Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2-2x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 2=5$
$16+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=5$ |-7
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-5x_3=10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$10+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-12
-1a = -12 | :(-1)
a = 12

Für a = 12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|2|4\right)$ in E: $-2x_1-x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$38=b$

Mit b = 38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-x_2+12x_3=38$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}15\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ =0

$5\cdot 15+3\cdot 9+3\cdot \mathrm{a}=0$
$75+27+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |-102
3a = -102 | :3
a = -34

Für a = -34 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $15x_1+9x_2-34x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-4)}$ = -42
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$46=b$

Mit b = 46 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $15x_1+9x_2-34x_3=46$.