Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-3x_3=-11$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-2)}=5$
$1+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-2)}=5$ |+1
-2a = 6 | :(-2)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-2x_3=27$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|3\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+1+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-7
-1a = -7 | :(-1)
a = 7

Für a = 7 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|-3\right)$ in E: $2x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2+7x_3=-12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+4x_2+4x_3=56$ , d.h. für b = 56 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 56, also z.B.: b = 57 setzen.