Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6997 + 2793) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6997 + 2793) mod 7 ≡ (6997 mod 7 + 2793 mod 7) mod 7.
6997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6997
= 7000
2793 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2793
= 2800
Somit gilt:
(6997 + 2793) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 88) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 88) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 88) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24532 mod 751.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 696 mod 751
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 21 mod 751
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 751
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 723 mod 751
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 33 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 218105 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:
105 = 64+32+8+1
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 178 mod 607
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 120 mod 607
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 439 mod 607
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 302 mod 607
32: 21832=21816+16=21816⋅21816 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 154 mod 607
64: 21864=21832+32=21832⋅21832 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 43 mod 607
218105
= 21864+32+8+1
= 21864⋅21832⋅2188⋅2181
≡ 43 ⋅ 154 ⋅ 439 ⋅ 218 mod 607
≡ 6622 ⋅ 439 ⋅ 218 mod 607 ≡ 552 ⋅ 439 ⋅ 218 mod 607
≡ 242328 ⋅ 218 mod 607 ≡ 135 ⋅ 218 mod 607
≡ 29430 mod 607 ≡ 294 mod 607
Es gilt also: 218105 ≡ 294 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47
| =>101 | = 2⋅47 + 7 |
| =>47 | = 6⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +43⋅47
Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1
Somit 43⋅47 = 1 mod 101
43 ist also das Inverse von 47 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
