Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2098 - 2795) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2098 - 2795) mod 7 ≡ (2098 mod 7 - 2795 mod 7) mod 7.

2098 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2098 = 2100-2 = 7 ⋅ 300 -2 = 7 ⋅ 300 - 7 + 5.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

Somit gilt:

(2098 - 2795) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 37) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 37) mod 6 ≡ (17 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 37) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50916 mod 587.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 214 mod 587

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 10 mod 587

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 587

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 21 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41475 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 4141=414

2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 41 mod 797

4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 87 mod 797

8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 396 mod 797

16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 604 mod 797

32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 587 mod 797

64: 41464=41432+32=41432⋅41432 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 265 mod 797

41475

= 41464+8+2+1

= 41464⋅4148⋅4142⋅4141

265 ⋅ 396 ⋅ 41 ⋅ 414 mod 797
104940 ⋅ 41 ⋅ 414 mod 797 ≡ 533 ⋅ 41 ⋅ 414 mod 797
21853 ⋅ 414 mod 797 ≡ 334 ⋅ 414 mod 797
138276 mod 797 ≡ 395 mod 797

Es gilt also: 41475 ≡ 395 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71 = 2⋅25 + 21
=>25 = 1⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21)
= -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25)
= 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.