Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 + 2002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 + 2002) mod 4 ≡ (117 mod 4 + 2002 mod 4) mod 4.
117 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(117 + 2002) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 31) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 31) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 31 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 31) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17432 mod 251.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 156 mod 251
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 240 mod 251
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 121 mod 251
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 83 mod 251
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 112 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 575154 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 5751=575
2: 5752=5751+1=5751⋅5751 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 85 mod 787
4: 5754=5752+2=5752⋅5752 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 142 mod 787
8: 5758=5754+4=5754⋅5754 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 489 mod 787
16: 57516=5758+8=5758⋅5758 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 660 mod 787
32: 57532=57516+16=57516⋅57516 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 389 mod 787
64: 57564=57532+32=57532⋅57532 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 217 mod 787
128: 575128=57564+64=57564⋅57564 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 656 mod 787
575154
= 575128+16+8+2
= 575128⋅57516⋅5758⋅5752
≡ 656 ⋅ 660 ⋅ 489 ⋅ 85 mod 787
≡ 432960 ⋅ 489 ⋅ 85 mod 787 ≡ 110 ⋅ 489 ⋅ 85 mod 787
≡ 53790 ⋅ 85 mod 787 ≡ 274 ⋅ 85 mod 787
≡ 23290 mod 787 ≡ 467 mod 787
Es gilt also: 575154 ≡ 467 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66
| =>83 | = 1⋅66 + 17 |
| =>66 | = 3⋅17 + 15 |
| =>17 | = 1⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 17-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1) |
| 15= 66-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17)
= -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1) |
| 17= 83-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66)
= 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66
oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅83 = +39⋅66
Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1
Somit 39⋅66 = 1 mod 83
39 ist also das Inverse von 66 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
