Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-5x_2-x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot 0=-18$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-10)}+0=-18$ |+10
4a = -8 | :4
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+x_2+2x_3=6$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-5)}+5=0$ |-0
-2a = 0 | :(-2)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-5|-1\right)$ in E: $-x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$10=b$

Mit b = 10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-x_2-5x_3=10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1-3x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1-3x_2+3x_3=6$ , d.h. für b = 6 sind die beiden Ebenen identisch.