Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2-4x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=1$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-4)}=1$ |+2
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2+4x_3=-26$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|2\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+12=0$ |-16
4a = -16 | :4
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-4x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-2|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-2|-1\right)$ in E: $-2x_1-4x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-4x_2-12x_3=10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 6+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{a}=0$
$12+75+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |-87
3a = -87 | :3
a = -29

Für a = -29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-15x_2-29x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$ = 15
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$83=b$

Mit b = 83 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-15x_2-29x_3=83$.