Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-19\\ -8\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -9\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-16|-9|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-19\\ -8\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-19\\ -8\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot (-8)\\ 0\cdot (-19)-16\cdot 0\\ 16\cdot (-8)-12\cdot (-19)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -128-(-228)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot (-1)-8\cdot (-1)\\ 8\cdot (-4)-8\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 4-(-8)\\ -32-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-12)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot (-6)-18\cdot (-12)\\ 18\cdot 4-9\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-(-24)\\ 36-(-216)\\ 72-(-54)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{252}^2+{126}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-12)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot (-6)-18\cdot (-12)\\ 18\cdot 4-9\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-(-24)\\ 36-(-216)\\ 72-(-54)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-2|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 0$
also:

$-2x_1+6x_2+3x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-14)+6\cdot 18+3\cdot 3+2|}{\sqrt{{(-2)}^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot (-19)-(-12)\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264-(-152)\\ -192-(-528)\\ 456-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-112)}}^2+{336}^2+{168}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}9\\ 8\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot (-19)-(-12)\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264-(-152)\\ -192-(-528)\\ 456-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(9|8|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 9+6\cdot 8+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1+6x_2+3x_3=24$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot 0+6\cdot 21+3\cdot 15-24|}{\sqrt{{(-2)}^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372