Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+4x_3=34$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-4)}=-14$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-16)}=-14$ |+20
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-2x_3=-7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+4=0$ |-4
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|4|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_3=18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-8x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-8x_2+4x_3=-4$ , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -4, also z.B.: b = -3 setzen.