Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (898 - 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(898 - 88) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.
898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(898 - 88) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 70) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 70) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23664 mod 257.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 184 mod 257
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 189 mod 257
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 255 mod 257
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 4 mod 257
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 257
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 111224 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 63 mod 227
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 110 mod 227
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 69 mod 227
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 221 mod 227
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 36 mod 227
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 161 mod 227
128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 43 mod 227
111224
= 111128+64+32
= 111128⋅11164⋅11132
≡ 43 ⋅ 161 ⋅ 36 mod 227
≡ 6923 ⋅ 36 mod 227 ≡ 113 ⋅ 36 mod 227
≡ 4068 mod 227 ≡ 209 mod 227
Es gilt also: 111224 ≡ 209 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49
| =>59 | = 1⋅49 + 10 |
| =>49 | = 4⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 49-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1) |
| 10= 59-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49)
= -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -6⋅49
-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49
-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1
(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1
53⋅49 = 44⋅59 + 1
Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1
Somit 53⋅49 = 1 mod 59
53 ist also das Inverse von 49 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
