Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(897 + 18007) mod 9 ≡ (897 mod 9 + 18007 mod 9) mod 9.

897 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 9 ⋅ 100 -3 = 9 ⋅ 100 - 9 + 6.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(897 + 18007) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 79) mod 11 ≡ (97 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 79) mod 11 ≡ (9 ⋅ 2) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 490¹=490

2: 490²=490¹⁺¹=490¹⋅490¹ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 358 mod 701

4: 490⁴=490²⁺²=490²⋅490² ≡ 358⋅358=128164 ≡ 582 mod 701

8: 490⁸=490⁴⁺⁴=490⁴⋅490⁴ ≡ 582⋅582=338724 ≡ 141 mod 701

16: 490¹⁶=490⁸⁺⁸=490⁸⋅490⁸ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 253 mod 701

32: 490³²=490¹⁶⁺¹⁶=490¹⁶⋅490¹⁶ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 218 mod 701

64: 490⁶⁴=490³²⁺³²=490³²⋅490³² ≡ 218⋅218=47524 ≡ 557 mod 701

128: 490¹²⁸=490⁶⁴⁺⁶⁴=490⁶⁴⋅490⁶⁴ ≡ 557⋅557=310249 ≡ 407 mod 701

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

460¹³³

= 460^128+4+1

= 460¹²⁸⋅460⁴⋅460¹

≡ 38 ⋅ 48 ⋅ 460 mod 599
≡ 1824 ⋅ 460 mod 599 ≡ 27 ⋅ 460 mod 599
≡ 12420 mod 599 ≡ 440 mod 599

Es gilt also: 460¹³³ ≡ 440 mod 599

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59