Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1807 + 363) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1807 + 363) mod 9 ≡ (1807 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.

1807 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1807 = 1800+7 = 9 ⋅ 200 +7.

363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363 = 360+3 = 9 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(1807 + 363) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 62) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (7 ⋅ 2) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6218 mod 823.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 621 -> x
2. mod(x²,823) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6211=621

2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 477 mod 823

4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 381 mod 823

8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 313 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 188158 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 170 mod 409

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 270 mod 409

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 98 mod 409

16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 197 mod 409

32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409

64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 71 mod 409

128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 133 mod 409

188158

= 188128+16+8+4+2

= 188128⋅18816⋅1888⋅1884⋅1882

133 ⋅ 197 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
26201 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409 ≡ 25 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
2450 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409 ≡ 405 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
109350 ⋅ 170 mod 409 ≡ 147 ⋅ 170 mod 409
24990 mod 409 ≡ 41 mod 409

Es gilt also: 188158 ≡ 41 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.