Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 + 1501) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 + 1501) mod 3 ≡ (58 mod 3 + 1501 mod 3) mod 3.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58
= 60
1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(58 + 1501) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 23) mod 6 ≡ (80 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 23) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 52016 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 520 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 75 mod 983
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 710 mod 983
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 804 mod 983
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 585 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12566 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 305 mod 383
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 21 mod 383
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 21⋅21=441 ≡ 58 mod 383
32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 300 mod 383
64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 378 mod 383
12566
= 12564+2
= 12564⋅1252
≡ 378 ⋅ 305 mod 383
≡ 115290 mod 383 ≡ 7 mod 383
Es gilt also: 12566 ≡ 7 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 29
| =>67 | = 2⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(67 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅67 -26⋅ 29) = 13⋅67 -30⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,29)=1 = 13⋅67 -30⋅29
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -30⋅29
-30⋅29 = -13⋅67 + 1 |+67⋅29
-30⋅29 + 67⋅29 = -13⋅67 + 67⋅29 + 1
(-30 + 67) ⋅ 29 = (-13 + 29) ⋅ 67 + 1
37⋅29 = 16⋅67 + 1
Es gilt also: 37⋅29 = 16⋅67 +1
Somit 37⋅29 = 1 mod 67
37 ist also das Inverse von 29 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
