Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-27=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=-27$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=27$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+10=27$ |-22
5a = 5 | :5
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-x_2+2x_3=-4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+25+\mathrm{(-5)}=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|3\right)$ in E: $-5x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$15=b$

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-5x_2+5x_3=15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}26\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ =0

$26\cdot \mathrm{a}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 26}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-50)}=0$ |+52
26a = 52 | :26
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1-2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $26\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}$ = 107
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-2x_2+10x_3=2$.