Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2-2x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5=-7$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}=-7$ |+10
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+3x_3=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ -20\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-20)}=0$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+20=0$ |-5
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+x_2-20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|5\right)$ in E: $5x_1+x_2-20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-108=b$

Mit b = -108 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+x_2-20x_3=-108$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 13 = 26.

Für a = 26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $26x_1+4x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $26x_1+4x_2-6x_3=22$ , d.h. für b = 22 sind die beiden Ebenen identisch.