Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (201 + 8000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(201 + 8000) mod 4 ≡ (201 mod 4 + 8000 mod 4) mod 4.
201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
Somit gilt:
(201 + 8000) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 61) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 61) mod 8 ≡ (44 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.
44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 61) mod 8 ≡ (4 ⋅ 5) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16516 mod 337.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 165 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 265 mod 337
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 129 mod 337
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 128 mod 337
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 349173 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 51 mod 487
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 166 mod 487
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 284 mod 487
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 301 mod 487
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 19 mod 487
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 487
128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 292 mod 487
349173
= 349128+32+8+4+1
= 349128⋅34932⋅3498⋅3494⋅3491
≡ 292 ⋅ 19 ⋅ 284 ⋅ 166 ⋅ 349 mod 487
≡ 5548 ⋅ 284 ⋅ 166 ⋅ 349 mod 487 ≡ 191 ⋅ 284 ⋅ 166 ⋅ 349 mod 487
≡ 54244 ⋅ 166 ⋅ 349 mod 487 ≡ 187 ⋅ 166 ⋅ 349 mod 487
≡ 31042 ⋅ 349 mod 487 ≡ 361 ⋅ 349 mod 487
≡ 125989 mod 487 ≡ 343 mod 487
Es gilt also: 349173 ≡ 343 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
