Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-2|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1-5x_2+3x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 1=-17$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+\mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}=-17$ |+5
-3a = -12 | :(-3)
a = 4

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|5|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-60=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1-5x_2-5x_3=-60$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_2=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(4|1|4\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 4$=1
also: $+x_2=1$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ a\end{array}\right)$ = 0

$0\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$0+6+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |-6
-1a = -6 | :(-1)
a = 6

Für a = 6 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(1|5|3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(1|5|3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+6x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$32=b$

Mit b = 32 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2+6x_3=32$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}10\\ a\\ -8\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $10x_1-4x_2-8x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $10x_1-4x_2-8x_3=18$ , d.h. für b = 18 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 18, also z.B.: b = 19 setzen.