Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-x_2=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=14$
$12+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=14$ |-22
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-3x_3=21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 4$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-1|3\right)$ in E: $-2x_1+4x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2+6x_3=22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ a\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 24\\ -4\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-12)}+24\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 12=0$
$-48+\mathrm{a\; \cdot \; 24}+\mathrm{(-48)}=0$ |+96
24a = 96 | :24
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1+4x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 3+24\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot 4$ = 68
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1+4x_2+12x_3=24$.