Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+5x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 5=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+\mathrm{(-6)}+5=0$ |+1
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-2x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-2x_2=-1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 3+0\cdot 2+0\cdot 3$=3
also: $\mathrm{}{x}_1=3$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ a\\ -2\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0$
$0+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+2=0$ |-2
2a = -2 | :2
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|0|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|0|-2\right)$ in E: $-4x_1-x_2-2x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-4=b$

Mit b = -4 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_1-x_2-2x_3=-4$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 17\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 17 = 34.

Für a = 34 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-8x_1+2x_2+34x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-8x_1+2x_2+34x_3=-32$ , d.h. für b = -32 sind die beiden Ebenen identisch.