Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-5x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-4x_2-5x_3=-2$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 5=51$
$25+1+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=51$ |-26
5a = 25 | :5
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-21=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-2x_2+x_3=-21$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|2|1\right)$ eingesetzt:
b⋅2 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=3 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=3 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|2|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ a\\ -4\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0$
$2+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+4=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|4|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|4|5\right)$ in E: $2x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-8=b$

Mit b = -8 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1+3x_2-4x_3=-8$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-12\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-12x_1-9x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-12x_1-9x_2-9x_3=-99$ , d.h. für b = -99 sind die beiden Ebenen identisch.