Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 - 93) mod 3 ≡ (3000 mod 3 - 93 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(3000 - 93) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 57) mod 9 ≡ (37 mod 9 ⋅ 57 mod 9) mod 9.

37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.

57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 57) mod 9 ≡ (1 ⋅ 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 158¹=158

2: 158²=158¹⁺¹=158¹⋅158¹ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 59 mod 293

4: 158⁴=158²⁺²=158²⋅158² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 258 mod 293

8: 158⁸=158⁴⁺⁴=158⁴⋅158⁴ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 53 mod 293

16: 158¹⁶=158⁸⁺⁸=158⁸⋅158⁸ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 172 mod 293

32: 158³²=158¹⁶⁺¹⁶=158¹⁶⋅158¹⁶ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 284 mod 293

64: 158⁶⁴=158³²⁺³²=158³²⋅158³² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 81 mod 293

128: 158¹²⁸=158⁶⁴⁺⁶⁴=158⁶⁴⋅158⁶⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 115 mod 293

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

401¹⁰³

= 401^64+32+4+2+1

= 401⁶⁴⋅401³²⋅401⁴⋅401²⋅401¹

≡ 278 ⋅ 256 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 71168 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487 ≡ 66 ⋅ 2 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 132 ⋅ 91 ⋅ 401 mod 487
≡ 12012 ⋅ 401 mod 487 ≡ 324 ⋅ 401 mod 487
≡ 129924 mod 487 ≡ 382 mod 487

Es gilt also: 401¹⁰³ ≡ 382 mod 487

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

=>67	= 1⋅47 + 20
=>47	= 2⋅20 + 7
=>20	= 2⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 47-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20) = -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1)
20= 67-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47) = 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47

oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅67 = +10⋅47

Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1

Somit 10⋅47 = 1 mod 67

10 ist also das Inverse von 47 mod 67