Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2+2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+2\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 2=9$
$5+10+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=9$ |-15
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -14\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-14)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-15)}+14=0$ |+1
-1a = 1 | :(-1)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-14x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-1|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-1|-4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-14x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$51=b$

Mit b = 51 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2-14x_3=51$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 41\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 41 = -82.

Für a = -82 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-10x_1-82x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-10x_1-82x_2-8x_3=-468$ , d.h. für b = -468 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -468, also z.B.: b = -467 setzen.