Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-2x_2-x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3=15$
$8+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=15$ |-0
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+3x_3=13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅1=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 3+0\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$15+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-15
-1a = -15 | :(-1)
a = 15

Für a = 15 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+5x_2+15x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|2|-4\right)$ in E: $3x_1+5x_2+15x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-56=b$

Mit b = -56 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2+15x_3=-56$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$20\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+2\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 20}+32+8=0$ |-40
20a = -40 | :20
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-8x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $20\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-4)}$ = -112
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-14=b$

Mit b = -14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-8x_2+4x_3=-14$.