Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-7=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-7$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{a}\cdot 1=10$
$12+1+\mathrm{a\; \cdot \; 1}=10$ |-13
1a = -3 | :1
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|3|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $2x_1+3x_2+5x_3=22$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0$=0
also: $\mathrm{}{x}_1=0$

1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₃-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₃-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₃-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{b}{x}_2=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₁ und x₂ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₃-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₃-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ a\\ 7\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot 7=0$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-7)}=0$ |-2
2a = -2 | :2
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(2|5|-1\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(2|5|-1\right)$ in E: $-3x_1-x_2+7x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-18=b$

Mit b = -18 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1-x_2+7x_3=-18$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ a\\ -15\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ -5\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 29 = 87.

Für a = 87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $-6x_1+87x_2-15x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $-6x_1+87x_2-15x_3=-150$ , d.h. für b = -150 sind die beiden Ebenen identisch.