Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29997 + 64) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29997 + 64) mod 6 ≡ (29997 mod 6 + 64 mod 6) mod 6.

29997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29997 = 30000-3 = 6 ⋅ 5000 -3 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 3.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60+4 = 6 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(29997 + 64) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 23) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 23) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 23) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38732 mod 701.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 456 mod 701

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 440 mod 701

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 124 mod 701

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 655 mod 701

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 13 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140155 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 1401=140

2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 188 mod 211

4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 107 mod 211

8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 55 mod 211

16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 71 mod 211

32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 188 mod 211

64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 107 mod 211

128: 140128=14064+64=14064⋅14064 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 55 mod 211

140155

= 140128+16+8+2+1

= 140128⋅14016⋅1408⋅1402⋅1401

55 ⋅ 71 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
3905 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211 ≡ 107 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
5885 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211 ≡ 188 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
35344 ⋅ 140 mod 211 ≡ 107 ⋅ 140 mod 211
14980 mod 211 ≡ 210 mod 211

Es gilt also: 140155 ≡ 210 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59 = 1⋅52 + 7
=>52 = 7⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7)
= -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52)
= 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.