Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 - 15994) mod 8 ≡ (400 mod 8 - 15994 mod 8) mod 8.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994 = 15000+994 = 8 ⋅ 1875 +994.

Somit gilt:

(400 - 15994) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 33) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.

51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 33) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 441¹=441

2: 441²=441¹⁺¹=441¹⋅441¹ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 304 mod 701

4: 441⁴=441²⁺²=441²⋅441² ≡ 304⋅304=92416 ≡ 585 mod 701

8: 441⁸=441⁴⁺⁴=441⁴⋅441⁴ ≡ 585⋅585=342225 ≡ 137 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

356²²²

= 356^{128+64+16+8+4+2}

= 356¹²⁸⋅356⁶⁴⋅356¹⁶⋅356⁸⋅356⁴⋅356²

≡ 234 ⋅ 198 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 46332 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433 ≡ 1 ⋅ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 198 ⋅ 199 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 39402 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433 ≡ 432 ⋅ 369 ⋅ 300 mod 433
≡ 159408 ⋅ 300 mod 433 ≡ 64 ⋅ 300 mod 433
≡ 19200 mod 433 ≡ 148 mod 433

Es gilt also: 356²²² ≡ 148 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59	= 1⋅43 + 16
=>43	= 2⋅16 + 11
=>16	= 1⋅11 + 5
=>11	= 2⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11) = 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16) = -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43) = 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59