Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=44$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+25=44$ |-29
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$34=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2-x_3=34$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|2|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -30\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-30)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-20)}+30=0$ |-10
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+5x_2-30x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|0|5\right)$ in E: $5x_1+5x_2-30x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-170=b$

Mit b = -170 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+5x_2-30x_3=-170$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-9)}=0$ |+10
2a = 10 | :2
a = 5

Für a = 5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $5x_1+x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+3\cdot 0$ = -6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+x_2-3x_3=-8$.