Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1606 + 8006) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1606 + 8006) mod 8 ≡ (1606 mod 8 + 8006 mod 8) mod 8.
1606 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1606
= 1600
8006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8006
= 8000
Somit gilt:
(1606 + 8006) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 86) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 86) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 86 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
86 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 21 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 86) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19564 mod 283.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1951=195
2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 103 mod 283
4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 138 mod 283
8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 83 mod 283
16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 97 mod 283
32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 70 mod 283
64: 19564=19532+32=19532⋅19532 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 89 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248166 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 44 mod 439
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 180 mod 439
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 353 mod 439
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 372 mod 439
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 99 mod 439
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 143 mod 439
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 255 mod 439
248166
= 248128+32+4+2
= 248128⋅24832⋅2484⋅2482
≡ 255 ⋅ 99 ⋅ 180 ⋅ 44 mod 439
≡ 25245 ⋅ 180 ⋅ 44 mod 439 ≡ 222 ⋅ 180 ⋅ 44 mod 439
≡ 39960 ⋅ 44 mod 439 ≡ 11 ⋅ 44 mod 439
≡ 484 mod 439 ≡ 45 mod 439
Es gilt also: 248166 ≡ 45 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
