Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 10\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}5\\ -16\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -31\\ 28\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|-31|28\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -16\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -16\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot 18-(-24)\cdot (-16)\\ -24\cdot 5-8\cdot 18\\ 8\cdot (-16)-36\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}648-384\\ -120-144\\ -128-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 11-36\cdot 0\\ 36\cdot (-11)-(-8)\cdot 11\\ -8\cdot 0-24\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264-0\\ -396-(-88)\\ 0-(-264)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 18-6\cdot (-12)\\ 6\cdot (-4)-(-27)\cdot 18\\ -27\cdot (-12)-18\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-(-72)\\ -24-(-486)\\ 324-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{462}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 18-6\cdot (-12)\\ 6\cdot (-4)-(-27)\cdot 18\\ -27\cdot (-12)-18\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-(-72)\\ -24-(-486)\\ 324-(-72)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|4|0\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-1)}+7\cdot 4+6\cdot 0$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=22$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 15+7\cdot 19+6\cdot 27-22|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ -192-(-408)\\ -240-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 34-24\cdot 20\\ 24\cdot (-8)-(-12)\cdot 34\\ -12\cdot 20-3\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ -192-(-408)\\ -240-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ 216\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|1|-11\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 6+4\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-11)}$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=6$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-15)+4\cdot 22-4\cdot (-14)-6|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187