Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_2-5x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 2=-6$
$-10+0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-6$ |+10
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+3x_3=-28$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=3 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 9\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+9+\mathrm{(-9)}=0$ |-0
4a = 0 | :4
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|3|-5\right)$ in E: $+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-36=b$

Mit b = -36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2+9x_3=-36$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 17\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+\mathrm{(-1)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+17
17a = 17 | :17
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+17\cdot \mathrm{(-3)}$ = -66
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+x_2+x_3=12$.