Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|0|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$19=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+5x_3=19$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 3+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}=4$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; (-5)}+15=4$ |-24
-5a = -20 | :(-5)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|-2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-39=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+5x_3=-39$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 8 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 8 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 0=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+0=0$ |-0
-4a = 0 | :(-4)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $+3x_2=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|5\right)$ in E: $+3x_2=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$6=b$

Mit b = 6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $+3x_2=6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=5$ , d.h. für b = 5 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 5, also z.B.: b = 6 setzen.