Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (211 - 7001) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(211 - 7001) mod 7 ≡ (211 mod 7 - 7001 mod 7) mod 7.
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
7001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7001
= 7000
Somit gilt:
(211 - 7001) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 21) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 21) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27932 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 279 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 672 mod 887
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 101 mod 887
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 444 mod 887
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 222 mod 887
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 499 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 541159 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 5411=541
2: 5412=5411+1=5411⋅5411 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 709 mod 839
4: 5414=5412+2=5412⋅5412 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 120 mod 839
8: 5418=5414+4=5414⋅5414 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 137 mod 839
16: 54116=5418+8=5418⋅5418 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 311 mod 839
32: 54132=54116+16=54116⋅54116 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 236 mod 839
64: 54164=54132+32=54132⋅54132 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 322 mod 839
128: 541128=54164+64=54164⋅54164 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 487 mod 839
541159
= 541128+16+8+4+2+1
= 541128⋅54116⋅5418⋅5414⋅5412⋅5411
≡ 487 ⋅ 311 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 151457 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 437 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 59869 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 300 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 36000 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 762 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 540258 ⋅ 541 mod 839 ≡ 781 ⋅ 541 mod 839
≡ 422521 mod 839 ≡ 504 mod 839
Es gilt also: 541159 ≡ 504 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
