Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24999 + 254) mod 5 ≡ (24999 mod 5 + 254 mod 5) mod 5.

24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999 = 24000+999 = 5 ⋅ 4800 +999.

254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254 = 250+4 = 5 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(24999 + 254) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 83) mod 11 ≡ (22 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.

22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.

83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 83) mod 11 ≡ (0 ⋅ 6) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 353¹=353

2: 353²=353¹⁺¹=353¹⋅353¹ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 292 mod 727

4: 353⁴=353²⁺²=353²⋅353² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 205 mod 727

8: 353⁸=353⁴⁺⁴=353⁴⋅353⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 586 mod 727

16: 353¹⁶=353⁸⁺⁸=353⁸⋅353⁸ ≡ 586⋅586=343396 ≡ 252 mod 727

32: 353³²=353¹⁶⁺¹⁶=353¹⁶⋅353¹⁶ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 255 mod 727

64: 353⁶⁴=353³²⁺³²=353³²⋅353³² ≡ 255⋅255=65025 ≡ 322 mod 727

128: 353¹²⁸=353⁶⁴⁺⁶⁴=353⁶⁴⋅353⁶⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 450 mod 727

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

252²⁰⁴

= 252^128+64+8+4

= 252¹²⁸⋅252⁶⁴⋅252⁸⋅252⁴

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257
≡ 4096 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257 ≡ 241 ⋅ 242 ⋅ 111 mod 257
≡ 58322 ⋅ 111 mod 257 ≡ 240 ⋅ 111 mod 257
≡ 26640 mod 257 ≡ 169 mod 257

Es gilt also: 252²⁰⁴ ≡ 169 mod 257

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101