Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ -22\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 4\\ -29\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(15|4|-29\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-7)-32\cdot 7\\ 32\cdot 8-(-16)\cdot (-7)\\ -16\cdot 7-4\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-224\\ 256-112\\ -112-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ 29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 29-36\cdot (-15)\\ 36\cdot (-12)-(-24)\cdot 29\\ -24\cdot (-15)-(-8)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-232-(-540)\\ -432-(-696)\\ 360-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 11-12\cdot 0\\ 12\cdot 2-(-16)\cdot 11\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 24-(-176)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{200}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 11-12\cdot 0\\ 12\cdot 2-(-16)\cdot 11\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 24-(-176)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$ = 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|3|-5\right)$ erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 3+0\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$+x_2=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-1)+1\cdot 6+0\cdot 2-3|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\\ -6\cdot 0-0\cdot (-14)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -112-(-12)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 2-8\cdot 0\\ 8\cdot (-14)-(-6)\cdot 2\\ -6\cdot 0-0\cdot (-14)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -112-(-12)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$ = -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-3|5\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 5$
also:

$+x_2=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 2+3|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 50 · 3 = 50