Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 + 3004) mod 6 ≡ (2400 mod 6 + 3004 mod 6) mod 6.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004 = 3000+4 = 6 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(2400 + 3004) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 18) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 18 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 18) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 74¹=74

2: 74²=74¹⁺¹=74¹⋅74¹ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 174 mod 241

4: 74⁴=74²⁺²=74²⋅74² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 151 mod 241

8: 74⁸=74⁴⁺⁴=74⁴⋅74⁴ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241

16: 74¹⁶=74⁸⁺⁸=74⁸⋅74⁸ ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

452²⁰⁷

= 452^{128+64+8+4+2+1}

= 452¹²⁸⋅452⁶⁴⋅452⁸⋅452⁴⋅452²⋅452¹

≡ 109 ⋅ 45 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
≡ 4905 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 115 ⋅ 210 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
≡ 24150 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 200 ⋅ 230 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
≡ 46000 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479 ≡ 16 ⋅ 250 ⋅ 452 mod 479
≡ 4000 ⋅ 452 mod 479 ≡ 168 ⋅ 452 mod 479
≡ 75936 mod 479 ≡ 254 mod 479

Es gilt also: 452²⁰⁷ ≡ 254 mod 479

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53	= 1⋅35 + 18
=>35	= 1⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35) = -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53