Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 7993) mod 8 ≡ (240 mod 8 + 7993 mod 8) mod 8.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993 = 7000+993 = 8 ⋅ 875 +993.

Somit gilt:

(240 + 7993) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 46) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 46) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 641¹=641

2: 641²=641¹⁺¹=641¹⋅641¹ ≡ 641⋅641=410881 ≡ 736 mod 739

4: 641⁴=641²⁺²=641²⋅641² ≡ 736⋅736=541696 ≡ 9 mod 739

8: 641⁸=641⁴⁺⁴=641⁴⋅641⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 739

16: 641¹⁶=641⁸⁺⁸=641⁸⋅641⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 649 mod 739

32: 641³²=641¹⁶⁺¹⁶=641¹⁶⋅641¹⁶ ≡ 649⋅649=421201 ≡ 710 mod 739

64: 641⁶⁴=641³²⁺³²=641³²⋅641³² ≡ 710⋅710=504100 ≡ 102 mod 739

128: 641¹²⁸=641⁶⁴⁺⁶⁴=641⁶⁴⋅641⁶⁴ ≡ 102⋅102=10404 ≡ 58 mod 739

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

248¹⁴⁹

= 248^128+16+4+1

= 248¹²⁸⋅248¹⁶⋅248⁴⋅248¹

≡ 289 ⋅ 249 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349
≡ 71961 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349 ≡ 67 ⋅ 118 ⋅ 248 mod 349
≡ 7906 ⋅ 248 mod 349 ≡ 228 ⋅ 248 mod 349
≡ 56544 mod 349 ≡ 6 mod 349

Es gilt also: 248¹⁴⁹ ≡ 6 mod 349

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73	= 2⋅33 + 7
=>33	= 4⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33) = 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73