Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8004 - 20000) mod 4 ≡ (8004 mod 4 - 20000 mod 4) mod 4.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(8004 - 20000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 66) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.

67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 66) mod 11 ≡ (1 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 337¹=337

2: 337²=337¹⁺¹=337¹⋅337¹ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 421 mod 449

4: 337⁴=337²⁺²=337²⋅337² ≡ 421⋅421=177241 ≡ 335 mod 449

8: 337⁸=337⁴⁺⁴=337⁴⋅337⁴ ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449

16: 337¹⁶=337⁸⁺⁸=337⁸⋅337⁸ ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

945¹⁷⁵

= 945^{128+32+8+4+2+1}

= 945¹²⁸⋅945³²⋅945⁸⋅945⁴⋅945²⋅945¹

≡ 570 ⋅ 542 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
≡ 308940 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 867 ⋅ 362 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
≡ 313854 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 796 ⋅ 615 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
≡ 489540 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997 ≡ 13 ⋅ 710 ⋅ 945 mod 997
≡ 9230 ⋅ 945 mod 997 ≡ 257 ⋅ 945 mod 997
≡ 242865 mod 997 ≡ 594 mod 997

Es gilt also: 945¹⁷⁵ ≡ 594 mod 997

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

=>67	= 1⋅58 + 9
=>58	= 6⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 58-6⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58) = -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -15⋅58

-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58

-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1

(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1

52⋅58 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1

Somit 52⋅58 = 1 mod 67

52 ist also das Inverse von 58 mod 67