Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2+4x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot 3=-8$
$-12+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+6=-8$ |+6
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=-8$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -16\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-16)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-6)}+16=0$ |-10
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+2x_2-16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-3|-2\right)$ in E: $5x_1+2x_2-16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+2x_2-16x_3=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 18\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot 6+18\cdot \mathrm{a}=0$
$18+18+\mathrm{a\; \cdot \; 18}=0$ |-36
18a = -36 | :18
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+6x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-4)}+18\cdot 4$ = 45
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+6x_2-2x_3=-62$.