Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2+3x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4=1$
$3+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-4)}=1$ |+1
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-3x_3=-2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-10+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+4
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Für a = -4 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-3|-4\right)$ in E: $-2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$5=b$

Mit b = 5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+3x_2-4x_3=5$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 8 = -16.

Für a = -16 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-16x_1-4x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-16x_1-4x_2+4x_3=-88$ , d.h. für b = -88 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -88, also z.B.: b = -87 setzen.