Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 - 65) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 - 65) mod 7 ≡ (67 mod 7 - 65 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 70-5 = 7 ⋅ 10 -5 = 7 ⋅ 10 - 7 + 2.

Somit gilt:

(67 - 65) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 15) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 15) mod 9 ≡ (57 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.

57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 15) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47664 mod 499.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 30 mod 499

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 30⋅30=900 ≡ 401 mod 499

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 123 mod 499

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 159 mod 499

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 331 mod 499

64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 280 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476212 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 154 mod 599

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 355 mod 599

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 235 mod 599

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 117 mod 599

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 511 mod 599

64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 556 mod 599

128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 52 mod 599

476212

= 476128+64+16+4

= 476128⋅47664⋅47616⋅4764

52 ⋅ 556 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599
28912 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599 ≡ 160 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599
18720 ⋅ 355 mod 599 ≡ 151 ⋅ 355 mod 599
53605 mod 599 ≡ 294 mod 599

Es gilt also: 476212 ≡ 294 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61 = 1⋅35 + 26
=>35 = 1⋅26 + 9
=>26 = 2⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9)
= -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26)
= 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35)
= -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.