Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44994 - 173) mod 9 ≡ (44994 mod 9 - 173 mod 9) mod 9.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173 = 180-7 = 9 ⋅ 20 -7 = 9 ⋅ 20 - 9 + 2.

Somit gilt:

(44994 - 173) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 21) mod 5 ≡ (34 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 752¹=752

2: 752²=752¹⁺¹=752¹⋅752¹ ≡ 752⋅752=565504 ≡ 25 mod 757

4: 752⁴=752²⁺²=752²⋅752² ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 757

8: 752⁸=752⁴⁺⁴=752⁴⋅752⁴ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 13 mod 757

16: 752¹⁶=752⁸⁺⁸=752⁸⋅752⁸ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 757

32: 752³²=752¹⁶⁺¹⁶=752¹⁶⋅752¹⁶ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 552 mod 757

64: 752⁶⁴=752³²⁺³²=752³²⋅752³² ≡ 552⋅552=304704 ≡ 390 mod 757

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

287¹⁵⁸

= 287^128+16+8+4+2

= 287¹²⁸⋅287¹⁶⋅287⁸⋅287⁴⋅287²

≡ 227 ⋅ 30 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 6810 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367 ≡ 204 ⋅ 146 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 29784 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367 ≡ 57 ⋅ 231 ⋅ 161 mod 367
≡ 13167 ⋅ 161 mod 367 ≡ 322 ⋅ 161 mod 367
≡ 51842 mod 367 ≡ 95 mod 367

Es gilt also: 287¹⁵⁸ ≡ 95 mod 367

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48

=>53	= 1⋅48 + 5
=>48	= 9⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 53-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48) = 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48) = -19⋅53 +21⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +21⋅48

Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1

Somit 21⋅48 = 1 mod 53

21 ist also das Inverse von 48 mod 53