Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23995 + 238) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23995 + 238) mod 6 ≡ (23995 mod 6 + 238 mod 6) mod 6.

23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995 = 24000-5 = 6 ⋅ 4000 -5 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 1.

238 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238 = 240-2 = 6 ⋅ 40 -2 = 6 ⋅ 40 - 6 + 4.

Somit gilt:

(23995 + 238) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 19) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 19) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 19 mod 6) mod 6.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 19) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48564 mod 733.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 485 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4851=485

2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 665 mod 733

4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 226 mod 733

8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 499 mod 733

16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 514 mod 733

32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 316 mod 733

64: 48564=48532+32=48532⋅48532 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 168 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 954130 mod 997.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:

130 = 128+2

1: 9541=954

2: 9542=9541+1=9541⋅9541 ≡ 954⋅954=910116 ≡ 852 mod 997

4: 9544=9542+2=9542⋅9542 ≡ 852⋅852=725904 ≡ 88 mod 997

8: 9548=9544+4=9544⋅9544 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 765 mod 997

16: 95416=9548+8=9548⋅9548 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 983 mod 997

32: 95432=95416+16=95416⋅95416 ≡ 983⋅983=966289 ≡ 196 mod 997

64: 95464=95432+32=95432⋅95432 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 530 mod 997

128: 954128=95464+64=95464⋅95464 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 743 mod 997

954130

= 954128+2

= 954128⋅9542

743 ⋅ 852 mod 997
633036 mod 997 ≡ 938 mod 997

Es gilt also: 954130 ≡ 938 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.