Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2-4x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-3)}=-2$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}=-2$ |+4
2a = 2 | :2
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-x_3=-19$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 5\\ -21\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-21)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-15)}+21=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+5x_2-21x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|5|1\right)$ in E: $3x_1+5x_2-21x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+5x_2-21x_3=-5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 13\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+13\cdot \mathrm{a}=0$
$-18+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; 13}=0$ |+26
13a = 26 | :13
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+13\cdot \mathrm{(-4)}$ = -57
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+4x_2+2x_3=2$.