Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7999 + 116) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7999 + 116) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 116 mod 4) mod 4.
7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999
= 7000
116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
Somit gilt:
(7999 + 116) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 24) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 24) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2958 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2951=295
2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 147 mod 359
4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 69 mod 359
8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 94 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 197170 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1971=197
2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 54 mod 337
4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 220 mod 337
8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 209 mod 337
16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 208 mod 337
32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
128: 197128=19764+64=19764⋅19764 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
197170
= 197128+32+8+2
= 197128⋅19732⋅1978⋅1972
≡ 128 ⋅ 128 ⋅ 209 ⋅ 54 mod 337
≡ 16384 ⋅ 209 ⋅ 54 mod 337 ≡ 208 ⋅ 209 ⋅ 54 mod 337
≡ 43472 ⋅ 54 mod 337 ≡ 336 ⋅ 54 mod 337
≡ 18144 mod 337 ≡ 283 mod 337
Es gilt also: 197170 ≡ 283 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44
| =>67 | = 1⋅44 + 23 |
| =>44 | = 1⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 44-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1) |
| 23= 67-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44
oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +21⋅67 = +32⋅44
Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1
Somit 32⋅44 = 1 mod 67
32 ist also das Inverse von 44 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
