Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1403 + 347) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1403 + 347) mod 7 ≡ (1403 mod 7 + 347 mod 7) mod 7.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

347 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 347 = 350-3 = 7 ⋅ 50 -3 = 7 ⋅ 50 - 7 + 4.

Somit gilt:

(1403 + 347) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 96) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 96) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 96) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3948 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 222 mod 433

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 355 mod 433

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 22 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 378136 mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:

136 = 128+8

1: 3781=378

2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 447 mod 601

4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 277 mod 601

8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 402 mod 601

16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 536 mod 601

32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 18 mod 601

64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 601

128: 378128=37864+64=37864⋅37864 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 402 mod 601

378136

= 378128+8

= 378128⋅3788

402 ⋅ 402 mod 601
161604 mod 601 ≡ 536 mod 601

Es gilt also: 378136 ≡ 536 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.