Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45003 + 18000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45003 + 18000) mod 9 ≡ (45003 mod 9 + 18000 mod 9) mod 9.
45003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45003
= 45000
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(45003 + 18000) mod 9 ≡ (3 + 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 76) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 76) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 76) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52832 mod 653.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 528 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5281=528
2: 5282=5281+1=5281⋅5281 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 606 mod 653
4: 5284=5282+2=5282⋅5282 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 250 mod 653
8: 5288=5284+4=5284⋅5284 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 465 mod 653
16: 52816=5288+8=5288⋅5288 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 82 mod 653
32: 52832=52816+16=52816⋅52816 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 194 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 271138 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 66 mod 587
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 247 mod 587
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 548 mod 587
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 347 mod 587
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 74 mod 587
64: 27164=27132+32=27132⋅27132 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 193 mod 587
128: 271128=27164+64=27164⋅27164 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 268 mod 587
271138
= 271128+8+2
= 271128⋅2718⋅2712
≡ 268 ⋅ 548 ⋅ 66 mod 587
≡ 146864 ⋅ 66 mod 587 ≡ 114 ⋅ 66 mod 587
≡ 7524 mod 587 ≡ 480 mod 587
Es gilt also: 271138 ≡ 480 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82
| =>89 | = 1⋅82 + 7 |
| =>82 | = 11⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 82-11⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7) = 3⋅82 -35⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82) = -35⋅89 +38⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +38⋅82
Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1
Somit 38⋅82 = 1 mod 89
38 ist also das Inverse von 82 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
