Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1-x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+3x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+3\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 0=-7$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+3+0=-7$ |-3
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+2x_2+5x_3=-21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ 20\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 20=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-20)}=0$ |+20
-5a = 20 | :(-5)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_2+20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-1|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-1|4|4\right)$ in E: $-4x_2+20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$64=b$

Mit b = 64 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_2+20x_3=64$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 2 = -6.

Für a = -6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1-6x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1-6x_2-3x_3=9$ , d.h. für b = 9 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 9, also z.B.: b = 10 setzen.