Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24999 + 97) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24999 + 97) mod 5 ≡ (24999 mod 5 + 97 mod 5) mod 5.
24999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24999
= 24000
97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97
= 90
Somit gilt:
(24999 + 97) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 91) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 91) mod 4 ≡ (80 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.
91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 91) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86416 mod 883.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 864 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8641=864
2: 8642=8641+1=8641⋅8641 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 361 mod 883
4: 8644=8642+2=8642⋅8642 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 520 mod 883
8: 8648=8644+4=8644⋅8644 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 202 mod 883
16: 86416=8648+8=8648⋅8648 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 186 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 378102 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 3781=378
2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 505 mod 823
4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 718 mod 823
8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 326 mod 823
16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 109 mod 823
32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 359 mod 823
64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 493 mod 823
378102
= 37864+32+4+2
= 37864⋅37832⋅3784⋅3782
≡ 493 ⋅ 359 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823
≡ 176987 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823 ≡ 42 ⋅ 718 ⋅ 505 mod 823
≡ 30156 ⋅ 505 mod 823 ≡ 528 ⋅ 505 mod 823
≡ 266640 mod 823 ≡ 811 mod 823
Es gilt also: 378102 ≡ 811 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38
| =>53 | = 1⋅38 + 15 |
| =>38 | = 2⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 38-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15) = 2⋅38 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38) = -5⋅53 +7⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +7⋅38
Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1
Somit 7⋅38 = 1 mod 53
7 ist also das Inverse von 38 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
