Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2+3x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 1=9$
$4+0+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=9$ |-4
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+4x_3=-9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-4)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|3|3\right)$ in E: $2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$22=b$

Mit b = 22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2+4x_3=22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$6\cdot \mathrm{a}+4\cdot 12+4\cdot 12=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 6}+48+48=0$ |-96
6a = -96 | :6
a = -16

Für a = -16 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-16x_1+12x_2+12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $6\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-3)}$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-16x_1+12x_2+12x_3=16$.