Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -15\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|-15|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 0-4\cdot (-6)\\ 4\cdot (-3)-8\cdot 0\\ 8\cdot (-6)-8\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-24)\\ -12-0\\ -48-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot 1-8\cdot (-2)\\ 8\cdot 2-(-8)\cdot 1\\ -8\cdot (-2)-(-4)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-(-16)\\ 16-(-8)\\ 16-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 2-(-6)\cdot (-5)\\ -6\cdot 4-6\cdot 2\\ 6\cdot (-5)-(-3)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ -24-12\\ -30-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 2-(-6)\cdot (-5)\\ -6\cdot 4-6\cdot 2\\ 6\cdot (-5)-(-3)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ -24-12\\ -30-(-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|2|-2\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$2x_1+2x_2+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 8+2\cdot 5+1\cdot 1-0|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-20)-(-9)\cdot (-10)\\ -9\cdot 0-0\cdot (-20)\\ 0\cdot (-10)-(-12)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240-90\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{150}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ -20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -10\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot (-20)-(-9)\cdot (-10)\\ -9\cdot 0-0\cdot (-20)\\ 0\cdot (-10)-(-12)\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240-90\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ = 150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|8|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 8+0\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 6+0\cdot 7+0\cdot (-8)-3|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75