Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_2-x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=-21$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-15)}=-21$ |+17
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-4x_3=-15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -36\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-36)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+36=0$ |-20
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+4x_2-36x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|3|3\right)$ in E: $4x_1+4x_2-36x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-88=b$

Mit b = -88 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+4x_2-36x_3=-88$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 8+5\cdot 10+2\cdot \mathrm{a}=0$
$32+50+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-82
2a = -82 | :2
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1+10x_2-41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 1+5\cdot 1+2\cdot 1$ = 11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-23=b$

Mit b = -23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1+10x_2-41x_3=-23$.