Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 798) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 798 mod 4) mod 4.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 700+98 = 4 ⋅ 175 +98.

Somit gilt:

(2001 + 798) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 72) mod 4 ≡ (87 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.

87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 72) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 37 mod 337

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 37⋅37=1369 ≡ 21 mod 337

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 21⋅21=441 ≡ 104 mod 337

16: 211¹⁶=211⁸⁺⁸=211⁸⋅211⁸ ≡ 104⋅104=10816 ≡ 32 mod 337

32: 211³²=211¹⁶⁺¹⁶=211¹⁶⋅211¹⁶ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 13 mod 337

64: 211⁶⁴=211³²⁺³²=211³²⋅211³² ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337

128: 211¹²⁸=211⁶⁴⁺⁶⁴=211⁶⁴⋅211⁶⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

302²⁴⁶

= 302^{128+64+32+16+4+2}

= 302¹²⁸⋅302⁶⁴⋅302³²⋅302¹⁶⋅302⁴⋅302²

≡ 483 ⋅ 189 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 91287 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 675 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 231525 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 800 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 273600 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 86 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 51686 ⋅ 592 mod 839 ≡ 507 ⋅ 592 mod 839
≡ 300144 mod 839 ≡ 621 mod 839

Es gilt also: 302²⁴⁶ ≡ 621 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73	= 2⋅31 + 11
=>31	= 2⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31) = 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73