Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17996 + 599) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17996 + 599) mod 6 ≡ (17996 mod 6 + 599 mod 6) mod 6.

17996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996 = 18000-4 = 6 ⋅ 3000 -4 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 2.

599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 6 ⋅ 100 -1 = 6 ⋅ 100 - 6 + 5.

Somit gilt:

(17996 + 599) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 55) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 55) mod 7 ≡ (36 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 55) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78416 mod 941.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 784 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7841=784

2: 7842=7841+1=7841⋅7841 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 183 mod 941

4: 7844=7842+2=7842⋅7842 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 554 mod 941

8: 7848=7844+4=7844⋅7844 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 150 mod 941

16: 78416=7848+8=7848⋅7848 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 857 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 688182 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 6881=688

2: 6882=6881+1=6881⋅6881 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 219 mod 757

4: 6884=6882+2=6882⋅6882 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 270 mod 757

8: 6888=6884+4=6884⋅6884 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 228 mod 757

16: 68816=6888+8=6888⋅6888 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 508 mod 757

32: 68832=68816+16=68816⋅68816 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 684 mod 757

64: 68864=68832+32=68832⋅68832 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 30 mod 757

128: 688128=68864+64=68864⋅68864 ≡ 30⋅30=900 ≡ 143 mod 757

688182

= 688128+32+16+4+2

= 688128⋅68832⋅68816⋅6884⋅6882

143 ⋅ 684 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 219 mod 757
97812 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 219 mod 757 ≡ 159 ⋅ 508 ⋅ 270 ⋅ 219 mod 757
80772 ⋅ 270 ⋅ 219 mod 757 ≡ 530 ⋅ 270 ⋅ 219 mod 757
143100 ⋅ 219 mod 757 ≡ 27 ⋅ 219 mod 757
5913 mod 757 ≡ 614 mod 757

Es gilt also: 688182 ≡ 614 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61 = 2⋅23 + 15
=>23 = 1⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15)
= 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23)
= -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.