Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 18\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|-11|18\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 15-(-16)\cdot (-5)\\ -16\cdot 0-0\cdot 15\\ 0\cdot (-5)-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}180-80\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 2-12\cdot 3\\ 12\cdot (-6)-(-8)\cdot 2\\ -8\cdot 3-(-24)\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-36\\ -72-(-16)\\ -24-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 8-(-12)\cdot (-2)\\ -12\cdot (-16)-(-3)\cdot 8\\ -3\cdot (-2)-(-24)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ 192-(-24)\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 8-(-12)\cdot (-2)\\ -12\cdot (-16)-(-3)\cdot 8\\ -3\cdot (-2)-(-24)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ 192-(-24)\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|0|-1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$-4x_1+4x_2-7x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-21)+4\cdot 11-7\cdot (-18)-11|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\\ -6\cdot (-40)-(-27)\cdot (-26)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-720)\\ -468-(-72)\\ 240-702\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 14\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ -40\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot 12-18\cdot (-40)\\ 18\cdot (-26)-(-6)\cdot 12\\ -6\cdot (-40)-(-27)\cdot (-26)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-720)\\ -468-(-72)\\ 240-702\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|14|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 3+6\cdot 14+7\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-26)+6\cdot 21+7\cdot 16-31|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993