Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 - 321) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 321 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

321 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 321 = 320+1 = 8 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(3207 - 321) mod 8 ≡ (7 - 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 60) mod 4 ≡ (100 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 60) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 469¹=469

2: 469²=469¹⁺¹=469¹⋅469¹ ≡ 469⋅469=219961 ≡ 754 mod 821

4: 469⁴=469²⁺²=469²⋅469² ≡ 754⋅754=568516 ≡ 384 mod 821

8: 469⁸=469⁴⁺⁴=469⁴⋅469⁴ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 497 mod 821

16: 469¹⁶=469⁸⁺⁸=469⁸⋅469⁸ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 709 mod 821

32: 469³²=469¹⁶⁺¹⁶=469¹⁶⋅469¹⁶ ≡ 709⋅709=502681 ≡ 229 mod 821

64: 469⁶⁴=469³²⁺³²=469³²⋅469³² ≡ 229⋅229=52441 ≡ 718 mod 821

128: 469¹²⁸=469⁶⁴⁺⁶⁴=469⁶⁴⋅469⁶⁴ ≡ 718⋅718=515524 ≡ 757 mod 821

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

615⁶²

= 615^32+16+8+4+2

= 615³²⋅615¹⁶⋅615⁸⋅615⁴⋅615²

≡ 233 ⋅ 672 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
≡ 156576 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751 ≡ 368 ⋅ 77 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
≡ 28336 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751 ≡ 549 ⋅ 488 ⋅ 472 mod 751
≡ 267912 ⋅ 472 mod 751 ≡ 556 ⋅ 472 mod 751
≡ 262432 mod 751 ≡ 333 mod 751

Es gilt also: 615⁶² ≡ 333 mod 751

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73	= 1⋅50 + 23
=>50	= 2⋅23 + 4
=>23	= 5⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23) = -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50) = 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73