Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 18\\ 6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|18|6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 2-(-12)\cdot 11\\ -12\cdot 0-0\cdot 2\\ 0\cdot 11-(-16)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-132)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 11\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 11\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 15-24\cdot 11\\ 24\cdot 12-8\cdot 15\\ 8\cdot 11-12\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}180-264\\ 288-120\\ 88-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 20-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 13-27\cdot 20\\ 27\cdot (-6)-18\cdot 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}360-(-36)\\ 78-540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 20-6\cdot (-6)\\ 6\cdot 13-27\cdot 20\\ 27\cdot (-6)-18\cdot 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}360-(-36)\\ 78-540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-7|-8|-7\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-7)}+7\cdot \mathrm{(-8)}+6\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=-56$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-14)+7\cdot 13+6\cdot 22+56|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -26\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -26\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 19-3\cdot (-26)\\ 3\cdot (-4)-(-12)\cdot 19\\ -12\cdot (-26)-(-24)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456-(-78)\\ -12-(-228)\\ 312-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -26\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -26\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 19-3\cdot (-26)\\ 3\cdot (-4)-(-12)\cdot 19\\ -12\cdot (-26)-(-24)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456-(-78)\\ -12-(-228)\\ 312-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ 216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|3|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 3+4\cdot 0$
also:

$-7x_1+4x_2+4x_3=26$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-19)+4\cdot 14+4\cdot 20-26|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187