Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(797 - 3999) mod 4 ≡ (797 mod 4 - 3999 mod 4) mod 4.

797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797 = 700+97 = 4 ⋅ 175 +97.

3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 3000+999 = 4 ⋅ 750 +999.

Somit gilt:

(797 - 3999) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 66) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 66 mod 6) mod 6.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 66) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 266¹=266

2: 266²=266¹⁺¹=266¹⋅266¹ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 18 mod 313

4: 266⁴=266²⁺²=266²⋅266² ≡ 18⋅18=324 ≡ 11 mod 313

8: 266⁸=266⁴⁺⁴=266⁴⋅266⁴ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 313

16: 266¹⁶=266⁸⁺⁸=266⁸⋅266⁸ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313

32: 266³²=266¹⁶⁺¹⁶=266¹⁶⋅266¹⁶ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313

64: 266⁶⁴=266³²⁺³²=266³²⋅266³² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313

128: 266¹²⁸=266⁶⁴⁺⁶⁴=266⁶⁴⋅266⁶⁴ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

338¹⁷⁸

= 338^128+32+16+2

= 338¹²⁸⋅338³²⋅338¹⁶⋅338²

≡ 135 ⋅ 694 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797
≡ 93690 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797 ≡ 441 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797
≡ 318843 ⋅ 273 mod 797 ≡ 43 ⋅ 273 mod 797
≡ 11739 mod 797 ≡ 581 mod 797

Es gilt also: 338¹⁷⁸ ≡ 581 mod 797

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78

=>83	= 1⋅78 + 5
=>78	= 15⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 78-15⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1)
5= 83-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78) = 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +33⋅78

Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1

Somit 33⋅78 = 1 mod 83

33 ist also das Inverse von 78 mod 83