Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (801 - 798) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(801 - 798) mod 4 ≡ (801 mod 4 - 798 mod 4) mod 4.

801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801 = 800+1 = 4 ⋅ 200 +1.

798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 700+98 = 4 ⋅ 175 +98.

Somit gilt:

(801 - 798) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 50) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 50) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34432 mod 509.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 248 mod 509

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 424 mod 509

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 99 mod 509

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 130 mod 509

32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 103 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 318122 mod 521.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 3181=318

2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 50 mod 521

4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 416 mod 521

8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 84 mod 521

16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 283 mod 521

32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 376 mod 521

64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 185 mod 521

318122

= 31864+32+16+8+2

= 31864⋅31832⋅31816⋅3188⋅3182

185 ⋅ 376 ⋅ 283 ⋅ 84 ⋅ 50 mod 521
69560 ⋅ 283 ⋅ 84 ⋅ 50 mod 521 ≡ 267 ⋅ 283 ⋅ 84 ⋅ 50 mod 521
75561 ⋅ 84 ⋅ 50 mod 521 ≡ 16 ⋅ 84 ⋅ 50 mod 521
1344 ⋅ 50 mod 521 ≡ 302 ⋅ 50 mod 521
15100 mod 521 ≡ 512 mod 521

Es gilt also: 318122 ≡ 512 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73 = 2⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25)
= 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.