Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 - 2105) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 - 2105) mod 7 ≡ (352 mod 7 - 2105 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
2105 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2105
= 2100
Somit gilt:
(352 - 2105) mod 7 ≡ (2 - 5) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 21) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 21) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 21 mod 8) mod 8.
30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.
21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 21) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 715128 mod 733.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 715 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7151=715
2: 7152=7151+1=7151⋅7151 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 324 mod 733
4: 7154=7152+2=7152⋅7152 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 157 mod 733
8: 7158=7154+4=7154⋅7154 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 460 mod 733
16: 71516=7158+8=7158⋅7158 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 496 mod 733
32: 71532=71516+16=71516⋅71516 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 461 mod 733
64: 71564=71532+32=71532⋅71532 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 684 mod 733
128: 715128=71564+64=71564⋅71564 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 202 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 59773 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 5971=597
2: 5972=5971+1=5971⋅5971 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 400 mod 617
4: 5974=5972+2=5972⋅5972 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 197 mod 617
8: 5978=5974+4=5974⋅5974 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 555 mod 617
16: 59716=5978+8=5978⋅5978 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 142 mod 617
32: 59732=59716+16=59716⋅59716 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
64: 59764=59732+32=59732⋅59732 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
59773
= 59764+8+1
= 59764⋅5978⋅5971
≡ 555 ⋅ 555 ⋅ 597 mod 617
≡ 308025 ⋅ 597 mod 617 ≡ 142 ⋅ 597 mod 617
≡ 84774 mod 617 ≡ 245 mod 617
Es gilt also: 59773 ≡ 245 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
