Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (248 + 2398) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(248 + 2398) mod 8 ≡ (248 mod 8 + 2398 mod 8) mod 8.

248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 8 ⋅ 30 +8.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

Somit gilt:

(248 + 2398) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 56) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 56) mod 4 ≡ (72 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.

72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 56) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 70264 mod 919.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 702 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7021=702

2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 220 mod 919

4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 612 mod 919

8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 511 mod 919

16: 70216=7028+8=7028⋅7028 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 125 mod 919

32: 70232=70216+16=70216⋅70216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 2 mod 919

64: 70264=70232+32=70232⋅70232 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16784 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:

84 = 64+16+4

1: 1671=167

2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 235 mod 419

4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 336 mod 419

8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 185 mod 419

16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 286 mod 419

32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 91 mod 419

64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 320 mod 419

16784

= 16764+16+4

= 16764⋅16716⋅1674

320 ⋅ 286 ⋅ 336 mod 419
91520 ⋅ 336 mod 419 ≡ 178 ⋅ 336 mod 419
59808 mod 419 ≡ 310 mod 419

Es gilt also: 16784 ≡ 310 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71 = 1⋅49 + 22
=>49 = 2⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22)
= 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49)
= -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.