Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 + 1503) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 + 1503) mod 3 ≡ (89 mod 3 + 1503 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89
= 90
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
Somit gilt:
(89 + 1503) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 51) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 51) mod 9 ≡ (86 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 81 + 5 = 9 ⋅ 9 + 5 ist.
51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 51) mod 9 ≡ (5 ⋅ 6) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22416 mod 449.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 337 mod 449
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 421 mod 449
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 335 mod 449
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 461137 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 4611=461
2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 277 mod 769
4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 598 mod 769
8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769
16: 46116=4618+8=4618⋅4618 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769
32: 46132=46116+16=46116⋅46116 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769
64: 46164=46132+32=46132⋅46132 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769
128: 461128=46164+64=46164⋅46164 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769
461137
= 461128+8+1
= 461128⋅4618⋅4611
≡ 360 ⋅ 19 ⋅ 461 mod 769
≡ 6840 ⋅ 461 mod 769 ≡ 688 ⋅ 461 mod 769
≡ 317168 mod 769 ≡ 340 mod 769
Es gilt also: 461137 ≡ 340 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31
| =>89 | = 2⋅31 + 27 |
| =>31 | = 1⋅27 + 4 |
| =>27 | = 6⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 27-6⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4) = -1⋅27 +7⋅ 4 (=1) |
| 4= 31-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27) = 7⋅31 -8⋅ 27 (=1) |
| 27= 89-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31) = -8⋅89 +23⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31
oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅89 = +23⋅31
Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1
Somit 23⋅31 = 1 mod 89
23 ist also das Inverse von 31 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
