Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 + 2497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 + 2497) mod 5 ≡ (15002 mod 5 + 2497 mod 5) mod 5.

15002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 5 ⋅ 3000 +2.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

Somit gilt:

(15002 + 2497) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 97) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 97) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 97) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238128 mod 383.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,383) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 343 mod 383

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 68 mod 383

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 28 mod 383

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 28⋅28=784 ≡ 18 mod 383

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 383

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 34 mod 383

128: 238128=23864+64=23864⋅23864 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 7 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 374242 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:

242 = 128+64+32+16+2

1: 3741=374

2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 328 mod 401

4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 116 mod 401

8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 223 mod 401

16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 5 mod 401

32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 401

64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401

128: 374128=37464+64=37464⋅37464 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401

374242

= 374128+64+32+16+2

= 374128⋅37464⋅37432⋅37416⋅3742

51 ⋅ 224 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
11424 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401 ≡ 196 ⋅ 25 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
4900 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401 ≡ 88 ⋅ 5 ⋅ 328 mod 401
440 ⋅ 328 mod 401 ≡ 39 ⋅ 328 mod 401
12792 mod 401 ≡ 361 mod 401

Es gilt also: 374242 ≡ 361 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.