Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (504 - 4996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(504 - 4996) mod 5 ≡ (504 mod 5 - 4996 mod 5) mod 5.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

4996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4996 = 4000+996 = 5 ⋅ 800 +996.

Somit gilt:

(504 - 4996) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 18) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 18) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 18) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6478 mod 773.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 647 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6471=647

2: 6472=6471+1=6471⋅6471 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 416 mod 773

4: 6474=6472+2=6472⋅6472 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 677 mod 773

8: 6478=6474+4=6474⋅6474 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 713 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 318251 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 3181=318

2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 443 mod 757

4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 186 mod 757

8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 531 mod 757

16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 357 mod 757

32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 273 mod 757

64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 343 mod 757

128: 318128=31864+64=31864⋅31864 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 314 mod 757

318251

= 318128+64+32+16+8+2+1

= 318128⋅31864⋅31832⋅31816⋅3188⋅3182⋅3181

314 ⋅ 343 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
107702 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 208 ⋅ 273 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
56784 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 9 ⋅ 357 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
3213 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 185 ⋅ 531 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
98235 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757 ≡ 582 ⋅ 443 ⋅ 318 mod 757
257826 ⋅ 318 mod 757 ≡ 446 ⋅ 318 mod 757
141828 mod 757 ≡ 269 mod 757

Es gilt also: 318251 ≡ 269 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79 = 1⋅55 + 24
=>55 = 2⋅24 + 7
=>24 = 3⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7)
= -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24)
= 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55)
= -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.