Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3204 - 16001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3204 - 16001) mod 8 ≡ (3204 mod 8 - 16001 mod 8) mod 8.
3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204
= 3200
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
Somit gilt:
(3204 - 16001) mod 8 ≡ (4 - 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 92) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 92) mod 11 ≡ (35 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.
35 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 3 ⋅ 11 + 2 ist.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 92) mod 11 ≡ (2 ⋅ 4) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5238 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 523 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5231=523
2: 5232=5231+1=5231⋅5231 ≡ 523⋅523=273529 ≡ 788 mod 829
4: 5234=5232+2=5232⋅5232 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 23 mod 829
8: 5238=5234+4=5234⋅5234 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 744231 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 7441=744
2: 7442=7441+1=7441⋅7441 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 559 mod 911
4: 7444=7442+2=7442⋅7442 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 8 mod 911
8: 7448=7444+4=7444⋅7444 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 911
16: 74416=7448+8=7448⋅7448 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 452 mod 911
32: 74432=74416+16=74416⋅74416 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 240 mod 911
64: 74464=74432+32=74432⋅74432 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 207 mod 911
128: 744128=74464+64=74464⋅74464 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 32 mod 911
744231
= 744128+64+32+4+2+1
= 744128⋅74464⋅74432⋅7444⋅7442⋅7441
≡ 32 ⋅ 207 ⋅ 240 ⋅ 8 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911
≡ 6624 ⋅ 240 ⋅ 8 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911 ≡ 247 ⋅ 240 ⋅ 8 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911
≡ 59280 ⋅ 8 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911 ≡ 65 ⋅ 8 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911
≡ 520 ⋅ 559 ⋅ 744 mod 911
≡ 290680 ⋅ 744 mod 911 ≡ 71 ⋅ 744 mod 911
≡ 52824 mod 911 ≡ 897 mod 911
Es gilt also: 744231 ≡ 897 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84
| =>101 | = 1⋅84 + 17 |
| =>84 | = 4⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 84-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -6⋅84
-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84
-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1
(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1
95⋅84 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1
Somit 95⋅84 = 1 mod 101
95 ist also das Inverse von 84 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
