Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 - 9002) mod 3 ≡ (153 mod 3 - 9002 mod 3) mod 3.

153 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 3 ⋅ 50 +3.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(153 - 9002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 33) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 33) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 244¹=244

2: 244²=244¹⁺¹=244¹⋅244¹ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 268 mod 449

4: 244⁴=244²⁺²=244²⋅244² ≡ 268⋅268=71824 ≡ 433 mod 449

8: 244⁸=244⁴⁺⁴=244⁴⋅244⁴ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 256 mod 449

16: 244¹⁶=244⁸⁺⁸=244⁸⋅244⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 431 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

793²³⁸

= 793^{128+64+32+8+4+2}

= 793¹²⁸⋅793⁶⁴⋅793³²⋅793⁸⋅793⁴⋅793²

≡ 257 ⋅ 591 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 151887 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 28 ⋅ 75 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 2100 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 422 ⋅ 147 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 62034 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839 ≡ 787 ⋅ 552 ⋅ 438 mod 839
≡ 434424 ⋅ 438 mod 839 ≡ 661 ⋅ 438 mod 839
≡ 289518 mod 839 ≡ 63 mod 839

Es gilt also: 793²³⁸ ≡ 63 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83	= 1⋅63 + 20
=>63	= 3⋅20 + 3
=>20	= 6⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20) = -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63) = 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83