Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-2x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=-20$
$-20+5+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-20$ |+15
1a = -5 | :1
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-45=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_3=-45$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+0+\mathrm{(-6)}=0$ |+6
2a = 6 | :2
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|1\right)$ in E: $3x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2+6x_3=-15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ -12\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}20\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ =0

$20\cdot \mathrm{a}+2\cdot 6+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 20}+12+48=0$ |-60
20a = -60 | :20
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-3x_1+6x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $20\cdot 0+2\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$66=b$

Mit b = 66 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+6x_2-12x_3=66$.