Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1602 + 1604) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1602 + 1604) mod 8 ≡ (1602 mod 8 + 1604 mod 8) mod 8.
1602 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
1604 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
Somit gilt:
(1602 + 1604) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 91) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 91) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 91 mod 5) mod 5.
36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.
91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 91) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 251128 mod 431.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 251 -> x
2. mod(x²,431) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 75 mod 431
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 22 mod 431
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 22⋅22=484 ≡ 53 mod 431
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 223 mod 431
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 164 mod 431
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 174 mod 431
128: 251128=25164+64=25164⋅25164 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 106 mod 431
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 134248 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 340 mod 367
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 362 mod 367
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 25 mod 367
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 25⋅25=625 ≡ 258 mod 367
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 137 mod 367
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 52 mod 367
128: 134128=13464+64=13464⋅13464 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 135 mod 367
134248
= 134128+64+32+16+8
= 134128⋅13464⋅13432⋅13416⋅1348
≡ 135 ⋅ 52 ⋅ 137 ⋅ 258 ⋅ 25 mod 367
≡ 7020 ⋅ 137 ⋅ 258 ⋅ 25 mod 367 ≡ 47 ⋅ 137 ⋅ 258 ⋅ 25 mod 367
≡ 6439 ⋅ 258 ⋅ 25 mod 367 ≡ 200 ⋅ 258 ⋅ 25 mod 367
≡ 51600 ⋅ 25 mod 367 ≡ 220 ⋅ 25 mod 367
≡ 5500 mod 367 ≡ 362 mod 367
Es gilt also: 134248 ≡ 362 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
