Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17994 + 18002) mod 6 ≡ (17994 mod 6 + 18002 mod 6) mod 6.

17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 6 ⋅ 3000 -6 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 0.

18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002 = 18000+2 = 6 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(17994 + 18002) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 41) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 41 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 41) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 297¹=297

2: 297²=297¹⁺¹=297¹⋅297¹ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 152 mod 509

4: 297⁴=297²⁺²=297²⋅297² ≡ 152⋅152=23104 ≡ 199 mod 509

8: 297⁸=297⁴⁺⁴=297⁴⋅297⁴ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509

16: 297¹⁶=297⁸⁺⁸=297⁸⋅297⁸ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509

32: 297³²=297¹⁶⁺¹⁶=297¹⁶⋅297¹⁶ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 509

64: 297⁶⁴=297³²⁺³²=297³²⋅297³² ≡ 441⋅441=194481 ≡ 43 mod 509

128: 297¹²⁸=297⁶⁴⁺⁶⁴=297⁶⁴⋅297⁶⁴ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 322 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

433⁹¹

= 433^64+16+8+2+1

= 433⁶⁴⋅433¹⁶⋅433⁸⋅433²⋅433¹

≡ 258 ⋅ 200 ⋅ 61 ⋅ 373 ⋅ 433 mod 503
≡ 51600 ⋅ 61 ⋅ 373 ⋅ 433 mod 503 ≡ 294 ⋅ 61 ⋅ 373 ⋅ 433 mod 503
≡ 17934 ⋅ 373 ⋅ 433 mod 503 ≡ 329 ⋅ 373 ⋅ 433 mod 503
≡ 122717 ⋅ 433 mod 503 ≡ 488 ⋅ 433 mod 503
≡ 211304 mod 503 ≡ 44 mod 503

Es gilt also: 433⁹¹ ≡ 44 mod 503

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89