Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|1|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_2-4x_3=-18$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 1=3$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}+2+3=3$ |-5
-1a = -2 | :(-1)
a = 2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$36=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-2x_2-x_3=36$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $+x_2=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₁-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₁-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₁-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $+\mathrm{b}{x}_2+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-5)}\cdot 4+0\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-20+0+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+20
-1a = 20 | :(-1)
a = -20

Für a = -20 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1+x_2-20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-2|-5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-2|-5|3\right)$ in E: $4x_1+x_2-20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-73=b$

Mit b = -73 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1+x_2-20x_3=-73$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ a\\ -15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ 5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 29 = -87.

Für a = -87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1-87x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1-87x_2-15x_3=66$ , d.h. für b = 66 sind die beiden Ebenen identisch.