Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2+3x_3=40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 1=25$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+5+5=25$ |-10
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2+5x_3=-5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+0+\mathrm{(-8)}=0$ |+8
-2a = 8 | :(-2)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|3|2\right)$ in E: $-4x_1+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+8x_3=36$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 9\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 9 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $3x_1-3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $3x_1-3x_2-9x_3=48$ , d.h. für b = 48 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 48, also z.B.: b = 49 setzen.