Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 28\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|-8|28\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 27\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 27-(-24)\cdot (-10)\\ -24\cdot 2-(-8)\cdot 27\\ -8\cdot (-10)-12\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-240\\ -48-(-216)\\ 80-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{168}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 8-12\cdot 9\\ 12\cdot 10-8\cdot 8\\ 8\cdot 9-24\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-108\\ 120-64\\ 72-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-8)\\ 0\cdot 6-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-8)-(-6)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 64-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -8\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-8)\\ 0\cdot 6-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-8)-(-6)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 64-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$ = 100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|4\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 4+1\cdot 4$
also:

$+x_3=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 7-4|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-6)-(-8)\cdot 12\\ -8\cdot (-9)-(-4)\cdot (-6)\\ -4\cdot 12-8\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-96)\\ 72-24\\ -48-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{48}^2+{48}^2+{24}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-6)-(-8)\cdot 12\\ -8\cdot (-9)-(-4)\cdot (-6)\\ -4\cdot 12-8\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-96)\\ 72-24\\ -48-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ 48\\ 24\end{array}\right)$ = 24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-7|-1\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-7)}+1\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$2x_1+2x_2+x_3=-13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 4+2\cdot 2+1\cdot 2+13|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108