Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 + 365) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 + 365) mod 9 ≡ (18000 mod 9 + 365 mod 9) mod 9.
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365
= 360
Somit gilt:
(18000 + 365) mod 9 ≡ (0 + 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 93) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 93) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 93 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 93) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13332 mod 439.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 133 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 129 mod 439
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 398 mod 439
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 364 mod 439
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 357 mod 439
32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 139 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22889 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:
89 = 64+16+8+1
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 66 mod 509
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 284 mod 509
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 234 mod 509
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 293 mod 509
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 337 mod 509
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 62 mod 509
22889
= 22864+16+8+1
= 22864⋅22816⋅2288⋅2281
≡ 62 ⋅ 293 ⋅ 234 ⋅ 228 mod 509
≡ 18166 ⋅ 234 ⋅ 228 mod 509 ≡ 351 ⋅ 234 ⋅ 228 mod 509
≡ 82134 ⋅ 228 mod 509 ≡ 185 ⋅ 228 mod 509
≡ 42180 mod 509 ≡ 442 mod 509
Es gilt also: 22889 ≡ 442 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
