Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_2=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 2=-10$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+4=-10$ |+6
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-2x_3=13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$-15+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+10=0$ |+5
5a = 5 | :5
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|0|5\right)$ in E: $-3x_1+x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-44=b$

Mit b = -44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+x_2-10x_3=-44$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+8+8=0$ |-16
2a = -16 | :2
a = -8

Für a = -8 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-52=b$

Mit b = -52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1+4x_2-4x_3=-52$.