Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (295 + 11994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(295 + 11994) mod 6 ≡ (295 mod 6 + 11994 mod 6) mod 6.
295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295
= 300
11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994
= 12000
Somit gilt:
(295 + 11994) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 75) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 75) mod 4 ≡ (45 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.
45 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 11 ⋅ 4 + 1 ist.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 75) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18464 mod 211.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 96 mod 211
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 143 mod 211
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211
16: 18416=1848+8=1848⋅1848 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211
32: 18432=18416+16=18416⋅18416 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211
64: 18464=18432+32=18432⋅18432 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 65 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 391242 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 242 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 242 an und zerlegen 242 in eine Summer von 2er-Potenzen:
242 = 128+64+32+16+2
1: 3911=391
2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 80 mod 479
4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 173 mod 479
8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 231 mod 479
16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 192 mod 479
32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 460 mod 479
64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 361 mod 479
128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 33 mod 479
391242
= 391128+64+32+16+2
= 391128⋅39164⋅39132⋅39116⋅3912
≡ 33 ⋅ 361 ⋅ 460 ⋅ 192 ⋅ 80 mod 479
≡ 11913 ⋅ 460 ⋅ 192 ⋅ 80 mod 479 ≡ 417 ⋅ 460 ⋅ 192 ⋅ 80 mod 479
≡ 191820 ⋅ 192 ⋅ 80 mod 479 ≡ 220 ⋅ 192 ⋅ 80 mod 479
≡ 42240 ⋅ 80 mod 479 ≡ 88 ⋅ 80 mod 479
≡ 7040 mod 479 ≡ 334 mod 479
Es gilt also: 391242 ≡ 334 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
