Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -11\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}15\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}27\\ -15\\ -6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(27|-15|-6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 2-8\cdot (-4)\\ 8\cdot 15-(-24)\cdot 2\\ -24\cdot (-4)-12\cdot 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-(-32)\\ 120-(-48)\\ 96-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-4)-(-12)\cdot (-3)\\ -12\cdot 0-0\cdot (-4)\\ 0\cdot (-3)-16\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-64-36\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 6-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 8-9\cdot 6\\ 9\cdot 0-0\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -96-54\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-150)}}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 6-(-12)\cdot 0\\ -12\cdot 8-9\cdot 6\\ 9\cdot 0-0\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -96-54\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$ = -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-3|-5\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$+x_2=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 9+1\cdot 0+0\cdot (-2)+3|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -42\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-42)-(-32)\cdot 21\\ -32\cdot 12-16\cdot (-42)\\ 16\cdot 21-4\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168-(-672)\\ -384-(-672)\\ 336-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{504}^2+{288}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -42\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 21\\ -42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-42)-(-32)\cdot 21\\ -32\cdot 12-16\cdot (-42)\\ 16\cdot 21-4\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168-(-672)\\ -384-(-672)\\ 336-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-1|11\right)$ erhält man
d = $7\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 11$
also:

$7x_1+4x_2+4x_3=40$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 21+4\cdot 20+4\cdot 14-40|}{\sqrt{7^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916