Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-4x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-24$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+4+\mathrm{(-20)}=-24$ |+16
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2+2x_3=40$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 5+4\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+16+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-16
-1a = -16 | :(-1)
a = 16

Für a = 16 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2+16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|3|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|3|-1\right)$ in E: $5x_1+4x_2+16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2+16x_3=11$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 12+17\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+\mathrm{(-48)}+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |+51
17a = 51 | :17
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+12x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+17\cdot \mathrm{(-5)}$ = -79
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-33=b$

Mit b = -33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+12x_2+3x_3=-33$.