Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (306 - 239) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(306 - 239) mod 6 ≡ (306 mod 6 - 239 mod 6) mod 6.
306 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 306
= 300
239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239
= 240
Somit gilt:
(306 - 239) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 75) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 75) mod 4 ≡ (52 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.
52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 75) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 415128 mod 881.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 415 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4151=415
2: 4152=4151+1=4151⋅4151 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 430 mod 881
4: 4154=4152+2=4152⋅4152 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 771 mod 881
8: 4158=4154+4=4154⋅4154 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 647 mod 881
16: 41516=4158+8=4158⋅4158 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 134 mod 881
32: 41532=41516+16=41516⋅41516 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 336 mod 881
64: 41564=41532+32=41532⋅41532 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 128 mod 881
128: 415128=41564+64=41564⋅41564 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 526 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 380197 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 197 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 197 an und zerlegen 197 in eine Summer von 2er-Potenzen:
197 = 128+64+4+1
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 9 mod 383
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 383
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 50 mod 383
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 202 mod 383
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 206 mod 383
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 306 mod 383
128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 184 mod 383
380197
= 380128+64+4+1
= 380128⋅38064⋅3804⋅3801
≡ 184 ⋅ 306 ⋅ 81 ⋅ 380 mod 383
≡ 56304 ⋅ 81 ⋅ 380 mod 383 ≡ 3 ⋅ 81 ⋅ 380 mod 383
≡ 243 ⋅ 380 mod 383
≡ 92340 mod 383 ≡ 37 mod 383
Es gilt also: 380197 ≡ 37 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 26.
Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 26
| =>73 | = 2⋅26 + 21 |
| =>26 | = 1⋅21 + 5 |
| =>21 | = 4⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,26)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-4⋅5 | |||
| 5= 26-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21) = -4⋅26 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-2⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅26 +5⋅(73 -2⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅73 -10⋅ 26) = 5⋅73 -14⋅ 26 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,26)=1 = 5⋅73 -14⋅26
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -14⋅26
-14⋅26 = -5⋅73 + 1 |+73⋅26
-14⋅26 + 73⋅26 = -5⋅73 + 73⋅26 + 1
(-14 + 73) ⋅ 26 = (-5 + 26) ⋅ 73 + 1
59⋅26 = 21⋅73 + 1
Es gilt also: 59⋅26 = 21⋅73 +1
Somit 59⋅26 = 1 mod 73
59 ist also das Inverse von 26 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
