Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $+x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-4|-5|-3\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-17=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $+x_2+4x_3=-17$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{a}\cdot 1+4\cdot 0=10$
$9+\mathrm{a\; \cdot \; 1}+0=10$ |-9
1a = 1 | :1
a = 1

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $4x_1+5x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(3|-2|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$22=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $4x_1+5x_3=22$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(4|4|3\right)$ eingesetzt:
b⋅4 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=7 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=7 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(4|4|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 1 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 1 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ -5\\ 8\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{a}+0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot 8=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+0+\mathrm{(-8)}=0$ |+8
-4a = 8 | :(-4)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-2x_1-5x_2+8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-4|-2|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-4|-2|5\right)$ in E: $-2x_1-5x_2+8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$58=b$

Mit b = 58 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-2x_1-5x_2+8x_3=58$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ a\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ =0

$2\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-3)}\cdot 9+3\cdot \mathrm{a}=0$
$-12+\mathrm{(-27)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=0$ |+39
3a = 39 | :3
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $-6x_1+9x_2+13x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $2\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 3+3\cdot \mathrm{(-4)}$ = -19
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$-31=b$

Mit b = -31 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-6x_1+9x_2+13x_3=-31$.