Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4503 + 359) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4503 + 359) mod 9 ≡ (4503 mod 9 + 359 mod 9) mod 9.
4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503
= 4500
359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359
= 360
Somit gilt:
(4503 + 359) mod 9 ≡ (3 + 8) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 75) mod 6 ≡ (35 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 75) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23064 mod 389.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 385 mod 389
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 16 mod 389
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 389
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 184 mod 389
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 13 mod 389
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 333188 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 105 mod 577
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 62 mod 577
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 382 mod 577
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 520 mod 577
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 364 mod 577
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577
128: 333128=33364+64=33364⋅33364 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577
333188
= 333128+32+16+8+4
= 333128⋅33332⋅33316⋅3338⋅3334
≡ 213 ⋅ 364 ⋅ 520 ⋅ 382 ⋅ 62 mod 577
≡ 77532 ⋅ 520 ⋅ 382 ⋅ 62 mod 577 ≡ 214 ⋅ 520 ⋅ 382 ⋅ 62 mod 577
≡ 111280 ⋅ 382 ⋅ 62 mod 577 ≡ 496 ⋅ 382 ⋅ 62 mod 577
≡ 189472 ⋅ 62 mod 577 ≡ 216 ⋅ 62 mod 577
≡ 13392 mod 577 ≡ 121 mod 577
Es gilt also: 333188 ≡ 121 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
