Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 + 3001) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 + 3001) mod 3 ≡ (60 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
Somit gilt:
(60 + 3001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22416 mod 401.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 131250 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 93 mod 251
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 115 mod 251
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 173 mod 251
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 60 mod 251
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 86 mod 251
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 117 mod 251
128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 135 mod 251
131250
= 131128+64+32+16+8+2
= 131128⋅13164⋅13132⋅13116⋅1318⋅1312
≡ 135 ⋅ 117 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 15795 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 233 ⋅ 86 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 20038 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 209 ⋅ 60 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 12540 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251 ≡ 241 ⋅ 173 ⋅ 93 mod 251
≡ 41693 ⋅ 93 mod 251 ≡ 27 ⋅ 93 mod 251
≡ 2511 mod 251 ≡ 1 mod 251
Es gilt also: 131250 ≡ 1 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
