Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-4x_2+5x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 3=7$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-3)}=7$ |-3
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$31=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=31$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$9+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-24
-1a = -24 | :(-1)
a = 24

Für a = 24 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_2+24x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$ in E: $3x_1-3x_2+24x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-99=b$

Mit b = -99 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2+24x_3=-99$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+4\cdot 8+1\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+32+2=0$ |-34
2a = -34 | :2
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-17x_1+8x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 2$ = -22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-17x_1+8x_2+2x_3=-2$.