Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1600 + 806) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 + 806) mod 8 ≡ (1600 mod 8 + 806 mod 8) mod 8.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806 = 800+6 = 8 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(1600 + 806) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 62) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 62) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 62) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331128 mod 563.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,563) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 339 mod 563

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 69 mod 563

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 257 mod 563

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 178 mod 563

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 156 mod 563

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 127 mod 563

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 365 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 416190 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 4161=416

2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 871 mod 883

4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 144 mod 883

8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 427 mod 883

16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 431 mod 883

32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 331 mod 883

64: 41664=41632+32=41632⋅41632 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 69 mod 883

128: 416128=41664+64=41664⋅41664 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 346 mod 883

416190

= 416128+32+16+8+4+2

= 416128⋅41632⋅41616⋅4168⋅4164⋅4162

346 ⋅ 331 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
114526 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 619 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
266789 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 123 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
52521 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 424 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
61056 ⋅ 871 mod 883 ≡ 129 ⋅ 871 mod 883
112359 mod 883 ≡ 218 mod 883

Es gilt also: 416190 ≡ 218 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53 = 1⋅46 + 7
=>46 = 6⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7)
= 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46)
= -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.