Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|-6|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 6-(-8)\cdot (-3)\\ -8\cdot 0-(-4)\cdot 6\\ -4\cdot (-3)-8\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-24\\ 0-(-24)\\ 12-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-8)-(-16)\cdot (-25)\\ -16\cdot (-11)-(-4)\cdot (-8)\\ -4\cdot (-25)-(-32)\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-400\\ 176-32\\ 100-352\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-5)-(-4)\cdot 2\\ -4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-5)\\ -8\cdot 2-(-8)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-(-8)\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-5)-(-4)\cdot 2\\ -4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-5)\\ -8\cdot 2-(-8)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-(-8)\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|1|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 1+2\cdot 4$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-11)+1\cdot 4+2\cdot 7-13|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}19\\ -22\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -22\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-24)-(-24)\cdot (-22)\\ -24\cdot 19-12\cdot (-24)\\ 12\cdot (-22)-(-8)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-528\\ -456-(-288)\\ -264-(-152)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-336)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-112)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}19\\ -22\\ -24\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -22\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-24)-(-24)\cdot (-22)\\ -24\cdot 19-12\cdot (-24)\\ 12\cdot (-22)-(-8)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-528\\ -456-(-288)\\ -264-(-152)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ -168\\ -112\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-1|5\right)$ erhält man
d = $6\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 5$
also:

$6x_1+3x_2+2x_3=19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 25+3\cdot 0+2\cdot 8-19|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372