Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (903 - 1502) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(903 - 1502) mod 3 ≡ (903 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.
903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903
= 900
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(903 - 1502) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 53) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 53) mod 11 ≡ (35 mod 11 ⋅ 53 mod 11) mod 11.
35 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 3 ⋅ 11 + 2 ist.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 53) mod 11 ≡ (2 ⋅ 9) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67464 mod 691.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 674 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6741=674
2: 6742=6741+1=6741⋅6741 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 289 mod 691
4: 6744=6742+2=6742⋅6742 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 601 mod 691
8: 6748=6744+4=6744⋅6744 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 499 mod 691
16: 67416=6748+8=6748⋅6748 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 241 mod 691
32: 67432=67416+16=67416⋅67416 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 37 mod 691
64: 67464=67432+32=67432⋅67432 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 678 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 427146 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 4271=427
2: 4272=4271+1=4271⋅4271 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 360 mod 643
4: 4274=4272+2=4272⋅4272 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 357 mod 643
8: 4278=4274+4=4274⋅4274 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 135 mod 643
16: 42716=4278+8=4278⋅4278 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 221 mod 643
32: 42732=42716+16=42716⋅42716 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 616 mod 643
64: 42764=42732+32=42732⋅42732 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 86 mod 643
128: 427128=42764+64=42764⋅42764 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 323 mod 643
427146
= 427128+16+2
= 427128⋅42716⋅4272
≡ 323 ⋅ 221 ⋅ 360 mod 643
≡ 71383 ⋅ 360 mod 643 ≡ 10 ⋅ 360 mod 643
≡ 3600 mod 643 ≡ 385 mod 643
Es gilt also: 427146 ≡ 385 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
