Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(3|0|8), B(3|12|-8) und C(3|7|7) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 3 0 8 ) + ( 0 -5 15 ) = ( 3 -5 23 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(3|-5|23).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 3-3 12-0 -8-8 ) = ( 0 12 -16 ) und AD = BC = ( 3-3 7-12 7-( - 8 ) ) = ( 0 -5 15 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 12 -16 ) × ( 0 -5 15 ) = ( 1215-( - 16 )( - 5 ) -160-015 0( - 5 )-120 ) = ( 180-80 0-0 0-0 ) = ( 100 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 100 0 0 ) | = 100 2 + 02 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(13|1|-22), B(-11|-7|14) und C(1|-14|7).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -11-13 -7-1 14-( - 22 ) ) = ( -24 -8 36 ) und AC = ( 1-13 -14-1 7-( - 22 ) ) = ( -12 -15 29 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -24 -8 36 ) × ( -12 -15 29 ) = ( -829-36( - 15 ) 36( - 12 )-( - 24 )29 -24( - 15 )-( - 8 )( - 12 ) ) = ( -232-( - 540 ) -432-( - 696 ) 360-96 ) = ( 308 264 264 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 308 264 264 ) | = 308 2 + 2642 + 264 2 = 234256 = 484 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 484 = 242.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(4|2|-2), B(-5|-16|-8), C(-9|-10|-20) und D(0|8|-14) und als Spitze S(-16|11|1). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -5-4 -16-2 -8-( - 2 ) ) = ( -9 -18 -6 ) und AD = BC = ( -9-( - 5 ) -10-( - 16 ) -20-( - 8 ) ) = ( -4 6 -12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -9 -18 -6 ) × ( -4 6 -12 ) = ( -18( - 12 )-( - 6 )6 -6( - 4 )-( - 9 )( - 12 ) -96-( - 18 )( - 4 ) ) = ( 216-( - 36 ) 24-108 -54-72 ) = ( 252 -84 -126 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 252 -84 -126 ) | = 252 2 + (-84)2 + (-126) 2 = 86436 = 294 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 4 2 -2 ) + r ( -9 -18 -6 ) + s ( -4 6 -12 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -9 -18 -6 ) × ( -4 6 -12 ) = ( -18( - 12 )-( - 6 )6 -6( - 4 )-( - 9 )( - 12 ) -96-( - 18 )( - 4 ) ) = ( 216-( - 36 ) 24-108 -54-72 ) = ( 252 -84 -126 ) = -42⋅ ( -6 2 3 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(4|2|-2) erhält man
d = (-6)4 + 22 + 3(-2)
also:

-6 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = -26

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 16 )+2 11+3 1+26 | ( - 6 ) 2 + 2 2 + 3 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 294 · 21 = 2058

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-5|0|0), B(1|3|-6), C(-3|7|-8) und als Spitze S(-4|8|5).
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 1-( - 5 ) 3-0 -6-0 ) = ( 6 3 -6 ) und AC = ( -3-( - 5 ) 7-0 -8-0 ) = ( 2 7 -8 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 6 3 -6 ) × ( 2 7 -8 ) = ( 3( - 8 )-( - 6 )7 -62-6( - 8 ) 67-32 ) = ( -24-( - 42 ) -12-( - 48 ) 42-6 ) = ( 18 36 36 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 18 36 36 ) | = 18 2 + 362 + 36 2 = 2916 = 54 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -5 0 0 ) + r ( 6 3 -6 ) + s ( 2 7 -8 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 6 3 -6 ) × ( 2 7 -8 ) = ( 3( - 8 )-( - 6 )7 -62-6( - 8 ) 67-32 ) = ( -24-( - 42 ) -12-( - 48 ) 42-6 ) = ( 18 36 36 ) = 18⋅ ( 1 2 2 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also x 1 +2 x 2 +2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-5|0|0) erhält man
d = 1(-5) + 20 + 20
also:

x 1 +2 x 2 +2 x 3 = -5

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 ( - 4 )+2 8+2 5+5 | 1 2 + 2 2 + 2 2
= | 27 | 9 = 27 3 = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 27 · 9 = 81