Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-9|1|22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 15-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot (-5)-12\cdot 15\\ 12\cdot 0-0\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 80-180\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 7-(-36)\cdot 12\\ -36\cdot (-7)-(-8)\cdot 7\\ -8\cdot 12-(-24)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168-(-432)\\ 252-(-56)\\ -96-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot (-4)-4\cdot 4\\ 4\cdot 2-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 4-2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 8-(-16)\\ 16-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot (-4)-4\cdot 4\\ 4\cdot 2-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 4-2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 8-(-16)\\ 16-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|1|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot 0$
also:

$-2x_1+2x_2+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-4)+2\cdot 9+1\cdot 1-0|}{\sqrt{{(-2)}^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}22\\ 24\\ -19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 24\\ -19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-19)-(-12)\cdot 24\\ -12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot 24-24\cdot 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456-(-288)\\ -264-(-152)\\ 192-528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -112\\ -336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -112\\ -336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-112)}}^2+{\mathrm{(-336)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ 24\\ -19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 24\\ -19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-19)-(-12)\cdot 24\\ -12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot 24-24\cdot 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456-(-288)\\ -264-(-152)\\ 192-528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -112\\ -336\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-9|-1\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-9)}+6\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$3x_1+2x_2+6x_3=-36$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 13+2\cdot 0+6\cdot 12+36|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372