Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2+4x_3=-21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=-4$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+3=-4$ |+7
1a = 3 | :1
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2-3x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-1|-5\right)$ in E: $+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$18=b$

Mit b = 18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+2x_2-4x_3=18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}34\\ -5\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 2 ⋅ 34 = 68.

Für a = 68 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $68x_1-10x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $68x_1-10x_2+6x_3=-102$ , d.h. für b = -102 sind die beiden Ebenen identisch.