Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32007 + 2398) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32007 + 2398) mod 8 ≡ (32007 mod 8 + 2398 mod 8) mod 8.

32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007 = 32000+7 = 8 ⋅ 4000 +7.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

Somit gilt:

(32007 + 2398) mod 8 ≡ (7 + 6) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 15) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 15) mod 5 ≡ (55 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 15) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191128 mod 331.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 71 mod 331

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 76 mod 331

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 149 mod 331

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 24 mod 331

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 24⋅24=576 ≡ 245 mod 331

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 114 mod 331

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 87 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29166 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 136 mod 457

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 216 mod 457

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 42 mod 457

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 393 mod 457

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 440 mod 457

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457

29166

= 29164+2

= 29164⋅2912

289 ⋅ 136 mod 457
39304 mod 457 ≡ 2 mod 457

Es gilt also: 29166 ≡ 2 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.