Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (447 - 895) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(447 - 895) mod 9 ≡ (447 mod 9 - 895 mod 9) mod 9.

447 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 447 = 450-3 = 9 ⋅ 50 -3 = 9 ⋅ 50 - 9 + 6.

895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895 = 900-5 = 9 ⋅ 100 -5 = 9 ⋅ 100 - 9 + 4.

Somit gilt:

(447 - 895) mod 9 ≡ (6 - 4) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 60) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 60) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 267128 mod 401.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 267 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2671=267

2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 312 mod 401

4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 302 mod 401

8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 177 mod 401

16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 51 mod 401

32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401

64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401

128: 267128=26764+64=26764⋅26764 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 287211 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:

211 = 128+64+16+2+1

1: 2871=287

2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 177 mod 467

4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 40 mod 467

8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 199 mod 467

16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 373 mod 467

32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 430 mod 467

64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 435 mod 467

128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 90 mod 467

287211

= 287128+64+16+2+1

= 287128⋅28764⋅28716⋅2872⋅2871

90 ⋅ 435 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
39150 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467 ≡ 389 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
145097 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467 ≡ 327 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
57879 ⋅ 287 mod 467 ≡ 438 ⋅ 287 mod 467
125706 mod 467 ≡ 83 mod 467

Es gilt also: 287211 ≡ 83 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37

=>79 = 2⋅37 + 5
=>37 = 7⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5)
= -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-2⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37)
= 15⋅79 -32⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -32⋅37

-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37

-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1

(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1

47⋅37 = 22⋅79 + 1

Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1

Somit 47⋅37 = 1 mod 79

47 ist also das Inverse von 37 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.