Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 - 2500) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 - 2500) mod 5 ≡ (45 mod 5 - 2500 mod 5) mod 5.
45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45
= 40
2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500
= 2500
Somit gilt:
(45 - 2500) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 69) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 69) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.
86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 69) mod 11 ≡ (9 ⋅ 3) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1978 mod 359.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 197 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1971=197
2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 37 mod 359
4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 292 mod 359
8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 181 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 609115 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 6091=609
2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 164 mod 953
4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 212 mod 953
8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 153 mod 953
16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 537 mod 953
32: 60932=60916+16=60916⋅60916 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 563 mod 953
64: 60964=60932+32=60932⋅60932 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 573 mod 953
609115
= 60964+32+16+2+1
= 60964⋅60932⋅60916⋅6092⋅6091
≡ 573 ⋅ 563 ⋅ 537 ⋅ 164 ⋅ 609 mod 953
≡ 322599 ⋅ 537 ⋅ 164 ⋅ 609 mod 953 ≡ 485 ⋅ 537 ⋅ 164 ⋅ 609 mod 953
≡ 260445 ⋅ 164 ⋅ 609 mod 953 ≡ 276 ⋅ 164 ⋅ 609 mod 953
≡ 45264 ⋅ 609 mod 953 ≡ 473 ⋅ 609 mod 953
≡ 288057 mod 953 ≡ 251 mod 953
Es gilt also: 609115 ≡ 251 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68
| =>83 | = 1⋅68 + 15 |
| =>68 | = 4⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 68-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +11⋅68
Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1
Somit 11⋅68 = 1 mod 83
11 ist also das Inverse von 68 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
