Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 - 19999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 - 19999) mod 4 ≡ (797 mod 4 - 19999 mod 4) mod 4.
797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 700
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
Somit gilt:
(797 - 19999) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 72) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 72) mod 9 ≡ (85 mod 9 ⋅ 72 mod 9) mod 9.
85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.
72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 72) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 635128 mod 887.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 635 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6351=635
2: 6352=6351+1=6351⋅6351 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 527 mod 887
4: 6354=6352+2=6352⋅6352 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 98 mod 887
8: 6358=6354+4=6354⋅6354 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 734 mod 887
16: 63516=6358+8=6358⋅6358 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 347 mod 887
32: 63532=63516+16=63516⋅63516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 664 mod 887
64: 63564=63532+32=63532⋅63532 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 57 mod 887
128: 635128=63564+64=63564⋅63564 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 588 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 325224 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 3251=325
2: 3252=3251+1=3251⋅3251 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 344 mod 563
4: 3254=3252+2=3252⋅3252 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 106 mod 563
8: 3258=3254+4=3254⋅3254 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 539 mod 563
16: 32516=3258+8=3258⋅3258 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 13 mod 563
32: 32532=32516+16=32516⋅32516 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 563
64: 32564=32532+32=32532⋅32532 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 411 mod 563
128: 325128=32564+64=32564⋅32564 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 21 mod 563
325224
= 325128+64+32
= 325128⋅32564⋅32532
≡ 21 ⋅ 411 ⋅ 169 mod 563
≡ 8631 ⋅ 169 mod 563 ≡ 186 ⋅ 169 mod 563
≡ 31434 mod 563 ≡ 469 mod 563
Es gilt also: 325224 ≡ 469 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.
Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53
| =>97 | = 1⋅53 + 44 |
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,53)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
| 44= 97-1⋅53 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53) = -6⋅97 +11⋅ 53 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53
oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅97 = +11⋅53
Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1
Somit 11⋅53 = 1 mod 97
11 ist also das Inverse von 53 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
