Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18005 - 18004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18005 - 18004) mod 6 ≡ (18005 mod 6 - 18004 mod 6) mod 6.

18005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18005 = 18000+5 = 6 ⋅ 3000 +5.

18004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18004 = 18000+4 = 6 ⋅ 3000 +4.

Somit gilt:

(18005 - 18004) mod 6 ≡ (5 - 4) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 74) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 74) mod 3 ≡ (65 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 74) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2328 mod 353.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 232 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2321=232

2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 168 mod 353

4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 337 mod 353

8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 433247 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 524 mod 613

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 565 mod 613

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613

64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613

128: 433128=43364+64=43364⋅43364 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

433247

= 433128+64+32+16+4+2+1

= 433128⋅43364⋅43332⋅43316⋅4334⋅4332⋅4331

264 ⋅ 259 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613
68376 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613 ≡ 333 ⋅ 537 ⋅ 449 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613
178821 ⋅ 449 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613 ≡ 438 ⋅ 449 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613
196662 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613 ≡ 502 ⋅ 565 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613
283630 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613 ≡ 424 ⋅ 524 ⋅ 433 mod 613
222176 ⋅ 433 mod 613 ≡ 270 ⋅ 433 mod 613
116910 mod 613 ≡ 440 mod 613

Es gilt also: 433247 ≡ 440 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61 = 2⋅23 + 15
=>23 = 1⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15)
= 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23)
= -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.