Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 908) mod 9 ≡ (95 mod 9 - 908 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

908 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 908 = 900+8 = 9 ⋅ 100 +8.

Somit gilt:

(95 - 908) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 46) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 46 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 46) mod 11 ≡ (8 ⋅ 2) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 244¹=244

2: 244²=244¹⁺¹=244¹⋅244¹ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 66 mod 313

4: 244⁴=244²⁺²=244²⋅244² ≡ 66⋅66=4356 ≡ 287 mod 313

8: 244⁸=244⁴⁺⁴=244⁴⋅244⁴ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 50 mod 313

16: 244¹⁶=244⁸⁺⁸=244⁸⋅244⁸ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 309 mod 313

32: 244³²=244¹⁶⁺¹⁶=244¹⁶⋅244¹⁶ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

64: 244⁶⁴=244³²⁺³²=244³²⋅244³² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

491²¹³

= 491^{128+64+16+4+1}

= 491¹²⁸⋅491⁶⁴⋅491¹⁶⋅491⁴⋅491¹

≡ 829 ⋅ 122 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
≡ 101138 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937 ≡ 879 ⋅ 925 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
≡ 813075 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937 ≡ 696 ⋅ 898 ⋅ 491 mod 937
≡ 625008 ⋅ 491 mod 937 ≡ 29 ⋅ 491 mod 937
≡ 14239 mod 937 ≡ 184 mod 937

Es gilt also: 491²¹³ ≡ 184 mod 937

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61	= 2⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61