Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (697 + 2801) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(697 + 2801) mod 7 ≡ (697 mod 7 + 2801 mod 7) mod 7.
697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697
= 700
2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801
= 2800
Somit gilt:
(697 + 2801) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 83) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 83) mod 11 ≡ (65 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 83) mod 11 ≡ (10 ⋅ 6) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30316 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 303 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 457 mod 601
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 268 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47464 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 4741=474
2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 378 mod 733
4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 682 mod 733
8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 402 mod 733
16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 344 mod 733
32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 323 mod 733
64: 47464=47432+32=47432⋅47432 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 243 mod 733
47464
= 47464
= 47464
≡ 243 mod 733
Es gilt also: 47464 ≡ 243 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
