Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2+x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-4$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-6)}=-4$ |+16
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-42=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2-4x_3=-42$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|2|1\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|-4\right)$ in E: $-5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-40=b$

Mit b = -40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2+5x_3=-40$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 10+5\cdot \mathrm{(-10)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$-50+\mathrm{(-50)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |+100
5a = 100 | :5
a = 20

Für a = 20 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1-10x_2+20x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 0+5\cdot \mathrm{(-4)}$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-110=b$

Mit b = -110 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1-10x_2+20x_3=-110$.