Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (149 + 122) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(149 + 122) mod 3 ≡ (149 mod 3 + 122 mod 3) mod 3.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(149 + 122) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 56) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 56) mod 8 ≡ (23 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 56) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3238 mod 431.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 323 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 27 mod 431

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 27⋅27=729 ≡ 298 mod 431

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 18 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 836174 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 8361=836

2: 8362=8361+1=8361⋅8361 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 288 mod 929

4: 8364=8362+2=8362⋅8362 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 263 mod 929

8: 8368=8364+4=8364⋅8364 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 423 mod 929

16: 83616=8368+8=8368⋅8368 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 561 mod 929

32: 83632=83616+16=83616⋅83616 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929

64: 83664=83632+32=83632⋅83632 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 437 mod 929

128: 836128=83664+64=83664⋅83664 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 524 mod 929

836174

= 836128+32+8+4+2

= 836128⋅83632⋅8368⋅8364⋅8362

524 ⋅ 719 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
376756 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929 ≡ 511 ⋅ 423 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
216153 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929 ≡ 625 ⋅ 263 ⋅ 288 mod 929
164375 ⋅ 288 mod 929 ≡ 871 ⋅ 288 mod 929
250848 mod 929 ≡ 18 mod 929

Es gilt also: 836174 ≡ 18 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97 = 2⋅47 + 3
=>47 = 15⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3)
= -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47)
= 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.