Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (201 - 10001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(201 - 10001) mod 5 ≡ (201 mod 5 - 10001 mod 5) mod 5.
201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
10001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10001
= 10000
Somit gilt:
(201 - 10001) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 31) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 31) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 31 mod 3) mod 3.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 31) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2168 mod 337.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 150 mod 337
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 258 mod 337
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 175 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182161 mod 367.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 94 mod 367
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 28 mod 367
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 28⋅28=784 ≡ 50 mod 367
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 298 mod 367
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 357 mod 367
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 100 mod 367
128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 91 mod 367
182161
= 182128+32+1
= 182128⋅18232⋅1821
≡ 91 ⋅ 357 ⋅ 182 mod 367
≡ 32487 ⋅ 182 mod 367 ≡ 191 ⋅ 182 mod 367
≡ 34762 mod 367 ≡ 264 mod 367
Es gilt also: 182161 ≡ 264 mod 367
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31
| =>59 | = 1⋅31 + 28 |
| =>31 | = 1⋅28 + 3 |
| =>28 | = 9⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 28-9⋅3 | |||
| 3= 31-1⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28) = -9⋅31 +10⋅ 28 (=1) |
| 28= 59-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31) = 10⋅59 -19⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31
oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅59 = -19⋅31
-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31
-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1
(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1
40⋅31 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1
Somit 40⋅31 = 1 mod 59
40 ist also das Inverse von 31 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
