Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20993 + 21003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20993 + 21003) mod 7 ≡ (20993 mod 7 + 21003 mod 7) mod 7.
20993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20993
= 21000
21003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21003
= 21000
Somit gilt:
(20993 + 21003) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 28) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 28) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 28) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49064 mod 971.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 490 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 263 mod 971
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 228 mod 971
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 521 mod 971
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 532 mod 971
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 463 mod 971
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 749 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 251211 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:
211 = 128+64+16+2+1
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 224 mod 439
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 130 mod 439
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 218 mod 439
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 112 mod 439
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 252 mod 439
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 288 mod 439
128: 251128=25164+64=25164⋅25164 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 412 mod 439
251211
= 251128+64+16+2+1
= 251128⋅25164⋅25116⋅2512⋅2511
≡ 412 ⋅ 288 ⋅ 112 ⋅ 224 ⋅ 251 mod 439
≡ 118656 ⋅ 112 ⋅ 224 ⋅ 251 mod 439 ≡ 126 ⋅ 112 ⋅ 224 ⋅ 251 mod 439
≡ 14112 ⋅ 224 ⋅ 251 mod 439 ≡ 64 ⋅ 224 ⋅ 251 mod 439
≡ 14336 ⋅ 251 mod 439 ≡ 288 ⋅ 251 mod 439
≡ 72288 mod 439 ≡ 292 mod 439
Es gilt also: 251211 ≡ 292 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
