Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (287 - 277) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(287 - 277) mod 7 ≡ (287 mod 7 - 277 mod 7) mod 7.
287 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 287
= 280
277 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 277
= 280
Somit gilt:
(287 - 277) mod 7 ≡ (0 - 4) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 59) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 59) mod 9 ≡ (56 mod 9 ⋅ 59 mod 9) mod 9.
56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.
59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 59) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 349128 mod 761.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 41 mod 761
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 159 mod 761
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 168 mod 761
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 67 mod 761
32: 34932=34916+16=34916⋅34916 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 684 mod 761
64: 34964=34932+32=34932⋅34932 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 602 mod 761
128: 349128=34964+64=34964⋅34964 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 168 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 173131 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 1731=173
2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 159 mod 229
4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 91 mod 229
8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 37 mod 229
16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 224 mod 229
32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 25 mod 229
64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 25⋅25=625 ≡ 167 mod 229
128: 173128=17364+64=17364⋅17364 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 180 mod 229
173131
= 173128+2+1
= 173128⋅1732⋅1731
≡ 180 ⋅ 159 ⋅ 173 mod 229
≡ 28620 ⋅ 173 mod 229 ≡ 224 ⋅ 173 mod 229
≡ 38752 mod 229 ≡ 51 mod 229
Es gilt also: 173131 ≡ 51 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80
| =>101 | = 1⋅80 + 21 |
| =>80 | = 3⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 80-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +24⋅80
Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1
Somit 24⋅80 = 1 mod 101
24 ist also das Inverse von 80 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
