Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35004 + 2795) mod 7 ≡ (35004 mod 7 + 2795 mod 7) mod 7.

35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004 = 35000+4 = 7 ⋅ 5000 +4.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

Somit gilt:

(35004 + 2795) mod 7 ≡ (4 + 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 32) mod 8 ≡ (49 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 32) mod 8 ≡ (1 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 405¹=405

2: 405²=405¹⁺¹=405¹⋅405¹ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 338 mod 857

4: 405⁴=405²⁺²=405²⋅405² ≡ 338⋅338=114244 ≡ 263 mod 857

8: 405⁸=405⁴⁺⁴=405⁴⋅405⁴ ≡ 263⋅263=69169 ≡ 609 mod 857

16: 405¹⁶=405⁸⁺⁸=405⁸⋅405⁸ ≡ 609⋅609=370881 ≡ 657 mod 857

32: 405³²=405¹⁶⁺¹⁶=405¹⁶⋅405¹⁶ ≡ 657⋅657=431649 ≡ 578 mod 857

64: 405⁶⁴=405³²⁺³²=405³²⋅405³² ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

299²²¹

= 299^{128+64+16+8+4+1}

= 299¹²⁸⋅299⁶⁴⋅299¹⁶⋅299⁸⋅299⁴⋅299¹

≡ 535 ⋅ 306 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 163710 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593 ≡ 42 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 672 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593 ≡ 79 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 316 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 632 ⋅ 299 mod 593 ≡ 39 ⋅ 299 mod 593
≡ 11661 mod 593 ≡ 394 mod 593

Es gilt also: 299²²¹ ≡ 394 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59

=>79	= 1⋅59 + 20
=>59	= 2⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 59-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1)
20= 79-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59) = -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59

oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅79 = -4⋅59

-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59

-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1

(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1

75⋅59 = 56⋅79 + 1

Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1

Somit 75⋅59 = 1 mod 79

75 ist also das Inverse von 59 mod 79