Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 119) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 119) mod 4 ≡ (12000 mod 4 + 119 mod 4) mod 4.
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(12000 + 119) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 57) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 57) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 57 mod 4) mod 4.
34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.
57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 57) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23116 mod 389.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 68 mod 389
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 345 mod 389
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 380 mod 389
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 81 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 261228 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 270 mod 359
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 23 mod 359
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 23⋅23=529 ≡ 170 mod 359
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 180 mod 359
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 90 mod 359
64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 202 mod 359
128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 237 mod 359
261228
= 261128+64+32+4
= 261128⋅26164⋅26132⋅2614
≡ 237 ⋅ 202 ⋅ 90 ⋅ 23 mod 359
≡ 47874 ⋅ 90 ⋅ 23 mod 359 ≡ 127 ⋅ 90 ⋅ 23 mod 359
≡ 11430 ⋅ 23 mod 359 ≡ 301 ⋅ 23 mod 359
≡ 6923 mod 359 ≡ 102 mod 359
Es gilt also: 261228 ≡ 102 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
