Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14999 + 300) mod 3 ≡ (14999 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 15000-1 = 3 ⋅ 5000 -1 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 2.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(14999 + 300) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 81) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 81 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 81) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 702¹=702

2: 702²=702¹⁺¹=702¹⋅702¹ ≡ 702⋅702=492804 ≡ 650 mod 823

4: 702⁴=702²⁺²=702²⋅702² ≡ 650⋅650=422500 ≡ 301 mod 823

8: 702⁸=702⁴⁺⁴=702⁴⋅702⁴ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 71 mod 823

16: 702¹⁶=702⁸⁺⁸=702⁸⋅702⁸ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 103 mod 823

32: 702³²=702¹⁶⁺¹⁶=702¹⁶⋅702¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 733 mod 823

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

368⁸⁷

= 368^64+16+4+2+1

= 368⁶⁴⋅368¹⁶⋅368⁴⋅368²⋅368¹

≡ 150 ⋅ 473 ⋅ 43 ⋅ 490 ⋅ 368 mod 523
≡ 70950 ⋅ 43 ⋅ 490 ⋅ 368 mod 523 ≡ 345 ⋅ 43 ⋅ 490 ⋅ 368 mod 523
≡ 14835 ⋅ 490 ⋅ 368 mod 523 ≡ 191 ⋅ 490 ⋅ 368 mod 523
≡ 93590 ⋅ 368 mod 523 ≡ 496 ⋅ 368 mod 523
≡ 182528 mod 523 ≡ 1 mod 523

Es gilt also: 368⁸⁷ ≡ 1 mod 523

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61