Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27006 + 359) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27006 + 359) mod 9 ≡ (27006 mod 9 + 359 mod 9) mod 9.
27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006
= 27000
359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359
= 360
Somit gilt:
(27006 + 359) mod 9 ≡ (6 + 8) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 84) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 84) mod 4 ≡ (26 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.
26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 84) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 257.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 29 mod 257
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 29⋅29=841 ≡ 70 mod 257
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 17 mod 257
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402206 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 386 mod 541
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 221 mod 541
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 151 mod 541
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 79 mod 541
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 290 mod 541
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 245 mod 541
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 515 mod 541
402206
= 402128+64+8+4+2
= 402128⋅40264⋅4028⋅4024⋅4022
≡ 515 ⋅ 245 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
≡ 126175 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541 ≡ 122 ⋅ 151 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
≡ 18422 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541 ≡ 28 ⋅ 221 ⋅ 386 mod 541
≡ 6188 ⋅ 386 mod 541 ≡ 237 ⋅ 386 mod 541
≡ 91482 mod 541 ≡ 53 mod 541
Es gilt also: 402206 ≡ 53 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72
| =>89 | = 1⋅72 + 17 |
| =>72 | = 4⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 72-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17) = -4⋅72 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72) = 17⋅89 -21⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -21⋅72
-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72
-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1
(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1
68⋅72 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1
Somit 68⋅72 = 1 mod 89
68 ist also das Inverse von 72 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
