Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2-5x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=9$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+4+10=9$ |-14
-5a = -5 | :(-5)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+5x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 3$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-8)}=0$ |-0
-2a = 0 | :(-2)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|-1\right)$ in E: $-2x_1+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+8x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ =0

$10\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-6)}+1\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 10}+\mathrm{(-18)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+20
10a = 20 | :10
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $10\cdot 4+3\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-4)}$ = 36
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-6x_2-2x_3=16$.