Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 2404) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 2404) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 2404 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
2404 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404
= 2400
Somit gilt:
(2997 + 2404) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 80) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 80) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 80 mod 9) mod 9.
73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.
80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 80) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26116 mod 563.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 261 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 561 mod 563
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 4 mod 563
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 563
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 287183 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 2871=287
2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 380 mod 503
4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 39 mod 503
8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 12 mod 503
16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 503
32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 113 mod 503
64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 194 mod 503
128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 414 mod 503
287183
= 287128+32+16+4+2+1
= 287128⋅28732⋅28716⋅2874⋅2872⋅2871
≡ 414 ⋅ 113 ⋅ 144 ⋅ 39 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503
≡ 46782 ⋅ 144 ⋅ 39 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503 ≡ 3 ⋅ 144 ⋅ 39 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503
≡ 432 ⋅ 39 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503
≡ 16848 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503 ≡ 249 ⋅ 380 ⋅ 287 mod 503
≡ 94620 ⋅ 287 mod 503 ≡ 56 ⋅ 287 mod 503
≡ 16072 mod 503 ≡ 479 mod 503
Es gilt also: 287183 ≡ 479 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
