Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15994 - 32001) mod 8 ≡ (15994 mod 8 - 32001 mod 8) mod 8.

15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994 = 15000+994 = 8 ⋅ 1875 +994.

32001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32001 = 32000+1 = 8 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(15994 - 32001) mod 8 ≡ (2 - 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 24) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 24) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 116¹=116

2: 116²=116¹⁺¹=116¹⋅116¹ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 155 mod 283

4: 116⁴=116²⁺²=116²⋅116² ≡ 155⋅155=24025 ≡ 253 mod 283

8: 116⁸=116⁴⁺⁴=116⁴⋅116⁴ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 51 mod 283

16: 116¹⁶=116⁸⁺⁸=116⁸⋅116⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 54 mod 283

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

171¹²⁷

= 171^{64+32+16+8+4+2+1}

= 171⁶⁴⋅171³²⋅171¹⁶⋅171⁸⋅171⁴⋅171²⋅171¹

≡ 337 ⋅ 293 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
≡ 98741 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 504 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
≡ 117936 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 357 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
≡ 101388 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 97 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
≡ 6402 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 294 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
≡ 67032 ⋅ 171 mod 509 ≡ 353 ⋅ 171 mod 509
≡ 60363 mod 509 ≡ 301 mod 509

Es gilt also: 171¹²⁷ ≡ 301 mod 509

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101	= 1⋅92 + 9
=>92	= 10⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92) = -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101