Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = -36 ist und die den Punkt P(-2|-1|-5) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -2 3 5 ) und damit die Form E: -2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d .

Da der Punkt P(-2|-1|-5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 ( - 2 ) +3 ( - 1 ) +5 ( - 5 ) = d

4-3-25 = d

-24 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = -24 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(-3|2|-5) auf der Ebene E: a x 1 +2 x 2 + x 3 = 11 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

a(-3) + 22 + 1(-5) = 11
a ⋅ (-3)+4+(-5) = 11 |+1
-3a = 12 | :(-3)
a = -4

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -5 0 -4 ) +t ( -2 0 -4 ) ist und die den Punkt P(-3|-4|-3) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( -2 0 -4 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: -2 x 1 -4 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|-4|-3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 ( - 3 ) -4 ( - 3 ) = d

6+0+12 = d

18 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -2 x 1 -4 x 3 = 18 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -2 x 1 = 6 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( -2 0 0 ) , er steht also senkrecht auf der x2-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x2-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x2-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x3-Achse ist und den Punkt (4|2|3) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x3-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x3-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x2 einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a0 + b0 + cx3=d zu x3= d c umformen und würde einen Spurpunkt mit der x3-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x3 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + b⋅x2=d.

Punkt P(4|2|3) eingesetzt:
a⋅4 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x2=6 ist also eine zur x3-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(4|2|3) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 0 7 8 ) + r ( 0 4 6 ) + s ( 0 7 -5 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x1-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x1 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) .)

E ist also die x2-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x1-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x1=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x2-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( 4 3 -2 ) +t ( 0 3 -1 ) komplett in der Ebene E: -3 x 1 +a x 2 -6 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 0 3 -1 ) ( -3 a -6 ) = 0

0(-3) + 3a + (-1)(-6) = 0
0+a ⋅ 3+6 = 0 |-6
3a = -6 | :3
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -3 x 1 -2 x 2 -6 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (4|3|-2).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (4|3|-2) in E: -3 x 1 -2 x 2 -6 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-3 4 -2 3 -6 ( - 2 ) = b

-12-6+12 = b

-6 = b

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -3 x 1 -2 x 2 -6 x 3 = -6 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 3 x 1 +13 x 2 +2 x 3 = -43 und F: -6 x 1 +a x 2 -4 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( -6 a -4 ) = t⋅ ( 3 13 2 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 13 = -26.

Für a = -26 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: -6 x 1 -26 x 2 -4 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: -6 x 1 -26 x 2 -4 x 3 = 86 , d.h. für b = 86 sind die beiden Ebenen identisch.