Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-5x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1=-16$
$-5+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-16$ |+17
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+3x_3=-30$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$16+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-1|-1\right)$ in E: $-4x_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+5x_2+11x_3=-28$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 4 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-4x_2-4x_3=-28$ , d.h. für b = -28 sind die beiden Ebenen identisch.