Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -39\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -23\\ -35\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|-23|-35\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -39\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-39)-32\cdot (-24)\\ 32\cdot (-3)-(-4)\cdot (-39)\\ -4\cdot (-24)-16\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-624-(-768)\\ -96-156\\ 96-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-8\cdot 3\\ 8\cdot 3-8\cdot 0\\ 8\cdot 3-4\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ 24-0\\ 24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 2-16\cdot (-8)\\ 16\cdot (-16)-(-2)\cdot 2\\ -2\cdot (-8)-8\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-(-128)\\ -256-(-4)\\ 16-(-128)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 2-16\cdot (-8)\\ 16\cdot (-16)-(-2)\cdot 2\\ -2\cdot (-8)-8\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-(-128)\\ -256-(-4)\\ 16-(-128)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|4|-2\right)$ erhält man
d = $4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=-36$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 4-7\cdot (-21)+4\cdot 11+36|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 4-6\cdot (-8)\\ 6\cdot 10-6\cdot 4\\ 6\cdot (-8)-(-3)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-(-48)\\ 60-24\\ -48-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 4-6\cdot (-8)\\ 6\cdot 10-6\cdot 4\\ 6\cdot (-8)-(-3)\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-(-48)\\ 60-24\\ -48-(-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|-4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=-8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-5)-2\cdot (-5)+1\cdot (-1)+8|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81