Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-5x_3=30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 3=2$
$-3+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=2$ |+7
3a = 9 | :3
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2-x_3=-12$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot 2+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+16
-1a = 16 | :(-1)
a = -16

Für a = -16 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+5x_2-16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-5|1\right)$ in E: $4x_1+5x_2-16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-53=b$

Mit b = -53 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2-16x_3=-53$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 13\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 13 = -26.

Für a = -26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-26x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-26x_2-4x_3=112$ , d.h. für b = 112 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 112, also z.B.: b = 113 setzen.