Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+x_2-5x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-33$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-25)}=-33$ |+21
3a = -12 | :3
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-4x_2-3x_3=28$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 3+1\cdot 4$=4
also: $+x_3=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$15+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-12
-1a = -12 | :(-1)
a = 12

Für a = 12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|0|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|0|2\right)$ in E: $-3x_1-x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2+12x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 8=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-32)}=0$ |+34
2a = 34 | :2
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $17x_1+2x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$ = 7
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-35=b$

Mit b = -35 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $17x_1+2x_2+8x_3=-35$.