Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 12002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 12002) mod 3 ≡ (122 mod 3 - 12002 mod 3) mod 3.
122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(122 - 12002) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 95) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 95) mod 10 ≡ (72 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.
72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 95) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17616 mod 457.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 176 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 357 mod 457
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 403 mod 457
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 174 mod 457
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 114 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 806184 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 8061=806
2: 8062=8061+1=8061⋅8061 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 656 mod 877
4: 8064=8062+2=8062⋅8062 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 606 mod 877
8: 8068=8064+4=8064⋅8064 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 650 mod 877
16: 80616=8068+8=8068⋅8068 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 663 mod 877
32: 80632=80616+16=80616⋅80616 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 192 mod 877
64: 80664=80632+32=80632⋅80632 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 30 mod 877
128: 806128=80664+64=80664⋅80664 ≡ 30⋅30=900 ≡ 23 mod 877
806184
= 806128+32+16+8
= 806128⋅80632⋅80616⋅8068
≡ 23 ⋅ 192 ⋅ 663 ⋅ 650 mod 877
≡ 4416 ⋅ 663 ⋅ 650 mod 877 ≡ 31 ⋅ 663 ⋅ 650 mod 877
≡ 20553 ⋅ 650 mod 877 ≡ 382 ⋅ 650 mod 877
≡ 248300 mod 877 ≡ 109 mod 877
Es gilt also: 806184 ≡ 109 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
