Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 3005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 3005) mod 6 ≡ (120 mod 6 + 3005 mod 6) mod 6.
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005
= 3000
Somit gilt:
(120 + 3005) mod 6 ≡ (0 + 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 18) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 18) mod 3 ≡ (37 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 87264 mod 881.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 872 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8721=872
2: 8722=8721+1=8721⋅8721 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 81 mod 881
4: 8724=8722+2=8722⋅8722 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 394 mod 881
8: 8728=8724+4=8724⋅8724 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 180 mod 881
16: 87216=8728+8=8728⋅8728 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 684 mod 881
32: 87232=87216+16=87216⋅87216 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 45 mod 881
64: 87264=87232+32=87232⋅87232 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 263 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 212242 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 2121=212
2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 234 mod 263
4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 52 mod 263
8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 74 mod 263
16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 216 mod 263
32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 105 mod 263
64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 242 mod 263
128: 212128=21264+64=21264⋅21264 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 178 mod 263
212242
= 212128+64+32+16+2
= 212128⋅21264⋅21232⋅21216⋅2122
≡ 178 ⋅ 242 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 43076 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263 ≡ 207 ⋅ 105 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 21735 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263 ≡ 169 ⋅ 216 ⋅ 234 mod 263
≡ 36504 ⋅ 234 mod 263 ≡ 210 ⋅ 234 mod 263
≡ 49140 mod 263 ≡ 222 mod 263
Es gilt also: 212242 ≡ 222 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
