Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-x_3=22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 5+2\cdot 1=24$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+2=24$ |-14
5a = 10 | :5
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2+2x_3=8$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$25+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-17
-1a = -17 | :(-1)
a = 17

Für a = 17 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2+17x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-3|-4\right)$ in E: $5x_1+4x_2+17x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-80=b$

Mit b = -80 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2+17x_3=-80$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-10x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-10x_2+4x_3=34$ , d.h. für b = 34 sind die beiden Ebenen identisch.