Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|4|3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-40=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-5x_3=-40$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 2=-27$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}=-27$ |+7
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+4x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$4=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+4x_2-2x_3=4$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₃-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₃-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₁ und x₂ einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_3=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>c</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₃-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x₃ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x₁ + b⋅x₂=d.

Punkt P$\left(1|4|2\right)$ eingesetzt:
a⋅1 + b⋅4=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₁ + x₂=5 ist also eine zur x₃-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(1|4|2\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-2)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+14
-1a = 14 | :(-1)
a = -14

Für a = -14 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+x_2-14x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|-3|-5\right)$ in E: $3x_1+x_2-14x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$76=b$

Mit b = 76 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+x_2-14x_3=76$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-8\\ a\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-8)}+4\cdot \mathrm{a}+2\cdot 4=0$
$32+\mathrm{a\; \cdot \; 4}+8=0$ |-40
4a = -40 | :4
a = -10

Für a = -10 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-8x_1-10x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-4)}\cdot 3+4\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-4)}$ = -12
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-60=b$

Mit b = -60 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-8x_1-10x_2+4x_3=-60$.