Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9001 + 2696) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9001 + 2696) mod 9 ≡ (9001 mod 9 + 2696 mod 9) mod 9.

9001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 9 ⋅ 1000 +1.

2696 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2696 = 2700-4 = 9 ⋅ 300 -4 = 9 ⋅ 300 - 9 + 5.

Somit gilt:

(9001 + 2696) mod 9 ≡ (1 + 5) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 17) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 17) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 17 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.

17 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 5 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 17) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5398 mod 809.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 539 -> x
2. mod(x²,809) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5391=539

2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 90 mod 809

4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 10 mod 809

8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 455203 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 4551=455

2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 444 mod 613

4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 363 mod 613

8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 587 mod 613

16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 63 mod 613

32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 291 mod 613

64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 87 mod 613

128: 455128=45564+64=45564⋅45564 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 213 mod 613

455203

= 455128+64+8+2+1

= 455128⋅45564⋅4558⋅4552⋅4551

213 ⋅ 87 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
18531 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613 ≡ 141 ⋅ 587 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
82767 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613 ≡ 12 ⋅ 444 ⋅ 455 mod 613
5328 ⋅ 455 mod 613 ≡ 424 ⋅ 455 mod 613
192920 mod 613 ≡ 438 mod 613

Es gilt also: 455203 ≡ 438 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.