Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (123 - 1201) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(123 - 1201) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(123 - 1201) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 39) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 39) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 39 mod 3) mod 3.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 39) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2028 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 483 mod 661
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 617 mod 661
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 614 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 770128 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 7701=770
2: 7702=7701+1=7701⋅7701 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 566 mod 839
4: 7704=7702+2=7702⋅7702 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 697 mod 839
8: 7708=7704+4=7704⋅7704 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 28 mod 839
16: 77016=7708+8=7708⋅7708 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 839
32: 77032=77016+16=77016⋅77016 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 508 mod 839
64: 77064=77032+32=77032⋅77032 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 491 mod 839
128: 770128=77064+64=77064⋅77064 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 288 mod 839
770128
= 770128
= 770128
≡ 288 mod 839
Es gilt also: 770128 ≡ 288 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
