Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$- 2 x^{2} - 2 x$ = 0

$- 2 x^{2} - 2 x$	=	0
$- 2 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-1}^{0} (- 2 x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2} - (- \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})$

= $- \frac{2}{3} \cdot 0 - 0 - (- \frac{2}{3} \cdot (- 1) - 1)$

= $0 + 0 - (\frac{2}{3} - 1)$

= $0 - (\frac{2}{3} - \frac{3}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{3}$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1$ und g(x)= $4 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x + 16$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x + 16$ = $4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1$

4 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x + 16

=

4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1

|

- 4 x^{3}

- 2 x^{2}

+ 3 x

- 1

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

3

;

5

].

A=

\int_{3}^{5} (4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1) ⅆ x

-

\int_{3}^{5} (4 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x + 16) ⅆ x

=

\int_{3}^{5} (4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1 - (4 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x + 16)) ⅆ x

=

\int_{3}^{5} (4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1 - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 11 x - 16) ⅆ x

=

\int_{3}^{5} (- x^{2} + 8 x - 15) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 15 x]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} + 4 \cdot 5^{2} - 15 \cdot 5 - (- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 + 4 \cdot 25 - 75 - (- \frac{1}{3} \cdot 27 + 4 \cdot 9 - 45)$

= $- \frac{125}{3} + 100 - 75 - (- 9 + 36 - 45)$

= $- \frac{125}{3} + \frac{300}{3} - \frac{225}{3} - 1 \cdot (- 18)$

= $- \frac{50}{3} + 18$

= $- \frac{50}{3} + \frac{54}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $4 x^{2} + 5 x + 1$ und g(x)= $5 x^{2} + 5 x - 15$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$5 x^{2} + 5 x - 15$ = $4 x^{2} + 5 x + 1$

$5 x^{2} + 5 x - 15$	=	$4 x^{2} + 5 x + 1$	\| $+ 15$
$5 x^{2} + 5 x$	=	$4 x^{2} + 5 x + 16$	\| $- 4 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 4

;

4

].

A=

\int_{- 4}^{4} (4 x^{2} + 5 x + 1) ⅆ x

-

\int_{- 4}^{4} (5 x^{2} + 5 x - 15) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (4 x^{2} + 5 x + 1 - (5 x^{2} + 5 x - 15)) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (4 x^{2} + 5 x + 1 - 5 x^{2} - 5 x + 15) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (- x^{2} + 16) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 16 x]}_{- 4}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 16 \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 16 \cdot (- 4))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + 64 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 64) - 64)$

= $- \frac{64}{3} + 64 - (\frac{64}{3} - 64)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{192}{3} - (\frac{64}{3} - \frac{192}{3})$

= $\frac{128}{3} - 1 \cdot (- \frac{128}{3})$

= $\frac{128}{3} + \frac{128}{3}$

= $\frac{256}{3}$

≈ 85,333

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{256}{3}$ ≈ 85.333

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x)$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass bei der Kosinus-Funktion die Extrempunkte ... $- π$ , 0, $π$ , $2 π$ ... und die Wendepunkte bei ... $- \frac{3}{2} π$ , $- \frac{1}{2} π$ , $\frac{1}{2} π$ , $\frac{3}{2} π$ , $\frac{5}{2} π$ ... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $- \frac{1}{2} π$ und b= $π$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $\frac{1}{2} π$ .

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $- \frac{1}{2} π$ bis $π$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{- \frac{1}{2} π}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \cos (x) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x)]}_{- \frac{1}{2} π}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 4 \cdot \sin ((- \frac{1}{2} π))$

= $4 \cdot 1 - 4 \cdot (- 1)$

= $4 + 4$

= $8$

A₂ =

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \cos (x) ⅆ x

= ${[4 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $4 \cdot \sin (π) - 4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $4 \cdot 0 - 4 \cdot 1$

= $0 - 4$

= $- 4$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $8$ + $4$ = $12$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x + 2$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 2$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = 1 und b = 3 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [1;3] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x + 2$	=	$x^{2} - \frac{5}{2} x + 2$	\| $- 2$
$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x)$	\| $- 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x)$
$- 2 x^{2} - x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 2 zwischen a = 1 und b = 3 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{5}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)$ bei x = 2 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 2 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von 1 bis 3 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{1}^{2} (x^{2} - \frac{5}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)) ⅆ x$

=

\int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{8}{3} - 4 - (\frac{1}{3} - 1)$

= $\frac{8}{3} - \frac{12}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})$

= $- \frac{4}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $- \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

A₂ = $\int_{2}^{3} (x^{2} - \frac{5}{2} x + 2 - (- \frac{1}{2} x + 2)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 4)$

= $9 - 9 - (\frac{8}{3} - 4)$

= $0 - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$

= $0 - 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $0 + \frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $2$ .

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=4 und y=2.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 4 ⋅ 2 = 8

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und $f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$2 e^{- x + 3}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{4} (2 - 2 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[2 x + 2 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $2 \cdot 4 + 2 e^{- 4 + 3} - (2 \cdot 3 + 2 e^{- 3 + 3})$

= $8 + 2 e^{- 4 + 3} - (6 + 2 e^{- 3 + 3})$

= $8 + 2 e^{- 1} - (6 + 2 e^{0})$

= $2 e^{- 1} + 8 - (6 + 2)$

= $2 e^{- 1} + 8 - 1 \cdot 8$

= $2 e^{- 1} + 8 - 8$

= $2 e^{- 1} + 0$

≈ 0,736

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 8 - 0.736 = 7.264.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 2 = 6 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{4} 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- 2 e^{- 4 + 3} + 2 e^{- 3 + 3}$

