Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 15001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 15001) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 15001 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(1197 + 15001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 37) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 37) mod 7 ≡ (43 mod 7 ⋅ 37 mod 7) mod 7.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 37) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7998 mod 857.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 799 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7991=799
2: 7992=7991+1=7991⋅7991 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 793 mod 857
4: 7994=7992+2=7992⋅7992 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 668 mod 857
8: 7998=7994+4=7994⋅7994 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 584 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 339193 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 3391=339
2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 27 mod 491
4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 27⋅27=729 ≡ 238 mod 491
8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 179 mod 491
16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 126 mod 491
32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 164 mod 491
64: 33964=33932+32=33932⋅33932 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 382 mod 491
128: 339128=33964+64=33964⋅33964 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 97 mod 491
339193
= 339128+64+1
= 339128⋅33964⋅3391
≡ 97 ⋅ 382 ⋅ 339 mod 491
≡ 37054 ⋅ 339 mod 491 ≡ 229 ⋅ 339 mod 491
≡ 77631 mod 491 ≡ 53 mod 491
Es gilt also: 339193 ≡ 53 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60
| =>101 | = 1⋅60 + 41 |
| =>60 | = 1⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 60-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1) |
| 41= 101-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +32⋅60
Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1
Somit 32⋅60 = 1 mod 101
32 ist also das Inverse von 60 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
