Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (405 - 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(405 - 75) mod 8 ≡ (405 mod 8 - 75 mod 8) mod 8.
405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 405
= 400
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75
= 80
Somit gilt:
(405 - 75) mod 8 ≡ (5 - 3) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 69) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 69) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 69 mod 10) mod 10.
64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.
69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 69) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30616 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 601 mod 809
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 387 mod 809
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 104 mod 809
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 299 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 669204 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 6691=669
2: 6692=6691+1=6691⋅6691 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 207 mod 857
4: 6694=6692+2=6692⋅6692 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 856 mod 857
8: 6698=6694+4=6694⋅6694 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 1 mod 857
16: 66916=6698+8=6698⋅6698 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
32: 66932=66916+16=66916⋅66916 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
64: 66964=66932+32=66932⋅66932 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
128: 669128=66964+64=66964⋅66964 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
669204
= 669128+64+8+4
= 669128⋅66964⋅6698⋅6694
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 856 mod 857
Es gilt also: 669204 ≡ 856 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
