Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_3=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 2+5\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=23$
$-2+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=23$ |-8
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2+2x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 1+0\cdot 2$=4
also: $\mathrm{}{x}_1=4$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+5\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+20+5=0$ |-25
5a = -25 | :5
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$ in E: $-5x_1+4x_2-5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-2=b$

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+4x_2-5x_3=-2$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-10\\ a\\ -8\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-10)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$50+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+32=0$ |-82
2a = -82 | :2
a = -41

Für a = -41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-10x_1-41x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2$ = 9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$198=b$

Mit b = 198 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-10x_1-41x_2-8x_3=198$.