Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ -27\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|22|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-7)-32\cdot 8\\ 32\cdot (-7)-(-4)\cdot (-7)\\ -4\cdot 8-(-16)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112-256\\ -224-28\\ -32-112\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-10)-(-8)\cdot (-8)\\ -8\cdot 9-24\cdot (-10)\\ 24\cdot (-8)-(-12)\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}120-64\\ -72-(-240)\\ -192-(-108)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 12-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 4-9\cdot 12\\ 9\cdot (-6)-18\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-36)\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 12-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 4-9\cdot 12\\ 9\cdot (-6)-18\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-36)\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|4|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+2\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-6x_1+2x_2+3x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-16)+2\cdot 7+3\cdot 12+1|}{\sqrt{{(-6)}^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 31-27\cdot 6\\ 27\cdot 24-6\cdot 31\\ 6\cdot 6-18\cdot 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}558-162\\ 648-186\\ 36-432\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 31\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 31-27\cdot 6\\ 27\cdot 24-6\cdot 31\\ 6\cdot 6-18\cdot 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}558-162\\ 648-186\\ 36-432\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-5|-3\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$6x_1+7x_2-6x_3=-47$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 22+7\cdot 10-6\cdot (-19)+47|}{\sqrt{6^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993