Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 - 2396) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 - 2396) mod 6 ≡ (18000 mod 6 - 2396 mod 6) mod 6.
18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396
= 2400
Somit gilt:
(18000 - 2396) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 83) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 83) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.
35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.
83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 83) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 65516 mod 733.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 655 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6551=655
2: 6552=6551+1=6551⋅6551 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733
4: 6554=6552+2=6552⋅6552 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733
8: 6558=6554+4=6554⋅6554 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 733
16: 65516=6558+8=6558⋅6558 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 429 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 614113 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:
113 = 64+32+16+1
1: 6141=614
2: 6142=6141+1=6141⋅6141 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 561 mod 953
4: 6144=6142+2=6142⋅6142 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 231 mod 953
8: 6148=6144+4=6144⋅6144 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 946 mod 953
16: 61416=6148+8=6148⋅6148 ≡ 946⋅946=894916 ≡ 49 mod 953
32: 61432=61416+16=61416⋅61416 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 495 mod 953
64: 61464=61432+32=61432⋅61432 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 104 mod 953
614113
= 61464+32+16+1
= 61464⋅61432⋅61416⋅6141
≡ 104 ⋅ 495 ⋅ 49 ⋅ 614 mod 953
≡ 51480 ⋅ 49 ⋅ 614 mod 953 ≡ 18 ⋅ 49 ⋅ 614 mod 953
≡ 882 ⋅ 614 mod 953
≡ 541548 mod 953 ≡ 244 mod 953
Es gilt also: 614113 ≡ 244 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
