Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2+3x_3=7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=-3$
$5+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=-3$ |-9
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2+3x_3=36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 4+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|2|-2\right)$ in E: $4x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+3x_2+4x_3=-22$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}17\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ =0

$17\cdot \mathrm{a}+4\cdot 8+1\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 17}+32+2=0$ |-34
17a = -34 | :17
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1+8x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $17\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-5)}$ = -78
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+8x_2+2x_3=24$.