Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35998 - 81) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35998 - 81) mod 9 ≡ (35998 mod 9 - 81 mod 9) mod 9.
35998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35998
= 36000
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 90
Somit gilt:
(35998 - 81) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 77) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 77) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.
40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.
77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 77) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 388128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 388 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 496 mod 521
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 104 mod 521
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 396 mod 521
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 516 mod 521
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 25 mod 521
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 25⋅25=625 ≡ 104 mod 521
128: 388128=38864+64=38864⋅38864 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 396 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 327120 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 343 mod 389
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 171 mod 389
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 66 mod 389
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 77 mod 389
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 94 mod 389
64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 278 mod 389
327120
= 32764+32+16+8
= 32764⋅32732⋅32716⋅3278
≡ 278 ⋅ 94 ⋅ 77 ⋅ 66 mod 389
≡ 26132 ⋅ 77 ⋅ 66 mod 389 ≡ 69 ⋅ 77 ⋅ 66 mod 389
≡ 5313 ⋅ 66 mod 389 ≡ 256 ⋅ 66 mod 389
≡ 16896 mod 389 ≡ 169 mod 389
Es gilt also: 327120 ≡ 169 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
