Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 - 1502) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 - 1502) mod 3 ≡ (120 mod 3 - 1502 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(120 - 1502) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 70) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 70) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.
23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 70) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42916 mod 503.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 429 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 446 mod 503
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 231 mod 503
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 43 mod 503
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 340 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31999 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 479 mod 569
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 134 mod 569
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 317 mod 569
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 345 mod 569
32: 31932=31916+16=31916⋅31916 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 104 mod 569
64: 31964=31932+32=31932⋅31932 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 5 mod 569
31999
= 31964+32+2+1
= 31964⋅31932⋅3192⋅3191
≡ 5 ⋅ 104 ⋅ 479 ⋅ 319 mod 569
≡ 520 ⋅ 479 ⋅ 319 mod 569
≡ 249080 ⋅ 319 mod 569 ≡ 427 ⋅ 319 mod 569
≡ 136213 mod 569 ≡ 222 mod 569
Es gilt also: 31999 ≡ 222 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24
| =>53 | = 2⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -11⋅24
-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24
-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1
(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1
42⋅24 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1
Somit 42⋅24 = 1 mod 53
42 ist also das Inverse von 24 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
