Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (499 + 2499) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(499 + 2499) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 2499 mod 5) mod 5.

499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499 = 400+99 = 5 ⋅ 80 +99.

2499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2499 = 2400+99 = 5 ⋅ 480 +99.

Somit gilt:

(499 + 2499) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 28) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 28) mod 3 ≡ (83 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 28) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67032 mod 811.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 670 -> x
2. mod(x²,811) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6701=670

2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 417 mod 811

4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 335 mod 811

8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 307 mod 811

16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 173 mod 811

32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 733 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236149 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 295 mod 313

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 11 mod 313

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 313

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313

128: 236128=23664+64=23664⋅23664 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 3 mod 313

236149

= 236128+16+4+1

= 236128⋅23616⋅2364⋅2361

3 ⋅ 243 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313
729 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313 ≡ 103 ⋅ 11 ⋅ 236 mod 313
1133 ⋅ 236 mod 313 ≡ 194 ⋅ 236 mod 313
45784 mod 313 ≡ 86 mod 313

Es gilt also: 236149 ≡ 86 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73 = 1⋅51 + 22
=>51 = 2⋅22 + 7
=>22 = 3⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22)
= 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22)
= -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51)
= -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51)
= 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.