Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1802 - 45005) mod 9 ≡ (1802 mod 9 - 45005 mod 9) mod 9.

1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 9 ⋅ 200 +2.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(1802 - 45005) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 51) mod 7 ≡ (80 mod 7 ⋅ 51 mod 7) mod 7.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

51 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 49 + 2 = 7 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 51) mod 7 ≡ (3 ⋅ 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 207¹=207

2: 207²=207¹⁺¹=207¹⋅207¹ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 150 mod 331

4: 207⁴=207²⁺²=207²⋅207² ≡ 150⋅150=22500 ≡ 323 mod 331

8: 207⁸=207⁴⁺⁴=207⁴⋅207⁴ ≡ 323⋅323=104329 ≡ 64 mod 331

16: 207¹⁶=207⁸⁺⁸=207⁸⋅207⁸ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 124 mod 331

32: 207³²=207¹⁶⁺¹⁶=207¹⁶⋅207¹⁶ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 150 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

890¹²²

= 890^64+32+16+8+2

= 890⁶⁴⋅890³²⋅890¹⁶⋅890⁸⋅890²

≡ 270 ⋅ 821 ⋅ 141 ⋅ 440 ⋅ 157 mod 953
≡ 221670 ⋅ 141 ⋅ 440 ⋅ 157 mod 953 ≡ 574 ⋅ 141 ⋅ 440 ⋅ 157 mod 953
≡ 80934 ⋅ 440 ⋅ 157 mod 953 ≡ 882 ⋅ 440 ⋅ 157 mod 953
≡ 388080 ⋅ 157 mod 953 ≡ 209 ⋅ 157 mod 953
≡ 32813 mod 953 ≡ 411 mod 953

Es gilt also: 890¹²² ≡ 411 mod 953

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59