Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 + 303) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 + 303) mod 3 ≡ (61 mod 3 + 303 mod 3) mod 3.
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
Somit gilt:
(61 + 303) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 22) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 22) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 22 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 22) mod 10 ≡ (5 ⋅ 2) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18416 mod 347.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 197 mod 347
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 292 mod 347
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 249 mod 347
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 235 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 537181 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:
181 = 128+32+16+4+1
1: 5371=537
2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 16 mod 541
4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 541
8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 75 mod 541
16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541
32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 240 mod 541
64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 254 mod 541
128: 537128=53764+64=53764⋅53764 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 137 mod 541
537181
= 537128+32+16+4+1
= 537128⋅53732⋅53716⋅5374⋅5371
≡ 137 ⋅ 240 ⋅ 215 ⋅ 256 ⋅ 537 mod 541
≡ 32880 ⋅ 215 ⋅ 256 ⋅ 537 mod 541 ≡ 420 ⋅ 215 ⋅ 256 ⋅ 537 mod 541
≡ 90300 ⋅ 256 ⋅ 537 mod 541 ≡ 494 ⋅ 256 ⋅ 537 mod 541
≡ 126464 ⋅ 537 mod 541 ≡ 411 ⋅ 537 mod 541
≡ 220707 mod 541 ≡ 520 mod 541
Es gilt also: 537181 ≡ 520 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70
| =>89 | = 1⋅70 + 19 |
| =>70 | = 3⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 70-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +14⋅70
Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1
Somit 14⋅70 = 1 mod 89
14 ist also das Inverse von 70 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
