Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2001 + 20001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2001 + 20001) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 20001 mod 4) mod 4.
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001
= 20000
Somit gilt:
(2001 + 20001) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 36) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 36) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 36 mod 5) mod 5.
51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 36) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45232 mod 677.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,677) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4521=452
2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 527 mod 677
4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 159 mod 677
8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 232 mod 677
16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 341 mod 677
32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 514 mod 677
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266118 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 25 mod 271
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 25⋅25=625 ≡ 83 mod 271
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 114 mod 271
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 259 mod 271
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 144 mod 271
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 140 mod 271
266118
= 26664+32+16+4+2
= 26664⋅26632⋅26616⋅2664⋅2662
≡ 140 ⋅ 144 ⋅ 259 ⋅ 83 ⋅ 25 mod 271
≡ 20160 ⋅ 259 ⋅ 83 ⋅ 25 mod 271 ≡ 106 ⋅ 259 ⋅ 83 ⋅ 25 mod 271
≡ 27454 ⋅ 83 ⋅ 25 mod 271 ≡ 83 ⋅ 83 ⋅ 25 mod 271
≡ 6889 ⋅ 25 mod 271 ≡ 114 ⋅ 25 mod 271
≡ 2850 mod 271 ≡ 140 mod 271
Es gilt also: 266118 ≡ 140 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43
| =>83 | = 1⋅43 + 40 |
| =>43 | = 1⋅40 + 3 |
| =>40 | = 13⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 40-13⋅3 | |||
| 3= 43-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1) |
| 40= 83-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43
oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅83 = -27⋅43
-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43
-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1
(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1
56⋅43 = 29⋅83 + 1
Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1
Somit 56⋅43 = 1 mod 83
56 ist also das Inverse von 43 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
