Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 + 4003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 + 4003) mod 8 ≡ (245 mod 8 + 4003 mod 8) mod 8.
245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
Somit gilt:
(245 + 4003) mod 8 ≡ (5 + 3) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 81) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 81) mod 5 ≡ (84 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 81) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37916 mod 877.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 379 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3791=379
2: 3792=3791+1=3791⋅3791 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 690 mod 877
4: 3794=3792+2=3792⋅3792 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 766 mod 877
8: 3798=3794+4=3794⋅3794 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 43 mod 877
16: 37916=3798+8=3798⋅3798 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 95 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 309106 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:
106 = 64+32+8+2
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 43 mod 401
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 245 mod 401
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 276 mod 401
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 387 mod 401
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401
64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401
309106
= 30964+32+8+2
= 30964⋅30932⋅3098⋅3092
≡ 321 ⋅ 196 ⋅ 276 ⋅ 43 mod 401
≡ 62916 ⋅ 276 ⋅ 43 mod 401 ≡ 360 ⋅ 276 ⋅ 43 mod 401
≡ 99360 ⋅ 43 mod 401 ≡ 313 ⋅ 43 mod 401
≡ 13459 mod 401 ≡ 226 mod 401
Es gilt also: 309106 ≡ 226 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 32
| =>101 | = 3⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-3⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(101 -3⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅101 -39⋅ 32) = 13⋅101 -41⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,32)=1 = 13⋅101 -41⋅32
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -41⋅32
-41⋅32 = -13⋅101 + 1 |+101⋅32
-41⋅32 + 101⋅32 = -13⋅101 + 101⋅32 + 1
(-41 + 101) ⋅ 32 = (-13 + 32) ⋅ 101 + 1
60⋅32 = 19⋅101 + 1
Es gilt also: 60⋅32 = 19⋅101 +1
Somit 60⋅32 = 1 mod 101
60 ist also das Inverse von 32 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
