Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 6 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$3 x^{2} + 6 x$ = 0

$3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-2}^{0} (3 x^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[x^{3} + 3 x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - ({(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $0 + 3 \cdot 0 - ((- 8) + 3 \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- 8 + 12)$

= $0 - 1 \cdot 4$

= $- 4$

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $4$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 2 x^{2} - 3 x - 3$ und g(x)= $- x^{2} - 6 x - 13$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- x^{2} - 6 x - 13$ = $- 2 x^{2} - 3 x - 3$

- x^{2} - 6 x - 13

=

- 2 x^{2} - 3 x - 3

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 3

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 2

;

5

].

A=

\int_{- 2}^{5} (- 2 x^{2} - 3 x - 3) ⅆ x

-

\int_{- 2}^{5} (- x^{2} - 6 x - 13) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{5} (- 2 x^{2} - 3 x - 3 - (- x^{2} - 6 x - 13)) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{5} (- 2 x^{2} - 3 x - 3 + x^{2} + 6 x + 13) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{5} (- x^{2} + 3 x + 10) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 10 x]}_{- 2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} + \frac{3}{2} \cdot 5^{2} + 10 \cdot 5 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 10 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 125 + \frac{3}{2} \cdot 25 + 50 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) + \frac{3}{2} \cdot 4 - 20)$

= $- \frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 50 - (\frac{8}{3} + 6 - 20)$

= $- \frac{250}{6} + \frac{225}{6} + \frac{300}{6} - (\frac{8}{3} + \frac{18}{3} - \frac{60}{3})$

= $\frac{275}{6} - 1 \cdot (- \frac{34}{3})$

= $\frac{275}{6} + \frac{34}{3}$

= $\frac{275}{6} + \frac{68}{6}$

= $\frac{343}{6}$

≈ 57,167

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{343}{6}$ ≈ 57.167

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 1$ und g(x)= $2 x^{2} - 2 x - 21$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$2 x^{2} - 2 x - 21$ = $x^{2} - 3 x - 1$

2 x^{2} - 2 x - 21

=

x^{2} - 3 x - 1

|

- x^{2}

+ 3 x

+ 1

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 5

;

4

].

A=

\int_{- 5}^{4} (x^{2} - 3 x - 1) ⅆ x

-

\int_{- 5}^{4} (2 x^{2} - 2 x - 21) ⅆ x

=

\int_{- 5}^{4} (x^{2} - 3 x - 1 - (2 x^{2} - 2 x - 21)) ⅆ x

=

\int_{- 5}^{4} (x^{2} - 3 x - 1 - 2 x^{2} + 2 x + 21) ⅆ x

=

\int_{- 5}^{4} (- x^{2} - x + 20) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 20 x]}_{- 5}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 5)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 5)}^{2} + 20 \cdot (- 5))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 + 80 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 125) - \frac{1}{2} \cdot 25 - 100)$

= $- \frac{64}{3} - 8 + 80 - (\frac{125}{3} - \frac{25}{2} - 100)$

= $- \frac{64}{3} - \frac{24}{3} + \frac{240}{3} - (\frac{250}{6} - \frac{75}{6} - \frac{600}{6})$

= $\frac{152}{3} - 1 \cdot (- \frac{425}{6})$

= $\frac{152}{3} + \frac{425}{6}$

= $\frac{304}{6} + \frac{425}{6}$

= $\frac{243}{2}$

= 121,5

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{243}{2}$ ≈ 121.5

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \sin (x)$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die Extrempunkte ... $- \frac{3}{2} π$ , $- \frac{1}{2} π$ , $\frac{1}{2} π$ , $\frac{3}{2} π$ , $\frac{5}{2} π$ ... und die Wendepunkte bei ... $- π$ , 0, $π$ , $2 π$ ... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $- π$ und b= $\frac{1}{2} π$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $0$ .

