Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_2+3x_3=27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 1=9$
$-4+15+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=9$ |-11
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+5x_3=-16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+13
-1a = 13 | :(-1)
a = -13

Für a = -13 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-74=b$

Mit b = -74 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-13x_3=-74$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 6\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 3 ⋅ 6 = 18.

Für a = 18 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1-9x_2+18x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1-9x_2+18x_3=0$ , d.h. für b = 0 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 0, also z.B.: b = 1 setzen.