Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 - 186) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 - 186) mod 6 ≡ (2997 mod 6 - 186 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186
= 180
Somit gilt:
(2997 - 186) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 85) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 85) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.
85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 85) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55932 mod 809.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 559 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5591=559
2: 5592=5591+1=5591⋅5591 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 207 mod 809
4: 5594=5592+2=5592⋅5592 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 781 mod 809
8: 5598=5594+4=5594⋅5594 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 784 mod 809
16: 55916=5598+8=5598⋅5598 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 625 mod 809
32: 55932=55916+16=55916⋅55916 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 687 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 152189 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 1521=152
2: 1522=1521+1=1521⋅1521 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 159 mod 353
4: 1524=1522+2=1522⋅1522 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 218 mod 353
8: 1528=1524+4=1524⋅1524 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 222 mod 353
16: 15216=1528+8=1528⋅1528 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353
32: 15232=15216+16=15216⋅15216 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
64: 15264=15232+32=15232⋅15232 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
128: 152128=15264+64=15264⋅15264 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
152189
= 152128+32+16+8+4+1
= 152128⋅15232⋅15216⋅1528⋅1524⋅1521
≡ 337 ⋅ 140 ⋅ 217 ⋅ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353
≡ 47180 ⋅ 217 ⋅ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353 ≡ 231 ⋅ 217 ⋅ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353
≡ 50127 ⋅ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353 ≡ 1 ⋅ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353
≡ 222 ⋅ 218 ⋅ 152 mod 353
≡ 48396 ⋅ 152 mod 353 ≡ 35 ⋅ 152 mod 353
≡ 5320 mod 353 ≡ 25 mod 353
Es gilt also: 152189 ≡ 25 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
