Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16000 + 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16000 + 804) mod 4 ≡ (16000 mod 4 + 804 mod 4) mod 4.
16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(16000 + 804) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 38) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 38) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.
15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 38) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29232 mod 691.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 271 mod 691
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 195 mod 691
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 20 mod 691
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 691
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 379 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 726180 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 7261=726
2: 7262=7261+1=7261⋅7261 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883
4: 7264=7262+2=7262⋅7262 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 327 mod 883
8: 7268=7264+4=7264⋅7264 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 86 mod 883
16: 72616=7268+8=7268⋅7268 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 332 mod 883
32: 72632=72616+16=72616⋅72616 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883
64: 72664=72632+32=72632⋅72632 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 726 mod 883
128: 726128=72664+64=72664⋅72664 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883
726180
= 726128+32+16+4
= 726128⋅72632⋅72616⋅7264
≡ 808 ⋅ 732 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883
≡ 591456 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883 ≡ 729 ⋅ 332 ⋅ 327 mod 883
≡ 242028 ⋅ 327 mod 883 ≡ 86 ⋅ 327 mod 883
≡ 28122 mod 883 ≡ 749 mod 883
Es gilt also: 726180 ≡ 749 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72
| =>97 | = 1⋅72 + 25 |
| =>72 | = 2⋅25 + 22 |
| =>25 | = 1⋅22 + 3 |
| =>22 | = 7⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-7⋅3 | |||
| 3= 25-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1) |
| 22= 72-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 97-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72
oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅97 = +31⋅72
Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1
Somit 31⋅72 = 1 mod 97
31 ist also das Inverse von 72 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
