Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 26\\ -22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-8|26|-22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-20)-16\cdot 31\\ 16\cdot (-4)-(-4)\cdot (-20)\\ -4\cdot 31-(-32)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}640-496\\ -64-80\\ -124-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-3)-(-8)\cdot 0\\ -8\cdot (-3)-(-4)\cdot (-3)\\ -4\cdot 0-(-8)\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-0\\ 24-12\\ 0-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-17)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot (-10)-(-32)\cdot (-17)\\ -32\cdot 4-(-16)\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}272-(-16)\\ 40-544\\ -128-160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{\mathrm{(-504)}}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\cdot (-17)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot (-10)-(-32)\cdot (-17)\\ -32\cdot 4-(-16)\cdot (-10)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}272-(-16)\\ 40-544\\ -128-160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ -288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(8|4|-4\right)$ erhält man
d = $4\cdot 8+\mathrm{(-7)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$4x_1-7x_2-4x_3=20$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 11-7\cdot (-17)-4\cdot (-25)-20|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}40\\ 12\\ 26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}40\\ 12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 26-6\cdot 12\\ 6\cdot 40-27\cdot 26\\ 27\cdot 12-18\cdot 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}468-72\\ 240-702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 12\\ 26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}40\\ 12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\cdot 26-6\cdot 12\\ 6\cdot 40-27\cdot 26\\ 27\cdot 12-18\cdot 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}468-72\\ 240-702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-12|-6|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-12)}+7\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-19)+7\cdot 15+6\cdot 24-0|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993