Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (171 - 1795) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(171 - 1795) mod 9 ≡ (171 mod 9 - 1795 mod 9) mod 9.
171 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 171
= 180
1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795
= 1800
Somit gilt:
(171 - 1795) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 76) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.
32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 76) mod 7 ≡ (4 ⋅ 6) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15432 mod 367.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 154 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1541=154
2: 1542=1541+1=1541⋅1541 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 228 mod 367
4: 1544=1542+2=1542⋅1542 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 237 mod 367
8: 1548=1544+4=1544⋅1544 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 18 mod 367
16: 15416=1548+8=1548⋅1548 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 367
32: 15432=15416+16=15416⋅15416 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 14 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 401108 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 336 mod 479
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 331 mod 479
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 349 mod 479
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 135 mod 479
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 23 mod 479
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 23⋅23=529 ≡ 50 mod 479
401108
= 40164+32+8+4
= 40164⋅40132⋅4018⋅4014
≡ 50 ⋅ 23 ⋅ 349 ⋅ 331 mod 479
≡ 1150 ⋅ 349 ⋅ 331 mod 479 ≡ 192 ⋅ 349 ⋅ 331 mod 479
≡ 67008 ⋅ 331 mod 479 ≡ 427 ⋅ 331 mod 479
≡ 141337 mod 479 ≡ 32 mod 479
Es gilt also: 401108 ≡ 32 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47
| =>67 | = 1⋅47 + 20 |
| =>47 | = 2⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 47-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1) |
| 20= 67-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47
oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅67 = +10⋅47
Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1
Somit 10⋅47 = 1 mod 67
10 ist also das Inverse von 47 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
