Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (269 + 17991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(269 + 17991) mod 9 ≡ (269 mod 9 + 17991 mod 9) mod 9.
269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269
= 270
17991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17991
= 18000
Somit gilt:
(269 + 17991) mod 9 ≡ (8 + 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 61) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 61) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.
71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 61) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11316 mod 277.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1131=113
2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 27 mod 277
4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 27⋅27=729 ≡ 175 mod 277
8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 155 mod 277
16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 203 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 490233 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:
233 = 128+64+32+8+1
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 442 mod 677
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 388 mod 677
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 250 mod 677
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 216 mod 677
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 620 mod 677
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 541 mod 677
128: 490128=49064+64=49064⋅49064 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 217 mod 677
490233
= 490128+64+32+8+1
= 490128⋅49064⋅49032⋅4908⋅4901
≡ 217 ⋅ 541 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 117397 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677 ≡ 276 ⋅ 620 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 171120 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677 ≡ 516 ⋅ 250 ⋅ 490 mod 677
≡ 129000 ⋅ 490 mod 677 ≡ 370 ⋅ 490 mod 677
≡ 181300 mod 677 ≡ 541 mod 677
Es gilt also: 490233 ≡ 541 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
