Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6000 + 12000) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6000 + 12000) mod 6 ≡ (6000 mod 6 + 12000 mod 6) mod 6.
6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(6000 + 12000) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 52) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 52) mod 8 ≡ (65 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.
65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.
52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 52) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 81416 mod 827.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 814 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8141=814
2: 8142=8141+1=8141⋅8141 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 169 mod 827
4: 8144=8142+2=8142⋅8142 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 443 mod 827
8: 8148=8144+4=8144⋅8144 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 250 mod 827
16: 81416=8148+8=8148⋅8148 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 475 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 243120 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 2431=243
2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 389 mod 419
4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 62 mod 419
8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 73 mod 419
16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 301 mod 419
32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 97 mod 419
64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 191 mod 419
243120
= 24364+32+16+8
= 24364⋅24332⋅24316⋅2438
≡ 191 ⋅ 97 ⋅ 301 ⋅ 73 mod 419
≡ 18527 ⋅ 301 ⋅ 73 mod 419 ≡ 91 ⋅ 301 ⋅ 73 mod 419
≡ 27391 ⋅ 73 mod 419 ≡ 156 ⋅ 73 mod 419
≡ 11388 mod 419 ≡ 75 mod 419
Es gilt also: 243120 ≡ 75 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.
Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92
| =>101 | = 1⋅92 + 9 |
| =>92 | = 10⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,92)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 92-10⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1) |
| 9= 101-1⋅92 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92
oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -41⋅101 = -45⋅92
-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92
-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1
(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1
56⋅92 = 51⋅101 + 1
Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1
Somit 56⋅92 = 1 mod 101
56 ist also das Inverse von 92 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
