Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|2|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+3x_3=12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 4=-11$
$-20+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; 4}=-11$ |+23
4a = 12 | :4
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-2x_3=18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 2$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -13\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-13)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+12+13=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|5|2\right)$ in E: $-5x_1-3x_2-13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-41=b$

Mit b = -41 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-3x_2-13x_3=-41$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -9\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-9x_2+3x_3=-24$ , d.h. für b = -24 sind die beiden Ebenen identisch.