Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 + 599) mod 3 ≡ (6003 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6003 + 599) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (83 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 253¹=253

2: 253²=253¹⁺¹=253¹⋅253¹ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 226 mod 373

4: 253⁴=253²⁺²=253²⋅253² ≡ 226⋅226=51076 ≡ 348 mod 373

8: 253⁸=253⁴⁺⁴=253⁴⋅253⁴ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373

16: 253¹⁶=253⁸⁺⁸=253⁸⋅253⁸ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 94 mod 373

32: 253³²=253¹⁶⁺¹⁶=253¹⁶⋅253¹⁶ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 257 mod 373

64: 253⁶⁴=253³²⁺³²=253³²⋅253³² ≡ 257⋅257=66049 ≡ 28 mod 373

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

200²³⁰

= 200^{128+64+32+4+2}

= 200¹²⁸⋅200⁶⁴⋅200³²⋅200⁴⋅200²

≡ 47 ⋅ 169 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
≡ 7943 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269 ≡ 142 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
≡ 36352 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269 ≡ 37 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
≡ 3885 ⋅ 188 mod 269 ≡ 119 ⋅ 188 mod 269
≡ 22372 mod 269 ≡ 45 mod 269

Es gilt also: 200²³⁰ ≡ 45 mod 269

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79