Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 + 150) mod 3 ≡ (9000 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(9000 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 44) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 44) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 93416 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 934 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9341=934
2: 9342=9341+1=9341⋅9341 ≡ 934⋅934=872356 ≡ 398 mod 971
4: 9344=9342+2=9342⋅9342 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 131 mod 971
8: 9348=9344+4=9344⋅9344 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 654 mod 971
16: 93416=9348+8=9348⋅9348 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 476 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 94128 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:
128 = 128
1: 941=94
2: 942=941+1=941⋅941 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 240 mod 307
4: 944=942+2=942⋅942 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 191 mod 307
8: 948=944+4=944⋅944 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 255 mod 307
16: 9416=948+8=948⋅948 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 248 mod 307
32: 9432=9416+16=9416⋅9416 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 104 mod 307
64: 9464=9432+32=9432⋅9432 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 71 mod 307
128: 94128=9464+64=9464⋅9464 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 129 mod 307
94128
= 94128
= 94128
≡ 129 mod 307
Es gilt also: 94128 ≡ 129 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
