Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36003 + 36006) mod 9 ≡ (36003 mod 9 + 36006 mod 9) mod 9.

36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003 = 36000+3 = 9 ⋅ 4000 +3.

36006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36006 = 36000+6 = 9 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(36003 + 36006) mod 9 ≡ (3 + 6) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 40) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 40) mod 9 ≡ (1 ⋅ 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 180¹=180

2: 180²=180¹⁺¹=180¹⋅180¹ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 89 mod 409

4: 180⁴=180²⁺²=180²⋅180² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 150 mod 409

8: 180⁸=180⁴⁺⁴=180⁴⋅180⁴ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 5 mod 409

16: 180¹⁶=180⁸⁺⁸=180⁸⋅180⁸ ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 409

32: 180³²=180¹⁶⁺¹⁶=180¹⁶⋅180¹⁶ ≡ 25⋅25=625 ≡ 216 mod 409

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

230¹¹⁰

= 230^64+32+8+4+2

= 230⁶⁴⋅230³²⋅230⁸⋅230⁴⋅230²

≡ 663 ⋅ 94 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
≡ 62322 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743 ≡ 653 ⋅ 129 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
≡ 84237 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743 ≡ 278 ⋅ 62 ⋅ 147 mod 743
≡ 17236 ⋅ 147 mod 743 ≡ 147 ⋅ 147 mod 743
≡ 21609 mod 743 ≡ 62 mod 743

Es gilt also: 230¹¹⁰ ≡ 62 mod 743

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73	= 2⋅31 + 11
=>31	= 2⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31) = 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73