Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25001 - 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25001 - 95) mod 5 ≡ (25001 mod 5 - 95 mod 5) mod 5.
25001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25001
= 25000
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(25001 - 95) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 40) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 40) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 40) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20232 mod 373.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2021=202
2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 147 mod 373
4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 348 mod 373
8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 252 mod 373
16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 94 mod 373
32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 257 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 647237 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:
237 = 128+64+32+8+4+1
1: 6471=647
2: 6472=6471+1=6471⋅6471 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 112 mod 701
4: 6474=6472+2=6472⋅6472 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 627 mod 701
8: 6478=6474+4=6474⋅6474 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 569 mod 701
16: 64716=6478+8=6478⋅6478 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 600 mod 701
32: 64732=64716+16=64716⋅64716 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 387 mod 701
64: 64764=64732+32=64732⋅64732 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 456 mod 701
128: 647128=64764+64=64764⋅64764 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 440 mod 701
647237
= 647128+64+32+8+4+1
= 647128⋅64764⋅64732⋅6478⋅6474⋅6471
≡ 440 ⋅ 456 ⋅ 387 ⋅ 569 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701
≡ 200640 ⋅ 387 ⋅ 569 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701 ≡ 154 ⋅ 387 ⋅ 569 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701
≡ 59598 ⋅ 569 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701 ≡ 13 ⋅ 569 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701
≡ 7397 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701 ≡ 387 ⋅ 627 ⋅ 647 mod 701
≡ 242649 ⋅ 647 mod 701 ≡ 103 ⋅ 647 mod 701
≡ 66641 mod 701 ≡ 46 mod 701
Es gilt also: 647237 ≡ 46 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
