Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 4+5\cdot 4=36$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+20=36$ |-16
4a = 20 | :4
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-x_2+4x_3=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 4+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-5)}=0$ |+20
4a = 20 | :4
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|1|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|1|1\right)$ in E: $-5x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+5x_2+5x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 41\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 12+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+41\cdot \mathrm{a}=0$
$48+75+\mathrm{a\; \cdot \; 41}=0$ |-123
41a = -123 | :41
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1-15x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0+41\cdot \mathrm{(-1)}$ = -49
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1-15x_2-3x_3=-21$.