Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2+2x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+5\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 5=-7$
$-12+0+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-7$ |+12
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2+3x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=2 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+10+\mathrm{(-7)}=0$ |-3
1a = -3 | :1
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-1|5\right)$ in E: $-3x_1-5x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$55=b$

Mit b = 55 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+7x_3=55$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 2+2\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+8=0$ |-10
2a = -10 | :2
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-3)}$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$7=b$

Mit b = 7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-5x_2+4x_3=7$.