Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+x_3=-4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-36$
$-1+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-36$ |+16
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-4x_3=-36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 0+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+8=0$ |-8
2a = -8 | :2
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-1|-5\right)$ in E: $-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$44=b$

Mit b = 44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_2-8x_3=44$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}41\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ =0

$41\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 41}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $41\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+4x_3=12$.