Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1001 - 46) mod 5 ≡ (1001 mod 5 - 46 mod 5) mod 5.

1001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1001 = 1000+1 = 5 ⋅ 200 +1.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40+6 = 5 ⋅ 8 +6.

Somit gilt:

(1001 - 46) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 18) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 18) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 602¹=602

2: 602²=602¹⁺¹=602¹⋅602¹ ≡ 602⋅602=362404 ≡ 294 mod 739

4: 602⁴=602²⁺²=602²⋅602² ≡ 294⋅294=86436 ≡ 712 mod 739

8: 602⁸=602⁴⁺⁴=602⁴⋅602⁴ ≡ 712⋅712=506944 ≡ 729 mod 739

16: 602¹⁶=602⁸⁺⁸=602⁸⋅602⁸ ≡ 729⋅729=531441 ≡ 100 mod 739

32: 602³²=602¹⁶⁺¹⁶=602¹⁶⋅602¹⁶ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 393 mod 739

64: 602⁶⁴=602³²⁺³²=602³²⋅602³² ≡ 393⋅393=154449 ≡ 737 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

722¹⁵⁸

= 722^128+16+8+4+2

= 722¹²⁸⋅722¹⁶⋅722⁸⋅722⁴⋅722²

≡ 957 ⋅ 940 ⋅ 855 ⋅ 206 ⋅ 71 mod 967
≡ 899580 ⋅ 855 ⋅ 206 ⋅ 71 mod 967 ≡ 270 ⋅ 855 ⋅ 206 ⋅ 71 mod 967
≡ 230850 ⋅ 206 ⋅ 71 mod 967 ≡ 704 ⋅ 206 ⋅ 71 mod 967
≡ 145024 ⋅ 71 mod 967 ≡ 941 ⋅ 71 mod 967
≡ 66811 mod 967 ≡ 88 mod 967

Es gilt also: 722¹⁵⁸ ≡ 88 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59