Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und damit die Form E: $3x_1-2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-2|-1\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $3x_1-2x_2+4x_3=-3$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2=-3$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-4)}+15+\mathrm{(-6)}=-3$ |-9
-4a = -12 | :(-4)
a = 3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $-5x_1+3x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(5|5|2\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-18=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-5x_1+3x_2-4x_3=-18$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₃-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₃-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₃-Ebene.

Da die gesuchte Ebende parallel zur x₁-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x₁-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x₂ und x₃ einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja zu $x_1=\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow><mi>d</mi></mrow>\; <mrow><mi>a</mi></mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}$ umformen und würde einen Spurpunkt mit der x₁-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x₁ muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x₂ + c⋅x₃=d.

Punkt P$\left(2|1|3\right)$ eingesetzt:
b⋅1 + c⋅3=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x₂ + x₃=4 ist also eine zur x₁-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P$\left(2|1|3\right)$ liegt.

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}a\\ 3\\ 18\end{array}\right)$ = 0

$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{a}+3\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 18=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; (-3)}+9+\mathrm{(-18)}=0$ |+9
-3a = 9 | :(-3)
a = -3

Für a = -3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $-3x_1+3x_2+18x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(-5|0|5\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(-5|0|5\right)$ in E: $-3x_1+3x_2+18x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$105=b$

Mit b = 105 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $-3x_1+3x_2+18x_3=105$.

Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}a\\ -15\\ 9\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}34\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ =0

$34\cdot \mathrm{a}+5\cdot \mathrm{(-15)}+\mathrm{(-3)}\cdot 9=0$
$\mathrm{a\; \cdot \; 34}+\mathrm{(-75)}+\mathrm{(-27)}=0$ |+102
34a = 102 | :34
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: $3x_1-15x_2+9x_3=\mathrm{b}$.

P liegt immer in E, denn $34\cdot 5+5\cdot 0+\mathrm{(-3)}\cdot 2$ = 164
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

$33=b$

Mit b = 33 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $3x_1-15x_2+9x_3=33$.