Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+5x_2=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 1=-22$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+2=-22$ |+14
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2-x_3=-11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -24\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-24)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+24=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-24x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-4|-1\right)$ in E: $4x_1+2x_2-24x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-24x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot \mathrm{a}=0$
$3+12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-6x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5+5\cdot 5$ = 17
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-39=b$

Mit b = -39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-6x_2-3x_3=-39$.