Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 - 3999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 - 3999) mod 4 ≡ (797 mod 4 - 3999 mod 4) mod 4.
797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 700
3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999
= 3000
Somit gilt:
(797 - 3999) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 66) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 66) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 66 mod 6) mod 6.
88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.
66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 66) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266128 mod 313.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 18 mod 313
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 18⋅18=324 ≡ 11 mod 313
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 313
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 338178 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 3381=338
2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 273 mod 797
4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 408 mod 797
8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 688 mod 797
16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 723 mod 797
32: 33832=33816+16=33816⋅33816 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 694 mod 797
64: 33864=33832+32=33832⋅33832 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 248 mod 797
128: 338128=33864+64=33864⋅33864 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 135 mod 797
338178
= 338128+32+16+2
= 338128⋅33832⋅33816⋅3382
≡ 135 ⋅ 694 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797
≡ 93690 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797 ≡ 441 ⋅ 723 ⋅ 273 mod 797
≡ 318843 ⋅ 273 mod 797 ≡ 43 ⋅ 273 mod 797
≡ 11739 mod 797 ≡ 581 mod 797
Es gilt also: 338178 ≡ 581 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 78.
Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78
| =>83 | = 1⋅78 + 5 |
| =>78 | = 15⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,78)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 78-15⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5) = 2⋅78 -31⋅ 5 (=1) |
| 5= 83-1⋅78 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78)
= 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78) = -31⋅83 +33⋅ 78 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +33⋅78
Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1
Somit 33⋅78 = 1 mod 83
33 ist also das Inverse von 78 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
