Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (280 + 28000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(280 + 28000) mod 7 ≡ (280 mod 7 + 28000 mod 7) mod 7.
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000
= 28000
Somit gilt:
(280 + 28000) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 35) mod 6 ≡ (62 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 35) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73364 mod 863.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 733 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7331=733
2: 7332=7331+1=7331⋅7331 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 503 mod 863
4: 7334=7332+2=7332⋅7332 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 150 mod 863
8: 7338=7334+4=7334⋅7334 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 62 mod 863
16: 73316=7338+8=7338⋅7338 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 392 mod 863
32: 73332=73316+16=73316⋅73316 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 50 mod 863
64: 73364=73332+32=73332⋅73332 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 774 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 667164 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:
164 = 128+32+4
1: 6671=667
2: 6672=6671+1=6671⋅6671 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 929 mod 1009
4: 6674=6672+2=6672⋅6672 ≡ 929⋅929=863041 ≡ 346 mod 1009
8: 6678=6674+4=6674⋅6674 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 654 mod 1009
16: 66716=6678+8=6678⋅6678 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 909 mod 1009
32: 66732=66716+16=66716⋅66716 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 919 mod 1009
64: 66764=66732+32=66732⋅66732 ≡ 919⋅919=844561 ≡ 28 mod 1009
128: 667128=66764+64=66764⋅66764 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 1009
667164
= 667128+32+4
= 667128⋅66732⋅6674
≡ 784 ⋅ 919 ⋅ 346 mod 1009
≡ 720496 ⋅ 346 mod 1009 ≡ 70 ⋅ 346 mod 1009
≡ 24220 mod 1009 ≡ 4 mod 1009
Es gilt also: 667164 ≡ 4 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
