Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-15\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -12\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-27|-12|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -4\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-15\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-2)-(-8)\cdot (-4)\\ -8\cdot (-15)-24\cdot (-2)\\ 24\cdot (-4)-12\cdot (-15)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-32\\ 120-(-48)\\ -96-(-180)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{168}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-4)-(-4)\cdot 5\\ -4\cdot (-2)-(-8)\cdot (-4)\\ -8\cdot 5-8\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-20)\\ 8-32\\ -40-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-6)-12\cdot (-12)\\ 12\cdot (-4)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot (-12)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-144)\\ -48-36\\ 72-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-6)-12\cdot (-12)\\ 12\cdot (-4)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot (-12)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-144)\\ -48-36\\ 72-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -84\\ 56\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|1|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-21)+3\cdot 4-2\cdot (-12)-15|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-14)\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -112-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-0\cdot (-14)\\ 0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -112-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|2|-1\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$+x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-7)+0\cdot (-2)+1\cdot 2+1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 50 · 3 = 50