Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-4|5|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 3-(-4)\cdot 12\\ -4\cdot (-9)-8\cdot 3\\ 8\cdot 12-(-8)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-48)\\ 36-24\\ 96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-1)-(-4)\cdot 1\\ -4\cdot (-4)-8\cdot (-1)\\ 8\cdot 1-(-8)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-4)\\ 16-(-8)\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-11)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-2)-12\cdot (-11)\\ 12\cdot 0-0\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 18-(-132)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{150}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-11)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-2)-12\cdot (-11)\\ 12\cdot 0-0\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 18-(-132)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-7|-3|8\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-7)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 8$
also:

$+x_2=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-6)+1\cdot 0+0\cdot 1+3|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 9-4\cdot (-6)\\ 4\cdot 12-8\cdot 9\\ 8\cdot (-6)-(-8)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-(-24)\\ 48-72\\ -48-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{48}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 9-4\cdot (-6)\\ 4\cdot 12-8\cdot 9\\ 8\cdot (-6)-(-8)\cdot 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-(-24)\\ 48-72\\ -48-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ 48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|2|-6\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 10+1\cdot 5-2\cdot (-9)-16|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108