Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3004 + 18002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3004 + 18002) mod 6 ≡ (3004 mod 6 + 18002 mod 6) mod 6.
3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004
= 3000
18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002
= 18000
Somit gilt:
(3004 + 18002) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 99) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 99) mod 4 ≡ (59 mod 4 ⋅ 99 mod 4) mod 4.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 99) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26032 mod 743.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 730 mod 743
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 169 mod 743
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 327 mod 743
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 680 mod 743
32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 254 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44465 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 212 mod 541
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 41 mod 541
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 58 mod 541
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 118 mod 541
32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 399 mod 541
64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 147 mod 541
44465
= 44464+1
= 44464⋅4441
≡ 147 ⋅ 444 mod 541
≡ 65268 mod 541 ≡ 348 mod 541
Es gilt also: 44465 ≡ 348 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 30
| =>73 | = 2⋅30 + 13 |
| =>30 | = 2⋅13 + 4 |
| =>13 | = 3⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-3⋅4 | |||
| 4= 30-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 73-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +7⋅(73 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +7⋅73 -14⋅ 30) = 7⋅73 -17⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,30)=1 = 7⋅73 -17⋅30
oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅73 = -17⋅30
-17⋅30 = -7⋅73 + 1 |+73⋅30
-17⋅30 + 73⋅30 = -7⋅73 + 73⋅30 + 1
(-17 + 73) ⋅ 30 = (-7 + 30) ⋅ 73 + 1
56⋅30 = 23⋅73 + 1
Es gilt also: 56⋅30 = 23⋅73 +1
Somit 56⋅30 = 1 mod 73
56 ist also das Inverse von 30 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
