Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1406 - 14005) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1406 - 14005) mod 7 ≡ (1406 mod 7 - 14005 mod 7) mod 7.

1406 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1406 = 1400+6 = 7 ⋅ 200 +6.

14005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14005 = 14000+5 = 7 ⋅ 2000 +5.

Somit gilt:

(1406 - 14005) mod 7 ≡ (6 - 5) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 45) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 45) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 45 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 9 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 45) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2858 mod 409.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2851=285

2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 243 mod 409

4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 153 mod 409

8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 96 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 268233 mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

1: 2681=268

2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 223 mod 823

4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 349 mod 823

8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 820 mod 823

16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 820⋅820=672400 ≡ 9 mod 823

32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 823

64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 800 mod 823

128: 268128=26864+64=26864⋅26864 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 529 mod 823

268233

= 268128+64+32+8+1

= 268128⋅26864⋅26832⋅2688⋅2681

529 ⋅ 800 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
423200 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823 ≡ 178 ⋅ 81 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
14418 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823 ≡ 427 ⋅ 820 ⋅ 268 mod 823
350140 ⋅ 268 mod 823 ≡ 365 ⋅ 268 mod 823
97820 mod 823 ≡ 706 mod 823

Es gilt also: 268233 ≡ 706 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71 = 1⋅53 + 18
=>53 = 2⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18)
= -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53)
= 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.