Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24003 + 6000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24003 + 6000) mod 6 ≡ (24003 mod 6 + 6000 mod 6) mod 6.
24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003
= 24000
6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(24003 + 6000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 53) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 53) mod 8 ≡ (70 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.
70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 53) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22764 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 106 mod 281
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 277 mod 281
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 16 mod 281
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 281
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 63 mod 281
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 516130 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 5161=516
2: 5162=5161+1=5161⋅5161 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 248 mod 811
4: 5164=5162+2=5162⋅5162 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 679 mod 811
8: 5168=5164+4=5164⋅5164 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 393 mod 811
16: 51616=5168+8=5168⋅5168 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 359 mod 811
32: 51632=51616+16=51616⋅51616 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 743 mod 811
64: 51664=51632+32=51632⋅51632 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 569 mod 811
128: 516128=51664+64=51664⋅51664 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 172 mod 811
516130
= 516128+2
= 516128⋅5162
≡ 172 ⋅ 248 mod 811
≡ 42656 mod 811 ≡ 484 mod 811
Es gilt also: 516130 ≡ 484 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33
| =>71 | = 2⋅33 + 5 |
| =>33 | = 6⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 33-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +28⋅33
Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1
Somit 28⋅33 = 1 mod 71
28 ist also das Inverse von 33 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
