Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ -31\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -7\\ -35\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-22|-7|-35\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ -31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ -31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-31)-32\cdot (-4)\\ 32\cdot (-20)-16\cdot (-31)\\ 16\cdot (-4)-(-4)\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}124-(-128)\\ -640-(-496)\\ -64-80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-9)-(-32)\cdot (-9)\\ -32\cdot 0-(-16)\cdot (-9)\\ -16\cdot (-9)-(-4)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-288\\ 0-144\\ 144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-17)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot 10-32\cdot (-17)\\ 32\cdot 4-(-16)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}272-(-16)\\ -40-(-544)\\ 128-(-160)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{504}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-17)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot 10-32\cdot (-17)\\ 32\cdot 4-(-16)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}272-(-16)\\ -40-(-544)\\ 128-(-160)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-13|0|4\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-13)}+7\cdot 0+4\cdot 4$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-36$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8+7\cdot 21+4\cdot 7+36|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-6)\cdot (-10)\\ -6\cdot 8-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-10)-(-6)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-60\\ -48-(-12)\\ -30-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-6)\cdot (-10)\\ -6\cdot 8-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-10)-(-6)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-60\\ -48-(-12)\\ -30-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-2|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 2$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot 0-2\cdot (-11)+1\cdot 5-0|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81