Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20001 + 12001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20001 + 12001) mod 4 ≡ (20001 mod 4 + 12001 mod 4) mod 4.
20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001
= 20000
12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(20001 + 12001) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 51) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 51) mod 6 ≡ (62 mod 6 ⋅ 51 mod 6) mod 6.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 51) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30932 mod 919.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 824 mod 919
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 824⋅824=678976 ≡ 754 mod 919
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 574 mod 919
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 474 mod 919
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 440 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34477 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 286 mod 787
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 735 mod 787
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 343 mod 787
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 386 mod 787
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 253 mod 787
64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 262 mod 787
34477
= 34464+8+4+1
= 34464⋅3448⋅3444⋅3441
≡ 262 ⋅ 343 ⋅ 735 ⋅ 344 mod 787
≡ 89866 ⋅ 735 ⋅ 344 mod 787 ≡ 148 ⋅ 735 ⋅ 344 mod 787
≡ 108780 ⋅ 344 mod 787 ≡ 174 ⋅ 344 mod 787
≡ 59856 mod 787 ≡ 44 mod 787
Es gilt also: 34477 ≡ 44 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.
Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71
| =>83 | = 1⋅71 + 12 |
| =>71 | = 5⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,71)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 71-5⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1) |
| 12= 83-1⋅71 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71
oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅83 = -7⋅71
-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71
-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1
(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1
76⋅71 = 65⋅83 + 1
Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1
Somit 76⋅71 = 1 mod 83
76 ist also das Inverse von 71 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
