Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (403 + 160) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 + 160) mod 4 ≡ (403 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(403 + 160) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 72) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 72) mod 8 ≡ (58 mod 8 ⋅ 72 mod 8) mod 8.

58 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 7 ⋅ 8 + 2 ist.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 72) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41316 mod 853.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4131=413

2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 822 mod 853

4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 822⋅822=675684 ≡ 108 mod 853

8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 575 mod 853

16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 514 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 376191 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 3761=376

2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 339 mod 571

4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 150 mod 571

8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 231 mod 571

16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 258 mod 571

32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 328 mod 571

64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 236 mod 571

128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 309 mod 571

376191

= 376128+32+16+8+4+2+1

= 376128⋅37632⋅37616⋅3768⋅3764⋅3762⋅3761

309 ⋅ 328 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
101352 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 285 ⋅ 258 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
73530 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 442 ⋅ 231 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
102102 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 464 ⋅ 150 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
69600 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571 ≡ 509 ⋅ 339 ⋅ 376 mod 571
172551 ⋅ 376 mod 571 ≡ 109 ⋅ 376 mod 571
40984 mod 571 ≡ 443 mod 571

Es gilt also: 376191 ≡ 443 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.