Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 21\\ -14\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ -15\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|30|-15\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-1)-12\cdot 9\\ 12\cdot (-4)-(-8)\cdot (-1)\\ -8\cdot 9-(-24)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-108\\ -48-8\\ -72-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 4-4\cdot (-2)\\ 4\cdot (-5)-(-8)\cdot 4\\ -8\cdot (-2)-(-8)\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-8)\\ -20-(-32)\\ 16-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 5-4\cdot 2\\ 4\cdot 4-8\cdot 5\\ 8\cdot 2-(-8)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-8\\ 16-40\\ 16-(-32)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{48}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 5-4\cdot 2\\ 4\cdot 4-8\cdot 5\\ 8\cdot 2-(-8)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-8\\ 16-40\\ 16-(-32)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-1|-5\right)$ erhält man
d = $2\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 12+1\cdot 2-2\cdot (-8)-15|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -49\\ -28\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -49\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-28)-(-8)\cdot (-49)\\ -8\cdot (-18)-(-24)\cdot (-28)\\ -24\cdot (-49)-(-36)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1008-392\\ 144-672\\ 1176-648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{528}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}11\\ 13\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -49\\ -28\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -49\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-28)-(-8)\cdot (-49)\\ -8\cdot (-18)-(-24)\cdot (-28)\\ -24\cdot (-49)-(-36)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1008-392\\ 144-672\\ 1176-648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(11|13|5\right)$ erhält man
d = $7\cdot 11+\mathrm{(-6)}\cdot 13+6\cdot 5$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=29$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 32-6\cdot (-16)+6\cdot 12-29|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324