Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16006 - 232) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16006 - 232) mod 8 ≡ (16006 mod 8 - 232 mod 8) mod 8.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

232 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 232 = 240-8 = 8 ⋅ 30 -8 = 8 ⋅ 30 - 8 + 0.

Somit gilt:

(16006 - 232) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 30) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 30) mod 11 ≡ (55 mod 11 ⋅ 30 mod 11) mod 11.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 30) mod 11 ≡ (0 ⋅ 8) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37964 mod 997.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3791=379

2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 73 mod 997

4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 344 mod 997

8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 690 mod 997

16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 531 mod 997

32: 37932=37916+16=37916⋅37916 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 807 mod 997

64: 37964=37932+32=37932⋅37932 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 208 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29182 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:

82 = 64+16+2

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 118 mod 821

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 788 mod 821

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 268 mod 821

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 397 mod 821

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 798 mod 821

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 529 mod 821

29182

= 29164+16+2

= 29164⋅29116⋅2912

529 ⋅ 397 ⋅ 118 mod 821
210013 ⋅ 118 mod 821 ≡ 658 ⋅ 118 mod 821
77644 mod 821 ≡ 470 mod 821

Es gilt also: 29182 ≡ 470 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.