Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2797 - 696) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2797 - 696) mod 7 ≡ (2797 mod 7 - 696 mod 7) mod 7.
2797 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2797
= 2800
696 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 696
= 700
Somit gilt:
(2797 - 696) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 46) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 46) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.
48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 46) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28832 mod 349.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 231 mod 349
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 313 mod 349
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 249 mod 349
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 228 mod 349
32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 332 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40269 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 211 mod 643
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 154 mod 643
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 568 mod 643
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 481 mod 643
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 524 mod 643
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 15 mod 643
40269
= 40264+4+1
= 40264⋅4024⋅4021
≡ 15 ⋅ 154 ⋅ 402 mod 643
≡ 2310 ⋅ 402 mod 643 ≡ 381 ⋅ 402 mod 643
≡ 153162 mod 643 ≡ 128 mod 643
Es gilt also: 40269 ≡ 128 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
