Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(447 - 895) mod 9 ≡ (447 mod 9 - 895 mod 9) mod 9.

447 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 447 = 450-3 = 9 ⋅ 50 -3 = 9 ⋅ 50 - 9 + 6.

895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895 = 900-5 = 9 ⋅ 100 -5 = 9 ⋅ 100 - 9 + 4.

Somit gilt:

(447 - 895) mod 9 ≡ (6 - 4) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 60) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 60) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 267¹=267

2: 267²=267¹⁺¹=267¹⋅267¹ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 312 mod 401

4: 267⁴=267²⁺²=267²⋅267² ≡ 312⋅312=97344 ≡ 302 mod 401

8: 267⁸=267⁴⁺⁴=267⁴⋅267⁴ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 177 mod 401

16: 267¹⁶=267⁸⁺⁸=267⁸⋅267⁸ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 51 mod 401

32: 267³²=267¹⁶⁺¹⁶=267¹⁶⋅267¹⁶ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401

64: 267⁶⁴=267³²⁺³²=267³²⋅267³² ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401

128: 267¹²⁸=267⁶⁴⁺⁶⁴=267⁶⁴⋅267⁶⁴ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 211 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 211 an und zerlegen 211 in eine Summer von 2er-Potenzen:

211 = 128+64+16+2+1

287²¹¹

= 287^{128+64+16+2+1}

= 287¹²⁸⋅287⁶⁴⋅287¹⁶⋅287²⋅287¹

≡ 90 ⋅ 435 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
≡ 39150 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467 ≡ 389 ⋅ 373 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
≡ 145097 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467 ≡ 327 ⋅ 177 ⋅ 287 mod 467
≡ 57879 ⋅ 287 mod 467 ≡ 438 ⋅ 287 mod 467
≡ 125706 mod 467 ≡ 83 mod 467

Es gilt also: 287²¹¹ ≡ 83 mod 467

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37

=>79	= 2⋅37 + 5
=>37	= 7⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-2⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37) = -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -32⋅37

-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37

-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1

(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1

47⋅37 = 22⋅79 + 1

Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1

Somit 47⋅37 = 1 mod 79

47 ist also das Inverse von 37 mod 79