Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -16\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(7|-16|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -15\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 0-0\cdot (-15)\\ 0\cdot 5-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot (-15)-16\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 180-80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-3)-(-24)\cdot (-5)\\ -24\cdot (-8)-(-8)\cdot (-3)\\ -8\cdot (-5)-(-12)\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-120\\ 192-24\\ 40-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot (-8)-12\cdot (-16)\\ 12\cdot (-2)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-16)-(-3)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-192)\\ -24-192\\ 384-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot (-8)-12\cdot (-16)\\ 12\cdot (-2)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot (-16)-(-3)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-192)\\ -24-192\\ 384-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|3|-1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot 1+4\cdot 3+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$-4x_1+4x_2-7x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-12)+4\cdot 7-7\cdot (-26)-15|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}26\\ -40\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ -40\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot (-12)-(-18)\cdot (-40)\\ -18\cdot 26-6\cdot (-12)\\ 6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-720\\ -468-(-72)\\ -240-(-702)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}26\\ -40\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}26\\ -40\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\cdot (-12)-(-18)\cdot (-40)\\ -18\cdot 26-6\cdot (-12)\\ 6\cdot (-40)-(-27)\cdot 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-720\\ -468-(-72)\\ -240-(-702)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|8\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 4+7\cdot 8$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=44$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-9)-6\cdot (-25)+7\cdot 29-44|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993