Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(404 + 156) mod 4 ≡ (404 mod 4 + 156 mod 4) mod 4.

404 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 404 = 400+4 = 4 ⋅ 100 +4.

156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 4 ⋅ 40 -4 = 4 ⋅ 40 - 4 + 0.

Somit gilt:

(404 + 156) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (30 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 27) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 199¹=199

2: 199²=199¹⁺¹=199¹⋅199¹ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 246 mod 463

4: 199⁴=199²⁺²=199²⋅199² ≡ 246⋅246=60516 ≡ 326 mod 463

8: 199⁸=199⁴⁺⁴=199⁴⋅199⁴ ≡ 326⋅326=106276 ≡ 249 mod 463

16: 199¹⁶=199⁸⁺⁸=199⁸⋅199⁸ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 422 mod 463

32: 199³²=199¹⁶⁺¹⁶=199¹⁶⋅199¹⁶ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 292 mod 463

64: 199⁶⁴=199³²⁺³²=199³²⋅199³² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 72 mod 463

128: 199¹²⁸=199⁶⁴⁺⁶⁴=199⁶⁴⋅199⁶⁴ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 91 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

578¹⁹⁹

= 578^128+64+4+2+1

= 578¹²⁸⋅578⁶⁴⋅578⁴⋅578²⋅578¹

≡ 16 ⋅ 589 ⋅ 220 ⋅ 225 ⋅ 578 mod 593
≡ 9424 ⋅ 220 ⋅ 225 ⋅ 578 mod 593 ≡ 529 ⋅ 220 ⋅ 225 ⋅ 578 mod 593
≡ 116380 ⋅ 225 ⋅ 578 mod 593 ≡ 152 ⋅ 225 ⋅ 578 mod 593
≡ 34200 ⋅ 578 mod 593 ≡ 399 ⋅ 578 mod 593
≡ 230622 mod 593 ≡ 538 mod 593

Es gilt also: 578¹⁹⁹ ≡ 538 mod 593

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89