Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 3\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-11|3|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 12-(-8)\cdot 3\\ -8\cdot (-9)-8\cdot 12\\ 8\cdot 3-(-4)\cdot (-9)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-(-24)\\ 72-96\\ 24-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 13-12\cdot 9\\ 12\cdot 0-0\cdot 13\\ 0\cdot 9-16\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}208-108\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-12)-(-6)\cdot 6\\ -6\cdot (-4)-(-9)\cdot (-12)\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-36)\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\cdot (-12)-(-6)\cdot 6\\ -6\cdot (-4)-(-9)\cdot (-12)\\ -9\cdot 6-(-18)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216-(-36)\\ 24-108\\ -54-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-4|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 3$
also:

$-6x_1+2x_2+3x_3=-11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-18)+2\cdot 5+3\cdot 6+11|}{\sqrt{{(-6)}^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-8)-(-6)\cdot 7\\ -6\cdot 2-6\cdot (-8)\\ 6\cdot 7-3\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-42)\\ -12-(-48)\\ 42-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{36}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot (-8)-(-6)\cdot 7\\ -6\cdot 2-6\cdot (-8)\\ 6\cdot 7-3\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-(-42)\\ -12-(-48)\\ 42-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ 36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|5|0\right)$ erhält man
d = $1\cdot 3+2\cdot 5+2\cdot 0$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+2\cdot 13+2\cdot 5-13|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81