Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$3 x^{2} + 3 x$ = 0

$3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-1}^{0} (3 x^{2} + 3 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - ({(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $0 + \frac{3}{2} \cdot 0 - ((- 1) + \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $0 + 0 - (- 1 + \frac{3}{2})$

= $0 - (- 1 + 1,5)$

= $- 1 \cdot 0,5$

= $- 0,5$

= -0,5

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $4 x^{2} + 3 x - 4$ und g(x)= $5 x^{2} + 5 x - 39$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$5 x^{2} + 5 x - 39$ = $4 x^{2} + 3 x - 4$

5 x^{2} + 5 x - 39

=

4 x^{2} + 3 x - 4

|

- 4 x^{2}

- 3 x

+ 4

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 7

;

5

].

A=

\int_{- 7}^{5} (4 x^{2} + 3 x - 4) ⅆ x

-

\int_{- 7}^{5} (5 x^{2} + 5 x - 39) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{5} (4 x^{2} + 3 x - 4 - (5 x^{2} + 5 x - 39)) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{5} (4 x^{2} + 3 x - 4 - 5 x^{2} - 5 x + 39) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{5} (- x^{2} - 2 x + 35) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 35 x]}_{- 7}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 5^{2} + 35 \cdot 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 7)}^{3} - {(- 7)}^{2} + 35 \cdot (- 7))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 - 25 + 175 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 343) - 49 - 245)$

= $- \frac{125}{3} - 25 + 175 - (\frac{343}{3} - 49 - 245)$

= $- \frac{125}{3} - \frac{75}{3} + \frac{525}{3} - (\frac{343}{3} - \frac{147}{3} - \frac{735}{3})$

= $\frac{325}{3} - 1 \cdot (- \frac{539}{3})$

= $\frac{325}{3} + \frac{539}{3}$

= $288$

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $288$ ≈ 288

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 4 x^{2} + 5 x - 1$ und g(x)= $- 3 x^{2} - 3 x + 6$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 3 x^{2} - 3 x + 6$ = $- 4 x^{2} + 5 x - 1$

- 3 x^{2} - 3 x + 6

=

- 4 x^{2} + 5 x - 1

|

+ 4 x^{2}

- 5 x

+ 1

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

1

;

7

].

A=

\int_{1}^{7} (- 4 x^{2} + 5 x - 1) ⅆ x

-

\int_{1}^{7} (- 3 x^{2} - 3 x + 6) ⅆ x

=

\int_{1}^{7} (- 4 x^{2} + 5 x - 1 - (- 3 x^{2} - 3 x + 6)) ⅆ x

=

\int_{1}^{7} (- 4 x^{2} + 5 x - 1 + 3 x^{2} + 3 x - 6) ⅆ x

=

\int_{1}^{7} (- x^{2} + 8 x - 7) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x]}_{1}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 7^{3} + 4 \cdot 7^{2} - 7 \cdot 7 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 343 + 4 \cdot 49 - 49 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 7)$

= $- \frac{343}{3} + 196 - 49 - (- \frac{1}{3} + 4 - 7)$

= $- \frac{343}{3} + \frac{588}{3} - \frac{147}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{12}{3} - \frac{21}{3})$

= $\frac{98}{3} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $\frac{98}{3} + \frac{10}{3}$

= $36$

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $36$ ≈ 36

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - 4$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von 0 bis 5 berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{0}^{4} (\frac{1}{4} x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} x^{3} - 4 x]}_{0}^{4}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4 - (\frac{1}{12} \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0)$

= $\frac{1}{12} \cdot 64 - 16 - (\frac{1}{12} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{16}{3} - 16 - (0 + 0)$

= $\frac{16}{3} - \frac{48}{3} + 0$

= $- \frac{32}{3}$

≈ -10,667

A₂ =

\int_{4}^{5} (\frac{1}{4} x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} x^{3} - 4 x]}_{4}^{5}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot 5^{3} - 4 \cdot 5 - (\frac{1}{12} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4)$

= $\frac{1}{12} \cdot 125 - 20 - (\frac{1}{12} \cdot 64 - 16)$

= $\frac{125}{12} - 20 - (\frac{16}{3} - 16)$

= $\frac{125}{12} - \frac{240}{12} - (\frac{16}{3} - \frac{48}{3})$

= $- \frac{115}{12} - 1 \cdot (- \frac{32}{3})$

= $- \frac{115}{12} + \frac{32}{3}$

= $- \frac{115}{12} + \frac{128}{12}$

= $\frac{13}{12}$

≈ 1,083

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{32}{3}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{47}{4}$ = 11.75.

