Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+4x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=-30$
$-20+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+2=-30$ |+18
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2+x_3=21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+1+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-9
-1a = -9 | :(-1)
a = 9

Für a = 9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|3|1\right)$ in E: $4x_1-x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-x_2+9x_3=14$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-8x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-8x_2+4x_3=-8$ , d.h. für b = -8 sind die beiden Ebenen identisch.