Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2-2x_3=-33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 1=-18$
$-3+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-18$ |+19
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+4x_2+5x_3=-24$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$15+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|0|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|0|0\right)$ in E: $3x_1-5x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2=-12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+1\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+2+32=0$ |-34
2a = -34 | :2
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-17x_1+2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = 10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$83=b$

Mit b = 83 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-17x_1+2x_2-8x_3=83$.