Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24000 - 806) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24000 - 806) mod 8 ≡ (24000 mod 8 - 806 mod 8) mod 8.
24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
Somit gilt:
(24000 - 806) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 15) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 15) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.
44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 15) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25964 mod 337.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 18 mod 337
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 337
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 169 mod 337
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 253 mod 337
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 316 mod 337
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 104 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 165228 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 1651=165
2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 233 mod 241
4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 64 mod 241
8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 240 mod 241
16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 1 mod 241
32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241
64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241
128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241
165228
= 165128+64+32+4
= 165128⋅16564⋅16532⋅1654
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 64 mod 241
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 64 mod 241
≡ 1 ⋅ 64 mod 241
≡ 64 mod 241
Es gilt also: 165228 ≡ 64 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69
| =>97 | = 1⋅69 + 28 |
| =>69 | = 2⋅28 + 13 |
| =>28 | = 2⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 28-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 69-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1) |
| 28= 97-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69
oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅97 = +45⋅69
Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1
Somit 45⋅69 = 1 mod 97
45 ist also das Inverse von 69 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
