Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2-x_3=-4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5=-14$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-20)}=-14$ |+18
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_3=-18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 5+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-4x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|4|-3\right)$ in E: $5x_1-4x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-4x_2-10x_3=-6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 10\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 8+10\cdot \mathrm{a}=0$
$8+32+\mathrm{a\; \cdot \; 10}=0$ |-40
10a = -40 | :10
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+8x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 4+4\cdot 3+10\cdot \mathrm{(-2)}$ = -16
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+8x_2-4x_3=16$.