Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2+x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-3)}=-10$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+9+\mathrm{(-9)}=-10$ |-0
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2-4x_3=-17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+8+\mathrm{(-4)}=0$ |-4
2a = -4 | :2
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|5\right)$ in E: $-2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-2x_2+4x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-18)}+\mathrm{(-8)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1-6x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 4+3\cdot 5+2\cdot 3$ = 29
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1-6x_2-4x_3=10$.