Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5005 + 9999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5005 + 9999) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 9999 mod 5) mod 5.
5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005
= 5000
9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999
= 9000
Somit gilt:
(5005 + 9999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 47) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 47) mod 7 ≡ (27 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.
27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 47) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5098 mod 677.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 467 mod 677
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 95 mod 677
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 224 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 726225 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 7261=726
2: 7262=7261+1=7261⋅7261 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739
4: 7264=7262+2=7262⋅7262 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739
8: 7268=7264+4=7264⋅7264 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 351 mod 739
16: 72616=7268+8=7268⋅7268 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 527 mod 739
32: 72632=72616+16=72616⋅72616 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 604 mod 739
64: 72664=72632+32=72632⋅72632 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 489 mod 739
128: 726128=72664+64=72664⋅72664 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 424 mod 739
726225
= 726128+64+32+1
= 726128⋅72664⋅72632⋅7261
≡ 424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 726 mod 739
≡ 207336 ⋅ 604 ⋅ 726 mod 739 ≡ 416 ⋅ 604 ⋅ 726 mod 739
≡ 251264 ⋅ 726 mod 739 ≡ 4 ⋅ 726 mod 739
≡ 2904 mod 739 ≡ 687 mod 739
Es gilt also: 726225 ≡ 687 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
