Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 159) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 159 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

Somit gilt:

(7999 + 159) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 15) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 15 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 15) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 344¹=344

2: 344²=344¹⁺¹=344¹⋅344¹ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 175 mod 691

4: 344⁴=344²⁺²=344²⋅344² ≡ 175⋅175=30625 ≡ 221 mod 691

8: 344⁸=344⁴⁺⁴=344⁴⋅344⁴ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 471 mod 691

16: 344¹⁶=344⁸⁺⁸=344⁸⋅344⁸ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 30 mod 691

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

268⁹⁵

= 268^{64+16+8+4+2+1}

= 268⁶⁴⋅268¹⁶⋅268⁸⋅268⁴⋅268²⋅268¹

≡ 190 ⋅ 146 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
≡ 27740 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 110 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
≡ 4510 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 212 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
≡ 41552 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 107 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
≡ 31351 ⋅ 268 mod 307 ≡ 37 ⋅ 268 mod 307
≡ 9916 mod 307 ≡ 92 mod 307

Es gilt also: 268⁹⁵ ≡ 92 mod 307

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43

=>101	= 2⋅43 + 15
=>43	= 2⋅15 + 13
=>15	= 1⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15) = -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15) = 7⋅43 -20⋅ 15 (=1)
15= 101-2⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43) = 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43) = -20⋅101 +47⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +47⋅43

Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1

Somit 47⋅43 = 1 mod 101

47 ist also das Inverse von 43 mod 101