Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2805 - 212) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2805 - 212) mod 7 ≡ (2805 mod 7 - 212 mod 7) mod 7.

2805 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2805 = 2800+5 = 7 ⋅ 400 +5.

212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212 = 210+2 = 7 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(2805 - 212) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 96) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 96) mod 11 ≡ (97 mod 11 ⋅ 96 mod 11) mod 11.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 96) mod 11 ≡ (9 ⋅ 8) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65532 mod 829.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 655 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6551=655

2: 6552=6551+1=6551⋅6551 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 432 mod 829

4: 6554=6552+2=6552⋅6552 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 99 mod 829

8: 6558=6554+4=6554⋅6554 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 682 mod 829

16: 65516=6558+8=6558⋅6558 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 55 mod 829

32: 65532=65516+16=65516⋅65516 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 538 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 457133 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 4571=457

2: 4572=4571+1=4571⋅4571 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 294 mod 787

4: 4574=4572+2=4572⋅4572 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 653 mod 787

8: 4578=4574+4=4574⋅4574 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 642 mod 787

16: 45716=4578+8=4578⋅4578 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 563 mod 787

32: 45732=45716+16=45716⋅45716 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 595 mod 787

64: 45764=45732+32=45732⋅45732 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 662 mod 787

128: 457128=45764+64=45764⋅45764 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 672 mod 787

457133

= 457128+4+1

= 457128⋅4574⋅4571

672 ⋅ 653 ⋅ 457 mod 787
438816 ⋅ 457 mod 787 ≡ 457 ⋅ 457 mod 787
208849 mod 787 ≡ 294 mod 787

Es gilt also: 457133 ≡ 294 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79 = 2⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35)
= 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.