Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 - 393) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 - 393) mod 8 ≡ (16001 mod 8 - 393 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393
= 400
Somit gilt:
(16001 - 393) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 34) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 34) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 34 mod 10) mod 10.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 34) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45532 mod 821.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 455 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4551=455
2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 133 mod 821
4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 448 mod 821
8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 380 mod 821
16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 725 mod 821
32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 185 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 285152 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 153 mod 563
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 326 mod 563
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 432 mod 563
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 271 mod 563
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 251 mod 563
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 508 mod 563
128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 210 mod 563
285152
= 285128+16+8
= 285128⋅28516⋅2858
≡ 210 ⋅ 271 ⋅ 432 mod 563
≡ 56910 ⋅ 432 mod 563 ≡ 47 ⋅ 432 mod 563
≡ 20304 mod 563 ≡ 36 mod 563
Es gilt also: 285152 ≡ 36 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59
| =>101 | = 1⋅59 + 42 |
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
| 42= 101-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59) = -7⋅101 +12⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59
oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅101 = +12⋅59
Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1
Somit 12⋅59 = 1 mod 101
12 ist also das Inverse von 59 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
