Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4493 + 45008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4493 + 45008) mod 9 ≡ (4493 mod 9 + 45008 mod 9) mod 9.
4493 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4493
= 4500
45008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45008
= 45000
Somit gilt:
(4493 + 45008) mod 9 ≡ (2 + 8) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 84) mod 10 ≡ (39 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 84) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 261128 mod 271.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 261 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2611=261
2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 100 mod 271
4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 244 mod 271
8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271
16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 10 mod 271
32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 271
64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 244 mod 271
128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 187 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29781 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 239 mod 463
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 172 mod 463
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 415 mod 463
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 452 mod 463
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 121 mod 463
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 288 mod 463
29781
= 29764+16+1
= 29764⋅29716⋅2971
≡ 288 ⋅ 452 ⋅ 297 mod 463
≡ 130176 ⋅ 297 mod 463 ≡ 73 ⋅ 297 mod 463
≡ 21681 mod 463 ≡ 383 mod 463
Es gilt also: 29781 ≡ 383 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
