Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2+4x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 2=1$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-10)}=1$ |+14
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2+2x_3=-30$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-9)}=0$ |+15
5a = 15 | :5
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|3|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|3|2\right)$ in E: $-3x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2+9x_3=42$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+15
5a = 15 | :5
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 0$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2-6x_3=0$.