Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29996 + 18000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29996 + 18000) mod 6 ≡ (29996 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.
29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996
= 30000
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
Somit gilt:
(29996 + 18000) mod 6 ≡ (2 + 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 61) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 61) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 61) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 802128 mod 983.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 802 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8021=802
2: 8022=8021+1=8021⋅8021 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 322 mod 983
4: 8024=8022+2=8022⋅8022 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 469 mod 983
8: 8028=8024+4=8024⋅8024 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 752 mod 983
16: 80216=8028+8=8028⋅8028 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 279 mod 983
32: 80232=80216+16=80216⋅80216 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 184 mod 983
64: 80264=80232+32=80232⋅80232 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 434 mod 983
128: 802128=80264+64=80264⋅80264 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 603 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259152 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 144 mod 271
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 140 mod 271
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 88 mod 271
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271
128: 259128=25964+64=25964⋅25964 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 160 mod 271
259152
= 259128+16+8
= 259128⋅25916⋅2598
≡ 160 ⋅ 156 ⋅ 88 mod 271
≡ 24960 ⋅ 88 mod 271 ≡ 28 ⋅ 88 mod 271
≡ 2464 mod 271 ≡ 25 mod 271
Es gilt also: 259152 ≡ 25 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29
| =>83 | = 2⋅29 + 25 |
| =>29 | = 1⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 29-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29) = 7⋅83 -20⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -20⋅29
-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29
-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1
(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1
63⋅29 = 22⋅83 + 1
Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1
Somit 63⋅29 = 1 mod 83
63 ist also das Inverse von 29 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
