Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-4x_2-3x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 5=-7$
$-25+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+15=-7$ |+10
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2+4x_3=-6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-5)}+11=0$ |-6
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|3|1\right)$ in E: $2x_1-x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-x_2-11x_3=-12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 17\\ -5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-3)}+17\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=0$
$-9+\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-25)}=0$ |+34
17a = 34 | :17
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 4+17\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 3$ = 48
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+2x_2+5x_3=9$.