Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2+2x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1=-6$
$-6+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-6$ |+8
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-29=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2-x_3=-29$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 2+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-8)}=0$ |+16
4a = 16 | :4
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|1|2\right)$ in E: $4x_1+4x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+4x_2+8x_3=40$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-16)}=0$ |+32
4a = 32 | :4
a = 8

Für a = 8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 0+4\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-5)}$ = -20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+8x_2-4x_3=20$.