Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_3=-16$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-27$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-20)}=-27$ |+35
-4a = 8 | :(-4)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0+\mathrm{(-10)}=0$ |+10
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+5x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|4\right)$ in E: $-2x_1+5x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$58=b$

Mit b = 58 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+5x_2+10x_3=58$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4+2\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8+8=0$ |-16
4a = -16 | :4
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 3+2\cdot 4$ = -2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$44=b$

Mit b = 44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+4x_2+4x_3=44$.