Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (903 + 1203) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(903 + 1203) mod 3 ≡ (903 mod 3 + 1203 mod 3) mod 3.
903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903
= 900
1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(903 + 1203) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 20) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 20) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 20) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30916 mod 463.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 103 mod 463
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 423 mod 463
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 211 mod 463
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 73 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 828102 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 8281=828
2: 8282=8281+1=8281⋅8281 ≡ 828⋅828=685584 ≡ 102 mod 859
4: 8284=8282+2=8282⋅8282 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 96 mod 859
8: 8288=8284+4=8284⋅8284 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 626 mod 859
16: 82816=8288+8=8288⋅8288 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 172 mod 859
32: 82832=82816+16=82816⋅82816 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 378 mod 859
64: 82864=82832+32=82832⋅82832 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 290 mod 859
828102
= 82864+32+4+2
= 82864⋅82832⋅8284⋅8282
≡ 290 ⋅ 378 ⋅ 96 ⋅ 102 mod 859
≡ 109620 ⋅ 96 ⋅ 102 mod 859 ≡ 527 ⋅ 96 ⋅ 102 mod 859
≡ 50592 ⋅ 102 mod 859 ≡ 770 ⋅ 102 mod 859
≡ 78540 mod 859 ≡ 371 mod 859
Es gilt also: 828102 ≡ 371 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 82.
Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 82
| =>97 | = 1⋅82 + 15 |
| =>82 | = 5⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,82)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 82-5⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(82 -5⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅82 +10⋅ 15) = -2⋅82 +11⋅ 15 (=1) |
| 15= 97-1⋅82 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅82 +11⋅(97 -1⋅ 82)
= -2⋅82 +11⋅97 -11⋅ 82) = 11⋅97 -13⋅ 82 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,82)=1 = 11⋅97 -13⋅82
oder wenn man 11⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅97 = -13⋅82
-13⋅82 = -11⋅97 + 1 |+97⋅82
-13⋅82 + 97⋅82 = -11⋅97 + 97⋅82 + 1
(-13 + 97) ⋅ 82 = (-11 + 82) ⋅ 97 + 1
84⋅82 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 84⋅82 = 71⋅97 +1
Somit 84⋅82 = 1 mod 97
84 ist also das Inverse von 82 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
