Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1000 + 4995) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1000 + 4995) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 4995 mod 5) mod 5.
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
4995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4995
= 4000
Somit gilt:
(1000 + 4995) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 60) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 60) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5268 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 526 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5261=526
2: 5262=5261+1=5261⋅5261 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 148 mod 823
4: 5264=5262+2=5262⋅5262 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 506 mod 823
8: 5268=5264+4=5264⋅5264 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 83 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 709156 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 7091=709
2: 7092=7091+1=7091⋅7091 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 672 mod 811
4: 7094=7092+2=7092⋅7092 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 668 mod 811
8: 7098=7094+4=7094⋅7094 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 174 mod 811
16: 70916=7098+8=7098⋅7098 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 269 mod 811
32: 70932=70916+16=70916⋅70916 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 182 mod 811
64: 70964=70932+32=70932⋅70932 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 684 mod 811
128: 709128=70964+64=70964⋅70964 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 720 mod 811
709156
= 709128+16+8+4
= 709128⋅70916⋅7098⋅7094
≡ 720 ⋅ 269 ⋅ 174 ⋅ 668 mod 811
≡ 193680 ⋅ 174 ⋅ 668 mod 811 ≡ 662 ⋅ 174 ⋅ 668 mod 811
≡ 115188 ⋅ 668 mod 811 ≡ 26 ⋅ 668 mod 811
≡ 17368 mod 811 ≡ 337 mod 811
Es gilt also: 709156 ≡ 337 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28
| =>89 | = 3⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-3⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +35⋅28
Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1
Somit 35⋅28 = 1 mod 89
35 ist also das Inverse von 28 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
