Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $4x_1+4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-4|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2-x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 4+3\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-5)}=-15$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+12+\mathrm{(-15)}=-15$ |+3
4a = -12 | :4
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-35=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+5x_2+x_3=-35$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|2|2\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=5 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|2|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer -7 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = -7 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-8+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-4|-1\right)$ in E: $4x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-4x_2-8x_3=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-9\\ 15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 17\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-9)}+5\cdot 15+17\cdot \mathrm{a}=0$
$27+75+\mathrm{a\; \cdot \; 17}=0$ |-102
17a = -102 | :17
a = -6

Für a = -6 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-9x_1+15x_2-6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot 1+5\cdot \mathrm{(-4)}+17\cdot \mathrm{(-1)}$ = -40
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-63=b$

Mit b = -63 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-9x_1+15x_2-6x_3=-63$.