Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3493 + 206) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3493 + 206) mod 7 ≡ (3493 mod 7 + 206 mod 7) mod 7.
3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493
= 3500
206 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 206
= 210
Somit gilt:
(3493 + 206) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 89) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 89) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21932 mod 233.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 219 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2191=219
2: 2192=2191+1=2191⋅2191 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 196 mod 233
4: 2194=2192+2=2192⋅2192 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 204 mod 233
8: 2198=2194+4=2194⋅2194 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 142 mod 233
16: 21916=2198+8=2198⋅2198 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 126 mod 233
32: 21932=21916+16=21916⋅21916 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289209 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 128 mod 937
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 455 mod 937
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 885 mod 937
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 885⋅885=783225 ≡ 830 mod 937
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 830⋅830=688900 ≡ 205 mod 937
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 797 mod 937
128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 860 mod 937
289209
= 289128+64+16+1
= 289128⋅28964⋅28916⋅2891
≡ 860 ⋅ 797 ⋅ 830 ⋅ 289 mod 937
≡ 685420 ⋅ 830 ⋅ 289 mod 937 ≡ 473 ⋅ 830 ⋅ 289 mod 937
≡ 392590 ⋅ 289 mod 937 ≡ 924 ⋅ 289 mod 937
≡ 267036 mod 937 ≡ 928 mod 937
Es gilt also: 289209 ≡ 928 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
