Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (395 - 804) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(395 - 804) mod 8 ≡ (395 mod 8 - 804 mod 8) mod 8.
395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 395
= 400
804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(395 - 804) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 80) mod 8 ≡ (43 mod 8 ⋅ 80 mod 8) mod 8.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 80) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3308 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 77 mod 761
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 602 mod 761
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 168 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85153 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 851=85
2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 236 mod 241
4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 25 mod 241
8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 25⋅25=625 ≡ 143 mod 241
16: 8516=858+8=858⋅858 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 205 mod 241
32: 8532=8516+16=8516⋅8516 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
64: 8564=8532+32=8532⋅8532 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
128: 85128=8564+64=8564⋅8564 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241
85153
= 85128+16+8+1
= 85128⋅8516⋅858⋅851
≡ 98 ⋅ 205 ⋅ 143 ⋅ 85 mod 241
≡ 20090 ⋅ 143 ⋅ 85 mod 241 ≡ 87 ⋅ 143 ⋅ 85 mod 241
≡ 12441 ⋅ 85 mod 241 ≡ 150 ⋅ 85 mod 241
≡ 12750 mod 241 ≡ 218 mod 241
Es gilt also: 85153 ≡ 218 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 90.
Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90
| =>101 | = 1⋅90 + 11 |
| =>90 | = 8⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,90)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 90-8⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1) |
| 11= 101-1⋅90 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90)
= -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -46⋅90
-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90
-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1
(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1
55⋅90 = 49⋅101 + 1
Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1
Somit 55⋅90 = 1 mod 101
55 ist also das Inverse von 90 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
