Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ 7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|10|7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot 4-(-8)\cdot 1\\ -8\cdot (-1)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot 1-(-8)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-(-8)\\ 8-(-16)\\ -4-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ 29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ 29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 29-36\cdot 15\\ 36\cdot (-12)-(-24)\cdot 29\\ -24\cdot 15-8\cdot (-12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}232-540\\ -432-(-696)\\ -360-(-96)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 4-18\cdot 12\\ 18\cdot (-18)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot 12-(-12)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-216\\ -324-(-16)\\ -48-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\cdot 4-18\cdot 12\\ 18\cdot (-18)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot 12-(-12)\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-216\\ -324-(-16)\\ -48-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$ = -44⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-4|5\right)$ erhält man
d = $6\cdot 0+7\cdot \mathrm{(-4)}+6\cdot 5$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 9+7\cdot 23+6\cdot 25-2|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-4)-(-12)\cdot (-26)\\ -12\cdot 19-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-26)-(-24)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-312\\ -228-(-12)\\ -78-(-456)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ -26\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\cdot (-4)-(-12)\cdot (-26)\\ -12\cdot 19-3\cdot (-4)\\ 3\cdot (-26)-(-24)\cdot 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-312\\ -228-(-12)\\ -78-(-456)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|5|4\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 5+\mathrm{(-7)}\cdot 4$
also:

$4x_1+4x_2-7x_3=-24$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 16+4\cdot 16-7\cdot (-13)+24|}{\sqrt{4^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187