Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 + 198) mod 5 ≡ (99 mod 5 + 198 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90+9 = 5 ⋅ 18 +9.

198 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 190+8 = 5 ⋅ 38 +8.

Somit gilt:

(99 + 198) mod 5 ≡ (4 + 3) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 59) mod 11 ≡ (45 mod 11 ⋅ 59 mod 11) mod 11.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 59) mod 11 ≡ (1 ⋅ 4) mod 11 ≡ 4 mod 11.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 294¹=294

2: 294²=294¹⁺¹=294¹⋅294¹ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 318 mod 463

4: 294⁴=294²⁺²=294²⋅294² ≡ 318⋅318=101124 ≡ 190 mod 463

8: 294⁸=294⁴⁺⁴=294⁴⋅294⁴ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 449 mod 463

16: 294¹⁶=294⁸⁺⁸=294⁸⋅294⁸ ≡ 449⋅449=201601 ≡ 196 mod 463

32: 294³²=294¹⁶⁺¹⁶=294¹⁶⋅294¹⁶ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 450 mod 463

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

153²³⁵

= 153^{128+64+32+8+2+1}

= 153¹²⁸⋅153⁶⁴⋅153³²⋅153⁸⋅153²⋅153¹

≡ 22 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 97 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353
≡ 4114 ⋅ 58 ⋅ 97 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353 ≡ 231 ⋅ 58 ⋅ 97 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353
≡ 13398 ⋅ 97 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353 ≡ 337 ⋅ 97 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353
≡ 32689 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353 ≡ 213 ⋅ 111 ⋅ 153 mod 353
≡ 23643 ⋅ 153 mod 353 ≡ 345 ⋅ 153 mod 353
≡ 52785 mod 353 ≡ 188 mod 353

Es gilt also: 153²³⁵ ≡ 188 mod 353

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53	= 1⋅29 + 24
=>29	= 1⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29) = 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53