Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6003 + 599) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 + 599) mod 3 ≡ (6003 mod 3 + 599 mod 3) mod 3.

6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 3 ⋅ 2000 +3.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6003 + 599) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 84) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (83 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 84) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25364 mod 373.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 253 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 226 mod 373

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 348 mod 373

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 94 mod 373

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 257 mod 373

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 28 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 200230 mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 188 mod 269

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 105 mod 269

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 265 mod 269

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 269

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 169 mod 269

128: 200128=20064+64=20064⋅20064 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 47 mod 269

200230

= 200128+64+32+4+2

= 200128⋅20064⋅20032⋅2004⋅2002

47 ⋅ 169 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
7943 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269 ≡ 142 ⋅ 256 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
36352 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269 ≡ 37 ⋅ 105 ⋅ 188 mod 269
3885 ⋅ 188 mod 269 ≡ 119 ⋅ 188 mod 269
22372 mod 269 ≡ 45 mod 269

Es gilt also: 200230 ≡ 45 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.