Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (241 - 119) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(241 - 119) mod 6 ≡ (241 mod 6 - 119 mod 6) mod 6.
241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241
= 240
119 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(241 - 119) mod 6 ≡ (1 - 5) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 48) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 48) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 48) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18532 mod 397.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 83 mod 397
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 140 mod 397
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 273206 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 107 mod 293
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 22 mod 293
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 22⋅22=484 ≡ 191 mod 293
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 149 mod 293
32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 226 mod 293
64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 94 mod 293
128: 273128=27364+64=27364⋅27364 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 46 mod 293
273206
= 273128+64+8+4+2
= 273128⋅27364⋅2738⋅2734⋅2732
≡ 46 ⋅ 94 ⋅ 191 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293
≡ 4324 ⋅ 191 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293 ≡ 222 ⋅ 191 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293
≡ 42402 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293 ≡ 210 ⋅ 22 ⋅ 107 mod 293
≡ 4620 ⋅ 107 mod 293 ≡ 225 ⋅ 107 mod 293
≡ 24075 mod 293 ≡ 49 mod 293
Es gilt also: 273206 ≡ 49 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
