Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2000 + 399) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2000 + 399) mod 4 ≡ (2000 mod 4 + 399 mod 4) mod 4.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 300+99 = 4 ⋅ 75 +99.

Somit gilt:

(2000 + 399) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 50) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2938 mod 829.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 293 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2931=293

2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 462 mod 829

4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 391 mod 829

8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 345 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 131162 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 1311=131

2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 392 mod 409

4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 289 mod 409

8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 85 mod 409

16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 272 mod 409

32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 364 mod 409

64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 389 mod 409

128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 400 mod 409

131162

= 131128+32+2

= 131128⋅13132⋅1312

400 ⋅ 364 ⋅ 392 mod 409
145600 ⋅ 392 mod 409 ≡ 405 ⋅ 392 mod 409
158760 mod 409 ≡ 68 mod 409

Es gilt also: 131162 ≡ 68 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53

=>59 = 1⋅53 + 6
=>53 = 8⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 53-8⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6)
= -1⋅53 +9⋅ 6 (=1)
6= 59-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53)
= 9⋅59 -10⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53

oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅59 = -10⋅53

-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53

-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1

(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1

49⋅53 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1

Somit 49⋅53 = 1 mod 59

49 ist also das Inverse von 53 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.