Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2+4x_3=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 0=21$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+15+0=21$ |-15
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2+3x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 19\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 19=0$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-19)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-5x_2+19x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-4|-5\right)$ in E: $-2x_1-5x_2+19x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-67=b$

Mit b = -67 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2+19x_3=-67$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-13x_1-x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-13x_1-x_2-5x_3=82$ , d.h. für b = 82 sind die beiden Ebenen identisch.