Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+3x_3=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=-4$
$-2+2+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-4$ |-0
1a = -4 | :1
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+3x_2+x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 3+0\cdot 3$=3
also: $+x_2=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$3+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-13
-1a = -13 | :(-1)
a = 13

Für a = 13 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+13x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|3|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|3|0\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+13x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-10=b$

Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-2x_2+13x_3=-10$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}13\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 13 = -13.

Für a = -13 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-13x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-13x_1-3x_2+2x_3=38$ , d.h. für b = 38 sind die beiden Ebenen identisch.