Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|6|-5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-1)-8\cdot 4\\ 8\cdot 1-4\cdot (-1)\\ 4\cdot 4-(-8)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-32\\ 8-(-4)\\ 16-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 2-12\cdot (-6)\\ 12\cdot 3-(-24)\cdot 2\\ -24\cdot (-6)-(-8)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-(-72)\\ 36-(-48)\\ 144-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{84}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 12-4\cdot 6\\ 4\cdot 4-6\cdot 12\\ 6\cdot 6-(-12)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144-24\\ 16-72\\ 36-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 12-4\cdot 6\\ 4\cdot 4-6\cdot 12\\ 6\cdot 6-(-12)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144-24\\ 16-72\\ 36-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|4|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+3\cdot 1$
also:

$-6x_1-2x_2+3x_3=19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-20)-2\cdot 1+3\cdot 16-19|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-2)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-(-12)\cdot 22\\ -12\cdot (-22)-(-18)\cdot 0\\ -18\cdot 22-4\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-264)\\ 264-0\\ -396-(-88)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-(-12)\cdot 22\\ -12\cdot (-22)-(-18)\cdot 0\\ -18\cdot 22-4\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-264)\\ 264-0\\ -396-(-88)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|2|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot 2+7\cdot 0$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-24)-6\cdot (-7)+7\cdot 27-12|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662