Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44998 - 363) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44998 - 363) mod 9 ≡ (44998 mod 9 - 363 mod 9) mod 9.
44998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44998
= 45000
363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363
= 360
Somit gilt:
(44998 - 363) mod 9 ≡ (7 - 3) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 94) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 94) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.
70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 94) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39416 mod 839.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 21 mod 839
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 839
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 672 mod 839
16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 202 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 608227 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 25 mod 613
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 25⋅25=625 ≡ 12 mod 613
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 613
16: 60816=6088+8=6088⋅6088 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 507 mod 613
32: 60832=60816+16=60816⋅60816 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 202 mod 613
64: 60864=60832+32=60832⋅60832 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 346 mod 613
128: 608128=60864+64=60864⋅60864 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 181 mod 613
608227
= 608128+64+32+2+1
= 608128⋅60864⋅60832⋅6082⋅6081
≡ 181 ⋅ 346 ⋅ 202 ⋅ 25 ⋅ 608 mod 613
≡ 62626 ⋅ 202 ⋅ 25 ⋅ 608 mod 613 ≡ 100 ⋅ 202 ⋅ 25 ⋅ 608 mod 613
≡ 20200 ⋅ 25 ⋅ 608 mod 613 ≡ 584 ⋅ 25 ⋅ 608 mod 613
≡ 14600 ⋅ 608 mod 613 ≡ 501 ⋅ 608 mod 613
≡ 304608 mod 613 ≡ 560 mod 613
Es gilt also: 608227 ≡ 560 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
