Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1194 + 596) mod 6 ≡ (1194 mod 6 + 596 mod 6) mod 6.

1194 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1194 = 1200-6 = 6 ⋅ 200 -6 = 6 ⋅ 200 - 6 + 0.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1194 + 596) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 22) mod 8 ≡ (100 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 22) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 343¹=343

2: 343²=343¹⁺¹=343¹⋅343¹ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 36 mod 349

4: 343⁴=343²⁺²=343²⋅343² ≡ 36⋅36=1296 ≡ 249 mod 349

8: 343⁸=343⁴⁺⁴=343⁴⋅343⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349

16: 343¹⁶=343⁸⁺⁸=343⁸⋅343⁸ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349

32: 343³²=343¹⁶⁺¹⁶=343¹⁶⋅343¹⁶ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 289 mod 349

64: 343⁶⁴=343³²⁺³²=343³²⋅343³² ≡ 289⋅289=83521 ≡ 110 mod 349

128: 343¹²⁸=343⁶⁴⁺⁶⁴=343⁶⁴⋅343⁶⁴ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 234 mod 349

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:

98 = 64+32+2

773⁹⁸

= 773^64+32+2

= 773⁶⁴⋅773³²⋅773²

≡ 521 ⋅ 524 ⋅ 182 mod 929
≡ 273004 ⋅ 182 mod 929 ≡ 807 ⋅ 182 mod 929
≡ 146874 mod 929 ≡ 92 mod 929

Es gilt also: 773⁹⁸ ≡ 92 mod 929

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85

=>101	= 1⋅85 + 16
=>85	= 5⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,85)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 85-5⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16) = -3⋅85 +16⋅ 16 (=1)
16= 101-1⋅85	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85) = -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85) = 16⋅101 -19⋅ 85 (=1)

Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -19⋅85

-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85

-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1

(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1

82⋅85 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1

Somit 82⋅85 = 1 mod 101

82 ist also das Inverse von 85 mod 101