Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 - 328) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 - 328) mod 8 ≡ (157 mod 8 - 328 mod 8) mod 8.
157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328
= 320
Somit gilt:
(157 - 328) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 30) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 30) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 30 mod 4) mod 4.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 30) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4138 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4131=413
2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 558 mod 863
4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 684 mod 863
8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 110 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380153 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:
153 = 128+16+8+1
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 22 mod 617
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 617
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 413 mod 617
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 277 mod 617
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 221 mod 617
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 98 mod 617
128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 349 mod 617
380153
= 380128+16+8+1
= 380128⋅38016⋅3808⋅3801
≡ 349 ⋅ 277 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617
≡ 96673 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617 ≡ 421 ⋅ 413 ⋅ 380 mod 617
≡ 173873 ⋅ 380 mod 617 ≡ 496 ⋅ 380 mod 617
≡ 188480 mod 617 ≡ 295 mod 617
Es gilt also: 380153 ≡ 295 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66
| =>83 | = 1⋅66 + 17 |
| =>66 | = 3⋅17 + 15 |
| =>17 | = 1⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 17-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1) |
| 15= 66-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1) |
| 17= 83-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +39⋅66
Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1
Somit 39⋅66 = 1 mod 83
39 ist also das Inverse von 66 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
