Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35003 - 2094) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35003 - 2094) mod 7 ≡ (35003 mod 7 - 2094 mod 7) mod 7.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094 = 2100-6 = 7 ⋅ 300 -6 = 7 ⋅ 300 - 7 + 1.

Somit gilt:

(35003 - 2094) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 93) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 93) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 93 mod 7) mod 7.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 93) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 38932 mod 701.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 389 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3891=389

2: 3892=3891+1=3891⋅3891 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 606 mod 701

4: 3894=3892+2=3892⋅3892 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 613 mod 701

8: 3898=3894+4=3894⋅3894 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 33 mod 701

16: 38916=3898+8=3898⋅3898 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 388 mod 701

32: 38932=38916+16=38916⋅38916 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 530 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 71162 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 711=71

2: 712=711+1=711⋅711 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 188 mod 211

4: 714=712+2=712⋅712 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 107 mod 211

8: 718=714+4=714⋅714 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 55 mod 211

16: 7116=718+8=718⋅718 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 71 mod 211

32: 7132=7116+16=7116⋅7116 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 188 mod 211

64: 7164=7132+32=7132⋅7132 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 107 mod 211

128: 71128=7164+64=7164⋅7164 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 55 mod 211

71162

= 71128+32+2

= 71128⋅7132⋅712

55 ⋅ 188 ⋅ 188 mod 211
10340 ⋅ 188 mod 211 ≡ 1 ⋅ 188 mod 211
188 mod 211

Es gilt also: 71162 ≡ 188 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97 = 1⋅69 + 28
=>69 = 2⋅28 + 13
=>28 = 2⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13)
= -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28)
= 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69)
= -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.