Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+4x_2=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 5+5\cdot 1=8$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+5=8$ |-13
5a = -5 | :5
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|5|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-3x_3=25$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|4\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0=0$ |-12
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|1|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|1|-2\right)$ in E: $3x_1+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+3x_2=6$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ 2\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 6+5\cdot \mathrm{a}+1\cdot 2=0$
$18+\mathrm{a\; \cdot \; 5}+2=0$ |-20
5a = -20 | :5
a = -4

Für a = -4 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 3+5\cdot 1+1\cdot \mathrm{(-5)}$ = 9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-4x_2+2x_3=4$.