Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 + 32) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 + 32) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 32 mod 3) mod 3.
1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32
= 30
Somit gilt:
(1500 + 32) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 19) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 19) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 19) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2588 mod 557.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 281 mod 557
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 424 mod 557
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 422 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 300161 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 418 mod 953
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 325 mod 953
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 795 mod 953
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 186 mod 953
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 288 mod 953
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 33 mod 953
128: 300128=30064+64=30064⋅30064 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 136 mod 953
300161
= 300128+32+1
= 300128⋅30032⋅3001
≡ 136 ⋅ 288 ⋅ 300 mod 953
≡ 39168 ⋅ 300 mod 953 ≡ 95 ⋅ 300 mod 953
≡ 28500 mod 953 ≡ 863 mod 953
Es gilt also: 300161 ≡ 863 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48
| =>73 | = 1⋅48 + 25 |
| =>48 | = 1⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 48-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25) = 12⋅48 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 73-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48) = -23⋅73 +35⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +35⋅48
Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1
Somit 35⋅48 = 1 mod 73
35 ist also das Inverse von 48 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
