Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -11\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}43\\ 36\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}30\\ 25\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(30|25|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}43\\ 36\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}43\\ 36\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-1)-8\cdot 36\\ 8\cdot 43-(-36)\cdot (-1)\\ -36\cdot 36-(-24)\cdot 43\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-288\\ 344-36\\ -1296-(-1032)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -7\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -7\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 7-(-36)\cdot (-7)\\ -36\cdot (-12)-24\cdot 7\\ 24\cdot (-7)-(-8)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-252\\ 432-168\\ -168-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-9)\cdot 12\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\\ -18\cdot 12-6\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-108)\\ -54-72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-9)\cdot 12\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\\ -18\cdot 12-6\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-108)\\ -54-72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-5|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot 2$
also:

$-2x_1+3x_2+6x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-8)+3\cdot 10+6\cdot 18-7|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-7)-(-3)\cdot 8\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-7)\\ -6\cdot 8-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42-(-24)\\ 6-42\\ -48-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-7)-(-3)\cdot 8\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-7)\\ -6\cdot 8-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42-(-24)\\ 6-42\\ -48-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|3|3\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 3+2\cdot 3$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 1+2\cdot 10+2\cdot 7-8|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81