Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-4|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$38=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+5x_3=38$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$4\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=15$
$16+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+8=15$ |-24
3a = -9 | :3
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+2x_2+3x_3=7$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ 15\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot 15=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+0+\mathrm{(-15)}=0$ |+15
-5a = 15 | :(-5)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+4x_2+15x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-5|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-5|4\right)$ in E: $-3x_1+4x_2+15x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$40=b$

Mit b = 40 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+4x_2+15x_3=40$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -3 ⋅ 8 = -24.

Für a = -24 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-24x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-24x_1+6x_2-6x_3=-114$ , d.h. für b = -114 sind die beiden Ebenen identisch.