Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18002 + 3005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18002 + 3005) mod 6 ≡ (18002 mod 6 + 3005 mod 6) mod 6.
18002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18002
= 18000
3005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3005
= 3000
Somit gilt:
(18002 + 3005) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 98) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 98) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 98 mod 7) mod 7.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 98) mod 7 ≡ (6 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18564 mod 367.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 185 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 94 mod 367
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 28 mod 367
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 28⋅28=784 ≡ 50 mod 367
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 298 mod 367
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 357 mod 367
64: 18564=18532+32=18532⋅18532 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 100 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45178 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 4511=451
2: 4512=4511+1=4511⋅4511 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 464 mod 547
4: 4514=4512+2=4512⋅4512 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 325 mod 547
8: 4518=4514+4=4514⋅4514 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 54 mod 547
16: 45116=4518+8=4518⋅4518 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 181 mod 547
32: 45132=45116+16=45116⋅45116 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 488 mod 547
64: 45164=45132+32=45132⋅45132 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 199 mod 547
45178
= 45164+8+4+2
= 45164⋅4518⋅4514⋅4512
≡ 199 ⋅ 54 ⋅ 325 ⋅ 464 mod 547
≡ 10746 ⋅ 325 ⋅ 464 mod 547 ≡ 353 ⋅ 325 ⋅ 464 mod 547
≡ 114725 ⋅ 464 mod 547 ≡ 402 ⋅ 464 mod 547
≡ 186528 mod 547 ≡ 1 mod 547
Es gilt also: 45178 ≡ 1 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
