Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29997 + 64) mod 6 ≡ (29997 mod 6 + 64 mod 6) mod 6.

29997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29997 = 30000-3 = 6 ⋅ 5000 -3 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 3.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60+4 = 6 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(29997 + 64) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 23) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 23) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 387¹=387

2: 387²=387¹⁺¹=387¹⋅387¹ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 456 mod 701

4: 387⁴=387²⁺²=387²⋅387² ≡ 456⋅456=207936 ≡ 440 mod 701

8: 387⁸=387⁴⁺⁴=387⁴⋅387⁴ ≡ 440⋅440=193600 ≡ 124 mod 701

16: 387¹⁶=387⁸⁺⁸=387⁸⋅387⁸ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 655 mod 701

32: 387³²=387¹⁶⁺¹⁶=387¹⁶⋅387¹⁶ ≡ 655⋅655=429025 ≡ 13 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

140¹⁵⁵

= 140^128+16+8+2+1

= 140¹²⁸⋅140¹⁶⋅140⁸⋅140²⋅140¹

≡ 55 ⋅ 71 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
≡ 3905 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211 ≡ 107 ⋅ 55 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
≡ 5885 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211 ≡ 188 ⋅ 188 ⋅ 140 mod 211
≡ 35344 ⋅ 140 mod 211 ≡ 107 ⋅ 140 mod 211
≡ 14980 mod 211 ≡ 210 mod 211

Es gilt also: 140¹⁵⁵ ≡ 210 mod 211

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59	= 1⋅52 + 7
=>52	= 7⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52) = -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59