Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26991 - 355) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26991 - 355) mod 9 ≡ (26991 mod 9 - 355 mod 9) mod 9.

26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991 = 27000-9 = 9 ⋅ 3000 -9 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 0.

355 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 360-5 = 9 ⋅ 40 -5 = 9 ⋅ 40 - 9 + 4.

Somit gilt:

(26991 - 355) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 40) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 40) mod 3 ≡ (30 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11064 mod 233.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 110 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1101=110

2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 217 mod 233

4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 23 mod 233

8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 253183 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 515 mod 599

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 467 mod 599

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 53 mod 599

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 413 mod 599

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 453 mod 599

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 351 mod 599

128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 406 mod 599

253183

= 253128+32+16+4+2+1

= 253128⋅25332⋅25316⋅2534⋅2532⋅2531

406 ⋅ 453 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
183918 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 25 ⋅ 413 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
10325 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 142 ⋅ 467 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
66314 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599 ≡ 424 ⋅ 515 ⋅ 253 mod 599
218360 ⋅ 253 mod 599 ≡ 324 ⋅ 253 mod 599
81972 mod 599 ≡ 508 mod 599

Es gilt also: 253183 ≡ 508 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33

=>73 = 2⋅33 + 7
=>33 = 4⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 33-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7)
= 3⋅33 -14⋅ 7 (=1)
7= 73-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33)
= -14⋅73 +31⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +31⋅33

Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1

Somit 31⋅33 = 1 mod 73

31 ist also das Inverse von 33 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.