Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2-4x_3=-40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot 1=-18$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+2=-18$ |+13
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+3x_3=1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -18\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-18)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-20)}+18=0$ |+2
1a = 2 | :1
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-5x_2-18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-4|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-4|0\right)$ in E: $2x_1-5x_2-18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-5x_2-18x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ =0

$8\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 12+\mathrm{(-4)}\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 8}+\mathrm{(-48)}+\mathrm{(-48)}=0$ |+96
8a = 96 | :8
a = 12

Für a = 12 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1+12x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $8\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1+12x_2+12x_3=12$.