Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2=-37$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3+2\cdot 4=-2$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-12)}+8=-2$ |+4
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+5x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+1\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|5|-3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 2 = -2.

Für a = -2 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1-3x_2-5x_3=-4$ , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.