Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 15\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ -5\\ 31\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(30|-5|31\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 16-(-36)\cdot (-5)\\ -36\cdot 18-(-24)\cdot 16\\ -24\cdot (-5)-(-8)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-180\\ -648-(-384)\\ 120-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 11-36\cdot 11\\ 36\cdot 0-24\cdot 11\\ 24\cdot 11-8\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}88-396\\ 0-264\\ 264-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot 6-(-24)\cdot 13\\ -24\cdot (-20)-(-8)\cdot 6\\ -8\cdot 13-36\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-312)\\ 480-(-48)\\ -104-(-720)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{528}^2+{616}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -11\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot 6-(-24)\cdot 13\\ -24\cdot (-20)-(-8)\cdot 6\\ -8\cdot 13-36\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-312)\\ 480-(-48)\\ -104-(-720)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|-11|6\right)$ erhält man
d = $6\cdot 7+6\cdot \mathrm{(-11)}+7\cdot 6$
also:

$6x_1+6x_2+7x_3=18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 14+6\cdot 18+7\cdot 27-18|}{\sqrt{6^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}22\\ 19\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 19\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-24)-(-24)\cdot 19\\ -24\cdot 22-8\cdot (-24)\\ 8\cdot 19-12\cdot 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288-(-456)\\ -528-(-192)\\ 152-264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -336\\ -112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -336\\ -112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-336)}}^2+{\mathrm{(-112)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ 19\\ -24\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 19\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-24)-(-24)\cdot 19\\ -24\cdot 22-8\cdot (-24)\\ 8\cdot 19-12\cdot 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288-(-456)\\ -528-(-192)\\ 152-264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -336\\ -112\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-8|1\right)$ erhält man
d = $3\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1$
also:

$3x_1-6x_2-2x_3=49$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 18-6\cdot (-21)-2\cdot (-8)-49|}{\sqrt{3^2+{(-6)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372