Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (137 + 13999) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(137 + 13999) mod 7 ≡ (137 mod 7 + 13999 mod 7) mod 7.
137 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 137
= 140
13999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13999
= 14000
Somit gilt:
(137 + 13999) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 24) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 24) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69132 mod 709.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 691 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6911=691
2: 6912=6911+1=6911⋅6911 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 324 mod 709
4: 6914=6912+2=6912⋅6912 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 44 mod 709
8: 6918=6914+4=6914⋅6914 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 518 mod 709
16: 69116=6918+8=6918⋅6918 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 322 mod 709
32: 69132=69116+16=69116⋅69116 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 170 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 311228 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 450 mod 809
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 250 mod 809
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 207 mod 809
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 781 mod 809
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 784 mod 809
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 625 mod 809
128: 311128=31164+64=31164⋅31164 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 687 mod 809
311228
= 311128+64+32+4
= 311128⋅31164⋅31132⋅3114
≡ 687 ⋅ 625 ⋅ 784 ⋅ 250 mod 809
≡ 429375 ⋅ 784 ⋅ 250 mod 809 ≡ 605 ⋅ 784 ⋅ 250 mod 809
≡ 474320 ⋅ 250 mod 809 ≡ 246 ⋅ 250 mod 809
≡ 61500 mod 809 ≡ 16 mod 809
Es gilt also: 311228 ≡ 16 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
