Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 - 349) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 - 349) mod 7 ≡ (64 mod 7 - 349 mod 7) mod 7.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64
= 70
349 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 349
= 350
Somit gilt:
(64 - 349) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 72) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 72) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 72 mod 9) mod 9.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 72) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 72416 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 724 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7241=724
2: 7242=7241+1=7241⋅7241 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 753 mod 809
4: 7244=7242+2=7242⋅7242 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 709 mod 809
8: 7248=7244+4=7244⋅7244 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 292 mod 809
16: 72416=7248+8=7248⋅7248 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 319 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299185 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 85 mod 827
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 609 mod 827
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 385 mod 827
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 192 mod 827
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 476 mod 827
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 805 mod 827
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 484 mod 827
299185
= 299128+32+16+8+1
= 299128⋅29932⋅29916⋅2998⋅2991
≡ 484 ⋅ 476 ⋅ 192 ⋅ 385 ⋅ 299 mod 827
≡ 230384 ⋅ 192 ⋅ 385 ⋅ 299 mod 827 ≡ 478 ⋅ 192 ⋅ 385 ⋅ 299 mod 827
≡ 91776 ⋅ 385 ⋅ 299 mod 827 ≡ 806 ⋅ 385 ⋅ 299 mod 827
≡ 310310 ⋅ 299 mod 827 ≡ 185 ⋅ 299 mod 827
≡ 55315 mod 827 ≡ 733 mod 827
Es gilt also: 299185 ≡ 733 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
