Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2+x_3=19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 2+\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot 3=7$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+3=7$ |-5
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-x_3=-17$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+4\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0+8=0$ |-8
4a = -8 | :4
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|2\right)$ in E: $-2x_1-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-8x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -8\\ -10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+32+50=0$ |-82
2a = -82 | :2
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-41x_1-8x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot 1$ = -11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-247=b$

Mit b = -247 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-41x_1-8x_2-10x_3=-247$.