Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5997 - 12000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 12000) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(5997 - 12000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 100) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 100) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 100) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57932 mod 683.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 579 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5791=579

2: 5792=5791+1=5791⋅5791 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 571 mod 683

4: 5794=5792+2=5792⋅5792 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 250 mod 683

8: 5798=5794+4=5794⋅5794 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 347 mod 683

16: 57916=5798+8=5798⋅5798 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 201 mod 683

32: 57932=57916+16=57916⋅57916 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 104 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 264218 mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 2641=264

2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 672 mod 719

4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 52 mod 719

8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 547 mod 719

16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 105 mod 719

32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 240 mod 719

64: 26464=26432+32=26432⋅26432 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 80 mod 719

128: 264128=26464+64=26464⋅26464 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 648 mod 719

264218

= 264128+64+16+8+2

= 264128⋅26464⋅26416⋅2648⋅2642

648 ⋅ 80 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
51840 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719 ≡ 72 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
7560 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719 ≡ 370 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
202390 ⋅ 672 mod 719 ≡ 351 ⋅ 672 mod 719
235872 mod 719 ≡ 40 mod 719

Es gilt also: 264218 ≡ 40 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23

=>53 = 2⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 53-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23)
= 10⋅53 -23⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23

oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅53 = -23⋅23

-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23

-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1

(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1

30⋅23 = 13⋅53 + 1

Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1

Somit 30⋅23 = 1 mod 53

30 ist also das Inverse von 23 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.