Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+5x_2=-10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=12$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+4+4=12$ |-8
-1a = 4 | :(-1)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+3x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-8)}+\mathrm{(-2)}=0$ |+10
-2a = 10 | :(-2)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|1|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|1|-5\right)$ in E: $-5x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-29=b$

Mit b = -29 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1-4x_2+2x_3=-29$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ 10\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 29\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 29 = -58.

Für a = -58 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-4x_1-58x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-4x_1-58x_2+10x_3=266$ , d.h. für b = 266 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 266, also z.B.: b = 267 setzen.