Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3202 + 239) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3202 + 239) mod 8 ≡ (3202 mod 8 + 239 mod 8) mod 8.
3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202
= 3200
239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(3202 + 239) mod 8 ≡ (2 + 7) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 22) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 22) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.
22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 22) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34132 mod 977.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 18 mod 977
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 977
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 437 mod 977
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 454 mod 977
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 946 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26681 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:
81 = 64+16+1
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 146 mod 307
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 133 mod 307
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 190 mod 307
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 181 mod 307
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307
26681
= 26664+16+1
= 26664⋅26616⋅2661
≡ 69 ⋅ 181 ⋅ 266 mod 307
≡ 12489 ⋅ 266 mod 307 ≡ 209 ⋅ 266 mod 307
≡ 55594 mod 307 ≡ 27 mod 307
Es gilt also: 26681 ≡ 27 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
