Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4}. Bestimme
.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={2; 4} sind,
also
= {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 5; 7; 10} und B = {5; 6}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 5; 7; 10} und B = {5; 6}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={2; 5; 7; 10} sind,
also
= {1; 3; 4; 6; 8; 9}
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={5; 6} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {3; 6; 9; 12} und B = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14},
die nicht in der Menge A={3; 6; 9; 12} sind,
also
= {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 8 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 3 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 3 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 6} und B = {1; 2; 3}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 77 = 271
Somit gilt: H(A ∩ B) = 271 - 77 = 194
| 194 | 77 | 271 | |
| 135 | 204 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 135 = 204
Somit gilt: H( ∩ B) = 204 - 135 = 69
| 194 | 77 | 271 | |
| 69 | 135 | 204 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
194 + 69 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 194 + 69 = 263
| 194 | 77 | 271 | |
| 69 | 135 | 204 | |
| 263 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
77 + 135 = H( )
Somit gilt: H( ) = 77 + 135 = 212
| 194 | 77 | 271 | |
| 69 | 135 | 204 | |
| 263 | 212 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
271 + 204 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 271 + 204 = 475
| 194 | 77 | 271 | |
| 69 | 135 | 204 | |
| 263 | 212 | 475 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
| 0,12 | |||
| 0,81 | |||
| 0,8 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.8 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.8 = 0.2
| 0,12 | |||
| 0,81 | |||
| 0,2 | 0,8 | 1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.12 + P( ∩ ) = 0.8
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.8 - 0.12 = 0.68
| 0,12 | |||
| 0,68 | 0,81 | ||
| 0,2 | 0,8 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.81 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.81 = 0.19
| 0,12 | 0,19 | ||
| 0,68 | 0,81 | ||
| 0,2 | 0,8 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.12 = 0.19
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.19 - 0.12 = 0.07
| 0,07 | 0,12 | 0,19 | |
| 0,68 | 0,81 | ||
| 0,2 | 0,8 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.68 = 0.81
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.81 - 0.68 = 0.13
| 0,07 | 0,12 | 0,19 | |
| 0,13 | 0,68 | 0,81 | |
| 0,2 | 0,8 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 37 das Leistungsfach. 22 von den insgesamt 53 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 45 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Mädchen
: nicht Mädchen, also Jungs
: Leistungsfach
: nicht Leistungsfach, also Basisfach
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | ||
|
(Jungs) | 22 | 45 | |
| 53 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 22 = 45
Somit gilt: H( ∩ B) = 45 - 22 = 23
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | ||
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 53 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
37 + 23 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 37 + 23 = 60
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | ||
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 60 | 53 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 22 = 53
Somit gilt: H(A ∩ ) = 53 - 22 = 31
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | 31 | |
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 60 | 53 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
37 + 31 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 37 + 31 = 68
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | 31 | 68 |
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 60 | 53 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
60 + 53 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 60 + 53 = 113
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | 31 | 68 |
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 60 | 53 | 113 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
|
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
|---|---|---|---|
|
(Mädchen) | 37 | 31 | 68 |
|
(Jungs) | 23 | 22 | 45 |
| 60 | 53 | 113 |
Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 113.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 57% der Befragten weiblich. Während 38% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 11%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
|---|---|---|---|
|
(weiblich) | 0,57 | ||
|
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
|---|---|---|---|
|
(weiblich) | 0,57 | ||
|
(männlich) | 0,43 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 11%, also
,
die Wahrscheinlichkeit
=
berechnen.
