Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -13\\ -3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|-13|-3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-3)-4\cdot (-12)\\ 4\cdot 9-(-8)\cdot (-3)\\ -8\cdot (-12)-8\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-48)\\ 36-24\\ 96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 9-16\cdot 0\\ 16\cdot (-13)-(-12)\cdot 9\\ -12\cdot 0-0\cdot (-13)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -208-(-108)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-9)\cdot 12\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\\ -18\cdot 12-6\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-108)\\ -54-72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-9)\cdot 12\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\\ -18\cdot 12-6\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-108)\\ -54-72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-2|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-2)}+6\cdot 3$
also:

$-2x_1+3x_2+6x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot 2+3\cdot 13+6\cdot 19-2|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ -192-(-408)\\ -240-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ -192-(-408)\\ -240-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-5|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 6+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=-50$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-15)+4\cdot 16-4\cdot (-6)+50|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187