Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot (-4)-1\cdot 0\\ 1\cdot (-6)-4\cdot (-4)\\ 4\cdot 0-1\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-0\\ -6-(-16)\\ 0-(-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 10\\ 6\end{array}\right)$ = 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-38|-2|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-38)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1+5x_2+3x_3=60$

Wir nehmen den Ortsvektor des ersten Punkts als Stützvektor. Die Verbindungsvektoren zwischen 1. und 2. bzw. zwischen 1. und 3. Punkt bilden die beiden Spannvektoren. Die Parametergleichung der Ebene ist also:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -31\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 32\end{array}\right)$.
Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 32-9\cdot (-6)\\ 9\cdot 1-(-3)\cdot 32\\ -3\cdot (-6)-(-3)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-(-54)\\ 9-(-96)\\ 18-(-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42\\ 105\\ 21\end{array}\right)$ = 21⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|3|-31\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 2+5\cdot 3+1\cdot \mathrm{(-31)}$
also:

$-2x_1+5x_2+x_3=-20$

Wir nehmen den Stützvektor der Geraden als Stützvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden als einen Spannvektor. Als anderen Spannvektor nehmen wir den Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt und dem Aufpunkt der Geraden:
$\left(\begin{array}{c}43\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ - $\left(\begin{array}{c}30\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 5\\ 8\end{array}\right)$

Wir erhalten so also eine Parametergleichung der Ebene: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}30\\ -3\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ 5\\ 8\end{array}\right)$

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ 5\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 8-2\cdot 5\\ 2\cdot 13-(-2)\cdot 8\\ -2\cdot 5-3\cdot 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-10\\ 26-(-16)\\ -10-39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ 42\\ -49\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 7\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(30|-3|-6\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 30+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$-2x_1-6x_2+7x_3=-84$

Wir nehmen den Stützvektor der einen Geraden als Stützvektor der Ebene und den Richtungsvektor der gleichen Geraden als einen Spannvektor. Den Richtungsvektor der anderen Geraden können wir leider nicht als weiteren Spannvektor nehmen, da dieser ja in die gleiche Richtung zeigt wie der der anderen Geraden. Der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte $\left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ liegt aber auch in der Ebene, die von den beiden parallelen Geraden aufgespannt wird. Deswegen nehmen wir diesen als zweiten Spannvektor:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-13\\ 1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}15\\ -3\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 2\end{array}\right)$
Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}15\\ -3\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\cdot 2-4\cdot (-3)\\ 4\cdot 9-15\cdot 2\\ 15\cdot (-3)-(-3)\cdot 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-(-12)\\ 36-30\\ -45-(-27)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ = 6⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-13|1|-2\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-13)}+1\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+x_2-3x_3=-6$

Wir nehmen den Stützvektor der Geraden als Stützvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden als einen Spannvektor. Als anderen Spannvektor nehmen wir den Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt und dem Aufpunkt der Geraden:
$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ - $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 19\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -10\end{array}\right)$

Wir erhalten so also eine Parametergleichung der Ebene: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 19\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -10\end{array}\right)$

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot (-10)-4\cdot 2\\ 4\cdot (-4)-0\cdot (-10)\\ 0\cdot 2-1\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10-8\\ -16-0\\ 0-(-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -16\\ 4\end{array}\right)$ = -2⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 8\\ -2\end{array}\right)$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $9x_1+8x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-2|19\right)$ erhält man
d = $9\cdot \mathrm{(-2)}+8\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 19$
also:

$9x_1+8x_2-2x_3=-72$