Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|2|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-x_2-4x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{a}\cdot 5=-7$
$9+\mathrm{(-6)}+\mathrm{a\; \cdot \; 5}=-7$ |-3
5a = -10 | :5
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|2|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1+3x_2-2x_3=10$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(3|2|1\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot 1$=2
also: $+x_2=2$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+\mathrm{(-12)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+12
-1a = 12 | :(-1)
a = -12

Für a = -12 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-4x_2-12x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-5|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-5|-2\right)$ in E: $-4x_2-12x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$44=b$

Mit b = 44 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-4x_2-12x_3=44$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = -1 ⋅ 5 = -5.

Für a = -5 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-5x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-5x_1-3x_2+4x_3=-16$ , d.h. für b = -16 sind die beiden Ebenen identisch.