Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (355 + 7000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(355 + 7000) mod 7 ≡ (355 mod 7 + 7000 mod 7) mod 7.
355 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355
= 350
7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000
= 7000
Somit gilt:
(355 + 7000) mod 7 ≡ (5 + 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 44) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 44) mod 10 ≡ (88 mod 10 ⋅ 44 mod 10) mod 10.
88 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80 + 8 = 8 ⋅ 10 + 8 ist.
44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 44) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32116 mod 769.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 764 mod 769
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 25 mod 769
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 769
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 742 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 318114 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 447 mod 907
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 269 mod 907
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 708 mod 907
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 600 mod 907
32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 828 mod 907
64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 828⋅828=685584 ≡ 799 mod 907
318114
= 31864+32+16+2
= 31864⋅31832⋅31816⋅3182
≡ 799 ⋅ 828 ⋅ 600 ⋅ 447 mod 907
≡ 661572 ⋅ 600 ⋅ 447 mod 907 ≡ 369 ⋅ 600 ⋅ 447 mod 907
≡ 221400 ⋅ 447 mod 907 ≡ 92 ⋅ 447 mod 907
≡ 41124 mod 907 ≡ 309 mod 907
Es gilt also: 318114 ≡ 309 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
