Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(504 - 4996) mod 5 ≡ (504 mod 5 - 4996 mod 5) mod 5.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996 = 4000+996 = 5 ⋅ 800 +996.

Somit gilt:

(504 - 4996) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 18) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 18) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 647¹=647

2: 647²=647¹⁺¹=647¹⋅647¹ ≡ 647⋅647=418609 ≡ 416 mod 773

4: 647⁴=647²⁺²=647²⋅647² ≡ 416⋅416=173056 ≡ 677 mod 773

8: 647⁸=647⁴⁺⁴=647⁴⋅647⁴ ≡ 677⋅677=458329 ≡ 713 mod 773

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

318²⁵¹

= 318^{128+64+32+16+8+2+1}

= 318¹²⁸⋅318⁶⁴⋅318³²⋅318¹⁶⋅318⁸⋅318²⋅318¹

≡ 314 ⋅ 343 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
≡ 107702 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 208 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
≡ 56784 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 9 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
≡ 3213 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 185 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
≡ 98235 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 582 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
≡ 257826 ⋅ 318 mod 757 ≡ 446 ⋅ 318 mod 757
≡ 141828 mod 757 ≡ 269 mod 757

Es gilt also: 318²⁵¹ ≡ 269 mod 757

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79	= 1⋅55 + 24
=>55	= 2⋅24 + 7
=>24	= 3⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24) = -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55) = 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79