Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1002 - 246) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1002 - 246) mod 5 ≡ (1002 mod 5 - 246 mod 5) mod 5.
1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002
= 1000
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
Somit gilt:
(1002 - 246) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 70) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 70) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 70) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 196128 mod 281.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 200 mod 281
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 252 mod 281
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 279 mod 281
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 4 mod 281
128: 196128=19664+64=19664⋅19664 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32269 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 81 mod 331
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 272 mod 331
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 171 mod 331
16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 113 mod 331
32: 32232=32216+16=32216⋅32216 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 191 mod 331
64: 32264=32232+32=32232⋅32232 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 71 mod 331
32269
= 32264+4+1
= 32264⋅3224⋅3221
≡ 71 ⋅ 272 ⋅ 322 mod 331
≡ 19312 ⋅ 322 mod 331 ≡ 114 ⋅ 322 mod 331
≡ 36708 mod 331 ≡ 298 mod 331
Es gilt also: 32269 ≡ 298 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
