Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$23=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2+4x_3=23$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 4+5\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=16$
$4+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=16$ |-4
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2+3x_3=24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot 3+0\cdot 4$=1
also: $\mathrm{}{x}_1=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-2|0\right)$ in E: $4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$26=b$

Mit b = 26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-2x_3=26$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 10\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 9+10\cdot \mathrm{a}=0$
$-3+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 10}=0$ |+30
10a = 30 | :10
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+10\cdot 5$ = 63
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-24=b$

Mit b = -24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+9x_2+3x_3=-24$.