Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (196 - 3999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(196 - 3999) mod 4 ≡ (196 mod 4 - 3999 mod 4) mod 4.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 3000+999 = 4 ⋅ 750 +999.

Somit gilt:

(196 - 3999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 61) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 61) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 61 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 61) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3628 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 362 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3621=362

2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 278 mod 433

4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 210 mod 433

8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 367 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 252155 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 246 mod 811

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 502 mod 811

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 594 mod 811

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 51 mod 811

32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 168 mod 811

64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 650 mod 811

128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 780 mod 811

252155

= 252128+16+8+2+1

= 252128⋅25216⋅2528⋅2522⋅2521

780 ⋅ 51 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
39780 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811 ≡ 41 ⋅ 594 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
24354 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811 ≡ 24 ⋅ 246 ⋅ 252 mod 811
5904 ⋅ 252 mod 811 ≡ 227 ⋅ 252 mod 811
57204 mod 811 ≡ 434 mod 811

Es gilt also: 252155 ≡ 434 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67

=>71 = 1⋅67 + 4
=>67 = 16⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 67-16⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4)
= -1⋅67 +17⋅ 4 (=1)
4= 71-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67)
= 17⋅71 -18⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67

oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅71 = -18⋅67

-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67

-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1

(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1

53⋅67 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1

Somit 53⋅67 = 1 mod 71

53 ist also das Inverse von 67 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.