Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 + 148) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 + 148) mod 5 ≡ (1503 mod 5 + 148 mod 5) mod 5.
1503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 140
Somit gilt:
(1503 + 148) mod 5 ≡ (3 + 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 74) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 74) mod 5 ≡ (84 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 74) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58264 mod 599.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 582 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5821=582
2: 5822=5821+1=5821⋅5821 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 289 mod 599
4: 5824=5822+2=5822⋅5822 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 260 mod 599
8: 5828=5824+4=5824⋅5824 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 512 mod 599
16: 58216=5828+8=5828⋅5828 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 381 mod 599
32: 58232=58216+16=58216⋅58216 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 203 mod 599
64: 58264=58232+32=58232⋅58232 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 477 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15497 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 44 mod 269
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 53 mod 269
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 70 mod 269
64: 15464=15432+32=15432⋅15432 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 58 mod 269
15497
= 15464+32+1
= 15464⋅15432⋅1541
≡ 58 ⋅ 70 ⋅ 154 mod 269
≡ 4060 ⋅ 154 mod 269 ≡ 25 ⋅ 154 mod 269
≡ 3850 mod 269 ≡ 84 mod 269
Es gilt also: 15497 ≡ 84 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35
| =>79 | = 2⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35) = 4⋅79 -9⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35
oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅79 = -9⋅35
-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35
-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1
(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1
70⋅35 = 31⋅79 + 1
Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1
Somit 70⋅35 = 1 mod 79
70 ist also das Inverse von 35 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
