Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 6\\ -26\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-14|6|-26\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ -27\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 2\\ -27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-27)-24\cdot 2\\ 24\cdot (-10)-12\cdot (-27)\\ 12\cdot 2-(-8)\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-48\\ -240-(-324)\\ 24-80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 84\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 84\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{84}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-7)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot (-1)-(-16)\cdot (-7)\\ -16\cdot 0-0\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 12-112\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot (-2)-16\cdot 0\\ 16\cdot 11-12\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 176-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{200}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot (-2)-16\cdot 0\\ 16\cdot 11-12\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 176-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$ = 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-7|-2|2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-7)}+0\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 2$
also:

$+x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-6)+0\cdot 5+1\cdot 5-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 26\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ 26\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 12-18\cdot 26\\ 18\cdot (-40)-(-27)\cdot 12\\ -27\cdot 26-6\cdot (-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-468\\ -720-(-324)\\ -702-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 26\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ 26\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 12-18\cdot 26\\ 18\cdot (-40)-(-27)\cdot 12\\ -27\cdot 26-6\cdot (-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-468\\ -720-(-324)\\ -702-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-4|-3\right)$ erhält man
d = $6\cdot 4+6\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$6x_1+6x_2+7x_3=-21$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 11+6\cdot 25+7\cdot 18+21|}{\sqrt{6^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993