Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-24=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+4x_3=-24$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot 1+1\cdot 1=-6$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+1=-6$ |+3
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|4|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-11=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-5x_2=-11$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 2$=2
also: $+x_3=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$12+15+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-27
-1a = -27 | :(-1)
a = 27

Für a = 27 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-5x_2+27x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|1|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|1|3\right)$ in E: $-4x_1-5x_2+27x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$76=b$

Mit b = 76 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-5x_2+27x_3=76$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 15\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}26\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ =0

$26\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 15+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 26}+\mathrm{(-75)}+\mathrm{(-3)}=0$ |+78
26a = 78 | :26
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1+15x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $26\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot 4$ = -4
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$12=b$

Mit b = 12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+15x_2+3x_3=12$.