Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 3002) mod 6 ≡ (6000 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(6000 + 3002) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 46) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 46) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 96¹=96

2: 96²=96¹⁺¹=96¹⋅96¹ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 136 mod 227

4: 96⁴=96²⁺²=96²⋅96² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 109 mod 227

8: 96⁸=96⁴⁺⁴=96⁴⋅96⁴ ≡ 109⋅109=11881 ≡ 77 mod 227

16: 96¹⁶=96⁸⁺⁸=96⁸⋅96⁸ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 27 mod 227

32: 96³²=96¹⁶⁺¹⁶=96¹⁶⋅96¹⁶ ≡ 27⋅27=729 ≡ 48 mod 227

64: 96⁶⁴=96³²⁺³²=96³²⋅96³² ≡ 48⋅48=2304 ≡ 34 mod 227

128: 96¹²⁸=96⁶⁴⁺⁶⁴=96⁶⁴⋅96⁶⁴ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 21 mod 227

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

625¹⁷⁴

= 625^128+32+8+4+2

= 625¹²⁸⋅625³²⋅625⁸⋅625⁴⋅625²

≡ 470 ⋅ 769 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
≡ 361430 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919 ≡ 263 ⋅ 800 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
≡ 210400 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919 ≡ 868 ⋅ 662 ⋅ 50 mod 919
≡ 574616 ⋅ 50 mod 919 ≡ 241 ⋅ 50 mod 919
≡ 12050 mod 919 ≡ 103 mod 919

Es gilt also: 625¹⁷⁴ ≡ 103 mod 919

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63

=>79	= 1⋅63 + 16
=>63	= 3⋅16 + 15
=>16	= 1⋅15 + 1
=>15	= 15⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-1⋅15
15= 63-3⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16) = 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16) = -1⋅63 +4⋅ 16 (=1)
16= 79-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63) = -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63) = 4⋅79 -5⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -5⋅63

-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63

-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1

(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1

74⋅63 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1

Somit 74⋅63 = 1 mod 79

74 ist also das Inverse von 63 mod 79