Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|0|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$0=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2+2x_3=0$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}=-12$
$-2+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}=-12$ |+2
-5a = -10 | :(-5)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_2+5x_3=25$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|4|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 4+0\cdot 2$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer -3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = -3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$2+3+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $2x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|-4|-1\right)$ in E: $2x_1-3x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$9=b$

Mit b = 9 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $2x_1-3x_2+5x_3=9$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}13\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ =0

$13\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-3)}\cdot 9+\mathrm{(-2)}\cdot 6=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 13}+\mathrm{(-27)}+\mathrm{(-12)}=0$ |+39
13a = 39 | :13
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $13\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 0$ = 50
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$60=b$

Mit b = 60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+9x_2+6x_3=60$.