Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 + 12002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 12002) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 12002 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(3000 + 12002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 49) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 49) mod 10 ≡ (98 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 49) mod 10 ≡ (8 ⋅ 9) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43932 mod 587.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 439 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4391=439

2: 4392=4391+1=4391⋅4391 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 185 mod 587

4: 4394=4392+2=4392⋅4392 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 179 mod 587

8: 4398=4394+4=4394⋅4394 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 343 mod 587

16: 43916=4398+8=4398⋅4398 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 249 mod 587

32: 43932=43916+16=43916⋅43916 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 366 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 283188 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:

188 = 128+32+16+8+4

1: 2831=283

2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 232 mod 467

4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 119 mod 467

8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 151 mod 467

16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 385 mod 467

32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 186 mod 467

64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 38 mod 467

128: 283128=28364+64=28364⋅28364 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 43 mod 467

283188

= 283128+32+16+8+4

= 283128⋅28332⋅28316⋅2838⋅2834

43 ⋅ 186 ⋅ 385 ⋅ 151 ⋅ 119 mod 467
7998 ⋅ 385 ⋅ 151 ⋅ 119 mod 467 ≡ 59 ⋅ 385 ⋅ 151 ⋅ 119 mod 467
22715 ⋅ 151 ⋅ 119 mod 467 ≡ 299 ⋅ 151 ⋅ 119 mod 467
45149 ⋅ 119 mod 467 ≡ 317 ⋅ 119 mod 467
37723 mod 467 ≡ 363 mod 467

Es gilt also: 283188 ≡ 363 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52

=>61 = 1⋅52 + 9
=>52 = 5⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 52-5⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9)
= 4⋅52 -23⋅ 9 (=1)
9= 61-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52)
= -23⋅61 +27⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52

oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅61 = +27⋅52

Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1

Somit 27⋅52 = 1 mod 61

27 ist also das Inverse von 52 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.