Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-14|6|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot 2\\ 0\cdot (-11)-16\cdot 0\\ 16\cdot 2-(-12)\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 32-132\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -25\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -25\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot 11-4\cdot (-25)\\ 4\cdot 8-16\cdot 11\\ 16\cdot (-25)-(-32)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-352-(-100)\\ 32-176\\ -400-(-256)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot (-18)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot (-12)-12\cdot (-18)\\ 12\cdot 4-18\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-16)\\ 48-(-216)\\ 48-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot (-18)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot (-12)-12\cdot (-18)\\ 12\cdot 4-18\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-16)\\ 48-(-216)\\ 48-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|4|2\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 2$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=-8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 19-6\cdot (-12)-6\cdot (-25)+8|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 34-24\cdot 8\\ 24\cdot 20-3\cdot 34\\ 3\cdot 8-12\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{378}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 34-24\cdot 8\\ 24\cdot 20-3\cdot 34\\ 3\cdot 8-12\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-6|-7|-3\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-6)}+7\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=-61$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 15+7\cdot 14-4\cdot (-6)+61|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187