Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 11\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|18|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 0-0\cdot 7\\ 0\cdot (-1)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 7-(-16)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -84-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-3)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-5)-(-12)\cdot (-3)\\ -12\cdot (-8)-(-8)\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-192\\ 120-36\\ 96-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}17\\ -4\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ -4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-10)-(-32)\cdot (-4)\\ -32\cdot 17-4\cdot (-10)\\ 4\cdot (-4)-16\cdot 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-160-128\\ -544-(-40)\\ -16-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-288)}}^2+{\mathrm{(-504)}}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}17\\ -4\\ -10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ -4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-10)-(-32)\cdot (-4)\\ -32\cdot 17-4\cdot (-10)\\ 4\cdot (-4)-16\cdot 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-160-128\\ -544-(-40)\\ -16-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-4|6\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 6$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-24$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 16+7\cdot 17+4\cdot 9+24|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot 18-16\cdot 0\\ 16\cdot 18-2\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-144)\\ -144-0\\ 288-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot 18-16\cdot 0\\ 16\cdot 18-2\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-144)\\ -144-0\\ 288-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-5|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-7)}\cdot 1$
also:

$-4x_1+4x_2-7x_3=-23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-12)+4\cdot 15-7\cdot (-16)+23|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458