Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 3+2\cdot 3=-2$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-12)}+6=-2$ |+6
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2-x_3=5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 3$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 5+4\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-1|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-1|1\right)$ in E: $5x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+10x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 13\\ -3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+27=0$ |-39
13a = -39 | :13
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 5+13\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$78=b$

Mit b = 78 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-3x_2-9x_3=78$.