Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 + 806) mod 8 ≡ (1600 mod 8 + 806 mod 8) mod 8.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806 = 800+6 = 8 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(1600 + 806) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 62) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 62) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 331¹=331

2: 331²=331¹⁺¹=331¹⋅331¹ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 339 mod 563

4: 331⁴=331²⁺²=331²⋅331² ≡ 339⋅339=114921 ≡ 69 mod 563

8: 331⁸=331⁴⁺⁴=331⁴⋅331⁴ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 257 mod 563

16: 331¹⁶=331⁸⁺⁸=331⁸⋅331⁸ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 178 mod 563

32: 331³²=331¹⁶⁺¹⁶=331¹⁶⋅331¹⁶ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 156 mod 563

64: 331⁶⁴=331³²⁺³²=331³²⋅331³² ≡ 156⋅156=24336 ≡ 127 mod 563

128: 331¹²⁸=331⁶⁴⁺⁶⁴=331⁶⁴⋅331⁶⁴ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 365 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

416¹⁹⁰

= 416^{128+32+16+8+4+2}

= 416¹²⁸⋅416³²⋅416¹⁶⋅416⁸⋅416⁴⋅416²

≡ 346 ⋅ 331 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
≡ 114526 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 619 ⋅ 431 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
≡ 266789 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 123 ⋅ 427 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
≡ 52521 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883 ≡ 424 ⋅ 144 ⋅ 871 mod 883
≡ 61056 ⋅ 871 mod 883 ≡ 129 ⋅ 871 mod 883
≡ 112359 mod 883 ≡ 218 mod 883

Es gilt also: 416¹⁹⁰ ≡ 218 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53	= 1⋅46 + 7
=>46	= 6⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46) = 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53