Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9001 - 147) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9001 - 147) mod 3 ≡ (9001 mod 3 - 147 mod 3) mod 3.

9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 3 ⋅ 3000 +1.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9001 - 147) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 81) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 81) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 81) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15116 mod 347.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 151 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1511=151

2: 1512=1511+1=1511⋅1511 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 246 mod 347

4: 1514=1512+2=1512⋅1512 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 138 mod 347

8: 1518=1514+4=1514⋅1514 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 306 mod 347

16: 15116=1518+8=1518⋅1518 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 293 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 355228 mod 991.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 168 mod 991

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 476 mod 991

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 628 mod 991

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 957 mod 991

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 957⋅957=915849 ≡ 165 mod 991

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 468 mod 991

128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 13 mod 991

355228

= 355128+64+32+4

= 355128⋅35564⋅35532⋅3554

13 ⋅ 468 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991
6084 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991 ≡ 138 ⋅ 165 ⋅ 476 mod 991
22770 ⋅ 476 mod 991 ≡ 968 ⋅ 476 mod 991
460768 mod 991 ≡ 944 mod 991

Es gilt also: 355228 ≡ 944 mod 991

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.