Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7007 - 65) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7007 - 65) mod 7 ≡ (7007 mod 7 - 65 mod 7) mod 7.
7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007
= 7000
65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 70
Somit gilt:
(7007 - 65) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 100) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 100) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 100 mod 5) mod 5.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 100) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11864 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 118 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1181=118
2: 1182=1181+1=1181⋅1181 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 155 mod 281
4: 1184=1182+2=1182⋅1182 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 140 mod 281
8: 1188=1184+4=1184⋅1184 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 211 mod 281
16: 11816=1188+8=1188⋅1188 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 123 mod 281
32: 11832=11816+16=11816⋅11816 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281
64: 11864=11832+32=11832⋅11832 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 242146 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 511 mod 523
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 144 mod 523
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 339 mod 523
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 384 mod 523
32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 493 mod 523
64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 377 mod 523
128: 242128=24264+64=24264⋅24264 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 396 mod 523
242146
= 242128+16+2
= 242128⋅24216⋅2422
≡ 396 ⋅ 384 ⋅ 511 mod 523
≡ 152064 ⋅ 511 mod 523 ≡ 394 ⋅ 511 mod 523
≡ 201334 mod 523 ≡ 502 mod 523
Es gilt also: 242146 ≡ 502 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
