Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11999 + 606) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11999 + 606) mod 6 ≡ (11999 mod 6 + 606 mod 6) mod 6.
11999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999
= 12000
606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606
= 600
Somit gilt:
(11999 + 606) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 22) mod 3 ≡ (67 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 22) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2428 mod 701.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 381 mod 701
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 54 mod 701
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 112 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 334217 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 51 mod 769
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 294 mod 769
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 308 mod 769
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 277 mod 769
32: 33432=33416+16=33416⋅33416 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 598 mod 769
64: 33464=33432+32=33432⋅33432 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769
128: 334128=33464+64=33464⋅33464 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769
334217
= 334128+64+16+8+1
= 334128⋅33464⋅33416⋅3348⋅3341
≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 277 ⋅ 308 ⋅ 334 mod 769
≡ 6859 ⋅ 277 ⋅ 308 ⋅ 334 mod 769 ≡ 707 ⋅ 277 ⋅ 308 ⋅ 334 mod 769
≡ 195839 ⋅ 308 ⋅ 334 mod 769 ≡ 513 ⋅ 308 ⋅ 334 mod 769
≡ 158004 ⋅ 334 mod 769 ≡ 359 ⋅ 334 mod 769
≡ 119906 mod 769 ≡ 711 mod 769
Es gilt also: 334217 ≡ 711 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
