Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3496 - 2803) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3496 - 2803) mod 7 ≡ (3496 mod 7 - 2803 mod 7) mod 7.

3496 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3496 = 3500-4 = 7 ⋅ 500 -4 = 7 ⋅ 500 - 7 + 3.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(3496 - 2803) mod 7 ≡ (3 - 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 71) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 71) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.

42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 71) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17232 mod 443.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 346 mod 443

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 106 mod 443

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 161 mod 443

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 227 mod 443

32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 141 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 842222 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 8421=842

2: 8422=8421+1=8421⋅8421 ≡ 842⋅842=708964 ≡ 206 mod 911

4: 8424=8422+2=8422⋅8422 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 530 mod 911

8: 8428=8424+4=8424⋅8424 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 312 mod 911

16: 84216=8428+8=8428⋅8428 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 778 mod 911

32: 84232=84216+16=84216⋅84216 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 380 mod 911

64: 84264=84232+32=84232⋅84232 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 462 mod 911

128: 842128=84264+64=84264⋅84264 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 270 mod 911

842222

= 842128+64+16+8+4+2

= 842128⋅84264⋅84216⋅8428⋅8424⋅8422

270 ⋅ 462 ⋅ 778 ⋅ 312 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911
124740 ⋅ 778 ⋅ 312 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911 ≡ 844 ⋅ 778 ⋅ 312 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911
656632 ⋅ 312 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911 ≡ 712 ⋅ 312 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911
222144 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911 ≡ 771 ⋅ 530 ⋅ 206 mod 911
408630 ⋅ 206 mod 911 ≡ 502 ⋅ 206 mod 911
103412 mod 911 ≡ 469 mod 911

Es gilt also: 842222 ≡ 469 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61 = 1⋅42 + 19
=>42 = 2⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19)
= 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42)
= -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.