Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10

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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20003 - 248) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 248) mod 5 ≡ (20003 mod 5 - 248 mod 5) mod 5.

20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 5 ⋅ 4000 +3.

248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 5 ⋅ 48 +8.

Somit gilt:

(20003 - 248) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 59) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 59) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 59 mod 6) mod 6.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 9 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 59) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2658 mod 479.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2651=265

2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 291 mod 479

4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 377 mod 479

8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 705229 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 7051=705

2: 7052=7051+1=7051⋅7051 ≡ 705⋅705=497025 ≡ 579 mod 853

4: 7054=7052+2=7052⋅7052 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 12 mod 853

8: 7058=7054+4=7054⋅7054 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 853

16: 70516=7058+8=7058⋅7058 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 264 mod 853

32: 70532=70516+16=70516⋅70516 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 603 mod 853

64: 70564=70532+32=70532⋅70532 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 231 mod 853

128: 705128=70564+64=70564⋅70564 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 475 mod 853

705229

= 705128+64+32+4+1

= 705128⋅70564⋅70532⋅7054⋅7051

475 ⋅ 231 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
109725 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853 ≡ 541 ⋅ 603 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
326223 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853 ≡ 377 ⋅ 12 ⋅ 705 mod 853
4524 ⋅ 705 mod 853 ≡ 259 ⋅ 705 mod 853
182595 mod 853 ≡ 53 mod 853

Es gilt also: 705229 ≡ 53 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59 = 1⋅46 + 13
=>46 = 3⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13)
= 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46)
= -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.