Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 804) mod 4 ≡ (16002 mod 4 + 804 mod 4) mod 4.
16002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(16002 + 804) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 35) mod 3 ≡ (88 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 35) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228128 mod 359.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 288 mod 359
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 15 mod 359
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 359
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 6 mod 359
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 359
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 219 mod 359
128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 214 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 578104 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 185 mod 881
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 747 mod 881
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 336 mod 881
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 128 mod 881
32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881
64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 42 mod 881
578104
= 57864+32+8
= 57864⋅57832⋅5788
≡ 42 ⋅ 526 ⋅ 336 mod 881
≡ 22092 ⋅ 336 mod 881 ≡ 67 ⋅ 336 mod 881
≡ 22512 mod 881 ≡ 487 mod 881
Es gilt also: 578104 ≡ 487 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
