Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 2996) mod 6 ≡ (12000 mod 6 + 2996 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(12000 + 2996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 80) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 80 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 80) mod 10 ≡ (9 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 461¹=461

2: 461²=461¹⁺¹=461¹⋅461¹ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 350 mod 641

4: 461⁴=461²⁺²=461²⋅461² ≡ 350⋅350=122500 ≡ 69 mod 641

8: 461⁸=461⁴⁺⁴=461⁴⋅461⁴ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

16: 461¹⁶=461⁸⁺⁸=461⁸⋅461⁸ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

32: 461³²=461¹⁶⁺¹⁶=461¹⁶⋅461¹⁶ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

64: 461⁶⁴=461³²⁺³²=461³²⋅461³² ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

128: 461¹²⁸=461⁶⁴⁺⁶⁴=461⁶⁴⋅461⁶⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:

83 = 64+16+2+1

144⁸³

= 144^64+16+2+1

= 144⁶⁴⋅144¹⁶⋅144²⋅144¹

≡ 51 ⋅ 25 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401
≡ 1275 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401 ≡ 72 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401
≡ 20520 ⋅ 144 mod 401 ≡ 69 ⋅ 144 mod 401
≡ 9936 mod 401 ≡ 312 mod 401

Es gilt also: 144⁸³ ≡ 312 mod 401

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71	= 1⋅54 + 17
=>54	= 3⋅17 + 3
=>17	= 5⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17) = -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54) = 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71