Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2+x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-4)}=-4$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-8)}=-4$ |+10
-2a = 6 | :(-2)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2-x_3=30$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(4|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=8 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=8 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|-3\right)$ in E: $-5x_1+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+10x_3=-35$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 9\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 9 = 18.

Für a = 18 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+18x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+18x_2+6x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -12, also z.B.: b = -11 setzen.