Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+\mathrm{a}\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-1)}=11$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-1)}=11$ |+1
3a = 12 | :3
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|2|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+5x_3=-10$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 4+0\cdot 4$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|0|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|0|-3\right)$ in E: $-3x_1-5x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-5x_2-8x_3=12$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}8\\ a\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 17\\ -1\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 8+17\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$-32+\mathrm{a\; \cdot \; 17}+\mathrm{(-2)}=0$ |+34
17a = 34 | :17
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $8x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 0+17\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 5$ = 29
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$14=b$

Mit b = 14 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $8x_1+2x_2+2x_3=14$.