Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6993 - 704) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6993 - 704) mod 7 ≡ (6993 mod 7 - 704 mod 7) mod 7.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704 = 700+4 = 7 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(6993 - 704) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 25) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 25) mod 3 ≡ (31 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 25) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44816 mod 773.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 448 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4481=448

2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 497 mod 773

4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 422 mod 773

8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 294 mod 773

16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 633 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14195 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 1411=141

2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 94 mod 421

4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 416 mod 421

8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 25 mod 421

16: 14116=1418+8=1418⋅1418 ≡ 25⋅25=625 ≡ 204 mod 421

32: 14132=14116+16=14116⋅14116 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 358 mod 421

64: 14164=14132+32=14132⋅14132 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 180 mod 421

14195

= 14164+16+8+4+2+1

= 14164⋅14116⋅1418⋅1414⋅1412⋅1411

180 ⋅ 204 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
36720 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 93 ⋅ 25 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
2325 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 220 ⋅ 416 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
91520 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421 ≡ 163 ⋅ 94 ⋅ 141 mod 421
15322 ⋅ 141 mod 421 ≡ 166 ⋅ 141 mod 421
23406 mod 421 ≡ 251 mod 421

Es gilt also: 14195 ≡ 251 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56

=>59 = 1⋅56 + 3
=>56 = 18⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 56-18⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3)
= -1⋅56 +19⋅ 3 (=1)
3= 59-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56)
= 19⋅59 -20⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -20⋅56

-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56

-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1

(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1

39⋅56 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1

Somit 39⋅56 = 1 mod 59

39 ist also das Inverse von 56 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.