Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 14\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 18\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 32\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-36|32|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 18\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ 18\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot 5-8\cdot 18\\ 8\cdot (-16)-36\cdot 5\\ 36\cdot 18-(-24)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-120-144\\ -128-180\\ 648-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-11)-(-12)\cdot (-15)\\ -12\cdot (-12)-(-8)\cdot (-11)\\ -8\cdot (-15)-(-24)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264-180\\ 144-88\\ 120-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 11-12\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -176-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-200)}}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 11-12\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -176-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -200\end{array}\right)$ = -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-6|-2\right)$ erhält man
d = $0\cdot 6+0\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 5+0\cdot 1+1\cdot 1+2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 19\\ 22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 22-8\cdot 19\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot 19-12\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264-152\\ -192-(-528)\\ -456-(-288)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ 336\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}112\\ 336\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{112}^2+{336}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 19\\ 22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 22-8\cdot 19\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot 19-12\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264-152\\ -192-(-528)\\ -456-(-288)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ 336\\ -168\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-1|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 2$
also:

$-2x_1-6x_2+3x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-4)-6\cdot (-14)+3\cdot 19-2|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-6)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372