Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 + 14997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 + 14997) mod 3 ≡ (15000 mod 3 + 14997 mod 3) mod 3.
15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
Somit gilt:
(15000 + 14997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 96) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 96) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 96 mod 10) mod 10.
67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 96) mod 10 ≡ (7 ⋅ 6) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70632 mod 809.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 706 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7061=706
2: 7062=7061+1=7061⋅7061 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 92 mod 809
4: 7064=7062+2=7062⋅7062 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 374 mod 809
8: 7068=7064+4=7064⋅7064 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 728 mod 809
16: 70616=7068+8=7068⋅7068 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 89 mod 809
32: 70632=70616+16=70616⋅70616 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 640 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 284163 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 208 mod 419
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 107 mod 419
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 136 mod 419
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 60 mod 419
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 248 mod 419
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 330 mod 419
128: 284128=28464+64=28464⋅28464 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 379 mod 419
284163
= 284128+32+2+1
= 284128⋅28432⋅2842⋅2841
≡ 379 ⋅ 248 ⋅ 208 ⋅ 284 mod 419
≡ 93992 ⋅ 208 ⋅ 284 mod 419 ≡ 136 ⋅ 208 ⋅ 284 mod 419
≡ 28288 ⋅ 284 mod 419 ≡ 215 ⋅ 284 mod 419
≡ 61060 mod 419 ≡ 305 mod 419
Es gilt also: 284163 ≡ 305 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
