Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+4x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=-16$
$-10+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-16$ |+12
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_3=-6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|-1\right)$ in E: $-4x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2+10x_3=20$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ =0

$10\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 10}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-18)}=0$ |+20
10a = 20 | :10
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $10\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2+6x_3=-8$.