Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2406 + 3195) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2406 + 3195) mod 8 ≡ (2406 mod 8 + 3195 mod 8) mod 8.
2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
3195 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3195
= 3200
Somit gilt:
(2406 + 3195) mod 8 ≡ (6 + 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 80) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 80) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 80) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 255128 mod 449.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 369 mod 449
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 114 mod 449
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 424 mod 449
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449
32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449
64: 25564=25532+32=25532⋅25532 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 25 mod 449
128: 255128=25564+64=25564⋅25564 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 580105 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 5801=580
2: 5802=5801+1=5801⋅5801 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 351 mod 787
4: 5804=5802+2=5802⋅5802 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 429 mod 787
8: 5808=5804+4=5804⋅5804 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 670 mod 787
16: 58016=5808+8=5808⋅5808 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 310 mod 787
32: 58032=58016+16=58016⋅58016 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 86 mod 787
64: 58064=58032+32=58032⋅58032 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 313 mod 787
580105
= 58064+32+8+1
= 58064⋅58032⋅5808⋅5801
≡ 313 ⋅ 86 ⋅ 670 ⋅ 580 mod 787
≡ 26918 ⋅ 670 ⋅ 580 mod 787 ≡ 160 ⋅ 670 ⋅ 580 mod 787
≡ 107200 ⋅ 580 mod 787 ≡ 168 ⋅ 580 mod 787
≡ 97440 mod 787 ≡ 639 mod 787
Es gilt also: 580105 ≡ 639 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
