Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2-5x_3=-21$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=12$
$15+\mathrm{(-5)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=12$ |-10
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|1|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+4x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 13\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 13=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-13)}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-2x_2+13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|5|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|5|-2\right)$ in E: $5x_1-2x_2+13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-2x_2+13x_3=-16$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 9\\ -3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 10 = 30.

Für a = 30 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $30x_1+9x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $30x_1+9x_2-3x_3=-102$ , d.h. für b = -102 sind die beiden Ebenen identisch.