Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (119 - 12001) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(119 - 12001) mod 3 ≡ (119 mod 3 - 12001 mod 3) mod 3.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 3 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(119 - 12001) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 74) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 74) mod 9 ≡ (69 mod 9 ⋅ 74 mod 9) mod 9.

69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 74) mod 9 ≡ (6 ⋅ 2) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44232 mod 719.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 442 -> x
2. mod(x²,719) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4421=442

2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 515 mod 719

4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 633 mod 719

8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 206 mod 719

16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 15 mod 719

32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 211139 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 107 mod 419

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 136 mod 419

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 60 mod 419

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 248 mod 419

32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 330 mod 419

64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 379 mod 419

128: 211128=21164+64=21164⋅21164 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 343 mod 419

211139

= 211128+8+2+1

= 211128⋅2118⋅2112⋅2111

343 ⋅ 60 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419
20580 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419 ≡ 49 ⋅ 107 ⋅ 211 mod 419
5243 ⋅ 211 mod 419 ≡ 215 ⋅ 211 mod 419
45365 mod 419 ≡ 113 mod 419

Es gilt also: 211139 ≡ 113 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.