Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2+2x_3=-21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=23$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-3)}=23$ |-13
-5a = 10 | :(-5)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2+5x_3=2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 15\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 15=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-15)}=0$ |+9
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2+15x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|2\right)$ in E: $-2x_1-3x_2+15x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2+15x_3=11$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1+4x_2-2x_3=8$ , d.h. für b = 8 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 8, also z.B.: b = 9 setzen.