Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (799 + 12000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(799 + 12000) mod 4 ≡ (799 mod 4 + 12000 mod 4) mod 4.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(799 + 12000) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 54) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 54) mod 4 ≡ (37 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 54) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 735128 mod 977.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 735 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7351=735

2: 7352=7351+1=7351⋅7351 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 921 mod 977

4: 7354=7352+2=7352⋅7352 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 205 mod 977

8: 7358=7354+4=7354⋅7354 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 14 mod 977

16: 73516=7358+8=7358⋅7358 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 977

32: 73532=73516+16=73516⋅73516 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 313 mod 977

64: 73564=73532+32=73532⋅73532 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 269 mod 977

128: 735128=73564+64=73564⋅73564 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 63 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331254 mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 564 mod 677

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 583 mod 677

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 35 mod 677

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 548 mod 677

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 393 mod 677

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 93 mod 677

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 525 mod 677

331254

= 331128+64+32+16+8+4+2

= 331128⋅33164⋅33132⋅33116⋅3318⋅3314⋅3312

525 ⋅ 93 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
48825 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 81 ⋅ 393 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
31833 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 14 ⋅ 548 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
7672 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 225 ⋅ 35 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
7875 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677 ≡ 428 ⋅ 583 ⋅ 564 mod 677
249524 ⋅ 564 mod 677 ≡ 388 ⋅ 564 mod 677
218832 mod 677 ≡ 161 mod 677

Es gilt also: 331254 ≡ 161 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89 = 1⋅77 + 12
=>77 = 6⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12)
= 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77)
= -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.