Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_2+3x_3=-40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-3)}=4$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-12)}=4$ |+16
5a = 20 | :5
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2-3x_3=9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 4+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+12
-1a = 12 | :(-1)
a = -12

Für a = -12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|5|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|5|5\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-36=b$

Mit b = -36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-12x_3=-36$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ -9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 15+3\cdot \mathrm{(-9)}+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+102
17a = 102 | :17
a = 6

Für a = 6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1-9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 1+3\cdot 1+17\cdot \mathrm{(-1)}$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1-9x_2+6x_3=0$.