Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-4|-9|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -10\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-2)-4\cdot (-10)\\ 4\cdot (-7)-8\cdot (-2)\\ 8\cdot (-10)-8\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-(-40)\\ -28-(-16)\\ -80-(-56)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 0-0\cdot 3\\ 0\cdot (-4)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 3-(-16)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -36-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 16-3\cdot 2\\ 3\cdot (-8)-12\cdot 16\\ 12\cdot 2-24\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}384-6\\ -24-192\\ 24-(-192)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{378}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 16-3\cdot 2\\ 3\cdot (-8)-12\cdot 16\\ 12\cdot 2-24\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}384-6\\ -24-192\\ 24-(-192)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-4|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=-41$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-22)+4\cdot 9-4\cdot (-3)+41|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-18)-(-18)\cdot 16\\ -18\cdot (-20)-(-6)\cdot (-18)\\ -6\cdot 16-9\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-(-288)\\ 360-108\\ -96-(-180)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{252}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-18)-(-18)\cdot 16\\ -18\cdot (-20)-(-6)\cdot (-18)\\ -6\cdot 16-9\cdot (-20)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-(-288)\\ 360-108\\ -96-(-180)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|0|2\right)$ erhält man
d = $3\cdot 2+6\cdot 0+2\cdot 2$
also:

$3x_1+6x_2+2x_3=10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 3+6\cdot 23+2\cdot 5-10|}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029