Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.9cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.891 und somit β=63°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 27°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+27°=β=63° gilt nun: α = 36°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{\mathrm{6cm}}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=$\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{sin(62°)}}$ ≈ 5.8cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(37.5°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(28.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(37.5°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(37.5°) ⋅ x =h |:tan(37.5°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(37.5°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(28.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$ | ⋅ (x+ 12)

(II) tan(28.7°) ⋅ (x+ 12) = h |:tan(37.5°)

(II) x + 12= $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ | -12

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ - 12

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(37.5°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ - 12

$\frac{h}{\mathrm{0.7673}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.5475}}$ - 12

$\frac{1}{\mathrm{0.7673}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.5475}}$ ⋅ h - 12

1.3032 h = 1.8265 h - 12 | - 1.3032 + 12

12 = 0.5233 h | : 0.5233

22.9309 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 6² + 4²

b² = 36 + 16

b² = 52

b = $\sqrt{\mathrm{52}}$ ≈ 7.21

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

Daraus folgt: α = arctan(1.5) ≈ 56.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-56.3° = 33.7°