Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9004 - 271) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9004 - 271) mod 9 ≡ (9004 mod 9 - 271 mod 9) mod 9.
9004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9004
= 9000
271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271
= 270
Somit gilt:
(9004 - 271) mod 9 ≡ (4 - 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 46) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 46) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 46) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48764 mod 919.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 487 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4871=487
2: 4872=4871+1=4871⋅4871 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919
4: 4874=4872+2=4872⋅4872 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 813 mod 919
8: 4878=4874+4=4874⋅4874 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 208 mod 919
16: 48716=4878+8=4878⋅4878 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 71 mod 919
32: 48732=48716+16=48716⋅48716 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 446 mod 919
64: 48764=48732+32=48732⋅48732 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 412 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77261 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 7721=772
2: 7722=7721+1=7721⋅7721 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 359 mod 953
4: 7724=7722+2=7722⋅7722 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 226 mod 953
8: 7728=7724+4=7724⋅7724 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 567 mod 953
16: 77216=7728+8=7728⋅7728 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 328 mod 953
32: 77232=77216+16=77216⋅77216 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 848 mod 953
77261
= 77232+16+8+4+1
= 77232⋅77216⋅7728⋅7724⋅7721
≡ 848 ⋅ 328 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 278144 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953 ≡ 821 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 465507 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953 ≡ 443 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 100118 ⋅ 772 mod 953 ≡ 53 ⋅ 772 mod 953
≡ 40916 mod 953 ≡ 890 mod 953
Es gilt also: 77261 ≡ 890 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
