Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 23\\ -13\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 30\\ -25\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|30|-25\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-12)-24\cdot 7\\ 24\cdot (-7)-(-8)\cdot (-12)\\ -8\cdot 7-(-36)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-168\\ -168-96\\ -56-252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-3)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-5)-(-12)\cdot (-3)\\ -12\cdot (-8)-(-8)\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-192\\ 120-36\\ 96-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 2-(-16)\cdot 11\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\\ 0\cdot 11-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-176)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{200}^2+0^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 2-(-16)\cdot 11\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\\ 0\cdot 11-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-176)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = 200⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-1|0\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 0$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot (-2)+0\cdot 6+0\cdot (-1)+5|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-6)-(-12)\cdot 17\\ -12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 17-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-(-204)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{150}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 17\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-6)-(-12)\cdot 17\\ -12\cdot 0-0\cdot (-6)\\ 0\cdot 17-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-(-204)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|1|5\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 1+0\cdot 5$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot (-1)+0\cdot 5+0\cdot 8+4|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75