Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2=9$
$-6+5+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=9$ |+1
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-2x_3=36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+2=0$ |+6
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|3|1\right)$ in E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2-2x_3=-28$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-10)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-50)}+\mathrm{(-18)}=0$ |+68
2a = 68 | :2
a = 34

Für a = 34 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $34x_1-10x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = -32
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $34x_1-10x_2-6x_3=-12$.