Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40000 - 164) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40000 - 164) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 164 mod 8) mod 8.
40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000
= 40000
164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(40000 - 164) mod 8 ≡ (0 - 4) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 74) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 74) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 74) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48464 mod 883.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 484 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4841=484
2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 261 mod 883
4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 130 mod 883
8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 123 mod 883
16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 118 mod 883
32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 679 mod 883
64: 48464=48432+32=48432⋅48432 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 115 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 376169 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 807 mod 983
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 503 mod 983
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 378 mod 983
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 349 mod 983
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 892 mod 983
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 892⋅892=795664 ≡ 417 mod 983
128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 881 mod 983
376169
= 376128+32+8+1
= 376128⋅37632⋅3768⋅3761
≡ 881 ⋅ 892 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983
≡ 785852 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983 ≡ 435 ⋅ 378 ⋅ 376 mod 983
≡ 164430 ⋅ 376 mod 983 ≡ 269 ⋅ 376 mod 983
≡ 101144 mod 983 ≡ 878 mod 983
Es gilt also: 376169 ≡ 878 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41
| =>53 | = 1⋅41 + 12 |
| =>41 | = 3⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 41-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1) |
| 12= 53-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41
oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅53 = +22⋅41
Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1
Somit 22⋅41 = 1 mod 53
22 ist also das Inverse von 41 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
