Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27008 - 175) mod 9 ≡ (27008 mod 9 - 175 mod 9) mod 9.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

175 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 9 ⋅ 20 -5 = 9 ⋅ 20 - 9 + 4.

Somit gilt:

(27008 - 175) mod 9 ≡ (8 - 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 94) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 94) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 415¹=415

2: 415²=415¹⁺¹=415¹⋅415¹ ≡ 415⋅415=172225 ≡ 22 mod 941

4: 415⁴=415²⁺²=415²⋅415² ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 941

8: 415⁸=415⁴⁺⁴=415⁴⋅415⁴ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

328¹⁹¹

= 328^{128+32+16+8+4+2+1}

= 328¹²⁸⋅328³²⋅328¹⁶⋅328⁸⋅328⁴⋅328²⋅328¹

≡ 604 ⋅ 228 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
≡ 137712 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 398 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
≡ 25472 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 330 ⋅ 8 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
≡ 2640 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 706 ⋅ 88 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
≡ 62128 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967 ≡ 240 ⋅ 247 ⋅ 328 mod 967
≡ 59280 ⋅ 328 mod 967 ≡ 293 ⋅ 328 mod 967
≡ 96104 mod 967 ≡ 371 mod 967

Es gilt also: 328¹⁹¹ ≡ 371 mod 967

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53	= 1⋅44 + 9
=>44	= 4⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44) = -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53