Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2+2x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{a}\cdot 1=19$
$-4+25+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=19$ |-21
1a = -2 | :1
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$16=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-3x_2=16$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-25+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+23
-1a = 23 | :(-1)
a = -23

Für a = -23 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-2x_2-23x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|1\right)$ in E: $-5x_1-2x_2-23x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$0=b$

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-2x_2-23x_3=0$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ =0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 1=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}=0$ |+2
1a = 2 | :1
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $2x_1+x_2+x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $1\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}$ = 4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$8=b$

Mit b = 8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+x_2+x_3=8$.