Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (800 - 78) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 78) mod 4 ≡ (800 mod 4 - 78 mod 4) mod 4.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 4 ⋅ 20 -2 = 4 ⋅ 20 - 4 + 2.

Somit gilt:

(800 - 78) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 45) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 45) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 45) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 319128 mod 757.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3191=319

2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 323 mod 757

4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 620 mod 757

8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 601 mod 757

16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 112 mod 757

32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 432 mod 757

64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 402 mod 757

128: 319128=31964+64=31964⋅31964 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 363 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86125 mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 861=86

2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 133 mod 269

4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 204 mod 269

8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 190 mod 269

16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 54 mod 269

32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 226 mod 269

64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 235 mod 269

86125

= 8664+32+16+8+4+1

= 8664⋅8632⋅8616⋅868⋅864⋅861

235 ⋅ 226 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
53110 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 117 ⋅ 54 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
6318 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 131 ⋅ 190 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
24890 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269 ≡ 142 ⋅ 204 ⋅ 86 mod 269
28968 ⋅ 86 mod 269 ≡ 185 ⋅ 86 mod 269
15910 mod 269 ≡ 39 mod 269

Es gilt also: 86125 ≡ 39 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74

=>89 = 1⋅74 + 15
=>74 = 4⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 74-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15)
= -1⋅74 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74)
= 5⋅89 -6⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -6⋅74

-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74

-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1

(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1

83⋅74 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1

Somit 83⋅74 = 1 mod 89

83 ist also das Inverse von 74 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.