Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 + 1005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 + 1005) mod 5 ≡ (54 mod 5 + 1005 mod 5) mod 5.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54
= 50
1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005
= 1000
Somit gilt:
(54 + 1005) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 43) mod 5 ≡ (21 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 43) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 927128 mod 929.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 927 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9271=927
2: 9272=9271+1=9271⋅9271 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 4 mod 929
4: 9274=9272+2=9272⋅9272 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 929
8: 9278=9274+4=9274⋅9274 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 929
16: 92716=9278+8=9278⋅9278 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 506 mod 929
32: 92732=92716+16=92716⋅92716 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 561 mod 929
64: 92764=92732+32=92732⋅92732 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929
128: 927128=92764+64=92764⋅92764 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 437 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39172 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 170 mod 691
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 569 mod 691
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 373 mod 691
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 238 mod 691
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 673 mod 691
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 324 mod 691
39172
= 39164+8
= 39164⋅3918
≡ 324 ⋅ 373 mod 691
≡ 120852 mod 691 ≡ 618 mod 691
Es gilt also: 39172 ≡ 618 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
