Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3204 + 328) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3204 + 328) mod 8 ≡ (3204 mod 8 + 328 mod 8) mod 8.
3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204
= 3200
328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328
= 320
Somit gilt:
(3204 + 328) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 76) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 76) mod 7 ≡ (35 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 76) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6178 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 617 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6171=617
2: 6172=6171+1=6171⋅6171 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 643 mod 653
4: 6174=6172+2=6172⋅6172 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 100 mod 653
8: 6178=6174+4=6174⋅6174 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 205 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 458197 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 4581=458
2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 739 mod 929
4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 798 mod 929
8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 439 mod 929
16: 45816=4588+8=4588⋅4588 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 418 mod 929
32: 45832=45816+16=45816⋅45816 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 72 mod 929
64: 45864=45832+32=45832⋅45832 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 539 mod 929
128: 458128=45864+64=45864⋅45864 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
458197
= 458128+64+4+1
= 458128⋅45864⋅4584⋅4581
≡ 673 ⋅ 539 ⋅ 798 ⋅ 458 mod 929
≡ 362747 ⋅ 798 ⋅ 458 mod 929 ≡ 437 ⋅ 798 ⋅ 458 mod 929
≡ 348726 ⋅ 458 mod 929 ≡ 351 ⋅ 458 mod 929
≡ 160758 mod 929 ≡ 41 mod 929
Es gilt also: 458197 ≡ 41 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
