Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1608 - 78) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1608 - 78) mod 8 ≡ (1608 mod 8 - 78 mod 8) mod 8.
1608 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1608
= 1600
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
Somit gilt:
(1608 - 78) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 23) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 23) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 23 mod 5) mod 5.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 23) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 810128 mod 877.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 810 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8101=810
2: 8102=8101+1=8101⋅8101 ≡ 810⋅810=656100 ≡ 104 mod 877
4: 8104=8102+2=8102⋅8102 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 292 mod 877
8: 8108=8104+4=8104⋅8104 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 195 mod 877
16: 81016=8108+8=8108⋅8108 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 314 mod 877
32: 81032=81016+16=81016⋅81016 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 372 mod 877
64: 81064=81032+32=81032⋅81032 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 695 mod 877
128: 810128=81064+64=81064⋅81064 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 675 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 312174 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 244 mod 971
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 305 mod 971
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 780 mod 971
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 554 mod 971
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 80 mod 971
64: 31264=31232+32=31232⋅31232 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 574 mod 971
128: 312128=31264+64=31264⋅31264 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 307 mod 971
312174
= 312128+32+8+4+2
= 312128⋅31232⋅3128⋅3124⋅3122
≡ 307 ⋅ 80 ⋅ 780 ⋅ 305 ⋅ 244 mod 971
≡ 24560 ⋅ 780 ⋅ 305 ⋅ 244 mod 971 ≡ 285 ⋅ 780 ⋅ 305 ⋅ 244 mod 971
≡ 222300 ⋅ 305 ⋅ 244 mod 971 ≡ 912 ⋅ 305 ⋅ 244 mod 971
≡ 278160 ⋅ 244 mod 971 ≡ 454 ⋅ 244 mod 971
≡ 110776 mod 971 ≡ 82 mod 971
Es gilt also: 312174 ≡ 82 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55
| =>71 | = 1⋅55 + 16 |
| =>55 | = 3⋅16 + 7 |
| =>16 | = 2⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 16-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7) = -3⋅16 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16) = 7⋅55 -24⋅ 16 (=1) |
| 16= 71-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55) = -24⋅71 +31⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55
oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +24⋅71 = +31⋅55
Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1
Somit 31⋅55 = 1 mod 71
31 ist also das Inverse von 55 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
