Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6003 + 241) mod 6 ≡ (6003 mod 6 + 241 mod 6) mod 6.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

241 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 6 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(6003 + 241) mod 6 ≡ (3 + 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 56) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 56 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 56) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 173 mod 263

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 210 mod 263

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 179 mod 263

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 218 mod 263

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

428¹²⁵

= 428^{64+32+16+8+4+1}

= 428⁶⁴⋅428³²⋅428¹⁶⋅428⁸⋅428⁴⋅428¹

≡ 840 ⋅ 686 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
≡ 576240 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 524 ⋅ 241 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
≡ 126284 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 15 ⋅ 437 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
≡ 6555 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883 ≡ 374 ⋅ 820 ⋅ 428 mod 883
≡ 306680 ⋅ 428 mod 883 ≡ 279 ⋅ 428 mod 883
≡ 119412 mod 883 ≡ 207 mod 883

Es gilt also: 428¹²⁵ ≡ 207 mod 883

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59	= 1⋅37 + 22
=>37	= 1⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37) = 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59