Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}20\\ 31\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 29\\ -4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(15|29|-4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 31\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 31\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-4)-(-4)\cdot 31\\ -4\cdot 20-(-16)\cdot (-4)\\ -16\cdot 31-(-32)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128-(-124)\\ -80-64\\ -496-(-640)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 7-12\cdot 0\\ 12\cdot (-1)-(-16)\cdot 7\\ -16\cdot 0-0\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -12-(-112)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 4-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot (-4)-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ -6-(-24)\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{18}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 4-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot (-4)-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ -6-(-24)\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|2|-5\right)$ erhält man
d = $2\cdot 5+1\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 10+1\cdot 3+2\cdot 3-2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 8\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 18-2\cdot 0\\ 2\cdot 18-16\cdot 18\\ 16\cdot 0-8\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ 36-288\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 8\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 18-2\cdot 0\\ 2\cdot 18-16\cdot 18\\ 16\cdot 0-8\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ 36-288\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-5|5\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5$
also:

$4x_1-7x_2-4x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 11-7\cdot (-30)-4\cdot 1-7|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458