Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (397 + 82) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(397 + 82) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
Somit gilt:
(397 + 82) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 71) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 71) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 71 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 71) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14116 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 141 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1411=141
2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 233 mod 307
4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307
8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 44 mod 307
16: 14116=1418+8=1418⋅1418 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 94 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 575102 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 5751=575
2: 5752=5751+1=5751⋅5751 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 351 mod 761
4: 5754=5752+2=5752⋅5752 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 680 mod 761
8: 5758=5754+4=5754⋅5754 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 473 mod 761
16: 57516=5758+8=5758⋅5758 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 756 mod 761
32: 57532=57516+16=57516⋅57516 ≡ 756⋅756=571536 ≡ 25 mod 761
64: 57564=57532+32=57532⋅57532 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 761
575102
= 57564+32+4+2
= 57564⋅57532⋅5754⋅5752
≡ 625 ⋅ 25 ⋅ 680 ⋅ 351 mod 761
≡ 15625 ⋅ 680 ⋅ 351 mod 761 ≡ 405 ⋅ 680 ⋅ 351 mod 761
≡ 275400 ⋅ 351 mod 761 ≡ 679 ⋅ 351 mod 761
≡ 238329 mod 761 ≡ 136 mod 761
Es gilt also: 575102 ≡ 136 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47
| =>59 | = 1⋅47 + 12 |
| =>47 | = 3⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 47-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1) |
| 12= 59-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47
oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅59 = -5⋅47
-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47
-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1
(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1
54⋅47 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1
Somit 54⋅47 = 1 mod 59
54 ist also das Inverse von 47 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
