Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 0+4\cdot \mathrm{(-5)}=-10$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+0+\mathrm{(-20)}=-10$ |+20
-2a = 10 | :(-2)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-x_2-x_3=9$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 4\\ -15\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-15)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+0+15=0$ |-15
-3a = -15 | :(-3)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+4x_2-15x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|-3\right)$ in E: $5x_1+4x_2-15x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$39=b$

Mit b = 39 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+4x_2-15x_3=39$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot 12+5\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-48+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+123
3a = 123 | :3
a = 41

Für a = 41 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $12x_1-15x_2+41x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+5\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 2$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$130=b$

Mit b = 130 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $12x_1-15x_2+41x_3=130$.