Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=18$
$8+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=18$ |-23
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2+4x_3=39$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+0\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|4\right)$ in E: $+x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+x_2=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}=0$
$12+3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 2$ = -2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+3x_2-5x_3=-34$.