Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2400 - 2395) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 - 2395) mod 6 ≡ (2400 mod 6 - 2395 mod 6) mod 6.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 6 ⋅ 400 -5 = 6 ⋅ 400 - 6 + 1.

Somit gilt:

(2400 - 2395) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 70) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 70) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 227.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 29 mod 227

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 29⋅29=841 ≡ 160 mod 227

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 176 mod 227

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 104 mod 227

32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 147 mod 227

64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 44 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11067 mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 1101=110

2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 189 mod 277

4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 265 mod 277

8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277

16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 238 mod 277

32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277

64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277

11067

= 11064+2+1

= 11064⋅1102⋅1101

214 ⋅ 189 ⋅ 110 mod 277
40446 ⋅ 110 mod 277 ≡ 4 ⋅ 110 mod 277
440 mod 277 ≡ 163 mod 277

Es gilt also: 11067 ≡ 163 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83 = 1⋅63 + 20
=>63 = 3⋅20 + 3
=>20 = 6⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3)
= -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20)
= 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63)
= -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.