Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(317 + 8007) mod 8 ≡ (317 mod 8 + 8007 mod 8) mod 8.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007 = 8000+7 = 8 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(317 + 8007) mod 8 ≡ (5 + 7) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 34) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 34) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 211¹=211

2: 211²=211¹⁺¹=211¹⋅211¹ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 221 mod 443

4: 211⁴=211²⁺²=211²⋅211² ≡ 221⋅221=48841 ≡ 111 mod 443

8: 211⁸=211⁴⁺⁴=211⁴⋅211⁴ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 360 mod 443

16: 211¹⁶=211⁸⁺⁸=211⁸⋅211⁸ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 244 mod 443

32: 211³²=211¹⁶⁺¹⁶=211¹⁶⋅211¹⁶ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 174 mod 443

64: 211⁶⁴=211³²⁺³²=211³²⋅211³² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443

128: 211¹²⁸=211⁶⁴⁺⁶⁴=211⁶⁴⋅211⁶⁴ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

546¹⁴⁷

= 546^128+16+2+1

= 546¹²⁸⋅546¹⁶⋅546²⋅546¹

≡ 723 ⋅ 768 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839
≡ 555264 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839 ≡ 685 ⋅ 271 ⋅ 546 mod 839
≡ 185635 ⋅ 546 mod 839 ≡ 216 ⋅ 546 mod 839
≡ 117936 mod 839 ≡ 476 mod 839

Es gilt also: 546¹⁴⁷ ≡ 476 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37

=>67	= 1⋅37 + 30
=>37	= 1⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 37-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1)
30= 67-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37) = 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37

oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅67 = +29⋅37

Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1

Somit 29⋅37 = 1 mod 67

29 ist also das Inverse von 37 mod 67