Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 - 908) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 908) mod 9 ≡ (95 mod 9 - 908 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

908 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 908 = 900+8 = 9 ⋅ 100 +8.

Somit gilt:

(95 - 908) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 46) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 46) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 46 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 46) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 313.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 66 mod 313

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 287 mod 313

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 50 mod 313

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 309 mod 313

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 491213 mod 937.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 272 mod 937

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 898 mod 937

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 898⋅898=806404 ≡ 584 mod 937

16: 49116=4918+8=4918⋅4918 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 925 mod 937

32: 49132=49116+16=49116⋅49116 ≡ 925⋅925=855625 ≡ 144 mod 937

64: 49164=49132+32=49132⋅49132 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 122 mod 937

128: 491128=49164+64=49164⋅49164 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 829 mod 937

491213

= 491128+64+16+4+1

= 491128⋅49164⋅49116⋅4914⋅4911

829 ⋅ 122 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
101138 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937 ≡ 879 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
813075 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937 ≡ 696 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
625008 ⋅ 491 mod 937 ≡ 29 ⋅ 491 mod 937
14239 mod 937 ≡ 184 mod 937

Es gilt also: 491213 ≡ 184 mod 937

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.