Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32007 + 2398) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32007 + 2398) mod 8 ≡ (32007 mod 8 + 2398 mod 8) mod 8.
32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007
= 32000
2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398
= 2400
Somit gilt:
(32007 + 2398) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 15) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 15) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.
55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.
15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 15) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191128 mod 331.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 71 mod 331
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 76 mod 331
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 149 mod 331
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 24 mod 331
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 24⋅24=576 ≡ 245 mod 331
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 114 mod 331
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 87 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29166 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 136 mod 457
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 216 mod 457
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 42 mod 457
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 393 mod 457
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 440 mod 457
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457
29166
= 29164+2
= 29164⋅2912
≡ 289 ⋅ 136 mod 457
≡ 39304 mod 457 ≡ 2 mod 457
Es gilt also: 29166 ≡ 2 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55
| =>97 | = 1⋅55 + 42 |
| =>55 | = 1⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 55-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1) |
| 42= 97-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +30⋅55
Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1
Somit 30⋅55 = 1 mod 97
30 ist also das Inverse von 55 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
