Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3196 + 24002) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3196 + 24002) mod 8 ≡ (3196 mod 8 + 24002 mod 8) mod 8.
3196 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3196
= 3200
24002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002
= 24000
Somit gilt:
(3196 + 24002) mod 8 ≡ (4 + 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 89) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.
54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 89) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31816 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3181=318
2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 145 mod 419
4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419
8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 178 mod 419
16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 259 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 186165 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 1861=186
2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 164 mod 269
4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 265 mod 269
8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269
16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 269
32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 169 mod 269
64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 47 mod 269
128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 57 mod 269
186165
= 186128+32+4+1
= 186128⋅18632⋅1864⋅1861
≡ 57 ⋅ 169 ⋅ 265 ⋅ 186 mod 269
≡ 9633 ⋅ 265 ⋅ 186 mod 269 ≡ 218 ⋅ 265 ⋅ 186 mod 269
≡ 57770 ⋅ 186 mod 269 ≡ 204 ⋅ 186 mod 269
≡ 37944 mod 269 ≡ 15 mod 269
Es gilt also: 186165 ≡ 15 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 51
| =>97 | = 1⋅51 + 46 |
| =>51 | = 1⋅46 + 5 |
| =>46 | = 9⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 46-9⋅5 | |||
| 5= 51-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -9⋅(51 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -9⋅51 +9⋅ 46) = -9⋅51 +10⋅ 46 (=1) |
| 46= 97-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅51 +10⋅(97 -1⋅ 51)
= -9⋅51 +10⋅97 -10⋅ 51) = 10⋅97 -19⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,51)=1 = 10⋅97 -19⋅51
oder wenn man 10⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅97 = -19⋅51
-19⋅51 = -10⋅97 + 1 |+97⋅51
-19⋅51 + 97⋅51 = -10⋅97 + 97⋅51 + 1
(-19 + 97) ⋅ 51 = (-10 + 51) ⋅ 97 + 1
78⋅51 = 41⋅97 + 1
Es gilt also: 78⋅51 = 41⋅97 +1
Somit 78⋅51 = 1 mod 97
78 ist also das Inverse von 51 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
