Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6003 + 241) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 + 241) mod 6 ≡ (6003 mod 6 + 241 mod 6) mod 6.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(6003 + 241) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 56) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 56) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 56) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22816 mod 263.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,263) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2281=228

2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 173 mod 263

4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 210 mod 263

8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 179 mod 263

16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 218 mod 263

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 428125 mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 4281=428

2: 4282=4281+1=4281⋅4281 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 403 mod 883

4: 4284=4282+2=4282⋅4282 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 820 mod 883

8: 4288=4284+4=4284⋅4284 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 437 mod 883

16: 42816=4288+8=4288⋅4288 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 241 mod 883

32: 42832=42816+16=42816⋅42816 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 686 mod 883

64: 42864=42832+32=42832⋅42832 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 840 mod 883

428125

= 42864+32+16+8+4+1

= 42864⋅42832⋅42816⋅4288⋅4284⋅4281

840 ⋅ 686 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
576240 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 524 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
126284 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 15 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
6555 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 374 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
306680 ⋅ 428 mod 883 ≡ 279 ⋅ 428 mod 883
119412 mod 883 ≡ 207 mod 883

Es gilt also: 428125 ≡ 207 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.