Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 14\\ -5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|14|-5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-2)-4\cdot 10\\ 4\cdot (-7)-8\cdot (-2)\\ 8\cdot 10-(-8)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-40\\ -28-(-16)\\ 80-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-3)-(-4)\cdot 0\\ -4\cdot 3-8\cdot (-3)\\ 8\cdot 0-8\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-0\\ -12-(-24)\\ 0-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-27)\cdot (-18)\\ -27\cdot (-12)-18\cdot (-4)\\ 18\cdot (-18)-(-6)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-486\\ 324-(-72)\\ -324-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-462)}}^2+{396}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-27)\cdot (-18)\\ -27\cdot (-12)-18\cdot (-4)\\ 18\cdot (-18)-(-6)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-486\\ 324-(-72)\\ -324-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-1|-2\right)$ erhält man
d = $7\cdot 2+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 17-6\cdot (-28)+6\cdot 14-8|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 18-16\cdot 0\\ 16\cdot 18-2\cdot 18\\ 2\cdot 0-8\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ 288-36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 18-16\cdot 0\\ 16\cdot 18-2\cdot 18\\ 2\cdot 0-8\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ 288-36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|2|4\right)$ erhält man
d = $4\cdot 3+7\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 4$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 23+7\cdot 19-4\cdot (-7)-10|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458