Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4498 - 1798) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4498 - 1798) mod 9 ≡ (4498 mod 9 - 1798 mod 9) mod 9.
4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498
= 4500
1798 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1798
= 1800
Somit gilt:
(4498 - 1798) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 90) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 90 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 90) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22816 mod 601.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 298 mod 601
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 457 mod 601
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 302 mod 601
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 453 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 326178 mod 373.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 3261=326
2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 344 mod 373
4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 95 mod 373
8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 73 mod 373
16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 107 mod 373
32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 259 mod 373
64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 314 mod 373
128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 124 mod 373
326178
= 326128+32+16+2
= 326128⋅32632⋅32616⋅3262
≡ 124 ⋅ 259 ⋅ 107 ⋅ 344 mod 373
≡ 32116 ⋅ 107 ⋅ 344 mod 373 ≡ 38 ⋅ 107 ⋅ 344 mod 373
≡ 4066 ⋅ 344 mod 373 ≡ 336 ⋅ 344 mod 373
≡ 115584 mod 373 ≡ 327 mod 373
Es gilt also: 326178 ≡ 327 mod 373
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38
| =>97 | = 2⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 97-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38) = -9⋅97 +23⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38
oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅97 = +23⋅38
Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1
Somit 23⋅38 = 1 mod 97
23 ist also das Inverse von 38 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
