Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17998 - 1795) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17998 - 1795) mod 6 ≡ (17998 mod 6 - 1795 mod 6) mod 6.
17998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998
= 18000
1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
Somit gilt:
(17998 - 1795) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 36) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 36) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 36) mod 10 ≡ (2 ⋅ 6) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22916 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2291=229
2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 230 mod 479
4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 210 mod 479
8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 32 mod 479
16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 66 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 456125 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 4561=456
2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 97 mod 677
4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 608 mod 677
8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 22 mod 677
16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 677
32: 45632=45616+16=45616⋅45616 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 14 mod 677
64: 45664=45632+32=45632⋅45632 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 677
456125
= 45664+32+16+8+4+1
= 45664⋅45632⋅45616⋅4568⋅4564⋅4561
≡ 196 ⋅ 14 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677
≡ 2744 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677 ≡ 36 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677
≡ 17424 ⋅ 22 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677 ≡ 499 ⋅ 22 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677
≡ 10978 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677 ≡ 146 ⋅ 608 ⋅ 456 mod 677
≡ 88768 ⋅ 456 mod 677 ≡ 81 ⋅ 456 mod 677
≡ 36936 mod 677 ≡ 378 mod 677
Es gilt also: 456125 ≡ 378 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
