Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 + 174) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 + 174) mod 9 ≡ (86 mod 9 + 174 mod 9) mod 9.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86
= 90
174 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174
= 180
Somit gilt:
(86 + 174) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 96) mod 7 ≡ (38 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 96) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32916 mod 491.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 221 mod 491
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 232 mod 491
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 305 mod 491
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 226 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 596202 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 5961=596
2: 5962=5961+1=5961⋅5961 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 482 mod 919
4: 5964=5962+2=5962⋅5962 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 736 mod 919
8: 5968=5964+4=5964⋅5964 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 405 mod 919
16: 59616=5968+8=5968⋅5968 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 443 mod 919
32: 59632=59616+16=59616⋅59616 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 502 mod 919
64: 59664=59632+32=59632⋅59632 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 198 mod 919
128: 596128=59664+64=59664⋅59664 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 606 mod 919
596202
= 596128+64+8+2
= 596128⋅59664⋅5968⋅5962
≡ 606 ⋅ 198 ⋅ 405 ⋅ 482 mod 919
≡ 119988 ⋅ 405 ⋅ 482 mod 919 ≡ 518 ⋅ 405 ⋅ 482 mod 919
≡ 209790 ⋅ 482 mod 919 ≡ 258 ⋅ 482 mod 919
≡ 124356 mod 919 ≡ 291 mod 919
Es gilt also: 596202 ≡ 291 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
