Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15004 - 1995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15004 - 1995) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 1995 mod 5) mod 5.
15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004
= 15000
1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995
= 1900
Somit gilt:
(15004 - 1995) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 46) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 46) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 46 mod 10) mod 10.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 46) mod 10 ≡ (3 ⋅ 6) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42632 mod 587.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 426 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4261=426
2: 4262=4261+1=4261⋅4261 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 93 mod 587
4: 4264=4262+2=4262⋅4262 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 431 mod 587
8: 4268=4264+4=4264⋅4264 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 269 mod 587
16: 42616=4268+8=4268⋅4268 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 160 mod 587
32: 42632=42616+16=42616⋅42616 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 359 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 771123 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:
123 = 64+32+16+8+2+1
1: 7711=771
2: 7712=7711+1=7711⋅7711 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 182 mod 883
4: 7714=7712+2=7712⋅7712 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 453 mod 883
8: 7718=7714+4=7714⋅7714 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 353 mod 883
16: 77116=7718+8=7718⋅7718 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 106 mod 883
32: 77132=77116+16=77116⋅77116 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 640 mod 883
64: 77164=77132+32=77132⋅77132 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 771 mod 883
771123
= 77164+32+16+8+2+1
= 77164⋅77132⋅77116⋅7718⋅7712⋅7711
≡ 771 ⋅ 640 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 493440 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 726 ⋅ 106 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 76956 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 135 ⋅ 353 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 47655 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883 ≡ 856 ⋅ 182 ⋅ 771 mod 883
≡ 155792 ⋅ 771 mod 883 ≡ 384 ⋅ 771 mod 883
≡ 296064 mod 883 ≡ 259 mod 883
Es gilt also: 771123 ≡ 259 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47
| =>73 | = 1⋅47 + 26 |
| =>47 | = 1⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 47-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26) = 5⋅47 -9⋅ 26 (=1) |
| 26= 73-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47) = -9⋅73 +14⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47
oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅73 = +14⋅47
Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1
Somit 14⋅47 = 1 mod 73
14 ist also das Inverse von 47 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
