Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (505 - 149) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(505 - 149) mod 5 ≡ (505 mod 5 - 149 mod 5) mod 5.
505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 505
= 500
149 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 140
Somit gilt:
(505 - 149) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 87) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 87) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 87 mod 6) mod 6.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 87) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46916 mod 691.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 223 mod 691
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 668 mod 691
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 529 mod 691
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 677 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 134202 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 1341=134
2: 1342=1341+1=1341⋅1341 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 150 mod 307
4: 1344=1342+2=1342⋅1342 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 89 mod 307
8: 1348=1344+4=1344⋅1344 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 246 mod 307
16: 13416=1348+8=1348⋅1348 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 37 mod 307
32: 13432=13416+16=13416⋅13416 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 141 mod 307
64: 13464=13432+32=13432⋅13432 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 233 mod 307
128: 134128=13464+64=13464⋅13464 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 257 mod 307
134202
= 134128+64+8+2
= 134128⋅13464⋅1348⋅1342
≡ 257 ⋅ 233 ⋅ 246 ⋅ 150 mod 307
≡ 59881 ⋅ 246 ⋅ 150 mod 307 ≡ 16 ⋅ 246 ⋅ 150 mod 307
≡ 3936 ⋅ 150 mod 307 ≡ 252 ⋅ 150 mod 307
≡ 37800 mod 307 ≡ 39 mod 307
Es gilt also: 134202 ≡ 39 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34
| =>73 | = 2⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -15⋅34
-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34
-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1
(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1
58⋅34 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1
Somit 58⋅34 = 1 mod 73
58 ist also das Inverse von 34 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
