Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2+5x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-27$
$-12+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-27$ |+15
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 2+4\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$4+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-12
-1a = -12 | :(-1)
a = 12

Für a = 12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+2x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-4|3\right)$ in E: $2x_1+2x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+2x_2+12x_3=18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+6x_2-6x_3=-60$ , d.h. für b = -60 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -60, also z.B.: b = -59 setzen.