Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ -10\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -17\\ -9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|-17|-9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 1-12\cdot (-7)\\ 12\cdot 0-0\cdot 1\\ 0\cdot (-7)-16\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-(-84)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 8\\ -25\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 8\\ -25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-25)-(-32)\cdot 8\\ -32\cdot (-11)-(-4)\cdot (-25)\\ -4\cdot 8-16\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-400-(-256)\\ 352-100\\ -32-(-176)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 2-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 4-2\cdot 2\\ 2\cdot (-4)-4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-16)\\ 16-4\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 2-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 4-2\cdot 2\\ 2\cdot (-4)-4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-16)\\ 16-4\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-5|-4\right)$ erhält man
d = $2\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 8+1\cdot (-4)-2\cdot (-9)-3|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 26\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 26\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 19-3\cdot 26\\ 3\cdot (-4)-(-12)\cdot 19\\ -12\cdot 26-24\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-78\\ -12-(-228)\\ -312-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{378}^2+{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 26\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 26\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 19-3\cdot 26\\ 3\cdot (-4)-(-12)\cdot 19\\ -12\cdot 26-24\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-78\\ -12-(-228)\\ -312-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-4|-2\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$7x_1+4x_2-4x_3=-43$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 20+4\cdot 9-4\cdot (-6)+43|}{\sqrt{7^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187