Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3504 - 3500) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3504 - 3500) mod 7 ≡ (3504 mod 7 - 3500 mod 7) mod 7.

3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504 = 3500+4 = 7 ⋅ 500 +4.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(3504 - 3500) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 81) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 81) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 81) mod 11 ≡ (10 ⋅ 4) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9068 mod 929.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 906 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9061=906

2: 9062=9061+1=9061⋅9061 ≡ 906⋅906=820836 ≡ 529 mod 929

4: 9064=9062+2=9062⋅9062 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 212 mod 929

8: 9068=9064+4=9064⋅9064 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 352 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 653189 mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 6531=653

2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 504 mod 827

4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 127 mod 827

8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 416 mod 827

16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 213 mod 827

32: 65332=65316+16=65316⋅65316 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 711 mod 827

64: 65364=65332+32=65332⋅65332 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 224 mod 827

128: 653128=65364+64=65364⋅65364 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 556 mod 827

653189

= 653128+32+16+8+4+1

= 653128⋅65332⋅65316⋅6538⋅6534⋅6531

556 ⋅ 711 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
395316 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 10 ⋅ 213 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
2130 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 476 ⋅ 416 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
198016 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827 ≡ 363 ⋅ 127 ⋅ 653 mod 827
46101 ⋅ 653 mod 827 ≡ 616 ⋅ 653 mod 827
402248 mod 827 ≡ 326 mod 827

Es gilt also: 653189 ≡ 326 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 57.

Also bestimme x, so dass 57 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 57

=>67 = 1⋅57 + 10
=>57 = 5⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,57)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 57-5⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(57 -5⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅57 -15⋅ 10)
= 3⋅57 -17⋅ 10 (=1)
10= 67-1⋅57 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅57 -17⋅(67 -1⋅ 57)
= 3⋅57 -17⋅67 +17⋅ 57)
= -17⋅67 +20⋅ 57 (=1)

Es gilt also: ggt(67,57)=1 = -17⋅67 +20⋅57

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +20⋅57

Es gilt also: 20⋅57 = 17⋅67 +1

Somit 20⋅57 = 1 mod 67

20 ist also das Inverse von 57 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.