Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3501 - 1399) mod 7 ≡ (3501 mod 7 - 1399 mod 7) mod 7.

3501 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3501 = 3500+1 = 7 ⋅ 500 +1.

1399 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1399 = 1400-1 = 7 ⋅ 200 -1 = 7 ⋅ 200 - 7 + 6.

Somit gilt:

(3501 - 1399) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 28) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 28 mod 8) mod 8.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 28) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 84¹=84

2: 84²=84¹⁺¹=84¹⋅84¹ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 125 mod 239

4: 84⁴=84²⁺²=84²⋅84² ≡ 125⋅125=15625 ≡ 90 mod 239

8: 84⁸=84⁴⁺⁴=84⁴⋅84⁴ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 213 mod 239

16: 84¹⁶=84⁸⁺⁸=84⁸⋅84⁸ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 198 mod 239

32: 84³²=84¹⁶⁺¹⁶=84¹⁶⋅84¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 8 mod 239

64: 84⁶⁴=84³²⁺³²=84³²⋅84³² ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 239

128: 84¹²⁸=84⁶⁴⁺⁶⁴=84⁶⁴⋅84⁶⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 33 mod 239

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

261²⁵³

= 261^{128+64+32+16+8+4+1}

= 261¹²⁸⋅261⁶⁴⋅261³²⋅261¹⁶⋅261⁸⋅261⁴⋅261¹

≡ 211 ⋅ 140 ⋅ 155 ⋅ 163 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281
≡ 29540 ⋅ 155 ⋅ 163 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281 ≡ 35 ⋅ 155 ⋅ 163 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281
≡ 5425 ⋅ 163 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281 ≡ 86 ⋅ 163 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281
≡ 14018 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281 ≡ 249 ⋅ 238 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281
≡ 59262 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281 ≡ 252 ⋅ 111 ⋅ 261 mod 281
≡ 27972 ⋅ 261 mod 281 ≡ 153 ⋅ 261 mod 281
≡ 39933 mod 281 ≡ 31 mod 281

Es gilt also: 261²⁵³ ≡ 31 mod 281

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79