Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 - 45006) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 - 45006) mod 9 ≡ (94 mod 9 - 45006 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90+4 = 9 ⋅ 10 +4.

45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006 = 45000+6 = 9 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(94 - 45006) mod 9 ≡ (4 - 6) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 51) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 51) mod 9 ≡ (61 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 51) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31516 mod 349.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 109 mod 349

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 15 mod 349

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 330168 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 3301=330

2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 666 mod 859

4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 312 mod 859

8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 277 mod 859

16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 278 mod 859

32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 833 mod 859

64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 833⋅833=693889 ≡ 676 mod 859

128: 330128=33064+64=33064⋅33064 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 847 mod 859

330168

= 330128+32+8

= 330128⋅33032⋅3308

847 ⋅ 833 ⋅ 277 mod 859
705551 ⋅ 277 mod 859 ≡ 312 ⋅ 277 mod 859
86424 mod 859 ≡ 524 mod 859

Es gilt also: 330168 ≡ 524 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89 = 1⋅48 + 41
=>48 = 1⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41)
= 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48)
= -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.