Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (240 + 7993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(240 + 7993) mod 8 ≡ (240 mod 8 + 7993 mod 8) mod 8.
240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240
= 240
7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993
= 7000
Somit gilt:
(240 + 7993) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 46) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 46) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.
100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.
46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 46) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 641128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 641 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6411=641
2: 6412=6411+1=6411⋅6411 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 736 mod 739
4: 6414=6412+2=6412⋅6412 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 9 mod 739
8: 6418=6414+4=6414⋅6414 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 739
16: 64116=6418+8=6418⋅6418 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 649 mod 739
32: 64132=64116+16=64116⋅64116 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 710 mod 739
64: 64164=64132+32=64132⋅64132 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 102 mod 739
128: 641128=64164+64=64164⋅64164 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 58 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248149 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 80 mod 349
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 118 mod 349
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 313 mod 349
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349
248149
= 248128+16+4+1
= 248128⋅24816⋅2484⋅2481
≡ 289 ⋅ 249 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349
≡ 71961 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349 ≡ 67 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349
≡ 7906 ⋅ 248 mod 349 ≡ 228 ⋅ 248 mod 349
≡ 56544 mod 349 ≡ 6 mod 349
Es gilt also: 248149 ≡ 6 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
