Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20002 + 4003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20002 + 4003) mod 4 ≡ (20002 mod 4 + 4003 mod 4) mod 4.
20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
Somit gilt:
(20002 + 4003) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 67) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 67) mod 4 ≡ (20 mod 4 ⋅ 67 mod 4) mod 4.
20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.
67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 67) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4068 mod 577.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 406 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 391 mod 577
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 553 mod 577
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 270202 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 232 mod 491
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 305 mod 491
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 226 mod 491
16: 27016=2708+8=2708⋅2708 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 12 mod 491
32: 27032=27016+16=27016⋅27016 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 491
64: 27064=27032+32=27032⋅27032 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 114 mod 491
128: 270128=27064+64=27064⋅27064 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 230 mod 491
270202
= 270128+64+8+2
= 270128⋅27064⋅2708⋅2702
≡ 230 ⋅ 114 ⋅ 226 ⋅ 232 mod 491
≡ 26220 ⋅ 226 ⋅ 232 mod 491 ≡ 197 ⋅ 226 ⋅ 232 mod 491
≡ 44522 ⋅ 232 mod 491 ≡ 332 ⋅ 232 mod 491
≡ 77024 mod 491 ≡ 428 mod 491
Es gilt also: 270202 ≡ 428 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
