Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2694 + 3604) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2694 + 3604) mod 9 ≡ (2694 mod 9 + 3604 mod 9) mod 9.

2694 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2694 = 2700-6 = 9 ⋅ 300 -6 = 9 ⋅ 300 - 9 + 3.

3604 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3604 = 3600+4 = 9 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(2694 + 3604) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 72) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 72) mod 11 ≡ (69 mod 11 ⋅ 72 mod 11) mod 11.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 72) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36432 mod 443.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,443) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 39 mod 443

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 192 mod 443

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 95 mod 443

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 165 mod 443

32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 202 mod 443

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 107209 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 1071=107

2: 1072=1071+1=1071⋅1071 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 228 mod 229

4: 1074=1072+2=1072⋅1072 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 1 mod 229

8: 1078=1074+4=1074⋅1074 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 229

16: 10716=1078+8=1078⋅1078 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 229

32: 10732=10716+16=10716⋅10716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 229

64: 10764=10732+32=10732⋅10732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 229

128: 107128=10764+64=10764⋅10764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 229

107209

= 107128+64+16+1

= 107128⋅10764⋅10716⋅1071

1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 107 mod 229
1 ⋅ 1 ⋅ 107 mod 229
1 ⋅ 107 mod 229
107 mod 229

Es gilt also: 107209 ≡ 107 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34

=>97 = 2⋅34 + 29
=>34 = 1⋅29 + 5
=>29 = 5⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 29-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5)
= -1⋅29 +6⋅ 5 (=1)
5= 34-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29)
= 6⋅34 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34)
= -7⋅97 +20⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +20⋅34

Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1

Somit 20⋅34 = 1 mod 97

20 ist also das Inverse von 34 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.