Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 19\\ 6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|19|6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 5-(-12)\cdot 15\\ -12\cdot 0-0\cdot 5\\ 0\cdot 15-(-16)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-80-(-180)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-12)-(-8)\cdot 11\\ -8\cdot 15-24\cdot (-12)\\ 24\cdot 11-12\cdot 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144-(-88)\\ -120-(-288)\\ 264-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{168}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 11-12\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -176-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-200)}}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 11-12\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -176-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$ = -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|2|1\right)$ erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 1$
also:

$+x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 2+0\cdot 9+1\cdot 4-1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -17\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -17\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\cdot (-6)-(-12)\cdot (-17)\\ -12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot (-17)-(-9)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54-204\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-150)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -17\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -17\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\cdot (-6)-(-12)\cdot (-17)\\ -12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot (-17)-(-9)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54-204\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = -150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-4|3\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 3$
also:

$\mathrm{}{x}_1=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+0\cdot (-8)+0\cdot 6-1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75