Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 + 40) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40+0 = 4 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(204 + 40) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 47) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 47 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 47) mod 11 ≡ (8 ⋅ 3) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 802¹=802

2: 802²=802¹⁺¹=802¹⋅802¹ ≡ 802⋅802=643204 ≡ 471 mod 1009

4: 802⁴=802²⁺²=802²⋅802² ≡ 471⋅471=221841 ≡ 870 mod 1009

8: 802⁸=802⁴⁺⁴=802⁴⋅802⁴ ≡ 870⋅870=756900 ≡ 150 mod 1009

16: 802¹⁶=802⁸⁺⁸=802⁸⋅802⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 302 mod 1009

32: 802³²=802¹⁶⁺¹⁶=802¹⁶⋅802¹⁶ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 394 mod 1009

64: 802⁶⁴=802³²⁺³²=802³²⋅802³² ≡ 394⋅394=155236 ≡ 859 mod 1009

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

398¹²²

= 398^64+32+16+8+2

= 398⁶⁴⋅398³²⋅398¹⁶⋅398⁸⋅398²

≡ 105 ⋅ 225 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 23625 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421 ≡ 49 ⋅ 406 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 19894 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421 ≡ 107 ⋅ 220 ⋅ 108 mod 421
≡ 23540 ⋅ 108 mod 421 ≡ 385 ⋅ 108 mod 421
≡ 41580 mod 421 ≡ 322 mod 421

Es gilt also: 398¹²² ≡ 322 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53	= 1⋅38 + 15
=>38	= 2⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38) = 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53