Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36005 - 1806) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36005 - 1806) mod 9 ≡ (36005 mod 9 - 1806 mod 9) mod 9.

36005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36005 = 36000+5 = 9 ⋅ 4000 +5.

1806 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806 = 1800+6 = 9 ⋅ 200 +6.

Somit gilt:

(36005 - 1806) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 63) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 63) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49732 mod 647.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,647) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4971=497

2: 4972=4971+1=4971⋅4971 ≡ 497⋅497=247009 ≡ 502 mod 647

4: 4974=4972+2=4972⋅4972 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 321 mod 647

8: 4978=4974+4=4974⋅4974 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 168 mod 647

16: 49716=4978+8=4978⋅4978 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 403 mod 647

32: 49732=49716+16=49716⋅49716 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 12 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53768 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 5371=537

2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 203 mod 967

4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 595 mod 967

8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 103 mod 967

16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 939 mod 967

32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 784 mod 967

64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 611 mod 967

53768

= 53764+4

= 53764⋅5374

611 ⋅ 595 mod 967
363545 mod 967 ≡ 920 mod 967

Es gilt also: 53768 ≡ 920 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 67

=>83 = 1⋅67 + 16
=>67 = 4⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 67-4⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(67 -4⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅67 +20⋅ 16)
= -5⋅67 +21⋅ 16 (=1)
16= 83-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅67 +21⋅(83 -1⋅ 67)
= -5⋅67 +21⋅83 -21⋅ 67)
= 21⋅83 -26⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(83,67)=1 = 21⋅83 -26⋅67

oder wenn man 21⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -21⋅83 = -26⋅67

-26⋅67 = -21⋅83 + 1 |+83⋅67

-26⋅67 + 83⋅67 = -21⋅83 + 83⋅67 + 1

(-26 + 83) ⋅ 67 = (-21 + 67) ⋅ 83 + 1

57⋅67 = 46⋅83 + 1

Es gilt also: 57⋅67 = 46⋅83 +1

Somit 57⋅67 = 1 mod 83

57 ist also das Inverse von 67 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.