Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8003 - 4000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8003 - 4000) mod 4 ≡ (8003 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(8003 - 4000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 92) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 92) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 92 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 92) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 204128 mod 433.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 204 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 48 mod 433

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 139 mod 433

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433

32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433

64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433

128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 497217 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 4971=497

2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 257 mod 701

4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 155 mod 701

8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 191 mod 701

16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 29 mod 701

32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 29⋅29=841 ≡ 140 mod 701

64: 49764=49732+32=49732⋅49732 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 673 mod 701

128: 497128=49764+64=49764⋅49764 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 83 mod 701

497217

= 497128+64+16+8+1

= 497128⋅49764⋅49716⋅4978⋅4971

83 ⋅ 673 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
55859 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701 ≡ 480 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
13920 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701 ≡ 601 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
114791 ⋅ 497 mod 701 ≡ 528 ⋅ 497 mod 701
262416 mod 701 ≡ 242 mod 701

Es gilt also: 497217 ≡ 242 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22

=>53 = 2⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22)
= 5⋅53 -12⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -12⋅22

-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22

-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1

(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1

41⋅22 = 17⋅53 + 1

Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1

Somit 41⋅22 = 1 mod 53

41 ist also das Inverse von 22 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.