Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15000 - 8997) mod 3 ≡ (15000 mod 3 - 8997 mod 3) mod 3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(15000 - 8997) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 52) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 52 mod 9) mod 9.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 52) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 578¹=578

2: 578²=578¹⁺¹=578¹⋅578¹ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 285 mod 631

4: 578⁴=578²⁺²=578²⋅578² ≡ 285⋅285=81225 ≡ 457 mod 631

8: 578⁸=578⁴⁺⁴=578⁴⋅578⁴ ≡ 457⋅457=208849 ≡ 619 mod 631

16: 578¹⁶=578⁸⁺⁸=578⁸⋅578⁸ ≡ 619⋅619=383161 ≡ 144 mod 631

32: 578³²=578¹⁶⁺¹⁶=578¹⁶⋅578¹⁶ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 544 mod 631

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

204²⁴⁸

= 204^{128+64+32+16+8}

= 204¹²⁸⋅204⁶⁴⋅204³²⋅204¹⁶⋅204⁸

≡ 365 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
≡ 131765 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613 ≡ 583 ⋅ 19 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
≡ 11077 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613 ≡ 43 ⋅ 418 ⋅ 549 mod 613
≡ 17974 ⋅ 549 mod 613 ≡ 197 ⋅ 549 mod 613
≡ 108153 mod 613 ≡ 265 mod 613

Es gilt also: 204²⁴⁸ ≡ 265 mod 613

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89	= 1⋅77 + 12
=>77	= 6⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77) = 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89