Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-50=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-3x_2-3x_3=-50$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 3=-14$
$-2+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=-14$ |+8
3a = -6 | :3
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+3x_3=28$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$12+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-4
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|1|3\right)$ in E: $3x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+4x_2+4x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+10
5a = 10 | :5
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}$ = -15
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+4x_2+2x_3=-18$.