Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (198 - 20002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(198 - 20002) mod 4 ≡ (198 mod 4 - 20002 mod 4) mod 4.
198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198
= 200
20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
Somit gilt:
(198 - 20002) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 75) mod 3 ≡ (60 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 75) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48032 mod 821.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 480 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 520 mod 821
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 291 mod 821
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 118 mod 821
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 788 mod 821
32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 268 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84131 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 67 mod 241
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 151 mod 241
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241
32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
64: 8464=8432+32=8432⋅8432 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
128: 84128=8464+64=8464⋅8464 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
84131
= 84128+2+1
= 84128⋅842⋅841
≡ 94 ⋅ 67 ⋅ 84 mod 241
≡ 6298 ⋅ 84 mod 241 ≡ 32 ⋅ 84 mod 241
≡ 2688 mod 241 ≡ 37 mod 241
Es gilt also: 84131 ≡ 37 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 52
| =>89 | = 1⋅52 + 37 |
| =>52 | = 1⋅37 + 15 |
| =>37 | = 2⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 37-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15) = -2⋅37 +5⋅ 15 (=1) |
| 15= 52-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +5⋅(52 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅52 -5⋅ 37) = 5⋅52 -7⋅ 37 (=1) |
| 37= 89-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅52 -7⋅(89 -1⋅ 52)
= 5⋅52 -7⋅89 +7⋅ 52) = -7⋅89 +12⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,52)=1 = -7⋅89 +12⋅52
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +12⋅52
Es gilt also: 12⋅52 = 7⋅89 +1
Somit 12⋅52 = 1 mod 89
12 ist also das Inverse von 52 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
