Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+4x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-30=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2-3x_3=-30$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+4\cdot 0+2\cdot 3=7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0+6=7$ |-6
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-3x_2+3x_3=-17$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-9
-1a = -9 | :(-1)
a = 9

Für a = 9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-1|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-1|-3\right)$ in E: $2x_1-3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-24=b$

Mit b = -24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+9x_3=-24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot 10+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 4=0$
$-50+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-8)}=0$ |+58
2a = 58 | :2
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $10x_1+29x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}$ = 5
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-175=b$

Mit b = -175 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $10x_1+29x_2+4x_3=-175$.