Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|0|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-3x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=-10$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+8=-10$ |-10
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+x_3=17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}+6=0$ |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|1|4\right)$ in E: $2x_1-3x_2-6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2-6x_3=-35$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+4\cdot 8+32\cdot \mathrm{a}=0$
$32+32+\mathrm{a\; \cdot \; 32}=0$ |-64
32a = -64 | :32
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+8x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 5+4\cdot 3+32\cdot 1$ = 24
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+8x_2-2x_3=-18$.