Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (247 - 7998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(247 - 7998) mod 8 ≡ (247 mod 8 - 7998 mod 8) mod 8.
247 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
7998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998
= 7000
Somit gilt:
(247 - 7998) mod 8 ≡ (7 - 6) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 81) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.
54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 81) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30564 mod 811.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 571 mod 811
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 19 mod 811
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 811
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 561 mod 811
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 53 mod 811
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 376 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 270212 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 467 mod 641
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 149 mod 641
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 407 mod 641
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 271 mod 641
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 367 mod 641
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 79 mod 641
128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641
270212
= 270128+64+16+4
= 270128⋅27064⋅27016⋅2704
≡ 472 ⋅ 79 ⋅ 271 ⋅ 149 mod 641
≡ 37288 ⋅ 271 ⋅ 149 mod 641 ≡ 110 ⋅ 271 ⋅ 149 mod 641
≡ 29810 ⋅ 149 mod 641 ≡ 324 ⋅ 149 mod 641
≡ 48276 mod 641 ≡ 201 mod 641
Es gilt also: 270212 ≡ 201 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
