Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32008 + 24006) mod 8 ≡ (32008 mod 8 + 24006 mod 8) mod 8.

32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008 = 32000+8 = 8 ⋅ 4000 +8.

24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 8 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(32008 + 24006) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 46) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 46) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 222¹=222

2: 222²=222¹⁺¹=222¹⋅222¹ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 268 mod 557

4: 222⁴=222²⁺²=222²⋅222² ≡ 268⋅268=71824 ≡ 528 mod 557

8: 222⁸=222⁴⁺⁴=222⁴⋅222⁴ ≡ 528⋅528=278784 ≡ 284 mod 557

16: 222¹⁶=222⁸⁺⁸=222⁸⋅222⁸ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 448 mod 557

32: 222³²=222¹⁶⁺¹⁶=222¹⁶⋅222¹⁶ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 184 mod 557

64: 222⁶⁴=222³²⁺³²=222³²⋅222³² ≡ 184⋅184=33856 ≡ 436 mod 557

128: 222¹²⁸=222⁶⁴⁺⁶⁴=222⁶⁴⋅222⁶⁴ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 159 mod 557

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

277¹⁷⁹

= 277^{128+32+16+2+1}

= 277¹²⁸⋅277³²⋅277¹⁶⋅277²⋅277¹

≡ 102 ⋅ 94 ⋅ 262 ⋅ 410 ⋅ 277 mod 457
≡ 9588 ⋅ 262 ⋅ 410 ⋅ 277 mod 457 ≡ 448 ⋅ 262 ⋅ 410 ⋅ 277 mod 457
≡ 117376 ⋅ 410 ⋅ 277 mod 457 ≡ 384 ⋅ 410 ⋅ 277 mod 457
≡ 157440 ⋅ 277 mod 457 ≡ 232 ⋅ 277 mod 457
≡ 64264 mod 457 ≡ 284 mod 457

Es gilt also: 277¹⁷⁹ ≡ 284 mod 457

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53