Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9004 - 271) mod 9 ≡ (9004 mod 9 - 271 mod 9) mod 9.

9004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9004 = 9000+4 = 9 ⋅ 1000 +4.

271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271 = 270+1 = 9 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(9004 - 271) mod 9 ≡ (4 - 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 46) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 46) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 487¹=487

2: 487²=487¹⁺¹=487¹⋅487¹ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919

4: 487⁴=487²⁺²=487²⋅487² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 813 mod 919

8: 487⁸=487⁴⁺⁴=487⁴⋅487⁴ ≡ 813⋅813=660969 ≡ 208 mod 919

16: 487¹⁶=487⁸⁺⁸=487⁸⋅487⁸ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 71 mod 919

32: 487³²=487¹⁶⁺¹⁶=487¹⁶⋅487¹⁶ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 446 mod 919

64: 487⁶⁴=487³²⁺³²=487³²⋅487³² ≡ 446⋅446=198916 ≡ 412 mod 919

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

772⁶¹

= 772^32+16+8+4+1

= 772³²⋅772¹⁶⋅772⁸⋅772⁴⋅772¹

≡ 848 ⋅ 328 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 278144 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953 ≡ 821 ⋅ 567 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 465507 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953 ≡ 443 ⋅ 226 ⋅ 772 mod 953
≡ 100118 ⋅ 772 mod 953 ≡ 53 ⋅ 772 mod 953
≡ 40916 mod 953 ≡ 890 mod 953

Es gilt also: 772⁶¹ ≡ 890 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101