Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1803 + 236) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1803 + 236) mod 6 ≡ (1803 mod 6 + 236 mod 6) mod 6.
1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803
= 1800
236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236
= 240
Somit gilt:
(1803 + 236) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 93) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 93) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 93 mod 6) mod 6.
94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 93) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18216 mod 431.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 368 mod 431
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 90 mod 431
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 342 mod 431
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 163 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 272209 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 142 mod 397
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 314 mod 397
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397
16: 27216=2728+8=2728⋅2728 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397
32: 27232=27216+16=27216⋅27216 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397
64: 27264=27232+32=27232⋅27232 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397
128: 272128=27264+64=27264⋅27264 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397
272209
= 272128+64+16+1
= 272128⋅27264⋅27216⋅2721
≡ 110 ⋅ 260 ⋅ 147 ⋅ 272 mod 397
≡ 28600 ⋅ 147 ⋅ 272 mod 397 ≡ 16 ⋅ 147 ⋅ 272 mod 397
≡ 2352 ⋅ 272 mod 397 ≡ 367 ⋅ 272 mod 397
≡ 99824 mod 397 ≡ 177 mod 397
Es gilt also: 272209 ≡ 177 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
