Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2-3x_3=25$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=0$
$3+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=0$ |+1
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+5x_2-2x_3=16$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 4$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-9+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+19
-1a = 19 | :(-1)
a = -19

Für a = -19 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2-19x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-1|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-1|2\right)$ in E: $-3x_1-2x_2-19x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-36=b$

Mit b = -36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2-19x_3=-36$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+9x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+9x_2-9x_3=-24$ , d.h. für b = -24 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -24, also z.B.: b = -23 setzen.