Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (284 + 211) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(284 + 211) mod 7 ≡ (284 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.
284 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 284
= 280
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
Somit gilt:
(284 + 211) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 75) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26016 mod 317.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 79 mod 317
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 482242 mod 647.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 51 mod 647
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 13 mod 647
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 647
16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 93 mod 647
32: 48232=48216+16=48216⋅48216 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 238 mod 647
64: 48264=48232+32=48232⋅48232 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 355 mod 647
128: 482128=48264+64=48264⋅48264 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 507 mod 647
482242
= 482128+64+32+16+2
= 482128⋅48264⋅48232⋅48216⋅4822
≡ 507 ⋅ 355 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 179985 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647 ≡ 119 ⋅ 238 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 28322 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647 ≡ 501 ⋅ 93 ⋅ 51 mod 647
≡ 46593 ⋅ 51 mod 647 ≡ 9 ⋅ 51 mod 647
≡ 459 mod 647
Es gilt also: 482242 ≡ 459 mod 647
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 52
| =>79 | = 1⋅52 + 27 |
| =>52 | = 1⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 52-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(52 -1⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅52 -13⋅ 27) = 13⋅52 -25⋅ 27 (=1) |
| 27= 79-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -25⋅(79 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -25⋅79 +25⋅ 52) = -25⋅79 +38⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,52)=1 = -25⋅79 +38⋅52
oder wenn man -25⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +25⋅79 = +38⋅52
Es gilt also: 38⋅52 = 25⋅79 +1
Somit 38⋅52 = 1 mod 79
38 ist also das Inverse von 52 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
