Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -11\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -21\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -32\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|-5|-32\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-21)-24\cdot (-7)\\ 24\cdot 0-(-8)\cdot (-21)\\ -8\cdot (-7)-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252-(-168)\\ 0-168\\ 56-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-6)-(-24)\cdot (-13)\\ -24\cdot 20-36\cdot (-6)\\ 36\cdot (-13)-(-8)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-312\\ -480-(-216)\\ -468-(-160)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 17\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 17\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-4)-12\cdot 17\\ 12\cdot 10-24\cdot (-4)\\ 24\cdot 17-3\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-204\\ 120-(-96)\\ 408-30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 17\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 17\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-4)-12\cdot 17\\ 12\cdot 10-24\cdot (-4)\\ 24\cdot 17-3\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-204\\ 120-(-96)\\ 408-30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-9|1|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-9)}+4\cdot 1+7\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-12)+4\cdot 22+7\cdot 16-5|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-(-12)\cdot 22\\ -12\cdot (-22)-(-18)\cdot 0\\ -18\cdot 22-4\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-264)\\ 264-0\\ -396-(-88)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 0-(-12)\cdot 22\\ -12\cdot (-22)-(-18)\cdot 0\\ -18\cdot 22-4\cdot (-22)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-264)\\ 264-0\\ -396-(-88)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-2|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=-20$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-17)-6\cdot (-11)+7\cdot 25+20|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662