Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-5x_3=-40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-4$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-6)}=-4$ |+14
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2+3x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-3)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-2|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+3x_3=-15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-18)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+20
5a = 20 | :5
a = 4

Für a = 4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-6x_2-2x_3=6$.