Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35006 + 14003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35006 + 14003) mod 7 ≡ (35006 mod 7 + 14003 mod 7) mod 7.
35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006
= 35000
14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003
= 14000
Somit gilt:
(35006 + 14003) mod 7 ≡ (6 + 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 75) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 75) mod 4 ≡ (39 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 9 ⋅ 4 + 3 ist.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 75) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3228 mod 337.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 225 mod 337
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 75 mod 337
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 233 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 509101 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 737 mod 751
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 196 mod 751
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 115 mod 751
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 458 mod 751
32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 235 mod 751
64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 402 mod 751
509101
= 50964+32+4+1
= 50964⋅50932⋅5094⋅5091
≡ 402 ⋅ 235 ⋅ 196 ⋅ 509 mod 751
≡ 94470 ⋅ 196 ⋅ 509 mod 751 ≡ 595 ⋅ 196 ⋅ 509 mod 751
≡ 116620 ⋅ 509 mod 751 ≡ 215 ⋅ 509 mod 751
≡ 109435 mod 751 ≡ 540 mod 751
Es gilt also: 509101 ≡ 540 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68
| =>97 | = 1⋅68 + 29 |
| =>68 | = 2⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 68-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +10⋅68
Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1
Somit 10⋅68 = 1 mod 97
10 ist also das Inverse von 68 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
