Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11998 + 61) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11998 + 61) mod 3 ≡ (11998 mod 3 + 61 mod 3) mod 3.
11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 12000
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
Somit gilt:
(11998 + 61) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 19) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 19) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.
89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.
19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 19) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24532 mod 647.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 501 mod 647
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 612 mod 647
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 578 mod 647
16: 24516=2458+8=2458⋅2458 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 232 mod 647
32: 24532=24516+16=24516⋅24516 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 123 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 732139 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 7321=732
2: 7322=7321+1=7321⋅7321 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 395 mod 941
4: 7324=7322+2=7322⋅7322 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 760 mod 941
8: 7328=7324+4=7324⋅7324 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 767 mod 941
16: 73216=7328+8=7328⋅7328 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 164 mod 941
32: 73232=73216+16=73216⋅73216 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 548 mod 941
64: 73264=73232+32=73232⋅73232 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 125 mod 941
128: 732128=73264+64=73264⋅73264 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 569 mod 941
732139
= 732128+8+2+1
= 732128⋅7328⋅7322⋅7321
≡ 569 ⋅ 767 ⋅ 395 ⋅ 732 mod 941
≡ 436423 ⋅ 395 ⋅ 732 mod 941 ≡ 740 ⋅ 395 ⋅ 732 mod 941
≡ 292300 ⋅ 732 mod 941 ≡ 590 ⋅ 732 mod 941
≡ 431880 mod 941 ≡ 902 mod 941
Es gilt also: 732139 ≡ 902 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 46
| =>71 | = 1⋅46 + 25 |
| =>46 | = 1⋅25 + 21 |
| =>25 | = 1⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 25-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21) = -5⋅25 +6⋅ 21 (=1) |
| 21= 46-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅25 +6⋅(46 -1⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅46 -6⋅ 25) = 6⋅46 -11⋅ 25 (=1) |
| 25= 71-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅46 -11⋅(71 -1⋅ 46)
= 6⋅46 -11⋅71 +11⋅ 46) = -11⋅71 +17⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,46)=1 = -11⋅71 +17⋅46
oder wenn man -11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅71 = +17⋅46
Es gilt also: 17⋅46 = 11⋅71 +1
Somit 17⋅46 = 1 mod 71
17 ist also das Inverse von 46 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
