Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

90° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 90° auch nur $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{3}{6}$⋅π = $\frac{1}{2}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{8}{3}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{8}{3}$⋅180° = 480°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2.4 = $\frac{\mathrm{2.4}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{2.4}}{\pi }$⋅180° ≈ 137.5°

$\frac{2}{3}\pi$ bedeutet $\frac{1}{3}$ eines Kreises, also $\frac{1}{3}$ von 360° = 120°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{2}{3}\pi$) bzw. für cos(120°) ablesen:

cos $\frac{2}{3}\pi$) bzw. cos(120°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{2}{3}\pi$°) ≈ -0.5

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{7}{3}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{7}{3}$π - $\frac{6}{3}$π =$\frac{1}{3}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{3}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{1}{3}$π einfach $-\frac{1}{3}$π + 2 π = $\frac{5}{3}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{3}$π und x₂ = $\frac{5}{3}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{7}{3}$π als $\frac{7}{3}$⋅ 180° = 420° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 60°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 60° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -60°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{3}$π und x₂ = $\frac{5}{3}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,6}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{0,644}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{2,498}$

L={ $\mathrm{0,644}$; $\mathrm{2,498}$}