Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 1205) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 1205) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 1205 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(1200 - 1205) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 88) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 88) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 88) mod 11 ≡ (4 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8178 mod 977.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 817 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8171=817

2: 8172=8171+1=8171⋅8171 ≡ 817⋅817=667489 ≡ 198 mod 977

4: 8174=8172+2=8172⋅8172 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 124 mod 977

8: 8178=8174+4=8174⋅8174 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 721 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 875150 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 150 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 150 an und zerlegen 150 in eine Summer von 2er-Potenzen:

150 = 128+16+4+2

1: 8751=875

2: 8752=8751+1=8751⋅8751 ≡ 875⋅875=765625 ≡ 803 mod 1009

4: 8754=8752+2=8752⋅8752 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 58 mod 1009

8: 8758=8754+4=8754⋅8754 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 337 mod 1009

16: 87516=8758+8=8758⋅8758 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 561 mod 1009

32: 87532=87516+16=87516⋅87516 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 922 mod 1009

64: 87564=87532+32=87532⋅87532 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 506 mod 1009

128: 875128=87564+64=87564⋅87564 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009

875150

= 875128+16+4+2

= 875128⋅87516⋅8754⋅8752

759 ⋅ 561 ⋅ 58 ⋅ 803 mod 1009
425799 ⋅ 58 ⋅ 803 mod 1009 ≡ 1 ⋅ 58 ⋅ 803 mod 1009
58 ⋅ 803 mod 1009
46574 mod 1009 ≡ 160 mod 1009

Es gilt also: 875150 ≡ 160 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.