Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 - 3003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 - 3003) mod 3 ≡ (121 mod 3 - 3003 mod 3) mod 3.
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003
= 3000
Somit gilt:
(121 - 3003) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 35) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 35) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 35 mod 11) mod 11.
17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.
35 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 3 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 35) mod 11 ≡ (6 ⋅ 2) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30016 mod 653.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 300 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 539 mod 653
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 589 mod 653
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 178 mod 653
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 340 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380227 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 117 mod 919
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 823 mod 919
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 26 mod 919
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 919
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 233 mod 919
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 68 mod 919
128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 29 mod 919
380227
= 380128+64+32+2+1
= 380128⋅38064⋅38032⋅3802⋅3801
≡ 29 ⋅ 68 ⋅ 233 ⋅ 117 ⋅ 380 mod 919
≡ 1972 ⋅ 233 ⋅ 117 ⋅ 380 mod 919 ≡ 134 ⋅ 233 ⋅ 117 ⋅ 380 mod 919
≡ 31222 ⋅ 117 ⋅ 380 mod 919 ≡ 895 ⋅ 117 ⋅ 380 mod 919
≡ 104715 ⋅ 380 mod 919 ≡ 868 ⋅ 380 mod 919
≡ 329840 mod 919 ≡ 838 mod 919
Es gilt also: 380227 ≡ 838 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
