Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 + 300) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 + 300) mod 3 ≡ (297 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
Somit gilt:
(297 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 50) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 50) mod 11 ≡ (60 mod 11 ⋅ 50 mod 11) mod 11.
60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 50) mod 11 ≡ (5 ⋅ 6) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6208 mod 643.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 620 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6201=620
2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 529 mod 643
4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 136 mod 643
8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 492 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39583 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 207 mod 461
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 437 mod 461
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 115 mod 461
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 317 mod 461
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 452 mod 461
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 81 mod 461
39583
= 39564+16+2+1
= 39564⋅39516⋅3952⋅3951
≡ 81 ⋅ 317 ⋅ 207 ⋅ 395 mod 461
≡ 25677 ⋅ 207 ⋅ 395 mod 461 ≡ 322 ⋅ 207 ⋅ 395 mod 461
≡ 66654 ⋅ 395 mod 461 ≡ 270 ⋅ 395 mod 461
≡ 106650 mod 461 ≡ 159 mod 461
Es gilt also: 39583 ≡ 159 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28
| =>53 | = 1⋅28 + 25 |
| =>28 | = 1⋅25 + 3 |
| =>25 | = 8⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-8⋅3 | |||
| 3= 28-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25) = -8⋅28 +9⋅ 25 (=1) |
| 25= 53-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28) = 9⋅53 -17⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28
oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅53 = -17⋅28
-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28
-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1
(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1
36⋅28 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1
Somit 36⋅28 = 1 mod 53
36 ist also das Inverse von 28 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