= $- 2 e^{- 1} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 1} + 2$

≈ 1,264 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 6 + 1.264 = 7.264.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{1}{2} x^{2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$\frac{1}{2} x^{2}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4}$	=	$\frac{1}{2} x^{2} - 2$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4})$	=	$4 (\frac{1}{2} x^{2} - 2)$
$- x^{2} + 2 x + 13$	=	$2 x^{2} - 8$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8$

$- 3 x^{2} + 2 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 21}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 2+16}{- 6}$ = $\frac{14}{- 6}$ = $- \frac{7}{3}$ ≈ -2.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 2-16}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{13}{4} x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 2^{3} + \frac{1}{4} \cdot 2^{2} + \frac{13}{4} \cdot 2 - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{13}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{13}{2} - (- \frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{2}{3} + 1 + \frac{13}{2} - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{4}{6} + \frac{6}{6} + \frac{39}{6} + 0$

= $\frac{41}{6}$

≈ 6,833

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{3} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4} - (\frac{1}{2} x^{2} - 2)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (- \frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{21}{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{21}{4} x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot 3^{3} + \frac{1}{4} \cdot 3^{2} + \frac{21}{4} \cdot 3 - (- \frac{1}{4} \cdot 2^{3} + \frac{1}{4} \cdot 2^{2} + \frac{21}{4} \cdot 2)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 27 + \frac{1}{4} \cdot 9 + \frac{63}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{21}{2})$

= $- \frac{27}{4} + \frac{9}{4} + \frac{63}{4} - (- 2 + 1 + \frac{21}{2})$

= $\frac{45}{4} - (- 2 + 1 + 10,5)$

= $\frac{45}{4} - 1 \cdot 9,5$

= $\frac{45}{4} - 9,5$

= $\frac{45}{4} - \frac{19}{2}$

= $\frac{45}{4} - \frac{38}{4}$

= $\frac{45}{4} - \frac{19}{2}$

= $\frac{7}{4}$

= 1,75

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 6.833 + 1.75 = 8.583.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=3 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;3] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{13}{4}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{13}{4} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 3^{3} + \frac{1}{4} \cdot 3^{2} + \frac{13}{4} \cdot 3 - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{13}{4} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 27 + \frac{1}{4} \cdot 9 + \frac{39}{4} - (- \frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{39}{4} - (0 + 0 + 0)$

= $\frac{39}{4} + 0$

= $\frac{39}{4}$

= 9,75

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{3} (\frac{1}{2} x^{2} - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - 2 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2)$

= $\frac{1}{6} \cdot 27 - 6 - (\frac{1}{6} \cdot 8 - 4)$

= $\frac{9}{2} - 6 - (\frac{4}{3} - 4)$

= $4,5 - 6 - (\frac{4}{3} - \frac{12}{3})$

= $- 1,5 - 1 \cdot (- \frac{8}{3})$

= $- 1,5 + \frac{8}{3}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{8}{3}$

= $- \frac{9}{6} + \frac{16}{6}$

= $- \frac{3}{2} + \frac{8}{3}$

= $\frac{7}{6}$

≈ 1,167

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 9.75 - 1.167 = 8.583.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 8$ = $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 8$ = $- \frac{1}{2} + 8$ = $- 0,5 + 8$ = $7,5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7,5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7,5$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$7,5$ = $- 1$ + c | + $1$

$8,5$ = c

also c= $8,5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $8,5$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} x^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 4.

$\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} - (- \frac{1}{2} x^{2} + 8)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} + \frac{1}{2} x^{2} - 8) ⅆ x$

=

\int_{1}^{4} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - 8 + 2 - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - \frac{24}{3} + \frac{6}{3} - (\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{14}{3} - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $\frac{14}{3} - \frac{1}{6}$

= $\frac{28}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + \frac{17}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- x + \frac{17}{2})$	=	0
$- 2 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 17$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{17}{2}$ = 8.5

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{2}$ - 4 = 4.5

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 4, also h = $- 4 + \frac{17}{2}$ = 4.5

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.5 ⋅ 4.5 = 10.125.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 4.5 + 10.125 = 14.625.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{2}$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 7.5 ⋅ 7.5

=28.125

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 8) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 8 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + 8 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 64 + 32 - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + 8)$

= $- \frac{32}{3} + 32 - (- \frac{1}{6} + 8)$

= $- \frac{32}{3} + \frac{96}{3} - (- \frac{1}{6} + \frac{48}{6})$

= $\frac{64}{3} - 1 \cdot \frac{47}{6}$

= $\frac{64}{3} - \frac{47}{6}$

= $\frac{128}{6} - \frac{47}{6}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

A_ges = A₁ - A₂ = 28.125 - 13.5 = 14.625.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 4}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=6 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 6 ⋅ 3 = 18

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 4}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 4}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 4}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 4$	=	0

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{4}^{6} (3 - 3 e^{- x + 4}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $3 \cdot 6 + 3 e^{- 6 + 4} - (3 \cdot 4 + 3 e^{- 4 + 4})$

= $18 + 3 e^{- 6 + 4} - (12 + 3 e^{- 4 + 4})$

= $18 + 3 e^{- 2} - (12 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 2} + 18 - (12 + 3)$

= $3 e^{- 2} + 18 - 1 \cdot 15$

= $3 e^{- 2} + 18 - 15$

= $3 e^{- 2} + 3$

≈ 3,406

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 18 - 3.406 = 14.594.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 4 ⋅ 3 = 12 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{4}^{6} 3 e^{- x + 4} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 4}]}_{4}^{6}$

$=$ $- 3 e^{- 6 + 4} + 3 e^{- 4 + 4}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 2} + 3$

≈ 2,594 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 12 + 2.594 = 14.594.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x + 17 2

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$