Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2+3x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-40$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-25)}=-40$ |+37
-3a = -3 | :(-3)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=2 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 11=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+2+\mathrm{(-11)}=0$ |+9
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|0|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|0|4\right)$ in E: $-3x_1-x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$59=b$

Mit b = 59 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2+11x_3=59$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}41\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ =0

$41\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 41}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+41
41a = 41 | :41
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $41\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 167
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$1=b$

Mit b = 1 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+4x_3=1$.