Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 - 14996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 - 14996) mod 5 ≡ (50 mod 5 - 14996 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50
= 50
14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996
= 14000
Somit gilt:
(50 - 14996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 59) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 59) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 59) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19264 mod 229.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 224 mod 229
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 25 mod 229
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 25⋅25=625 ≡ 167 mod 229
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 180 mod 229
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 111 mod 229
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9890 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 981=98
2: 982=981+1=981⋅981 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 66 mod 251
4: 984=982+2=982⋅982 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 89 mod 251
8: 988=984+4=984⋅984 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 140 mod 251
16: 9816=988+8=988⋅988 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 22 mod 251
32: 9832=9816+16=9816⋅9816 ≡ 22⋅22=484 ≡ 233 mod 251
64: 9864=9832+32=9832⋅9832 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 73 mod 251
9890
= 9864+16+8+2
= 9864⋅9816⋅988⋅982
≡ 73 ⋅ 22 ⋅ 140 ⋅ 66 mod 251
≡ 1606 ⋅ 140 ⋅ 66 mod 251 ≡ 100 ⋅ 140 ⋅ 66 mod 251
≡ 14000 ⋅ 66 mod 251 ≡ 195 ⋅ 66 mod 251
≡ 12870 mod 251 ≡ 69 mod 251
Es gilt also: 9890 ≡ 69 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
