Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 1\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -3\\ -7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-29|-3|-7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-1)-12\cdot (-4)\\ 12\cdot (-9)-24\cdot (-1)\\ 24\cdot (-4)-(-8)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-48)\\ -108-(-24)\\ -96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 0-0\cdot 10\\ 0\cdot (-5)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 10-12\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ -160-(-60)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 10-32\cdot (-17)\\ 32\cdot (-4)-16\cdot 10\\ 16\cdot (-17)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-(-544)\\ -128-160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{504}^2+{\mathrm{(-288)}}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 10-32\cdot (-17)\\ 32\cdot (-4)-16\cdot 10\\ 16\cdot (-17)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-(-544)\\ -128-160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ -288\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|0|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-7x_1+4x_2+4x_3=9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-24)+4\cdot 3+4\cdot 18-9|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-12)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot 6-8\cdot (-12)\\ 8\cdot 9-4\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-72)\\ -48-(-96)\\ 72-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{48}^2+{48}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-12)-(-8)\cdot 9\\ -8\cdot 6-8\cdot (-12)\\ 8\cdot 9-4\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-72)\\ -48-(-96)\\ 72-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 48\\ 48\end{array}\right)$ = 24⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-4|1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 1$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 4+5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108