Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18006 - 182) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18006 - 182) mod 9 ≡ (18006 mod 9 - 182 mod 9) mod 9.
18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
182 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
Somit gilt:
(18006 - 182) mod 9 ≡ (6 - 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 42) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 42) mod 7 ≡ (53 mod 7 ⋅ 42 mod 7) mod 7.
53 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 49 + 4 = 7 ⋅ 7 + 4 ist.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 42) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59964 mod 613.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 599 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5991=599
2: 5992=5991+1=5991⋅5991 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 196 mod 613
4: 5994=5992+2=5992⋅5992 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 410 mod 613
8: 5998=5994+4=5994⋅5994 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 138 mod 613
16: 59916=5998+8=5998⋅5998 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 41 mod 613
32: 59932=59916+16=59916⋅59916 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 455 mod 613
64: 59964=59932+32=59932⋅59932 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 444 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26778 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 2671=267
2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 351 mod 563
4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 467 mod 563
8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 208 mod 563
16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 476 mod 563
32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 250 mod 563
64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 7 mod 563
26778
= 26764+8+4+2
= 26764⋅2678⋅2674⋅2672
≡ 7 ⋅ 208 ⋅ 467 ⋅ 351 mod 563
≡ 1456 ⋅ 467 ⋅ 351 mod 563 ≡ 330 ⋅ 467 ⋅ 351 mod 563
≡ 154110 ⋅ 351 mod 563 ≡ 411 ⋅ 351 mod 563
≡ 144261 mod 563 ≡ 133 mod 563
Es gilt also: 26778 ≡ 133 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
