Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 + 7996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 + 7996) mod 4 ≡ (2002 mod 4 + 7996 mod 4) mod 4.
2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996
= 7000
Somit gilt:
(2002 + 7996) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 68) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 68) mod 5 ≡ (20 mod 5 ⋅ 68 mod 5) mod 5.
20 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 4 ⋅ 5 + 0 ist.
68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 68) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30932 mod 757.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 99 mod 757
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 717 mod 757
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 86 mod 757
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 583 mod 757
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 753 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 289127 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 161 mod 521
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 392 mod 521
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 490 mod 521
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 440 mod 521
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 309 mod 521
64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 138 mod 521
289127
= 28964+32+16+8+4+2+1
= 28964⋅28932⋅28916⋅2898⋅2894⋅2892⋅2891
≡ 138 ⋅ 309 ⋅ 440 ⋅ 490 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521
≡ 42642 ⋅ 440 ⋅ 490 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521 ≡ 441 ⋅ 440 ⋅ 490 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521
≡ 194040 ⋅ 490 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521 ≡ 228 ⋅ 490 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521
≡ 111720 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521 ≡ 226 ⋅ 392 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521
≡ 88592 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521 ≡ 22 ⋅ 161 ⋅ 289 mod 521
≡ 3542 ⋅ 289 mod 521 ≡ 416 ⋅ 289 mod 521
≡ 120224 mod 521 ≡ 394 mod 521
Es gilt also: 289127 ≡ 394 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40
| =>67 | = 1⋅40 + 27 |
| =>40 | = 1⋅27 + 13 |
| =>27 | = 2⋅13 + 1 |
| =>13 | = 13⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 27-2⋅13 | |||
| 13= 40-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1) |
| 27= 67-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -5⋅40
-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40
-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1
(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1
62⋅40 = 37⋅67 + 1
Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1
Somit 62⋅40 = 1 mod 67
62 ist also das Inverse von 40 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
