Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 78) mod 4 ≡ (800 mod 4 - 78 mod 4) mod 4.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 4 ⋅ 20 -2 = 4 ⋅ 20 - 4 + 2.

Somit gilt:

(800 - 78) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 45) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 45) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 319¹=319

2: 319²=319¹⁺¹=319¹⋅319¹ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 323 mod 757

4: 319⁴=319²⁺²=319²⋅319² ≡ 323⋅323=104329 ≡ 620 mod 757

8: 319⁸=319⁴⁺⁴=319⁴⋅319⁴ ≡ 620⋅620=384400 ≡ 601 mod 757

16: 319¹⁶=319⁸⁺⁸=319⁸⋅319⁸ ≡ 601⋅601=361201 ≡ 112 mod 757

32: 319³²=319¹⁶⁺¹⁶=319¹⁶⋅319¹⁶ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 432 mod 757

64: 319⁶⁴=319³²⁺³²=319³²⋅319³² ≡ 432⋅432=186624 ≡ 402 mod 757

128: 319¹²⁸=319⁶⁴⁺⁶⁴=319⁶⁴⋅319⁶⁴ ≡ 402⋅402=161604 ≡ 363 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

86¹²⁵

= 86^{64+32+16+8+4+1}

= 86⁶⁴⋅86³²⋅86¹⁶⋅86⁸⋅86⁴⋅86¹

≡ 235 ⋅ 226 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
≡ 53110 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 117 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
≡ 6318 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 131 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
≡ 24890 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 142 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
≡ 28968 ⋅ 86 mod 269 ≡ 185 ⋅ 86 mod 269
≡ 15910 mod 269 ≡ 39 mod 269

Es gilt also: 86¹²⁵ ≡ 39 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74

=>89	= 1⋅74 + 15
=>74	= 4⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 74-4⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15) = -1⋅74 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-1⋅74	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74) = -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74) = 5⋅89 -6⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -6⋅74

-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74

-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1

(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1

83⋅74 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1

Somit 83⋅74 = 1 mod 89

83 ist also das Inverse von 74 mod 89