Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_2+2x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-5)}=-25$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-15)}=-25$ |+13
4a = -12 | :4
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-1|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+2x_3=-13$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+10
-1a = 10 | :(-1)
a = -10

Für a = -10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|-4|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|-4|-3\right)$ in E: $5x_1-3x_2-10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$17=b$

Mit b = 17 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1-3x_2-10x_3=17$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -10\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ =0

$10\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+5\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 10}+50+50=0$ |-100
10a = -100 | :10
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-10x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $10\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 2+5\cdot \mathrm{(-3)}$ = -25
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-50=b$

Mit b = -50 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-10x_2+10x_3=-50$.