Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 1\\ -11\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 7\\ -23\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-30|7|-23\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-12)-16\cdot 6\\ 16\cdot (-15)-32\cdot (-12)\\ 32\cdot 6-4\cdot (-15)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-96\\ -240-(-384)\\ 192-(-60)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot 0-(-24)\cdot 11\\ -24\cdot (-11)-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot 11-36\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-264)\\ 264-0\\ -88-(-396)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-10)-(-32)\cdot 17\\ -32\cdot 4-(-16)\cdot (-10)\\ -16\cdot 17-4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-(-544)\\ -128-160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{504}^2+{\mathrm{(-288)}}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ -10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-10)-(-32)\cdot 17\\ -32\cdot 4-(-16)\cdot (-10)\\ -16\cdot 17-4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-(-544)\\ -128-160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-6|6\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-6)}+4\cdot 6$
also:

$-7x_1+4x_2+4x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-21)+4\cdot 15+4\cdot 9-0|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot (-10)\\ 0\cdot 20-9\cdot 0\\ 9\cdot (-10)-(-12)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -90-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{150}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot (-10)\\ 0\cdot 20-9\cdot 0\\ 9\cdot (-10)-(-12)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -90-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|6|0\right)$ erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 6+1\cdot 0$
also:

$+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 7+0\cdot 5+1\cdot 3-0|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75