Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8003 - 4000) mod 4 ≡ (8003 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(8003 - 4000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 92) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 92 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 92) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 204¹=204

2: 204²=204¹⁺¹=204¹⋅204¹ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 48 mod 433

4: 204⁴=204²⁺²=204²⋅204² ≡ 48⋅48=2304 ≡ 139 mod 433

8: 204⁸=204⁴⁺⁴=204⁴⋅204⁴ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 269 mod 433

16: 204¹⁶=204⁸⁺⁸=204⁸⋅204⁸ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433

32: 204³²=204¹⁶⁺¹⁶=204¹⁶⋅204¹⁶ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433

64: 204⁶⁴=204³²⁺³²=204³²⋅204³² ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433

128: 204¹²⁸=204⁶⁴⁺⁶⁴=204⁶⁴⋅204⁶⁴ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 22 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

497²¹⁷

= 497^{128+64+16+8+1}

= 497¹²⁸⋅497⁶⁴⋅497¹⁶⋅497⁸⋅497¹

≡ 83 ⋅ 673 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
≡ 55859 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701 ≡ 480 ⋅ 29 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
≡ 13920 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701 ≡ 601 ⋅ 191 ⋅ 497 mod 701
≡ 114791 ⋅ 497 mod 701 ≡ 528 ⋅ 497 mod 701
≡ 262416 mod 701 ≡ 242 mod 701

Es gilt also: 497²¹⁷ ≡ 242 mod 701

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 22

=>53	= 2⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(53 -2⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅53 -10⋅ 22) = 5⋅53 -12⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(53,22)=1 = 5⋅53 -12⋅22

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -12⋅22

-12⋅22 = -5⋅53 + 1 |+53⋅22

-12⋅22 + 53⋅22 = -5⋅53 + 53⋅22 + 1

(-12 + 53) ⋅ 22 = (-5 + 22) ⋅ 53 + 1

41⋅22 = 17⋅53 + 1

Es gilt also: 41⋅22 = 17⋅53 +1

Somit 41⋅22 = 1 mod 53

41 ist also das Inverse von 22 mod 53