Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 1200) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 1200 mod 3) mod 3.

121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 3 ⋅ 40 +1.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(121 + 1200) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 24) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 24 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 24) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 276 mod 281

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 276⋅276=76176 ≡ 25 mod 281

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 63 mod 281

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281

32: 240³²=240¹⁶⁺¹⁶=240¹⁶⋅240¹⁶ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 101 mod 281

64: 240⁶⁴=240³²⁺³²=240³²⋅240³² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 85 mod 281

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

281¹⁰⁷

= 281^64+32+8+2+1

= 281⁶⁴⋅281³²⋅281⁸⋅281²⋅281¹

≡ 651 ⋅ 325 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 211575 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719 ≡ 189 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 5859 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719 ≡ 107 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 63130 ⋅ 281 mod 719 ≡ 577 ⋅ 281 mod 719
≡ 162137 mod 719 ≡ 362 mod 719

Es gilt also: 281¹⁰⁷ ≡ 362 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61