Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -6\\ 14\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ 5\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -1\\ 30\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-32|-1|30\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 5\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 5\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 16-(-36)\cdot 5\\ -36\cdot (-18)-24\cdot 16\\ 24\cdot 5-8\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128-(-180)\\ 648-384\\ 120-(-144)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-7)-(-8)\cdot 7\\ -8\cdot 12-(-24)\cdot (-7)\\ -24\cdot 7-(-36)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252-(-56)\\ -96-168\\ -168-(-432)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-12)-18\cdot 4\\ 18\cdot 18-6\cdot (-12)\\ 6\cdot 4-27\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ 324-(-72)\\ 24-486\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-12)-18\cdot 4\\ 18\cdot 18-6\cdot (-12)\\ 6\cdot 4-27\cdot 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ 324-(-72)\\ 24-486\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|5|-1\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot 5+7\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$6x_1-6x_2+7x_3=-43$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 26-6\cdot (-11)+7\cdot 14+43|}{\sqrt{6^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-21)-(-4)\cdot 12\\ -4\cdot (-42)-(-32)\cdot (-21)\\ -32\cdot 12-16\cdot (-42)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336-(-48)\\ 168-672\\ -384-(-672)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-288)}}^2+{\mathrm{(-504)}}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ -21\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-21)-(-4)\cdot 12\\ -4\cdot (-42)-(-32)\cdot (-21)\\ -32\cdot 12-16\cdot (-42)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336-(-48)\\ 168-672\\ -384-(-672)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-6|3\right)$ erhält man
d = $4\cdot 6+7\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=-30$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 9+7\cdot 15-4\cdot (-18)+30|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916