Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6004 - 180) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6004 - 180) mod 6 ≡ (6004 mod 6 - 180 mod 6) mod 6.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(6004 - 180) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 75) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (97 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (7 ⋅ 5) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28816 mod 569.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2881=288

2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569

4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 399 mod 569

8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 450 mod 569

16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 505 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 479162 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 4791=479

2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 514 mod 557

4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 178 mod 557

8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 492 mod 557

16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 326 mod 557

32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 446 mod 557

64: 47964=47932+32=47932⋅47932 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 67 mod 557

128: 479128=47964+64=47964⋅47964 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 33 mod 557

479162

= 479128+32+2

= 479128⋅47932⋅4792

33 ⋅ 446 ⋅ 514 mod 557
14718 ⋅ 514 mod 557 ≡ 236 ⋅ 514 mod 557
121304 mod 557 ≡ 435 mod 557

Es gilt also: 479162 ≡ 435 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61 = 1⋅48 + 13
=>48 = 3⋅13 + 9
=>13 = 1⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9)
= -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13)
= 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48)
= -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.