Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: x 1 +3 x 2 +3 x 3 = 0 ist und die den Punkt P(4|-5|-2) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 1 3 3 ) und damit die Form E: x 1 +3 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|-5|-2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

1 4 +3 ( - 5 ) +3 ( - 2 ) = d

4-15-6 = d

-17 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: x 1 +3 x 2 +3 x 3 = -17 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(5|-3|1) auf der Ebene E: 4 x 1 + x 2 +a x 3 = 22 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

45 + 1(-3) + a1 = 22
20+(-3)+a ⋅ 1 = 22 |-17
1a = 5 | :1
a = 5

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 1 -2 -3 ) +t ( 3 5 2 ) ist und die den Punkt P(-4|1|1) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 3 5 2 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-4|1|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

3 ( - 4 ) +5 1 +2 1 = d

-12+5+2 = d

-5 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 3 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = -5 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -3 x 1 +9 x 3 = 4 ?

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Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x1 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x2-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x2-Achse

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist und den Punkt (3|3|1) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 1 0 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form x 1 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(3|3|1) in diese Gleichung erhält man
d = 13 + 03 + 01=3
also: x 1 = 3

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 3 -3 3 ) + r ( -7 0 4 ) + s ( -4 0 -6 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x2-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x2 = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) .)

E ist also parallel zur x1-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x2-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x2=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x1-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( 4 -4 1 ) +t ( 5 1 -1 ) komplett in der Ebene E: - x 1 +a x 2 -6 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 5 1 -1 ) ( -1 a -6 ) = 0

5(-1) + 1a + (-1)(-6) = 0
-5+a ⋅ 1+6 = 0 |-1
1a = -1 | :1
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: - x 1 - x 2 -6 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (4|-4|1).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (4|-4|1) in E: - x 1 - x 2 -6 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-1 4 -1 ( - 4 ) -6 1 = b

-4+4-6 = b

-6 = b

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: - x 1 - x 2 -6 x 3 = -6 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: x 1 - x 2 + x 3 = -3 und F: a x 1 + x 2 - x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( a 1 -1 ) = t⋅ ( 1 -1 1 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: - x 1 + x 2 - x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: - x 1 + x 2 - x 3 = 3 , d.h. für b = 3 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 3, also z.B.: b = 4 setzen.