Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 + 3201) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 + 3201) mod 8 ≡ (1600 mod 8 + 3201 mod 8) mod 8.
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
3201 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3201
= 3200
Somit gilt:
(1600 + 3201) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 70) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 70) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 70 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 70) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42416 mod 443.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 424 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4241=424
2: 4242=4241+1=4241⋅4241 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 361 mod 443
4: 4244=4242+2=4242⋅4242 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 79 mod 443
8: 4248=4244+4=4244⋅4244 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 39 mod 443
16: 42416=4248+8=4248⋅4248 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 192 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 309230 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 114 mod 383
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 357 mod 383
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 293 mod 383
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 57 mod 383
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 185 mod 383
64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 138 mod 383
128: 309128=30964+64=30964⋅30964 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 277 mod 383
309230
= 309128+64+32+4+2
= 309128⋅30964⋅30932⋅3094⋅3092
≡ 277 ⋅ 138 ⋅ 185 ⋅ 357 ⋅ 114 mod 383
≡ 38226 ⋅ 185 ⋅ 357 ⋅ 114 mod 383 ≡ 309 ⋅ 185 ⋅ 357 ⋅ 114 mod 383
≡ 57165 ⋅ 357 ⋅ 114 mod 383 ≡ 98 ⋅ 357 ⋅ 114 mod 383
≡ 34986 ⋅ 114 mod 383 ≡ 133 ⋅ 114 mod 383
≡ 15162 mod 383 ≡ 225 mod 383
Es gilt also: 309230 ≡ 225 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62
| =>67 | = 1⋅62 + 5 |
| =>62 | = 12⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 62-12⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5) = -2⋅62 +25⋅ 5 (=1) |
| 5= 67-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62) = 25⋅67 -27⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -27⋅62
-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62
-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1
(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1
40⋅62 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1
Somit 40⋅62 = 1 mod 67
40 ist also das Inverse von 62 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
