Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20997 - 280) mod 7 ≡ (20997 mod 7 - 280 mod 7) mod 7.

20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997 = 21000-3 = 7 ⋅ 3000 -3 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 4.

280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280 = 280+0 = 7 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(20997 - 280) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 26) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 26) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 468¹=468

2: 468²=468¹⁺¹=468¹⋅468¹ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 207 mod 593

4: 468⁴=468²⁺²=468²⋅468² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 153 mod 593

8: 468⁸=468⁴⁺⁴=468⁴⋅468⁴ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 282 mod 593

16: 468¹⁶=468⁸⁺⁸=468⁸⋅468⁸ ≡ 282⋅282=79524 ≡ 62 mod 593

32: 468³²=468¹⁶⁺¹⁶=468¹⁶⋅468¹⁶ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593

64: 468⁶⁴=468³²⁺³²=468³²⋅468³² ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

361¹⁶⁷

= 361^128+32+4+2+1

= 361¹²⁸⋅361³²⋅361⁴⋅361²⋅361¹

≡ 553 ⋅ 349 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
≡ 192997 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607 ≡ 578 ⋅ 471 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
≡ 272238 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607 ≡ 302 ⋅ 423 ⋅ 361 mod 607
≡ 127746 ⋅ 361 mod 607 ≡ 276 ⋅ 361 mod 607
≡ 99636 mod 607 ≡ 88 mod 607

Es gilt also: 361¹⁶⁷ ≡ 88 mod 607

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 67

=>101	= 1⋅67 + 34
=>67	= 1⋅34 + 33
=>34	= 1⋅33 + 1
=>33	= 33⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-1⋅33
33= 67-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -1⋅(67 -1⋅ 34) = 1⋅34 -1⋅67 +1⋅ 34) = -1⋅67 +2⋅ 34 (=1)
34= 101-1⋅67	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅67 +2⋅(101 -1⋅ 67) = -1⋅67 +2⋅101 -2⋅ 67) = 2⋅101 -3⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(101,67)=1 = 2⋅101 -3⋅67

oder wenn man 2⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅101 = -3⋅67

-3⋅67 = -2⋅101 + 1 |+101⋅67

-3⋅67 + 101⋅67 = -2⋅101 + 101⋅67 + 1

(-3 + 101) ⋅ 67 = (-2 + 67) ⋅ 101 + 1

98⋅67 = 65⋅101 + 1

Es gilt also: 98⋅67 = 65⋅101 +1

Somit 98⋅67 = 1 mod 101

98 ist also das Inverse von 67 mod 101