Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-5x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=-9$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+2=-9$ |+13
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2+2x_3=9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|4|2\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 0+5\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-2|-3\right)$ in E: $+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-34=b$

Mit b = -34 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+2x_2+10x_3=-34$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ -10\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 8+5\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$-32+\mathrm{(-50)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |+82
2a = 82 | :2
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1-10x_2+41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 4$ = -24
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$228=b$

Mit b = 228 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1-10x_2+41x_3=228$.