Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 - 134) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 - 134) mod 7 ≡ (75 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70+5 = 7 ⋅ 10 +5.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

Somit gilt:

(75 - 134) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 89) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 89) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57264 mod 619.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 572 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5721=572

2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 352 mod 619

4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 104 mod 619

8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 293 mod 619

16: 57216=5728+8=5728⋅5728 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 427 mod 619

32: 57232=57216+16=57216⋅57216 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 343 mod 619

64: 57264=57232+32=57232⋅57232 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 39 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221246 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 2211=221

2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 306 mod 571

4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 563 mod 571

8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 64 mod 571

16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 99 mod 571

32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 94 mod 571

64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 271 mod 571

128: 221128=22164+64=22164⋅22164 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 353 mod 571

221246

= 221128+64+32+16+4+2

= 221128⋅22164⋅22132⋅22116⋅2214⋅2212

353 ⋅ 271 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
95663 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 306 ⋅ 94 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
28764 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 214 ⋅ 99 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
21186 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571 ≡ 59 ⋅ 563 ⋅ 306 mod 571
33217 ⋅ 306 mod 571 ≡ 99 ⋅ 306 mod 571
30294 mod 571 ≡ 31 mod 571

Es gilt also: 221246 ≡ 31 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.