Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1999 + 255) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1999 + 255) mod 5 ≡ (1999 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.

1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 5 ⋅ 380 +99.

255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255 = 250+5 = 5 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(1999 + 255) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 21) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 21) mod 4 ≡ (53 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.

53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 21) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 359.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2451=245

2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 72 mod 359

4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 158 mod 359

8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 193 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 418224 mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 4181=418

2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 119 mod 743

4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 44 mod 743

8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 450 mod 743

16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 404 mod 743

32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 499 mod 743

64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 96 mod 743

128: 418128=41864+64=41864⋅41864 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 300 mod 743

418224

= 418128+64+32

= 418128⋅41864⋅41832

300 ⋅ 96 ⋅ 499 mod 743
28800 ⋅ 499 mod 743 ≡ 566 ⋅ 499 mod 743
282434 mod 743 ≡ 94 mod 743

Es gilt also: 418224 ≡ 94 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

=>61 = 2⋅21 + 19
=>21 = 1⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19)
= -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 61-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21)
= 10⋅61 -29⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -29⋅21

-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21

-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1

(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1

32⋅21 = 11⋅61 + 1

Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1

Somit 32⋅21 = 1 mod 61

32 ist also das Inverse von 21 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.