Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 + 3604) mod 9 ≡ (1800 mod 9 + 3604 mod 9) mod 9.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

3604 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3604 = 3600+4 = 9 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(1800 + 3604) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 97) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 97) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 635¹=635

2: 635²=635¹⁺¹=635¹⋅635¹ ≡ 635⋅635=403225 ≡ 879 mod 991

4: 635⁴=635²⁺²=635²⋅635² ≡ 879⋅879=772641 ≡ 652 mod 991

8: 635⁸=635⁴⁺⁴=635⁴⋅635⁴ ≡ 652⋅652=425104 ≡ 956 mod 991

16: 635¹⁶=635⁸⁺⁸=635⁸⋅635⁸ ≡ 956⋅956=913936 ≡ 234 mod 991

32: 635³²=635¹⁶⁺¹⁶=635¹⁶⋅635¹⁶ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 251 mod 991

64: 635⁶⁴=635³²⁺³²=635³²⋅635³² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 568 mod 991

128: 635¹²⁸=635⁶⁴⁺⁶⁴=635⁶⁴⋅635⁶⁴ ≡ 568⋅568=322624 ≡ 549 mod 991

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

249¹⁰⁶

= 249^64+32+8+2

= 249⁶⁴⋅249³²⋅249⁸⋅249²

≡ 358 ⋅ 570 ⋅ 349 ⋅ 301 mod 617
≡ 204060 ⋅ 349 ⋅ 301 mod 617 ≡ 450 ⋅ 349 ⋅ 301 mod 617
≡ 157050 ⋅ 301 mod 617 ≡ 332 ⋅ 301 mod 617
≡ 99932 mod 617 ≡ 595 mod 617

Es gilt also: 249¹⁰⁶ ≡ 595 mod 617

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42

=>79	= 1⋅42 + 37
=>42	= 1⋅37 + 5
=>37	= 7⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 42-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37) = -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1)
37= 79-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42) = 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +32⋅42

Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1

Somit 32⋅42 = 1 mod 79

32 ist also das Inverse von 42 mod 79