Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 - 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 - 3000) mod 3 ≡ (150 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(150 - 3000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 84) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 84) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 84 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 84) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 440128 mod 587.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 477 mod 587
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 360 mod 587
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 460 mod 587
16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 280 mod 587
32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 329 mod 587
64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 233 mod 587
128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 285 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 145241 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 241 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 241 an und zerlegen 241 in eine Summer von 2er-Potenzen:
241 = 128+64+32+16+1
1: 1451=145
2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 428 mod 479
4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 206 mod 479
8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 284 mod 479
16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 184 mod 479
32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 326 mod 479
64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 417 mod 479
128: 145128=14564+64=14564⋅14564 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 12 mod 479
145241
= 145128+64+32+16+1
= 145128⋅14564⋅14532⋅14516⋅1451
≡ 12 ⋅ 417 ⋅ 326 ⋅ 184 ⋅ 145 mod 479
≡ 5004 ⋅ 326 ⋅ 184 ⋅ 145 mod 479 ≡ 214 ⋅ 326 ⋅ 184 ⋅ 145 mod 479
≡ 69764 ⋅ 184 ⋅ 145 mod 479 ≡ 309 ⋅ 184 ⋅ 145 mod 479
≡ 56856 ⋅ 145 mod 479 ≡ 334 ⋅ 145 mod 479
≡ 48430 mod 479 ≡ 51 mod 479
Es gilt also: 145241 ≡ 51 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
