Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (453 + 4508) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(453 + 4508) mod 9 ≡ (453 mod 9 + 4508 mod 9) mod 9.

453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453 = 450+3 = 9 ⋅ 50 +3.

4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508 = 4500+8 = 9 ⋅ 500 +8.

Somit gilt:

(453 + 4508) mod 9 ≡ (3 + 8) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 35) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 35) mod 6 ≡ (20 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 35) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53632 mod 659.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 536 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5361=536

2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 631 mod 659

4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 125 mod 659

8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 468 mod 659

16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 236 mod 659

32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 340 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21370 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:

70 = 64+4+2

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 183 mod 443

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 264 mod 443

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 145 mod 443

16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 204 mod 443

32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 417 mod 443

64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 233 mod 443

21370

= 21364+4+2

= 21364⋅2134⋅2132

233 ⋅ 264 ⋅ 183 mod 443
61512 ⋅ 183 mod 443 ≡ 378 ⋅ 183 mod 443
69174 mod 443 ≡ 66 mod 443

Es gilt also: 21370 ≡ 66 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53 = 1⋅29 + 24
=>29 = 1⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24)
= 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29)
= -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.