Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 + 29998) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 + 29998) mod 6 ≡ (246 mod 6 + 29998 mod 6) mod 6.
246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
29998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29998
= 30000
Somit gilt:
(246 + 29998) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 66) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 66) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.
34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 66) mod 11 ≡ (1 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23164 mod 271.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 245 mod 271
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 134 mod 271
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 70 mod 271
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 22 mod 271
32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 22⋅22=484 ≡ 213 mod 271
64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 147167 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 44 mod 227
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 120 mod 227
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 99 mod 227
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 40 mod 227
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 11 mod 227
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 227
128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 113 mod 227
147167
= 147128+32+4+2+1
= 147128⋅14732⋅1474⋅1472⋅1471
≡ 113 ⋅ 11 ⋅ 120 ⋅ 44 ⋅ 147 mod 227
≡ 1243 ⋅ 120 ⋅ 44 ⋅ 147 mod 227 ≡ 108 ⋅ 120 ⋅ 44 ⋅ 147 mod 227
≡ 12960 ⋅ 44 ⋅ 147 mod 227 ≡ 21 ⋅ 44 ⋅ 147 mod 227
≡ 924 ⋅ 147 mod 227 ≡ 16 ⋅ 147 mod 227
≡ 2352 mod 227 ≡ 82 mod 227
Es gilt also: 147167 ≡ 82 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56
| =>79 | = 1⋅56 + 23 |
| =>56 | = 2⋅23 + 10 |
| =>23 | = 2⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 23-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1) |
| 10= 56-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23) = 7⋅56 -17⋅ 23 (=1) |
| 23= 79-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56) = -17⋅79 +24⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +24⋅56
Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1
Somit 24⋅56 = 1 mod 79
24 ist also das Inverse von 56 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
