Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2+3x_3=8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}=-9$
$-5+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-6)}=-9$ |+11
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|3|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2+5x_3=6$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ a\\ 3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-3)}=0$ |-1
1a = -1 | :1
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|-5|4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2+3x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+2\cdot \mathrm{a}+1\cdot 2=0$
$32+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+2=0$ |-34
2a = -34 | :2
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-17x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-3)}$ = 13
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-16=b$

Mit b = -16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-17x_2+2x_3=-16$.