Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}27\\ -2\\ -10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}24\\ -7\\ -7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(24|-7|-7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ -2\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}27\\ -2\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-10)-12\cdot (-2)\\ 12\cdot 27-(-24)\cdot (-10)\\ -24\cdot (-2)-8\cdot 27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-80-(-24)\\ 324-240\\ 48-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-4)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 3-(-16)\cdot (-4)\\ -16\cdot 0-0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -36-64\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot 4\\ -3\cdot 2-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 4-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ -6-(-24)\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{18}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot 4\\ -3\cdot 2-6\cdot (-4)\\ 6\cdot 4-(-6)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-12)\\ -6-(-24)\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|2|4\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 2+2\cdot 4$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 3+1\cdot 7+2\cdot 8-2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot (-8)-(-6)\cdot (-7)\\ -6\cdot (-2)-(-6)\cdot (-8)\\ -6\cdot (-7)-(-3)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-42\\ 12-48\\ 42-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot (-8)-(-6)\cdot (-7)\\ -6\cdot (-2)-(-6)\cdot (-8)\\ -6\cdot (-7)-(-3)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-42\\ 12-48\\ 42-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|5|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 0+2\cdot 9-2\cdot (-8)-7|}{\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81