Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (351 - 1395) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(351 - 1395) mod 7 ≡ (351 mod 7 - 1395 mod 7) mod 7.
351 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351
= 350
1395 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1395
= 1400
Somit gilt:
(351 - 1395) mod 7 ≡ (1 - 2) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 30) mod 7 ≡ (78 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 30) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31532 mod 691.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,691) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 412 mod 691
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 449 mod 691
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 520 mod 691
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 219 mod 691
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 282 mod 691
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 126228 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 1261=126
2: 1262=1261+1=1261⋅1261 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 344 mod 353
4: 1264=1262+2=1262⋅1262 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 81 mod 353
8: 1268=1264+4=1264⋅1264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 207 mod 353
16: 12616=1268+8=1268⋅1268 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 136 mod 353
32: 12632=12616+16=12616⋅12616 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353
64: 12664=12632+32=12632⋅12632 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
128: 126128=12664+64=12664⋅12664 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
126228
= 126128+64+32+4
= 126128⋅12664⋅12632⋅1264
≡ 337 ⋅ 185 ⋅ 140 ⋅ 81 mod 353
≡ 62345 ⋅ 140 ⋅ 81 mod 353 ≡ 217 ⋅ 140 ⋅ 81 mod 353
≡ 30380 ⋅ 81 mod 353 ≡ 22 ⋅ 81 mod 353
≡ 1782 mod 353 ≡ 17 mod 353
Es gilt also: 126228 ≡ 17 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59
| =>101 | = 1⋅59 + 42 |
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
| 42= 101-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59) = -7⋅101 +12⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59
oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅101 = +12⋅59
Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1
Somit 12⋅59 = 1 mod 101
12 ist also das Inverse von 59 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
