Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2+4x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 0=2$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+0=2$ |-0
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2-4x_3=-26$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 21\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 21=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+1+\mathrm{(-21)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-x_2+21x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-1|-1\right)$ in E: $4x_1-x_2+21x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-x_2+21x_3=-32$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $15x_1+9x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $15x_1+9x_2-12x_3=60$ , d.h. für b = 60 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 60, also z.B.: b = 61 setzen.