Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 32\\ -6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-28|32|-6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot (-1)-(-8)\cdot 34\\ -8\cdot (-30)-24\cdot (-1)\\ 24\cdot 34-(-36)\cdot (-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-(-272)\\ 240-(-24)\\ 816-1080\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot (-1)-8\cdot (-1)\\ 8\cdot (-4)-8\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 4-(-8)\\ -32-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 13\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 13\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-20)-(-6)\cdot 13\\ -6\cdot 6-(-18)\cdot (-20)\\ -18\cdot 13-27\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-540-(-78)\\ -36-360\\ -234-162\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 13\\ -20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 13\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-20)-(-6)\cdot 13\\ -6\cdot 6-(-18)\cdot (-20)\\ -18\cdot 13-27\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-540-(-78)\\ -36-360\\ -234-162\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-4|1\right)$ erhält man
d = $7\cdot 2+6\cdot \mathrm{(-4)}+6\cdot 1$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 23+6\cdot 25+6\cdot 8+4|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-49\\ -18\\ -28\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-49\\ -18\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-28)-(-8)\cdot (-18)\\ -8\cdot (-49)-(-36)\cdot (-28)\\ -36\cdot (-18)-(-24)\cdot (-49)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-144\\ 392-1008\\ 648-1176\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{\mathrm{(-616)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}14\\ 3\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-49\\ -18\\ -28\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-49\\ -18\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-28)-(-8)\cdot (-18)\\ -8\cdot (-49)-(-36)\cdot (-28)\\ -36\cdot (-18)-(-24)\cdot (-49)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-144\\ 392-1008\\ 648-1176\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$ = -88⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(14|3|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 14+7\cdot 3+6\cdot 5$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=-33$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-15)+7\cdot 24+6\cdot 12+33|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324