Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7999 + 159) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 159) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 159 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

Somit gilt:

(7999 + 159) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 15) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 15) mod 4 ≡ (41 mod 4 ⋅ 15 mod 4) mod 4.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 15) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34416 mod 691.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 175 mod 691

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 221 mod 691

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 471 mod 691

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 30 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26895 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 2681=268

2: 2682=2681+1=2681⋅2681 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 293 mod 307

4: 2684=2682+2=2682⋅2682 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 196 mod 307

8: 2688=2684+4=2684⋅2684 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 41 mod 307

16: 26816=2688+8=2688⋅2688 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 146 mod 307

32: 26832=26816+16=26816⋅26816 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 133 mod 307

64: 26864=26832+32=26832⋅26832 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 190 mod 307

26895

= 26864+16+8+4+2+1

= 26864⋅26816⋅2688⋅2684⋅2682⋅2681

190 ⋅ 146 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
27740 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 110 ⋅ 41 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
4510 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 212 ⋅ 196 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
41552 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307 ≡ 107 ⋅ 293 ⋅ 268 mod 307
31351 ⋅ 268 mod 307 ≡ 37 ⋅ 268 mod 307
9916 mod 307 ≡ 92 mod 307

Es gilt also: 26895 ≡ 92 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 43

=>101 = 2⋅43 + 15
=>43 = 2⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(43 -2⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅43 -14⋅ 15)
= 7⋅43 -20⋅ 15 (=1)
15= 101-2⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅43 -20⋅(101 -2⋅ 43)
= 7⋅43 -20⋅101 +40⋅ 43)
= -20⋅101 +47⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(101,43)=1 = -20⋅101 +47⋅43

oder wenn man -20⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅101 = +47⋅43

Es gilt also: 47⋅43 = 20⋅101 +1

Somit 47⋅43 = 1 mod 101

47 ist also das Inverse von 43 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.