Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$x^2-9$ = 0

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-9x\right]}_{-3}^3$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot 3^3-9\cdot 3-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-9\cdot \left(-3\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 27-27-\left(\frac{1}{3}\cdot \left(-27\right)+27\right)$

= $9-27-\left(-9+27\right)$

= $-18-1·18$

= $-18-18$

= $-36$

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $36$.

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$5x^3-2x^2-9x+8$ = $5x^3-3x^2-2x-2$

$x^2-7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{7}{2}{x}^2-10x\right]}_2^5$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 5^3+\frac{7}{2}\cdot 5^2-10\cdot 5-\left(-\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{7}{2}\cdot 2^2-10\cdot 2\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 125+\frac{7}{2}\cdot 25-50-\left(-\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{7}{2}\cdot 4-20\right)$

= $-\frac{125}{3}+\frac{175}{2}-50-\left(-\frac{8}{3}+14-20\right)$

= $-\frac{250}{6}+\frac{525}{6}-\frac{300}{6}-\left(-\frac{8}{3}+\frac{42}{3}-\frac{60}{3}\right)$

= $-\frac{25}{6}-1·\left(-\frac{26}{3}\right)$

= $-\frac{25}{6}+\frac{26}{3}$

= $-\frac{25}{6}+\frac{52}{6}$

= $\frac{9}{2}$

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$2x^3-x^2-5x+2$ = $2x^3-2x^2+3x-5$

$x^2-8x+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·7}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+4x^2-7x\right]}_1^7$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 7^3+4\cdot 7^2-7\cdot 7-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2-7\cdot 1\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 343+4\cdot 49-49-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1+4\cdot 1-7\right)$

= $-\frac{343}{3}+196-49-\left(-\frac{1}{3}+4-7\right)$

= $-\frac{343}{3}+\frac{588}{3}-\frac{147}{3}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{12}{3}-\frac{21}{3}\right)$

= $\frac{98}{3}-1·\left(-\frac{10}{3}\right)$

= $\frac{98}{3}+\frac{10}{3}$

= $36$

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die Extrempunkte ... $-\frac{3}{2}\pi$, $-\frac{1}{2}\pi$, $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, $\frac{5}{2}\pi$ ... und die Wendepunkte bei ... $-\pi$, 0, $\pi$, $2\pi$... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $-\pi$ und b= $\frac{1}{2}\pi$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $0$.

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $-\pi$ bis $\frac{1}{2}\pi$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

= ${\left[-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{-\pi }^0$

$=$ $-4\cdot \cos \left(0\right)+4\cdot \cos \left((-\pi )\right)$

= $-4\cdot 1+4\cdot \left(-1\right)$

= $-4-4$

= $-8$

= ${\left[-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \cos \left(0\right)$

= $-4\cdot 0+4\cdot 1$

= $0+4$

= $4$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $8$ + $4$ = $12$.

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^2-\frac{7}{2}x+2-\left(-\frac{1}{2}x+2\right)$ bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $$\underset{-1}{\overset{0}{\int }}(x^2-\frac{7}{2}x+2-\left(-\frac{1}{2}x+2\right))dx$$

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right]}_{-1}^0$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{3}{2}\cdot 0^2-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 0-\left(\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{2}\cdot 1\right)$

= $0+0-\left(-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\right)$

= $0-\left(-\frac{2}{6}-\frac{9}{6}\right)$

= $-1·\left(-\frac{11}{6}\right)$

= $\frac{11}{6}$

A₂ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^2-\frac{7}{2}x+2-\left(-\frac{1}{2}x+2\right))dx$$

= ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{3}{2}\cdot 0^2\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 8-\frac{3}{2}\cdot 4-\left(\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 0\right)$

= $\frac{8}{3}-6-\left(0+0\right)$

= $\frac{8}{3}-\frac{18}{3}+0$

= $-\frac{10}{3}$

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 2 ⋅ 3 = 6

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^2}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

= ${\left[3x+3x^{-1}\right]}_1^2$

= ${\left[3x+\frac{3}{x}\right]}_1^2$

$=$ $3\cdot 2+\frac{3}{2}-\left(3\cdot 1+\frac{3}{1}\right)$

= $6+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(3+3\cdot 1\right)$

= $6+\frac{3}{2}-\left(3+3\right)$

= $6+\mathrm{1,5}-1·6$

= $\mathrm{7,5}-6$

= $\mathrm{1,5}$

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 6 - 1.5 = 4.5.

(Alternative Berechnung einblenden)

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$-3x^2+4x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-3\right)·15}}{2\cdot \left(-3\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+180}}{-6}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{196}}{-6}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{196}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-6}$ = $-\frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{196}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{-6}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

= ${\left[-\frac{1}{12}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{7}{4}x\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{12}\cdot 2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2+\frac{7}{4}\cdot 2-\left(-\frac{1}{12}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2+\frac{7}{4}\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{12}\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{7}{2}-\left(-\frac{1}{12}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{2}{3}+2+\frac{7}{2}-\left(0+0+0\right)$

= $-\frac{4}{6}+\frac{12}{6}+\frac{21}{6}+0$

= $\frac{29}{6}$

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $$\underset{2}{\overset{3}{\int }}(-\frac{1}{4}{x}^2+x+\frac{7}{4}-\left(\frac{1}{2}{x}^2-2\right))dx$$

= ${\left[-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{15}{4}x\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot 3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2+\frac{15}{4}\cdot 3-\left(-\frac{1}{4}\cdot 2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2+\frac{15}{4}\cdot 2\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot 27+\frac{1}{2}\cdot 9+\frac{45}{4}-\left(-\frac{1}{4}\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{15}{2}\right)$

= $-\frac{27}{4}+\frac{9}{2}+\frac{45}{4}-\left(-2+2+\frac{15}{2}\right)$

= $-\frac{27}{4}+\frac{18}{4}+\frac{45}{4}-\left(-2+2+\mathrm{7,5}\right)$

= $9-1·\mathrm{7,5}$

= $9-\mathrm{7,5}$

= $\mathrm{1,5}$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 4.833 + 1.5 = 6.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Berechnung der Tangenten: y= $-x+10$

(Detail-Rechnung einblenden)

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $2$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $-\frac{1}{4}{x}^2+9$ = 0

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $2$ und x₂ = 6.

$$\underset{2}{\overset{6}{\int }}(-x+10-\left(-\frac{1}{4}{x}^2+9\right))dx$$

= $$\underset{2}{\overset{6}{\int }}\left(-x+10+\frac{1}{4}{x}^2-9\right)dx$$

= ${\left[\frac{1}{12}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+x\right]}_2^6$

$=$ $\frac{1}{12}\cdot 6^3-\frac{1}{2}\cdot 6^2+6-\left(\frac{1}{12}\cdot 2^3-\frac{1}{2}\cdot 2^2+2\right)$

= $\frac{1}{12}\cdot 216-\frac{1}{2}\cdot 36+6-\left(\frac{1}{12}\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot 4+2\right)$

= $18-18+6-\left(\frac{2}{3}-2+2\right)$

= $6-\left(\frac{2}{3}-\frac{6}{3}+\frac{6}{3}\right)$

= $6-1·\frac{2}{3}$

= $6-\frac{2}{3}$

= $\frac{18}{3}-\frac{2}{3}$

= $\frac{16}{3}$

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

Somit erhält man für die Breite b= $10$ - 6 = 4

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 6, also h = $-6+10$ = 4

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 4 = 8.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 5.333 + 8 = 13.333.

(Alternative Berechnung einblenden)