Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2-3x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=34$
$4+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=34$ |-14
-4a = 20 | :(-4)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-2x_3=0$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|2|2\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -26\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-26)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-6)}+26=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-3x_2-26x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-3|0\right)$ in E: $-4x_1-3x_2-26x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-3x_2-26x_3=21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+1\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+3+75=0$ |-78
13a = -78 | :13
a = -6

Für a = -6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+3x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = -20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+3x_2-15x_3=30$.