Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|5|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 3-(-4)\cdot 12\\ -4\cdot (-9)-8\cdot 3\\ 8\cdot 12-(-8)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-48)\\ 36-24\\ 96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-2)-(-12)\cdot (-6)\\ -12\cdot 3-(-24)\cdot (-2)\\ -24\cdot (-6)-(-8)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-72\\ -36-48\\ 144-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 2-16\cdot (-16)\\ 16\cdot 8-(-8)\cdot 2\\ -8\cdot (-16)-(-2)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-(-256)\\ 128-(-16)\\ 128-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 2-16\cdot (-16)\\ 16\cdot 8-(-8)\cdot 2\\ -8\cdot (-16)-(-2)\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-(-256)\\ 128-(-16)\\ 128-(-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-4|0\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 0$
also:

$7x_1+4x_2+4x_3=-23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 24+4\cdot 0+4\cdot 13+23|}{\sqrt{7^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-8)-(-3)\cdot (-10)\\ -3\cdot 4-6\cdot (-8)\\ 6\cdot (-10)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-30\\ -12-(-48)\\ -60-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-8)-(-3)\cdot (-10)\\ -3\cdot 4-6\cdot (-8)\\ 6\cdot (-10)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-30\\ -12-(-48)\\ -60-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ -36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|2|5\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+2\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+2\cdot 5-2\cdot (-4)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81