Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-4x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 5=20$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+15=20$ |-15
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-3x_3=-7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 21\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 21=0$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-21)}=0$ |+15
5a = 15 | :5
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2+21x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$ in E: $-2x_1+3x_2+21x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$107=b$

Mit b = 107 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2+21x_3=107$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 8 = -16.

Für a = -16 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-16x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-16x_1-4x_2-8x_3=28$ , d.h. für b = 28 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 28, also z.B.: b = 29 setzen.