Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+5x_2+4x_3=25$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}=3$
$\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-3)}+3=3$ |-0
3a = 3 | :3
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+4x_2+5x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 4$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$9+\mathrm{(-3)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|4|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|4|-2\right)$ in E: $-3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-3x_2+6x_3=-15$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}48\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 48 = -144.

Für a = -144 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-144x_1+12x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-144x_1+12x_2-12x_3=240$ , d.h. für b = 240 sind die beiden Ebenen identisch.