Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 - 95) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 - 95) mod 5 ≡ (2504 mod 5 - 95 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(2504 - 95) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 61) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 61) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.
75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.
61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 61) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58964 mod 607.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 589 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5891=589
2: 5892=5891+1=5891⋅5891 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 324 mod 607
4: 5894=5892+2=5892⋅5892 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 572 mod 607
8: 5898=5894+4=5894⋅5894 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 11 mod 607
16: 58916=5898+8=5898⋅5898 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 607
32: 58932=58916+16=58916⋅58916 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 73 mod 607
64: 58964=58932+32=58932⋅58932 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 473 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 434149 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 4341=434
2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 517 mod 773
4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 604 mod 773
8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 733 mod 773
16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 54 mod 773
32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 597 mod 773
64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 56 mod 773
128: 434128=43464+64=43464⋅43464 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 44 mod 773
434149
= 434128+16+4+1
= 434128⋅43416⋅4344⋅4341
≡ 44 ⋅ 54 ⋅ 604 ⋅ 434 mod 773
≡ 2376 ⋅ 604 ⋅ 434 mod 773 ≡ 57 ⋅ 604 ⋅ 434 mod 773
≡ 34428 ⋅ 434 mod 773 ≡ 416 ⋅ 434 mod 773
≡ 180544 mod 773 ≡ 435 mod 773
Es gilt also: 434149 ≡ 435 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
