Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 - 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 3000) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(1198 - 3000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 71) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 71) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 71) mod 9 ≡ (2 ⋅ 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 342128 mod 733.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 342 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3421=342

2: 3422=3421+1=3421⋅3421 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 417 mod 733

4: 3424=3422+2=3422⋅3422 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 168 mod 733

8: 3428=3424+4=3424⋅3424 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 370 mod 733

16: 34216=3428+8=3428⋅3428 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 562 mod 733

32: 34232=34216+16=34216⋅34216 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 654 mod 733

64: 34264=34232+32=34232⋅34232 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 377 mod 733

128: 342128=34264+64=34264⋅34264 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 660 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 143134 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 255 mod 439

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 53 mod 439

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 175 mod 439

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 334 mod 439

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 50 mod 439

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 305 mod 439

128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 396 mod 439

143134

= 143128+4+2

= 143128⋅1434⋅1432

396 ⋅ 53 ⋅ 255 mod 439
20988 ⋅ 255 mod 439 ≡ 355 ⋅ 255 mod 439
90525 mod 439 ≡ 91 mod 439

Es gilt also: 143134 ≡ 91 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89 = 2⋅33 + 23
=>33 = 1⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23)
= 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33)
= 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33)
= -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.