Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3002 - 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3002 - 60) mod 3 ≡ (3002 mod 3 - 60 mod 3) mod 3.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(3002 - 60) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 76) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 76) mod 4 ≡ (70 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 76) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2828 mod 829.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2821=282

2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 769 mod 829

4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 284 mod 829

8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 243 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 73298 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:

98 = 64+32+2

1: 7321=732

2: 7322=7321+1=7321⋅7321 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 156 mod 911

4: 7324=7322+2=7322⋅7322 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 650 mod 911

8: 7328=7324+4=7324⋅7324 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 707 mod 911

16: 73216=7328+8=7328⋅7328 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 621 mod 911

32: 73232=73216+16=73216⋅73216 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 288 mod 911

64: 73264=73232+32=73232⋅73232 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 43 mod 911

73298

= 73264+32+2

= 73264⋅73232⋅7322

43 ⋅ 288 ⋅ 156 mod 911
12384 ⋅ 156 mod 911 ≡ 541 ⋅ 156 mod 911
84396 mod 911 ≡ 584 mod 911

Es gilt also: 73298 ≡ 584 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.

Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73

=>83 = 1⋅73 + 10
=>73 = 7⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,73)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 73-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10)
= -3⋅73 +22⋅ 10 (=1)
10= 83-1⋅73 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73)
= 22⋅83 -25⋅ 73 (=1)

Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73

oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -22⋅83 = -25⋅73

-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73

-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1

(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1

58⋅73 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1

Somit 58⋅73 = 1 mod 83

58 ist also das Inverse von 73 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.