Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (178 + 89) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(178 + 89) mod 9 ≡ (178 mod 9 + 89 mod 9) mod 9.

178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 9 ⋅ 20 -2 = 9 ⋅ 20 - 9 + 7.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 9 ⋅ 10 -1 = 9 ⋅ 10 - 9 + 8.

Somit gilt:

(178 + 89) mod 9 ≡ (7 + 8) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 40) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 40) mod 4 ≡ (16 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 40) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34964 mod 809.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,809) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3491=349

2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 451 mod 809

4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 342 mod 809

8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 468 mod 809

16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 594 mod 809

32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 112 mod 809

64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 409 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 657236 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 6571=657

2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 577 mod 709

4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 408 mod 709

8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 558 mod 709

16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 113 mod 709

32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 7 mod 709

64: 65764=65732+32=65732⋅65732 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 709

128: 657128=65764+64=65764⋅65764 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 274 mod 709

657236

= 657128+64+32+8+4

= 657128⋅65764⋅65732⋅6578⋅6574

274 ⋅ 49 ⋅ 7 ⋅ 558 ⋅ 408 mod 709
13426 ⋅ 7 ⋅ 558 ⋅ 408 mod 709 ≡ 664 ⋅ 7 ⋅ 558 ⋅ 408 mod 709
4648 ⋅ 558 ⋅ 408 mod 709 ≡ 394 ⋅ 558 ⋅ 408 mod 709
219852 ⋅ 408 mod 709 ≡ 62 ⋅ 408 mod 709
25296 mod 709 ≡ 481 mod 709

Es gilt also: 657236 ≡ 481 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59 = 1⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38)
= -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.