Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 23\\ -12\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|23|-12\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-8)-12\cdot 19\\ 12\cdot 0-0\cdot (-8)\\ 0\cdot 19-(-16)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128-228\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32\cdot (-7)-(-4)\cdot (-7)\\ -4\cdot (-8)-16\cdot (-7)\\ 16\cdot (-7)-32\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-224-28\\ 32-(-112)\\ -112-(-256)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-8)-12\cdot (-2)\\ 12\cdot (-16)-(-3)\cdot (-8)\\ -3\cdot (-2)-(-24)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-(-24)\\ -192-24\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-8)-12\cdot (-2)\\ 12\cdot (-16)-(-3)\cdot (-8)\\ -3\cdot (-2)-(-24)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-(-24)\\ -192-24\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-1|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-1)}+7\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=-55$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-16)+4\cdot 10+7\cdot 12+55|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 4-6\cdot 10\\ 6\cdot 8-3\cdot 4\\ 3\cdot 10-6\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-60\\ 48-12\\ 30-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -7\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 4-6\cdot 10\\ 6\cdot 8-3\cdot 4\\ 3\cdot 10-6\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-60\\ 48-12\\ 30-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-7|-7\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-7)}+1\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$2x_1-2x_2+x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 6-2\cdot (-10)+1\cdot (-4)-1|}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81