Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 3000) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(1198 - 3000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 71) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 71) mod 9 ≡ (2 ⋅ 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 342¹=342

2: 342²=342¹⁺¹=342¹⋅342¹ ≡ 342⋅342=116964 ≡ 417 mod 733

4: 342⁴=342²⁺²=342²⋅342² ≡ 417⋅417=173889 ≡ 168 mod 733

8: 342⁸=342⁴⁺⁴=342⁴⋅342⁴ ≡ 168⋅168=28224 ≡ 370 mod 733

16: 342¹⁶=342⁸⁺⁸=342⁸⋅342⁸ ≡ 370⋅370=136900 ≡ 562 mod 733

32: 342³²=342¹⁶⁺¹⁶=342¹⁶⋅342¹⁶ ≡ 562⋅562=315844 ≡ 654 mod 733

64: 342⁶⁴=342³²⁺³²=342³²⋅342³² ≡ 654⋅654=427716 ≡ 377 mod 733

128: 342¹²⁸=342⁶⁴⁺⁶⁴=342⁶⁴⋅342⁶⁴ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 660 mod 733

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

143¹³⁴

= 143^128+4+2

= 143¹²⁸⋅143⁴⋅143²

≡ 396 ⋅ 53 ⋅ 255 mod 439
≡ 20988 ⋅ 255 mod 439 ≡ 355 ⋅ 255 mod 439
≡ 90525 mod 439 ≡ 91 mod 439

Es gilt also: 143¹³⁴ ≡ 91 mod 439

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89