Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -1\\ -19\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 5\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-24|5|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ -15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ -15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-15)-32\cdot 6\\ 32\cdot (-12)-16\cdot (-15)\\ 16\cdot 6-4\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-60-192\\ -384-(-240)\\ 96-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-4)-16\cdot (-1)\\ 16\cdot 8-4\cdot (-4)\\ 4\cdot (-1)-(-32)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128-(-16)\\ 128-(-16)\\ -4-(-256)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-12\cdot 0\\ 12\cdot (-8)-(-9)\cdot (-6)\\ -9\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -96-54\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-150)}}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-6)-12\cdot 0\\ 12\cdot (-8)-(-9)\cdot (-6)\\ -9\cdot 0-0\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -96-54\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$ = -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-1|3\right)$ erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 3$
also:

$+x_2=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-3)+1\cdot 2+0\cdot 0+1|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot (-19)-(-12)\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264-(-152)\\ -192-(-528)\\ 456-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-112)}}^2+{336}^2+{168}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -19\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 22-8\cdot (-19)\\ 8\cdot (-24)-(-24)\cdot 22\\ -24\cdot (-19)-(-12)\cdot (-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264-(-152)\\ -192-(-528)\\ 456-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ 336\\ 168\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|3|-4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 2+6\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$-2x_1+6x_2+3x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-7)+6\cdot 16+3\cdot 13-2|}{\sqrt{{(-2)}^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372