Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (599 + 12000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(599 + 12000) mod 6 ≡ (599 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.

599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 6 ⋅ 100 -1 = 6 ⋅ 100 - 6 + 5.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(599 + 12000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 95) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 95) mod 7 ≡ (88 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 95) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14864 mod 311.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 148 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 134 mod 311

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 229 mod 311

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 193 mod 311

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 240 mod 311

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 65 mod 311

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 182 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34099 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 3401=340

2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 313 mod 463

4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 276 mod 463

8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 244 mod 463

16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 272 mod 463

32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 367 mod 463

64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 419 mod 463

34099

= 34064+32+2+1

= 34064⋅34032⋅3402⋅3401

419 ⋅ 367 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463
153773 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463 ≡ 57 ⋅ 313 ⋅ 340 mod 463
17841 ⋅ 340 mod 463 ≡ 247 ⋅ 340 mod 463
83980 mod 463 ≡ 177 mod 463

Es gilt also: 34099 ≡ 177 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35

=>73 = 2⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 73-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35)
= 12⋅73 -25⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -25⋅35

-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35

-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1

(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1

48⋅35 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1

Somit 48⋅35 = 1 mod 73

48 ist also das Inverse von 35 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.