Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+5x_2+2x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 5=-1$
$15+9+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-1$ |-24
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+3x_2-5x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 4+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -19\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-19)}=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+19=0$ |-15
-5a = -15 | :(-5)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-19x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-5|0\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-19x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-19x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 34\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-3)}\cdot 6+34\cdot \mathrm{a}=0$
$-50+\mathrm{(-18)}+\mathrm{a\; \cdot \; 34}=0$ |+68
34a = 68 | :34
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+34\cdot 3$ = 124
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-38=b$

Mit b = -38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+6x_2+2x_3=-38$.