Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 - 204) mod 7 ≡ (71 mod 7 - 204 mod 7) mod 7.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 210-6 = 7 ⋅ 30 -6 = 7 ⋅ 30 - 7 + 1.

Somit gilt:

(71 - 204) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 94) mod 5 ≡ (26 mod 5 ⋅ 94 mod 5) mod 5.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

94 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 18 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 94) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 476¹=476

2: 476²=476¹⁺¹=476¹⋅476¹ ≡ 476⋅476=226576 ≡ 71 mod 509

4: 476⁴=476²⁺²=476²⋅476² ≡ 71⋅71=5041 ≡ 460 mod 509

8: 476⁸=476⁴⁺⁴=476⁴⋅476⁴ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 365 mod 509

16: 476¹⁶=476⁸⁺⁸=476⁸⋅476⁸ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 376 mod 509

32: 476³²=476¹⁶⁺¹⁶=476¹⁶⋅476¹⁶ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 383 mod 509

64: 476⁶⁴=476³²⁺³²=476³²⋅476³² ≡ 383⋅383=146689 ≡ 97 mod 509

128: 476¹²⁸=476⁶⁴⁺⁶⁴=476⁶⁴⋅476⁶⁴ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 247 mod 509

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

523²³¹

= 523^{128+64+32+4+2+1}

= 523¹²⁸⋅523⁶⁴⋅523³²⋅523⁴⋅523²⋅523¹

≡ 73 ⋅ 119 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
≡ 8687 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 469 ⋅ 203 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
≡ 95207 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 113 ⋅ 169 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
≡ 19097 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587 ≡ 313 ⋅ 574 ⋅ 523 mod 587
≡ 179662 ⋅ 523 mod 587 ≡ 40 ⋅ 523 mod 587
≡ 20920 mod 587 ≡ 375 mod 587

Es gilt also: 523²³¹ ≡ 375 mod 587

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61	= 1⋅34 + 27
=>34	= 1⋅27 + 7
=>27	= 3⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27) = -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34) = 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61