Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-4x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 5+3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 1=33$
$15+15+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=33$ |-30
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2-3x_3=-1$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|4|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=2 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-4|-5\right)$ in E: $-5x_1-5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-50=b$

Mit b = -50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2+10x_3=-50$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 15+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+78
2a = 78 | :2
a = 39

Für a = 39 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+15x_2+39x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-105=b$

Mit b = -105 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+15x_2+39x_3=-105$.