Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2+4x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=16$
$0+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=16$ |-6
-2a = 10 | :(-2)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-4x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|1\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=2 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-4)}+0=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-4x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|-5\right)$ in E: $-4x_1-4x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-4x_2=8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 25\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+\mathrm{(-3)}\cdot 9+25\cdot \mathrm{a}=0$
$-48+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 25}=0$ |+75
25a = 75 | :25
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+25\cdot 0$ = 6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+9x_2+3x_3=-18$.