Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(2|3|2), B(2|-13|-10) und C(2|2|-5) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 2 3 2 ) + ( 0 15 5 ) = ( 2 18 7 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(2|18|7).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 2-2 -13-3 -10-2 ) = ( 0 -16 -12 ) und AD = BC = ( 2-2 2-( - 13 ) -5-( - 10 ) ) = ( 0 15 5 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 -16 -12 ) × ( 0 15 5 ) = ( -165-( - 12 )15 -120-05 015-( - 16 )0 ) = ( -80-( - 180 ) 0-0 0-0 ) = ( 100 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 100 0 0 ) | = 100 2 + 02 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-10|-9|4), B(2|7|4) und C(3|0|4).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 2-( - 10 ) 7-( - 9 ) 4-4 ) = ( 12 16 0 ) und AC = ( 3-( - 10 ) 0-( - 9 ) 4-4 ) = ( 13 9 0 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 16 0 ) × ( 13 9 0 ) = ( 160-09 013-120 129-1613 ) = ( 0-0 0-0 108-208 ) = ( 0 0 -100 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 0 -100 ) | = 0 2 + 02 + (-100) 2 = 10000 = 100 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 100 = 50.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(-5|-1|5), B(1|3|-7), C(5|15|-1) und D(-1|11|11) und als Spitze S(-21|14|2). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 1-( - 5 ) 3-( - 1 ) -7-5 ) = ( 6 4 -12 ) und AD = BC = ( 5-1 15-3 -1-( - 7 ) ) = ( 4 12 6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 6 4 -12 ) × ( 4 12 6 ) = ( 46-( - 12 )12 -124-66 612-44 ) = ( 24-( - 144 ) -48-36 72-16 ) = ( 168 -84 56 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 168 -84 56 ) | = 168 2 + (-84)2 + 56 2 = 38416 = 196 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -5 -1 5 ) + r ( 6 4 -12 ) + s ( 4 12 6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 6 4 -12 ) × ( 4 12 6 ) = ( 46-( - 12 )12 -124-66 612-44 ) = ( 24-( - 144 ) -48-36 72-16 ) = ( 168 -84 56 ) = -28⋅ ( -6 3 -2 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 +3 x 2 -2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-5|-1|5) erhält man
d = (-6)(-5) + 3(-1) + (-2)5
also:

-6 x 1 +3 x 2 -2 x 3 = 17

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 21 )+3 14-2 2-17 | ( - 6 ) 2 + 3 2 + ( - 2 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 196 · 21 = 1372

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(2|-2|-2), B(-4|-2|-10), C(-12|-2|-4) und als Spitze S(-2|1|1).
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -4-2 -2-( - 2 ) -10-( - 2 ) ) = ( -6 0 -8 ) und AC = ( -12-2 -2-( - 2 ) -4-( - 2 ) ) = ( -14 0 -2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -6 0 -8 ) × ( -14 0 -2 ) = ( 0( - 2 )-( - 8 )0 -8( - 14 )-( - 6 )( - 2 ) -60-0( - 14 ) ) = ( 0-0 112-12 0-0 ) = ( 0 100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 100 0 ) | = 0 2 + 1002 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 2 -2 -2 ) + r ( -6 0 -8 ) + s ( -14 0 -2 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -6 0 -8 ) × ( -14 0 -2 ) = ( 0( - 2 )-( - 8 )0 -8( - 14 )-( - 6 )( - 2 ) -60-0( - 14 ) ) = ( 0-0 112-12 0-0 ) = ( 0 100 0 ) = 100⋅ ( 0 1 0 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also + x 2 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(2|-2|-2) erhält man
d = 02 + 1(-2) + 0(-2)
also:

+ x 2 = -2

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 0 ( - 2 )+1 1+0 1+2 | 0 2 + 1 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 50 · 3 = 50