656 mod 877 ≡ 766 ⋅ 656 mod 877
≡ 502496 mod 877 ≡ 852 mod 877
Es gilt also: 656193 ≡ 852 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45
| =>59 | = 1⋅45 + 14 |
| =>45 | = 3⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 45-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14) = 5⋅45 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 59-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45) = -16⋅59 +21⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +21⋅45
Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1
Somit 21⋅45 = 1 mod 59
21 ist also das Inverse von 45 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
