Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 - 164) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 - 164) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(2003 - 164) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 87) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (52 mod 6 ⋅ 87 mod 6) mod 6.
52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 87) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7858 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 785 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7851=785
2: 7852=7851+1=7851⋅7851 ≡ 785⋅785=616225 ≡ 621 mod 823
4: 7854=7852+2=7852⋅7852 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 477 mod 823
8: 7858=7854+4=7854⋅7854 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 381 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 399188 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 3991=399
2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 641 mod 991
4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 607 mod 991
8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 788 mod 991
16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 578 mod 991
32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 117 mod 991
64: 39964=39932+32=39932⋅39932 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 806 mod 991
128: 399128=39964+64=39964⋅39964 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 531 mod 991
399188
= 399128+32+16+8+4
= 399128⋅39932⋅39916⋅3998⋅3994
≡ 531 ⋅ 117 ⋅ 578 ⋅ 788 ⋅ 607 mod 991
≡ 62127 ⋅ 578 ⋅ 788 ⋅ 607 mod 991 ≡ 685 ⋅ 578 ⋅ 788 ⋅ 607 mod 991
≡ 395930 ⋅ 788 ⋅ 607 mod 991 ≡ 521 ⋅ 788 ⋅ 607 mod 991
≡ 410548 ⋅ 607 mod 991 ≡ 274 ⋅ 607 mod 991
≡ 166318 mod 991 ≡ 821 mod 991
Es gilt also: 399188 ≡ 821 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78
| =>97 | = 1⋅78 + 19 |
| =>78 | = 4⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 78-4⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1) |
| 19= 97-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78
oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -37⋅97 = -46⋅78
-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78
-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1
(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1
51⋅78 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1
Somit 51⋅78 = 1 mod 97
51 ist also das Inverse von 78 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
