Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 19\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ 24\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|-5|24\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 19-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 8-(-12)\cdot 19\\ -12\cdot 0-0\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -128-(-228)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-(-16)\cdot 9\\ -16\cdot (-9)-(-32)\cdot 0\\ -32\cdot 9-4\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-144)\\ 144-0\\ -288-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 4\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-17\\ 4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-10)-(-32)\cdot 4\\ -32\cdot (-17)-(-4)\cdot (-10)\\ -4\cdot 4-(-16)\cdot (-17)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}160-(-128)\\ 544-40\\ -16-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{504}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 12\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-17\\ 4\\ -10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-17\\ 4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-10)-(-32)\cdot 4\\ -32\cdot (-17)-(-4)\cdot (-10)\\ -4\cdot 4-(-16)\cdot (-17)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}160-(-128)\\ 544-40\\ -16-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ -288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|7|12\right)$ erhält man
d = $4\cdot 2+7\cdot 7+\mathrm{(-4)}\cdot 12$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 5+7\cdot 28-4\cdot (-9)-9|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}26\\ -12\\ -40\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ -12\\ -40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-40)-(-27)\cdot (-12)\\ -27\cdot 26-6\cdot (-40)\\ 6\cdot (-12)-(-18)\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}720-324\\ -702-(-240)\\ -72-(-468)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 13\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}26\\ -12\\ -40\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ -12\\ -40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-40)-(-27)\cdot (-12)\\ -27\cdot 26-6\cdot (-40)\\ 6\cdot (-12)-(-18)\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}720-324\\ -702-(-240)\\ -72-(-468)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|3|13\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 13$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=-27$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-12)+7\cdot 24-6\cdot (-16)+27|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993