Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 - 1201) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 1201) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.

123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 3 ⋅ 40 +3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(123 - 1201) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 39) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 39) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 39 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 39) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2028 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 202 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2021=202

2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 483 mod 661

4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 617 mod 661

8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 614 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 770128 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:

128 = 128

1: 7701=770

2: 7702=7701+1=7701⋅7701 ≡ 770⋅770=592900 ≡ 566 mod 839

4: 7704=7702+2=7702⋅7702 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 697 mod 839

8: 7708=7704+4=7704⋅7704 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 28 mod 839

16: 77016=7708+8=7708⋅7708 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 839

32: 77032=77016+16=77016⋅77016 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 508 mod 839

64: 77064=77032+32=77032⋅77032 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 491 mod 839

128: 770128=77064+64=77064⋅77064 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 288 mod 839

770128

= 770128

= 770128

288 mod 839

Es gilt also: 770128 ≡ 288 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36

=>67 = 1⋅36 + 31
=>36 = 1⋅31 + 5
=>31 = 6⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-6⋅5
5= 36-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31)
= -6⋅36 +7⋅ 31 (=1)
31= 67-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36)
= 7⋅67 -13⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -13⋅36

-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36

-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1

(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1

54⋅36 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1

Somit 54⋅36 = 1 mod 67

54 ist also das Inverse von 36 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.