Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2-5x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-4)}=-39$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-25)}+\mathrm{(-4)}=-39$ |+29
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2-x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|0\right)$ in E: $3x_1-x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-x_2-10x_3=-5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 13\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-50)}=0$ |+52
13a = 52 | :13
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+4x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 48
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2+10x_3=-6$.