Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-4x_1-x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|4|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2-5x_3=9$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-38$
$\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-12)}+\mathrm{(-16)}=-38$ |+28
2a = -10 | :2
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $3x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-3|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-x_2-x_3=9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 2$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$6+5+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-11
-1a = -11 | :(-1)
a = 11

Für a = 11 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1+x_2+11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|1|-1\right)$ in E: $-2x_1+x_2+11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-6=b$

Mit b = -6 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1+x_2+11x_3=-6$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.

Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $\mathrm{-}{x}_1+2x_2-3x_3=-12$ , d.h. für b = -12 sind die beiden Ebenen identisch.