Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+x_3=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 5=1$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-12)}+15=1$ |-3
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_3=-20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$20+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-40
-1a = -40 | :(-1)
a = 40

Für a = 40 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1+4x_2+40x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|-5\right)$ in E: $-4x_1+4x_2+40x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-180=b$

Mit b = -180 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+4x_2+40x_3=-180$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -6\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-5)}\cdot 15=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-75)}=0$ |+87
3a = 87 | :3
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $29x_1-6x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 0+2\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1$ = 5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $29x_1-6x_2+15x_3=-15$.