Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2-2x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3=15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+6+6=15$ |-12
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-4x_3=-17$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -25\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-25)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-5)}+25=0$ |-20
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-x_2-25x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|2\right)$ in E: $5x_1-x_2-25x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-x_2-25x_3=-22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 25\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 10+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+25\cdot \mathrm{a}=0$
$50+50+\mathrm{a\; \cdot \; 25}=0$ |-100
25a = -100 | :25
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-10x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+25\cdot 0$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-10x_2-4x_3=40$.