Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45006 + 2702) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45006 + 2702) mod 9 ≡ (45006 mod 9 + 2702 mod 9) mod 9.
45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006
= 45000
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
Somit gilt:
(45006 + 2702) mod 9 ≡ (6 + 2) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 75) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 75) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95532 mod 971.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 955 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9551=955
2: 9552=9551+1=9551⋅9551 ≡ 955⋅955=912025 ≡ 256 mod 971
4: 9554=9552+2=9552⋅9552 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 479 mod 971
8: 9558=9554+4=9554⋅9554 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 285 mod 971
16: 95516=9558+8=9558⋅9558 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 632 mod 971
32: 95532=95516+16=95516⋅95516 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 343 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280150 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:
150 = 128+16+4+2
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 124 mod 593
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 551 mod 593
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 578 mod 593
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 225 mod 593
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 220 mod 593
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 367 mod 593
128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 78 mod 593
280150
= 280128+16+4+2
= 280128⋅28016⋅2804⋅2802
≡ 78 ⋅ 225 ⋅ 551 ⋅ 124 mod 593
≡ 17550 ⋅ 551 ⋅ 124 mod 593 ≡ 353 ⋅ 551 ⋅ 124 mod 593
≡ 194503 ⋅ 124 mod 593 ≡ 592 ⋅ 124 mod 593
≡ 73408 mod 593 ≡ 469 mod 593
Es gilt also: 280150 ≡ 469 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
