Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-x_2-2x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 3=-2$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+2+\mathrm{(-3)}=-2$ |+1
1a = -1 | :1
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1+5x_2+2x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₂-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₂-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₃ einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_2=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>b</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₂-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x₂ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(3|3|1\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + c⋅1=d

a=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₃=4 ist also eine zur x₂-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|1\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$3\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$12+\mathrm{(-15)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+3
-1a = 3 | :(-1)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|1|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|1|-3\right)$ in E: $4x_1+5x_2-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$30=b$

Mit b = 30 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+5x_2-3x_3=30$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 6 = 18.

Für a = 18 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $18x_1+3x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $18x_1+3x_2-9x_3=-51$ , d.h. für b = -51 sind die beiden Ebenen identisch.