Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -14\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|-3|-14\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-10)-8\cdot (-7)\\ 8\cdot (-2)-4\cdot (-10)\\ 4\cdot (-7)-8\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-80-(-56)\\ -16-(-40)\\ -28-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ 16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-7)-(-4)\cdot (-8)\\ -4\cdot (-7)-32\cdot (-7)\\ 32\cdot (-8)-16\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112-32\\ 28-(-224)\\ -256-(-112)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 18-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 12-(-12)\cdot 18\\ -12\cdot (-4)-(-18)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-16)\\ 48-(-216)\\ 48-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 18-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 12-(-12)\cdot 18\\ -12\cdot (-4)-(-18)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-(-16)\\ 48-(-216)\\ 48-(-216)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|3|3\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 3$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=-71$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 22-6\cdot (-17)-6\cdot (-6)+71|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 4-12\cdot (-26)\\ 12\cdot 19-3\cdot 4\\ 3\cdot (-26)-(-24)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-(-312)\\ 228-12\\ -78-(-456)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{216}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 4-12\cdot (-26)\\ 12\cdot 19-3\cdot 4\\ 3\cdot (-26)-(-24)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-(-312)\\ 228-12\\ -78-(-456)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-5|1\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot 1$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=-25$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 17+4\cdot 6+7\cdot 18+25|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187