Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+x_3=20$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=-8$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-15)}=-8$ |+18
-2a = 10 | :(-2)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+5x_3=-19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|1|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -18\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-18)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-12)}+18=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-4x_2-18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-5|1\right)$ in E: $3x_1-4x_2-18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-4x_2-18x_3=14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+18+50=0$ |-68
4a = -68 | :4
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-17x_1-6x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot 2+5\cdot \mathrm{(-2)}$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-32=b$

Mit b = -32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-17x_1-6x_2+10x_3=-32$.