Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2-2x_3=14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}=10$
$-3+8+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=10$ |-5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1+x_2=-4$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(1|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=2 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=2 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 1+2\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$1+10+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|3|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|3|-3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-23=b$

Mit b = -23 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+11x_3=-23$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -12\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 15\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 15 = 45.

Für a = 45 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+45x_2-12x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+45x_2-12x_3=-144$ , d.h. für b = -144 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -144, also z.B.: b = -143 setzen.