Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44991 - 26998) mod 9 ≡ (44991 mod 9 - 26998 mod 9) mod 9.

44991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44991 = 45000-9 = 9 ⋅ 5000 -9 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 0.

26998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26998 = 27000-2 = 9 ⋅ 3000 -2 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 7.

Somit gilt:

(44991 - 26998) mod 9 ≡ (0 - 7) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 23) mod 8 ≡ (46 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 23) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 289¹=289

2: 289²=289¹⁺¹=289¹⋅289¹ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 17 mod 307

4: 289⁴=289²⁺²=289²⋅289² ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 307

8: 289⁸=289⁴⁺⁴=289⁴⋅289⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 17 mod 307

16: 289¹⁶=289⁸⁺⁸=289⁸⋅289⁸ ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 307

32: 289³²=289¹⁶⁺¹⁶=289¹⁶⋅289¹⁶ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 17 mod 307

64: 289⁶⁴=289³²⁺³²=289³²⋅289³² ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 307

128: 289¹²⁸=289⁶⁴⁺⁶⁴=289⁶⁴⋅289⁶⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 17 mod 307

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

379¹¹⁵

= 379^64+32+16+2+1

= 379⁶⁴⋅379³²⋅379¹⁶⋅379²⋅379¹

≡ 218 ⋅ 321 ⋅ 178 ⋅ 324 ⋅ 379 mod 397
≡ 69978 ⋅ 178 ⋅ 324 ⋅ 379 mod 397 ≡ 106 ⋅ 178 ⋅ 324 ⋅ 379 mod 397
≡ 18868 ⋅ 324 ⋅ 379 mod 397 ≡ 209 ⋅ 324 ⋅ 379 mod 397
≡ 67716 ⋅ 379 mod 397 ≡ 226 ⋅ 379 mod 397
≡ 85654 mod 397 ≡ 299 mod 397

Es gilt also: 379¹¹⁵ ≡ 299 mod 397

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54

=>73	= 1⋅54 + 19
=>54	= 2⋅19 + 16
=>19	= 1⋅16 + 3
=>16	= 5⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16) = 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 54-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19) = -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19) = 6⋅54 -17⋅ 19 (=1)
19= 73-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54) = 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54) = -17⋅73 +23⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54

oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅73 = +23⋅54

Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1

Somit 23⋅54 = 1 mod 73

23 ist also das Inverse von 54 mod 73