Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24001 - 16002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24001 - 16002) mod 8 ≡ (24001 mod 8 - 16002 mod 8) mod 8.
24001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001
= 24000
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
Somit gilt:
(24001 - 16002) mod 8 ≡ (1 - 2) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 36) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 36) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 36) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8588 mod 919.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 858 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8581=858
2: 8582=8581+1=8581⋅8581 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 45 mod 919
4: 8584=8582+2=8582⋅8582 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 187 mod 919
8: 8588=8584+4=8584⋅8584 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 47 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 252208 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 288 mod 439
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 412 mod 439
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 290 mod 439
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 251 mod 439
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 224 mod 439
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 130 mod 439
128: 252128=25264+64=25264⋅25264 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 218 mod 439
252208
= 252128+64+16
= 252128⋅25264⋅25216
≡ 218 ⋅ 130 ⋅ 251 mod 439
≡ 28340 ⋅ 251 mod 439 ≡ 244 ⋅ 251 mod 439
≡ 61244 mod 439 ≡ 223 mod 439
Es gilt also: 252208 ≡ 223 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
