Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-8=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-5x_3=-8$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+1\cdot 2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}=18$
$0+2+\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}=18$ |-2
-4a = 16 | :(-4)
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|3|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$15=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2-5x_3=15$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|1|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅3=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=6 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -24\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-24)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-4)}+24=0$ |-20
4a = -20 | :4
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-5x_1+x_2-24x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|2|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|2|3\right)$ in E: $-5x_1+x_2-24x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-70=b$

Mit b = -70 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-5x_1+x_2-24x_3=-70$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 6+2\cdot \mathrm{a}=0$
$8+18+\mathrm{a\; \cdot \; 2}=0$ |-26
2a = -26 | :2
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-4x_1+6x_2-13x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 5+3\cdot 3+2\cdot 5$ = 9
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-67=b$

Mit b = -67 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1+6x_2-13x_3=-67$.