Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 + 87) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 + 87) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 87 mod 3) mod 3.
30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30
= 30
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87
= 90
Somit gilt:
(30 + 87) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 50) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 50) mod 4 ≡ (38 mod 4 ⋅ 50 mod 4) mod 4.
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 9 ⋅ 4 + 2 ist.
50 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 12 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 50) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 396128 mod 443.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3961=396
2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 437 mod 443
4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 36 mod 443
8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 410 mod 443
16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 203 mod 443
32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 10 mod 443
64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 443
128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 254 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73069 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 7301=730
2: 7302=7301+1=7301⋅7301 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 441 mod 751
4: 7304=7302+2=7302⋅7302 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 723 mod 751
8: 7308=7304+4=7304⋅7304 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 33 mod 751
16: 73016=7308+8=7308⋅7308 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 338 mod 751
32: 73032=73016+16=73016⋅73016 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 92 mod 751
64: 73064=73032+32=73032⋅73032 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 203 mod 751
73069
= 73064+4+1
= 73064⋅7304⋅7301
≡ 203 ⋅ 723 ⋅ 730 mod 751
≡ 146769 ⋅ 730 mod 751 ≡ 324 ⋅ 730 mod 751
≡ 236520 mod 751 ≡ 706 mod 751
Es gilt also: 73069 ≡ 706 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
