Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (205 + 7004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(205 + 7004) mod 7 ≡ (205 mod 7 + 7004 mod 7) mod 7.
205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205
= 210
7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004
= 7000
Somit gilt:
(205 + 7004) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 53) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 53) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 53 mod 6) mod 6.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 53) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23464 mod 457.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2341=234
2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 373 mod 457
4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 201 mod 457
8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 185 mod 457
16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 407 mod 457
32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 215 mod 457
64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 68 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 357216 mod 443.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 308 mod 443
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 62 mod 443
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 300 mod 443
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 71 mod 443
32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 168 mod 443
64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 315 mod 443
128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 436 mod 443
357216
= 357128+64+16+8
= 357128⋅35764⋅35716⋅3578
≡ 436 ⋅ 315 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443
≡ 137340 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443 ≡ 10 ⋅ 71 ⋅ 300 mod 443
≡ 710 ⋅ 300 mod 443 ≡ 267 ⋅ 300 mod 443
≡ 80100 mod 443 ≡ 360 mod 443
Es gilt also: 357216 ≡ 360 mod 443
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 57.
Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57
| =>67 | = 1⋅57 + 10 |
| =>57 | = 5⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,57)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 57-5⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10) = 3⋅57 -17⋅ 10 (=1) |
| 10= 67-1⋅57 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57)
= 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57) = -17⋅67 +20⋅ 57 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +20⋅57
Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1
Somit 20⋅57 = 1 mod 67
20 ist also das Inverse von 57 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
