Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 - 14000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 - 14000) mod 7 ≡ (70 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
Somit gilt:
(70 - 14000) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 20) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 20) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 20 mod 11) mod 11.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 20) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8798 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 879 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8791=879
2: 8792=8791+1=8791⋅8791 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 681 mod 919
4: 8794=8792+2=8792⋅8792 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 585 mod 919
8: 8798=8794+4=8794⋅8794 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 357 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 409153 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 116 mod 499
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 482 mod 499
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 289 mod 499
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 188 mod 499
32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 414 mod 499
64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 239 mod 499
128: 409128=40964+64=40964⋅40964 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 235 mod 499
409153
= 409128+16+8+1
= 409128⋅40916⋅4098⋅4091
≡ 235 ⋅ 188 ⋅ 289 ⋅ 409 mod 499
≡ 44180 ⋅ 289 ⋅ 409 mod 499 ≡ 268 ⋅ 289 ⋅ 409 mod 499
≡ 77452 ⋅ 409 mod 499 ≡ 107 ⋅ 409 mod 499
≡ 43763 mod 499 ≡ 350 mod 499
Es gilt also: 409153 ≡ 350 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
