Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (254 - 502) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(254 - 502) mod 5 ≡ (254 mod 5 - 502 mod 5) mod 5.

254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254 = 250+4 = 5 ⋅ 50 +4.

502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502 = 500+2 = 5 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(254 - 502) mod 5 ≡ (4 - 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 85) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 85) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15232 mod 233.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 152 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1521=152

2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 37 mod 233

4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 204 mod 233

8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 142 mod 233

16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 126 mod 233

32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 32 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 261188 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 2611=261

2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 410 mod 569

4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 245 mod 569

8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 280 mod 569

16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 447 mod 569

32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 90 mod 569

64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 134 mod 569

128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569

261188

= 261128+32+16+8+4

= 261128⋅26132⋅26116⋅2618⋅2614

317 ⋅ 90 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
28530 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569 ≡ 80 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
35760 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569 ≡ 482 ⋅ 280 ⋅ 245 mod 569
134960 ⋅ 245 mod 569 ≡ 107 ⋅ 245 mod 569
26215 mod 569 ≡ 41 mod 569

Es gilt also: 261188 ≡ 41 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.