Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18001 - 23996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18001 - 23996) mod 6 ≡ (18001 mod 6 - 23996 mod 6) mod 6.

18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001 = 18000+1 = 6 ⋅ 3000 +1.

23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 24000-4 = 6 ⋅ 4000 -4 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(18001 - 23996) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 41) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 41) mod 10 ≡ (92 mod 10 ⋅ 41 mod 10) mod 10.

92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 41) mod 10 ≡ (2 ⋅ 1) mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27016 mod 331.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2701=270

2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 80 mod 331

4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 111 mod 331

8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 74 mod 331

16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 180 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39477 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 905 mod 983

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 186 mod 983

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 191 mod 983

16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 110 mod 983

32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 304 mod 983

64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 14 mod 983

39477

= 39464+8+4+1

= 39464⋅3948⋅3944⋅3941

14 ⋅ 191 ⋅ 186 ⋅ 394 mod 983
2674 ⋅ 186 ⋅ 394 mod 983 ≡ 708 ⋅ 186 ⋅ 394 mod 983
131688 ⋅ 394 mod 983 ≡ 949 ⋅ 394 mod 983
373906 mod 983 ≡ 366 mod 983

Es gilt also: 39477 ≡ 366 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.