Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2802 + 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2802 + 67) mod 7 ≡ (2802 mod 7 + 67 mod 7) mod 7.
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67
= 70
Somit gilt:
(2802 + 67) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 70) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 70) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 70) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42964 mod 653.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 429 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4291=429
2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 548 mod 653
4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 577 mod 653
8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 552 mod 653
16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 406 mod 653
32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 280 mod 653
64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 40 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 323206 mod 887.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:
206 = 128+64+8+4+2
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 550 mod 887
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 33 mod 887
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 202 mod 887
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 2 mod 887
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 887
64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 887
128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 887
323206
= 323128+64+8+4+2
= 323128⋅32364⋅3238⋅3234⋅3232
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 4096 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887 ≡ 548 ⋅ 202 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 110696 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887 ≡ 708 ⋅ 33 ⋅ 550 mod 887
≡ 23364 ⋅ 550 mod 887 ≡ 302 ⋅ 550 mod 887
≡ 166100 mod 887 ≡ 231 mod 887
Es gilt also: 323206 ≡ 231 mod 887
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29
| =>71 | = 2⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -22⋅29
-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29
-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1
(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1
49⋅29 = 20⋅71 + 1
Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1
Somit 49⋅29 = 1 mod 71
49 ist also das Inverse von 29 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
