Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+3x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1=26$
$10+20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=26$ |-30
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2+3x_3=22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+5\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|2|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|2|1\right)$ in E: $2x_1-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_3=-4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 41\\ 5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 8+41\cdot \mathrm{a}+5\cdot 10=0$
$32+\mathrm{a\; \cdot \; 41}+50=0$ |-82
41a = -82 | :41
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 4+41\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-1)}$ = -30
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1-2x_2+10x_3=24$.