Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}31\\ -20\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ -15\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(33|-15|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}31\\ -20\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ -20\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\cdot 4-4\cdot (-20)\\ 4\cdot 31-(-32)\cdot 4\\ -32\cdot (-20)-16\cdot 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64-(-80)\\ 124-(-128)\\ 640-496\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{252}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\cdot (-1)-(-4)\cdot 4\\ -4\cdot (-1)-8\cdot (-1)\\ 8\cdot 4-(-8)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-(-16)\\ 4-(-8)\\ 32-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-18\cdot (-14)\\ 18\cdot (-7)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-14)-(-6)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-252)\\ -126-0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\cdot 0-18\cdot (-14)\\ 18\cdot (-7)-(-9)\cdot 0\\ -9\cdot (-14)-(-6)\cdot (-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-(-252)\\ -126-0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-2|-4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 6+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=-34$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-17)+3\cdot (-1)-2\cdot (-7)+34|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0-8\cdot 18\\ 8\cdot (-18)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 18-2\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-144\\ -144-0\\ -288-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 2\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0-8\cdot 18\\ 8\cdot (-18)-(-16)\cdot 0\\ -16\cdot 18-2\cdot (-18)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-144\\ -144-0\\ -288-(-36)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-4|-3\right)$ erhält man
d = $4\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=-21$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 15+4\cdot 16+7\cdot 14+21|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458