Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(285 - 3507) mod 7 ≡ (285 mod 7 - 3507 mod 7) mod 7.

285 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 285 = 280+5 = 7 ⋅ 40 +5.

3507 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3507 = 3500+7 = 7 ⋅ 500 +7.

Somit gilt:

(285 - 3507) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 60) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 60) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 157¹=157

2: 157²=157¹⁺¹=157¹⋅157¹ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 146 mod 229

4: 157⁴=157²⁺²=157²⋅157² ≡ 146⋅146=21316 ≡ 19 mod 229

8: 157⁸=157⁴⁺⁴=157⁴⋅157⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229

16: 157¹⁶=157⁸⁺⁸=157⁸⋅157⁸ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

32: 157³²=157¹⁶⁺¹⁶=157¹⁶⋅157¹⁶ ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

64: 157⁶⁴=157³²⁺³²=157³²⋅157³² ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229

128: 157¹²⁸=157⁶⁴⁺⁶⁴=157⁶⁴⋅157⁶⁴ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 3 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

504²¹⁴

= 504^{128+64+16+4+2}

= 504¹²⁸⋅504⁶⁴⋅504¹⁶⋅504⁴⋅504²

≡ 600 ⋅ 571 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
≡ 342600 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647 ≡ 337 ⋅ 369 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
≡ 124353 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647 ≡ 129 ⋅ 325 ⋅ 392 mod 647
≡ 41925 ⋅ 392 mod 647 ≡ 517 ⋅ 392 mod 647
≡ 202664 mod 647 ≡ 153 mod 647

Es gilt also: 504²¹⁴ ≡ 153 mod 647

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

=>59	= 1⋅39 + 20
=>39	= 1⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 39-1⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1)
20= 59-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39) = -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39

oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅59 = -3⋅39

-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39

-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1

(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1

56⋅39 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1

Somit 56⋅39 = 1 mod 59

56 ist also das Inverse von 39 mod 59