Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 124) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 124 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(8000 - 124) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 49) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 49) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 387¹=387

2: 387²=387¹⁺¹=387¹⋅387¹ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 69 mod 499

4: 387⁴=387²⁺²=387²⋅387² ≡ 69⋅69=4761 ≡ 270 mod 499

8: 387⁸=387⁴⁺⁴=387⁴⋅387⁴ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 46 mod 499

16: 387¹⁶=387⁸⁺⁸=387⁸⋅387⁸ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 120 mod 499

32: 387³²=387¹⁶⁺¹⁶=387¹⁶⋅387¹⁶ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 428 mod 499

64: 387⁶⁴=387³²⁺³²=387³²⋅387³² ≡ 428⋅428=183184 ≡ 51 mod 499

128: 387¹²⁸=387⁶⁴⁺⁶⁴=387⁶⁴⋅387⁶⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 106 mod 499

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

471¹⁷¹

= 471^128+32+8+2+1

= 471¹²⁸⋅471³²⋅471⁸⋅471²⋅471¹

≡ 347 ⋅ 879 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
≡ 305013 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937 ≡ 488 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
≡ 71248 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937 ≡ 36 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
≡ 25524 ⋅ 471 mod 937 ≡ 225 ⋅ 471 mod 937
≡ 105975 mod 937 ≡ 94 mod 937

Es gilt also: 471¹⁷¹ ≡ 94 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61	= 1⋅35 + 26
=>35	= 1⋅26 + 9
=>26	= 2⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26) = -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35) = 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61