Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1801 + 12002) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1801 + 12002) mod 6 ≡ (1801 mod 6 + 12002 mod 6) mod 6.
1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(1801 + 12002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 99) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 99) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 99) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37432 mod 593.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 521 mod 593
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 440 mod 593
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 282 mod 593
16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 62 mod 593
32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 297163 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 142 mod 547
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 472 mod 547
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 504 mod 547
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 208 mod 547
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 51 mod 547
128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 413 mod 547
297163
= 297128+32+2+1
= 297128⋅29732⋅2972⋅2971
≡ 413 ⋅ 208 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547
≡ 85904 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547 ≡ 25 ⋅ 142 ⋅ 297 mod 547
≡ 3550 ⋅ 297 mod 547 ≡ 268 ⋅ 297 mod 547
≡ 79596 mod 547 ≡ 281 mod 547
Es gilt also: 297163 ≡ 281 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41
| =>79 | = 1⋅41 + 38 |
| =>41 | = 1⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 41-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38) = 13⋅41 -14⋅ 38 (=1) |
| 38= 79-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41) = -14⋅79 +27⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41
oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅79 = +27⋅41
Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1
Somit 27⋅41 = 1 mod 79
27 ist also das Inverse von 41 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
