Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (250 + 154) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(250 + 154) mod 5 ≡ (250 mod 5 + 154 mod 5) mod 5.
250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250
= 250
154 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154
= 150
Somit gilt:
(250 + 154) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4698 mod 509.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 73 mod 509
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 239 mod 509
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 113 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 250112 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 91 mod 293
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 77 mod 293
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 69 mod 293
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 73 mod 293
32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 55 mod 293
64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 95 mod 293
250112
= 25064+32+16
= 25064⋅25032⋅25016
≡ 95 ⋅ 55 ⋅ 73 mod 293
≡ 5225 ⋅ 73 mod 293 ≡ 244 ⋅ 73 mod 293
≡ 17812 mod 293 ≡ 232 mod 293
Es gilt also: 250112 ≡ 232 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
