Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 + 3001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 + 3001) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
Somit gilt:
(60 + 3001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 26) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 26) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 26 mod 7) mod 7.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 26) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64664 mod 839.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 646 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6461=646
2: 6462=6461+1=6461⋅6461 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 333 mod 839
4: 6464=6462+2=6462⋅6462 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 141 mod 839
8: 6468=6464+4=6464⋅6464 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 584 mod 839
16: 64616=6468+8=6468⋅6468 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 422 mod 839
32: 64632=64616+16=64616⋅64616 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 216 mod 839
64: 64664=64632+32=64632⋅64632 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 511 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 344115 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 845 mod 971
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 340 mod 971
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 51 mod 971
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 659 mod 971
32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 244 mod 971
64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 305 mod 971
344115
= 34464+32+16+2+1
= 34464⋅34432⋅34416⋅3442⋅3441
≡ 305 ⋅ 244 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 74420 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971 ≡ 624 ⋅ 659 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 411216 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971 ≡ 483 ⋅ 845 ⋅ 344 mod 971
≡ 408135 ⋅ 344 mod 971 ≡ 315 ⋅ 344 mod 971
≡ 108360 mod 971 ≡ 579 mod 971
Es gilt also: 344115 ≡ 579 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
