Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3606 + 3598) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3606 + 3598) mod 9 ≡ (3606 mod 9 + 3598 mod 9) mod 9.
3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606
= 3600
3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598
= 3600
Somit gilt:
(3606 + 3598) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 79) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 79) mod 11 ≡ (36 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 79) mod 11 ≡ (3 ⋅ 2) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1858 mod 241.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 3 mod 241
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 241
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 463152 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 4631=463
2: 4632=4631+1=4631⋅4631 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 333 mod 733
4: 4634=4632+2=4632⋅4632 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 206 mod 733
8: 4638=4634+4=4634⋅4634 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 655 mod 733
16: 46316=4638+8=4638⋅4638 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733
32: 46332=46316+16=46316⋅46316 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733
64: 46364=46332+32=46332⋅46332 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 733
128: 463128=46364+64=46364⋅46364 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 429 mod 733
463152
= 463128+16+8
= 463128⋅46316⋅4638
≡ 429 ⋅ 220 ⋅ 655 mod 733
≡ 94380 ⋅ 655 mod 733 ≡ 556 ⋅ 655 mod 733
≡ 364180 mod 733 ≡ 612 mod 733
Es gilt also: 463152 ≡ 612 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23
| =>61 | = 2⋅23 + 15 |
| =>23 | = 1⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 23-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1) |
| 15= 61-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23
oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅61 = +8⋅23
Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1
Somit 8⋅23 = 1 mod 61
8 ist also das Inverse von 23 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
