Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35004 + 2795) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35004 + 2795) mod 7 ≡ (35004 mod 7 + 2795 mod 7) mod 7.
35004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35004
= 35000
2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795
= 2800
Somit gilt:
(35004 + 2795) mod 7 ≡ (4 + 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 32) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 32) mod 8 ≡ (49 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 32) mod 8 ≡ (1 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40564 mod 857.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 405 -> x
2. mod(x²,857) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 338 mod 857
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 263 mod 857
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 609 mod 857
16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 657 mod 857
32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 578 mod 857
64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299221 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 451 mod 593
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 2 mod 593
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 593
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 593
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 593
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 306 mod 593
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 535 mod 593
299221
= 299128+64+16+8+4+1
= 299128⋅29964⋅29916⋅2998⋅2994⋅2991
≡ 535 ⋅ 306 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 163710 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593 ≡ 42 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 672 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593 ≡ 79 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 316 ⋅ 2 ⋅ 299 mod 593
≡ 632 ⋅ 299 mod 593 ≡ 39 ⋅ 299 mod 593
≡ 11661 mod 593 ≡ 394 mod 593
Es gilt also: 299221 ≡ 394 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 59
| =>79 | = 1⋅59 + 20 |
| =>59 | = 2⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 59-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(59 -2⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅59 +2⋅ 20) = -1⋅59 +3⋅ 20 (=1) |
| 20= 79-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +3⋅(79 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +3⋅79 -3⋅ 59) = 3⋅79 -4⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,59)=1 = 3⋅79 -4⋅59
oder wenn man 3⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅79 = -4⋅59
-4⋅59 = -3⋅79 + 1 |+79⋅59
-4⋅59 + 79⋅59 = -3⋅79 + 79⋅59 + 1
(-4 + 79) ⋅ 59 = (-3 + 59) ⋅ 79 + 1
75⋅59 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 75⋅59 = 56⋅79 +1
Somit 75⋅59 = 1 mod 79
75 ist also das Inverse von 59 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
