Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20005 + 504) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20005 + 504) mod 5 ≡ (20005 mod 5 + 504 mod 5) mod 5.
20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005
= 20000
504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504
= 500
Somit gilt:
(20005 + 504) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 19) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 19) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 19) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 58716 mod 619.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 587 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5871=587
2: 5872=5871+1=5871⋅5871 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 405 mod 619
4: 5874=5872+2=5872⋅5872 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 609 mod 619
8: 5878=5874+4=5874⋅5874 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 100 mod 619
16: 58716=5878+8=5878⋅5878 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 96 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 856107 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 8561=856
2: 8562=8561+1=8561⋅8561 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 1 mod 857
4: 8564=8562+2=8562⋅8562 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
8: 8568=8564+4=8564⋅8564 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
16: 85616=8568+8=8568⋅8568 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
32: 85632=85616+16=85616⋅85616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
64: 85664=85632+32=85632⋅85632 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 857
856107
= 85664+32+8+2+1
= 85664⋅85632⋅8568⋅8562⋅8561
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 1 ⋅ 856 mod 857
≡ 856 mod 857
Es gilt also: 856107 ≡ 856 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
