Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 - 12000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 - 12000) mod 4 ≡ (8004 mod 4 - 12000 mod 4) mod 4.
8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(8004 - 12000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 50) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 50) mod 4 ≡ (48 mod 4 ⋅ 50 mod 4) mod 4.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 50) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4418 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 160 mod 613
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 467 mod 613
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 474 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241161 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 117 mod 337
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 209 mod 337
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 208 mod 337
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337
241161
= 241128+32+1
= 241128⋅24132⋅2411
≡ 208 ⋅ 208 ⋅ 241 mod 337
≡ 43264 ⋅ 241 mod 337 ≡ 128 ⋅ 241 mod 337
≡ 30848 mod 337 ≡ 181 mod 337
Es gilt also: 241161 ≡ 181 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
