Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 - 48) mod 5 ≡ (2500 mod 5 - 48 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40+8 = 5 ⋅ 8 +8.

Somit gilt:

(2500 - 48) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 55) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 55 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 55) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 219¹=219

2: 219²=219¹⁺¹=219¹⋅219¹ ≡ 219⋅219=47961 ≡ 100 mod 229

4: 219⁴=219²⁺²=219²⋅219² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 153 mod 229

8: 219⁸=219⁴⁺⁴=219⁴⋅219⁴ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

16: 219¹⁶=219⁸⁺⁸=219⁸⋅219⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 82 mod 229

32: 219³²=219¹⁶⁺¹⁶=219¹⁶⋅219¹⁶ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229

64: 219⁶⁴=219³²⁺³²=219³²⋅219³² ≡ 83⋅83=6889 ≡ 19 mod 229

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

165²³⁹

= 165^{128+64+32+8+4+2+1}

= 165¹²⁸⋅165⁶⁴⋅165³²⋅165⁸⋅165⁴⋅165²⋅165¹

≡ 26 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
≡ 5096 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 210 ⋅ 14 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
≡ 2940 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 148 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
≡ 11988 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 122 ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
≡ 1098 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349 ≡ 51 ⋅ 3 ⋅ 165 mod 349
≡ 153 ⋅ 165 mod 349
≡ 25245 mod 349 ≡ 117 mod 349

Es gilt also: 165²³⁹ ≡ 117 mod 349

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32

=>71	= 2⋅32 + 7
=>32	= 4⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 32-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1)
7= 71-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32) = 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +20⋅32

Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1

Somit 20⋅32 = 1 mod 71

20 ist also das Inverse von 32 mod 71