Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 120) mod 4 ≡ (1200 mod 4 - 120 mod 4) mod 4.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(1200 - 120) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 57) mod 10 ≡ (17 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 57) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 410¹=410

2: 410²=410¹⁺¹=410¹⋅410¹ ≡ 410⋅410=168100 ≡ 593 mod 877

4: 410⁴=410²⁺²=410²⋅410² ≡ 593⋅593=351649 ≡ 849 mod 877

8: 410⁸=410⁴⁺⁴=410⁴⋅410⁴ ≡ 849⋅849=720801 ≡ 784 mod 877

16: 410¹⁶=410⁸⁺⁸=410⁸⋅410⁸ ≡ 784⋅784=614656 ≡ 756 mod 877

32: 410³²=410¹⁶⁺¹⁶=410¹⁶⋅410¹⁶ ≡ 756⋅756=571536 ≡ 609 mod 877

64: 410⁶⁴=410³²⁺³²=410³²⋅410³² ≡ 609⋅609=370881 ≡ 787 mod 877

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

417¹⁵³

= 417^128+16+8+1

= 417¹²⁸⋅417¹⁶⋅417⁸⋅417¹

≡ 331 ⋅ 556 ⋅ 196 ⋅ 417 mod 631
≡ 184036 ⋅ 196 ⋅ 417 mod 631 ≡ 415 ⋅ 196 ⋅ 417 mod 631
≡ 81340 ⋅ 417 mod 631 ≡ 572 ⋅ 417 mod 631
≡ 238524 mod 631 ≡ 6 mod 631

Es gilt also: 417¹⁵³ ≡ 6 mod 631

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97