Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-3x_3=-28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot 4=28$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+4=28$ |-16
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2=-26$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+10+10=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|4|4\right)$ in E: $-4x_1+2x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-52=b$

Mit b = -52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+2x_2-10x_3=-52$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $9x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $9x_1-3x_2+6x_3=48$ , d.h. für b = 48 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 48, also z.B.: b = 49 setzen.