Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-4x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-2)}=-1$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+0+\mathrm{(-6)}=-1$ |+6
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+x_3=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -26\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-26)}=0$
$-20+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+26=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-26x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-5|1\right)$ in E: $4x_1+2x_2-26x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-56=b$

Mit b = -56 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-26x_3=-56$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}41\\ -4\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 41 = -41.

Für a = -41 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-41x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-41x_1+4x_2-5x_3=-128$ , d.h. für b = -128 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -128, also z.B.: b = -127 setzen.