Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(1|7|1), B(1|19|-15) und C(1|8|8) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 1 7 1 ) + ( 0 -11 23 ) = ( 1 -4 24 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(1|-4|24).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 1-1 19-7 -15-1 ) = ( 0 12 -16 ) und AD = BC = ( 1-1 8-19 8-( - 15 ) ) = ( 0 -11 23 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 12 -16 ) × ( 0 -11 23 ) = ( 1223-( - 16 )( - 11 ) -160-023 0( - 11 )-120 ) = ( 276-176 0-0 0-0 ) = ( 100 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 100 0 0 ) | = 100 2 + 02 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-2|-6|0), B(6|18|12) und C(6|-3|5).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 6-( - 2 ) 18-( - 6 ) 12-0 ) = ( 8 24 12 ) und AC = ( 6-( - 2 ) -3-( - 6 ) 5-0 ) = ( 8 3 5 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 24 12 ) × ( 8 3 5 ) = ( 245-123 128-85 83-248 ) = ( 120-36 96-40 24-192 ) = ( 84 56 -168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 84 56 -168 ) | = 84 2 + 562 + (-168) 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(2|8|1), B(14|-8|1), C(25|-6|1) und D(13|10|1) und als Spitze S(9|7|4). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 14-2 -8-8 1-1 ) = ( 12 -16 0 ) und AD = BC = ( 25-14 -6-( - 8 ) 1-1 ) = ( 11 2 0 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 -16 0 ) × ( 11 2 0 ) = ( -160-02 011-120 122-( - 16 )11 ) = ( 0-0 0-0 24-( - 176 ) ) = ( 0 0 200 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 0 200 ) | = 0 2 + 02 + 200 2 = 40000 = 200 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 2 8 1 ) + r ( 12 -16 0 ) + s ( 11 2 0 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 12 -16 0 ) × ( 11 2 0 ) = ( -160-02 011-120 122-( - 16 )11 ) = ( 0-0 0-0 24-( - 176 ) ) = ( 0 0 200 ) = 200⋅ ( 0 0 1 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also + x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(2|8|1) erhält man
d = 02 + 08 + 11
also:

+ x 3 = 1

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 0 9+0 7+1 4-1 | 0 2 + 0 2 + 1 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 200 · 3 = 200

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(0|7|-4), B(-12|-9|-4), C(-23|-7|-4) und als Spitze S(-7|6|-1).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -12-0 -9-7 -4-( - 4 ) ) = ( -12 -16 0 ) und AC = ( -23-0 -7-7 -4-( - 4 ) ) = ( -23 -14 0 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -12 -16 0 ) × ( -23 -14 0 ) = ( -160-0( - 14 ) 0( - 23 )-( - 12 )0 -12( - 14 )-( - 16 )( - 23 ) ) = ( 0-0 0-0 168-368 ) = ( 0 0 -200 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 0 -200 ) | = 0 2 + 02 + (-200) 2 = 40000 = 200 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 0 7 -4 ) + r ( -12 -16 0 ) + s ( -23 -14 0 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -12 -16 0 ) × ( -23 -14 0 ) = ( -160-0( - 14 ) 0( - 23 )-( - 12 )0 -12( - 14 )-( - 16 )( - 23 ) ) = ( 0-0 0-0 168-368 ) = ( 0 0 -200 ) = -200⋅ ( 0 0 1 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also + x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(0|7|-4) erhält man
d = 00 + 07 + 1(-4)
also:

+ x 3 = -4

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 0 ( - 7 )+0 6+1 ( - 1 )+4 | 0 2 + 0 2 + 1 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 100 · 3 = 100