Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20003 + 2002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20003 + 2002) mod 5 ≡ (20003 mod 5 + 2002 mod 5) mod 5.
20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003
= 20000
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(20003 + 2002) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 77) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 77) mod 3 ≡ (38 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.
38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 77) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75464 mod 887.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 754 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7541=754
2: 7542=7541+1=7541⋅7541 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 836 mod 887
4: 7544=7542+2=7542⋅7542 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 827 mod 887
8: 7548=7544+4=7544⋅7544 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 52 mod 887
16: 75416=7548+8=7548⋅7548 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 43 mod 887
32: 75432=75416+16=75416⋅75416 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 75 mod 887
64: 75464=75432+32=75432⋅75432 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 303 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 336193 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 640 mod 877
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 41 mod 877
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 804 mod 877
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 67 mod 877
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 104 mod 877
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 292 mod 877
128: 336128=33664+64=33664⋅33664 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 195 mod 877
336193
= 336128+64+1
= 336128⋅33664⋅3361
≡ 195 ⋅ 292 ⋅ 336 mod 877
≡ 56940 ⋅ 336 mod 877 ≡ 812 ⋅ 336 mod 877
≡ 272832 mod 877 ≡ 85 mod 877
Es gilt also: 336193 ≡ 85 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
