Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-3x_2+x_3=13$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=4$
$4+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+4=4$ |-8
2a = -4 | :2
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2+3x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 1$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 4 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 4 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+\mathrm{(-4)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-2
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-5\right)$ in E: $-2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$4=b$

Mit b = 4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+4x_2+2x_3=4$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-15\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 15\end{array}\right)$ =0

$5\cdot \mathrm{(-15)}+5\cdot \mathrm{(-15)}+15\cdot \mathrm{a}=0$
$-75+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 15}=0$ |+150
15a = 150 | :15
a = 10

Für a = 10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-15x_1-15x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 3+15\cdot \mathrm{(-1)}$ = -25
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$20=b$

Mit b = 20 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-15x_1-15x_2+10x_3=20$.