Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (598 + 15000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 + 15000) mod 3 ≡ (598 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(598 + 15000) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 49) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 49) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 49) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 80416 mod 919.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 804 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8041=804

2: 8042=8041+1=8041⋅8041 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 359 mod 919

4: 8044=8042+2=8042⋅8042 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 221 mod 919

8: 8048=8044+4=8044⋅8044 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 134 mod 919

16: 80416=8048+8=8048⋅8048 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 495 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 445151 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 166 mod 653

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 130 mod 653

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 575 mod 653

16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 207 mod 653

32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 404 mod 653

64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 619 mod 653

128: 445128=44564+64=44564⋅44564 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 503 mod 653

445151

= 445128+16+4+2+1

= 445128⋅44516⋅4454⋅4452⋅4451

503 ⋅ 207 ⋅ 130 ⋅ 166 ⋅ 445 mod 653
104121 ⋅ 130 ⋅ 166 ⋅ 445 mod 653 ≡ 294 ⋅ 130 ⋅ 166 ⋅ 445 mod 653
38220 ⋅ 166 ⋅ 445 mod 653 ≡ 346 ⋅ 166 ⋅ 445 mod 653
57436 ⋅ 445 mod 653 ≡ 625 ⋅ 445 mod 653
278125 mod 653 ≡ 600 mod 653

Es gilt also: 445151 ≡ 600 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53 = 1⋅41 + 12
=>41 = 3⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12)
= 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41)
= -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.