Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24999 + 97) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24999 + 97) mod 5 ≡ (24999 mod 5 + 97 mod 5) mod 5.

24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999 = 24000+999 = 5 ⋅ 4800 +999.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90+7 = 5 ⋅ 18 +7.

Somit gilt:

(24999 + 97) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 91) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 91) mod 4 ≡ (80 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 91) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86416 mod 883.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 864 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8641=864

2: 8642=8641+1=8641⋅8641 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 361 mod 883

4: 8644=8642+2=8642⋅8642 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 520 mod 883

8: 8648=8644+4=8644⋅8644 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 202 mod 883

16: 86416=8648+8=8648⋅8648 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 186 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 378102 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 3781=378

2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 505 mod 823

4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 718 mod 823

8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 326 mod 823

16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 109 mod 823

32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 359 mod 823

64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 493 mod 823

378102

= 37864+32+4+2

= 37864⋅37832⋅3784⋅3782

493 ⋅ 359 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823
176987 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823 ≡ 42 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823
30156 ⋅ 505 mod 823 ≡ 528 ⋅ 505 mod 823
266640 mod 823 ≡ 811 mod 823

Es gilt also: 378102 ≡ 811 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53 = 1⋅38 + 15
=>38 = 2⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15)
= 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38)
= -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.