Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-18$
$4+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-18$ |+2
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2+5x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 24\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+4\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 24=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+4+\mathrm{(-24)}=0$ |+20
4a = 20 | :4
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+x_2+24x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-5|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-5|0\right)$ in E: $5x_1+x_2+24x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+x_2+24x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 3 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+6x_2-6x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -12, also z.B.: b = -11 setzen.