Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (304 - 177) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(304 - 177) mod 6 ≡ (304 mod 6 - 177 mod 6) mod 6.
304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304
= 300
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
Somit gilt:
(304 - 177) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 90) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 90) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.
16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.
90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 90) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 441128 mod 563.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 246 mod 563
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 275 mod 563
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 183 mod 563
16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 272 mod 563
32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 231 mod 563
64: 44164=44132+32=44132⋅44132 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 439 mod 563
128: 441128=44164+64=44164⋅44164 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 175 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 274201 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 264 mod 317
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 273 mod 317
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 34 mod 317
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 205 mod 317
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 181 mod 317
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 110 mod 317
128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 54 mod 317
274201
= 274128+64+8+1
= 274128⋅27464⋅2748⋅2741
≡ 54 ⋅ 110 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317
≡ 5940 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317 ≡ 234 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317
≡ 7956 ⋅ 274 mod 317 ≡ 31 ⋅ 274 mod 317
≡ 8494 mod 317 ≡ 252 mod 317
Es gilt also: 274201 ≡ 252 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47
| =>101 | = 2⋅47 + 7 |
| =>47 | = 6⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-2⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47)
= 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47
oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅101 = +43⋅47
Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1
Somit 43⋅47 = 1 mod 101
43 ist also das Inverse von 47 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
