Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}23\\ 11\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 10\\ 2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(16|10|2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}23\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}23\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot 11\\ 0\cdot 23-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 11-(-12)\cdot 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -176-(-276)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-9)-24\cdot 1\\ 24\cdot 4-8\cdot (-9)\\ 8\cdot 1-(-12)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}108-24\\ 96-(-72)\\ 8-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{168}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 6-(-12)\cdot 8\\ -12\cdot 0-0\cdot 6\\ 0\cdot 8-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54-(-96)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{150}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot 6-(-12)\cdot 8\\ -12\cdot 0-0\cdot 6\\ 0\cdot 8-9\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54-(-96)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-5|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 3+0\cdot (-1)+0\cdot 2-0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 40\\ -26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 40\\ -26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-26)-(-6)\cdot 40\\ -6\cdot (-12)-(-18)\cdot (-26)\\ -18\cdot 40-27\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-702-(-240)\\ 72-468\\ -720-(-324)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 40\\ -26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 40\\ -26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\cdot (-26)-(-6)\cdot 40\\ -6\cdot (-12)-(-18)\cdot (-26)\\ -18\cdot 40-27\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-702-(-240)\\ 72-468\\ -720-(-324)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(8|-5|-2\right)$ erhält man
d = $7\cdot 8+6\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 29+6\cdot 24+6\cdot 5-14|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993