Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(894 + 8995) mod 9 ≡ (894 mod 9 + 8995 mod 9) mod 9.

894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894 = 900-6 = 9 ⋅ 100 -6 = 9 ⋅ 100 - 9 + 3.

8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995 = 9000-5 = 9 ⋅ 1000 -5 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 4.

Somit gilt:

(894 + 8995) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 45) mod 7 ≡ (55 mod 7 ⋅ 45 mod 7) mod 7.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

45 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 6 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 45) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 303¹=303

2: 303²=303¹⁺¹=303¹⋅303¹ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 100 mod 313

4: 303⁴=303²⁺²=303²⋅303² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 297 mod 313

8: 303⁸=303⁴⁺⁴=303⁴⋅303⁴ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 256 mod 313

16: 303¹⁶=303⁸⁺⁸=303⁸⋅303⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

252²³⁸

= 252^{128+64+32+8+4+2}

= 252¹²⁸⋅252⁶⁴⋅252³²⋅252⁸⋅252⁴⋅252²

≡ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
≡ 20967 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 100 ⋅ 90 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
≡ 9000 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 57 ⋅ 87 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
≡ 4959 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271 ≡ 81 ⋅ 241 ⋅ 90 mod 271
≡ 19521 ⋅ 90 mod 271 ≡ 9 ⋅ 90 mod 271
≡ 810 mod 271 ≡ 268 mod 271

Es gilt also: 252²³⁸ ≡ 268 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71