Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2-5x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 4=27$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+4=27$ |-7
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|2|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|3|4\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$51=b$

Mit b = 51 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+4x_3=51$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+1\cdot 3+5\cdot \mathrm{a}=0$
$12+3+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 4+1\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-1)}$ = 8
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$42=b$

Mit b = 42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1+3x_2-3x_3=42$.