Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-x_2=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}=23$
$20+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+15=23$ |-35
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2=18$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 12\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 12=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-12)}=0$ |+12
3a = 12 | :3
a = 4

Für a = 4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+4x_2+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|4|3\right)$ in E: $+4x_2+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$52=b$

Mit b = 52 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+4x_2+12x_3=52$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+2x_2-4x_3=2$ , d.h. für b = 2 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 2, also z.B.: b = 3 setzen.