Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11996 - 6003) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 - 6003) mod 6 ≡ (11996 mod 6 - 6003 mod 6) mod 6.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(11996 - 6003) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 57) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 57) mod 7 ≡ (84 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 57) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2348 mod 523.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 364 mod 523

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 177 mod 523

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 472 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 324217 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 3241=324

2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 15 mod 593

4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 593

8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 220 mod 593

16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 367 mod 593

32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 78 mod 593

64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 154 mod 593

128: 324128=32464+64=32464⋅32464 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 589 mod 593

324217

= 324128+64+16+8+1

= 324128⋅32464⋅32416⋅3248⋅3241

589 ⋅ 154 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
90706 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593 ≡ 570 ⋅ 367 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
209190 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593 ≡ 454 ⋅ 220 ⋅ 324 mod 593
99880 ⋅ 324 mod 593 ≡ 256 ⋅ 324 mod 593
82944 mod 593 ≡ 517 mod 593

Es gilt also: 324217 ≡ 517 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 65.

Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 65

=>101 = 1⋅65 + 36
=>65 = 1⋅36 + 29
=>36 = 1⋅29 + 7
=>29 = 4⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,65)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-4⋅7
7= 36-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅29 -4⋅(36 -1⋅ 29)
= 1⋅29 -4⋅36 +4⋅ 29)
= -4⋅36 +5⋅ 29 (=1)
29= 65-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅36 +5⋅(65 -1⋅ 36)
= -4⋅36 +5⋅65 -5⋅ 36)
= 5⋅65 -9⋅ 36 (=1)
36= 101-1⋅65 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅65 -9⋅(101 -1⋅ 65)
= 5⋅65 -9⋅101 +9⋅ 65)
= -9⋅101 +14⋅ 65 (=1)

Es gilt also: ggt(101,65)=1 = -9⋅101 +14⋅65

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +14⋅65

Es gilt also: 14⋅65 = 9⋅101 +1

Somit 14⋅65 = 1 mod 101

14 ist also das Inverse von 65 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.