Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

195° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 195° auch nur $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{195}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{39}{36}$⋅π = $\frac{13}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{2}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{2}$⋅180° = 90°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.4 = $\frac{\mathrm{1.4}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{1.4}}{\pi }$⋅180° ≈ 80.2°

$-\frac{4}{5}\pi$ bedeutet $-\frac{2}{5}$ eines Kreises, also $-\frac{2}{5}$ von 360° = -144°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -144° + 360° = 216°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $-\frac{4}{5}\pi$) bzw. für sin(-144°) ablesen:

sin( $-\frac{4}{5}\pi$) bzw. sin(-144°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $-\frac{4}{5}\pi$°) ≈ -0.59

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{23}{6}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{23}{6}$π - $\frac{12}{6}$π =$\frac{11}{6}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{6}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{11}{6}$π = $-\frac{5}{6}$π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{6}$π einfach $-\frac{5}{6}$π + 2 π = $\frac{7}{6}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{6}$π und x₂ = $\frac{7}{6}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{23}{6}$π als $\frac{23}{6}$⋅ 180° = 690° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 330°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 330° als negativen Winkel 330° -360° = -30° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-30°) = -150°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -150° + 360° = 210°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{6}$π und x₂ = $\frac{7}{6}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,4}$

|cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{1,159}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,159}$
bzw. bei - $\mathrm{1,159}$+2π= $\mathrm{5,124}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{5,124}$

L={ $\mathrm{1,159}$; $\mathrm{5,124}$}