Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2-5x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1=9$
$12+1+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=9$ |-13
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+3x_3=8$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-5+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-19=b$

Mit b = -19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=-19$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 41\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{(-5)}+41\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; 41}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-5x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 4+5\cdot 5+41\cdot \mathrm{(-3)}$ = -114
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2+x_3=-12$.