Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 - 400) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 - 400) mod 4 ≡ (40 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40
= 40
400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(40 - 400) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 46) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 46) mod 11 ≡ (72 mod 11 ⋅ 46 mod 11) mod 11.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 46) mod 11 ≡ (6 ⋅ 2) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59032 mod 709.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 690 mod 709
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 361 mod 709
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 574 mod 709
16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 500 mod 709
32: 59032=59016+16=59016⋅59016 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 432 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 360142 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 3601=360
2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 95 mod 439
4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 245 mod 439
8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 321 mod 439
16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 315 mod 439
32: 36032=36016+16=36016⋅36016 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 11 mod 439
64: 36064=36032+32=36032⋅36032 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 439
128: 360128=36064+64=36064⋅36064 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 154 mod 439
360142
= 360128+8+4+2
= 360128⋅3608⋅3604⋅3602
≡ 154 ⋅ 321 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439
≡ 49434 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439 ≡ 266 ⋅ 245 ⋅ 95 mod 439
≡ 65170 ⋅ 95 mod 439 ≡ 198 ⋅ 95 mod 439
≡ 18810 mod 439 ≡ 372 mod 439
Es gilt also: 360142 ≡ 372 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
