Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 - 65) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 - 65) mod 7 ≡ (67 mod 7 - 65 mod 7) mod 7.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67
= 70
65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 70
Somit gilt:
(67 - 65) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 15) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 15) mod 9 ≡ (57 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.
57 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 6 ⋅ 9 + 3 ist.
15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 15) mod 9 ≡ (3 ⋅ 6) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47664 mod 499.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 30 mod 499
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 30⋅30=900 ≡ 401 mod 499
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 123 mod 499
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 159 mod 499
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 331 mod 499
64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 280 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 476212 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:
212 = 128+64+16+4
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 154 mod 599
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 355 mod 599
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 235 mod 599
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 117 mod 599
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 511 mod 599
64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 556 mod 599
128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 52 mod 599
476212
= 476128+64+16+4
= 476128⋅47664⋅47616⋅4764
≡ 52 ⋅ 556 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599
≡ 28912 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599 ≡ 160 ⋅ 117 ⋅ 355 mod 599
≡ 18720 ⋅ 355 mod 599 ≡ 151 ⋅ 355 mod 599
≡ 53605 mod 599 ≡ 294 mod 599
Es gilt also: 476212 ≡ 294 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35
| =>61 | = 1⋅35 + 26 |
| =>35 | = 1⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1) |
| 26= 61-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35
oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅61 = +7⋅35
Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1
Somit 7⋅35 = 1 mod 61
7 ist also das Inverse von 35 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
