Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|3|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2+2x_3=-9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-4)}=-17$
$-6+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-12)}=-17$ |+18
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|2|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1+4x_2+4x_3=36$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3$=3
also: $+x_3=3$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$2+4+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|3|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|3|-4\right)$ in E: $-2x_1+x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-15=b$

Mit b = -15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2+6x_3=-15$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot 4+2\cdot \mathrm{a}+3\cdot 6=0$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+18=0$ |-26
2a = -26 | :2
a = -13

Für a = -13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1-13x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 0$ = -10
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$48=b$

Mit b = 48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-13x_2+6x_3=48$.