Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8002 - 3203) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8002 - 3203) mod 8 ≡ (8002 mod 8 - 3203 mod 8) mod 8.
8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002
= 8000
3203 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3203
= 3200
Somit gilt:
(8002 - 3203) mod 8 ≡ (2 - 3) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 50) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 50) mod 11 ≡ (69 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 50) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3148 mod 569.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 314 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 159 mod 569
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 245 mod 569
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 280 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 447171 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 4471=447
2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 106 mod 607
4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 310 mod 607
8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 194 mod 607
16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 2 mod 607
32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 607
64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 607
128: 447128=44764+64=44764⋅44764 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 607
447171
= 447128+32+8+2+1
= 447128⋅44732⋅4478⋅4472⋅4471
≡ 256 ⋅ 4 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 1024 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607 ≡ 417 ⋅ 194 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 80898 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607 ≡ 167 ⋅ 106 ⋅ 447 mod 607
≡ 17702 ⋅ 447 mod 607 ≡ 99 ⋅ 447 mod 607
≡ 44253 mod 607 ≡ 549 mod 607
Es gilt also: 447171 ≡ 549 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47
| =>97 | = 2⋅47 + 3 |
| =>47 | = 15⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 47-15⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1) |
| 3= 97-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -33⋅47
-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47
-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1
(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1
64⋅47 = 31⋅97 + 1
Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1
Somit 64⋅47 = 1 mod 97
64 ist also das Inverse von 47 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
