Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 11\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 10\\ 4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(14|10|4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot (-1)\\ 0\cdot 7-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot (-1)-(-12)\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 16-(-84)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 11\\ 25\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 11\\ 25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 25-32\cdot 11\\ 32\cdot (-8)-(-16)\cdot 25\\ -16\cdot 11-4\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100-352\\ -256-(-400)\\ -176-(-32)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 20\\ -13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 20\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-13)-(-36)\cdot 20\\ -36\cdot (-6)-24\cdot (-13)\\ 24\cdot 20-8\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104-(-720)\\ 216-(-312)\\ 480-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ 528\\ 528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}616\\ 528\\ 528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{616}^2+{528}^2+{528}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 20\\ -13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 20\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-13)-(-36)\cdot 20\\ -36\cdot (-6)-24\cdot (-13)\\ 24\cdot 20-8\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104-(-720)\\ 216-(-312)\\ 480-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ 528\\ 528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|1|7\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-4)}+6\cdot 1+6\cdot 7$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=20$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 17+6\cdot 30+6\cdot 14-20|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 12-16\cdot 21\\ 16\cdot 42-32\cdot 12\\ 32\cdot 21-4\cdot 42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-336\\ 672-384\\ 672-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-288)}}^2+{288}^2+{504}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 12-16\cdot 21\\ 16\cdot 42-32\cdot 12\\ 32\cdot 21-4\cdot 42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-336\\ 672-384\\ 672-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-10|-2|-8\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-10)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot \mathrm{(-8)}$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=-24$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-13)+4\cdot 19+7\cdot 13+24|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916