Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1+3x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|5|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2=3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 1+4\cdot 5+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=37$
$2+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=37$ |-22
-3a = 15 | :(-3)
a = -5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(1|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2+x_3=14$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|2\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 2$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ a\\ 12\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot 3+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 12=0$
$12+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-12)}=0$ |-0
2a = 0 | :2
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-3|2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-3|2|-3\right)$ in E: $3x_1+12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-45=b$

Mit b = -45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+12x_3=-45$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -12\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 3 = 9.

Für a = 9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $9x_1-12x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $9x_1-12x_2+3x_3=42$ , d.h. für b = 42 sind die beiden Ebenen identisch.