Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -21\\ -23\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ -12\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -33\\ -30\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|-33|-30\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -12\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -12\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-7)-36\cdot (-12)\\ 36\cdot (-7)-(-8)\cdot (-7)\\ -8\cdot (-12)-24\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168-(-432)\\ -252-56\\ 96-(-168)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 29-36\cdot (-15)\\ 36\cdot (-12)-(-24)\cdot 29\\ -24\cdot (-15)-(-8)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-232-(-540)\\ -432-(-696)\\ 360-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot 4-(-6)\cdot (-2)\\ -6\cdot 4-3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-(-24)\\ -24-12\\ -24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\\ -6\cdot 4-(-6)\cdot (-2)\\ -6\cdot 4-3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-(-24)\\ -24-12\\ -24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-5|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=17$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 10-2\cdot (-9)-2\cdot (-8)-17|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 0-0\cdot 14\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot 14-6\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 112-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 0-0\cdot 14\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot 14-6\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 112-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$ = 100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|2|2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2+1\cdot 2$
also:

$+x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-7)+0\cdot 6+1\cdot 5-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 50 · 3 = 50