Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (269 - 2701) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(269 - 2701) mod 9 ≡ (269 mod 9 - 2701 mod 9) mod 9.
269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269
= 270
2701 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2701
= 2700
Somit gilt:
(269 - 2701) mod 9 ≡ (8 - 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 55) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 55) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 55 mod 3) mod 3.
93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.
55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 55) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2018 mod 383.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 186 mod 383
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 126 mod 383
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 173 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182234 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 69 mod 601
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 554 mod 601
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 406 mod 601
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 162 mod 601
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 401 mod 601
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 334 mod 601
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 371 mod 601
182234
= 182128+64+32+8+2
= 182128⋅18264⋅18232⋅1828⋅1822
≡ 371 ⋅ 334 ⋅ 401 ⋅ 406 ⋅ 69 mod 601
≡ 123914 ⋅ 401 ⋅ 406 ⋅ 69 mod 601 ≡ 108 ⋅ 401 ⋅ 406 ⋅ 69 mod 601
≡ 43308 ⋅ 406 ⋅ 69 mod 601 ≡ 36 ⋅ 406 ⋅ 69 mod 601
≡ 14616 ⋅ 69 mod 601 ≡ 192 ⋅ 69 mod 601
≡ 13248 mod 601 ≡ 26 mod 601
Es gilt also: 182234 ≡ 26 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
