Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ -18\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 0\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(26|0|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -5\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-16)-36\cdot (-5)\\ 36\cdot 18-(-24)\cdot (-16)\\ -24\cdot (-5)-(-8)\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128-(-180)\\ 648-384\\ 120-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-4)-(-8)\cdot 7\\ -8\cdot (-5)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot 7-8\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-56)\\ 40-16\\ -28-(-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 16-2\cdot 2\\ 2\cdot (-8)-8\cdot 16\\ 8\cdot 2-16\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-4\\ -16-128\\ 16-(-128)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 16-2\cdot 2\\ 2\cdot (-8)-8\cdot 16\\ 8\cdot 2-16\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-4\\ -16-128\\ 16-(-128)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-2|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-28)+4\cdot 11-4\cdot (-1)-1|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}23\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 0-0\cdot 14\\ 0\cdot 23-12\cdot 0\\ 12\cdot 14-16\cdot 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 168-368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-200)}}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -7\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}23\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 0-0\cdot 14\\ 0\cdot 23-12\cdot 0\\ 12\cdot 14-16\cdot 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 168-368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$ = -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-7|-2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{(-7)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 4+0\cdot (-6)+1\cdot 1+2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100