Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (597 - 90) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(597 - 90) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.
597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(597 - 90) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 74) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 74) mod 11 ≡ (65 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 74) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27532 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2751=275
2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 137 mod 337
4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 234 mod 337
8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 162 mod 337
16: 27516=2758+8=2758⋅2758 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 295 mod 337
32: 27532=27516+16=27516⋅27516 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 692172 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:
172 = 128+32+8+4
1: 6921=692
2: 6922=6921+1=6921⋅6921 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 211 mod 991
4: 6924=6922+2=6922⋅6922 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 917 mod 991
8: 6928=6924+4=6924⋅6924 ≡ 917⋅917=840889 ≡ 521 mod 991
16: 69216=6928+8=6928⋅6928 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 898 mod 991
32: 69232=69216+16=69216⋅69216 ≡ 898⋅898=806404 ≡ 721 mod 991
64: 69264=69232+32=69232⋅69232 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 557 mod 991
128: 692128=69264+64=69264⋅69264 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 66 mod 991
692172
= 692128+32+8+4
= 692128⋅69232⋅6928⋅6924
≡ 66 ⋅ 721 ⋅ 521 ⋅ 917 mod 991
≡ 47586 ⋅ 521 ⋅ 917 mod 991 ≡ 18 ⋅ 521 ⋅ 917 mod 991
≡ 9378 ⋅ 917 mod 991 ≡ 459 ⋅ 917 mod 991
≡ 420903 mod 991 ≡ 719 mod 991
Es gilt also: 692172 ≡ 719 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
