Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (122 - 2004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 - 2004) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 2004 mod 4) mod 4.

122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 4 ⋅ 30 +2.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(122 - 2004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 87) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 87) mod 7 ≡ (36 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 87) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21116 mod 401.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 10 mod 401

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 401

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 376 mod 401

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 224 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 320249 mod 619.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 265 mod 619

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 278 mod 619

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 528 mod 619

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 234 mod 619

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 284 mod 619

64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 186 mod 619

128: 320128=32064+64=32064⋅32064 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 551 mod 619

320249

= 320128+64+32+16+8+1

= 320128⋅32064⋅32032⋅32016⋅3208⋅3201

551 ⋅ 186 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
102486 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 351 ⋅ 284 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
99684 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 25 ⋅ 234 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
5850 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619 ≡ 279 ⋅ 528 ⋅ 320 mod 619
147312 ⋅ 320 mod 619 ≡ 609 ⋅ 320 mod 619
194880 mod 619 ≡ 514 mod 619

Es gilt also: 320249 ≡ 514 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83 = 1⋅66 + 17
=>66 = 3⋅17 + 15
=>17 = 1⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15)
= -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17)
= 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66)
= -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.