Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2=-40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 1=-1$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}=-1$ |-2
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2+x_3=8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-2)}=0$ |+5
5a = 5 | :5
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|0\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+2x_3=0$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 2 = -2.

Für a = -2 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1+x_2-2x_3=-29$ , d.h. für b = -29 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -29, also z.B.: b = -28 setzen.