Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ -16\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}5\\ 18\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 26\\ -32\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(2|26|-32\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 18\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 18\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-16)-36\cdot 18\\ 36\cdot 5-8\cdot (-16)\\ 8\cdot 18-(-24)\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}384-648\\ 180-(-128)\\ 144-(-120)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 5-4\cdot 4\\ 4\cdot (-7)-(-8)\cdot 5\\ -8\cdot 4-8\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-16\\ -28-(-40)\\ -32-(-56)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-2)-6\cdot 5\\ 6\cdot 4-6\cdot (-2)\\ 6\cdot 5-3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ 24-(-12)\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-2)-6\cdot 5\\ 6\cdot 4-6\cdot (-2)\\ 6\cdot 5-3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ 24-(-12)\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|0|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 0+1\cdot 2$
also:

$-2x_1+2x_2+x_3=8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-6)+2\cdot 9+1\cdot 5-8|}{\sqrt{{(-2)}^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-6)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot (-12)-(-8)\cdot (-6)\\ -8\cdot 9-4\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-72)\\ 96-48\\ -72-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{48}^2+{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-6)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot (-12)-(-8)\cdot (-6)\\ -8\cdot 9-4\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-72)\\ 96-48\\ -72-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ -24\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|1|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-2)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=-16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-3)-2\cdot (-2)+1\cdot 1+16|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108