Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3498 + 2803) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3498 + 2803) mod 7 ≡ (3498 mod 7 + 2803 mod 7) mod 7.

3498 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3498 = 3500-2 = 7 ⋅ 500 -2 = 7 ⋅ 500 - 7 + 5.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(3498 + 2803) mod 7 ≡ (5 + 3) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 80) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 80) mod 4 ≡ (94 mod 4 ⋅ 80 mod 4) mod 4.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 80) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60964 mod 631.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 609 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6091=609

2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 484 mod 631

4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 155 mod 631

8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 47 mod 631

16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 316 mod 631

32: 60932=60916+16=60916⋅60916 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 158 mod 631

64: 60964=60932+32=60932⋅60932 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 355 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221209 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 2211=221

2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 215 mod 593

4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 564 mod 593

8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 248 mod 593

16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 425 mod 593

32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 353 mod 593

64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 79 mod 593

128: 221128=22164+64=22164⋅22164 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 311 mod 593

221209

= 221128+64+16+1

= 221128⋅22164⋅22116⋅2211

311 ⋅ 79 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593
24569 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593 ≡ 256 ⋅ 425 ⋅ 221 mod 593
108800 ⋅ 221 mod 593 ≡ 281 ⋅ 221 mod 593
62101 mod 593 ≡ 429 mod 593

Es gilt also: 221209 ≡ 429 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54

=>73 = 1⋅54 + 19
=>54 = 2⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 54-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19)
= 6⋅54 -17⋅ 19 (=1)
19= 73-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54)
= -17⋅73 +23⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54

oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅73 = +23⋅54

Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1

Somit 23⋅54 = 1 mod 73

23 ist also das Inverse von 54 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.