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{7}{2} x + 2$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 2$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 2 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x + 2$	=	$x^{2} - \frac{7}{2} x + 2$	\| $- 2$
$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{7}{2} x$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x)$	\| $- 2 (x^{2} - \frac{7}{2} x)$
$- 2 x^{2} - x + 7 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{7}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)$ bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-1}^{0} (x^{2} - \frac{7}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{0} (x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $0 + 0 - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{2})$

= $0 - (- \frac{2}{6} - \frac{9}{6})$

= $- 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

A₂ = $\int_{0}^{2} (x^{2} - \frac{7}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)) ⅆ x$

=

\int_{0}^{2} (x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{8}{3} - 6 - (0 + 0)$

= $\frac{8}{3} - \frac{18}{3} + 0$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=5 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 5 ⋅ 3 = 15

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 3}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{5} (3 - 3 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $3 \cdot 5 + 3 e^{- 5 + 3} - (3 \cdot 3 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $15 + 3 e^{- 5 + 3} - (9 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $15 + 3 e^{- 2} - (9 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 2} + 15 - (9 + 3)$

= $3 e^{- 2} + 15 - 1 \cdot 12$

= $3 e^{- 2} + 15 - 12$

= $3 e^{- 2} + 3$

≈ 3,406

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 15 - 3.406 = 11.594.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 3 = 9 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{5} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $- 3 e^{- 5 + 3} + 3 e^{- 3 + 3}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 2} + 3$

≈ 2,594 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 9 + 2.594 = 11.594.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 9$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3$	=	$x^{2} - 9$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3)$	=	$2 (x^{2} - 9)$
$- x^{2} + 6 x + 6$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 24

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 9 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2} + 9 - (0 + 0 + 0)$

= $- 4,5 + 13,5 + 9 + 0$

= $18$

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3 - (x^{2} - 9)) ⅆ x$

=

\int_{3}^{4} (- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 12) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 12 x]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 48 - (- \frac{1}{2} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 36)$

= $- 32 + 24 + 48 - (- \frac{27}{2} + \frac{27}{2} + 36)$

= $40 - (- 13,5 + 13,5 + 36)$

= $40 - 1 \cdot 36$

= $40 - 36$

= $4$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 18 + 4 = 22.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=4 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;4] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 12 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{32}{3} + 24 + 12 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{32}{3} + \frac{72}{3} + \frac{36}{3} + 0$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{4} (x^{2} - 9) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

= $\frac{1}{3} \cdot 64 - 36 - (\frac{1}{3} \cdot 27 - 27)$

= $\frac{64}{3} - 36 - (9 - 27)$

= $\frac{64}{3} - \frac{108}{3} - 1 \cdot (- 18)$

= $- \frac{44}{3} + 18$

= $- \frac{44}{3} + \frac{54}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 25.333 - 3.333 = 22.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4}$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 0$

= $- \frac{1}{2} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + \frac{25}{4}$ = $- \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{25}{4}$ = $- \frac{1}{4} + \frac{25}{4}$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅ $1$ + c

$6$ = $- \frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{13}{2}$ = c

also c= $\frac{13}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{1}{2}$ ⋅x + $\frac{13}{2}$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4}$ = 0

$- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4}$	=	0	\| $- \frac{25}{4}$
$- \frac{1}{4} x^{2}$	=	$- \frac{25}{4}$	\|⋅ $(- 4)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 5.

$\int_{1}^{5} (- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} - (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4})) ⅆ x$

= $\int_{1}^{5} (- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{25}{4}) ⅆ x$

=

\int_{1}^{5} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot 5^{3} - \frac{1}{4} \cdot 5^{2} + \frac{1}{4} \cdot 5 - (\frac{1}{12} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{12} \cdot 125 - \frac{1}{4} \cdot 25 + \frac{5}{4} - (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4})$

= $\frac{125}{12} - \frac{25}{4} + \frac{5}{4} - (\frac{1}{12} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4})$

= $\frac{125}{12} - \frac{75}{12} + \frac{15}{12} - (\frac{1}{12} - \frac{3}{12} + \frac{3}{12})$

= $\frac{65}{12} - 1 \cdot \frac{1}{12}$

= $\frac{65}{12} - \frac{1}{12}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2})$	=	0
$- x + 13$	=	0	\| $- 13$
$- x$	=	$- 13$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$13$

Somit erhält man für die Breite b= $13$ - 5 = 8

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 5, also h = $- \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{13}{2}$ = 4

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 4 = 16.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 5.333 + 16 = 21.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $13$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 ⋅ 6

=36

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{5} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{25}{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + \frac{25}{4} x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 5^{3} + \frac{25}{4} \cdot 5 - (- \frac{1}{12} \cdot 1^{3} + \frac{25}{4} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 125 + \frac{125}{4} - (- \frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{25}{4})$

= $- \frac{125}{12} + \frac{125}{4} - (- \frac{1}{12} + \frac{25}{4})$

= $- \frac{125}{12} + \frac{375}{12} - (- \frac{1}{12} + \frac{75}{12})$

= $\frac{125}{6} - 1 \cdot \frac{37}{6}$

= $\frac{125}{6} - \frac{37}{6}$

= $\frac{44}{3}$

≈ 14,667

A_ges = A₁ - A₂ = 36 - 14.667 = 21.333.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=2.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 2 = 6

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$2$	=	$2 x^{2}$

$2$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{3} (2 - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (2 - 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[2 x + 2 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[2 x + \frac{2}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 \cdot 3 + \frac{2}{3} - (2 \cdot 1 + \frac{2}{1})$

= $6 + 2 \cdot (\frac{1}{3}) - (2 + 2 \cdot 1)$

= $6 + \frac{2}{3} - (2 + 2)$

= $\frac{18}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 4$

= $\frac{20}{3} - 4$

= $\frac{20}{3} - \frac{12}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 6 - 2.667 = 3.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 2 = 2 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{3} \frac{2}{x^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 2 x^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{2}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} + 2$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 2 + 1.333 = 3.333.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 1 2 x + 13 2

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{1}{2} x + \frac{13}{2}$