Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (325 + 315) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(325 + 315) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 315 mod 8) mod 8.

325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325 = 320+5 = 8 ⋅ 40 +5.

315 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 315 = 320-5 = 8 ⋅ 40 -5 = 8 ⋅ 40 - 8 + 3.

Somit gilt:

(325 + 315) mod 8 ≡ (5 + 3) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 23) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 23) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 23) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2188 mod 307.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2181=218

2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 246 mod 307

4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 37 mod 307

8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 141 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 296138 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:

138 = 128+8+2

1: 2961=296

2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 68 mod 509

4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 43 mod 509

8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 322 mod 509

16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 357 mod 509

32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 199 mod 509

64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509

128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509

296138

= 296128+8+2

= 296128⋅2968⋅2962

21 ⋅ 322 ⋅ 68 mod 509
6762 ⋅ 68 mod 509 ≡ 145 ⋅ 68 mod 509
9860 mod 509 ≡ 189 mod 509

Es gilt also: 296138 ≡ 189 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

=>67 = 2⋅24 + 19
=>24 = 1⋅19 + 5
=>19 = 3⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 19-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5)
= -1⋅19 +4⋅ 5 (=1)
5= 24-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19)
= 4⋅24 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24)
= -5⋅67 +14⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +14⋅24

Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1

Somit 14⋅24 = 1 mod 67

14 ist also das Inverse von 24 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.