Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 5+4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 1=8$
$-15+20+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=8$ |-5
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-2x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$15+12+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-27
-1a = -27 | :(-1)
a = 27

Für a = 27 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+4x_2+27x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|0\right)$ in E: $-3x_1+4x_2+27x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+4x_2+27x_3=14$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{a}=0$
$12+3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$ = -3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-3x_2-5x_3=19$.