Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26999 + 2700) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26999 + 2700) mod 9 ≡ (26999 mod 9 + 2700 mod 9) mod 9.

26999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26999 = 27000-1 = 9 ⋅ 3000 -1 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 8.

2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700 = 2700+0 = 9 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(26999 + 2700) mod 9 ≡ (8 + 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 32) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 32) mod 4 ≡ (57 mod 4 ⋅ 32 mod 4) mod 4.

57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 32) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3018 mod 479.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3011=301

2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 70 mod 479

4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 110 mod 479

8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 125 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45999 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 135 mod 557

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 401 mod 557

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 385 mod 557

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 63 mod 557

32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 70 mod 557

64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 444 mod 557

45999

= 45964+32+2+1

= 45964⋅45932⋅4592⋅4591

444 ⋅ 70 ⋅ 135 ⋅ 459 mod 557
31080 ⋅ 135 ⋅ 459 mod 557 ≡ 445 ⋅ 135 ⋅ 459 mod 557
60075 ⋅ 459 mod 557 ≡ 476 ⋅ 459 mod 557
218484 mod 557 ≡ 140 mod 557

Es gilt also: 45999 ≡ 140 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.