Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -15\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -3\\ -22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-11|-3|-22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot (-7)-16\cdot 0\\ 16\cdot 1-12\cdot (-7)\\ 12\cdot 0-0\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\ 16-(-84)\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-7)-32\cdot (-7)\\ 32\cdot (-8)-16\cdot (-7)\\ 16\cdot (-7)-(-4)\cdot (-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28-(-224)\\ -256-(-112)\\ -112-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot (-2)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot (-4)-4\cdot (-2)\\ 4\cdot (-4)-(-2)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-16\\ 16-(-8)\\ -16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot (-2)-(-4)\cdot (-4)\\ -4\cdot (-4)-4\cdot (-2)\\ 4\cdot (-4)-(-2)\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-16\\ 16-(-8)\\ -16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-3|3\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 3$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot (-2)-2\cdot (-11)+2\cdot 8-9|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 18-16\cdot (-18)\\ 16\cdot 0-8\cdot 18\\ 8\cdot (-18)-(-2)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-(-288)\\ 0-144\\ -144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot 18-16\cdot (-18)\\ 16\cdot 0-8\cdot 18\\ 8\cdot (-18)-(-2)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-(-288)\\ 0-144\\ -144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|4|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot 4+4\cdot 3$
also:

$-7x_1+4x_2+4x_3=49$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-28)+4\cdot 8+4\cdot 16-49|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458