Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-37=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+x_2+4x_3=-37$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 0+4\cdot 1=-8$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+4=-8$ |-4
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-4x_3=2$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|3|4\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 2+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-3)}=0$ |+1
1a = 1 | :1
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-5|2\right)$ in E: $2x_1+x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-7=b$

Mit b = -7 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+x_2+3x_3=-7$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+2
2a = 2 | :2
a = 1

Für a = 1 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $\mathrm{}{x}_1+x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot 3+1\cdot 4$ = 11
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-x_3=4$.