Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 + 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 + 58) mod 3 ≡ (29 mod 3 + 58 mod 3) mod 3.
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58
= 60
Somit gilt:
(29 + 58) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 24) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 24) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 24 mod 7) mod 7.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
24 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 21 + 3 = 3 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 24) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3818 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 493 mod 613
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 301 mod 613
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 490 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12662 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:
62 = 32+16+8+4+2
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 211 mod 241
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 177 mod 241
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 240 mod 241
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 1 mod 241
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 241
12662
= 12632+16+8+4+2
= 12632⋅12616⋅1268⋅1264⋅1262
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 240 ⋅ 177 ⋅ 211 mod 241
≡ 1 ⋅ 240 ⋅ 177 ⋅ 211 mod 241
≡ 240 ⋅ 177 ⋅ 211 mod 241
≡ 42480 ⋅ 211 mod 241 ≡ 64 ⋅ 211 mod 241
≡ 13504 mod 241 ≡ 8 mod 241
Es gilt also: 12662 ≡ 8 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45
| =>83 | = 1⋅45 + 38 |
| =>45 | = 1⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 45-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1) |
| 38= 83-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +24⋅45
Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1
Somit 24⋅45 = 1 mod 83
24 ist also das Inverse von 45 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
