Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 28\\ -21\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-1|28|-21\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 31\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-20)-16\cdot 31\\ 16\cdot (-4)-(-4)\cdot (-20)\\ -4\cdot 31-(-32)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}640-496\\ -64-80\\ -124-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-2)-(-12)\cdot (-6)\\ -12\cdot (-3)-24\cdot (-2)\\ 24\cdot (-6)-(-8)\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-72\\ 36-(-48)\\ -144-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 17-3\cdot 10\\ 3\cdot (-4)-12\cdot 17\\ 12\cdot 10-24\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-30\\ -12-204\\ 120-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{378}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\cdot 17-3\cdot 10\\ 3\cdot (-4)-12\cdot 17\\ 12\cdot 10-24\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-30\\ -12-204\\ 120-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-12|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=-28$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-25)+4\cdot 9-4\cdot (-1)+28|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 17-9\cdot 6\\ 9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot 6-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}204-54\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{150}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 17-9\cdot 6\\ 9\cdot 0-0\cdot 17\\ 0\cdot 6-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}204-54\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-4|2\right)$ erhält man
d = $1\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2$
also:

$\mathrm{}{x}_1=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 8+0\cdot (-7)+0\cdot 6-5|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75