Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 31\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 7\\ 27\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-24|7|27\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 31-(-32)\cdot 4\\ -32\cdot (-20)-16\cdot 31\\ 16\cdot 4-4\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}124-(-128)\\ 640-496\\ 64-(-80)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-10)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 5-16\cdot (-10)\\ 16\cdot 0-0\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -60-(-160)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 4-9\cdot (-6)\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\\ 6\cdot (-6)-18\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-54)\\ 108-24\\ -36-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{84}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 4-9\cdot (-6)\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\\ 6\cdot (-6)-18\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-54)\\ 108-24\\ -36-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-2|3\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 3$
also:

$3x_1+2x_2-6x_3=-31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 12+2\cdot 1-6\cdot (-13)+31|}{\sqrt{3^2+2^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 34\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 34\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\\ 3\cdot 34-24\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-(-408)\\ -240-(-24)\\ 102-480\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 34\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 34\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\\ 3\cdot 34-24\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-(-408)\\ -240-(-24)\\ 102-480\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-6|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-6)}+7\cdot 1$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-8)+4\cdot 15+7\cdot 22-3|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187