Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2-2x_3=18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=25$
$4+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=25$ |-10
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2-2x_3=-6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|3|-4\right)$ in E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2+2x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+13
13a = 13 | :13
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 4$ = -81
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$11=b$

Mit b = 11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+3x_3=11$.