Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -12\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ -25\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}35\\ -37\\ 4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(35|-37|4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -25\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ -25\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\cdot 3-8\cdot (-25)\\ 8\cdot 24-(-24)\cdot 3\\ -24\cdot (-25)-36\cdot 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}108-(-200)\\ 192-(-72)\\ 600-864\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-2)-(-36)\cdot 9\\ -36\cdot (-6)-24\cdot (-2)\\ 24\cdot 9-8\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-(-324)\\ 216-(-48)\\ 216-(-48)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -18\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-12)-18\cdot (-18)\\ 18\cdot 4-27\cdot (-12)\\ 27\cdot (-18)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-324)\\ 72-(-324)\\ -486-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -18\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot (-12)-18\cdot (-18)\\ 18\cdot 4-27\cdot (-12)\\ 27\cdot (-18)-(-6)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72-(-324)\\ 72-(-324)\\ -486-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-5|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=34$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-19)-6\cdot (-32)+7\cdot 13-34|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 16\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-18)-(-2)\cdot 18\\ -2\cdot 0-(-8)\cdot (-18)\\ -8\cdot 18-16\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288-(-36)\\ 0-144\\ -144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 16\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot (-18)-(-2)\cdot 18\\ -2\cdot 0-(-8)\cdot (-18)\\ -8\cdot 18-16\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288-(-36)\\ 0-144\\ -144-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|4|-1\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+4\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$7x_1+4x_2+4x_3=40$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 29+4\cdot 17+4\cdot 3-40|}{\sqrt{7^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458