Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-3x_3=-16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=12$
$12+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=12$ |-6
-2a = 6 | :(-2)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+x_3=4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 4+0\cdot 4$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 12\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+8+\mathrm{(-12)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+4x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-2|2\right)$ in E: $-4x_1+4x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+4x_2+12x_3=20$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 8 = 24.

Für a = 24 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+24x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+24x_2+6x_3=-78$ , d.h. für b = -78 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -78, also z.B.: b = -77 setzen.