Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-2x_2-3x_3=-1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 4+\mathrm{a}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-2)}=-15$
$8+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-8)}=-15$ |-0
3a = -15 | :3
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-4|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2-2x_3=3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = 0

$1\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+3+\mathrm{(-4)}=0$ |+1
1a = 1 | :1
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+4x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(5|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(5|5|3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+4x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$2=b$

Mit b = 2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2+4x_3=2$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ a\\ -9\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 9\\ -3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 9 = 27.

Für a = 27 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $9x_1+27x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $9x_1+27x_2-9x_3=216$ , d.h. für b = 216 sind die beiden Ebenen identisch.