Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 39\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 16\\ 35\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-1|16|35\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 39\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 39-(-32)\cdot 24\\ -32\cdot 3-4\cdot 39\\ 4\cdot 24-(-16)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-624-(-768)\\ -96-156\\ 96-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-5)-(-4)\cdot 7\\ -4\cdot 4-8\cdot (-5)\\ 8\cdot 7-8\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-(-28)\\ -16-(-40)\\ 56-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-2)-6\cdot 4\\ 6\cdot (-5)-(-3)\cdot (-2)\\ -3\cdot 4-6\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-24\\ -30-6\\ -12-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-2)-6\cdot 4\\ 6\cdot (-5)-(-3)\cdot (-2)\\ -3\cdot 4-6\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-24\\ -30-6\\ -12-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-2|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 3$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-8)-2\cdot (-5)+1\cdot 6-5|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 0-4\cdot (-6)\\ 4\cdot 6-4\cdot 0\\ 4\cdot (-6)-(-2)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-24)\\ 24-0\\ -24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 0-4\cdot (-6)\\ 4\cdot 6-4\cdot 0\\ 4\cdot (-6)-(-2)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-24)\\ 24-0\\ -24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-2|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 5$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-2)-2\cdot (-10)+1\cdot 6-3|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54