Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|0|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2+4x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{a}\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-1)}=12$
$-1+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-2)}=12$ |+3
3a = 15 | :3
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-4x_2-x_3=7$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(1|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-5
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-3|-5\right)$ in E: $3x_1-5x_2+5x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-22=b$

Mit b = -22 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-5x_2+5x_3=-22$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -2 ⋅ 5 = -10.

Für a = -10 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-10x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-10x_1+2x_2-4x_3=32$ , d.h. für b = 32 sind die beiden Ebenen identisch.