Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+x_2-2x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 3+5\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1=33$
$15+20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=33$ |-35
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$16+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|0|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|0|-5\right)$ in E: $4x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-4x_3=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$8+2+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-10
5a = -10 | :5
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-2)}$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-2x_2-2x_3=-14$.