Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2+5x_3=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-3)}=-3$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-3)}=-3$ |+6
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-5x_3=18$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$12+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|-1\right)$ in E: $-3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_2-3x_3=24$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ a\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-12x_1-9x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-12x_1-9x_2+9x_3=-54$ , d.h. für b = -54 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -54, also z.B.: b = -53 setzen.