Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|0|-10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-9)-8\cdot (-3)\\ 8\cdot (-12)-8\cdot (-9)\\ 8\cdot (-3)-4\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-(-24)\\ -96-(-72)\\ -24-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 3-(-16)\cdot 4\\ -16\cdot 0-0\cdot 3\\ 0\cdot 4-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-(-64)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 4-9\cdot 6\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\\ 6\cdot 6-(-18)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ 108-24\\ 36-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 4-9\cdot 6\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\\ 6\cdot 6-(-18)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ 108-24\\ 36-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|1|5\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot 5$
also:

$3x_1-2x_2-6x_3=-41$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 12-2\cdot (-2)-6\cdot (-11)+41|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}26\\ 19\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ 19\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 4-12\cdot 19\\ 12\cdot 26-24\cdot 4\\ 24\cdot 19-3\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-228\\ 312-96\\ 456-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}26\\ 19\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ 19\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 4-12\cdot 19\\ 12\cdot 26-24\cdot 4\\ 24\cdot 19-3\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-228\\ 312-96\\ 456-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|0|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 0+7\cdot 3$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=29$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-13)+4\cdot 20+7\cdot 20-29|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187