Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-4x_2+2x_3=-34$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 4+4\cdot 5=-15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-20)}+20=-15$ |-0
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2+4x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-5)}+11=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-1|0\right)$ in E: $-3x_1-x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$13=b$

Mit b = 13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2-11x_3=13$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}51\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 51 = -153.

Für a = -153 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-153x_1+15x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-153x_1+15x_2+9x_3=675$ , d.h. für b = 675 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 675, also z.B.: b = 676 setzen.