Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-2x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 4=-35$
$2+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=-35$ |+23
4a = -12 | :4
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2-x_3=-2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 4+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2+\mathrm{(-2)}=0$ |-0
-2a = 0 | :(-2)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|2|4\right)$ in E: $-2x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2+2x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}29\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ =0

$29\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 29}+\mathrm{(-75)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+87
29a = 87 | :29
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+15x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $29\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 1$ = 65
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$75=b$

Mit b = 75 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+15x_2+6x_3=75$.