Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18008 + 357) mod 9 ≡ (18008 mod 9 + 357 mod 9) mod 9.

18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008 = 18000+8 = 9 ⋅ 2000 +8.

357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 360-3 = 9 ⋅ 40 -3 = 9 ⋅ 40 - 9 + 6.

Somit gilt:

(18008 + 357) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 47) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 186¹=186

2: 186²=186¹⁺¹=186¹⋅186¹ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 493 mod 509

4: 186⁴=186²⁺²=186²⋅186² ≡ 493⋅493=243049 ≡ 256 mod 509

8: 186⁸=186⁴⁺⁴=186⁴⋅186⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 384 mod 509

16: 186¹⁶=186⁸⁺⁸=186⁸⋅186⁸ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 355 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

323²⁰⁷

= 323^{128+64+8+4+2+1}

= 323¹²⁸⋅323⁶⁴⋅323⁸⋅323⁴⋅323²⋅323¹

≡ 273 ⋅ 256 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
≡ 69888 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 88 ⋅ 77 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
≡ 6776 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 145 ⋅ 135 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
≡ 19575 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349 ≡ 31 ⋅ 327 ⋅ 323 mod 349
≡ 10137 ⋅ 323 mod 349 ≡ 16 ⋅ 323 mod 349
≡ 5168 mod 349 ≡ 282 mod 349

Es gilt also: 323²⁰⁷ ≡ 282 mod 349

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59