Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 3=-7$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}=-7$ |+13
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2-3x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 0+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|1|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|1|0\right)$ in E: $-2x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_2-8x_3=-2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 10 = 30.

Für a = 30 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $30x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $30x_1-3x_2+9x_3=-105$ , d.h. für b = -105 sind die beiden Ebenen identisch.