Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2402 + 2402) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2402 + 2402) mod 6 ≡ (2402 mod 6 + 2402 mod 6) mod 6.
2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
2402 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2402
= 2400
Somit gilt:
(2402 + 2402) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 20) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 20) mod 9 ≡ (44 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 20) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 532128 mod 907.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 532 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5321=532
2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 40 mod 907
4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 693 mod 907
8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 446 mod 907
16: 53216=5328+8=5328⋅5328 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 283 mod 907
32: 53232=53216+16=53216⋅53216 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 273 mod 907
64: 53264=53232+32=53232⋅53232 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 155 mod 907
128: 532128=53264+64=53264⋅53264 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 443 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60964 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 6091=609
2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 642 mod 739
4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 541 mod 739
8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 37 mod 739
16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 630 mod 739
32: 60932=60916+16=60916⋅60916 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 57 mod 739
64: 60964=60932+32=60932⋅60932 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 293 mod 739
60964
= 60964
= 60964
≡ 293 mod 739
Es gilt also: 60964 ≡ 293 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43
| =>97 | = 2⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43
oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅97 = -9⋅43
-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43
-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1
(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1
88⋅43 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1
Somit 88⋅43 = 1 mod 97
88 ist also das Inverse von 43 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
