Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 5=-31$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-5)}=-31$ |+30
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+9=0$ |-9
-3a = -9 | :(-3)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-3|0\right)$ in E: $2x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2-9x_3=-5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ a\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 15\\ -4\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+15\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 12=0$
$-27+\mathrm{a\; \cdot \; 15}+\mathrm{(-48)}=0$ |+75
15a = 75 | :15
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+5x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-4)}+15\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = -30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+5x_2+12x_3=-10$.