Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2-x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1=-3$
$-15+15+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=-3$ |-0
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-x_2-5x_3=-14$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 4+0\cdot 1$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 27\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 27=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+2+\mathrm{(-27)}=0$ |+25
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-x_2+27x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|2|3\right)$ in E: $-5x_1-x_2+27x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$79=b$

Mit b = 79 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-x_2+27x_3=79$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 18\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 18 = -54.

Für a = -54 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-9x_1+9x_2-54x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-9x_1+9x_2-54x_3=45$ , d.h. für b = 45 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 45, also z.B.: b = 46 setzen.