Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 + 179) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 + 179) mod 9 ≡ (8998 mod 9 + 179 mod 9) mod 9.
8998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179
= 180
Somit gilt:
(8998 + 179) mod 9 ≡ (7 + 8) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 17) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 17) mod 10 ≡ (50 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.
50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.
17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 17) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7078 mod 809.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 707 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7071=707
2: 7072=7071+1=7071⋅7071 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 696 mod 809
4: 7074=7072+2=7072⋅7072 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 634 mod 809
8: 7078=7074+4=7074⋅7074 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 692 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43486 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 186 mod 607
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 604 mod 607
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 9 mod 607
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 607
32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 491 mod 607
64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 102 mod 607
43486
= 43464+16+4+2
= 43464⋅43416⋅4344⋅4342
≡ 102 ⋅ 81 ⋅ 604 ⋅ 186 mod 607
≡ 8262 ⋅ 604 ⋅ 186 mod 607 ≡ 371 ⋅ 604 ⋅ 186 mod 607
≡ 224084 ⋅ 186 mod 607 ≡ 101 ⋅ 186 mod 607
≡ 18786 mod 607 ≡ 576 mod 607
Es gilt also: 43486 ≡ 576 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
