Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 - 118) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 - 118) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 118 mod 4) mod 4.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

118 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 4 ⋅ 30 -2 = 4 ⋅ 30 - 4 + 2.

Somit gilt:

(116 - 118) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 16) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 16) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 16) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 516128 mod 953.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 516 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5161=516

2: 5162=5161+1=5161⋅5161 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 369 mod 953

4: 5164=5162+2=5162⋅5162 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 835 mod 953

8: 5168=5164+4=5164⋅5164 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 582 mod 953

16: 51616=5168+8=5168⋅5168 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 409 mod 953

32: 51632=51616+16=51616⋅51616 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 506 mod 953

64: 51664=51632+32=51632⋅51632 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 632 mod 953

128: 516128=51664+64=51664⋅51664 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 117 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 243164 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 2431=243

2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 220 mod 661

4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 147 mod 661

8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 457 mod 661

16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 634 mod 661

32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 68 mod 661

64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 658 mod 661

128: 243128=24364+64=24364⋅24364 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 9 mod 661

243164

= 243128+32+4

= 243128⋅24332⋅2434

9 ⋅ 68 ⋅ 147 mod 661
612 ⋅ 147 mod 661
89964 mod 661 ≡ 68 mod 661

Es gilt also: 243164 ≡ 68 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.