Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (145 + 505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(145 + 505) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 505 mod 5) mod 5.
145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505
= 500
Somit gilt:
(145 + 505) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 89) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 89) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84232 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 842 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8421=842
2: 8422=8421+1=8421⋅8421 ≡ 842⋅842=708964 ≡ 251 mod 887
4: 8424=8422+2=8422⋅8422 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 24 mod 887
8: 8428=8424+4=8424⋅8424 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 887
16: 84216=8428+8=8428⋅8428 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 38 mod 887
32: 84232=84216+16=84216⋅84216 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 557 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 700171 mod 823.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:
171 = 128+32+8+2+1
1: 7001=700
2: 7002=7001+1=7001⋅7001 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 315 mod 823
4: 7004=7002+2=7002⋅7002 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 465 mod 823
8: 7008=7004+4=7004⋅7004 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 599 mod 823
16: 70016=7008+8=7008⋅7008 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 796 mod 823
32: 70032=70016+16=70016⋅70016 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 729 mod 823
64: 70064=70032+32=70032⋅70032 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 606 mod 823
128: 700128=70064+64=70064⋅70064 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 178 mod 823
700171
= 700128+32+8+2+1
= 700128⋅70032⋅7008⋅7002⋅7001
≡ 178 ⋅ 729 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 129762 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823 ≡ 551 ⋅ 599 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 330049 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823 ≡ 26 ⋅ 315 ⋅ 700 mod 823
≡ 8190 ⋅ 700 mod 823 ≡ 783 ⋅ 700 mod 823
≡ 548100 mod 823 ≡ 805 mod 823
Es gilt also: 700171 ≡ 805 mod 823
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75
| =>89 | = 1⋅75 + 14 |
| =>75 | = 5⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 75-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 89-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75
oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅89 = +19⋅75
Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1
Somit 19⋅75 = 1 mod 89
19 ist also das Inverse von 75 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
