Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (240 + 32006) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 32006) mod 8 ≡ (240 mod 8 + 32006 mod 8) mod 8.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006 = 32000+6 = 8 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(240 + 32006) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 19) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 19) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 19 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 19) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4598 mod 947.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 447 mod 947

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 939 mod 947

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 64 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 356237 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 3561=356

2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 15 mod 421

4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 421

8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 105 mod 421

16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 79 mod 421

32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 347 mod 421

64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 3 mod 421

128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421

356237

= 356128+64+32+8+4+1

= 356128⋅35664⋅35632⋅3568⋅3564⋅3561

9 ⋅ 3 ⋅ 347 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
27 ⋅ 347 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
9369 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421 ≡ 107 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
11235 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421 ≡ 289 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
65025 ⋅ 356 mod 421 ≡ 191 ⋅ 356 mod 421
67996 mod 421 ≡ 215 mod 421

Es gilt also: 356237 ≡ 215 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40

=>61 = 1⋅40 + 21
=>40 = 1⋅21 + 19
=>21 = 1⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19)
= -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 40-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21)
= 10⋅40 -19⋅ 21 (=1)
21= 61-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40)
= -19⋅61 +29⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40

oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅61 = +29⋅40

Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1

Somit 29⋅40 = 1 mod 61

29 ist also das Inverse von 40 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.