Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|-3|6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot 6-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-3)-8\cdot 6\\ 8\cdot 0-4\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-0\\ 24-48\\ 0-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -13\\ 20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -13\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 20-36\cdot (-13)\\ 36\cdot 6-24\cdot 20\\ 24\cdot (-13)-(-8)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-160-(-468)\\ 216-480\\ -312-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 4-3\cdot (-2)\\ 3\cdot (-4)-6\cdot 4\\ 6\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-6)\\ -12-24\\ -12-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 4-3\cdot (-2)\\ 3\cdot (-4)-6\cdot 4\\ 6\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-6)\\ -12-24\\ -12-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|2|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 5+2\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 6+2\cdot 7+2\cdot 7-7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-40\\ 12\\ 26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ 12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 26-6\cdot 12\\ 6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\\ -27\cdot 12-18\cdot (-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}468-72\\ -240-(-702)\\ -324-(-720)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{462}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ 12\\ 26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ 12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 26-6\cdot 12\\ 6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\\ -27\cdot 12-18\cdot (-40)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}468-72\\ -240-(-702)\\ -324-(-720)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 462\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|-5|1\right)$ erhält man
d = $6\cdot 7+7\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot 1$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 14+7\cdot 16+6\cdot 30-13|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993