Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $2x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(0|-1|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1-5x_2-2x_3=1$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 0=-11$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+\mathrm{(-8)}+0=-11$ |+8
-1a = -3 | :(-1)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+4x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$32=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+4x_2=32$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|4|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 2+1\cdot 4+0\cdot 1$=4
also: $+x_2=4$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -1\\ 10\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot 10=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-10)}=0$ |+12
4a = 12 | :4
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|0|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|0|0\right)$ in E: $3x_1-x_2+10x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-12=b$

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-x_2+10x_3=-12$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 6\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-3x_1+9x_2+6x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-3x_1+9x_2+6x_3=33$ , d.h. für b = 33 sind die beiden Ebenen identisch.