Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2-5x_3=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 3=-7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+1+12=-7$ |-13
4a = -20 | :4
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+4x_3=42$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-6+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+18
-1a = 18 | :(-1)
a = -18

Für a = -18 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-4x_2-18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|5|-4\right)$ in E: $-2x_1-4x_2-18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2-18x_3=42$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 10+2\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-50+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+58
2a = 58 | :2
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-4x_2+29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 4+2\cdot 1$ = 30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-27=b$

Mit b = -27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-4x_2+29x_3=-27$.