Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (701 + 2102) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(701 + 2102) mod 7 ≡ (701 mod 7 + 2102 mod 7) mod 7.

701 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 701 = 700+1 = 7 ⋅ 100 +1.

2102 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2102 = 2100+2 = 7 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(701 + 2102) mod 7 ≡ (1 + 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 15) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 15) mod 3 ≡ (69 mod 3 ⋅ 15 mod 3) mod 3.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

15 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 5 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 15) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 612128 mod 941.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 26 mod 941

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 941

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 591 mod 941

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 170 mod 941

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 670 mod 941

64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 43 mod 941

128: 612128=61264+64=61264⋅61264 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 908 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 132129 mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 1321=132

2: 1322=1321+1=1321⋅1321 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 216 mod 239

4: 1324=1322+2=1322⋅1322 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 51 mod 239

8: 1328=1324+4=1324⋅1324 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 211 mod 239

16: 13216=1328+8=1328⋅1328 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 67 mod 239

32: 13232=13216+16=13216⋅13216 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 187 mod 239

64: 13264=13232+32=13232⋅13232 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 75 mod 239

128: 132128=13264+64=13264⋅13264 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 128 mod 239

132129

= 132128+1

= 132128⋅1321

128 ⋅ 132 mod 239
16896 mod 239 ≡ 166 mod 239

Es gilt also: 132129 ≡ 166 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59 = 1⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38)
= -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.