Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 - 15999) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 - 15999) mod 8 ≡ (83 mod 8 - 15999 mod 8) mod 8.
83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 80
15999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(83 - 15999) mod 8 ≡ (3 - 7) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 45) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 45) mod 11 ≡ (39 mod 11 ⋅ 45 mod 11) mod 11.
39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 45) mod 11 ≡ (6 ⋅ 1) mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5898 mod 977.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 589 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5891=589
2: 5892=5891+1=5891⋅5891 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 86 mod 977
4: 5894=5892+2=5892⋅5892 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 557 mod 977
8: 5898=5894+4=5894⋅5894 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 540 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39297 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 281 mod 941
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 858 mod 941
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 302 mod 941
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 868 mod 941
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 624 mod 941
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 743 mod 941
39297
= 39264+32+1
= 39264⋅39232⋅3921
≡ 743 ⋅ 624 ⋅ 392 mod 941
≡ 463632 ⋅ 392 mod 941 ≡ 660 ⋅ 392 mod 941
≡ 258720 mod 941 ≡ 886 mod 941
Es gilt also: 39297 ≡ 886 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
