Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21000 + 3507) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21000 + 3507) mod 7 ≡ (21000 mod 7 + 3507 mod 7) mod 7.

21000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21000 = 21000+0 = 7 ⋅ 3000 +0.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(21000 + 3507) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 35) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 35) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 35 mod 8) mod 8.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

35 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 4 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 35) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43916 mod 631.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 439 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4391=439

2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 266 mod 631

4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 84 mod 631

8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 115 mod 631

16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 605 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 284110 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 98 mod 857

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 177 mod 857

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 477 mod 857

16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 424 mod 857

32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 663 mod 857

64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 785 mod 857

284110

= 28464+32+8+4+2

= 28464⋅28432⋅2848⋅2844⋅2842

785 ⋅ 663 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
520455 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857 ≡ 256 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
122112 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857 ≡ 418 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
73986 ⋅ 98 mod 857 ≡ 284 ⋅ 98 mod 857
27832 mod 857 ≡ 408 mod 857

Es gilt also: 284110 ≡ 408 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101 = 1⋅60 + 41
=>60 = 1⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41)
= 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60)
= -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.