Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (282 + 35007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(282 + 35007) mod 7 ≡ (282 mod 7 + 35007 mod 7) mod 7.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

Somit gilt:

(282 + 35007) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 92) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 92) mod 5 ≡ (78 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 92) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34464 mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 242 mod 431

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 379 mod 431

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 118 mod 431

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 132 mod 431

32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 184 mod 431

64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 238 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 588194 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:

194 = 128+64+2

1: 5881=588

2: 5882=5881+1=5881⋅5881 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 587 mod 631

4: 5884=5882+2=5882⋅5882 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631

8: 5888=5884+4=5884⋅5884 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631

16: 58816=5888+8=5888⋅5888 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631

32: 58832=58816+16=58816⋅58816 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631

64: 58864=58832+32=58832⋅58832 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 43 mod 631

128: 588128=58864+64=58864⋅58864 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 587 mod 631

588194

= 588128+64+2

= 588128⋅58864⋅5882

587 ⋅ 43 ⋅ 587 mod 631
25241 ⋅ 587 mod 631 ≡ 1 ⋅ 587 mod 631
587 mod 631

Es gilt also: 588194 ≡ 587 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

=>97 = 2⋅40 + 17
=>40 = 2⋅17 + 6
=>17 = 2⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 17-2⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6)
= -1⋅17 +3⋅ 6 (=1)
6= 40-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17)
= 3⋅40 -7⋅ 17 (=1)
17= 97-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40)
= -7⋅97 +17⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +17⋅40

Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1

Somit 17⋅40 = 1 mod 97

17 ist also das Inverse von 40 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.