Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 11\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 25\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 36\\ 4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(32|36|4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 25\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 25\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot 3-8\cdot 25\\ 8\cdot 24-(-24)\cdot 3\\ -24\cdot 25-(-36)\cdot 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-200\\ 192-(-72)\\ -600-(-864)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ -9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-9)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 13-12\cdot (-9)\\ 12\cdot 0-0\cdot 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -208-(-108)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-6)-18\cdot 13\\ 18\cdot (-20)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 13-27\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-234\\ -360-36\\ -78-(-540)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -13\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-6)-18\cdot 13\\ 18\cdot (-20)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 13-27\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-234\\ -360-36\\ -78-(-540)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-13|-7\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-13)}+7\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-28)-6\cdot (-20)+7\cdot 14-23|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}34\\ 8\\ 20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}34\\ 8\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 20-3\cdot 8\\ 3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot 8-12\cdot 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240-24\\ 102-480\\ 192-408\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{\mathrm{(-378)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}34\\ 8\\ 20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}34\\ 8\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 20-3\cdot 8\\ 3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot 8-12\cdot 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240-24\\ 102-480\\ 192-408\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-13|0|-6\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-13)}+\mathrm{(-7)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$4x_1-7x_2-4x_3=-28$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8-7\cdot (-21)-4\cdot (-9)+28|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187