Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45005 + 45007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45005 + 45007) mod 9 ≡ (45005 mod 9 + 45007 mod 9) mod 9.
45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005
= 45000
45007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45007
= 45000
Somit gilt:
(45005 + 45007) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 53) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 53) mod 11 ≡ (83 mod 11 ⋅ 53 mod 11) mod 11.
83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 53) mod 11 ≡ (6 ⋅ 9) mod 11 ≡ 54 mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27132 mod 599.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 271 -> x
2. mod(x²,599) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2711=271
2: 2712=2711+1=2711⋅2711 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 363 mod 599
4: 2714=2712+2=2712⋅2712 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 588 mod 599
8: 2718=2714+4=2714⋅2714 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 121 mod 599
16: 27116=2718+8=2718⋅2718 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 265 mod 599
32: 27132=27116+16=27116⋅27116 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 142 mod 599
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 361194 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:
194 = 128+64+2
1: 3611=361
2: 3612=3611+1=3611⋅3611 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 421 mod 433
4: 3614=3612+2=3612⋅3612 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 144 mod 433
8: 3618=3614+4=3614⋅3614 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 385 mod 433
16: 36116=3618+8=3618⋅3618 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 139 mod 433
32: 36132=36116+16=36116⋅36116 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433
64: 36164=36132+32=36132⋅36132 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433
128: 361128=36164+64=36164⋅36164 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433
361194
= 361128+64+2
= 361128⋅36164⋅3612
≡ 335 ⋅ 50 ⋅ 421 mod 433
≡ 16750 ⋅ 421 mod 433 ≡ 296 ⋅ 421 mod 433
≡ 124616 mod 433 ≡ 345 mod 433
Es gilt also: 361194 ≡ 345 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
