Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|-8|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 1-4\cdot (-4)\\ 4\cdot (-1)-8\cdot 1\\ 8\cdot (-4)-8\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-16)\\ -4-8\\ -32-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -25\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -25\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-11)-(-4)\cdot (-25)\\ -4\cdot (-8)-(-16)\cdot (-11)\\ -16\cdot (-25)-(-32)\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}352-100\\ 32-176\\ 400-256\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 13-36\cdot (-20)\\ 36\cdot (-6)-24\cdot 13\\ 24\cdot (-20)-(-8)\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104-(-720)\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 13-36\cdot (-20)\\ 36\cdot (-6)-24\cdot 13\\ 24\cdot (-20)-(-8)\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104-(-720)\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-9|3|-11\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-9)}+\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-11)}$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=-15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 12-6\cdot (-26)-6\cdot (-18)+15|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-18)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 18-2\cdot (-18)\\ 2\cdot 0-(-8)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ -288-(-36)\\ 0-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-18)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 18-2\cdot (-18)\\ 2\cdot 0-(-8)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-0\\ -288-(-36)\\ 0-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-5|-2\right)$ erhält man
d = $4\cdot 3+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=39$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 23-7\cdot (-22)+4\cdot 9-39|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458