Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2-5x_3=33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=4$
$-4+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=4$ |+8
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2-2x_3=-15$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$-20+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+5=0$ |+15
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-4|-1\right)$ in E: $4x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2-5x_3=13$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-48+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+123
3a = 123 | :3
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+15x_2+41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 5$ = 56
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$82=b$

Mit b = 82 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+15x_2+41x_3=82$.