Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (446 + 18000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(446 + 18000) mod 9 ≡ (446 mod 9 + 18000 mod 9) mod 9.

446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446 = 450-4 = 9 ⋅ 50 -4 = 9 ⋅ 50 - 9 + 5.

18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 9 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(446 + 18000) mod 9 ≡ (5 + 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 20) mod 10 ≡ (92 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 20) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29116 mod 541.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 285 mod 541

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 75 mod 541

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 240 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 803143 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 8031=803

2: 8032=8031+1=8031⋅8031 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 798 mod 881

4: 8034=8032+2=8032⋅8032 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 722 mod 881

8: 8038=8034+4=8034⋅8034 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 613 mod 881

16: 80316=8038+8=8038⋅8038 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 463 mod 881

32: 80332=80316+16=80316⋅80316 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 286 mod 881

64: 80364=80332+32=80332⋅80332 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881

128: 803128=80364+64=80364⋅80364 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881

803143

= 803128+8+4+2+1

= 803128⋅8038⋅8034⋅8032⋅8031

268 ⋅ 613 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
164284 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881 ≡ 418 ⋅ 722 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
301796 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881 ≡ 494 ⋅ 798 ⋅ 803 mod 881
394212 ⋅ 803 mod 881 ≡ 405 ⋅ 803 mod 881
325215 mod 881 ≡ 126 mod 881

Es gilt also: 803143 ≡ 126 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.