Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.2cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.867 und somit β=60.1°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29.9°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 28° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 28° = 62°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{118°}}{2}$ = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{\mathrm{6cm}}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=$\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{sin(62°)}}$ = 5.8cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(26.6°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(19.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(26.6°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(26.6°) ⋅ x =h |:tan(26.6°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(26.6°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(19.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$ | ⋅ (x+ 15)

(II) tan(19.1°) ⋅ (x+ 15) = h |:tan(26.6°)

(II) x + 15= $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ | -15

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ - 15

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(26.6°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ - 15

$\frac{h}{\mathrm{0.5008}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3463}}$ - 15

$\frac{1}{\mathrm{0.5008}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3463}}$ ⋅ h - 15

1.997 h = 2.8878 h - 15 | - 1.997 + 15

15 = 0.8909 h | : 0.8909

16.8374 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.8m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 3² + 3²

c² = 9 + 9

c² = 18

c = $\sqrt{\mathrm{18}}$ ≈ 4.24

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-45° = 45°