Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25002 - 5005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25002 - 5005) mod 5 ≡ (25002 mod 5 - 5005 mod 5) mod 5.
25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002
= 25000
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
Somit gilt:
(25002 - 5005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 34) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 34) mod 5 ≡ (46 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 9 ⋅ 5 + 1 ist.
34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 34) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 579128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5791=579
2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 94 mod 727
4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 112 mod 727
8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 185 mod 727
16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 56 mod 727
32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 228 mod 727
64: 57964=57932+32=57932⋅57932 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 367 mod 727
128: 579128=57964+64=57964⋅57964 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 194 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 234163 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 14 mod 271
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 271
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 110 mod 271
128: 234128=23464+64=23464⋅23464 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 176 mod 271
234163
= 234128+32+2+1
= 234128⋅23432⋅2342⋅2341
≡ 176 ⋅ 129 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271
≡ 22704 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271 ≡ 211 ⋅ 14 ⋅ 234 mod 271
≡ 2954 ⋅ 234 mod 271 ≡ 244 ⋅ 234 mod 271
≡ 57096 mod 271 ≡ 186 mod 271
Es gilt also: 234163 ≡ 186 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66
| =>83 | = 1⋅66 + 17 |
| =>66 | = 3⋅17 + 15 |
| =>17 | = 1⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 17-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1) |
| 15= 66-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1) |
| 17= 83-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +39⋅66
Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1
Somit 39⋅66 = 1 mod 83
39 ist also das Inverse von 66 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
