Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 1203) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 1203) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 1203 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(150 + 1203) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 28) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 28) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 825128 mod 859.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 825 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8251=825
2: 8252=8251+1=8251⋅8251 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 297 mod 859
4: 8254=8252+2=8252⋅8252 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 591 mod 859
8: 8258=8254+4=8254⋅8254 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 527 mod 859
16: 82516=8258+8=8258⋅8258 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 272 mod 859
32: 82532=82516+16=82516⋅82516 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 110 mod 859
64: 82564=82532+32=82532⋅82532 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 74 mod 859
128: 825128=82564+64=82564⋅82564 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 322 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 147149 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 94 mod 331
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 230 mod 331
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 271 mod 331
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 290 mod 331
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 26 mod 331
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 26⋅26=676 ≡ 14 mod 331
128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 331
147149
= 147128+16+4+1
= 147128⋅14716⋅1474⋅1471
≡ 196 ⋅ 290 ⋅ 230 ⋅ 147 mod 331
≡ 56840 ⋅ 230 ⋅ 147 mod 331 ≡ 239 ⋅ 230 ⋅ 147 mod 331
≡ 54970 ⋅ 147 mod 331 ≡ 24 ⋅ 147 mod 331
≡ 3528 mod 331 ≡ 218 mod 331
Es gilt also: 147149 ≡ 218 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35
| =>73 | = 2⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 73-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -25⋅35
-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35
-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1
(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1
48⋅35 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1
Somit 48⋅35 = 1 mod 73
48 ist also das Inverse von 35 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
