Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-2x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1=14$
$20+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=14$ |-16
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+5x_3=-35$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 18\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 18=0$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-18)}=0$ |-2
1a = -2 | :1
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2+18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|3\right)$ in E: $-5x_1-2x_2+18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2+18x_3=40$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 20\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 20 = 40.

Für a = 40 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $4x_1+40x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $4x_1+40x_2-8x_3=84$ , d.h. für b = 84 sind die beiden Ebenen identisch.