Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2797 - 696) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2797 - 696) mod 7 ≡ (2797 mod 7 - 696 mod 7) mod 7.

2797 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2797 = 2800-3 = 7 ⋅ 400 -3 = 7 ⋅ 400 - 7 + 4.

696 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 696 = 700-4 = 7 ⋅ 100 -4 = 7 ⋅ 100 - 7 + 3.

Somit gilt:

(2797 - 696) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 46) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 46) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.

48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 46) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28832 mod 349.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2881=288

2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 231 mod 349

4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 313 mod 349

8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349

16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349

32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40269 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:

69 = 64+4+1

1: 4021=402

2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 211 mod 643

4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 154 mod 643

8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 568 mod 643

16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 481 mod 643

32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 524 mod 643

64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 15 mod 643

40269

= 40264+4+1

= 40264⋅4024⋅4021

15 ⋅ 154 ⋅ 402 mod 643
2310 ⋅ 402 mod 643 ≡ 381 ⋅ 402 mod 643
153162 mod 643 ≡ 128 mod 643

Es gilt also: 40269 ≡ 128 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32

=>53 = 1⋅32 + 21
=>32 = 1⋅21 + 11
=>21 = 1⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11)
= -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 32-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21)
= 2⋅32 -3⋅ 21 (=1)
21= 53-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32)
= -3⋅53 +5⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +5⋅32

Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1

Somit 5⋅32 = 1 mod 53

5 ist also das Inverse von 32 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.