Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2802 + 67) mod 7 ≡ (2802 mod 7 + 67 mod 7) mod 7.

2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802 = 2800+2 = 7 ⋅ 400 +2.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

Somit gilt:

(2802 + 67) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 70) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 70) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 429¹=429

2: 429²=429¹⁺¹=429¹⋅429¹ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 548 mod 653

4: 429⁴=429²⁺²=429²⋅429² ≡ 548⋅548=300304 ≡ 577 mod 653

8: 429⁸=429⁴⁺⁴=429⁴⋅429⁴ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 552 mod 653

16: 429¹⁶=429⁸⁺⁸=429⁸⋅429⁸ ≡ 552⋅552=304704 ≡ 406 mod 653

32: 429³²=429¹⁶⁺¹⁶=429¹⁶⋅429¹⁶ ≡ 406⋅406=164836 ≡ 280 mod 653

64: 429⁶⁴=429³²⁺³²=429³²⋅429³² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 40 mod 653

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

323²⁰⁶

= 323^128+64+8+4+2

= 323¹²⁸⋅323⁶⁴⋅323⁸⋅323⁴⋅323²

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 4096 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887 ≡ 548 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 110696 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887 ≡ 708 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 23364 ⋅ 550 mod 887 ≡ 302 ⋅ 550 mod 887
≡ 166100 mod 887 ≡ 231 mod 887

Es gilt also: 323²⁰⁶ ≡ 231 mod 887

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71	= 2⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71