Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ -23\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 13\\ -17\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|13|-17\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ -23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ -23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-23)-16\cdot 11\\ 16\cdot 0-0\cdot (-23)\\ 0\cdot 11-(-12)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}276-176\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 3-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot (-4)-(-12)\cdot 3\\ -12\cdot 0-0\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 64-(-36)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot 4\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot 4-(-6)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ 6-24\\ -24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot 4\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot 4-(-6)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ 6-24\\ -24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|0|-4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-12)+1\cdot 5+2\cdot 0-2|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-22)-(-18)\cdot 22\\ -18\cdot 0-(-12)\cdot (-22)\\ -12\cdot 22-4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-88-(-396)\\ 0-264\\ -264-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-22)-(-18)\cdot 22\\ -18\cdot 0-(-12)\cdot (-22)\\ -12\cdot 22-4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-88-(-396)\\ 0-264\\ -264-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$ = 44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|0|4\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 0+\mathrm{(-6)}\cdot 4$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 31-6\cdot (-9)-6\cdot (-16)-4|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662