Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 3=20$
$4+10+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=20$ |-14
3a = 6 | :3
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2-2x_3=30$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$10+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+5=0$ |-15
3a = -15 | :3
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|3\right)$ in E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2-5x_3=5$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$-16+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}=0$ |+17
1a = 17 | :1
a = 17

Für a = 17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+17x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 4+1\cdot 4$ = 20
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$52=b$

Mit b = 52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+17x_2-x_3=52$.