Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 34\\ 30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 35\\ 33\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|35|33\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 34\\ 30\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 34\\ 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot 30-(-24)\cdot 34\\ -24\cdot 1-8\cdot 30\\ 8\cdot 34-(-36)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1080-(-816)\\ -24-240\\ 272-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-2)-(-12)\cdot (-3)\\ -12\cdot (-6)-(-8)\cdot (-2)\\ -8\cdot (-3)-24\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-36\\ 72-16\\ 24-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 4-(-12)\cdot (-17)\\ -12\cdot 10-24\cdot 4\\ 24\cdot (-17)-(-3)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-204\\ -120-96\\ -408-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 4-(-12)\cdot (-17)\\ -12\cdot 10-24\cdot 4\\ 24\cdot (-17)-(-3)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-204\\ -120-96\\ -408-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-9|-3|8\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-9)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot 8$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 12+4\cdot 0+7\cdot 29-8|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ -34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ -34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-34)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-20)-(-3)\cdot (-34)\\ -3\cdot (-8)-(-12)\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{378}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ -34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ -34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-34)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-20)-(-3)\cdot (-34)\\ -3\cdot (-8)-(-12)\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|6|11\right)$ erhält man
d = $4\cdot 5+7\cdot 6+\mathrm{(-4)}\cdot 11$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8+7\cdot 27-4\cdot (-10)-18|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187