Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-3x_3=-19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2-5x_3=21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -17\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-17)}=0$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+17=0$ |-12
4a = -12 | :4
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-3x_2-17x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|2|2\right)$ in E: $-5x_1-3x_2-17x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-3x_2-17x_3=-35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=0$ |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+1\cdot 4$ = 19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-13=b$

Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2-3x_3=-13$.