Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 - 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 - 11997) mod 3 ≡ (297 mod 3 - 11997 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(297 - 11997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 71) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 71) mod 8 ≡ (25 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.
25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 71) mod 8 ≡ (1 ⋅ 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11632 mod 241.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 116 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1161=116
2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 201 mod 241
4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 154 mod 241
8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 98 mod 241
16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
32: 11632=11616+16=11616⋅11616 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 642213 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:
213 = 128+64+16+4+1
1: 6421=642
2: 6422=6421+1=6421⋅6421 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 121 mod 653
4: 6424=6422+2=6422⋅6422 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 275 mod 653
8: 6428=6424+4=6424⋅6424 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 530 mod 653
16: 64216=6428+8=6428⋅6428 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 110 mod 653
32: 64232=64216+16=64216⋅64216 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 346 mod 653
64: 64264=64232+32=64232⋅64232 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 217 mod 653
128: 642128=64264+64=64264⋅64264 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 73 mod 653
642213
= 642128+64+16+4+1
= 642128⋅64264⋅64216⋅6424⋅6421
≡ 73 ⋅ 217 ⋅ 110 ⋅ 275 ⋅ 642 mod 653
≡ 15841 ⋅ 110 ⋅ 275 ⋅ 642 mod 653 ≡ 169 ⋅ 110 ⋅ 275 ⋅ 642 mod 653
≡ 18590 ⋅ 275 ⋅ 642 mod 653 ≡ 306 ⋅ 275 ⋅ 642 mod 653
≡ 84150 ⋅ 642 mod 653 ≡ 566 ⋅ 642 mod 653
≡ 363372 mod 653 ≡ 304 mod 653
Es gilt also: 642213 ≡ 304 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
