Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 124) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 124) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 124 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(8000 - 124) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 49) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 49) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 49) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 499.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,499) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 69 mod 499

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 270 mod 499

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 46 mod 499

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 120 mod 499

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 428 mod 499

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 51 mod 499

128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 106 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 471171 mod 937.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 4711=471

2: 4712=4711+1=4711⋅4711 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 709 mod 937

4: 4714=4712+2=4712⋅4712 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 449 mod 937

8: 4718=4714+4=4714⋅4714 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 146 mod 937

16: 47116=4718+8=4718⋅4718 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 702 mod 937

32: 47132=47116+16=47116⋅47116 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 879 mod 937

64: 47164=47132+32=47132⋅47132 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 553 mod 937

128: 471128=47164+64=47164⋅47164 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 347 mod 937

471171

= 471128+32+8+2+1

= 471128⋅47132⋅4718⋅4712⋅4711

347 ⋅ 879 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
305013 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937 ≡ 488 ⋅ 146 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
71248 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937 ≡ 36 ⋅ 709 ⋅ 471 mod 937
25524 ⋅ 471 mod 937 ≡ 225 ⋅ 471 mod 937
105975 mod 937 ≡ 94 mod 937

Es gilt also: 471171 ≡ 94 mod 937

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61 = 1⋅35 + 26
=>35 = 1⋅26 + 9
=>26 = 2⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9)
= -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26)
= 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35)
= -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.