Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-3x_2=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot 0=-6$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}+0=-6$ |+1
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+2x_2-3x_3=-39$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+0\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+0+2=0$ |-2
2a = -2 | :2
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-2|2\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-2x_3=-3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 13\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot \mathrm{(-9)}+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+39
13a = 39 | :13
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+13\cdot \mathrm{(-5)}$ = -82
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1-9x_2+3x_3=36$.