Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2405 - 1593) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2405 - 1593) mod 8 ≡ (2405 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.

2405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 8 ⋅ 300 +5.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(2405 - 1593) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 81) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 81) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 81) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 821.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5041=504

2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 327 mod 821

4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 199 mod 821

8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 193 mod 821

16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 304 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 459142 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 727 mod 929

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 857 mod 929

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929

32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929

64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 561 mod 929

128: 459128=45964+64=45964⋅45964 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929

459142

= 459128+8+4+2

= 459128⋅4598⋅4594⋅4592

719 ⋅ 539 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929
387541 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929 ≡ 148 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929
126836 ⋅ 727 mod 929 ≡ 492 ⋅ 727 mod 929
357684 mod 929 ≡ 19 mod 929

Es gilt also: 459142 ≡ 19 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89 = 1⋅76 + 13
=>76 = 5⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13)
= 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76)
= -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.