Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2000 + 399) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2000 + 399) mod 4 ≡ (2000 mod 4 + 399 mod 4) mod 4.
2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 300
Somit gilt:
(2000 + 399) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2938 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 293 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2931=293
2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 462 mod 829
4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 391 mod 829
8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 345 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 131162 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 1311=131
2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 392 mod 409
4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 289 mod 409
8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 85 mod 409
16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 272 mod 409
32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 364 mod 409
64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 389 mod 409
128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 400 mod 409
131162
= 131128+32+2
= 131128⋅13132⋅1312
≡ 400 ⋅ 364 ⋅ 392 mod 409
≡ 145600 ⋅ 392 mod 409 ≡ 405 ⋅ 392 mod 409
≡ 158760 mod 409 ≡ 68 mod 409
Es gilt also: 131162 ≡ 68 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53
| =>59 | = 1⋅53 + 6 |
| =>53 | = 8⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 53-8⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6) = -1⋅53 +9⋅ 6 (=1) |
| 6= 59-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53) = 9⋅59 -10⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53
oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅59 = -10⋅53
-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53
-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1
(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1
49⋅53 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1
Somit 49⋅53 = 1 mod 59
49 ist also das Inverse von 53 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
