Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26991 - 355) mod 9 ≡ (26991 mod 9 - 355 mod 9) mod 9.

26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991 = 27000-9 = 9 ⋅ 3000 -9 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 0.

355 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 360-5 = 9 ⋅ 40 -5 = 9 ⋅ 40 - 9 + 4.

Somit gilt:

(26991 - 355) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 40) mod 3 ≡ (30 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 110¹=110

2: 110²=110¹⁺¹=110¹⋅110¹ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 217 mod 233

4: 110⁴=110²⁺²=110²⋅110² ≡ 217⋅217=47089 ≡ 23 mod 233

8: 110⁸=110⁴⁺⁴=110⁴⋅110⁴ ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

16: 110¹⁶=110⁸⁺⁸=110⁸⋅110⁸ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

32: 110³²=110¹⁶⁺¹⁶=110¹⁶⋅110¹⁶ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

64: 110⁶⁴=110³²⁺³²=110³²⋅110³² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

253¹⁸³

= 253^{128+32+16+4+2+1}

= 253¹²⁸⋅253³²⋅253¹⁶⋅253⁴⋅253²⋅253¹

≡ 406 ⋅ 453 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
≡ 183918 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 25 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
≡ 10325 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 142 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
≡ 66314 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 424 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
≡ 218360 ⋅ 253 mod 599 ≡ 324 ⋅ 253 mod 599
≡ 81972 mod 599 ≡ 508 mod 599

Es gilt also: 253¹⁸³ ≡ 508 mod 599

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73	= 2⋅33 + 7
=>33	= 4⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33) = 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73