Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31997 - 24008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31997 - 24008) mod 8 ≡ (31997 mod 8 - 24008 mod 8) mod 8.
31997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31997
= 31000
24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008
= 24000
Somit gilt:
(31997 - 24008) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 38) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 38) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 38 mod 9) mod 9.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 38) mod 9 ≡ (4 ⋅ 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26564 mod 313.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 113 mod 313
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 27⋅27=729 ≡ 103 mod 313
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 280 mod 313
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 150 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 292150 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 308 mod 317
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 81 mod 317
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 221 mod 317
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 23 mod 317
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 23⋅23=529 ≡ 212 mod 317
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 247 mod 317
128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 145 mod 317
292150
= 292128+16+4+2
= 292128⋅29216⋅2924⋅2922
≡ 145 ⋅ 23 ⋅ 81 ⋅ 308 mod 317
≡ 3335 ⋅ 81 ⋅ 308 mod 317 ≡ 165 ⋅ 81 ⋅ 308 mod 317
≡ 13365 ⋅ 308 mod 317 ≡ 51 ⋅ 308 mod 317
≡ 15708 mod 317 ≡ 175 mod 317
Es gilt also: 292150 ≡ 175 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35
| =>79 | = 2⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -9⋅35
-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35
-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1
(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1
70⋅35 = 31⋅79 + 1
Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1
Somit 70⋅35 = 1 mod 79
70 ist also das Inverse von 35 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
