Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-x_2-4x_3=-15$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=8$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+9+\mathrm{(-2)}=8$ |-7
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2+2x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|4\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + c⋅4=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 4+1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-4+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+2
-1a = 2 | :(-1)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-3|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-3|-2\right)$ in E: $4x_1+2x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+2x_2-2x_3=2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ =0

$1\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{a}=0$
$3+3+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-4)}$ = -2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_2-3x_3=30$.