Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1595 + 23993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1595 + 23993) mod 8 ≡ (1595 mod 8 + 23993 mod 8) mod 8.
1595 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1595
= 1600
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
Somit gilt:
(1595 + 23993) mod 8 ≡ (3 + 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 42) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 42) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 42) mod 11 ≡ (4 ⋅ 9) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 305128 mod 617.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 475 mod 617
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 420 mod 617
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
128: 305128=30564+64=30564⋅30564 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 320188 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 145 mod 401
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 173 mod 401
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 360 mod 401
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 77 mod 401
128: 320128=32064+64=32064⋅32064 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 315 mod 401
320188
= 320128+32+16+8+4
= 320128⋅32032⋅32016⋅3208⋅3204
≡ 315 ⋅ 360 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 113400 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401 ≡ 318 ⋅ 63 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 20034 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401 ≡ 385 ⋅ 255 ⋅ 173 mod 401
≡ 98175 ⋅ 173 mod 401 ≡ 331 ⋅ 173 mod 401
≡ 57263 mod 401 ≡ 321 mod 401
Es gilt also: 320188 ≡ 321 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
