Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 + 35006) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 + 35006) mod 7 ≡ (77 mod 7 + 35006 mod 7) mod 7.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70+7 = 7 ⋅ 10 +7.

35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006 = 35000+6 = 7 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(77 + 35006) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 61) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 61) mod 6 ≡ (22 mod 6 ⋅ 61 mod 6) mod 6.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 61) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 420128 mod 439.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 420 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4201=420

2: 4202=4201+1=4201⋅4201 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 361 mod 439

4: 4204=4202+2=4202⋅4202 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 377 mod 439

8: 4208=4204+4=4204⋅4204 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 332 mod 439

16: 42016=4208+8=4208⋅4208 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 35 mod 439

32: 42032=42016+16=42016⋅42016 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 347 mod 439

64: 42064=42032+32=42032⋅42032 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 123 mod 439

128: 420128=42064+64=42064⋅42064 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 203 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 274129 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 2741=274

2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 383 mod 661

4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 608 mod 661

8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 165 mod 661

16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 124 mod 661

32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 173 mod 661

64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 184 mod 661

128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 145 mod 661

274129

= 274128+1

= 274128⋅2741

145 ⋅ 274 mod 661
39730 mod 661 ≡ 70 mod 661

Es gilt also: 274129 ≡ 70 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83 = 1⋅63 + 20
=>63 = 3⋅20 + 3
=>20 = 6⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3)
= -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20)
= 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63)
= -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.