Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+3x_3=26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 3+1\cdot 1=-14$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+1=-14$ |-1
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+3x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|3\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+3=0$ |-3
1a = -3 | :1
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|3\right)$ in E: $-3x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+4x_2-3x_3=-5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$50+32+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-82
2a = -82 | :2
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-8x_2-41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = -8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$29=b$

Mit b = 29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-8x_2-41x_3=29$.