Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-39\\ -24\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-33\\ -16\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-33|-16|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ 16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-39\\ -24\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-39\\ -24\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-3)-(-4)\cdot (-24)\\ -4\cdot (-39)-32\cdot (-3)\\ 32\cdot (-24)-16\cdot (-39)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-96\\ 156-(-96)\\ -768-(-624)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot (-12)-24\cdot (-7)\\ 24\cdot (-7)-(-8)\cdot (-12)\\ -8\cdot (-7)-36\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-432-(-168)\\ -168-96\\ 56-(-252)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 8-6\cdot 0\\ 6\cdot (-6)-8\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -36-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 8-6\cdot 0\\ 6\cdot (-6)-8\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -36-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|0|-1\right)$ erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$+x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 8+0\cdot (-3)+1\cdot 2+1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-6)-(-8)\cdot (-9)\\ -8\cdot (-12)-(-8)\cdot (-6)\\ -8\cdot (-9)-(-4)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-72\\ 96-48\\ 72-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-6)-(-8)\cdot (-9)\\ -8\cdot (-12)-(-8)\cdot (-6)\\ -8\cdot (-9)-(-4)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-72\\ 96-48\\ 72-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = 24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|1|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot 1+1\cdot 5$
also:

$-2x_1+2x_2+x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-5)+2\cdot 4+1\cdot 8+1|}{\sqrt{{(-2)}^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108