Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2700 - 4498) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2700 - 4498) mod 9 ≡ (2700 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.
2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700
= 2700
4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498
= 4500
Somit gilt:
(2700 - 4498) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 42) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 42) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 42) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33764 mod 397.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 27 mod 397
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 27⋅27=729 ≡ 332 mod 397
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 255 mod 397
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 314 mod 397
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40485 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 4041=404
2: 4042=4041+1=4041⋅4041 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 461 mod 757
4: 4044=4042+2=4042⋅4042 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 561 mod 757
8: 4048=4044+4=4044⋅4044 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 566 mod 757
16: 40416=4048+8=4048⋅4048 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 145 mod 757
32: 40432=40416+16=40416⋅40416 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 586 mod 757
64: 40464=40432+32=40432⋅40432 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 475 mod 757
40485
= 40464+16+4+1
= 40464⋅40416⋅4044⋅4041
≡ 475 ⋅ 145 ⋅ 561 ⋅ 404 mod 757
≡ 68875 ⋅ 561 ⋅ 404 mod 757 ≡ 745 ⋅ 561 ⋅ 404 mod 757
≡ 417945 ⋅ 404 mod 757 ≡ 81 ⋅ 404 mod 757
≡ 32724 mod 757 ≡ 173 mod 757
Es gilt also: 40485 ≡ 173 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
