Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 + 83) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 + 83) mod 9 ≡ (82 mod 9 + 83 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 90
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 90
Somit gilt:
(82 + 83) mod 9 ≡ (1 + 2) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 56) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 56) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42864 mod 503.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 428 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4281=428
2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 92 mod 503
4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 416 mod 503
8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 24 mod 503
16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 24⋅24=576 ≡ 73 mod 503
32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 299 mod 503
64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 370 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318138 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 39 mod 401
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 318 mod 401
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 72 mod 401
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 372 mod 401
128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 39 mod 401
318138
= 318128+8+2
= 318128⋅3188⋅3182
≡ 39 ⋅ 39 ⋅ 72 mod 401
≡ 1521 ⋅ 72 mod 401 ≡ 318 ⋅ 72 mod 401
≡ 22896 mod 401 ≡ 39 mod 401
Es gilt also: 318138 ≡ 39 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
