Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 + 119) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 + 119) mod 4 ≡ (1600 mod 4 + 119 mod 4) mod 4.
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(1600 + 119) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 67) mod 7 ≡ (39 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.
39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 67) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10264 mod 257.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 102 -> x
2. mod(x²,257) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1021=102
2: 1022=1021+1=1021⋅1021 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 124 mod 257
4: 1024=1022+2=1022⋅1022 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 213 mod 257
8: 1028=1024+4=1024⋅1024 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 137 mod 257
16: 10216=1028+8=1028⋅1028 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257
32: 10232=10216+16=10216⋅10216 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257
64: 10264=10232+32=10232⋅10232 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149108 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 73 mod 461
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 258 mod 461
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 180 mod 461
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 130 mod 461
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 304 mod 461
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 216 mod 461
149108
= 14964+32+8+4
= 14964⋅14932⋅1498⋅1494
≡ 216 ⋅ 304 ⋅ 180 ⋅ 258 mod 461
≡ 65664 ⋅ 180 ⋅ 258 mod 461 ≡ 202 ⋅ 180 ⋅ 258 mod 461
≡ 36360 ⋅ 258 mod 461 ≡ 402 ⋅ 258 mod 461
≡ 103716 mod 461 ≡ 452 mod 461
Es gilt also: 149108 ≡ 452 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
