Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (285 - 3507) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(285 - 3507) mod 7 ≡ (285 mod 7 - 3507 mod 7) mod 7.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(285 - 3507) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 60) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 60) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 60) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157128 mod 229.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 146 mod 229

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 19 mod 229

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229

16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

128: 157128=15764+64=15764⋅15764 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 504214 mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 392 mod 647

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 325 mod 647

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 164 mod 647

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 369 mod 647

32: 50432=50416+16=50416⋅50416 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 291 mod 647

64: 50464=50432+32=50432⋅50432 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 571 mod 647

128: 504128=50464+64=50464⋅50464 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 600 mod 647

504214

= 504128+64+16+4+2

= 504128⋅50464⋅50416⋅5044⋅5042

600 ⋅ 571 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
342600 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647 ≡ 337 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
124353 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647 ≡ 129 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
41925 ⋅ 392 mod 647 ≡ 517 ⋅ 392 mod 647
202664 mod 647 ≡ 153 mod 647

Es gilt also: 504214 ≡ 153 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

=>59 = 1⋅39 + 20
=>39 = 1⋅20 + 19
=>20 = 1⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 39-1⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20)
= -1⋅39 +2⋅ 20 (=1)
20= 59-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39)
= 2⋅59 -3⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39

oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅59 = -3⋅39

-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39

-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1

(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1

56⋅39 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1

Somit 56⋅39 = 1 mod 59

56 ist also das Inverse von 39 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.