Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-5|-3|-5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-14=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1+3x_2+3x_3=-14$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-22$
$-10+\mathrm{a\; \cdot \; 2}+\mathrm{(-6)}=-22$ |+16
2a = -6 | :2
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-2x_1-5x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-2|-5|4\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$13=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-4x_3=13$.

Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x₂ und x₃ gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x₁-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x₁-Achse

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $+x_3=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = $0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0$=0
also: $+x_3=0$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₁-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₁ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₁-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₁=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₂-x₃-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -3\\ -11\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+\mathrm{(-15)}+11=0$ |+4
-4a = 4 | :(-4)
a = -1

Für a = -1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-11x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(4|-2|4\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(4|-2|4\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-11x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$-42=b$

Mit b = -42 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1-3x_2-11x_3=-42$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ a\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+2x_2+4x_3=-6$ , d.h. für b = -6 sind die beiden Ebenen identisch.