Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (136 - 134) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(136 - 134) mod 7 ≡ (136 mod 7 - 134 mod 7) mod 7.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

134 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 134 = 140-6 = 7 ⋅ 20 -6 = 7 ⋅ 20 - 7 + 1.

Somit gilt:

(136 - 134) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 97) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 97) mod 10 ≡ (97 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 97) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32516 mod 881.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3251=325

2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 786 mod 881

4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 215 mod 881

8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 413 mod 881

16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 147170 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 1471=147

2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 200 mod 271

4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 163 mod 271

8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 11 mod 271

16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 271

32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 7 mod 271

64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 271

128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271

147170

= 147128+32+8+2

= 147128⋅14732⋅1478⋅1472

233 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 200 mod 271
1631 ⋅ 11 ⋅ 200 mod 271 ≡ 5 ⋅ 11 ⋅ 200 mod 271
55 ⋅ 200 mod 271
11000 mod 271 ≡ 160 mod 271

Es gilt also: 147170 ≡ 160 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36

=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -25⋅36

-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36

-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1

(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1

28⋅36 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1

Somit 28⋅36 = 1 mod 53

28 ist also das Inverse von 36 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.