Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 11\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 12\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|11|12\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 1-(-8)\cdot 4\\ -8\cdot 1-4\cdot 1\\ 4\cdot 4-(-8)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-(-32)\\ -8-4\\ 16-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-1)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot 1-(-8)\cdot (-1)\\ -8\cdot (-4)-8\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ -4-8\\ 32-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot (-2)\\ -3\cdot 4-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-6\\ -12-24\\ 12-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-4)-(-3)\cdot (-2)\\ -3\cdot 4-(-6)\cdot (-4)\\ -6\cdot (-2)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-6\\ -12-24\\ 12-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-1|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 2-2\cdot (-8)+2\cdot 3+3|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-49\\ -28\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-49\\ -28\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-18)-(-24)\cdot (-28)\\ -24\cdot (-49)-(-36)\cdot (-18)\\ -36\cdot (-28)-(-8)\cdot (-49)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-672\\ 1176-648\\ 1008-392\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-528)}}^2+{528}^2+{616}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}14\\ 4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-49\\ -28\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-49\\ -28\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-18)-(-24)\cdot (-28)\\ -24\cdot (-49)-(-36)\cdot (-18)\\ -36\cdot (-28)-(-8)\cdot (-49)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-672\\ 1176-648\\ 1008-392\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ 528\\ 616\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(14|4|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 14+6\cdot 4+7\cdot 3$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=-39$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-15)+6\cdot 11+7\cdot 24+39|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324