Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (499 + 2499) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(499 + 2499) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 2499 mod 5) mod 5.
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
2499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2499
= 2400
Somit gilt:
(499 + 2499) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 28) mod 3 ≡ (83 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 28) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67032 mod 811.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 670 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6701=670
2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 417 mod 811
4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 335 mod 811
8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 307 mod 811
16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 173 mod 811
32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 733 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 236149 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 295 mod 313
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 11 mod 313
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 313
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313
128: 236128=23664+64=23664⋅23664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
236149
= 236128+16+4+1
= 236128⋅23616⋅2364⋅2361
≡ 3 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313
≡ 729 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313 ≡ 103 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313
≡ 1133 ⋅ 236 mod 313 ≡ 194 ⋅ 236 mod 313
≡ 45784 mod 313 ≡ 86 mod 313
Es gilt also: 236149 ≡ 86 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51
| =>73 | = 1⋅51 + 22 |
| =>51 | = 2⋅22 + 7 |
| =>22 | = 3⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-3⋅7 | |||
| 7= 51-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1) |
| 22= 73-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -10⋅51
-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51
-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1
(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1
63⋅51 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1
Somit 63⋅51 = 1 mod 73
63 ist also das Inverse von 51 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
