Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+x_3=-20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-3)}=-1$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-3)}=-1$ |-9
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|3\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$2+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+13
-1a = 13 | :(-1)
a = -13

Für a = -13 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|0|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|0|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$49=b$

Mit b = 49 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=49$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 17\\ -4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+17\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$-1+\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-16)}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 2+17\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 52
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=-16$.