Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-2x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+3\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 5=-8$
$0+12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-8$ |-12
5a = -20 | :5
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+3x_3=-20$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+17
-1a = 17 | :(-1)
a = -17

Für a = -17 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-3x_2-17x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-2|-2\right)$ in E: $-2x_1-3x_2-17x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$44=b$

Mit b = 44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-3x_2-17x_3=44$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-16)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+17
1a = 17 | :1
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1+4x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2$ = 2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-74=b$

Mit b = -74 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1+4x_2-x_3=-74$.