Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$44=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+2x_2-4x_3=44$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}=-6$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-10)}=-6$ |+10
2a = 4 | :2
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_2+3x_3=0$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-1+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|5|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|5|-5\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$48=b$

Mit b = 48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2-5x_3=48$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 13\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-6)}+13\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-12+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-27)}=0$ |+39
13a = 39 | :13
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-5)}+13\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-2)}$ = 23
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$57=b$

Mit b = 57 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+3x_2-9x_3=57$.