Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5995 - 2994) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5995 - 2994) mod 6 ≡ (5995 mod 6 - 2994 mod 6) mod 6.
5995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5995
= 6000
2994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2994
= 3000
Somit gilt:
(5995 - 2994) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 67) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 67) mod 9 ≡ (59 mod 9 ⋅ 67 mod 9) mod 9.
59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 67) mod 9 ≡ (5 ⋅ 4) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39364 mod 1009.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 393 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3931=393
2: 3932=3931+1=3931⋅3931 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 72 mod 1009
4: 3934=3932+2=3932⋅3932 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 139 mod 1009
8: 3938=3934+4=3934⋅3934 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 150 mod 1009
16: 39316=3938+8=3938⋅3938 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 302 mod 1009
32: 39332=39316+16=39316⋅39316 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 394 mod 1009
64: 39364=39332+32=39332⋅39332 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 859 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 538187 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 5381=538
2: 5382=5381+1=5381⋅5381 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 270 mod 757
4: 5384=5382+2=5382⋅5382 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 228 mod 757
8: 5388=5384+4=5384⋅5384 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 508 mod 757
16: 53816=5388+8=5388⋅5388 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 684 mod 757
32: 53832=53816+16=53816⋅53816 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 30 mod 757
64: 53864=53832+32=53832⋅53832 ≡ 30⋅30=900 ≡ 143 mod 757
128: 538128=53864+64=53864⋅53864 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 10 mod 757
538187
= 538128+32+16+8+2+1
= 538128⋅53832⋅53816⋅5388⋅5382⋅5381
≡ 10 ⋅ 30 ⋅ 684 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757
≡ 300 ⋅ 684 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757
≡ 205200 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757 ≡ 53 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757
≡ 26924 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757 ≡ 429 ⋅ 270 ⋅ 538 mod 757
≡ 115830 ⋅ 538 mod 757 ≡ 9 ⋅ 538 mod 757
≡ 4842 mod 757 ≡ 300 mod 757
Es gilt also: 538187 ≡ 300 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55
| =>59 | = 1⋅55 + 4 |
| =>55 | = 13⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 55-13⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4) = -1⋅55 +14⋅ 4 (=1) |
| 4= 59-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55) = 14⋅59 -15⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55
oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅59 = -15⋅55
-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55
-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1
(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1
44⋅55 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1
Somit 44⋅55 = 1 mod 59
44 ist also das Inverse von 55 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
