Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3004 + 18002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3004 + 18002) mod 6 ≡ (3004 mod 6 + 18002 mod 6) mod 6.

3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004 = 3000+4 = 6 ⋅ 500 +4.

18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002 = 18000+2 = 6 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(3004 + 18002) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 99) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 99) mod 4 ≡ (59 mod 4 ⋅ 99 mod 4) mod 4.

59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 99) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26032 mod 743.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,743) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2601=260

2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 730 mod 743

4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 169 mod 743

8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 327 mod 743

16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 680 mod 743

32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 254 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44465 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 4441=444

2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 212 mod 541

4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 41 mod 541

8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 58 mod 541

16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541

32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541

64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541

44465

= 44464+1

= 44464⋅4441

147 ⋅ 444 mod 541
65268 mod 541 ≡ 348 mod 541

Es gilt also: 44465 ≡ 348 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30

=>73 = 2⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 73-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30)
= 7⋅73 -17⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -17⋅30

-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30

-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1

(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1

56⋅30 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1

Somit 56⋅30 = 1 mod 73

56 ist also das Inverse von 30 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.