Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -11\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-11\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -13\\ -5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-22|-13|-5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -2\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot (-2)\\ 0\cdot (-11)-16\cdot 0\\ 16\cdot (-2)-12\cdot (-11)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -32-(-132)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 0-0\cdot 7\\ 0\cdot (-1)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 7-(-16)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -84-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-6)-18\cdot 12\\ 18\cdot 4-9\cdot (-6)\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-216\\ 72-(-54)\\ 108-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{126}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-6)-18\cdot 12\\ 18\cdot 4-9\cdot (-6)\\ 9\cdot 12-6\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-216\\ 72-(-54)\\ 108-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 126\\ 84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-5|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 0$
also:

$-6x_1+3x_2+2x_3=-45$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-11)+3\cdot 10+2\cdot 3+45|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 23-12\cdot 0\\ 12\cdot 14-16\cdot 23\\ 16\cdot 0-0\cdot 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 168-368\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-200)}}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 23-12\cdot 0\\ 12\cdot 14-16\cdot 23\\ 16\cdot 0-0\cdot 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 168-368\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$ = -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|2|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2+0\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_2=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 0+1\cdot 5+0\cdot 3-2|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100