Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2500 - 996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2500 - 996) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 996 mod 5) mod 5.
2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500
= 2500
996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996
= 900
Somit gilt:
(2500 - 996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 35) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 35) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 41316 mod 523.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4131=413
2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 71 mod 523
4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 334 mod 523
8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 157 mod 523
16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 68 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 196186 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:
186 = 128+32+16+8+2
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 53 mod 227
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 85 mod 227
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 188 mod 227
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 159 mod 227
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 84 mod 227
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 19 mod 227
128: 196128=19664+64=19664⋅19664 ≡ 19⋅19=361 ≡ 134 mod 227
196186
= 196128+32+16+8+2
= 196128⋅19632⋅19616⋅1968⋅1962
≡ 134 ⋅ 84 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 11256 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227 ≡ 133 ⋅ 159 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 21147 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227 ≡ 36 ⋅ 188 ⋅ 53 mod 227
≡ 6768 ⋅ 53 mod 227 ≡ 185 ⋅ 53 mod 227
≡ 9805 mod 227 ≡ 44 mod 227
Es gilt also: 196186 ≡ 44 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
