Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ -21\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -29\\ 4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(14|-29|4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -21\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -21\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 0-(-8)\cdot (-21)\\ -8\cdot 7-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot (-21)-24\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-168\\ -56-0\\ 252-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 12-8\cdot 11\\ 8\cdot 15-24\cdot 12\\ 24\cdot 11-12\cdot 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-88\\ 120-288\\ 264-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-12)-18\cdot 4\\ 18\cdot (-18)-(-6)\cdot (-12)\\ -6\cdot 4-27\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ -324-72\\ -24-(-486)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-12)-18\cdot 4\\ 18\cdot (-18)-(-6)\cdot (-12)\\ -6\cdot 4-27\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ -324-72\\ -24-(-486)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-3|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-28)-6\cdot (-19)+7\cdot 12-3|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 26\\ -40\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 26\\ -40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\\ -27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot 26-6\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240-(-702)\\ -324-(-720)\\ 468-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 10\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 26\\ -40\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 26\\ -40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\\ -27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot 26-6\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240-(-702)\\ -324-(-720)\\ 468-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|1|10\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 1+6\cdot 10$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=59$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 20+6\cdot 30+6\cdot 17-59|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993