Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (274 + 36003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(274 + 36003) mod 9 ≡ (274 mod 9 + 36003 mod 9) mod 9.
274 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274
= 270
36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003
= 36000
Somit gilt:
(274 + 36003) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 19) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 19) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 19) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21364 mod 257.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 163168 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 1631=163
2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 98 mod 257
4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 95 mod 257
8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 30 mod 257
16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 30⋅30=900 ≡ 129 mod 257
32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257
64: 16364=16332+32=16332⋅16332 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257
128: 163128=16364+64=16364⋅16364 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257
163168
= 163128+32+8
= 163128⋅16332⋅1638
≡ 256 ⋅ 193 ⋅ 30 mod 257
≡ 49408 ⋅ 30 mod 257 ≡ 64 ⋅ 30 mod 257
≡ 1920 mod 257 ≡ 121 mod 257
Es gilt also: 163168 ≡ 121 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
