Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9001 - 147) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9001 - 147) mod 3 ≡ (9001 mod 3 - 147 mod 3) mod 3.
9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147
= 150
Somit gilt:
(9001 - 147) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 81) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 81) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 81) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15116 mod 347.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 246 mod 347
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 138 mod 347
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 306 mod 347
16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 293 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 355228 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 3551=355
2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 168 mod 991
4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 476 mod 991
8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 628 mod 991
16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 957 mod 991
32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 957⋅957=915849 ≡ 165 mod 991
64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 468 mod 991
128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 13 mod 991
355228
= 355128+64+32+4
= 355128⋅35564⋅35532⋅3554
≡ 13 ⋅ 468 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991
≡ 6084 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991 ≡ 138 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991
≡ 22770 ⋅ 476 mod 991 ≡ 968 ⋅ 476 mod 991
≡ 460768 mod 991 ≡ 944 mod 991
Es gilt also: 355228 ≡ 944 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
