Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (317 + 8007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(317 + 8007) mod 8 ≡ (317 mod 8 + 8007 mod 8) mod 8.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007 = 8000+7 = 8 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(317 + 8007) mod 8 ≡ (5 + 7) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 34) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 34) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 34) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 211128 mod 443.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 221 mod 443

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 111 mod 443

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 360 mod 443

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 244 mod 443

32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 174 mod 443

64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443

128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 546147 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

1: 5461=546

2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 271 mod 839

4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 448 mod 839

8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 183 mod 839

16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 768 mod 839

32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 7 mod 839

64: 54664=54632+32=54632⋅54632 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 839

128: 546128=54664+64=54664⋅54664 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 723 mod 839

546147

= 546128+16+2+1

= 546128⋅54616⋅5462⋅5461

723 ⋅ 768 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839
555264 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839 ≡ 685 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839
185635 ⋅ 546 mod 839 ≡ 216 ⋅ 546 mod 839
117936 mod 839 ≡ 476 mod 839

Es gilt also: 546147 ≡ 476 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37

=>67 = 1⋅37 + 30
=>37 = 1⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 37-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30)
= 13⋅37 -16⋅ 30 (=1)
30= 67-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37)
= -16⋅67 +29⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37

oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅67 = +29⋅37

Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1

Somit 29⋅37 = 1 mod 67

29 ist also das Inverse von 37 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.