Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39996 + 31993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39996 + 31993) mod 8 ≡ (39996 mod 8 + 31993 mod 8) mod 8.
39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996
= 39000
31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993
= 31000
Somit gilt:
(39996 + 31993) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 53) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 53) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.
95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.
53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 53) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6788 mod 683.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 678 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6781=678
2: 6782=6781+1=6781⋅6781 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 25 mod 683
4: 6784=6782+2=6782⋅6782 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 683
8: 6788=6784+4=6784⋅6784 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 632 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 209109 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 266 mod 457
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 378 mod 457
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 300 mod 457
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 428 mod 457
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 384 mod 457
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 302 mod 457
209109
= 20964+32+8+4+1
= 20964⋅20932⋅2098⋅2094⋅2091
≡ 302 ⋅ 384 ⋅ 300 ⋅ 378 ⋅ 209 mod 457
≡ 115968 ⋅ 300 ⋅ 378 ⋅ 209 mod 457 ≡ 347 ⋅ 300 ⋅ 378 ⋅ 209 mod 457
≡ 104100 ⋅ 378 ⋅ 209 mod 457 ≡ 361 ⋅ 378 ⋅ 209 mod 457
≡ 136458 ⋅ 209 mod 457 ≡ 272 ⋅ 209 mod 457
≡ 56848 mod 457 ≡ 180 mod 457
Es gilt also: 209109 ≡ 180 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 41
| =>89 | = 2⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 89-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(89 -2⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅89 -12⋅ 41) = 6⋅89 -13⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,41)=1 = 6⋅89 -13⋅41
oder wenn man 6⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅89 = -13⋅41
-13⋅41 = -6⋅89 + 1 |+89⋅41
-13⋅41 + 89⋅41 = -6⋅89 + 89⋅41 + 1
(-13 + 89) ⋅ 41 = (-6 + 41) ⋅ 89 + 1
76⋅41 = 35⋅89 + 1
Es gilt also: 76⋅41 = 35⋅89 +1
Somit 76⋅41 = 1 mod 89
76 ist also das Inverse von 41 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
