Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18003 - 274) mod 9 ≡ (18003 mod 9 - 274 mod 9) mod 9.

18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003 = 18000+3 = 9 ⋅ 2000 +3.

274 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 270+4 = 9 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(18003 - 274) mod 9 ≡ (3 - 4) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 48) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 48) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 281¹=281

2: 281²=281¹⁺¹=281¹⋅281¹ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 141 mod 563

4: 281⁴=281²⁺²=281²⋅281² ≡ 141⋅141=19881 ≡ 176 mod 563

8: 281⁸=281⁴⁺⁴=281⁴⋅281⁴ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 11 mod 563

16: 281¹⁶=281⁸⁺⁸=281⁸⋅281⁸ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 563

32: 281³²=281¹⁶⁺¹⁶=281¹⁶⋅281¹⁶ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 3 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

150¹⁵⁹

= 150^{128+16+8+4+2+1}

= 150¹²⁸⋅150¹⁶⋅150⁸⋅150⁴⋅150²⋅150¹

≡ 417 ⋅ 27 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 11259 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433 ≡ 1 ⋅ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 153 ⋅ 256 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 39168 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433 ≡ 198 ⋅ 417 ⋅ 150 mod 433
≡ 82566 ⋅ 150 mod 433 ≡ 296 ⋅ 150 mod 433
≡ 44400 mod 433 ≡ 234 mod 433

Es gilt also: 150¹⁵⁹ ≡ 234 mod 433

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45

=>61	= 1⋅45 + 16
=>45	= 2⋅16 + 13
=>16	= 1⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 16-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1)
13= 45-2⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16) = -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1)
16= 61-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45) = 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45

oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅61 = +19⋅45

Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1

Somit 19⋅45 = 1 mod 61

19 ist also das Inverse von 45 mod 61