Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2-5x_3=17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 5=17$
$-1+3+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=17$ |-2
5a = 15 | :5
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+4x_2-x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|2|4\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅4=d

b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=6 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|4\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 1+4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+0=0$ |+4
4a = 4 | :4
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-5|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-5|2\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+x_2=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+4\cdot 12+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+48+12=0$ |-60
2a = -60 | :2
a = -30

Für a = -30 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-30x_1+12x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 2+4\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 3$ = 2
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-66=b$

Mit b = -66 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-30x_1+12x_2-6x_3=-66$.