Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-19\\ -10\\ -22\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -3\\ -29\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-31|-3|-29\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-7)-36\cdot 7\\ 36\cdot (-12)-24\cdot (-7)\\ 24\cdot 7-8\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-252\\ -432-(-168)\\ 168-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-4)-8\cdot (-1)\\ 8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot (-1)-8\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-8)\\ -8-16\\ 4-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot (-8)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -64-36\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot (-8)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -64-36\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|5|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_2=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-2)+1\cdot 8+0\cdot (-7)-5|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\\ -6\cdot (-40)-(-27)\cdot (-26)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-720)\\ -468-(-72)\\ 240-702\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 12\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\\ -6\cdot (-40)-(-27)\cdot (-26)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-720)\\ -468-(-72)\\ 240-702\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|12|-1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 5+6\cdot 12+7\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-24)+6\cdot 19+7\cdot 20-35|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993