Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(211 - 7001) mod 7 ≡ (211 mod 7 - 7001 mod 7) mod 7.

211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211 = 210+1 = 7 ⋅ 30 +1.

7001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7001 = 7000+1 = 7 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(211 - 7001) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 21) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 21) mod 10 ≡ (1 ⋅ 1) mod 10 ≡ 1 mod 10.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 279¹=279

2: 279²=279¹⁺¹=279¹⋅279¹ ≡ 279⋅279=77841 ≡ 672 mod 887

4: 279⁴=279²⁺²=279²⋅279² ≡ 672⋅672=451584 ≡ 101 mod 887

8: 279⁸=279⁴⁺⁴=279⁴⋅279⁴ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 444 mod 887

16: 279¹⁶=279⁸⁺⁸=279⁸⋅279⁸ ≡ 444⋅444=197136 ≡ 222 mod 887

32: 279³²=279¹⁶⁺¹⁶=279¹⁶⋅279¹⁶ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 499 mod 887

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

541¹⁵⁹

= 541^{128+16+8+4+2+1}

= 541¹²⁸⋅541¹⁶⋅541⁸⋅541⁴⋅541²⋅541¹

≡ 487 ⋅ 311 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 151457 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 437 ⋅ 137 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 59869 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 300 ⋅ 120 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 36000 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839 ≡ 762 ⋅ 709 ⋅ 541 mod 839
≡ 540258 ⋅ 541 mod 839 ≡ 781 ⋅ 541 mod 839
≡ 422521 mod 839 ≡ 504 mod 839

Es gilt also: 541¹⁵⁹ ≡ 504 mod 839

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61