Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27000 - 91) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27000 - 91) mod 9 ≡ (27000 mod 9 - 91 mod 9) mod 9.
27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000
= 27000
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91
= 90
Somit gilt:
(27000 - 91) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 100) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 100) mod 6 ≡ (80 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 100) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42416 mod 463.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 424 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4241=424
2: 4242=4241+1=4241⋅4241 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 132 mod 463
4: 4244=4242+2=4242⋅4242 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 293 mod 463
8: 4248=4244+4=4244⋅4244 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 194 mod 463
16: 42416=4248+8=4248⋅4248 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 133 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33894 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 366 mod 587
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 120 mod 587
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 312 mod 587
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 489 mod 587
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 212 mod 587
64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 332 mod 587
33894
= 33864+16+8+4+2
= 33864⋅33816⋅3388⋅3384⋅3382
≡ 332 ⋅ 489 ⋅ 312 ⋅ 120 ⋅ 366 mod 587
≡ 162348 ⋅ 312 ⋅ 120 ⋅ 366 mod 587 ≡ 336 ⋅ 312 ⋅ 120 ⋅ 366 mod 587
≡ 104832 ⋅ 120 ⋅ 366 mod 587 ≡ 346 ⋅ 120 ⋅ 366 mod 587
≡ 41520 ⋅ 366 mod 587 ≡ 430 ⋅ 366 mod 587
≡ 157380 mod 587 ≡ 64 mod 587
Es gilt also: 33894 ≡ 64 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47
| =>101 | = 2⋅47 + 7 |
| =>47 | = 6⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +43⋅47
Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1
Somit 43⋅47 = 1 mod 101
43 ist also das Inverse von 47 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
