Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-3x_1-3x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(2|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-3x_2-5x_3=5$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-2)}=1$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+8+\mathrm{(-2)}=1$ |-6
-1a = -5 | :(-1)
a = 5

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-3x_1-4x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$1=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-3x_1-4x_2-5x_3=1$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₂-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₂-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₂-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|2|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₂-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₂ = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₂-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₂=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 3+5\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-20
-1a = -20 | :(-1)
a = 20

Für a = 20 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $3x_1+4x_2+20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|1|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|1|-1\right)$ in E: $3x_1+4x_2+20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-31=b$

Mit b = -31 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1+4x_2+20x_3=-31$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 29\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -1 ⋅ 29 = -29.

Für a = -29 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1-5x_2-29x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1-5x_2-29x_3=92$ , d.h. für b = 92 sind die beiden Ebenen identisch.