Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2+3x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5=-47$
$-10+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-47$ |+22
5a = -25 | :5
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2-3x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+5
1a = 5 | :1
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|4\right)$ in E: $5x_1+4x_2+x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2+x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+6\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 6}+\mathrm{(-75)}=0$ |+78
6a = 78 | :6
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+13x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot 3+6\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -17
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-73=b$

Mit b = -73 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+13x_2+15x_3=-73$.