Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+5x_3=22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=-4$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+9=-4$ |-6
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-3x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|2|2\right)$ in E: $4x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-2x_2+4x_3=-8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 8 = -24.

Für a = -24 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-24x_1+12x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-24x_1+12x_2-12x_3=24$ , d.h. für b = 24 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 24, also z.B.: b = 25 setzen.