Aufgabenbeispiele von Ebenen bestimmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: 3 x 1 + x 2 = 8 ist und die den Punkt P(3|5|1) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 3 1 0 ) und damit die Form E: 3 x 1 + x 2 = d .

Da der Punkt P(3|5|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

3 3 +1 5 = d

9+5+0 = d

14 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 3 x 1 + x 2 = 14 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(2|3|3) auf der Ebene E: a x 1 -4 x 2 +2 x 3 = -2 ?

Lösung einblenden

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

a2 + (-4)3 + 23 = -2
a ⋅ 2+(-12)+6 = -2 |+6
2a = 4 | :2
a = 2

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 5 0 -3 ) +t ( -5 -5 -1 ) ist und die den Punkt P(-1|1|-5) enthält.

Lösung einblenden

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( -5 -5 -1 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: -5 x 1 -5 x 2 - x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|1|-5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-5 ( - 1 ) -5 1 -1 ( - 5 ) = d

5-5+5 = d

5 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -5 x 1 -5 x 2 - x 3 = 5 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -4 x 1 -7 x 2 = 1 ?

Lösung einblenden

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x1 und x2 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x3-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x3-Achse

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist und den Punkt (1|1|3) beinhaltet.

Lösung einblenden

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 1 0 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form x 1 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(1|1|3) in diese Gleichung erhält man
d = 11 + 01 + 03=1
also: x 1 = 1

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 8 -8 -2 ) + r ( 7 9 -3 ) + s ( 2 0 0 ) ?

Lösung einblenden

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja ( 2 0 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x1-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x1-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x1-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 2 0 0 ) ( 0 b c ) =0 .

Also E: +b x 2 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x2 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x1-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( -2 -1 1 ) +t ( 2 4 -1 ) komplett in der Ebene E: 5 x 1 +a x 3 = b liegt.

Lösung einblenden

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 2 4 -1 ) ( 5 0 a ) = 0

25 + 40 + (-1)a = 0
10+0+a ⋅ (-1) = 0 |-10
-1a = -10 | :(-1)
a = 10

Für a = 10 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: 5 x 1 +10 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-2|-1|1).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-2|-1|1) in E: 5 x 1 +10 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

5 ( - 2 ) +10 1 = b

-10+0+10 = b

0 = b

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 5 x 1 +10 x 3 = 0 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 2 x 1 +13 x 2 -3 x 3 = 12 und F: 6 x 1 +a x 2 -9 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(5|-1|-5) enthalten.

Lösung einblenden

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( 6 a -9 ) ( 2 13 -3 ) =0

26 + 13a + (-3)(-9) = 0
12+a ⋅ 13+27 = 0 |-39
13a = -39 | :13
a = -3

Für a = -3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: 6 x 1 -3 x 2 -9 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn 25 + 13(-1) + (-3)(-5) = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

6 5 -3 ( - 1 ) -9 ( - 5 ) = b

30+3+45 = b

78 = b

Mit b = 78 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 6 x 1 -3 x 2 -9 x 3 = 78 .