Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (154 - 248) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(154 - 248) mod 8 ≡ (154 mod 8 - 248 mod 8) mod 8.

154 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 160-6 = 8 ⋅ 20 -6 = 8 ⋅ 20 - 8 + 2.

248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 8 ⋅ 30 +8.

Somit gilt:

(154 - 248) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 87) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 87) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 87) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67364 mod 821.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 673 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6731=673

2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 558 mod 821

4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 205 mod 821

8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 154 mod 821

16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 728 mod 821

32: 67332=67316+16=67316⋅67316 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 439 mod 821

64: 67364=67332+32=67332⋅67332 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 607 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 515188 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 5151=515

2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 597 mod 727

4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 179 mod 727

8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 53 mod 727

16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 628 mod 727

32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 350 mod 727

64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 364 mod 727

128: 515128=51564+64=51564⋅51564 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 182 mod 727

515188

= 515128+32+16+8+4

= 515128⋅51532⋅51516⋅5158⋅5154

182 ⋅ 350 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
63700 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727 ≡ 451 ⋅ 628 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
283228 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727 ≡ 425 ⋅ 53 ⋅ 179 mod 727
22525 ⋅ 179 mod 727 ≡ 715 ⋅ 179 mod 727
127985 mod 727 ≡ 33 mod 727

Es gilt also: 515188 ≡ 33 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79 = 1⋅45 + 34
=>45 = 1⋅34 + 11
=>34 = 3⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34)
= -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45)
= 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.