Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}33\\ 13\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(23|7|-4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}33\\ 13\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}33\\ 13\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-4)-8\cdot 13\\ 8\cdot 33-(-24)\cdot (-4)\\ -24\cdot 13-(-12)\cdot 33\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-104\\ 264-96\\ -312-(-396)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{168}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-1)-8\cdot (-4)\\ 8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-1)\\ -4\cdot (-4)-8\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-(-32)\\ -8-4\\ 16-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-6)-12\cdot 8\\ 12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 8-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-96\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-150)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-6)-12\cdot 8\\ 12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 8-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-96\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = -150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|3|3\right)$ erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 3+0\cdot 3$
also:

$\mathrm{}{x}_1=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 7+0\cdot 7+0\cdot 0-4|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ -31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ -31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot (-31)-(-27)\cdot 6\\ -27\cdot (-24)-(-6)\cdot (-31)\\ -6\cdot 6-18\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-558-(-162)\\ 648-186\\ -36-(-432)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ -31\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 6\\ -31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot (-31)-(-27)\cdot 6\\ -27\cdot (-24)-(-6)\cdot (-31)\\ -6\cdot 6-18\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-558-(-162)\\ 648-186\\ -36-(-432)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|3|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 3+7\cdot 3+6\cdot 2$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-24)+7\cdot 18+6\cdot 18-15|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993