Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6004 - 180) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6004 - 180) mod 6 ≡ (6004 mod 6 - 180 mod 6) mod 6.
6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004
= 6000
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(6004 - 180) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 75) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (97 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.
97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 75) mod 10 ≡ (7 ⋅ 5) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28816 mod 569.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 399 mod 569
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 450 mod 569
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 505 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 479162 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 4791=479
2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 514 mod 557
4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 178 mod 557
8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 492 mod 557
16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 326 mod 557
32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 446 mod 557
64: 47964=47932+32=47932⋅47932 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 67 mod 557
128: 479128=47964+64=47964⋅47964 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 33 mod 557
479162
= 479128+32+2
= 479128⋅47932⋅4792
≡ 33 ⋅ 446 ⋅ 514 mod 557
≡ 14718 ⋅ 514 mod 557 ≡ 236 ⋅ 514 mod 557
≡ 121304 mod 557 ≡ 435 mod 557
Es gilt also: 479162 ≡ 435 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
