Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+2x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=-29$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-25)}+2=-29$ |+23
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2-5x_3=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 13\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 13=0$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-13)}=0$ |+10
-2a = 10 | :(-2)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2+13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|3\right)$ in E: $3x_1-5x_2+13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2+13x_3=14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 29\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+2\cdot 6+29\cdot \mathrm{a}=0$
$75+12+\mathrm{a\; \cdot \; 29}=0$ |-87
29a = -87 | :29
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1+6x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 5+29\cdot 4$ = 151
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$93=b$

Mit b = 93 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1+6x_2-3x_3=93$.