Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (157 - 328) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 - 328) mod 8 ≡ (157 mod 8 - 328 mod 8) mod 8.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328 = 320+8 = 8 ⋅ 40 +8.

Somit gilt:

(157 - 328) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 30) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 30) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 30) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4138 mod 863.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4131=413

2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 558 mod 863

4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863

8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 380153 mod 617.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

1: 3801=380

2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 22 mod 617

4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 617

8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 413 mod 617

16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617

32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617

64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617

128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617

380153

= 380128+16+8+1

= 380128⋅38016⋅3808⋅3801

349 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617
96673 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617 ≡ 421 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617
173873 ⋅ 380 mod 617 ≡ 496 ⋅ 380 mod 617
188480 mod 617 ≡ 295 mod 617

Es gilt also: 380153 ≡ 295 mod 617

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83 = 1⋅66 + 17
=>66 = 3⋅17 + 15
=>17 = 1⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15)
= -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17)
= 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66)
= -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.