Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 - 204) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 - 204) mod 7 ≡ (71 mod 7 - 204 mod 7) mod 7.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 210-6 = 7 ⋅ 30 -6 = 7 ⋅ 30 - 7 + 1.

Somit gilt:

(71 - 204) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 94) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 94) mod 5 ≡ (26 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 94) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476128 mod 509.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 71 mod 509

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 460 mod 509

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 376 mod 509

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 383 mod 509

64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 97 mod 509

128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 523231 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 5231=523

2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 574 mod 587

4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 169 mod 587

8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 385 mod 587

16: 52316=5238+8=5238⋅5238 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 301 mod 587

32: 52332=52316+16=52316⋅52316 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 203 mod 587

64: 52364=52332+32=52332⋅52332 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 119 mod 587

128: 523128=52364+64=52364⋅52364 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 73 mod 587

523231

= 523128+64+32+4+2+1

= 523128⋅52364⋅52332⋅5234⋅5232⋅5231

73 ⋅ 119 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
8687 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 469 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
95207 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 113 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
19097 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 313 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
179662 ⋅ 523 mod 587 ≡ 40 ⋅ 523 mod 587
20920 mod 587 ≡ 375 mod 587

Es gilt also: 523231 ≡ 375 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.