Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-22$
$-4+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-22$ |+2
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+5x_3=-40$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 1+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 16=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+10+\mathrm{(-16)}=0$ |+6
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-2x_2+16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|5|1\right)$ in E: $-2x_1-2x_2+16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-2x_2+16x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 13\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 13 = 39.

Für a = 39 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+39x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+39x_2+9x_3=-33$ , d.h. für b = -33 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -33, also z.B.: b = -32 setzen.