Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1996 - 120) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1996 - 120) mod 4 ≡ (1996 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.
1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(1996 - 120) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 33) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 33) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 33 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 33) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1118 mod 317.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 275 mod 317
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 179 mod 317
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 24 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70074 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 698 mod 967
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 803 mod 967
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 787 mod 967
16: 70016=7008+8=7008⋅7008 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 489 mod 967
32: 70032=70016+16=70016⋅70016 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 272 mod 967
64: 70064=70032+32=70032⋅70032 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 492 mod 967
70074
= 70064+8+2
= 70064⋅7008⋅7002
≡ 492 ⋅ 787 ⋅ 698 mod 967
≡ 387204 ⋅ 698 mod 967 ≡ 404 ⋅ 698 mod 967
≡ 281992 mod 967 ≡ 595 mod 967
Es gilt also: 70074 ≡ 595 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
