Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-x_3=15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-16$
$-4+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-16$ |+6
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-3x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+21
-1a = 21 | :(-1)
a = -21

Für a = -21 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2-21x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|-5\right)$ in E: $-5x_1-4x_2-21x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$69=b$

Mit b = 69 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2-21x_3=69$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 15\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}+15\cdot \mathrm{a}+2\cdot 6=0$
$48+\mathrm{a\; \cdot \; 15}+12=0$ |-60
15a = -60 | :15
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-12x_1-4x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+15\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-1)}$ = -61
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$62=b$

Mit b = 62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-12x_1-4x_2+6x_3=62$.