Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2995 + 601) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2995 + 601) mod 6 ≡ (2995 mod 6 + 601 mod 6) mod 6.
2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995
= 3000
601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
Somit gilt:
(2995 + 601) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 100) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 100) mod 11 ≡ (95 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.
95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 100) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5658 mod 677.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 565 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5651=565
2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 358 mod 677
4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 211 mod 677
8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 516 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21965 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 2191=219
2: 2192=2191+1=2191⋅2191 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 414 mod 587
4: 2194=2192+2=2192⋅2192 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 579 mod 587
8: 2198=2194+4=2194⋅2194 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 64 mod 587
16: 21916=2198+8=2198⋅2198 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 574 mod 587
32: 21932=21916+16=21916⋅21916 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 169 mod 587
64: 21964=21932+32=21932⋅21932 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 385 mod 587
21965
= 21964+1
= 21964⋅2191
≡ 385 ⋅ 219 mod 587
≡ 84315 mod 587 ≡ 374 mod 587
Es gilt also: 21965 ≡ 374 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
