Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(236 - 2404) mod 6 ≡ (236 mod 6 - 2404 mod 6) mod 6.

236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 6 ⋅ 40 -4 = 6 ⋅ 40 - 6 + 2.

2404 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404 = 2400+4 = 6 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(236 - 2404) mod 6 ≡ (2 - 4) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (58 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 75) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 323¹=323

2: 323²=323¹⁺¹=323¹⋅323¹ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 127 mod 827

4: 323⁴=323²⁺²=323²⋅323² ≡ 127⋅127=16129 ≡ 416 mod 827

8: 323⁸=323⁴⁺⁴=323⁴⋅323⁴ ≡ 416⋅416=173056 ≡ 213 mod 827

16: 323¹⁶=323⁸⁺⁸=323⁸⋅323⁸ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 711 mod 827

32: 323³²=323¹⁶⁺¹⁶=323¹⁶⋅323¹⁶ ≡ 711⋅711=505521 ≡ 224 mod 827

64: 323⁶⁴=323³²⁺³²=323³²⋅323³² ≡ 224⋅224=50176 ≡ 556 mod 827

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

268²⁰⁵

= 268^128+64+8+4+1

= 268¹²⁸⋅268⁶⁴⋅268⁸⋅268⁴⋅268¹

≡ 361 ⋅ 750 ⋅ 432 ⋅ 431 ⋅ 268 mod 769
≡ 270750 ⋅ 432 ⋅ 431 ⋅ 268 mod 769 ≡ 62 ⋅ 432 ⋅ 431 ⋅ 268 mod 769
≡ 26784 ⋅ 431 ⋅ 268 mod 769 ≡ 638 ⋅ 431 ⋅ 268 mod 769
≡ 274978 ⋅ 268 mod 769 ≡ 445 ⋅ 268 mod 769
≡ 119260 mod 769 ≡ 65 mod 769

Es gilt also: 268²⁰⁵ ≡ 65 mod 769

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97	= 1⋅55 + 42
=>55	= 1⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55) = 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97