Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19998 - 1600) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19998 - 1600) mod 4 ≡ (19998 mod 4 - 1600 mod 4) mod 4.
19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(19998 - 1600) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 25) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 25) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 25) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21516 mod 271.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 215 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 155 mod 271
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 177 mod 271
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 164 mod 271
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 67 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15165 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 1511=151
2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 37 mod 271
4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 14 mod 271
8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 271
16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 205 mod 271
32: 15132=15116+16=15116⋅15116 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 20 mod 271
64: 15164=15132+32=15132⋅15132 ≡ 20⋅20=400 ≡ 129 mod 271
15165
= 15164+1
= 15164⋅1511
≡ 129 ⋅ 151 mod 271
≡ 19479 mod 271 ≡ 238 mod 271
Es gilt also: 15165 ≡ 238 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
