Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (285 + 135) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(285 + 135) mod 7 ≡ (285 mod 7 + 135 mod 7) mod 7.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135 = 140-5 = 7 ⋅ 20 -5 = 7 ⋅ 20 - 7 + 2.

Somit gilt:

(285 + 135) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 75) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 75) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 75) mod 11 ≡ (9 ⋅ 9) mod 11 ≡ 81 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35364 mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 50 mod 431

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 345 mod 431

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 69 mod 431

16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 20 mod 431

32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 431

64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 99 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 492220 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 4921=492

2: 4922=4921+1=4921⋅4921 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 289 mod 509

4: 4924=4922+2=4922⋅4922 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 45 mod 509

8: 4928=4924+4=4924⋅4924 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 498 mod 509

16: 49216=4928+8=4928⋅4928 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 121 mod 509

32: 49232=49216+16=49216⋅49216 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 389 mod 509

64: 49264=49232+32=49232⋅49232 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 148 mod 509

128: 492128=49264+64=49264⋅49264 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 17 mod 509

492220

= 492128+64+16+8+4

= 492128⋅49264⋅49216⋅4928⋅4924

17 ⋅ 148 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
2516 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 480 ⋅ 121 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
58080 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509 ≡ 54 ⋅ 498 ⋅ 45 mod 509
26892 ⋅ 45 mod 509 ≡ 424 ⋅ 45 mod 509
19080 mod 509 ≡ 247 mod 509

Es gilt also: 492220 ≡ 247 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38

=>83 = 2⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 83-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38)
= 11⋅83 -24⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -24⋅38

-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38

-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1

(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1

59⋅38 = 27⋅83 + 1

Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1

Somit 59⋅38 = 1 mod 83

59 ist also das Inverse von 38 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.