Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -11\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|0|-11\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-12)-8\cdot (-3)\\ 8\cdot 9-(-8)\cdot (-12)\\ -8\cdot (-3)-4\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-24)\\ 72-96\\ 24-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-6)-24\cdot (-2)\\ 24\cdot (-9)-(-8)\cdot (-6)\\ -8\cdot (-2)-(-36)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-48)\\ -216-48\\ 16-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot 8-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 0-0\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 64-(-36)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot 8-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 0-0\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 64-(-36)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$ = 100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-1|-1\right)$ erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$+x_2=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 7+1\cdot 2+0\cdot (-4)+1|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -26\\ 40\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -26\\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 40-27\cdot (-26)\\ 27\cdot 12-18\cdot 40\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240-(-702)\\ 324-720\\ -468-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -26\\ 40\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -26\\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 40-27\cdot (-26)\\ 27\cdot 12-18\cdot 40\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240-(-702)\\ 324-720\\ -468-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|6|-6\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=-7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 20-6\cdot (-23)-6\cdot (-13)+7|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993