Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1997 - 5002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1997 - 5002) mod 5 ≡ (1997 mod 5 - 5002 mod 5) mod 5.
1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
Somit gilt:
(1997 - 5002) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 50) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 50) mod 5 ≡ (38 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 50) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 227128 mod 401.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2271=227
2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 201 mod 401
4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 301 mod 401
8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 376 mod 401
16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401
32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
128: 227128=22764+64=22764⋅22764 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 422146 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 4221=422
2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 48 mod 947
4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 410 mod 947
8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 481 mod 947
16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 293 mod 947
32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 619 mod 947
64: 42264=42232+32=42232⋅42232 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 573 mod 947
128: 422128=42264+64=42264⋅42264 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 667 mod 947
422146
= 422128+16+2
= 422128⋅42216⋅4222
≡ 667 ⋅ 293 ⋅ 48 mod 947
≡ 195431 ⋅ 48 mod 947 ≡ 349 ⋅ 48 mod 947
≡ 16752 mod 947 ≡ 653 mod 947
Es gilt also: 422146 ≡ 653 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 68
| =>89 | = 1⋅68 + 21 |
| =>68 | = 3⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 68-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(68 -3⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅68 +12⋅ 21) = -4⋅68 +13⋅ 21 (=1) |
| 21= 89-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅68 +13⋅(89 -1⋅ 68)
= -4⋅68 +13⋅89 -13⋅ 68) = 13⋅89 -17⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,68)=1 = 13⋅89 -17⋅68
oder wenn man 13⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅89 = -17⋅68
-17⋅68 = -13⋅89 + 1 |+89⋅68
-17⋅68 + 89⋅68 = -13⋅89 + 89⋅68 + 1
(-17 + 89) ⋅ 68 = (-13 + 68) ⋅ 89 + 1
72⋅68 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 72⋅68 = 55⋅89 +1
Somit 72⋅68 = 1 mod 89
72 ist also das Inverse von 68 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
