Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (503 + 496) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(503 + 496) mod 5 ≡ (503 mod 5 + 496 mod 5) mod 5.

503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 503 = 500+3 = 5 ⋅ 100 +3.

496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496 = 400+96 = 5 ⋅ 80 +96.

Somit gilt:

(503 + 496) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 87) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 87) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 87 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

87 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 8 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 87) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48432 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 484 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4841=484

2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 168 mod 1009

4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 981 mod 1009

8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 981⋅981=962361 ≡ 784 mod 1009

16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 175 mod 1009

32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 355 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 604141 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 6041=604

2: 6042=6041+1=6041⋅6041 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 605 mod 661

4: 6044=6042+2=6042⋅6042 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 492 mod 661

8: 6048=6044+4=6044⋅6044 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 138 mod 661

16: 60416=6048+8=6048⋅6048 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 536 mod 661

32: 60432=60416+16=60416⋅60416 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 422 mod 661

64: 60464=60432+32=60432⋅60432 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 275 mod 661

128: 604128=60464+64=60464⋅60464 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 271 mod 661

604141

= 604128+8+4+1

= 604128⋅6048⋅6044⋅6041

271 ⋅ 138 ⋅ 492 ⋅ 604 mod 661
37398 ⋅ 492 ⋅ 604 mod 661 ≡ 382 ⋅ 492 ⋅ 604 mod 661
187944 ⋅ 604 mod 661 ≡ 220 ⋅ 604 mod 661
132880 mod 661 ≡ 19 mod 661

Es gilt also: 604141 ≡ 19 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.