Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+2x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-40$
$5+\mathrm{(-20)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-40$ |+15
-5a = -25 | :(-5)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+3x_2-3x_3=32$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$5+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+11=0$ |-16
-4a = -16 | :(-4)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|4|2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2-11x_3=-2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{a}+2\cdot 6+5\cdot 15=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+12+75=0$ |-87
3a = -87 | :3
a = -29

Für a = -29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-29x_1+6x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-4)}+5\cdot 0$ = -5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-53=b$

Mit b = -53 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-29x_1+6x_2+15x_3=-53$.