Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-x_3=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 5=6$
$-1+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=6$ |+9
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2+2x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -12\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+12=0$ |-12
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-3|3\right)$ in E: $4x_1+2x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-46=b$

Mit b = -46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-12x_3=-46$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ -1\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 13 = -39.

Für a = -39 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-39x_1+3x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-39x_1+3x_2-15x_3=18$ , d.h. für b = 18 sind die beiden Ebenen identisch.