Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (216 + 69) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(216 + 69) mod 7 ≡ (216 mod 7 + 69 mod 7) mod 7.

216 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 216 = 210+6 = 7 ⋅ 30 +6.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 70-1 = 7 ⋅ 10 -1 = 7 ⋅ 10 - 7 + 6.

Somit gilt:

(216 + 69) mod 7 ≡ (6 + 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 23) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 23) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 23) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11364 mod 239.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1131=113

2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 102 mod 239

4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 127 mod 239

8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 116 mod 239

16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 72 mod 239

32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 165 mod 239

64: 11364=11332+32=11332⋅11332 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 218 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61779 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 6171=617

2: 6172=6171+1=6171⋅6171 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 463 mod 823

4: 6174=6172+2=6172⋅6172 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 389 mod 823

8: 6178=6174+4=6174⋅6174 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 712 mod 823

16: 61716=6178+8=6178⋅6178 ≡ 712⋅712=506944 ≡ 799 mod 823

32: 61732=61716+16=61716⋅61716 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 576 mod 823

64: 61764=61732+32=61732⋅61732 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 107 mod 823

61779

= 61764+8+4+2+1

= 61764⋅6178⋅6174⋅6172⋅6171

107 ⋅ 712 ⋅ 389 ⋅ 463 ⋅ 617 mod 823
76184 ⋅ 389 ⋅ 463 ⋅ 617 mod 823 ≡ 468 ⋅ 389 ⋅ 463 ⋅ 617 mod 823
182052 ⋅ 463 ⋅ 617 mod 823 ≡ 169 ⋅ 463 ⋅ 617 mod 823
78247 ⋅ 617 mod 823 ≡ 62 ⋅ 617 mod 823
38254 mod 823 ≡ 396 mod 823

Es gilt also: 61779 ≡ 396 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82

=>97 = 1⋅82 + 15
=>82 = 5⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 82-5⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15)
= -2⋅82 +11⋅ 15 (=1)
15= 97-1⋅82 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82)
= 11⋅97 -13⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82

oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅97 = -13⋅82

-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82

-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1

(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1

84⋅82 = 71⋅97 + 1

Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1

Somit 84⋅82 = 1 mod 97

84 ist also das Inverse von 82 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.