Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (186 + 602) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(186 + 602) mod 6 ≡ (186 mod 6 + 602 mod 6) mod 6.
186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186
= 180
602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(186 + 602) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 32) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 32) mod 10 ≡ (100 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 32) mod 10 ≡ (0 ⋅ 2) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54016 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 540 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5401=540
2: 5402=5401+1=5401⋅5401 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 272 mod 569
4: 5404=5402+2=5402⋅5402 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 14 mod 569
8: 5408=5404+4=5404⋅5404 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 569
16: 54016=5408+8=5408⋅5408 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 293 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 217157 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:
157 = 128+16+8+4+1
1: 2171=217
2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 310 mod 503
4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 27 mod 503
8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 27⋅27=729 ≡ 226 mod 503
16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 273 mod 503
32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 85 mod 503
64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 183 mod 503
128: 217128=21764+64=21764⋅21764 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 291 mod 503
217157
= 217128+16+8+4+1
= 217128⋅21716⋅2178⋅2174⋅2171
≡ 291 ⋅ 273 ⋅ 226 ⋅ 27 ⋅ 217 mod 503
≡ 79443 ⋅ 226 ⋅ 27 ⋅ 217 mod 503 ≡ 472 ⋅ 226 ⋅ 27 ⋅ 217 mod 503
≡ 106672 ⋅ 27 ⋅ 217 mod 503 ≡ 36 ⋅ 27 ⋅ 217 mod 503
≡ 972 ⋅ 217 mod 503 ≡ 469 ⋅ 217 mod 503
≡ 101773 mod 503 ≡ 167 mod 503
Es gilt also: 217157 ≡ 167 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30
| =>97 | = 3⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-3⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -42⋅30
-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30
-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1
(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1
55⋅30 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1
Somit 55⋅30 = 1 mod 97
55 ist also das Inverse von 30 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
