Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2+5x_3=-13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 0=-5$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0=-5$ |+3
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2-x_3=-10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-16+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+14
-1a = 14 | :(-1)
a = -14

Für a = -14 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-14x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|-5|4\right)$ in E: $4x_1+2x_2-14x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-70=b$

Mit b = -70 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-14x_3=-70$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-2x_1-x_2-x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-2x_1-x_2-x_3=5$ , d.h. für b = 5 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 5, also z.B.: b = 6 setzen.