Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39995 - 324) mod 8 ≡ (39995 mod 8 - 324 mod 8) mod 8.

39995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39995 = 39000+995 = 8 ⋅ 4875 +995.

324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324 = 320+4 = 8 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(39995 - 324) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 81) mod 5 ≡ (76 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.

76 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 15 ⋅ 5 + 1 ist.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 81) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 205¹=205

2: 205²=205¹⁺¹=205¹⋅205¹ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 508 mod 659

4: 205⁴=205²⁺²=205²⋅205² ≡ 508⋅508=258064 ≡ 395 mod 659

8: 205⁸=205⁴⁺⁴=205⁴⋅205⁴ ≡ 395⋅395=156025 ≡ 501 mod 659

16: 205¹⁶=205⁸⁺⁸=205⁸⋅205⁸ ≡ 501⋅501=251001 ≡ 581 mod 659

32: 205³²=205¹⁶⁺¹⁶=205¹⁶⋅205¹⁶ ≡ 581⋅581=337561 ≡ 153 mod 659

64: 205⁶⁴=205³²⁺³²=205³²⋅205³² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 344 mod 659

128: 205¹²⁸=205⁶⁴⁺⁶⁴=205⁶⁴⋅205⁶⁴ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 375 mod 659

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

474⁹⁰

= 474^64+16+8+2

= 474⁶⁴⋅474¹⁶⋅474⁸⋅474²

≡ 589 ⋅ 357 ⋅ 529 ⋅ 44 mod 653
≡ 210273 ⋅ 529 ⋅ 44 mod 653 ≡ 7 ⋅ 529 ⋅ 44 mod 653
≡ 3703 ⋅ 44 mod 653 ≡ 438 ⋅ 44 mod 653
≡ 19272 mod 653 ≡ 335 mod 653

Es gilt also: 474⁹⁰ ≡ 335 mod 653

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79	= 1⋅41 + 38
=>41	= 1⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41) = 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79