Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-2x_2-2x_3=-6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=-2$
$0+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=-2$ |+6
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-2x_3=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+10+\mathrm{(-7)}=0$ |-3
1a = -3 | :1
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-5|2\right)$ in E: $-3x_1-5x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$24=b$

Mit b = 24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2+7x_3=24$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-5\\ a\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0$
$-25+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-1)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-5x_1+13x_2-x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot 3+2\cdot 2+1\cdot 3$ = 22
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+13x_2-x_3=8$.