Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2+3x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 0=22$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0=22$ |-20
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2-2x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+12
-1a = 12 | :(-1)
a = -12

Für a = -12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|-5\right)$ in E: $+4x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$80=b$

Mit b = 80 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2-12x_3=80$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 25\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 25 = -50.

Für a = -50 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1-50x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1-50x_2-6x_3=120$ , d.h. für b = 120 sind die beiden Ebenen identisch.