Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-5x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-1|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_2+x_3=-5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-2$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+1=-2$ |-10
3a = -12 | :3
a = -4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1-5x_2-3x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 9 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 9 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -2\\ -12\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-12)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-6)}+12=0$ |-6
2a = -6 | :2
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-2x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|-2|-4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|-2|-4\right)$ in E: $-3x_1-2x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$37=b$

Mit b = 37 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-2x_2-12x_3=37$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ -15\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 6+5\cdot \mathrm{(-15)}+29\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-75)}+\mathrm{a\; \cdot \; 29}=0$ |+87
29a = 87 | :29
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $6x_1-15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot 3+5\cdot \mathrm{(-1)}+29\cdot 1$ = 18
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$36=b$

Mit b = 36 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $6x_1-15x_2+3x_3=36$.