Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20997 - 280) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20997 - 280) mod 7 ≡ (20997 mod 7 - 280 mod 7) mod 7.

20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997 = 21000-3 = 7 ⋅ 3000 -3 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 4.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(20997 - 280) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 26) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 26) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 26) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46864 mod 593.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 468 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4681=468

2: 4682=4681+1=4681⋅4681 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 207 mod 593

4: 4684=4682+2=4682⋅4682 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 153 mod 593

8: 4688=4684+4=4684⋅4684 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 282 mod 593

16: 46816=4688+8=4688⋅4688 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 62 mod 593

32: 46832=46816+16=46816⋅46816 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593

64: 46864=46832+32=46832⋅46832 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 361167 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3611=361

2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 423 mod 607

4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 471 mod 607

8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 286 mod 607

16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 458 mod 607

32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 349 mod 607

64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 401 mod 607

128: 361128=36164+64=36164⋅36164 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 553 mod 607

361167

= 361128+32+4+2+1

= 361128⋅36132⋅3614⋅3612⋅3611

553 ⋅ 349 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
192997 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607 ≡ 578 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
272238 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607 ≡ 302 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
127746 ⋅ 361 mod 607 ≡ 276 ⋅ 361 mod 607
99636 mod 607 ≡ 88 mod 607

Es gilt also: 361167 ≡ 88 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67

=>101 = 1⋅67 + 34
=>67 = 1⋅34 + 33
=>34 = 1⋅33 + 1
=>33 = 33⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-1⋅33
33= 67-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34)
= -1⋅67 +2⋅ 34 (=1)
34= 101-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67)
= 2⋅101 -3⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67

oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅101 = -3⋅67

-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67

-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1

(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1

98⋅67 = 65⋅101 + 1

Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1

Somit 98⋅67 = 1 mod 101

98 ist also das Inverse von 67 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.