Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36009 + 9003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36009 + 9003) mod 9 ≡ (36009 mod 9 + 9003 mod 9) mod 9.
36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009
= 36000
9003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003
= 9000
Somit gilt:
(36009 + 9003) mod 9 ≡ (0 + 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 92) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 92) mod 11 ≡ (65 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 92) mod 11 ≡ (10 ⋅ 4) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 263.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 61 mod 263
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 39 mod 263
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 206 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7279 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:
79 = 64+8+4+2+1
1: 721=72
2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 123 mod 241
4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 187 mod 241
8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241
16: 7216=728+8=728⋅728 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
32: 7232=7216+16=7216⋅7216 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
64: 7264=7232+32=7232⋅7232 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
7279
= 7264+8+4+2+1
= 7264⋅728⋅724⋅722⋅721
≡ 54 ⋅ 24 ⋅ 187 ⋅ 123 ⋅ 72 mod 241
≡ 1296 ⋅ 187 ⋅ 123 ⋅ 72 mod 241 ≡ 91 ⋅ 187 ⋅ 123 ⋅ 72 mod 241
≡ 17017 ⋅ 123 ⋅ 72 mod 241 ≡ 147 ⋅ 123 ⋅ 72 mod 241
≡ 18081 ⋅ 72 mod 241 ≡ 6 ⋅ 72 mod 241
≡ 432 mod 241 ≡ 191 mod 241
Es gilt also: 7279 ≡ 191 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
