Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15999 + 160) mod 4 ≡ (15999 mod 4 + 160 mod 4) mod 4.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(15999 + 160) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 43) mod 4 ≡ (89 mod 4 ⋅ 43 mod 4) mod 4.

89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 10 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 43) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 235¹=235

2: 235²=235¹⁺¹=235¹⋅235¹ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 234 mod 433

4: 235⁴=235²⁺²=235²⋅235² ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433

8: 235⁸=235⁴⁺⁴=235⁴⋅235⁴ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 234 mod 433

16: 235¹⁶=235⁸⁺⁸=235⁸⋅235⁸ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433

32: 235³²=235¹⁶⁺¹⁶=235¹⁶⋅235¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 234 mod 433

64: 235⁶⁴=235³²⁺³²=235³²⋅235³² ≡ 234⋅234=54756 ≡ 198 mod 433

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

264²³³

= 264^{128+64+32+8+1}

= 264¹²⁸⋅264⁶⁴⋅264³²⋅264⁸⋅264¹

≡ 198 ⋅ 61 ⋅ 50 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271
≡ 12078 ⋅ 50 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271 ≡ 154 ⋅ 50 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271
≡ 7700 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271 ≡ 112 ⋅ 89 ⋅ 264 mod 271
≡ 9968 ⋅ 264 mod 271 ≡ 212 ⋅ 264 mod 271
≡ 55968 mod 271 ≡ 142 mod 271

Es gilt also: 264²³³ ≡ 142 mod 271

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97	= 1⋅87 + 10
=>87	= 8⋅10 + 7
=>10	= 1⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10) = -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87) = 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97