Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2-5x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 4+3\cdot 0=11$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0=11$ |-3
4a = 8 | :4
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-x_3=-17$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 12\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+3\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+15+\mathrm{(-12)}=0$ |-3
3a = -3 | :3
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-5|4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2+12x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 10\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 4+10\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; 10}=0$ |+20
10a = 20 | :10
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 2+10\cdot 5$ = 36
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2+2x_3=24$.