Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (159 + 3193) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(159 + 3193) mod 8 ≡ (159 mod 8 + 3193 mod 8) mod 8.

159 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 8 ⋅ 20 -1 = 8 ⋅ 20 - 8 + 7.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

Somit gilt:

(159 + 3193) mod 8 ≡ (7 + 1) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 65) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 65) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 65) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 184128 mod 239.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1841=184

2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 157 mod 239

4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239

64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239

128: 184128=18464+64=18464⋅18464 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 283115 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 2831=283

2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 277 mod 739

4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 612 mod 739

8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 610 mod 739

16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 383 mod 739

32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 367 mod 739

64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 191 mod 739

283115

= 28364+32+16+2+1

= 28364⋅28332⋅28316⋅2832⋅2831

191 ⋅ 367 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
70097 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739 ≡ 631 ⋅ 383 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
241673 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739 ≡ 20 ⋅ 277 ⋅ 283 mod 739
5540 ⋅ 283 mod 739 ≡ 367 ⋅ 283 mod 739
103861 mod 739 ≡ 401 mod 739

Es gilt also: 283115 ≡ 401 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83 = 2⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30)
= -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.