Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}15\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 5\\ -8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(14|5|-8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ 0\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 0\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-5)-12\cdot 0\\ 12\cdot 15-(-16)\cdot (-5)\\ -16\cdot 0-0\cdot 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 180-80\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 0-8\cdot (-3)\\ 8\cdot 3-4\cdot 0\\ 4\cdot (-3)-(-8)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-24)\\ 24-0\\ -12-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 8-(-12)\cdot (-16)\\ -12\cdot 2-24\cdot 8\\ 24\cdot (-16)-(-3)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ -24-192\\ -384-(-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 8-(-12)\cdot (-16)\\ -12\cdot 2-24\cdot 8\\ 24\cdot (-16)-(-3)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ -24-192\\ -384-(-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|1|5\right)$ erhält man
d = $4\cdot 0+4\cdot 1+7\cdot 5$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=39$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 13+4\cdot 5+7\cdot 30-39|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ 24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 24-6\cdot 6\\ 6\cdot 31-27\cdot 24\\ 27\cdot 6-18\cdot 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-36\\ 186-648\\ 162-558\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ 24\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 24-6\cdot 6\\ 6\cdot 31-27\cdot 24\\ 27\cdot 6-18\cdot 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-36\\ 186-648\\ 162-558\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-1|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 1$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-18)+7\cdot 14+6\cdot 28-11|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993