Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}39\\ 3\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}34\\ 8\\ -20\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(34|8|-20\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}39\\ 3\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}39\\ 3\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-24)-16\cdot 3\\ 16\cdot 39-(-32)\cdot (-24)\\ -32\cdot 3-4\cdot 39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-48\\ 624-768\\ -96-156\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 10-12\cdot 0\\ 12\cdot (-5)-(-16)\cdot 10\\ -16\cdot 0-0\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ -60-(-160)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -6\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 6-(-18)\cdot (-20)\\ -18\cdot (-13)-(-27)\cdot 6\\ -27\cdot (-20)-(-6)\cdot (-13)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-360\\ 234-(-162)\\ 540-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{396}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}11\\ 6\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ -6\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 6-(-18)\cdot (-20)\\ -18\cdot (-13)-(-27)\cdot 6\\ -27\cdot (-20)-(-6)\cdot (-13)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-360\\ 234-(-162)\\ 540-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(11|6|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 11+6\cdot 6+7\cdot 3$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=-9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-18)+6\cdot 13+7\cdot 24+9|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-18)-(-18)\cdot 16\\ -18\cdot 20-6\cdot (-18)\\ 6\cdot 16-9\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-(-288)\\ -360-(-108)\\ 96-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\cdot (-18)-(-18)\cdot 16\\ -18\cdot 20-6\cdot (-18)\\ 6\cdot 16-9\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162-(-288)\\ -360-(-108)\\ 96-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -252\\ -84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-2|1\right)$ erhält man
d = $3\cdot 2+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1$
also:

$3x_1-6x_2-2x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 19-6\cdot (-15)-2\cdot (-8)-16|}{\sqrt{3^2+{(-6)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029