Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3194 - 403) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3194 - 403) mod 8 ≡ (3194 mod 8 - 403 mod 8) mod 8.
3194 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3194
= 3200
403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(3194 - 403) mod 8 ≡ (2 - 3) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 57) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 57) mod 10 ≡ (34 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.
34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.
57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 57) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43064 mod 571.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 430 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 467 mod 571
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 538 mod 571
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 518 mod 571
16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 525 mod 571
32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 403 mod 571
64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 245 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86238 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:
238 = 128+64+32+8+4+2
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 258 mod 263
16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 25 mod 263
32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 25⋅25=625 ≡ 99 mod 263
64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 70 mod 263
128: 86128=8664+64=8664⋅8664 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 166 mod 263
86238
= 86128+64+32+8+4+2
= 86128⋅8664⋅8632⋅868⋅864⋅862
≡ 166 ⋅ 70 ⋅ 99 ⋅ 258 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263
≡ 11620 ⋅ 99 ⋅ 258 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263 ≡ 48 ⋅ 99 ⋅ 258 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263
≡ 4752 ⋅ 258 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263 ≡ 18 ⋅ 258 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263
≡ 4644 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263 ≡ 173 ⋅ 235 ⋅ 32 mod 263
≡ 40655 ⋅ 32 mod 263 ≡ 153 ⋅ 32 mod 263
≡ 4896 mod 263 ≡ 162 mod 263
Es gilt also: 86238 ≡ 162 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
