Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|11|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 10\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 2-(-4)\cdot 10\\ -4\cdot (-7)-8\cdot 2\\ 8\cdot 10-(-8)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-(-40)\\ 28-16\\ 80-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 9-8\cdot (-6)\\ 8\cdot 2-36\cdot 9\\ 36\cdot (-6)-24\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-48)\\ 16-324\\ -216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot (-4)-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 6-24\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot (-4)-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot (-2)-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot (-4)-6\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 6-24\\ 24-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|2|-2\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 3+1\cdot 3-2\cdot (-10)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 13-9\cdot (-12)\\ 9\cdot (-18)-(-6)\cdot 13\\ -6\cdot (-12)-(-18)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-234-(-108)\\ -162-(-78)\\ 72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot 13-9\cdot (-12)\\ 9\cdot (-18)-(-6)\cdot 13\\ -6\cdot (-12)-(-18)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-234-(-108)\\ -162-(-78)\\ 72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-1|-4\right)$ erhält man
d = $3\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$3x_1+2x_2+6x_3=-23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 4+2\cdot 8+6\cdot 16+23|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029