Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3607 - 8994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3607 - 8994) mod 9 ≡ (3607 mod 9 - 8994 mod 9) mod 9.
3607 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3607
= 3600
8994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8994
= 9000
Somit gilt:
(3607 - 8994) mod 9 ≡ (7 - 3) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 75) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 75) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 75) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 72316 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 723 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7231=723
2: 7232=7231+1=7231⋅7231 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 33 mod 751
4: 7234=7232+2=7232⋅7232 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 338 mod 751
8: 7238=7234+4=7234⋅7234 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 92 mod 751
16: 72316=7238+8=7238⋅7238 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 203 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 336140 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:
140 = 128+8+4
1: 3361=336
2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 568 mod 739
4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 420 mod 739
8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 518 mod 739
16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 67 mod 739
32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 55 mod 739
64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 69 mod 739
128: 336128=33664+64=33664⋅33664 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 327 mod 739
336140
= 336128+8+4
= 336128⋅3368⋅3364
≡ 327 ⋅ 518 ⋅ 420 mod 739
≡ 169386 ⋅ 420 mod 739 ≡ 155 ⋅ 420 mod 739
≡ 65100 mod 739 ≡ 68 mod 739
Es gilt also: 336140 ≡ 68 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23
| =>73 | = 3⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 73-3⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23) = 6⋅73 -19⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23
oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅73 = -19⋅23
-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23
-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1
(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1
54⋅23 = 17⋅73 + 1
Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1
Somit 54⋅23 = 1 mod 73
54 ist also das Inverse von 23 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
