Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1595 + 23993) mod 8 ≡ (1595 mod 8 + 23993 mod 8) mod 8.

1595 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1595 = 1600-5 = 8 ⋅ 200 -5 = 8 ⋅ 200 - 8 + 3.

23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993 = 23000+993 = 8 ⋅ 2875 +993.

Somit gilt:

(1595 + 23993) mod 8 ≡ (3 + 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 42) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 42) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 305¹=305

2: 305²=305¹⁺¹=305¹⋅305¹ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 475 mod 617

4: 305⁴=305²⁺²=305²⋅305² ≡ 475⋅475=225625 ≡ 420 mod 617

8: 305⁸=305⁴⁺⁴=305⁴⋅305⁴ ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617

16: 305¹⁶=305⁸⁺⁸=305⁸⋅305⁸ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617

32: 305³²=305¹⁶⁺¹⁶=305¹⁶⋅305¹⁶ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617

64: 305⁶⁴=305³²⁺³²=305³²⋅305³² ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617

128: 305¹²⁸=305⁶⁴⁺⁶⁴=305⁶⁴⋅305⁶⁴ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

320¹⁸⁸

= 320^{128+32+16+8+4}

= 320¹²⁸⋅320³²⋅320¹⁶⋅320⁸⋅320⁴

≡ 315 ⋅ 360 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 113400 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401 ≡ 318 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 20034 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401 ≡ 385 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 98175 ⋅ 173 mod 401 ≡ 331 ⋅ 173 mod 401
≡ 57263 mod 401 ≡ 321 mod 401

Es gilt also: 320¹⁸⁸ ≡ 321 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71	= 1⋅68 + 3
=>68	= 22⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68) = -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71