Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40000 + 3198) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40000 + 3198) mod 8 ≡ (40000 mod 8 + 3198 mod 8) mod 8.
40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000
= 40000
3198 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3198
= 3200
Somit gilt:
(40000 + 3198) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 57) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 57) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 57) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6878 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 687 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6871=687
2: 6872=6871+1=6871⋅6871 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 528 mod 941
4: 6874=6872+2=6872⋅6872 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 248 mod 941
8: 6878=6874+4=6874⋅6874 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 339 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 389163 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 3891=389
2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 382 mod 541
4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 395 mod 541
8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 217 mod 541
16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 22 mod 541
32: 38932=38916+16=38916⋅38916 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 541
64: 38964=38932+32=38932⋅38932 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 3 mod 541
128: 389128=38964+64=38964⋅38964 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 541
389163
= 389128+32+2+1
= 389128⋅38932⋅3892⋅3891
≡ 9 ⋅ 484 ⋅ 382 ⋅ 389 mod 541
≡ 4356 ⋅ 382 ⋅ 389 mod 541 ≡ 28 ⋅ 382 ⋅ 389 mod 541
≡ 10696 ⋅ 389 mod 541 ≡ 417 ⋅ 389 mod 541
≡ 162213 mod 541 ≡ 454 mod 541
Es gilt also: 389163 ≡ 454 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
