Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25005 + 5002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 + 5002) mod 5 ≡ (25005 mod 5 + 5002 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002 = 5000+2 = 5 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(25005 + 5002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 42) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 42) mod 4 ≡ (82 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 42) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1308 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 13 mod 433

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 433

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 416 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 787243 mod 821.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 7871=787

2: 7872=7871+1=7871⋅7871 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 335 mod 821

4: 7874=7872+2=7872⋅7872 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 569 mod 821

8: 7878=7874+4=7874⋅7874 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 287 mod 821

16: 78716=7878+8=7878⋅7878 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 269 mod 821

32: 78732=78716+16=78716⋅78716 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 113 mod 821

64: 78764=78732+32=78732⋅78732 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 454 mod 821

128: 787128=78764+64=78764⋅78764 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 45 mod 821

787243

= 787128+64+32+16+2+1

= 787128⋅78764⋅78732⋅78716⋅7872⋅7871

45 ⋅ 454 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
20430 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 726 ⋅ 113 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
82038 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 759 ⋅ 269 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
204171 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821 ≡ 563 ⋅ 335 ⋅ 787 mod 821
188605 ⋅ 787 mod 821 ≡ 596 ⋅ 787 mod 821
469052 mod 821 ≡ 261 mod 821

Es gilt also: 787243 ≡ 261 mod 821

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67 = 1⋅44 + 23
=>44 = 1⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23)
= 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44)
= 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44)
= -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.