Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (794 - 24001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(794 - 24001) mod 8 ≡ (794 mod 8 - 24001 mod 8) mod 8.

794 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 794 = 800-6 = 8 ⋅ 100 -6 = 8 ⋅ 100 - 8 + 2.

24001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24001 = 24000+1 = 8 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(794 - 24001) mod 8 ≡ (2 - 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 76) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 76) mod 8 ≡ (70 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.

70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 76) mod 8 ≡ (6 ⋅ 4) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34116 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 732 mod 971

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 803 mod 971

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 65 mod 971

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 341 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 391104 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 600 mod 773

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 555 mod 773

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 371 mod 773

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 47 mod 773

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 663 mod 773

64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 505 mod 773

391104

= 39164+32+8

= 39164⋅39132⋅3918

505 ⋅ 663 ⋅ 371 mod 773
334815 ⋅ 371 mod 773 ≡ 106 ⋅ 371 mod 773
39326 mod 773 ≡ 676 mod 773

Es gilt also: 391104 ≡ 676 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58

=>83 = 1⋅58 + 25
=>58 = 2⋅25 + 8
=>25 = 3⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-3⋅8
8= 58-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25)
= -3⋅58 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58)
= 7⋅83 -10⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -10⋅58

-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58

-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1

(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1

73⋅58 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1

Somit 73⋅58 = 1 mod 83

73 ist also das Inverse von 58 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.