Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21000 + 3507) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21000 + 3507) mod 7 ≡ (21000 mod 7 + 3507 mod 7) mod 7.
21000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21000
= 21000
3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507
= 3500
Somit gilt:
(21000 + 3507) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 35) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 35) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 35 mod 8) mod 8.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
35 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 4 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 35) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43916 mod 631.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 439 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4391=439
2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 266 mod 631
4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 84 mod 631
8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 115 mod 631
16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 605 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 284110 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:
110 = 64+32+8+4+2
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 98 mod 857
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 177 mod 857
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 477 mod 857
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 424 mod 857
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 663 mod 857
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 785 mod 857
284110
= 28464+32+8+4+2
= 28464⋅28432⋅2848⋅2844⋅2842
≡ 785 ⋅ 663 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
≡ 520455 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857 ≡ 256 ⋅ 477 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
≡ 122112 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857 ≡ 418 ⋅ 177 ⋅ 98 mod 857
≡ 73986 ⋅ 98 mod 857 ≡ 284 ⋅ 98 mod 857
≡ 27832 mod 857 ≡ 408 mod 857
Es gilt also: 284110 ≡ 408 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60
| =>101 | = 1⋅60 + 41 |
| =>60 | = 1⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 60-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1) |
| 41= 101-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +32⋅60
Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1
Somit 32⋅60 = 1 mod 101
32 ist also das Inverse von 60 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
