Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2+x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=6$
$-4+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=6$ |-11
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$33=b$

Mit b = 33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2-3x_3=33$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 13\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+2\cdot 6+13\cdot \mathrm{a}=0$
$27+12+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |-39
13a = -39 | :13
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+6x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot 4$ = 53
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+6x_2-3x_3=-9$.