Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2+2x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 4=-17$
$-4+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=-17$ |+9
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+x_3=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -40\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-40)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-15)}+40=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-3x_2-40x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|-1\right)$ in E: $-5x_1-3x_2-40x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$47=b$

Mit b = 47 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-3x_2-40x_3=47$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}29\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ =0

$29\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 29}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-50)}=0$ |+58
29a = 58 | :29
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-4x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $29\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -114
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-4x_2+10x_3=-12$.