Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-3x_2+x_3=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-4)}=-11$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-4)}=-11$ |-4
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2-5x_3=11$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ -28\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-28)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-20)}+28=0$ |-8
-2a = -8 | :(-2)
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-5x_2-28x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-2|3\right)$ in E: $4x_1-5x_2-28x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-62=b$

Mit b = -62 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-5x_2-28x_3=-62$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}20\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 20 = -40.

Für a = -40 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-40x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-40x_1-4x_2-8x_3=52$ , d.h. für b = 52 sind die beiden Ebenen identisch.