Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_2+4x_3=21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=-16$
$-5+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=-16$ |+25
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+2x_2-3x_3=-13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+12
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|2|-5\right)$ in E: $-4x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2+10x_3=-38$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 13\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+13\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-50)}=0$ |+52
13a = 52 | :13
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+4x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 0+13\cdot 5+5\cdot 1$ = 70
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2-10x_3=10$.