Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1801 + 12002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1801 + 12002) mod 6 ≡ (1801 mod 6 + 12002 mod 6) mod 6.

1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801 = 1800+1 = 6 ⋅ 300 +1.

12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 6 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(1801 + 12002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 99) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 99) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 99) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37432 mod 593.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3741=374

2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 521 mod 593

4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 440 mod 593

8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 282 mod 593

16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 62 mod 593

32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 297163 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 2971=297

2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 142 mod 547

4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 472 mod 547

8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547

16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 504 mod 547

32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 208 mod 547

64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 51 mod 547

128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 413 mod 547

297163

= 297128+32+2+1

= 297128⋅29732⋅2972⋅2971

413 ⋅ 208 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547
85904 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547 ≡ 25 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547
3550 ⋅ 297 mod 547 ≡ 268 ⋅ 297 mod 547
79596 mod 547 ≡ 281 mod 547

Es gilt also: 297163 ≡ 281 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79 = 1⋅41 + 38
=>41 = 1⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38)
= 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41)
= -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.