Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}21\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 6\\ 5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(25|6|5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}21\\ 7\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}21\\ 7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-(-8)\cdot 7\\ -8\cdot 21-(-24)\cdot 0\\ -24\cdot 7-(-12)\cdot 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-56)\\ -168-0\\ -168-(-252)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 2-4\cdot (-1)\\ 4\cdot 2-(-8)\cdot 2\\ -8\cdot (-1)-(-8)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-(-4)\\ 8-(-16)\\ 8-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-7)-(-9)\cdot (-14)\\ -9\cdot 0-(-18)\cdot (-7)\\ -18\cdot (-14)-(-6)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42-126\\ 0-126\\ 252-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ -7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-7)-(-9)\cdot (-14)\\ -9\cdot 0-(-18)\cdot (-7)\\ -18\cdot (-14)-(-6)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42-126\\ 0-126\\ 252-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(8|1|2\right)$ erhält man
d = $2\cdot 8+3\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot 2$
also:

$2x_1+3x_2-6x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 11+3\cdot 2-6\cdot (-21)-7|}{\sqrt{2^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot 6-12\cdot 0\\ 12\cdot 17-9\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 204-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{150}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 17\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot 6-12\cdot 0\\ 12\cdot 17-9\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 204-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-5|-3\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$+x_3=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 2+0\cdot (-1)+1\cdot 0+3|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75