Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (796 - 40005) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(796 - 40005) mod 8 ≡ (796 mod 8 - 40005 mod 8) mod 8.
796 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 800
40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005
= 40000
Somit gilt:
(796 - 40005) mod 8 ≡ (4 - 5) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 98) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 98) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 98 mod 10) mod 10.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 98) mod 10 ≡ (4 ⋅ 8) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32416 mod 457.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 323 mod 457
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 133 mod 457
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 323 mod 457
16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 133 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 297139 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 71 mod 347
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 183 mod 347
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 177 mod 347
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 99 mod 347
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 85 mod 347
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 285 mod 347
128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 27 mod 347
297139
= 297128+8+2+1
= 297128⋅2978⋅2972⋅2971
≡ 27 ⋅ 177 ⋅ 71 ⋅ 297 mod 347
≡ 4779 ⋅ 71 ⋅ 297 mod 347 ≡ 268 ⋅ 71 ⋅ 297 mod 347
≡ 19028 ⋅ 297 mod 347 ≡ 290 ⋅ 297 mod 347
≡ 86130 mod 347 ≡ 74 mod 347
Es gilt also: 297139 ≡ 74 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
