Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 12000) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(5997 - 12000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 100) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 100) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 579¹=579

2: 579²=579¹⁺¹=579¹⋅579¹ ≡ 579⋅579=335241 ≡ 571 mod 683

4: 579⁴=579²⁺²=579²⋅579² ≡ 571⋅571=326041 ≡ 250 mod 683

8: 579⁸=579⁴⁺⁴=579⁴⋅579⁴ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 347 mod 683

16: 579¹⁶=579⁸⁺⁸=579⁸⋅579⁸ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 201 mod 683

32: 579³²=579¹⁶⁺¹⁶=579¹⁶⋅579¹⁶ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 104 mod 683

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

264²¹⁸

= 264^{128+64+16+8+2}

= 264¹²⁸⋅264⁶⁴⋅264¹⁶⋅264⁸⋅264²

≡ 648 ⋅ 80 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
≡ 51840 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719 ≡ 72 ⋅ 105 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
≡ 7560 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719 ≡ 370 ⋅ 547 ⋅ 672 mod 719
≡ 202390 ⋅ 672 mod 719 ≡ 351 ⋅ 672 mod 719
≡ 235872 mod 719 ≡ 40 mod 719

Es gilt also: 264²¹⁸ ≡ 40 mod 719

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23

=>53	= 2⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 53-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23

oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅53 = -23⋅23

-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23

-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1

(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1

30⋅23 = 13⋅53 + 1

Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1

Somit 30⋅23 = 1 mod 53

30 ist also das Inverse von 23 mod 53