Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-4x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-4x_2+2x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-2)}=-8$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-4)}=-8$ |+2
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$20=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+4x_2=20$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(2|2|3\right)$ eingesetzt:
a⋅2 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=4 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -23\end{array}\right)$ = 0

$5\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-23)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 5}+\mathrm{(-8)}+23=0$ |-15
5a = -15 | :5
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+4x_2-23x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-1|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-1|4\right)$ in E: $-3x_1+4x_2-23x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-96=b$

Mit b = -96 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+4x_2-23x_3=-96$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ =0

$3\cdot 9+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-15)}+6\cdot \mathrm{a}=0$
$27+75+\mathrm{a\; \cdot \; 6}=0$ |-102
6a = -102 | :6
a = -17

Für a = -17 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1-15x_2-17x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot 2+6\cdot 0$ = -1
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-3=b$

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1-15x_2-17x_3=-3$.