Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 - 402) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 - 402) mod 4 ≡ (197 mod 4 - 402 mod 4) mod 4.
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
402 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(197 - 402) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 16) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 16) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 16 mod 6) mod 6.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 16) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34416 mod 509.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 248 mod 509
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 424 mod 509
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 99 mod 509
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 130 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 593100 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 5931=593
2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 707 mod 773
4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 491 mod 773
8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 678 mod 773
16: 59316=5938+8=5938⋅5938 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 522 mod 773
32: 59332=59316+16=59316⋅59316 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 388 mod 773
64: 59364=59332+32=59332⋅59332 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 582 mod 773
593100
= 59364+32+4
= 59364⋅59332⋅5934
≡ 582 ⋅ 388 ⋅ 491 mod 773
≡ 225816 ⋅ 491 mod 773 ≡ 100 ⋅ 491 mod 773
≡ 49100 mod 773 ≡ 401 mod 773
Es gilt also: 593100 ≡ 401 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
