Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11994 + 2406) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11994 + 2406) mod 6 ≡ (11994 mod 6 + 2406 mod 6) mod 6.
11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994
= 12000
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
Somit gilt:
(11994 + 2406) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 42) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 42) mod 11 ≡ (97 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.
97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.
42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 42) mod 11 ≡ (9 ⋅ 9) mod 11 ≡ 81 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 92216 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 922 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9221=922
2: 9222=9221+1=9221⋅9221 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 91 mod 967
4: 9224=9222+2=9222⋅9222 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 545 mod 967
8: 9228=9224+4=9224⋅9224 ≡ 545⋅545=297025 ≡ 156 mod 967
16: 92216=9228+8=9228⋅9228 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 161 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 408120 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 4081=408
2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 43 mod 461
4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 5 mod 461
8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 461
16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 25⋅25=625 ≡ 164 mod 461
32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 158 mod 461
64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 70 mod 461
408120
= 40864+32+16+8
= 40864⋅40832⋅40816⋅4088
≡ 70 ⋅ 158 ⋅ 164 ⋅ 25 mod 461
≡ 11060 ⋅ 164 ⋅ 25 mod 461 ≡ 457 ⋅ 164 ⋅ 25 mod 461
≡ 74948 ⋅ 25 mod 461 ≡ 266 ⋅ 25 mod 461
≡ 6650 mod 461 ≡ 196 mod 461
Es gilt also: 408120 ≡ 196 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
