Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1596 + 3997) mod 4 ≡ (1596 mod 4 + 3997 mod 4) mod 4.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 3000+997 = 4 ⋅ 750 +997.

Somit gilt:

(1596 + 3997) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 80) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 661¹=661

2: 661²=661¹⁺¹=661¹⋅661¹ ≡ 661⋅661=436921 ≡ 243 mod 863

4: 661⁴=661²⁺²=661²⋅661² ≡ 243⋅243=59049 ≡ 365 mod 863

8: 661⁸=661⁴⁺⁴=661⁴⋅661⁴ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 323 mod 863

16: 661¹⁶=661⁸⁺⁸=661⁸⋅661⁸ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 769 mod 863

32: 661³²=661¹⁶⁺¹⁶=661¹⁶⋅661¹⁶ ≡ 769⋅769=591361 ≡ 206 mod 863

64: 661⁶⁴=661³²⁺³²=661³²⋅661³² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 149 mod 863

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

149¹⁵¹

= 149^128+16+4+2+1

= 149¹²⁸⋅149¹⁶⋅149⁴⋅149²⋅149¹

≡ 274 ⋅ 212 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 58088 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311 ≡ 242 ⋅ 94 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 22748 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311 ≡ 45 ⋅ 120 ⋅ 149 mod 311
≡ 5400 ⋅ 149 mod 311 ≡ 113 ⋅ 149 mod 311
≡ 16837 mod 311 ≡ 43 mod 311

Es gilt also: 149¹⁵¹ ≡ 43 mod 311

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67	= 1⋅46 + 21
=>46	= 2⋅21 + 4
=>21	= 5⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21) = 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46) = -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67