Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(7|-8|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 3-(-4)\cdot (-9)\\ -4\cdot 12-(-8)\cdot 3\\ -8\cdot (-9)-8\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-36\\ -48-(-24)\\ 72-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 0-0\cdot (-1)\\ 0\cdot (-7)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot (-1)-(-16)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 12-112\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 18-4\cdot (-12)\\ 4\cdot 4-18\cdot 18\\ 18\cdot (-12)-12\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-48)\\ 16-324\\ -216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 18-4\cdot (-12)\\ 4\cdot 4-18\cdot 18\\ 18\cdot (-12)-12\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-48)\\ 16-324\\ -216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-3|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+7\cdot \mathrm{(-3)}+6\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=-33$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-16)+7\cdot 12+6\cdot 25+33|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 2-6\cdot (-7)\\ 6\cdot 8-6\cdot 2\\ 6\cdot (-7)-(-3)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-(-42)\\ 48-12\\ -42-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 2-6\cdot (-7)\\ 6\cdot 8-6\cdot 2\\ 6\cdot (-7)-(-3)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-(-42)\\ 48-12\\ -42-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-4|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-1)-2\cdot (-12)+1\cdot (-1)+2|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81