Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 + 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 + 40) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 40 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
Somit gilt:
(12004 + 40) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 55) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 55) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 55 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 55) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4448 mod 983.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 444 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 536 mod 983
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 260 mod 983
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 756 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 597156 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 5971=597
2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 673 mod 839
4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 708 mod 839
8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 381 mod 839
16: 59716=5978+8=5978⋅5978 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 14 mod 839
32: 59732=59716+16=59716⋅59716 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 839
64: 59764=59732+32=59732⋅59732 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 661 mod 839
128: 597128=59764+64=59764⋅59764 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 641 mod 839
597156
= 597128+16+8+4
= 597128⋅59716⋅5978⋅5974
≡ 641 ⋅ 14 ⋅ 381 ⋅ 708 mod 839
≡ 8974 ⋅ 381 ⋅ 708 mod 839 ≡ 584 ⋅ 381 ⋅ 708 mod 839
≡ 222504 ⋅ 708 mod 839 ≡ 169 ⋅ 708 mod 839
≡ 119652 mod 839 ≡ 514 mod 839
Es gilt also: 597156 ≡ 514 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
