Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 - 14999) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 - 14999) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 14999 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999
= 15000
Somit gilt:
(60 - 14999) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 74) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 74) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 74) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3878 mod 557.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 493 mod 557
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 197 mod 557
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 376 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 119236 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 1191=119
2: 1192=1191+1=1191⋅1191 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 160 mod 359
4: 1194=1192+2=1192⋅1192 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 111 mod 359
8: 1198=1194+4=1194⋅1194 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 115 mod 359
16: 11916=1198+8=1198⋅1198 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359
32: 11932=11916+16=11916⋅11916 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359
64: 11964=11932+32=11932⋅11932 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 98 mod 359
128: 119128=11964+64=11964⋅11964 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 270 mod 359
119236
= 119128+64+32+8+4
= 119128⋅11964⋅11932⋅1198⋅1194
≡ 270 ⋅ 98 ⋅ 133 ⋅ 115 ⋅ 111 mod 359
≡ 26460 ⋅ 133 ⋅ 115 ⋅ 111 mod 359 ≡ 253 ⋅ 133 ⋅ 115 ⋅ 111 mod 359
≡ 33649 ⋅ 115 ⋅ 111 mod 359 ≡ 262 ⋅ 115 ⋅ 111 mod 359
≡ 30130 ⋅ 111 mod 359 ≡ 333 ⋅ 111 mod 359
≡ 36963 mod 359 ≡ 345 mod 359
Es gilt also: 119236 ≡ 345 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21
| =>59 | = 2⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -14⋅21
-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21
-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1
(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1
45⋅21 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1
Somit 45⋅21 = 1 mod 59
45 ist also das Inverse von 21 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
