Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3603 + 26998) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3603 + 26998) mod 9 ≡ (3603 mod 9 + 26998 mod 9) mod 9.

3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603 = 3600+3 = 9 ⋅ 400 +3.

26998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26998 = 27000-2 = 9 ⋅ 3000 -2 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 7.

Somit gilt:

(3603 + 26998) mod 9 ≡ (3 + 7) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 46) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 46) mod 10 ≡ (19 mod 10 ⋅ 46 mod 10) mod 10.

19 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 10 + 9 = 1 ⋅ 10 + 9 ist.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 46) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82132 mod 877.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 821 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8211=821

2: 8212=8211+1=8211⋅8211 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 505 mod 877

4: 8214=8212+2=8212⋅8212 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 695 mod 877

8: 8218=8214+4=8214⋅8214 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 675 mod 877

16: 82116=8218+8=8218⋅8218 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 462 mod 877

32: 82132=82116+16=82116⋅82116 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 333 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306162 mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 346 mod 491

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 403 mod 491

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 379 mod 491

16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 269 mod 491

32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 184 mod 491

64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 468 mod 491

128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 38 mod 491

306162

= 306128+32+2

= 306128⋅30632⋅3062

38 ⋅ 184 ⋅ 346 mod 491
6992 ⋅ 346 mod 491 ≡ 118 ⋅ 346 mod 491
40828 mod 491 ≡ 75 mod 491

Es gilt also: 306162 ≡ 75 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 95.

Also bestimme x, so dass 95 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95

=>101 = 1⋅95 + 6
=>95 = 15⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,95)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 95-15⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6)
= -1⋅95 +16⋅ 6 (=1)
6= 101-1⋅95 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95)
= -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95)
= 16⋅101 -17⋅ 95 (=1)

Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -17⋅95

-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95

-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1

(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1

84⋅95 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1

Somit 84⋅95 = 1 mod 101

84 ist also das Inverse von 95 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.