Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-21\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -13\\ -2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-22|-13|-2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-21\\ -7\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-21\\ -7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-8\cdot (-7)\\ 8\cdot (-21)-24\cdot 0\\ 24\cdot (-7)-12\cdot (-21)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-56)\\ -168-0\\ -168-(-252)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 9-(-24)\cdot (-1)\\ -24\cdot 4-8\cdot 9\\ 8\cdot (-1)-12\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}108-24\\ -96-72\\ -8-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 2-(-8)\cdot (-5)\\ -8\cdot 4-8\cdot 2\\ 8\cdot (-5)-(-4)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-40\\ -32-16\\ -40-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 2-(-8)\cdot (-5)\\ -8\cdot 4-8\cdot 2\\ 8\cdot (-5)-(-4)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-40\\ -32-16\\ -40-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -24\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-3|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1+2x_2+x_3=-7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 10+2\cdot 0+1\cdot 0+7|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 19-12\cdot 24\\ 12\cdot (-22)-(-8)\cdot 19\\ -8\cdot 24-24\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-288\\ -264-(-152)\\ -192-(-528)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-112)}}^2+{336}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 19-12\cdot 24\\ 12\cdot (-22)-(-8)\cdot 19\\ -8\cdot 24-24\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-288\\ -264-(-152)\\ -192-(-528)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|-8|-4\right)$ erhält man
d = $3\cdot 7+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-8)}+6\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$3x_1-2x_2+6x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 8-2\cdot (-11)+6\cdot 19-13|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372