Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6006 - 30004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6006 - 30004) mod 6 ≡ (6006 mod 6 - 30004 mod 6) mod 6.
6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006
= 6000
30004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30004
= 30000
Somit gilt:
(6006 - 30004) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 19) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 19) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 19 mod 10) mod 10.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 19) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7008 mod 947.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 700 -> x
2. mod(x²,947) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 401 mod 947
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 758 mod 947
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 682 mod 947
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 94771 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 9471=947
2: 9472=9471+1=9471⋅9471 ≡ 947⋅947=896809 ≡ 945 mod 991
4: 9474=9472+2=9472⋅9472 ≡ 945⋅945=893025 ≡ 134 mod 991
8: 9478=9474+4=9474⋅9474 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 118 mod 991
16: 94716=9478+8=9478⋅9478 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 50 mod 991
32: 94732=94716+16=94716⋅94716 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 518 mod 991
64: 94764=94732+32=94732⋅94732 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 754 mod 991
94771
= 94764+4+2+1
= 94764⋅9474⋅9472⋅9471
≡ 754 ⋅ 134 ⋅ 945 ⋅ 947 mod 991
≡ 101036 ⋅ 945 ⋅ 947 mod 991 ≡ 945 ⋅ 945 ⋅ 947 mod 991
≡ 893025 ⋅ 947 mod 991 ≡ 134 ⋅ 947 mod 991
≡ 126898 mod 991 ≡ 50 mod 991
Es gilt also: 94771 ≡ 50 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
