Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 + 123) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 + 123) mod 3 ≡ (3003 mod 3 + 123 mod 3) mod 3.
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123
= 120
Somit gilt:
(3003 + 123) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 94) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 94) mod 3 ≡ (36 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.
36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 94) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5028 mod 757.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 680 mod 757
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 630 mod 757
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 232 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216130 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 57 mod 317
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 79 mod 317
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 179 mod 317
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 24 mod 317
216130
= 216128+2
= 216128⋅2162
≡ 24 ⋅ 57 mod 317
≡ 1368 mod 317 ≡ 100 mod 317
Es gilt also: 216130 ≡ 100 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 59
| =>89 | = 1⋅59 + 30 |
| =>59 | = 1⋅30 + 29 |
| =>30 | = 1⋅29 + 1 |
| =>29 | = 29⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 30-1⋅29 | |||
| 29= 59-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅30 -1⋅(59 -1⋅ 30)
= 1⋅30 -1⋅59 +1⋅ 30) = -1⋅59 +2⋅ 30 (=1) |
| 30= 89-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +2⋅(89 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +2⋅89 -2⋅ 59) = 2⋅89 -3⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,59)=1 = 2⋅89 -3⋅59
oder wenn man 2⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅89 = -3⋅59
-3⋅59 = -2⋅89 + 1 |+89⋅59
-3⋅59 + 89⋅59 = -2⋅89 + 89⋅59 + 1
(-3 + 89) ⋅ 59 = (-2 + 59) ⋅ 89 + 1
86⋅59 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 86⋅59 = 57⋅89 +1
Somit 86⋅59 = 1 mod 89
86 ist also das Inverse von 59 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
