Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (209 - 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(209 - 68) mod 7 ≡ (209 mod 7 - 68 mod 7) mod 7.
209 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 209
= 210
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68
= 70
Somit gilt:
(209 - 68) mod 7 ≡ (6 - 5) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 92) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 92) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 92) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 78932 mod 827.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 789 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7891=789
2: 7892=7891+1=7891⋅7891 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 617 mod 827
4: 7894=7892+2=7892⋅7892 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 269 mod 827
8: 7898=7894+4=7894⋅7894 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 412 mod 827
16: 78916=7898+8=7898⋅7898 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 209 mod 827
32: 78932=78916+16=78916⋅78916 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 677 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75875 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:
75 = 64+8+2+1
1: 7581=758
2: 7582=7581+1=7581⋅7581 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 442 mod 929
4: 7584=7582+2=7582⋅7582 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 274 mod 929
8: 7588=7584+4=7584⋅7584 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 756 mod 929
16: 75816=7588+8=7588⋅7588 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 201 mod 929
32: 75832=75816+16=75816⋅75816 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929
64: 75864=75832+32=75832⋅75832 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 807 mod 929
75875
= 75864+8+2+1
= 75864⋅7588⋅7582⋅7581
≡ 807 ⋅ 756 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929
≡ 610092 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929 ≡ 668 ⋅ 442 ⋅ 758 mod 929
≡ 295256 ⋅ 758 mod 929 ≡ 763 ⋅ 758 mod 929
≡ 578354 mod 929 ≡ 516 mod 929
Es gilt also: 75875 ≡ 516 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48
| =>59 | = 1⋅48 + 11 |
| =>48 | = 4⋅11 + 4 |
| =>11 | = 2⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 11-2⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1) |
| 4= 48-4⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +16⋅48
Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1
Somit 16⋅48 = 1 mod 59
16 ist also das Inverse von 48 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
