Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1599 + 2400) mod 8 ≡ (1599 mod 8 + 2400 mod 8) mod 8.

1599 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599 = 1600-1 = 8 ⋅ 200 -1 = 8 ⋅ 200 - 8 + 7.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(1599 + 2400) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 90) mod 5 ≡ (97 mod 5 ⋅ 90 mod 5) mod 5.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 90) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 498¹=498

2: 498²=498¹⁺¹=498¹⋅498¹ ≡ 498⋅498=248004 ≡ 452 mod 967

4: 498⁴=498²⁺²=498²⋅498² ≡ 452⋅452=204304 ≡ 267 mod 967

8: 498⁸=498⁴⁺⁴=498⁴⋅498⁴ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 698 mod 967

16: 498¹⁶=498⁸⁺⁸=498⁸⋅498⁸ ≡ 698⋅698=487204 ≡ 803 mod 967

32: 498³²=498¹⁶⁺¹⁶=498¹⁶⋅498¹⁶ ≡ 803⋅803=644809 ≡ 787 mod 967

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

435¹⁸⁶

= 435^{128+32+16+8+2}

= 435¹²⁸⋅435³²⋅435¹⁶⋅435⁸⋅435²

≡ 109 ⋅ 618 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
≡ 67362 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661 ≡ 601 ⋅ 51 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
≡ 30651 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661 ≡ 245 ⋅ 141 ⋅ 179 mod 661
≡ 34545 ⋅ 179 mod 661 ≡ 173 ⋅ 179 mod 661
≡ 30967 mod 661 ≡ 561 mod 661

Es gilt also: 435¹⁸⁶ ≡ 561 mod 661

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101