Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2401 + 1795) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2401 + 1795) mod 6 ≡ (2401 mod 6 + 1795 mod 6) mod 6.

2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401 = 2400+1 = 6 ⋅ 400 +1.

1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 6 ⋅ 300 -5 = 6 ⋅ 300 - 6 + 1.

Somit gilt:

(2401 + 1795) mod 6 ≡ (1 + 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 42) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 42) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 42 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 42) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36616 mod 487.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 366 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3661=366

2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 31 mod 487

4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 31⋅31=961 ≡ 474 mod 487

8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 169 mod 487

16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 315 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537149 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 5371=537

2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 400 mod 557

4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 141 mod 557

8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 386 mod 557

16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 277 mod 557

32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 420 mod 557

64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 388 mod 557

128: 537128=53764+64=53764⋅53764 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 154 mod 557

537149

= 537128+16+4+1

= 537128⋅53716⋅5374⋅5371

154 ⋅ 277 ⋅ 141 ⋅ 537 mod 557
42658 ⋅ 141 ⋅ 537 mod 557 ≡ 326 ⋅ 141 ⋅ 537 mod 557
45966 ⋅ 537 mod 557 ≡ 292 ⋅ 537 mod 557
156804 mod 557 ≡ 287 mod 557

Es gilt also: 537149 ≡ 287 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.