Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-33=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+3x_2-4x_3=-33$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-4$
$-20+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-4$ |+29
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-5x_2-2x_3=-9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|1|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 1$=1
also: $+x_3=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+15+\mathrm{(-7)}=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|2|2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|2|2\right)$ in E: $2x_1-3x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+7x_3=8$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 6+\mathrm{(-2)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-18)}+\mathrm{(-8)}=0$ |+26
2a = 26 | :2
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $13x_1+6x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 2$ = -18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$19=b$

Mit b = 19 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $13x_1+6x_2+4x_3=19$.