Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+2x_3=22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 5=-7$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}=-7$ |+10
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+3x_3=3$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-20
-1a = -20 | :(-1)
a = 20

Für a = 20 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-4x_2+20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|3\right)$ in E: $-4x_1-4x_2+20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$52=b$

Mit b = 52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-4x_2+20x_3=52$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -1\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 13\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1-13x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1-13x_2-x_3=-56$ , d.h. für b = -56 sind die beiden Ebenen identisch.