Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (297 - 300) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(297 - 300) mod 3 ≡ (297 mod 3 - 300 mod 3) mod 3.

297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 3 ⋅ 100 -3 = 3 ⋅ 100 - 3 + 0.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(297 - 300) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 47) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 47) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 47 mod 5) mod 5.

32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 47) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2578 mod 277.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 257 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 123 mod 277

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 171 mod 277

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 345228 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 3451=345

2: 3452=3451+1=3451⋅3451 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 759 mod 857

4: 3454=3452+2=3452⋅3452 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 177 mod 857

8: 3458=3454+4=3454⋅3454 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 477 mod 857

16: 34516=3458+8=3458⋅3458 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 424 mod 857

32: 34532=34516+16=34516⋅34516 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 663 mod 857

64: 34564=34532+32=34532⋅34532 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 785 mod 857

128: 345128=34564+64=34564⋅34564 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 42 mod 857

345228

= 345128+64+32+4

= 345128⋅34564⋅34532⋅3454

42 ⋅ 785 ⋅ 663 ⋅ 177 mod 857
32970 ⋅ 663 ⋅ 177 mod 857 ≡ 404 ⋅ 663 ⋅ 177 mod 857
267852 ⋅ 177 mod 857 ≡ 468 ⋅ 177 mod 857
82836 mod 857 ≡ 564 mod 857

Es gilt also: 345228 ≡ 564 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53 = 1⋅29 + 24
=>29 = 1⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24)
= 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29)
= -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.