Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2+4x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=3$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+6=3$ |+2
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2+3x_3=13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$20+25+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-45
-1a = -45 | :(-1)
a = 45

Für a = 45 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+45x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+45x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-178=b$

Mit b = -178 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+45x_3=-178$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 20\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+20\cdot \mathrm{a}=0$
$50+50+\mathrm{a\; \cdot \; 20}=0$ |-100
20a = -100 | :20
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-10x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 0+20\cdot 3$ = 60
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-10x_2-5x_3=-15$.