Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-x_2=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 4+4\cdot 0=31$
$15+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0=31$ |-15
4a = 16 | :4
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-2x_3=-21$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 4$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-16)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+16
-1a = 16 | :(-1)
a = -16

Für a = -16 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2-16x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|1\right)$ in E: $+4x_2-16x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-28=b$

Mit b = -28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2-16x_3=-28$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 13\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+13\cdot \mathrm{a}+3\cdot 6=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 13}+18=0$ |-26
13a = -26 | :13
a = -2

Für a = -2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+13\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 3$ = 0
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-2x_2+6x_3=28$.