Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2-x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=32$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+15=32$ |-30
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-x_3=-26$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-8
-1a = -8 | :(-1)
a = 8

Für a = 8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-3|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-3|4\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$25=b$

Mit b = 25 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+8x_3=25$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 10\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 10 = -20.

Für a = -20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1+6x_2-20x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1+6x_2-20x_3=-32$ , d.h. für b = -32 sind die beiden Ebenen identisch.