Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_3=45$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-1)}=-23$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-3)}=-23$ |-2
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2-3x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-2)}+6=0$ |-4
4a = -4 | :4
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-6x_3=-10$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$18+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+32=0$ |-50
5a = -50 | :5
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-10x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5$ = -43
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-10x_2-8x_3=-6$.