Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (499 + 10004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(499 + 10004) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 10004 mod 5) mod 5.
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
10004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10004
= 10000
Somit gilt:
(499 + 10004) mod 5 ≡ (4 + 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 89) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 89) mod 6 ≡ (90 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 89) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62364 mod 701.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 623 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6231=623
2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 476 mod 701
4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 153 mod 701
8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 276 mod 701
16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 468 mod 701
32: 62332=62316+16=62316⋅62316 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 312 mod 701
64: 62364=62332+32=62332⋅62332 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 606 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377154 mod 811.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 204 mod 811
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 255 mod 811
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 145 mod 811
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 750 mod 811
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 477 mod 811
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 449 mod 811
128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 473 mod 811
377154
= 377128+16+8+2
= 377128⋅37716⋅3778⋅3772
≡ 473 ⋅ 750 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811
≡ 354750 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811 ≡ 343 ⋅ 145 ⋅ 204 mod 811
≡ 49735 ⋅ 204 mod 811 ≡ 264 ⋅ 204 mod 811
≡ 53856 mod 811 ≡ 330 mod 811
Es gilt also: 377154 ≡ 330 mod 811
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29
| =>53 | = 1⋅29 + 24 |
| =>29 | = 1⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 29-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24) = 5⋅29 -6⋅ 24 (=1) |
| 24= 53-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29) = -6⋅53 +11⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29
oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +6⋅53 = +11⋅29
Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1
Somit 11⋅29 = 1 mod 53
11 ist also das Inverse von 29 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
