Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24004 - 234) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24004 - 234) mod 6 ≡ (24004 mod 6 - 234 mod 6) mod 6.
24004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
Somit gilt:
(24004 - 234) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 18) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 18) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 18 mod 11) mod 11.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 18) mod 11 ≡ (8 ⋅ 7) mod 11 ≡ 56 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2948 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2941=294
2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 136 mod 863
4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 373 mod 863
8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 186 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 236102 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 166 mod 617
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 408 mod 617
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 451 mod 617
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 408 mod 617
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 491 mod 617
236102
= 23664+32+4+2
= 23664⋅23632⋅2364⋅2362
≡ 491 ⋅ 408 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617
≡ 200328 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617 ≡ 420 ⋅ 408 ⋅ 166 mod 617
≡ 171360 ⋅ 166 mod 617 ≡ 451 ⋅ 166 mod 617
≡ 74866 mod 617 ≡ 209 mod 617
Es gilt also: 236102 ≡ 209 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37
| =>71 | = 1⋅37 + 34 |
| =>37 | = 1⋅34 + 3 |
| =>34 | = 11⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 34-11⋅3 | |||
| 3= 37-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1) |
| 34= 71-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37
oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅71 = -23⋅37
-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37
-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1
(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1
48⋅37 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1
Somit 48⋅37 = 1 mod 71
48 ist also das Inverse von 37 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
