Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2998 - 2398) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2998 - 2398) mod 6 ≡ (2998 mod 6 - 2398 mod 6) mod 6.

2998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 6 ⋅ 500 -2 = 6 ⋅ 500 - 6 + 4.

2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 6 ⋅ 400 -2 = 6 ⋅ 400 - 6 + 4.

Somit gilt:

(2998 - 2398) mod 6 ≡ (4 - 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 47) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 47) mod 6 ≡ (83 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 47) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2938 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 293 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2931=293

2: 2932=2931+1=2931⋅2931 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 115 mod 433

4: 2934=2932+2=2932⋅2932 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 235 mod 433

8: 2938=2934+4=2934⋅2934 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 234 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 364123 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 280 mod 787

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 487 mod 787

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 282 mod 787

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 37 mod 787

32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 582 mod 787

64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 314 mod 787

364123

= 36464+32+16+8+2+1

= 36464⋅36432⋅36416⋅3648⋅3642⋅3641

314 ⋅ 582 ⋅ 37 ⋅ 282 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787
182748 ⋅ 37 ⋅ 282 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787 ≡ 164 ⋅ 37 ⋅ 282 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787
6068 ⋅ 282 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787 ≡ 559 ⋅ 282 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787
157638 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787 ≡ 238 ⋅ 280 ⋅ 364 mod 787
66640 ⋅ 364 mod 787 ≡ 532 ⋅ 364 mod 787
193648 mod 787 ≡ 46 mod 787

Es gilt also: 364123 ≡ 46 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89 = 1⋅48 + 41
=>48 = 1⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41)
= 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48)
= -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.