Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (318 + 78) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(318 + 78) mod 8 ≡ (318 mod 8 + 78 mod 8) mod 8.
318 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 318
= 320
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
Somit gilt:
(318 + 78) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 58) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 58) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 58) mod 11 ≡ (6 ⋅ 3) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17216 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 172 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1721=172
2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 408 mod 521
4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 265 mod 521
8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 411 mod 521
16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 117 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 298136 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 136 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 136 an und zerlegen 136 in eine Summer von 2er-Potenzen:
136 = 128+8
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 478 mod 701
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 659 mod 701
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 659⋅659=434281 ≡ 362 mod 701
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 658 mod 701
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 447 mod 701
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 24 mod 701
128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 701
298136
= 298128+8
= 298128⋅2988
≡ 576 ⋅ 362 mod 701
≡ 208512 mod 701 ≡ 315 mod 701
Es gilt also: 298136 ≡ 315 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27
| =>59 | = 2⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -24⋅27
-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27
-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1
(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1
35⋅27 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1
Somit 35⋅27 = 1 mod 59
35 ist also das Inverse von 27 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
