Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 + 1203) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 + 1203) mod 6 ≡ (54 mod 6 + 1203 mod 6) mod 6.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54
= 60
1203 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(54 + 1203) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 54) mod 5 ≡ (21 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 54) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19664 mod 211.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 14 mod 211
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 211
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 14 mod 211
16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 211
32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 14 mod 211
64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25882 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:
82 = 64+16+2
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 275 mod 439
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 117 mod 439
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 80 mod 439
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 254 mod 439
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 422 mod 439
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 289 mod 439
25882
= 25864+16+2
= 25864⋅25816⋅2582
≡ 289 ⋅ 254 ⋅ 275 mod 439
≡ 73406 ⋅ 275 mod 439 ≡ 93 ⋅ 275 mod 439
≡ 25575 mod 439 ≡ 113 mod 439
Es gilt also: 25882 ≡ 113 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 45
| =>61 | = 1⋅45 + 16 |
| =>45 | = 2⋅16 + 13 |
| =>16 | = 1⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 16-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(16 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅16 +4⋅ 13) = -4⋅16 +5⋅ 13 (=1) |
| 13= 45-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅16 +5⋅(45 -2⋅ 16)
= -4⋅16 +5⋅45 -10⋅ 16) = 5⋅45 -14⋅ 16 (=1) |
| 16= 61-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -14⋅(61 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -14⋅61 +14⋅ 45) = -14⋅61 +19⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,45)=1 = -14⋅61 +19⋅45
oder wenn man -14⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅61 = +19⋅45
Es gilt also: 19⋅45 = 14⋅61 +1
Somit 19⋅45 = 1 mod 61
19 ist also das Inverse von 45 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
