Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16006 - 232) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16006 - 232) mod 8 ≡ (16006 mod 8 - 232 mod 8) mod 8.
16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006
= 16000
232 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 232
= 240
Somit gilt:
(16006 - 232) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 30) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 30) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 30 mod 11) mod 11.
55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 30) mod 11 ≡ (0 ⋅ 8) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37964 mod 997.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 73 mod 997
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 344 mod 997
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 690 mod 997
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 531 mod 997
32: 37932=37916+16=37916⋅37916 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 807 mod 997
64: 37964=37932+32=37932⋅37932 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 208 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29182 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 118 mod 821
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 788 mod 821
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 268 mod 821
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 397 mod 821
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 798 mod 821
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 529 mod 821
29182
= 29164+16+2
= 29164⋅29116⋅2912
≡ 529 ⋅ 397 ⋅ 118 mod 821
≡ 210013 ⋅ 118 mod 821 ≡ 658 ⋅ 118 mod 821
≡ 77644 mod 821 ≡ 470 mod 821
Es gilt also: 29182 ≡ 470 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
