Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 - 15999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 - 15999) mod 4 ≡ (79 mod 4 - 15999 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

Somit gilt:

(79 - 15999) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 65) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 65) mod 10 ≡ (72 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

72 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 7 ⋅ 10 + 2 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 65) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8738 mod 977.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 873 -> x
2. mod(x²,977) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8731=873

2: 8732=8731+1=8731⋅8731 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 69 mod 977

4: 8734=8732+2=8732⋅8732 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 853 mod 977

8: 8738=8734+4=8734⋅8734 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 721 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 314207 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 3141=314

2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 359 mod 509

4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 104 mod 509

8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 127 mod 509

16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 350 mod 509

32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 340 mod 509

64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 57 mod 509

128: 314128=31464+64=31464⋅31464 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 195 mod 509

314207

= 314128+64+8+4+2+1

= 314128⋅31464⋅3148⋅3144⋅3142⋅3141

195 ⋅ 57 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
11115 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 426 ⋅ 127 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
54102 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 148 ⋅ 104 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
15392 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509 ≡ 122 ⋅ 359 ⋅ 314 mod 509
43798 ⋅ 314 mod 509 ≡ 24 ⋅ 314 mod 509
7536 mod 509 ≡ 410 mod 509

Es gilt also: 314207 ≡ 410 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89 = 2⋅33 + 23
=>33 = 1⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23)
= 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33)
= 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33)
= -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.