Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2+3x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3=-9$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}+6=-9$ |+4
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-4x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 20\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 0+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 20=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-20)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2+20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|0|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|0|2\right)$ in E: $+4x_2+20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2+20x_3=40$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 8 = -16.

Für a = -16 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-16x_1+4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-16x_1+4x_2-8x_3=44$ , d.h. für b = 44 sind die beiden Ebenen identisch.