Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2+4x_3=29$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}=8$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}=8$ |+8
4a = 16 | :4
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-41=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+2x_3=-41$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -12\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}+12=0$ |-4
2a = -4 | :2
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-4|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-4|5\right)$ in E: $-2x_1+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-72=b$

Mit b = -72 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2-12x_3=-72$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 26\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+26\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 26}+75=0$ |-78
26a = -78 | :26
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1-3x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+26\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 44
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$51=b$

Mit b = 51 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_2-15x_3=51$.