Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|-4|-4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$6=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+4x_2-4x_3=6$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-5)}=-12$
$6+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+\mathrm{(-20)}=-12$ |+14
-2a = 2 | :(-2)
a = -1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|3|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-5=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+x_2-2x_3=-5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot 5+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+9+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-9
-1a = -9 | :(-1)
a = 9

Für a = 9 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $5x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|2|0\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|2|0\right)$ in E: $5x_1+3x_2+9x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$16=b$

Mit b = 16 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $5x_1+3x_2+9x_3=16$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ 10\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}3\\ 34\\ -5\end{array}\right)$ =0

$3\cdot \mathrm{(-6)}+34\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-5)}\cdot 10=0$
$-18+\mathrm{a\; \cdot \; 34}+\mathrm{(-50)}=0$ |+68
34a = 68 | :34
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+2x_2+10x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $3\cdot 1+34\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 4$ = 51
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$38=b$

Mit b = 38 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+2x_2+10x_3=38$.