Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|0|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_2+3x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+5\cdot 5+2\cdot 3=37$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+25+6=37$ |-31
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2=20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 3+5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$3+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-13
-1a = -13 | :(-1)
a = 13

Für a = 13 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+2x_2+13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$ in E: $3x_1+2x_2+13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-43=b$

Mit b = -43 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+2x_2+13x_3=-43$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-9)}+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$-27+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}=0$ |+39
3a = 39 | :3
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+13x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot 5$ = 2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+13x_2+6x_3=-28$.