Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 12000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 12000) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(12000 + 12000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 53) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 53) mod 6 ≡ (83 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.
83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 53) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17832 mod 347.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 178 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1781=178
2: 1782=1781+1=1781⋅1781 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 107 mod 347
4: 1784=1782+2=1782⋅1782 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 345 mod 347
8: 1788=1784+4=1784⋅1784 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 4 mod 347
16: 17816=1788+8=1788⋅1788 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 347
32: 17832=17816+16=17816⋅17816 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 249118 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 2491=249
2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 253 mod 359
4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 107 mod 359
8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 320 mod 359
16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 85 mod 359
32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 45 mod 359
64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 230 mod 359
249118
= 24964+32+16+4+2
= 24964⋅24932⋅24916⋅2494⋅2492
≡ 230 ⋅ 45 ⋅ 85 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359
≡ 10350 ⋅ 85 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359 ≡ 298 ⋅ 85 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359
≡ 25330 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359 ≡ 200 ⋅ 107 ⋅ 253 mod 359
≡ 21400 ⋅ 253 mod 359 ≡ 219 ⋅ 253 mod 359
≡ 55407 mod 359 ≡ 121 mod 359
Es gilt also: 249118 ≡ 121 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
