Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15994 - 32001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15994 - 32001) mod 8 ≡ (15994 mod 8 - 32001 mod 8) mod 8.

15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994 = 15000+994 = 8 ⋅ 1875 +994.

32001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32001 = 32000+1 = 8 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(15994 - 32001) mod 8 ≡ (2 - 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 24) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 24) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 24) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11616 mod 283.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 116 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1161=116

2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 155 mod 283

4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 253 mod 283

8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 51 mod 283

16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 54 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 171127 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 1711=171

2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 228 mod 509

4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 66 mod 509

8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 284 mod 509

16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 234 mod 509

32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 293 mod 509

64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 337 mod 509

171127

= 17164+32+16+8+4+2+1

= 17164⋅17132⋅17116⋅1718⋅1714⋅1712⋅1711

337 ⋅ 293 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
98741 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 504 ⋅ 234 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
117936 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 357 ⋅ 284 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
101388 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 97 ⋅ 66 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
6402 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509 ≡ 294 ⋅ 228 ⋅ 171 mod 509
67032 ⋅ 171 mod 509 ≡ 353 ⋅ 171 mod 509
60363 mod 509 ≡ 301 mod 509

Es gilt also: 171127 ≡ 301 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101 = 1⋅92 + 9
=>92 = 10⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9)
= -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92)
= 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.