Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 1498) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(6000 + 1498) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 58) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 58) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 58) mod 11 ≡ (10 ⋅ 3) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 688128 mod 761.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 688 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6881=688
2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 2 mod 761
4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 761
8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 761
16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 761
32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 90 mod 761
64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 490 mod 761
128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 385 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 196112 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 410 mod 613
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 138 mod 613
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 41 mod 613
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 455 mod 613
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 444 mod 613
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 363 mod 613
196112
= 19664+32+16
= 19664⋅19632⋅19616
≡ 363 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
≡ 161172 ⋅ 455 mod 613 ≡ 566 ⋅ 455 mod 613
≡ 257530 mod 613 ≡ 70 mod 613
Es gilt also: 196112 ≡ 70 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
