Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 + 12002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 + 12002) mod 4 ≡ (197 mod 4 + 12002 mod 4) mod 4.
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(197 + 12002) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 21) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 21) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 21) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 275128 mod 331.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2751=275
2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 157 mod 331
4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 155 mod 331
8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 193 mod 331
16: 27516=2758+8=2758⋅2758 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 177 mod 331
32: 27532=27516+16=27516⋅27516 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 215 mod 331
64: 27564=27532+32=27532⋅27532 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331
128: 275128=27564+64=27564⋅27564 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 259112 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 58 mod 677
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 656 mod 677
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 441 mod 677
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 182 mod 677
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 628 mod 677
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 370 mod 677
259112
= 25964+32+16
= 25964⋅25932⋅25916
≡ 370 ⋅ 628 ⋅ 182 mod 677
≡ 232360 ⋅ 182 mod 677 ≡ 149 ⋅ 182 mod 677
≡ 27118 mod 677 ≡ 38 mod 677
Es gilt also: 259112 ≡ 38 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35
| =>59 | = 1⋅35 + 24 |
| =>35 | = 1⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 35-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 59-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +27⋅35
Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1
Somit 27⋅35 = 1 mod 59
27 ist also das Inverse von 35 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
