Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12006 - 1803) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12006 - 1803) mod 6 ≡ (12006 mod 6 - 1803 mod 6) mod 6.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(12006 - 1803) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 84) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 84) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 84) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41516 mod 419.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 415 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4151=415

2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 16 mod 419

4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 419

8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 172 mod 419

16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 254 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 204212 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 2041=204

2: 2042=2041+1=2041⋅2041 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 201 mod 251

4: 2044=2042+2=2042⋅2042 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 241 mod 251

8: 2048=2044+4=2044⋅2044 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 100 mod 251

16: 20416=2048+8=2048⋅2048 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 211 mod 251

32: 20432=20416+16=20416⋅20416 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 94 mod 251

64: 20464=20432+32=20432⋅20432 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 51 mod 251

128: 204128=20464+64=20464⋅20464 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 91 mod 251

204212

= 204128+64+16+4

= 204128⋅20464⋅20416⋅2044

91 ⋅ 51 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251
4641 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251 ≡ 123 ⋅ 211 ⋅ 241 mod 251
25953 ⋅ 241 mod 251 ≡ 100 ⋅ 241 mod 251
24100 mod 251 ≡ 4 mod 251

Es gilt also: 204212 ≡ 4 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 82

=>89 = 1⋅82 + 7
=>82 = 11⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 82-11⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(82 -11⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅82 -33⋅ 7)
= 3⋅82 -35⋅ 7 (=1)
7= 89-1⋅82 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅82 -35⋅(89 -1⋅ 82)
= 3⋅82 -35⋅89 +35⋅ 82)
= -35⋅89 +38⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(89,82)=1 = -35⋅89 +38⋅82

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +38⋅82

Es gilt also: 38⋅82 = 35⋅89 +1

Somit 38⋅82 = 1 mod 89

38 ist also das Inverse von 82 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.