Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18003 - 35998) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18003 - 35998) mod 9 ≡ (18003 mod 9 - 35998 mod 9) mod 9.
18003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18003
= 18000
35998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35998
= 36000
Somit gilt:
(18003 - 35998) mod 9 ≡ (3 - 7) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 35) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 35) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 35 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 35) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2488 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 122 mod 653
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 518 mod 653
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 594 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 362199 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:
199 = 128+64+4+2+1
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 164 mod 409
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 311 mod 409
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 197 mod 409
16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 363 mod 409
32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 71 mod 409
64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 133 mod 409
128: 362128=36264+64=36264⋅36264 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 102 mod 409
362199
= 362128+64+4+2+1
= 362128⋅36264⋅3624⋅3622⋅3621
≡ 102 ⋅ 133 ⋅ 311 ⋅ 164 ⋅ 362 mod 409
≡ 13566 ⋅ 311 ⋅ 164 ⋅ 362 mod 409 ≡ 69 ⋅ 311 ⋅ 164 ⋅ 362 mod 409
≡ 21459 ⋅ 164 ⋅ 362 mod 409 ≡ 191 ⋅ 164 ⋅ 362 mod 409
≡ 31324 ⋅ 362 mod 409 ≡ 240 ⋅ 362 mod 409
≡ 86880 mod 409 ≡ 172 mod 409
Es gilt also: 362199 ≡ 172 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 40
| =>101 | = 2⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(101 -2⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅101 +38⋅ 40) = -19⋅101 +48⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,40)=1 = -19⋅101 +48⋅40
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +48⋅40
Es gilt also: 48⋅40 = 19⋅101 +1
Somit 48⋅40 = 1 mod 101
48 ist also das Inverse von 40 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
