Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ -39\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ -33\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-24|3|-33\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ -39\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ -39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-39)-32\cdot 3\\ 32\cdot (-24)-16\cdot (-39)\\ 16\cdot 3-4\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-156-96\\ -768-(-624)\\ 48-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-1)\\ -4\cdot 4-(-8)\cdot (-1)\\ -8\cdot (-1)-8\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-4\\ -16-8\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot (-8)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -64-36\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-8\cdot 0\\ 8\cdot (-8)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -64-36\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|1|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_2=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 0+1\cdot 4+0\cdot (-7)-1|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 16\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 16\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-6)-(-12)\cdot 16\\ -12\cdot (-10)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 16-4\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-192)\\ 120-36\\ -96-(-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 84\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 84\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{84}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 16\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 16\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-6)-(-12)\cdot 16\\ -12\cdot (-10)-(-6)\cdot (-6)\\ -6\cdot 16-4\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-192)\\ 120-36\\ -96-(-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 84\\ -56\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-4|-3\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$6x_1+3x_2-2x_3=-18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 14+3\cdot 11-2\cdot (-6)+18|}{\sqrt{6^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686