Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 + 20005) mod 5 ≡ (15003 mod 5 + 20005 mod 5) mod 5.

15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 5 ⋅ 3000 +3.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(15003 + 20005) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 46) mod 6 ≡ (40 mod 6 ⋅ 46 mod 6) mod 6.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 46) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 278¹=278

2: 278²=278¹⁺¹=278¹⋅278¹ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 3 mod 709

4: 278⁴=278²⁺²=278²⋅278² ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 709

8: 278⁸=278⁴⁺⁴=278⁴⋅278⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 709

16: 278¹⁶=278⁸⁺⁸=278⁸⋅278⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709

32: 278³²=278¹⁶⁺¹⁶=278¹⁶⋅278¹⁶ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709

64: 278⁶⁴=278³²⁺³²=278³²⋅278³² ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709

128: 278¹²⁸=278⁶⁴⁺⁶⁴=278⁶⁴⋅278⁶⁴ ≡ 420⋅420=176400 ≡ 568 mod 709

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

370²⁰⁶

= 370^128+64+8+4+2

= 370¹²⁸⋅370⁶⁴⋅370⁸⋅370⁴⋅370²

≡ 162 ⋅ 233 ⋅ 291 ⋅ 214 ⋅ 385 mod 479
≡ 37746 ⋅ 291 ⋅ 214 ⋅ 385 mod 479 ≡ 384 ⋅ 291 ⋅ 214 ⋅ 385 mod 479
≡ 111744 ⋅ 214 ⋅ 385 mod 479 ≡ 137 ⋅ 214 ⋅ 385 mod 479
≡ 29318 ⋅ 385 mod 479 ≡ 99 ⋅ 385 mod 479
≡ 38115 mod 479 ≡ 274 mod 479

Es gilt also: 370²⁰⁶ ≡ 274 mod 479

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71	= 1⋅63 + 8
=>63	= 7⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8) = -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63) = -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63) = 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71