Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 32006) mod 8 ≡ (240 mod 8 + 32006 mod 8) mod 8.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006 = 32000+6 = 8 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(240 + 32006) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 19) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 19 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 19) mod 9 ≡ (8 ⋅ 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 459¹=459

2: 459²=459¹⁺¹=459¹⋅459¹ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 447 mod 947

4: 459⁴=459²⁺²=459²⋅459² ≡ 447⋅447=199809 ≡ 939 mod 947

8: 459⁸=459⁴⁺⁴=459⁴⋅459⁴ ≡ 939⋅939=881721 ≡ 64 mod 947

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

356²³⁷

= 356^{128+64+32+8+4+1}

= 356¹²⁸⋅356⁶⁴⋅356³²⋅356⁸⋅356⁴⋅356¹

≡ 9 ⋅ 3 ⋅ 347 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
≡ 27 ⋅ 347 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
≡ 9369 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421 ≡ 107 ⋅ 105 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
≡ 11235 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421 ≡ 289 ⋅ 225 ⋅ 356 mod 421
≡ 65025 ⋅ 356 mod 421 ≡ 191 ⋅ 356 mod 421
≡ 67996 mod 421 ≡ 215 mod 421

Es gilt also: 356²³⁷ ≡ 215 mod 421

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40

=>61	= 1⋅40 + 21
=>40	= 1⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 40-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1)
21= 61-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40) = 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40) = -19⋅61 +29⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40

oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅61 = +29⋅40

Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1

Somit 29⋅40 = 1 mod 61

29 ist also das Inverse von 40 mod 61