Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -1\\ -10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-25|-1|-10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-7)-12\cdot 0\\ 12\cdot (-21)-24\cdot (-7)\\ 24\cdot 0-(-8)\cdot (-21)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56-0\\ -252-(-168)\\ 0-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-5)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot 7-8\cdot (-5)\\ 8\cdot (-4)-(-8)\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-16\\ -28-(-40)\\ -32-(-56)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-4)-(-27)\cdot 12\\ -27\cdot 18-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 12-(-18)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-324)\\ -486-(-24)\\ 72-(-324)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -18\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-4)-(-27)\cdot 12\\ -27\cdot 18-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 12-(-18)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-324)\\ -486-(-24)\\ 72-(-324)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|3|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 2+7\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=39$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-7)+7\cdot 30-6\cdot (-25)-39|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 10-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 8-3\cdot 10\\ 3\cdot (-4)-(-6)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-60-(-24)\\ 48-30\\ -12-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 10-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 8-3\cdot 10\\ 3\cdot (-4)-(-6)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-60-(-24)\\ 48-30\\ -12-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|4|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-7)+1\cdot 7+2\cdot 4-2|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81