Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 23\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ 35\\ -8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-17|35|-8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 23\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ 23\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\cdot (-5)-(-4)\cdot 23\\ -4\cdot (-16)-16\cdot (-5)\\ 16\cdot 23-(-32)\cdot (-16)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}160-(-92)\\ 64-(-80)\\ 368-512\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 11\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot 12-8\cdot 11\\ 8\cdot 15-24\cdot 12\\ 24\cdot 11-12\cdot 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144-88\\ 120-288\\ 264-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-4)-(-8)\cdot (-2)\\ -8\cdot 5-4\cdot (-4)\\ 4\cdot (-2)-8\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-16\\ -40-(-16)\\ -8-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-4)-(-8)\cdot (-2)\\ -8\cdot 5-4\cdot (-4)\\ 4\cdot (-2)-8\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-16\\ -40-(-16)\\ -8-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-1|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=-7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 9+1\cdot 2+2\cdot 0+7|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 18-16\cdot (-18)\\ 16\cdot 0-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot (-18)-(-2)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-(-288)\\ 0-(-144)\\ 144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 18-16\cdot (-18)\\ 16\cdot 0-(-8)\cdot 18\\ -8\cdot (-18)-(-2)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-(-288)\\ 0-(-144)\\ 144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ 144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-1|0\right)$ erhält man
d = $7\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 0$
also:

$7x_1+4x_2+4x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 25+4\cdot 3+4\cdot 13+4|}{\sqrt{7^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458