Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 17\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 32\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-15|32|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-6)-(-4)\cdot 15\\ -4\cdot (-12)-16\cdot (-6)\\ 16\cdot 15-(-32)\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-(-60)\\ 48-(-96)\\ 240-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 7-8\cdot (-4)\\ 8\cdot (-5)-(-4)\cdot 7\\ -4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-(-32)\\ -40-(-28)\\ 16-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-10)-(-32)\cdot (-17)\\ -32\cdot (-4)-16\cdot (-10)\\ 16\cdot (-17)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-544\\ 128-(-160)\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-504)}}^2+{288}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ -10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-10)-(-32)\cdot (-17)\\ -32\cdot (-4)-16\cdot (-10)\\ 16\cdot (-17)-(-4)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-544\\ 128-(-160)\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-4|9\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 9$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=-31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-24)+4\cdot (-1)-4\cdot (-12)+31|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 8-3\cdot 4\\ 3\cdot 10-6\cdot 8\\ 6\cdot 4-6\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-12\\ 30-48\\ 24-60\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\cdot 8-3\cdot 4\\ 3\cdot 10-6\cdot 8\\ 6\cdot 4-6\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-12\\ 30-48\\ 24-60\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-6|0|-6\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-9)+1\cdot 3+2\cdot 3-0|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81