Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-26=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2+2x_3=-26$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 2=-11$
$-3+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=-11$ |+9
2a = -2 | :2
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-4|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_3=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0$
$-20+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+\mathrm{(-5)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|3\right)$ in E: $-4x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-9=b$

Mit b = -9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2+5x_3=-9$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ -10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 50\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 50 = 100.

Für a = 100 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1+100x_2-10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1+100x_2-10x_3=90$ , d.h. für b = 90 sind die beiden Ebenen identisch.