Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=43$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+20=43$ |-18
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=23$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 4$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 1+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$1+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+4=0$ |-5
1a = -5 | :1
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-4|-2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-4x_3=27$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 26\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-15)}+26\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 26}=0$ |+78
26a = 78 | :26
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 1+5\cdot 2+26\cdot \mathrm{(-4)}$ = -95
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-39=b$

Mit b = -39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-15x_2+3x_3=-39$.