Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14000 - 28003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14000 - 28003) mod 7 ≡ (14000 mod 7 - 28003 mod 7) mod 7.
14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000
= 14000
28003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28003
= 28000
Somit gilt:
(14000 - 28003) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 62) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 62) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 62) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46132 mod 653.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 296 mod 653
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 114 mod 653
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 589 mod 653
16: 46116=4618+8=4618⋅4618 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 178 mod 653
32: 46132=46116+16=46116⋅46116 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 340 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 309207 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:
207 = 128+64+8+4+2+1
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 377 mod 743
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 216 mod 743
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 590 mod 743
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 376 mod 743
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 206 mod 743
64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 85 mod 743
128: 309128=30964+64=30964⋅30964 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 538 mod 743
309207
= 309128+64+8+4+2+1
= 309128⋅30964⋅3098⋅3094⋅3092⋅3091
≡ 538 ⋅ 85 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 45730 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 407 ⋅ 590 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 240130 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 141 ⋅ 216 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 30456 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743 ≡ 736 ⋅ 377 ⋅ 309 mod 743
≡ 277472 ⋅ 309 mod 743 ≡ 333 ⋅ 309 mod 743
≡ 102897 mod 743 ≡ 363 mod 743
Es gilt also: 309207 ≡ 363 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
