Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (798 + 1200) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(798 + 1200) mod 4 ≡ (798 mod 4 + 1200 mod 4) mod 4.

798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 700+98 = 4 ⋅ 175 +98.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(798 + 1200) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 80) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 80) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 80) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22216 mod 251.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 222 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2221=222

2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 88 mod 251

4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 214 mod 251

8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 114 mod 251

16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 195 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 366161 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:

161 = 128+32+1

1: 3661=366

2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 416 mod 607

4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 61 mod 607

8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 79 mod 607

16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 171 mod 607

32: 36632=36616+16=36616⋅36616 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 105 mod 607

64: 36664=36632+32=36632⋅36632 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 99 mod 607

128: 366128=36664+64=36664⋅36664 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 89 mod 607

366161

= 366128+32+1

= 366128⋅36632⋅3661

89 ⋅ 105 ⋅ 366 mod 607
9345 ⋅ 366 mod 607 ≡ 240 ⋅ 366 mod 607
87840 mod 607 ≡ 432 mod 607

Es gilt also: 366161 ≡ 432 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59

=>73 = 1⋅59 + 14
=>59 = 4⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 59-4⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14)
= 5⋅59 -21⋅ 14 (=1)
14= 73-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59)
= -21⋅73 +26⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59

oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅73 = +26⋅59

Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1

Somit 26⋅59 = 1 mod 73

26 ist also das Inverse von 59 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.