Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+x_2-2x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 1=-10$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-15)}+\mathrm{(-5)}=-10$ |+20
5a = 10 | :5
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_3=4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ a\\ 15\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 15=0$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-15)}=0$ |+20
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-4x_2+15x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-4|4\right)$ in E: $5x_1-4x_2+15x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$101=b$

Mit b = 101 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-4x_2+15x_3=101$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{a}+3\cdot 6=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+18=0$ |-26
2a = -26 | :2
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1-13x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 1$ = -3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$79=b$

Mit b = 79 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-13x_2+6x_3=79$.