Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 13\\ 33\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 15\\ 22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-4|15|22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 13\\ 33\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 13\\ 33\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 33-(-24)\cdot 13\\ -24\cdot (-4)-8\cdot 33\\ 8\cdot 13-(-12)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396-(-312)\\ 96-264\\ 104-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-3)-16\cdot (-4)\\ 16\cdot 0-0\cdot (-3)\\ 0\cdot (-4)-(-12)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-(-64)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-17)-(-4)\cdot (-10)\\ -4\cdot (-4)-16\cdot (-17)\\ 16\cdot (-10)-(-32)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}544-40\\ 16-(-272)\\ -160-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{504}^2+{288}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ -17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-17)-(-4)\cdot (-10)\\ -4\cdot (-4)-16\cdot (-17)\\ 16\cdot (-10)-(-32)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}544-40\\ 16-(-272)\\ -160-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|11|2\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 11+\mathrm{(-4)}\cdot 2$
also:

$7x_1+4x_2-4x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 18+4\cdot 14-4\cdot (-19)-15|}{\sqrt{7^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 8-3\cdot (-10)\\ 3\cdot 4-6\cdot 8\\ 6\cdot (-10)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-30)\\ 12-48\\ -60-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 8-3\cdot (-10)\\ 3\cdot 4-6\cdot 8\\ 6\cdot (-10)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-30)\\ 12-48\\ -60-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|4|-6\right)$ erhält man
d = $1\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 6+2\cdot 7+2\cdot 3+1|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81