Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (401 - 1204) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 1204) mod 4 ≡ (401 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(401 - 1204) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 44) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 44) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 44) mod 11 ≡ (3 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56216 mod 883.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 562 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5621=562

2: 5622=5621+1=5621⋅5621 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 613 mod 883

4: 5624=5622+2=5622⋅5622 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 494 mod 883

8: 5628=5624+4=5624⋅5624 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 328 mod 883

16: 56216=5628+8=5628⋅5628 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 741 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 566220 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 5661=566

2: 5662=5661+1=5661⋅5661 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 481 mod 853

4: 5664=5662+2=5662⋅5662 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 198 mod 853

8: 5668=5664+4=5664⋅5664 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 819 mod 853

16: 56616=5668+8=5668⋅5668 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 303 mod 853

32: 56632=56616+16=56616⋅56616 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 538 mod 853

64: 56664=56632+32=56632⋅56632 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 277 mod 853

128: 566128=56664+64=56664⋅56664 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 812 mod 853

566220

= 566128+64+16+8+4

= 566128⋅56664⋅56616⋅5668⋅5664

812 ⋅ 277 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
224924 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 585 ⋅ 303 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
177255 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853 ≡ 684 ⋅ 819 ⋅ 198 mod 853
560196 ⋅ 198 mod 853 ≡ 628 ⋅ 198 mod 853
124344 mod 853 ≡ 659 mod 853

Es gilt also: 566220 ≡ 659 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59

=>73 = 1⋅59 + 14
=>59 = 4⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 59-4⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14)
= 5⋅59 -21⋅ 14 (=1)
14= 73-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59)
= -21⋅73 +26⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59

oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅73 = +26⋅59

Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1

Somit 26⋅59 = 1 mod 73

26 ist also das Inverse von 59 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.