Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+2x_3=4$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{a}\cdot 2=-11$
$4+\mathrm{(-25)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-11$ |+21
2a = 10 | :2
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-3x_2+2x_3=-22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ -14\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-14)}=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+14=0$ |-12
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2-14x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|1|-1\right)$ in E: $-2x_1+3x_2-14x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$23=b$

Mit b = 23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2-14x_3=23$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 4 = -8.

Für a = -8 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-10x_1-8x_2-2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-10x_1-8x_2-2x_3=28$ , d.h. für b = 28 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 28, also z.B.: b = 29 setzen.