Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (458 - 4501) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(458 - 4501) mod 9 ≡ (458 mod 9 - 4501 mod 9) mod 9.
458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458
= 450
4501 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4501
= 4500
Somit gilt:
(458 - 4501) mod 9 ≡ (8 - 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 34) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 34) mod 6 ≡ (39 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.
39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.
34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 34) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 624128 mod 761.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 624 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 505 mod 761
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 90 mod 761
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 490 mod 761
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 385 mod 761
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 591 mod 761
64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 743 mod 761
128: 624128=62464+64=62464⋅62464 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 324 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 175146 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 1751=175
2: 1752=1751+1=1751⋅1751 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 291 mod 523
4: 1754=1752+2=1752⋅1752 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 478 mod 523
8: 1758=1754+4=1754⋅1754 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 456 mod 523
16: 17516=1758+8=1758⋅1758 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 305 mod 523
32: 17532=17516+16=17516⋅17516 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 454 mod 523
64: 17564=17532+32=17532⋅17532 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 54 mod 523
128: 175128=17564+64=17564⋅17564 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 301 mod 523
175146
= 175128+16+2
= 175128⋅17516⋅1752
≡ 301 ⋅ 305 ⋅ 291 mod 523
≡ 91805 ⋅ 291 mod 523 ≡ 280 ⋅ 291 mod 523
≡ 81480 mod 523 ≡ 415 mod 523
Es gilt also: 175146 ≡ 415 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
