Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (454 + 352) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(454 + 352) mod 9 ≡ (454 mod 9 + 352 mod 9) mod 9.
454 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 454
= 450
352 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 360
Somit gilt:
(454 + 352) mod 9 ≡ (4 + 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 81) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 81) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.
87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 81) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310128 mod 587.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 419 mod 587
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 48 mod 587
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 543 mod 587
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 175 mod 587
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 101 mod 587
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 222 mod 587
128: 310128=31064+64=31064⋅31064 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 563 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15667 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 1561=156
2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 80 mod 379
4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 336 mod 379
8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 333 mod 379
16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 221 mod 379
32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 329 mod 379
64: 15664=15632+32=15632⋅15632 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 226 mod 379
15667
= 15664+2+1
= 15664⋅1562⋅1561
≡ 226 ⋅ 80 ⋅ 156 mod 379
≡ 18080 ⋅ 156 mod 379 ≡ 267 ⋅ 156 mod 379
≡ 41652 mod 379 ≡ 341 mod 379
Es gilt also: 15667 ≡ 341 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45
| =>83 | = 1⋅45 + 38 |
| =>45 | = 1⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 45-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1) |
| 38= 83-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +24⋅45
Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1
Somit 24⋅45 = 1 mod 83
24 ist also das Inverse von 45 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
