Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+4x_2-2x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 2=-10$
$-3+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-10$ |+6
2a = -4 | :2
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 16\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 16=0$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-16)}=0$ |+12
-4a = 12 | :(-4)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-3x_2+16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|4|-1\right)$ in E: $4x_1-3x_2+16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-3x_2+16x_3=-16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ a\\ 15\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ =0

$4\cdot 12+3\cdot \mathrm{a}+5\cdot 15=0$
$48+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+75=0$ |-123
3a = -123 | :3
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1-41x_2+15x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $4\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-4)}$ = -27
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-31=b$

Mit b = -31 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1-41x_2+15x_3=-31$.