Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 8\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}43\\ -36\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}31\\ -28\\ 4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(31|-28|4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}43\\ -36\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}43\\ -36\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 1-(-8)\cdot (-36)\\ -8\cdot 43-(-36)\cdot 1\\ -36\cdot (-36)-24\cdot 43\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-288\\ -344-(-36)\\ 1296-1032\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-1)-12\cdot (-4)\\ 12\cdot (-9)-24\cdot (-1)\\ 24\cdot (-4)-(-8)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-48)\\ -108-(-24)\\ -96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-5)-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot 2-(-6)\cdot (-5)\\ -6\cdot (-4)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30-12\\ -6-30\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-5)-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot 2-(-6)\cdot (-5)\\ -6\cdot (-4)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30-12\\ -6-30\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|6|6\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 6+2\cdot 6$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 1-2\cdot (-3)+2\cdot 9+2|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 17\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot (-6)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 17-9\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -204-(-54)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-150)}}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 17\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot (-6)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 17-9\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -204-(-54)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$ = -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-3|-1\right)$ erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$+x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 5+0\cdot 1+1\cdot 2+1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75