Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 - 23997) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 - 23997) mod 8 ≡ (1600 mod 8 - 23997 mod 8) mod 8.
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
23997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997
= 23000
Somit gilt:
(1600 - 23997) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 65) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 65) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 65) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20932 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 208 mod 337
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95153 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 951=95
2: 952=951+1=951⋅951 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 171 mod 233
4: 954=952+2=952⋅952 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 116 mod 233
8: 958=954+4=954⋅954 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 175 mod 233
16: 9516=958+8=958⋅958 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 102 mod 233
32: 9532=9516+16=9516⋅9516 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 152 mod 233
64: 9564=9532+32=9532⋅9532 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 37 mod 233
128: 95128=9564+64=9564⋅9564 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 204 mod 233
95153
= 95128+16+8+1
= 95128⋅9516⋅958⋅951
≡ 204 ⋅ 102 ⋅ 175 ⋅ 95 mod 233
≡ 20808 ⋅ 175 ⋅ 95 mod 233 ≡ 71 ⋅ 175 ⋅ 95 mod 233
≡ 12425 ⋅ 95 mod 233 ≡ 76 ⋅ 95 mod 233
≡ 7220 mod 233 ≡ 230 mod 233
Es gilt also: 95153 ≡ 230 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
