Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7998 - 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7998 - 804) mod 4 ≡ (7998 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.
7998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(7998 - 804) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 62) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 62) mod 9 ≡ (72 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.
72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 62) mod 9 ≡ (0 ⋅ 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19216 mod 331.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 123 mod 331
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 234 mod 331
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 141 mod 331
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 21 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17765 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 218 mod 587
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 564 mod 587
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 529 mod 587
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 429 mod 587
32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 310 mod 587
64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 419 mod 587
17765
= 17764+1
= 17764⋅1771
≡ 419 ⋅ 177 mod 587
≡ 74163 mod 587 ≡ 201 mod 587
Es gilt also: 17765 ≡ 201 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33
| =>79 | = 2⋅33 + 13 |
| =>33 | = 2⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 33-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1) |
| 13= 79-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +12⋅33
Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1
Somit 12⋅33 = 1 mod 79
12 ist also das Inverse von 33 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
