Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2002 + 20002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2002 + 20002) mod 5 ≡ (2002 mod 5 + 20002 mod 5) mod 5.

2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 5 ⋅ 400 +2.

20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 5 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(2002 + 20002) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 18) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 18) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 18) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74864 mod 859.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 748 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7481=748

2: 7482=7481+1=7481⋅7481 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 295 mod 859

4: 7484=7482+2=7482⋅7482 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 266 mod 859

8: 7488=7484+4=7484⋅7484 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 318 mod 859

16: 74816=7488+8=7488⋅7488 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 621 mod 859

32: 74832=74816+16=74816⋅74816 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 809 mod 859

64: 74864=74832+32=74832⋅74832 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 782 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 305107 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 433 mod 643

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 376 mod 643

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 559 mod 643

16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 626 mod 643

32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 289 mod 643

64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 574 mod 643

305107

= 30564+32+8+2+1

= 30564⋅30532⋅3058⋅3052⋅3051

574 ⋅ 289 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
165886 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643 ≡ 635 ⋅ 559 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
354965 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643 ≡ 29 ⋅ 433 ⋅ 305 mod 643
12557 ⋅ 305 mod 643 ≡ 340 ⋅ 305 mod 643
103700 mod 643 ≡ 177 mod 643

Es gilt also: 305107 ≡ 177 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73 = 1⋅43 + 30
=>43 = 1⋅30 + 13
=>30 = 2⋅13 + 4
=>13 = 3⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13)
= -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30)
= 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43)
= 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43)
= -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.