Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 4=7$
$12+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=7$ |-3
4a = 4 | :4
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2-2x_3=8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 4+0\cdot 1$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+9+\mathrm{(-9)}=0$ |-0
-4a = 0 | :(-4)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-4|0\right)$ in E: $-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_2+9x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}41\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ =0

$41\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 41}+\mathrm{(-16)}+\mathrm{(-25)}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $41\cdot 5+4\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-4)}$ = 185
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-5x_3=25$.