Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -14\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -9\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -23\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|-23|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -9\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -9\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 4-8\cdot (-9)\\ 8\cdot (-1)-12\cdot 4\\ 12\cdot (-9)-24\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-(-72)\\ -8-48\\ -108-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -56\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -56\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot 7-12\cdot (-1)\\ 12\cdot 0-0\cdot 7\\ 0\cdot (-1)-(-16)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112-(-12)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-14)-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-7)-(-12)\cdot (-14)\\ -12\cdot 0-(-24)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336-0\\ 56-168\\ 0-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336\\ -112\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}336\\ -112\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{336}^2+{\mathrm{(-112)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-14)-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-7)-(-12)\cdot (-14)\\ -12\cdot 0-(-24)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336-0\\ 56-168\\ 0-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336\\ -112\\ -168\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|10|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 6+2\cdot 10+3\cdot 2$
also:

$-6x_1+2x_2+3x_3=-10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-17)+2\cdot 13+3\cdot 3+10|}{\sqrt{{(-6)}^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot 18-24\cdot (-49)\\ 24\cdot (-28)-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot (-49)-(-36)\cdot (-28)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-648-(-1176)\\ -672-(-144)\\ 392-1008\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ -616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ -616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-616)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -49\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\cdot 18-24\cdot (-49)\\ 24\cdot (-28)-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot (-49)-(-36)\cdot (-28)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-648-(-1176)\\ -672-(-144)\\ 392-1008\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ -616\end{array}\right)$ = -88⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|12|-6\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+6\cdot 12+7\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=30$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-29)+6\cdot 19+7\cdot 15-30|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324