Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20002 + 1000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 1000) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 1000 mod 5) mod 5.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(20002 + 1000) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 83) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 83) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 83) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18516 mod 293.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1851=185

2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 237 mod 293

4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 206 mod 293

8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293

16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 57 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 539193 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

1: 5391=539

2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 148 mod 641

4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 110 mod 641

8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 562 mod 641

16: 53916=5398+8=5398⋅5398 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641

32: 53932=53916+16=53916⋅53916 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

64: 53964=53932+32=53932⋅53932 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

128: 539128=53964+64=53964⋅53964 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

539193

= 539128+64+1

= 539128⋅53964⋅5391

562 ⋅ 531 ⋅ 539 mod 641
298422 ⋅ 539 mod 641 ≡ 357 ⋅ 539 mod 641
192423 mod 641 ≡ 123 mod 641

Es gilt also: 539193 ≡ 123 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59 = 1⋅43 + 16
=>43 = 2⋅16 + 11
=>16 = 1⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11)
= -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16)
= 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43)
= -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.