Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}31\\ 20\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 22\\ 2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(32|22|2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}31\\ 20\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ 20\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 4-4\cdot 20\\ 4\cdot 31-(-32)\cdot 4\\ -32\cdot 20-(-16)\cdot 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-64-80\\ 124-(-128)\\ -640-(-496)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 29\\ -15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 29\\ -15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot (-15)-(-8)\cdot 29\\ -8\cdot 12-24\cdot (-15)\\ 24\cdot 29-36\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-540-(-232)\\ -96-(-360)\\ 696-432\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 4-18\cdot 18\\ 18\cdot 12-(-12)\cdot 4\\ -12\cdot 18-4\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-324\\ 216-(-48)\\ -216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 4-18\cdot 18\\ 18\cdot 12-(-12)\cdot 4\\ -12\cdot 18-4\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-324\\ 216-(-48)\\ -216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|3|-3\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot 3+6\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=-64$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 23-6\cdot (-6)+6\cdot 17+64|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-14)\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -112-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-14)\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -112-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|5|1\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 5+1\cdot 1$
also:

$+x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-8)+0\cdot 1+1\cdot 4-1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 50 · 3 = 50