Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 + 83) mod 4 ≡ (19998 mod 4 + 83 mod 4) mod 4.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 4 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(19998 + 83) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 45) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 45) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 568¹=568

2: 568²=568¹⁺¹=568¹⋅568¹ ≡ 568⋅568=322624 ≡ 392 mod 857

4: 568⁴=568²⁺²=568²⋅568² ≡ 392⋅392=153664 ≡ 261 mod 857

8: 568⁸=568⁴⁺⁴=568⁴⋅568⁴ ≡ 261⋅261=68121 ≡ 418 mod 857

16: 568¹⁶=568⁸⁺⁸=568⁸⋅568⁸ ≡ 418⋅418=174724 ≡ 753 mod 857

32: 568³²=568¹⁶⁺¹⁶=568¹⁶⋅568¹⁶ ≡ 753⋅753=567009 ≡ 532 mod 857

64: 568⁶⁴=568³²⁺³²=568³²⋅568³² ≡ 532⋅532=283024 ≡ 214 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:

109 = 64+32+8+4+1

173¹⁰⁹

= 173^64+32+8+4+1

= 173⁶⁴⋅173³²⋅173⁸⋅173⁴⋅173¹

≡ 9 ⋅ 3 ⋅ 411 ⋅ 106 ⋅ 173 mod 433
≡ 27 ⋅ 411 ⋅ 106 ⋅ 173 mod 433
≡ 11097 ⋅ 106 ⋅ 173 mod 433 ≡ 272 ⋅ 106 ⋅ 173 mod 433
≡ 28832 ⋅ 173 mod 433 ≡ 254 ⋅ 173 mod 433
≡ 43942 mod 433 ≡ 209 mod 433

Es gilt also: 173¹⁰⁹ ≡ 209 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53	= 1⋅37 + 16
=>37	= 2⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37) = -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53