Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2+2x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-17$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-25)}=-17$ |+22
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2+3x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2=0$ |-4
-2a = -4 | :(-2)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-4|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-11=b$

Mit b = -11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=-11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-18)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1-4x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 0$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1-4x_2-6x_3=46$.