Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|0|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-12=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-2x_3=-12$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+5\cdot 4=10$
$-4+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+20=10$ |-16
-3a = -6 | :(-3)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-4x_1-x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-9=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-4x_1-x_2+x_3=-9$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -4\\ 24\end{array}\right)$ = 0

$4\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 24=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 4}+20+\mathrm{(-24)}=0$ |+4
4a = 4 | :4
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+24x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|5|3\right)$ in E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+24x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$48=b$

Mit b = 48 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{}{x}_1-4x_2+24x_3=48$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}4\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ =0

$\mathrm{(-2)}\cdot 4+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$-8+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-50)}=0$ |+58
2a = 58 | :2
a = 29

Für a = 29 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $4x_1+29x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4$ = -14
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-5=b$

Mit b = -5 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+29x_2+10x_3=-5$.