Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(197 + 12002) mod 4 ≡ (197 mod 4 + 12002 mod 4) mod 4.

197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 200-3 = 4 ⋅ 50 -3 = 4 ⋅ 50 - 4 + 1.

12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 4 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(197 + 12002) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 21) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 21) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 157 mod 331

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 157⋅157=24649 ≡ 155 mod 331

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 155⋅155=24025 ≡ 193 mod 331

16: 275¹⁶=275⁸⁺⁸=275⁸⋅275⁸ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 177 mod 331

32: 275³²=275¹⁶⁺¹⁶=275¹⁶⋅275¹⁶ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 215 mod 331

64: 275⁶⁴=275³²⁺³²=275³²⋅275³² ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331

128: 275¹²⁸=275⁶⁴⁺⁶⁴=275⁶⁴⋅275⁶⁴ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:

112 = 64+32+16

259¹¹²

= 259^64+32+16

= 259⁶⁴⋅259³²⋅259¹⁶

≡ 370 ⋅ 628 ⋅ 182 mod 677
≡ 232360 ⋅ 182 mod 677 ≡ 149 ⋅ 182 mod 677
≡ 27118 mod 677 ≡ 38 mod 677

Es gilt also: 259¹¹² ≡ 38 mod 677

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59	= 1⋅35 + 24
=>35	= 1⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35) = 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59