Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2500 - 48) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 - 48) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 48 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40+8 = 5 ⋅ 8 +8.

Somit gilt:

(2500 - 48) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 55) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 55) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 55 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 55) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21964 mod 229.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 219 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2191=219

2: 2192=2191+1=2191⋅2191 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 100 mod 229

4: 2194=2192+2=2192⋅2192 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 153 mod 229

8: 2198=2194+4=2194⋅2194 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

16: 21916=2198+8=2198⋅2198 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 82 mod 229

32: 21932=21916+16=21916⋅21916 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229

64: 21964=21932+32=21932⋅21932 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 19 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 165239 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 3 mod 349

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 349

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 349

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 279 mod 349

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 14 mod 349

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 349

128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 26 mod 349

165239

= 165128+64+32+8+4+2+1

= 165128⋅16564⋅16532⋅1658⋅1654⋅1652⋅1651

26 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
5096 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 210 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
2940 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 148 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
11988 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 122 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
1098 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 51 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
153 ⋅ 165 mod 349
25245 mod 349 ≡ 117 mod 349

Es gilt also: 165239 ≡ 117 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32

=>71 = 2⋅32 + 7
=>32 = 4⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 32-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7)
= 2⋅32 -9⋅ 7 (=1)
7= 71-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32)
= -9⋅71 +20⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +20⋅32

Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1

Somit 20⋅32 = 1 mod 71

20 ist also das Inverse von 32 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.