Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2-2x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 1=-13$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+1=-13$ |-7
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-9
-1a = -9 | :(-1)
a = 9

Für a = 9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-2|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-2|-5\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-48=b$

Mit b = -48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+9x_3=-48$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}=0$ |+17
1a = 17 | :1
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+17x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-2)}$ = -2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+17x_2-x_3=2$.