Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5999 + 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5999 + 1500) mod 3 ≡ (5999 mod 3 + 1500 mod 3) mod 3.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(5999 + 1500) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 73) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 73) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 73 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 73) mod 11 ≡ (1 ⋅ 7) mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33816 mod 719.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 338 -> x
2. mod(x²,719) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3381=338

2: 3382=3381+1=3381⋅3381 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 642 mod 719

4: 3384=3382+2=3382⋅3382 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 177 mod 719

8: 3388=3384+4=3384⋅3384 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 412 mod 719

16: 33816=3388+8=3388⋅3388 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 60 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32471 mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 3241=324

2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 280 mod 569

4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 447 mod 569

8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 90 mod 569

16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 134 mod 569

32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569

64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569

32471

= 32464+4+2+1

= 32464⋅3244⋅3242⋅3241

345 ⋅ 447 ⋅ 280 ⋅ 324 mod 569
154215 ⋅ 280 ⋅ 324 mod 569 ≡ 16 ⋅ 280 ⋅ 324 mod 569
4480 ⋅ 324 mod 569 ≡ 497 ⋅ 324 mod 569
161028 mod 569 ≡ 1 mod 569

Es gilt also: 32471 ≡ 1 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73 = 1⋅51 + 22
=>51 = 2⋅22 + 7
=>22 = 3⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22)
= -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51)
= 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.