Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (448 - 275) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(448 - 275) mod 9 ≡ (448 mod 9 - 275 mod 9) mod 9.

448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448 = 450-2 = 9 ⋅ 50 -2 = 9 ⋅ 50 - 9 + 7.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(448 - 275) mod 9 ≡ (7 - 5) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 27) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 27) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 27) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5318 mod 773.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 531 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5311=531

2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 589 mod 773

4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 617 mod 773

8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 373 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 390193 mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:

193 = 128+64+1

1: 3901=390

2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 47 mod 601

4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 406 mod 601

8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 162 mod 601

16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 401 mod 601

32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 334 mod 601

64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 371 mod 601

128: 390128=39064+64=39064⋅39064 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 12 mod 601

390193

= 390128+64+1

= 390128⋅39064⋅3901

12 ⋅ 371 ⋅ 390 mod 601
4452 ⋅ 390 mod 601 ≡ 245 ⋅ 390 mod 601
95550 mod 601 ≡ 592 mod 601

Es gilt also: 390193 ≡ 592 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73 = 2⋅33 + 7
=>33 = 4⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7)
= 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33)
= -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.