Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 - 45006) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 - 45006) mod 9 ≡ (94 mod 9 - 45006 mod 9) mod 9.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94
= 90
45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006
= 45000
Somit gilt:
(94 - 45006) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 51) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 51) mod 9 ≡ (61 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.
61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.
51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 51) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31516 mod 349.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 109 mod 349
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 15 mod 349
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 330168 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 666 mod 859
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 312 mod 859
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 277 mod 859
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 278 mod 859
32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 833 mod 859
64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 833⋅833=693889 ≡ 676 mod 859
128: 330128=33064+64=33064⋅33064 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 847 mod 859
330168
= 330128+32+8
= 330128⋅33032⋅3308
≡ 847 ⋅ 833 ⋅ 277 mod 859
≡ 705551 ⋅ 277 mod 859 ≡ 312 ⋅ 277 mod 859
≡ 86424 mod 859 ≡ 524 mod 859
Es gilt also: 330168 ≡ 524 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
