Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 - 16000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 - 16000) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 16000 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(43 - 16000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 65) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 65) mod 10 ≡ (82 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 65) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26264 mod 569.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 364 mod 569

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 488 mod 569

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 302 mod 569

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 153 mod 569

64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 80 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 474226 mod 503.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 4741=474

2: 4742=4741+1=4741⋅4741 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 338 mod 503

4: 4744=4742+2=4742⋅4742 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 63 mod 503

8: 4748=4744+4=4744⋅4744 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 448 mod 503

16: 47416=4748+8=4748⋅4748 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 7 mod 503

32: 47432=47416+16=47416⋅47416 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 503

64: 47464=47432+32=47432⋅47432 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 389 mod 503

128: 474128=47464+64=47464⋅47464 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 421 mod 503

474226

= 474128+64+32+2

= 474128⋅47464⋅47432⋅4742

421 ⋅ 389 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503
163769 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503 ≡ 294 ⋅ 49 ⋅ 338 mod 503
14406 ⋅ 338 mod 503 ≡ 322 ⋅ 338 mod 503
108836 mod 503 ≡ 188 mod 503

Es gilt also: 474226 ≡ 188 mod 503

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45

=>59 = 1⋅45 + 14
=>45 = 3⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 45-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14)
= 5⋅45 -16⋅ 14 (=1)
14= 59-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45)
= -16⋅59 +21⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +21⋅45

Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1

Somit 21⋅45 = 1 mod 59

21 ist also das Inverse von 45 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.