Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 2=-1$
$12+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-1$ |-9
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2-3x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 18\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 18=0$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-18)}=0$ |+3
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-x_2+18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-3|1\right)$ in E: $-5x_1-x_2+18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-x_2+18x_3=46$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-1+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 2+17\cdot 0$ = -8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+x_3=8$.