Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17997 + 240) mod 6 ≡ (17997 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.

17997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997 = 18000-3 = 6 ⋅ 3000 -3 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 3.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(17997 + 240) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 100) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 100) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 561¹=561

2: 561²=561¹⁺¹=561¹⋅561¹ ≡ 561⋅561=314721 ≡ 378 mod 659

4: 561⁴=561²⁺²=561²⋅561² ≡ 378⋅378=142884 ≡ 540 mod 659

8: 561⁸=561⁴⁺⁴=561⁴⋅561⁴ ≡ 540⋅540=291600 ≡ 322 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

78²³⁵

= 78^{128+64+32+8+2+1}

= 78¹²⁸⋅78⁶⁴⋅78³²⋅78⁸⋅78²⋅78¹

≡ 51 ⋅ 135 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
≡ 6885 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 128 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
≡ 8192 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 37 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
≡ 2331 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 1 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
≡ 26 ⋅ 78 mod 233
≡ 2028 mod 233 ≡ 164 mod 233

Es gilt also: 78²³⁵ ≡ 164 mod 233

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89