Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2+4x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}=-1$
$0+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}=-1$ |+5
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2-4x_3=10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$20+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|3|-2\right)$ in E: $-4x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-17=b$

Mit b = -17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2-5x_3=-17$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2-5x_3=12$ , d.h. für b = 12 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 12, also z.B.: b = 13 setzen.