Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2+3x_3=32$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=-16$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-10)}+6=-16$ |+4
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+4x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-20+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+30
-1a = 30 | :(-1)
a = -30

Für a = -30 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-30x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-4\right)$ in E: $4x_1+2x_2-30x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$112=b$

Mit b = 112 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-30x_3=112$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 5 = -15.

Für a = -15 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-15x_1-6x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-15x_1-6x_2+3x_3=-45$ , d.h. für b = -45 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -45, also z.B.: b = -44 setzen.