Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(210 - 14007) mod 7 ≡ (210 mod 7 - 14007 mod 7) mod 7.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(210 - 14007) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 56) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 324¹=324

2: 324²=324¹⁺¹=324¹⋅324¹ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 34 mod 383

4: 324⁴=324²⁺²=324²⋅324² ≡ 34⋅34=1156 ≡ 7 mod 383

8: 324⁸=324⁴⁺⁴=324⁴⋅324⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 383

16: 324¹⁶=324⁸⁺⁸=324⁸⋅324⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 103 mod 383

32: 324³²=324¹⁶⁺¹⁶=324¹⁶⋅324¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 268 mod 383

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

131⁶³

= 131^{32+16+8+4+2+1}

= 131³²⋅131¹⁶⋅131⁸⋅131⁴⋅131²⋅131¹

≡ 110 ⋅ 234 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 25740 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 259 ⋅ 65 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 16835 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 257 ⋅ 40 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 10280 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307 ≡ 149 ⋅ 276 ⋅ 131 mod 307
≡ 41124 ⋅ 131 mod 307 ≡ 293 ⋅ 131 mod 307
≡ 38383 mod 307 ≡ 8 mod 307

Es gilt also: 131⁶³ ≡ 8 mod 307

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67