Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24005 - 32000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24005 - 32000) mod 8 ≡ (24005 mod 8 - 32000 mod 8) mod 8.
24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
Somit gilt:
(24005 - 32000) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 56) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 56) mod 3 ≡ (21 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.
21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51464 mod 563.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 514 -> x
2. mod(x²,563) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5141=514
2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 149 mod 563
4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 244 mod 563
8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 421 mod 563
16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 459 mod 563
32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 119 mod 563
64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 86 mod 563
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 438117 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 361 mod 457
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 76 mod 457
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 292 mod 457
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 262 mod 457
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 94 mod 457
64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 153 mod 457
438117
= 43864+32+16+4+1
= 43864⋅43832⋅43816⋅4384⋅4381
≡ 153 ⋅ 94 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 14382 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457 ≡ 215 ⋅ 262 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 56330 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457 ≡ 119 ⋅ 76 ⋅ 438 mod 457
≡ 9044 ⋅ 438 mod 457 ≡ 361 ⋅ 438 mod 457
≡ 158118 mod 457 ≡ 453 mod 457
Es gilt also: 438117 ≡ 453 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
