Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 + 1505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 + 1505) mod 5 ≡ (53 mod 5 + 1505 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53
= 50
1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505
= 1500
Somit gilt:
(53 + 1505) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 65) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 65) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46964 mod 911.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 410 mod 911
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 476 mod 911
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 648 mod 911
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 844 mod 911
32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 844⋅844=712336 ≡ 845 mod 911
64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 712 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 328100 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:
100 = 64+32+4
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 90 mod 757
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 530 mod 757
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 53 mod 757
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 538 mod 757
32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 270 mod 757
64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 228 mod 757
328100
= 32864+32+4
= 32864⋅32832⋅3284
≡ 228 ⋅ 270 ⋅ 530 mod 757
≡ 61560 ⋅ 530 mod 757 ≡ 243 ⋅ 530 mod 757
≡ 128790 mod 757 ≡ 100 mod 757
Es gilt also: 328100 ≡ 100 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65
| =>101 | = 1⋅65 + 36 |
| =>65 | = 1⋅36 + 29 |
| =>36 | = 1⋅29 + 7 |
| =>29 | = 4⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 29-4⋅7 | |||
| 7= 36-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29) = -4⋅36 +5⋅ 29 (=1) |
| 29= 65-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36) = 5⋅65 -9⋅ 36 (=1) |
| 36= 101-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65) = -9⋅101 +14⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +14⋅65
Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1
Somit 14⋅65 = 1 mod 101
14 ist also das Inverse von 65 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
