Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -39\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ -33\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(8|-24|-33\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -39\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-39)-32\cdot (-24)\\ 32\cdot 3-4\cdot (-39)\\ 4\cdot (-24)-16\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-624-(-768)\\ 96-(-156)\\ -96-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 1-4\cdot 4\\ 4\cdot 1-(-8)\cdot 1\\ -8\cdot 4-(-8)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 4-(-8)\\ -32-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot (-11)\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot (-11)-(-12)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 176-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{200}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -11\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 0-0\cdot (-11)\\ 0\cdot 2-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot (-11)-(-12)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 0-0\\ 176-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$ = 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(8|6|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 8+0\cdot 6+1\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 7+0\cdot (-1)+1\cdot (-1)+4|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -8\\ -34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -8\\ -34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-34)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot 20-3\cdot (-34)\\ 3\cdot (-8)-(-12)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ -480-(-102)\\ -24-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -8\\ -34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -8\\ -34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-34)-(-24)\cdot (-8)\\ -24\cdot 20-3\cdot (-34)\\ 3\cdot (-8)-(-12)\cdot 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ -480-(-102)\\ -24-(-240)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|6|6\right)$ erhält man
d = $4\cdot 4+\mathrm{(-7)}\cdot 6+4\cdot 6$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 25-7\cdot (-15)+4\cdot 9+2|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187