Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1807 + 363) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1807 + 363) mod 9 ≡ (1807 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.
1807 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1807
= 1800
363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363
= 360
Somit gilt:
(1807 + 363) mod 9 ≡ (7 + 3) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 62) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.
67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 62) mod 10 ≡ (7 ⋅ 2) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6218 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 621 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6211=621
2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 477 mod 823
4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 381 mod 823
8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 313 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 188158 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 1881=188
2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 170 mod 409
4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 270 mod 409
8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 98 mod 409
16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 197 mod 409
32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409
64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 71 mod 409
128: 188128=18864+64=18864⋅18864 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 133 mod 409
188158
= 188128+16+8+4+2
= 188128⋅18816⋅1888⋅1884⋅1882
≡ 133 ⋅ 197 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
≡ 26201 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409 ≡ 25 ⋅ 98 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
≡ 2450 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409 ≡ 405 ⋅ 270 ⋅ 170 mod 409
≡ 109350 ⋅ 170 mod 409 ≡ 147 ⋅ 170 mod 409
≡ 24990 mod 409 ≡ 41 mod 409
Es gilt also: 188158 ≡ 41 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
