Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17997 + 240) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17997 + 240) mod 6 ≡ (17997 mod 6 + 240 mod 6) mod 6.

17997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997 = 18000-3 = 6 ⋅ 3000 -3 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 3.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(17997 + 240) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 100) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 100) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 100 mod 11) mod 11.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 100) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5618 mod 659.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5611=561

2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 378 mod 659

4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 540 mod 659

8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 322 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78235 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 781=78

2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 26 mod 233

4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 26⋅26=676 ≡ 210 mod 233

8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 63 mod 233

16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

64: 7864=7832+32=7832⋅7832 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

128: 78128=7864+64=7864⋅7864 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

78235

= 78128+64+32+8+2+1

= 78128⋅7864⋅7832⋅788⋅782⋅781

51 ⋅ 135 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
6885 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 128 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
8192 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 37 ⋅ 63 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
2331 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233 ≡ 1 ⋅ 26 ⋅ 78 mod 233
26 ⋅ 78 mod 233
2028 mod 233 ≡ 164 mod 233

Es gilt also: 78235 ≡ 164 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89 = 1⋅53 + 36
=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53)
= -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.