Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 + 3001) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(60 + 3001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 224¹=224

2: 224²=224¹⁺¹=224¹⋅224¹ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401

4: 224⁴=224²⁺²=224²⋅224² ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401

8: 224⁸=224⁴⁺⁴=224⁴⋅224⁴ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401

16: 224¹⁶=224⁸⁺⁸=224⁸⋅224⁸ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

131²⁵⁰

= 131^{128+64+32+16+8+2}

= 131¹²⁸⋅131⁶⁴⋅131³²⋅131¹⁶⋅131⁸⋅131²

≡ 135 ⋅ 117 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 15795 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 233 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 20038 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 209 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 12540 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 241 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 41693 ⋅ 93 mod 251 ≡ 27 ⋅ 93 mod 251
≡ 2511 mod 251 ≡ 1 mod 251

Es gilt also: 131²⁵⁰ ≡ 1 mod 251

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59	= 1⋅35 + 24
=>35	= 1⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35) = 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59