Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20002 + 1000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20002 + 1000) mod 5 ≡ (20002 mod 5 + 1000 mod 5) mod 5.
20002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002
= 20000
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
Somit gilt:
(20002 + 1000) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 83) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 83) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 83) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18516 mod 293.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 237 mod 293
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 206 mod 293
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 57 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 539193 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 5391=539
2: 5392=5391+1=5391⋅5391 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 148 mod 641
4: 5394=5392+2=5392⋅5392 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 110 mod 641
8: 5398=5394+4=5394⋅5394 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 562 mod 641
16: 53916=5398+8=5398⋅5398 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641
32: 53932=53916+16=53916⋅53916 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641
64: 53964=53932+32=53932⋅53932 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641
128: 539128=53964+64=53964⋅53964 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641
539193
= 539128+64+1
= 539128⋅53964⋅5391
≡ 562 ⋅ 531 ⋅ 539 mod 641
≡ 298422 ⋅ 539 mod 641 ≡ 357 ⋅ 539 mod 641
≡ 192423 mod 641 ≡ 123 mod 641
Es gilt also: 539193 ≡ 123 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
