Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40000 - 164) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 164 mod 8) mod 8.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 8 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(40000 - 164) mod 8 ≡ (0 - 4) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 74) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 74) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 484¹=484

2: 484²=484¹⁺¹=484¹⋅484¹ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 261 mod 883

4: 484⁴=484²⁺²=484²⋅484² ≡ 261⋅261=68121 ≡ 130 mod 883

8: 484⁸=484⁴⁺⁴=484⁴⋅484⁴ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 123 mod 883

16: 484¹⁶=484⁸⁺⁸=484⁸⋅484⁸ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 118 mod 883

32: 484³²=484¹⁶⁺¹⁶=484¹⁶⋅484¹⁶ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 679 mod 883

64: 484⁶⁴=484³²⁺³²=484³²⋅484³² ≡ 679⋅679=461041 ≡ 115 mod 883

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

376¹⁶⁹

= 376^128+32+8+1

= 376¹²⁸⋅376³²⋅376⁸⋅376¹

≡ 881 ⋅ 892 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983
≡ 785852 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983 ≡ 435 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983
≡ 164430 ⋅ 376 mod 983 ≡ 269 ⋅ 376 mod 983
≡ 101144 mod 983 ≡ 878 mod 983

Es gilt also: 376¹⁶⁹ ≡ 878 mod 983

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53	= 1⋅41 + 12
=>41	= 3⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41) = 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53