Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -4\\ 13\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-11|-4|13\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 12-(-8)\cdot (-3)\\ -8\cdot (-9)-8\cdot 12\\ 8\cdot (-3)-4\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-24\\ 72-96\\ -24-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 2-36\cdot (-6)\\ 36\cdot (-9)-(-8)\cdot 2\\ -8\cdot (-6)-24\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-(-216)\\ -324-(-16)\\ 48-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\cdot 12-6\cdot (-4)\\ 6\cdot (-6)-18\cdot 12\\ 18\cdot (-4)-(-9)\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-(-24)\\ -36-216\\ -72-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\cdot 12-6\cdot (-4)\\ 6\cdot (-6)-18\cdot 12\\ 18\cdot (-4)-(-9)\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-(-24)\\ -36-216\\ -72-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|5|-2\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$2x_1+6x_2+3x_3=22$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 2+6\cdot 21+3\cdot 13-22|}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 10-6\cdot 4\\ 6\cdot (-8)-(-3)\cdot 10\\ -3\cdot 4-6\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ -48-(-30)\\ -12-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 10-6\cdot 4\\ 6\cdot (-8)-(-3)\cdot 10\\ -3\cdot 4-6\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ -48-(-30)\\ -12-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-1|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-2x_1+x_2-2x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-7)+1\cdot 2-2\cdot (-6)-1|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81