Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 5\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}25\\ -3\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}39\\ 2\\ 33\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(39|2|33\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}25\\ -3\\ 24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}25\\ -3\\ 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 24-(-24)\cdot (-3)\\ -24\cdot 25-(-36)\cdot 24\\ -36\cdot (-3)-(-8)\cdot 25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-72\\ -600-(-864)\\ 108-(-200)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-4)-8\cdot 1\\ 8\cdot 1-(-8)\cdot (-4)\\ -8\cdot 1-4\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-8\\ 8-32\\ -8-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-11)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 2-(-16)\cdot (-11)\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -24-176\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-200)}}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-11)-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 2-(-16)\cdot (-11)\\ -16\cdot 0-0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -24-176\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$ = -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(9|2|4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 9+1\cdot 2+0\cdot 4$
also:

$+x_2=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 8+1\cdot 5+0\cdot (-3)-2|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 8-3\cdot (-10)\\ 3\cdot (-4)-(-6)\cdot 8\\ -6\cdot (-10)-(-6)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-30)\\ -12-(-48)\\ 60-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{36}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -10\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 8-3\cdot (-10)\\ 3\cdot (-4)-(-6)\cdot 8\\ -6\cdot (-10)-(-6)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-30)\\ -12-(-48)\\ 60-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-2|-5\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4-2\cdot (-11)-2\cdot (-8)-15|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81