Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2-4x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-10)}+\mathrm{(-5)}=-18$ |+15
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2-x_3=23$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -35\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-35)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-10)}+35=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+5x_2-35x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-3|0\right)$ in E: $-5x_1+5x_2-35x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+5x_2-35x_3=-35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-25)}=0$ |+41
1a = 41 | :1
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+41x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-104=b$

Mit b = -104 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+41x_2+5x_3=-104$.