Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2+5x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 1=-9$
$-5+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-9$ |+11
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2-2x_3=-7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+12
4a = 12 | :4
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|-5\right)$ in E: $3x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2+10x_3=-40$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-2+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+10
2a = 10 | :2
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-5)}$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-7=b$

Mit b = -7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2+5x_3=-7$.