Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2-2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 2+3\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5=-15$
$-4+9+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-15$ |-5
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+2x_2-x_3=12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+5+\mathrm{(-2)}=0$ |-3
1a = -3 | :1
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|1|4\right)$ in E: $-3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2+2x_3=-3$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 29 = -29.

Für a = -29 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-29x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-29x_2+5x_3=73$ , d.h. für b = 73 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 73, also z.B.: b = 74 setzen.