Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2400 - 2395) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2400 - 2395) mod 6 ≡ (2400 mod 6 - 2395 mod 6) mod 6.
2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395
= 2400
Somit gilt:
(2400 - 2395) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 70) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 70) mod 7 ≡ (4 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 227.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 29 mod 227
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 29⋅29=841 ≡ 160 mod 227
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 176 mod 227
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 104 mod 227
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 147 mod 227
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 44 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11067 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 1101=110
2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 189 mod 277
4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 265 mod 277
8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277
16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 238 mod 277
32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277
64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277
11067
= 11064+2+1
= 11064⋅1102⋅1101
≡ 214 ⋅ 189 ⋅ 110 mod 277
≡ 40446 ⋅ 110 mod 277 ≡ 4 ⋅ 110 mod 277
≡ 440 mod 277 ≡ 163 mod 277
Es gilt also: 11067 ≡ 163 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