|
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
|---|---|---|---|
|
(weiblich) | 0,0627 | 0,57 | |
|
(männlich) | 0,43 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 38%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
|---|---|---|---|
|
(weiblich) | 0,0627 | 0,57 | |
|
(männlich) | 0,1634 | 0,43 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
|---|---|---|---|
|
(weiblich) | 0,0627 | 0,5073 | 0,57 |
|
(männlich) | 0,1634 | 0,2666 | 0,43 |
| 0,2261 | 0,7739 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2773 = 27.73%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 21% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 4,41% der Befragten. 45% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(weiblich) |
(männlich) | ||
|---|---|---|---|
|
(Fußballfan) | 0,0441 | 0,21 | |
|
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(weiblich) |
(männlich) | ||
|---|---|---|---|
|
(Fußballfan) | 0,0441 | 0,1659 | 0,21 |
|
(kein Fan) | 0,79 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 45%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(weiblich) |
(männlich) | ||
|---|---|---|---|
|
(Fußballfan) | 0,0441 | 0,1659 | 0,21 |
|
(kein Fan) | 0,3555 | 0,79 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(weiblich) |
(männlich) | ||
|---|---|---|---|
|
(Fußballfan) | 0,0441 | 0,1659 | 0,21 |
|
(kein Fan) | 0,4345 | 0,3555 | 0,79 |
| 0,4786 | 0,5214 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4786 = 47.86%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | | ||
|---|---|---|---|
| | 99 | 162 | 261 |
| | 155 | 154 | 309 |
| 254 | 316 | 570 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
316 ⋅ x
= 162 = |:316
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | | ||
|---|---|---|---|
| | 0,03 | 0,25 | 0,28 |
| | 0,34 | 0,38 | 0,72 |
| 0,37 | 0,63 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,28 ⋅ x
= 0,25 = |:0,28
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 27% der Bevölkerung ausmacht, 41% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 26%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
|---|---|---|---|
|
(eigene Partei) | 0,27 | ||
|
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
|---|---|---|---|
|
(eigene Partei) | 0,27 | ||
|
(andere Partei) | 0,73 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 41%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
|---|---|---|---|
|
(eigene Partei) | 0,1107 | 0,27 | |
|
(andere Partei) | 0,73 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 26%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
|---|---|---|---|
|
(eigene Partei) | 0,1107 | 0,27 | |
|
(andere Partei) | 0,1898 | 0,73 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
|---|---|---|---|
|
(eigene Partei) | 0,1107 | 0,1593 | 0,27 |
|
(andere Partei) | 0,1898 | 0,5402 | 0,73 |
| 0,3005 | 0,6995 | 1 |
Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,3005 ⋅ x
= 0,1107 = |:0,3005
also
Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,3684 = 36,84%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1400 Fahrräder verkauft. Davon waren 473 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 490 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 765 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 490 | ||
|
(kein E-Bike) | 473 | ||
| 765 | 1400 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 765 = 1400
Somit gilt: H(B) = 1400 - 765 = 635
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 490 | ||
|
(kein E-Bike) | 473 | ||
| 635 | 765 | 1400 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 473 = 635
Somit gilt: H(A ∩ B) = 635 - 473 = 162
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 162 | 490 | |
|
(kein E-Bike) | 473 | ||
| 635 | 765 | 1400 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
490 + H(
Somit gilt: H(
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 162 | 490 | |
|
(kein E-Bike) | 473 | 910 | |
| 635 | 765 | 1400 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
162 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 162 | 328 | 490 |
|
(kein E-Bike) | 473 | 910 | |
| 635 | 765 | 1400 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
473 + H(
Somit gilt: H(
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 162 | 328 | 490 |
|
(kein E-Bike) | 473 | 437 | 910 |
| 635 | 765 | 1400 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 162 | 328 | 490 |
|
(kein E-Bike) | 473 | 437 | 910 |
| 635 | 765 | 1400 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1400. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,116 | 0,234 | 0,35 |
|
| 0,338 | 0,312 | 0,65 |
| 0,454 | 0,546 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.454 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.116, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.454 = 0.1588 ≈ 0.159
≠ 0.116 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,4292 | ||
|
| |||
| 0,74 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.74 + P(
Somit gilt: P(
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,4292 | ||
|
| |||
| 0,74 | 0,26 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,4292 | 0,58 | |
|
| |||
| 0,74 | 0,26 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,4292 | 0,1508 | 0,58 |
|
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| 0,74 | 0,26 | 1 |
