Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2-2x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 1=13$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+1=13$ |-4
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_2+4x_3=-10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|4|3\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -2 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -2 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$8+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-17
-1a = -17 | :(-1)
a = 17

Für a = 17 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2+17x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-3|-5\right)$ in E: $-2x_1+3x_2+17x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-104=b$

Mit b = -104 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2+17x_3=-104$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 8\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+4\cdot 8+5\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+32+50=0$ |-82
2a = -82 | :2
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-41x_1+8x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 4+4\cdot 0+5\cdot 1$ = 13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-154=b$

Mit b = -154 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-41x_1+8x_2+10x_3=-154$.