Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(304 - 177) mod 6 ≡ (304 mod 6 - 177 mod 6) mod 6.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 6 ⋅ 30 -3 = 6 ⋅ 30 - 6 + 3.

Somit gilt:

(304 - 177) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 90) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 90) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 441¹=441

2: 441²=441¹⁺¹=441¹⋅441¹ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 246 mod 563

4: 441⁴=441²⁺²=441²⋅441² ≡ 246⋅246=60516 ≡ 275 mod 563

8: 441⁸=441⁴⁺⁴=441⁴⋅441⁴ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 183 mod 563

16: 441¹⁶=441⁸⁺⁸=441⁸⋅441⁸ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 272 mod 563

32: 441³²=441¹⁶⁺¹⁶=441¹⁶⋅441¹⁶ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 231 mod 563

64: 441⁶⁴=441³²⁺³²=441³²⋅441³² ≡ 231⋅231=53361 ≡ 439 mod 563

128: 441¹²⁸=441⁶⁴⁺⁶⁴=441⁶⁴⋅441⁶⁴ ≡ 439⋅439=192721 ≡ 175 mod 563

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

274²⁰¹

= 274^128+64+8+1

= 274¹²⁸⋅274⁶⁴⋅274⁸⋅274¹

≡ 54 ⋅ 110 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317
≡ 5940 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317 ≡ 234 ⋅ 34 ⋅ 274 mod 317
≡ 7956 ⋅ 274 mod 317 ≡ 31 ⋅ 274 mod 317
≡ 8494 mod 317 ≡ 252 mod 317

Es gilt also: 274²⁰¹ ≡ 252 mod 317

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 47

=>101	= 2⋅47 + 7
=>47	= 6⋅7 + 5
=>7	= 1⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅7 +3⋅(47 -6⋅ 7) = -2⋅7 +3⋅47 -18⋅ 7) = 3⋅47 -20⋅ 7 (=1)
7= 101-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -20⋅(101 -2⋅ 47) = 3⋅47 -20⋅101 +40⋅ 47) = -20⋅101 +43⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(101,47)=1 = -20⋅101 +43⋅47

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +43⋅47

Es gilt also: 43⋅47 = 20⋅101 +1

Somit 43⋅47 = 1 mod 101

43 ist also das Inverse von 47 mod 101