Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (448 - 275) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(448 - 275) mod 9 ≡ (448 mod 9 - 275 mod 9) mod 9.
448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448
= 450
275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275
= 270
Somit gilt:
(448 - 275) mod 9 ≡ (7 - 5) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 27) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 27) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.
49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 27) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5318 mod 773.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 531 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5311=531
2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 589 mod 773
4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 617 mod 773
8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 373 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 390193 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 3901=390
2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 47 mod 601
4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 406 mod 601
8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 162 mod 601
16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 401 mod 601
32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 334 mod 601
64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 371 mod 601
128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 12 mod 601
390193
= 390128+64+1
= 390128⋅39064⋅3901
≡ 12 ⋅ 371 ⋅ 390 mod 601
≡ 4452 ⋅ 390 mod 601 ≡ 245 ⋅ 390 mod 601
≡ 95550 mod 601 ≡ 592 mod 601
Es gilt also: 390193 ≡ 592 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
