Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7993 + 23992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7993 + 23992) mod 8 ≡ (7993 mod 8 + 23992 mod 8) mod 8.
7993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7993
= 7000
23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992
= 23000
Somit gilt:
(7993 + 23992) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 89) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 89) mod 11 ≡ (7 ⋅ 1) mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3748 mod 877.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3741=374
2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 433 mod 877
4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 688 mod 877
8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 641 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 316236 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 212 mod 859
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 276 mod 859
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 584 mod 859
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 33 mod 859
32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 230 mod 859
64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 501 mod 859
128: 316128=31664+64=31664⋅31664 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 173 mod 859
316236
= 316128+64+32+8+4
= 316128⋅31664⋅31632⋅3168⋅3164
≡ 173 ⋅ 501 ⋅ 230 ⋅ 584 ⋅ 276 mod 859
≡ 86673 ⋅ 230 ⋅ 584 ⋅ 276 mod 859 ≡ 773 ⋅ 230 ⋅ 584 ⋅ 276 mod 859
≡ 177790 ⋅ 584 ⋅ 276 mod 859 ≡ 836 ⋅ 584 ⋅ 276 mod 859
≡ 488224 ⋅ 276 mod 859 ≡ 312 ⋅ 276 mod 859
≡ 86112 mod 859 ≡ 212 mod 859
Es gilt also: 316236 ≡ 212 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
