Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44994 - 173) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44994 - 173) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 173 mod 9) mod 9.
44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994
= 45000
173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173
= 180
Somit gilt:
(44994 - 173) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 21) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 21) mod 5 ≡ (34 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.
34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 75264 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 752 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7521=752
2: 7522=7521+1=7521⋅7521 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 25 mod 757
4: 7524=7522+2=7522⋅7522 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 757
8: 7528=7524+4=7524⋅7524 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 13 mod 757
16: 75216=7528+8=7528⋅7528 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 757
32: 75232=75216+16=75216⋅75216 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 552 mod 757
64: 75264=75232+32=75232⋅75232 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 390 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 287158 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 2871=287
2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 161 mod 367
4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 231 mod 367
8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 146 mod 367
16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 30 mod 367
32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 30⋅30=900 ≡ 166 mod 367
64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 31 mod 367
128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 31⋅31=961 ≡ 227 mod 367
287158
= 287128+16+8+4+2
= 287128⋅28716⋅2878⋅2874⋅2872
≡ 227 ⋅ 30 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 6810 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367 ≡ 204 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 29784 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367 ≡ 57 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 13167 ⋅ 161 mod 367 ≡ 322 ⋅ 161 mod 367
≡ 51842 mod 367 ≡ 95 mod 367
Es gilt also: 287158 ≡ 95 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48
| =>53 | = 1⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +21⋅48
Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1
Somit 21⋅48 = 1 mod 53
21 ist also das Inverse von 48 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
