Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 - 1202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 - 1202) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 1202 mod 4) mod 4.
116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(116 - 1202) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (32 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 88) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47632 mod 929.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 829 mod 929
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 710 mod 929
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 582 mod 929
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 568 mod 929
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 261 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16676 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:
76 = 64+8+4
1: 1661=166
2: 1662=1661+1=1661⋅1661 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 233 mod 307
4: 1664=1662+2=1662⋅1662 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307
8: 1668=1664+4=1664⋅1664 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 44 mod 307
16: 16616=1668+8=1668⋅1668 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 94 mod 307
32: 16632=16616+16=16616⋅16616 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 240 mod 307
64: 16664=16632+32=16632⋅16632 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 191 mod 307
16676
= 16664+8+4
= 16664⋅1668⋅1664
≡ 191 ⋅ 44 ⋅ 257 mod 307
≡ 8404 ⋅ 257 mod 307 ≡ 115 ⋅ 257 mod 307
≡ 29555 mod 307 ≡ 83 mod 307
Es gilt also: 16676 ≡ 83 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45
| =>83 | = 1⋅45 + 38 |
| =>45 | = 1⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 45-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1) |
| 38= 83-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +24⋅45
Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1
Somit 24⋅45 = 1 mod 83
24 ist also das Inverse von 45 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
