Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1499 + 1497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1499 + 1497) mod 5 ≡ (1499 mod 5 + 1497 mod 5) mod 5.
1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1400
1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497
= 1400
Somit gilt:
(1499 + 1497) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 82) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 82) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 82 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
82 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 8 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 82) mod 10 ≡ (9 ⋅ 2) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17016 mod 281.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 170 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 238 mod 281
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 155 mod 281
16: 17016=1708+8=1708⋅1708 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 140 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38888 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:
88 = 64+16+8
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 294 mod 601
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 493 mod 601
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 245 mod 601
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 526 mod 601
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 216 mod 601
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 379 mod 601
38888
= 38864+16+8
= 38864⋅38816⋅3888
≡ 379 ⋅ 526 ⋅ 245 mod 601
≡ 199354 ⋅ 245 mod 601 ≡ 423 ⋅ 245 mod 601
≡ 103635 mod 601 ≡ 263 mod 601
Es gilt also: 38888 ≡ 263 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 75
| =>89 | = 1⋅75 + 14 |
| =>75 | = 5⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 75-5⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(75 -5⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅75 -15⋅ 14) = 3⋅75 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 89-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -16⋅(89 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -16⋅89 +16⋅ 75) = -16⋅89 +19⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,75)=1 = -16⋅89 +19⋅75
oder wenn man -16⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅89 = +19⋅75
Es gilt also: 19⋅75 = 16⋅89 +1
Somit 19⋅75 = 1 mod 89
19 ist also das Inverse von 75 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
