Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+5x_3=-22$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=48$
$20+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=48$ |-23
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2=-12$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -9\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-5)}+9=0$ |-4
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-9x_3=-34$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 5 = 10.

Für a = 10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+2x_2+10x_3=-4$ , d.h. für b = -4 sind die beiden Ebenen identisch.