Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (325 + 315) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(325 + 315) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 315 mod 8) mod 8.
325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325
= 320
315 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 315
= 320
Somit gilt:
(325 + 315) mod 8 ≡ (5 + 3) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 23) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 23) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2188 mod 307.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 246 mod 307
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 37 mod 307
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 141 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 296138 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 68 mod 509
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 43 mod 509
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 322 mod 509
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 357 mod 509
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 199 mod 509
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 408 mod 509
128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 21 mod 509
296138
= 296128+8+2
= 296128⋅2968⋅2962
≡ 21 ⋅ 322 ⋅ 68 mod 509
≡ 6762 ⋅ 68 mod 509 ≡ 145 ⋅ 68 mod 509
≡ 9860 mod 509 ≡ 189 mod 509
Es gilt also: 296138 ≡ 189 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
