Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2+4x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3=3$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-8)}+9=3$ |-1
1a = 2 | :1
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+x_3=-5$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|2|3\right)$ eingesetzt:
a⋅4 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=7 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|2|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -7\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 1+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}=0$
$1+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+7=0$ |-8
-4a = -8 | :(-4)
a = 2

Für a = 2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|-2|-4\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$21=b$

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-7x_3=21$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+8=0$ |-10
2a = -10 | :2
a = -5

Für a = -5 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 5+2\cdot 0$ = 12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-21=b$

Mit b = -21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2+4x_3=-21$.