Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2405 - 1593) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2405 - 1593) mod 8 ≡ (2405 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.
2405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405
= 2400
1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593
= 1600
Somit gilt:
(2405 - 1593) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 81) mod 9 ≡ (27 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 81) mod 9 ≡ (0 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50416 mod 821.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 504 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5041=504
2: 5042=5041+1=5041⋅5041 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 327 mod 821
4: 5044=5042+2=5042⋅5042 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 199 mod 821
8: 5048=5044+4=5044⋅5044 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 193 mod 821
16: 50416=5048+8=5048⋅5048 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 304 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 459142 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:
142 = 128+8+4+2
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 727 mod 929
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 857 mod 929
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
64: 45964=45932+32=45932⋅45932 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 561 mod 929
128: 459128=45964+64=45964⋅45964 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 719 mod 929
459142
= 459128+8+4+2
= 459128⋅4598⋅4594⋅4592
≡ 719 ⋅ 539 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929
≡ 387541 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929 ≡ 148 ⋅ 857 ⋅ 727 mod 929
≡ 126836 ⋅ 727 mod 929 ≡ 492 ⋅ 727 mod 929
≡ 357684 mod 929 ≡ 19 mod 929
Es gilt also: 459142 ≡ 19 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
