Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20998 - 3505) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20998 - 3505) mod 7 ≡ (20998 mod 7 - 3505 mod 7) mod 7.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

3505 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3505 = 3500+5 = 7 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(20998 - 3505) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 82) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 82 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

82 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 16 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 82) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 317128 mod 829.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3171=317

2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 180 mod 829

4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 69 mod 829

8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829

16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 603 mod 829

32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 507 mod 829

64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 59 mod 829

128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 165 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 447118 mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 4471=447

2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 479 mod 643

4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 533 mod 643

8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 526 mod 643

16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 186 mod 643

32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 517 mod 643

64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 444 mod 643

447118

= 44764+32+16+4+2

= 44764⋅44732⋅44716⋅4474⋅4472

444 ⋅ 517 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
229548 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643 ≡ 640 ⋅ 186 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
119040 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643 ≡ 85 ⋅ 533 ⋅ 479 mod 643
45305 ⋅ 479 mod 643 ≡ 295 ⋅ 479 mod 643
141305 mod 643 ≡ 488 mod 643

Es gilt also: 447118 ≡ 488 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71 = 2⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29)
= 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.