Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2+5x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-13$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-12)}+3=-13$ |+9
2a = -4 | :2
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_2-3x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -13\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-13)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-15)}+13=0$ |+2
1a = 2 | :1
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-5x_2-13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-1|5\right)$ in E: $2x_1-5x_2-13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-5x_2-13x_3=-62$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2-2x_3=16$ , d.h. für b = 16 sind die beiden Ebenen identisch.