Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 + 798) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 + 798) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 798 mod 4) mod 4.
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 700
Somit gilt:
(2001 + 798) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 72) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 72) mod 4 ≡ (87 mod 4 ⋅ 72 mod 4) mod 4.
87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.
72 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 18 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 72) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 211128 mod 337.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 37 mod 337
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 21 mod 337
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 21⋅21=441 ≡ 104 mod 337
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 32 mod 337
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 13 mod 337
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 337
128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 302246 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 3021=302
2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 592 mod 839
4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 601 mod 839
8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 431 mod 839
16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 342 mod 839
32: 30232=30216+16=30216⋅30216 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 343 mod 839
64: 30264=30232+32=30232⋅30232 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 189 mod 839
128: 302128=30264+64=30264⋅30264 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 483 mod 839
302246
= 302128+64+32+16+4+2
= 302128⋅30264⋅30232⋅30216⋅3024⋅3022
≡ 483 ⋅ 189 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 91287 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 675 ⋅ 343 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 231525 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 800 ⋅ 342 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 273600 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839 ≡ 86 ⋅ 601 ⋅ 592 mod 839
≡ 51686 ⋅ 592 mod 839 ≡ 507 ⋅ 592 mod 839
≡ 300144 mod 839 ≡ 621 mod 839
Es gilt also: 302246 ≡ 621 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31
| =>73 | = 2⋅31 + 11 |
| =>31 | = 2⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1) |
| 11= 73-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +33⋅31
Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1
Somit 33⋅31 = 1 mod 73
33 ist also das Inverse von 31 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
