Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ und damit die Form E: $5x_1+5x_2=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-3|5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$10=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $5x_1+5x_2=10$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$2\cdot 1+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-3)}=28$
$2+20+\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}=28$ |-22
-3a = 6 | :(-3)
a = -2

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1-5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|5|1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-25=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1-5x_2-5x_3=-25$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x₁-x₃-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x₂-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x₂-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x₂-Koordinate den Wert 0 haben, denn
$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ c\end{array}\right)$ =0 .

Also E: $\mathrm{a}{x}_1+\mathrm{c}{x}_3=\mathrm{d}$

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₃ und x₁ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₂-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₂-Achse

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ a\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-8)}+\mathrm{a\; \cdot \; (-1)}=0$ |+20
-1a = 20 | :(-1)
a = -20

Für a = -20 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $4x_1-2x_2-20x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|-2\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|-2\right)$ in E: $4x_1-2x_2-20x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$28=b$

Mit b = 28 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $4x_1-2x_2-20x_3=28$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 17\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -2 ⋅ 17 = -34.

Für a = -34 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $2x_1+8x_2-34x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $2x_1+8x_2-34x_3=-80$ , d.h. für b = -80 sind die beiden Ebenen identisch.