Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ -7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-6|-5|-7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-7)-8\cdot (-2)\\ 8\cdot (-10)-8\cdot (-7)\\ 8\cdot (-2)-4\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-(-16)\\ -80-(-56)\\ -16-(-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-8)-(-8)\cdot (-5)\\ -8\cdot (-3)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-5)-(-12)\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-40\\ 24-192\\ 120-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-8)-12\cdot 2\\ 12\cdot (-16)-(-3)\cdot (-8)\\ -3\cdot 2-24\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ -192-24\\ -6-(-384)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot (-8)-12\cdot 2\\ 12\cdot (-16)-(-3)\cdot (-8)\\ -3\cdot 2-24\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ -192-24\\ -6-(-384)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|0|5\right)$ erhält man
d = $4\cdot 4+4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot 5$
also:

$4x_1+4x_2-7x_3=-19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8+4\cdot 13-7\cdot (-20)+19|}{\sqrt{4^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 9-4\cdot 12\\ 4\cdot (-6)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot 12-8\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-48\\ -24-(-72)\\ -96-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{48}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 9\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 9-4\cdot 12\\ 4\cdot (-6)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot 12-8\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-48\\ -24-(-72)\\ -96-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$ = 24⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-4|-6\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 0+2\cdot 5-2\cdot (-9)-1|}{\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108