Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12006 + 234) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12006 + 234) mod 6 ≡ (12006 mod 6 + 234 mod 6) mod 6.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234 = 240-6 = 6 ⋅ 40 -6 = 6 ⋅ 40 - 6 + 0.

Somit gilt:

(12006 + 234) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 84) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 84) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 84) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19816 mod 263.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,263) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1981=198

2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 17 mod 263

4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 17⋅17=289 ≡ 26 mod 263

8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 26⋅26=676 ≡ 150 mod 263

16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 145 mod 263

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 469155 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 548 mod 701

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 276 mod 701

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 468 mod 701

16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 312 mod 701

32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 606 mod 701

64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 613 mod 701

128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 33 mod 701

469155

= 469128+16+8+2+1

= 469128⋅46916⋅4698⋅4692⋅4691

33 ⋅ 312 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
10296 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701 ≡ 482 ⋅ 468 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
225576 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701 ≡ 555 ⋅ 548 ⋅ 469 mod 701
304140 ⋅ 469 mod 701 ≡ 607 ⋅ 469 mod 701
284683 mod 701 ≡ 77 mod 701

Es gilt also: 469155 ≡ 77 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71 = 1⋅53 + 18
=>53 = 2⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18)
= -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53)
= 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.