Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4}. Bestimme
B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 4} sind,
also B = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 5; 7; 10} und B = {5; 6}. Bestimme
A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 5; 7; 10} und B = {5; 6}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A und die Menge B bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 5; 7; 10} sind,
also A = {1; 3; 4; 6; 8; 9}

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={5; 6} sind,
also B = {1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A ={1; 3; 4; 6; 8; 9} oder in der Menge B ={1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {3; 6; 9; 12} und B = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}, die nicht in der Menge A={3; 6; 9; 12} sind,
also A = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}, die sowohl in der Menge A ={1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}, als auch in der Menge B={7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} sind,
also A B = {7; 8; 10; 11; 13; 14}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 3 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 3 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 6} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={3; 6} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also A B = {1; 2; 3; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 4 8 = 1 2

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 77 = 271

Somit gilt: H(A ∩ B) = 271 - 77 = 194

  B B  
A 19477271
A  135204
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 135 = 204

Somit gilt: H( A ∩ B) = 204 - 135 = 69

  B B  
A 19477271
A 69135204
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

194 + 69 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 194 + 69 = 263

  B B  
A 19477271
A 69135204
 263  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

77 + 135 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 77 + 135 = 212

  B B  
A 19477271
A 69135204
 263212 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

271 + 204 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 271 + 204 = 475

  B B  
A 19477271
A 69135204
 263212475

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,12 
A   0,81
  0,81

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.8 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.8 = 0.2

  B B  
A  0,12 
A   0,81
 0,20,81

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.12 + P( A B ) = 0.8

Somit gilt: P( A B ) = 0.8 - 0.12 = 0.68

  B B  
A  0,12 
A  0,680,81
 0,20,81

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.81 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.81 = 0.19

  B B  
A  0,120,19
A  0,680,81
 0,20,81

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.12 = 0.19

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.19 - 0.12 = 0.07

  B B  
A 0,070,120,19
A  0,680,81
 0,20,81

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.68 = 0.81

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.81 - 0.68 = 0.13

  B B  
A 0,070,120,19
A 0,130,680,81
 0,20,81

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 37 das Leistungsfach. 22 von den insgesamt 53 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 45 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
37  
A
(Jungs)
 2245
  53 

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
373168
A
(Jungs)
232245
 6053113

Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 113.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 57% der Befragten weiblich. Während 38% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 11%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,57
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,57
A
(männlich)
  0,43
   1
=0,57
weiblich
=0,43
männlich
=0,11
Fußballfan
kein Fan
=0,38
Fußballfan
kein Fan
=0,0627

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 11%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,570,11 = 0,0627
berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0627 0,57
A
(männlich)
  0,43
   1
=0,57
weiblich
=0,43
männlich
=0,11
Fußballfan
kein Fan
=0,38
Fußballfan
kein Fan
=0,0627
=0,1634

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 38%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,430,38 = 0,1634
berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0627 0,57
A
(männlich)
0,1634 0,43
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,06270,50730,57
A
(männlich)
0,16340,26660,43
 0,22610,77391

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.0627 0.2261


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2773 = 27.73%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 21% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 4,41% der Befragten. 45% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0441 0,21
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,04410,16590,21
A
(kein Fan)
  0,79
   1
=0,21
Fußballfan
=0,79
kein Fan
weiblich
männlich
weiblich
=0,45
männlich
=0,0441
=0,1659
=0,3555

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 45%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,790,45 = 0,3555
berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,04410,16590,21
A
(kein Fan)
 0,35550,79
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,04410,16590,21
A
(kein Fan)
0,43450,35550,79
 0,47860,52141

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4786 = 47.86%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 99162261
A 155154309
 254316570

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=254
=316
=x
=99
=155
=162
=154

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
316x = 162 = |:316
also
P B ( A ) = x = 162 316 ≈ 0,5127

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,030,250,28
A 0,340,380,72
 0,370,631

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,28
=0,72
=x
=0,03
=0,25
=0,34
=0,38

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,28x = 0,25 = |:0,28
also
P A ( B ) = x = 0,25 0,28 ≈ 0,8929

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 27% der Bevölkerung ausmacht, 41% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 26%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,27
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,27
A
(andere Partei)
  0,73
   1
=0,27
eigene Partei
=0,73
andere Partei
=0,41
zufrieden
unzufrieden
=0,26
zufrieden
unzufrieden
=0,1107

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 41%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,270,41 = 0,1107
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1107 0,27
A
(andere Partei)
  0,73
   1
=0,27
eigene Partei
=0,73
andere Partei
=0,41
zufrieden
unzufrieden
=0,26
zufrieden
unzufrieden
=0,1107
=0,1898

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 26%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,730,26 = 0,1898
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1107 0,27
A
(andere Partei)
0,1898 0,73
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,11070,15930,27
A
(andere Partei)
0,18980,54020,73
 0,30050,69951

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für A (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass B (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (eigene Partei) weiter.)

=0,3005
zufrieden
=0,6995
unzufrieden
=x
eigene Partei
andere Partei
eigene Partei
andere Partei
=0,1107
=0,1898
=0,1593
=0,5402

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,3005x = 0,1107 = |:0,3005
also
P B ( A ) = x = 0,1107 0,3005 ≈ 0,3684


Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,3684 = 36,84%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1400 Fahrräder verkauft. Davon waren 473 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 490 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 765 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  490
A
(kein E-Bike)
473  
  7651400

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
162328490
A
(kein E-Bike)
473437910
 6357651400

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1400. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1160,2340,35
A 0,3380,3120,65
 0,4540,5461

Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.454 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.116, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.454 = 0.1588 ≈ 0.159 ≠ 0.116 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,4292  
A    
 0,74 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.74 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.74 = 0.26

  B B  
A 0,4292  
A    
 0,740,261

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.74 = 0.4292 |: 0.74

somit gilt:

P ( A ) = 0.4292 0.74 = 0.58

  B B  
A 0,4292 0,58
A    
 0,740,261

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,42920,15080,58
A 0,31080,10920,42
 0,740,261