Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+5x_3=32$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=19$
$25+\mathrm{(-9)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=19$ |-16
-3a = 3 | :(-3)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+2x_2+2x_3=-14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|4|1\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=7 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|4|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 14\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+3\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 14=0$
$-1+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-14)}=0$ |+15
3a = 15 | :3
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+14x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|4|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|4|4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+14x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$77=b$

Mit b = 77 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+14x_3=77$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+10x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+10x_2+4x_3=-52$ , d.h. für b = -52 sind die beiden Ebenen identisch.