Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14006 - 1403) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14006 - 1403) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 1403 mod 7) mod 7.
14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006
= 14000
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
Somit gilt:
(14006 - 1403) mod 7 ≡ (6 - 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 77) mod 8 ≡ (28 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 77) mod 8 ≡ (4 ⋅ 5) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49932 mod 613.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 499 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 123 mod 613
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 417 mod 613
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 410 mod 613
16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 138 mod 613
32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 41 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 550186 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:
186 = 128+32+16+8+2
1: 5501=550
2: 5502=5501+1=5501⋅5501 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 323 mod 673
4: 5504=5502+2=5502⋅5502 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 14 mod 673
8: 5508=5504+4=5504⋅5504 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 673
16: 55016=5508+8=5508⋅5508 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 55 mod 673
32: 55032=55016+16=55016⋅55016 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673
64: 55064=55032+32=55032⋅55032 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673
128: 550128=55064+64=55064⋅55064 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673
550186
= 550128+32+16+8+2
= 550128⋅55032⋅55016⋅5508⋅5502
≡ 108 ⋅ 333 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 35964 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673 ≡ 295 ⋅ 55 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 16225 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673 ≡ 73 ⋅ 196 ⋅ 323 mod 673
≡ 14308 ⋅ 323 mod 673 ≡ 175 ⋅ 323 mod 673
≡ 56525 mod 673 ≡ 666 mod 673
Es gilt also: 550186 ≡ 666 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
