Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ -36\\ 43\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -28\\ 34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|-28|34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -36\\ 43\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -36\\ 43\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 43-(-36)\cdot (-36)\\ -36\cdot 1-(-8)\cdot 43\\ -8\cdot (-36)-24\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1032-1296\\ -36-(-344)\\ 288-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 5-16\cdot 0\\ 16\cdot (-10)-(-12)\cdot 5\\ -12\cdot 0-0\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -160-(-60)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-18\cdot (-14)\\ 18\cdot (-7)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-14)-(-6)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-252)\\ -126-0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-18\cdot (-14)\\ 18\cdot (-7)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-14)-(-6)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-252)\\ -126-0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|3|-11\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+3\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-11)}$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-23)+3\cdot 4-2\cdot (-14)-31|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 16-4\cdot (-6)\\ 4\cdot (-10)-(-6)\cdot 16\\ -6\cdot (-6)-(-12)\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-(-24)\\ -40-(-96)\\ 36-120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 56\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 56\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 16-4\cdot (-6)\\ 4\cdot (-10)-(-6)\cdot 16\\ -6\cdot (-6)-(-12)\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-(-24)\\ -40-(-96)\\ 36-120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 56\\ -84\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-2|4\right)$ erhält man
d = $6\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 4$
also:

$6x_1-2x_2+3x_3=40$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 20-2\cdot (-5)+3\cdot 19-40|}{\sqrt{6^2+{(-2)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686