Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2-4x_3=2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 3+1\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 3=-15$
$-12+3+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=-15$ |+9
3a = -6 | :3
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2-5x_3=27$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|2\right)$ eingesetzt:
b⋅3 + c⋅2=d

b=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=5 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$5+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|3|-4\right)$ in E: $-5x_1-2x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-50=b$

Mit b = -50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2+11x_3=-50$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ 8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 8=0$
$-50+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-32)}=0$ |+82
2a = 82 | :2
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1+41x_2+8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4$ = -36
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-153=b$

Mit b = -153 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1+41x_2+8x_3=-153$.