Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 - 3208) mod 8 ≡ (4002 mod 8 - 3208 mod 8) mod 8.

4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 8 ⋅ 500 +2.

3208 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3208 = 3200+8 = 8 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(4002 - 3208) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 27) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 27) mod 11 ≡ (8 ⋅ 5) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 522¹=522

2: 522²=522¹⁺¹=522¹⋅522¹ ≡ 522⋅522=272484 ≡ 182 mod 787

4: 522⁴=522²⁺²=522²⋅522² ≡ 182⋅182=33124 ≡ 70 mod 787

8: 522⁸=522⁴⁺⁴=522⁴⋅522⁴ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 178 mod 787

16: 522¹⁶=522⁸⁺⁸=522⁸⋅522⁸ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 204 mod 787

32: 522³²=522¹⁶⁺¹⁶=522¹⁶⋅522¹⁶ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 692 mod 787

64: 522⁶⁴=522³²⁺³²=522³²⋅522³² ≡ 692⋅692=478864 ≡ 368 mod 787

128: 522¹²⁸=522⁶⁴⁺⁶⁴=522⁶⁴⋅522⁶⁴ ≡ 368⋅368=135424 ≡ 60 mod 787

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

127⁷⁵

= 127^64+8+2+1

= 127⁶⁴⋅127⁸⋅127²⋅127¹

≡ 99 ⋅ 235 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263
≡ 23265 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263 ≡ 121 ⋅ 86 ⋅ 127 mod 263
≡ 10406 ⋅ 127 mod 263 ≡ 149 ⋅ 127 mod 263
≡ 18923 mod 263 ≡ 250 mod 263

Es gilt also: 127⁷⁵ ≡ 250 mod 263

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89	= 1⋅76 + 13
=>76	= 5⋅13 + 11
=>13	= 1⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13) = -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76) = 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89