Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=-6$
$3+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=-6$ |+12
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+3x_3=18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|1|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=3 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|1|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-20+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+30
-1a = 30 | :(-1)
a = -30

Für a = -30 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+5x_2-30x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|-1\right)$ in E: $5x_1+5x_2-30x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$60=b$

Mit b = 60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+5x_2-30x_3=60$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+4\cdot \mathrm{a}=0$
$12+48+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=0$ |-60
4a = -60 | :4
a = -15

Für a = -15 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-12x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4+4\cdot 3$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-117=b$

Mit b = -117 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-12x_2-15x_3=-117$.