Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -2\\ 27\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-15|-2|27\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot 15-(-24)\cdot 2\\ -24\cdot (-4)-12\cdot 15\\ 12\cdot 2-8\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}120-(-48)\\ 96-180\\ 24-(-32)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\cdot (-1)-(-16)\cdot 7\\ -16\cdot 0-0\cdot (-1)\\ 0\cdot 7-12\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-(-112)\\ 0-0\\ 0-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-4)-(-6)\cdot (-12)\\ -6\cdot 6-(-12)\cdot (-4)\\ -12\cdot (-12)-(-4)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-72\\ -36-48\\ 144-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\cdot (-4)-(-6)\cdot (-12)\\ -6\cdot 6-(-12)\cdot (-4)\\ -12\cdot (-12)-(-4)\cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-72\\ -36-48\\ 144-(-24)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|4|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+3\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1+3x_2-6x_3=32$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 10+3\cdot 7-6\cdot (-23)-32|}{\sqrt{2^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-12)-(-8)\cdot 6\\ -8\cdot 9-4\cdot (-12)\\ 4\cdot 6-8\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-(-48)\\ -72-(-48)\\ 24-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\cdot (-12)-(-8)\cdot 6\\ -8\cdot 9-4\cdot (-12)\\ 4\cdot 6-8\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-(-48)\\ -72-(-48)\\ 24-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-4|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=-18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 5+1\cdot (-1)+2\cdot 0+18|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108