Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2401 + 30003) mod 6 ≡ (2401 mod 6 + 30003 mod 6) mod 6.

2401 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401 = 2400+1 = 6 ⋅ 400 +1.

30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003 = 30000+3 = 6 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(2401 + 30003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 78) mod 7 ≡ (81 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 78) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 411¹=411

2: 411²=411¹⁺¹=411¹⋅411¹ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 345 mod 439

4: 411⁴=411²⁺²=411²⋅411² ≡ 345⋅345=119025 ≡ 56 mod 439

8: 411⁸=411⁴⁺⁴=411⁴⋅411⁴ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 63 mod 439

16: 411¹⁶=411⁸⁺⁸=411⁸⋅411⁸ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 18 mod 439

32: 411³²=411¹⁶⁺¹⁶=411¹⁶⋅411¹⁶ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 439

64: 411⁶⁴=411³²⁺³²=411³²⋅411³² ≡ 324⋅324=104976 ≡ 55 mod 439

128: 411¹²⁸=411⁶⁴⁺⁶⁴=411⁶⁴⋅411⁶⁴ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 391 mod 439

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

377²⁴⁸

= 377^{128+64+32+16+8}

= 377¹²⁸⋅377⁶⁴⋅377³²⋅377¹⁶⋅377⁸

≡ 36 ⋅ 913 ⋅ 259 ⋅ 729 ⋅ 892 mod 919
≡ 32868 ⋅ 259 ⋅ 729 ⋅ 892 mod 919 ≡ 703 ⋅ 259 ⋅ 729 ⋅ 892 mod 919
≡ 182077 ⋅ 729 ⋅ 892 mod 919 ≡ 115 ⋅ 729 ⋅ 892 mod 919
≡ 83835 ⋅ 892 mod 919 ≡ 206 ⋅ 892 mod 919
≡ 183752 mod 919 ≡ 871 mod 919

Es gilt also: 377²⁴⁸ ≡ 871 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101	= 1⋅84 + 17
=>84	= 4⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84) = -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101