Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (121 + 1200) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(121 + 1200) mod 3 ≡ (121 mod 3 + 1200 mod 3) mod 3.
121 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(121 + 1200) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 24) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 24) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 24 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 24) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24064 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2401=240
2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 276 mod 281
4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 25 mod 281
8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 25⋅25=625 ≡ 63 mod 281
16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 35 mod 281
32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 101 mod 281
64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 85 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 281107 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 590 mod 719
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 104 mod 719
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 31 mod 719
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 31⋅31=961 ≡ 242 mod 719
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 325 mod 719
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 651 mod 719
281107
= 28164+32+8+2+1
= 28164⋅28132⋅2818⋅2812⋅2811
≡ 651 ⋅ 325 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 211575 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719 ≡ 189 ⋅ 31 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 5859 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719 ≡ 107 ⋅ 590 ⋅ 281 mod 719
≡ 63130 ⋅ 281 mod 719 ≡ 577 ⋅ 281 mod 719
≡ 162137 mod 719 ≡ 362 mod 719
Es gilt also: 281107 ≡ 362 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
