Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+5x_2+5x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 5=21$
$16+0+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=21$ |-16
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2-4x_3=32$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-8)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|0|5\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$41=b$

Mit b = 41 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+8x_3=41$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 18\\ 3\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+18\cdot \mathrm{a}+3\cdot 6=0$
$18+\mathrm{a\; \cdot \; 18}+18=0$ |-36
18a = -36 | :18
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 4+18\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-3)}$ = -69
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-2x_2+6x_3=14$.