Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1198 - 63) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1198 - 63) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 63 mod 3) mod 3.
1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(1198 - 63) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 36) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 36) mod 3 ≡ (79 mod 3 ⋅ 36 mod 3) mod 3.
79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.
36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 36) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20664 mod 229.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 71 mod 229
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 3 mod 229
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 229
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 229
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 149 mod 229
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 110107 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 1101=110
2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 217 mod 233
4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 23 mod 233
8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233
32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233
64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233
110107
= 11064+32+8+2+1
= 11064⋅11032⋅1108⋅1102⋅1101
≡ 135 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233
≡ 8640 ⋅ 63 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233 ≡ 19 ⋅ 63 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233
≡ 1197 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233 ≡ 32 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233
≡ 6944 ⋅ 110 mod 233 ≡ 187 ⋅ 110 mod 233
≡ 20570 mod 233 ≡ 66 mod 233
Es gilt also: 110107 ≡ 66 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
