Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3003 - 602) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3003 - 602) mod 6 ≡ (3003 mod 6 - 602 mod 6) mod 6.
3003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
602 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(3003 - 602) mod 6 ≡ (3 - 2) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 70) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 70) mod 9 ≡ (80 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.
80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.
70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 70) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21664 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 10 mod 281
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 281
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 165 mod 281
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 249 mod 281
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 181 mod 281
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 165 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 375251 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 3751=375
2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 543 mod 631
4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 172 mod 631
8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 558 mod 631
16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 281 mod 631
32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 86 mod 631
64: 37564=37532+32=37532⋅37532 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 455 mod 631
128: 375128=37564+64=37564⋅37564 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 57 mod 631
375251
= 375128+64+32+16+8+2+1
= 375128⋅37564⋅37532⋅37516⋅3758⋅3752⋅3751
≡ 57 ⋅ 455 ⋅ 86 ⋅ 281 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631
≡ 25935 ⋅ 86 ⋅ 281 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631 ≡ 64 ⋅ 86 ⋅ 281 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631
≡ 5504 ⋅ 281 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631 ≡ 456 ⋅ 281 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631
≡ 128136 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631 ≡ 43 ⋅ 558 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631
≡ 23994 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631 ≡ 16 ⋅ 543 ⋅ 375 mod 631
≡ 8688 ⋅ 375 mod 631 ≡ 485 ⋅ 375 mod 631
≡ 181875 mod 631 ≡ 147 mod 631
Es gilt also: 375251 ≡ 147 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77
| =>83 | = 1⋅77 + 6 |
| =>77 | = 12⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 77-12⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(77 -12⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅77 +12⋅ 6) = -1⋅77 +13⋅ 6 (=1) |
| 6= 83-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅77 +13⋅(83 -1⋅ 77)
= -1⋅77 +13⋅83 -13⋅ 77) = 13⋅83 -14⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,77)=1 = 13⋅83 -14⋅77
oder wenn man 13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅83 = -14⋅77
-14⋅77 = -13⋅83 + 1 |+83⋅77
-14⋅77 + 83⋅77 = -13⋅83 + 83⋅77 + 1
(-14 + 83) ⋅ 77 = (-13 + 77) ⋅ 83 + 1
69⋅77 = 64⋅83 + 1
Es gilt also: 69⋅77 = 64⋅83 +1
Somit 69⋅77 = 1 mod 83
69 ist also das Inverse von 77 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
