Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (236 - 73) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(236 - 73) mod 8 ≡ (236 mod 8 - 73 mod 8) mod 8.

236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 8 ⋅ 30 -4 = 8 ⋅ 30 - 8 + 4.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

Somit gilt:

(236 - 73) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 44) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 44) mod 8 ≡ (75 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 44) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23632 mod 547.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 449 mod 547

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 305 mod 547

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 35 mod 547

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 131 mod 547

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 204 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 146123 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 1461=146

2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 178 mod 271

4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 248 mod 271

8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 258 mod 271

16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 169 mod 271

32: 14632=14616+16=14616⋅14616 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 106 mod 271

64: 14664=14632+32=14632⋅14632 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 125 mod 271

146123

= 14664+32+16+8+2+1

= 14664⋅14632⋅14616⋅1468⋅1462⋅1461

125 ⋅ 106 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
13250 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 242 ⋅ 169 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
40898 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 248 ⋅ 258 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
63984 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271 ≡ 28 ⋅ 178 ⋅ 146 mod 271
4984 ⋅ 146 mod 271 ≡ 106 ⋅ 146 mod 271
15476 mod 271 ≡ 29 mod 271

Es gilt also: 146123 ≡ 29 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59 = 1⋅31 + 28
=>31 = 1⋅28 + 3
=>28 = 9⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28)
= -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31)
= 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.