Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 2996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 2996) mod 6 ≡ (12000 mod 6 + 2996 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(12000 + 2996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 80) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 80) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 80 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 80) mod 10 ≡ (9 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 461128 mod 641.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 461 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4611=461

2: 4612=4611+1=4611⋅4611 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 350 mod 641

4: 4614=4612+2=4612⋅4612 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 69 mod 641

8: 4618=4614+4=4614⋅4614 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

16: 46116=4618+8=4618⋅4618 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

32: 46132=46116+16=46116⋅46116 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

64: 46164=46132+32=46132⋅46132 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

128: 461128=46164+64=46164⋅46164 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14483 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:

83 = 64+16+2+1

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 285 mod 401

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 223 mod 401

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 5 mod 401

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 401

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401

64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401

14483

= 14464+16+2+1

= 14464⋅14416⋅1442⋅1441

51 ⋅ 25 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401
1275 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401 ≡ 72 ⋅ 285 ⋅ 144 mod 401
20520 ⋅ 144 mod 401 ≡ 69 ⋅ 144 mod 401
9936 mod 401 ≡ 312 mod 401

Es gilt also: 14483 ≡ 312 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71 = 1⋅54 + 17
=>54 = 3⋅17 + 3
=>17 = 5⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3)
= -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17)
= 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54)
= -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.