Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|1|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+3x_2=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot 1+3\cdot 5+3\cdot 2=26$
$\mathrm{a\; \cdot \; 1}+15+6=26$ |-21
1a = 5 | :1
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-4|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$2=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-2x_2+2x_3=2$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(3|3|3\right)$ eingesetzt:
a⋅3 + b⋅3=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=6 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(3|3|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer -6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = -6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ -3\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0$
$-3+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+3=0$ |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-3x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(0|-4|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(0|-4|-1\right)$ in E: $3x_1-3x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$3=b$

Mit b = 3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-3x_3=3$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}9\\ a\\ -9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-3)}\cdot 9+3\cdot \mathrm{a}+3\cdot \mathrm{(-9)}=0$
$-27+\mathrm{a\; \cdot \; 3}+\mathrm{(-27)}=0$ |+54
3a = 54 | :3
a = 18

Für a = 18 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $9x_1+18x_2-9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-4)}$ = 6
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$117=b$

Mit b = 117 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $9x_1+18x_2-9x_3=117$.