Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 151) mod 3 ≡ (120 mod 3 - 151 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(120 - 151) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 16) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 16) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 525¹=525

2: 525²=525¹⁺¹=525¹⋅525¹ ≡ 525⋅525=275625 ≡ 111 mod 977

4: 525⁴=525²⁺²=525²⋅525² ≡ 111⋅111=12321 ≡ 597 mod 977

8: 525⁸=525⁴⁺⁴=525⁴⋅525⁴ ≡ 597⋅597=356409 ≡ 781 mod 977

16: 525¹⁶=525⁸⁺⁸=525⁸⋅525⁸ ≡ 781⋅781=609961 ≡ 313 mod 977

32: 525³²=525¹⁶⁺¹⁶=525¹⁶⋅525¹⁶ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977

64: 525⁶⁴=525³²⁺³²=525³²⋅525³² ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

224²⁴⁹

= 224^{128+64+32+16+8+1}

= 224¹²⁸⋅224⁶⁴⋅224³²⋅224¹⁶⋅224⁸⋅224¹

≡ 174 ⋅ 164 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
≡ 28536 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 90 ⋅ 223 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
≡ 20070 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 244 ⋅ 53 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
≡ 12932 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431 ≡ 2 ⋅ 22 ⋅ 224 mod 431
≡ 44 ⋅ 224 mod 431
≡ 9856 mod 431 ≡ 374 mod 431

Es gilt also: 224²⁴⁹ ≡ 374 mod 431

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59	= 1⋅37 + 22
=>37	= 1⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37) = 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59