Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-14$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-20)}+1=-14$ |+19
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-3x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|-4\right)$ in E: $-4x_1-5x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2+9x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1+8x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1+8x_2+6x_3=16$ , d.h. für b = 16 sind die beiden Ebenen identisch.