Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=15$
$15+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=15$ |-3
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2+x_3=4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-4)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|-3\right)$ in E: $4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+4x_2+4x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 10\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 10 = -20.

Für a = -20 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-8x_2-20x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-8x_2-20x_3=-8$ , d.h. für b = -8 sind die beiden Ebenen identisch.