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $- π$ bis $\frac{1}{2} π$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{- π}^{0} 5 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x)]}_{- π}^{0}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (0) + 5 \cdot \cos ((- π))$

= $- 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- 1)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

A₂ =

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 5 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 5 \cdot \cos (0)$

= $- 5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$

= $0 + 5$

= $5$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $10$ + $5$ = $15$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{3}{2} x - 3$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 1$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -2 und b = 1 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-2;1] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$x^{2} - \frac{3}{2} x - 3$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (x^{2} - \frac{3}{2} x - 3)$
$- x - 2$	=	$2 x^{2} - 3 x - 6$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 3 x$ $+ 6$

- 2 x^{2} + 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle -1 zwischen a = -2 und b = 1 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{3}{2} x - 3 - (- \frac{1}{2} x - 1)$ bei x = -1 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = -1 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -2 bis 1 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-2}^{-1} (x^{2} - \frac{3}{2} x - 3 - (- \frac{1}{2} x - 1)) ⅆ x$

=

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4 + 4)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - (- \frac{8}{3} - 2 + 4)$

= $- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - (- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} + \frac{12}{3})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{7}{6} + \frac{2}{3}$

= $\frac{7}{6} + \frac{4}{6}$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

A₂ = $\int_{-1}^{1} (x^{2} - \frac{3}{2} x - 3 - (- \frac{1}{2} x - 1)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{1} (x^{2} - x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 2 - (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2)$

= $\frac{2}{6} - \frac{3}{6} - \frac{12}{6} - (- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6})$

= $- \frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{13}{6} - \frac{7}{6}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=4 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 4 ⋅ 3 = 12

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 3}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{4} (3 - 3 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $3 \cdot 4 + 3 e^{- 4 + 3} - (3 \cdot 3 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $12 + 3 e^{- 4 + 3} - (9 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $12 + 3 e^{- 1} - (9 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 1} + 12 - (9 + 3)$

= $3 e^{- 1} + 12 - 1 \cdot 12$

= $3 e^{- 1} + 12 - 12$

= $3 e^{- 1} + 0$

≈ 1,104

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 12 - 1.104 = 10.896.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 3 = 9 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{4} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- 3 e^{- 4 + 3} + 3 e^{- 3 + 3}$

= $- 3 e^{- 1} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 1} + 3$

≈ 1,896 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 9 + 1.896 = 10.896.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}$	=	0	\| $+ \frac{9}{2}$
$\frac{1}{2} x^{2}$	=	$\frac{9}{2}$	\|⋅ $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$	=	$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2})$	=	$4 (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2})$
$- x^{2} + 6 x + 6$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 24

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=4.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 3^{3} + \frac{3}{4} \cdot 3^{2} + \frac{3}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} + \frac{3}{4} \cdot 0^{2} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 27 + \frac{3}{4} \cdot 9 + \frac{9}{2} - (- \frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{9}{2} - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{18}{4} + 0$

= $9$

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{4} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2})) ⅆ x$

=

\int_{3}^{4} (- \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} + 6 x]}_{3}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot 4^{3} + \frac{3}{4} \cdot 4^{2} + 6 \cdot 4 - (- \frac{1}{4} \cdot 3^{3} + \frac{3}{4} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{4} \cdot 64 + \frac{3}{4} \cdot 16 + 24 - (- \frac{1}{4} \cdot 27 + \frac{3}{4} \cdot 9 + 18)$

= $- 16 + 12 + 24 - (- \frac{27}{4} + \frac{27}{4} + 18)$

= $20 - (- \frac{27}{4} + \frac{27}{4} + \frac{72}{4})$

= $20 - 1 \cdot 18$

= $20 - 18$

= $2$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 9 + 2 = 11.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=4 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;4] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{4} (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 4^{3} + \frac{3}{4} \cdot 4^{2} + \frac{3}{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} + \frac{3}{4} \cdot 0^{2} + \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 64 + \frac{3}{4} \cdot 16 + 6 - (- \frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} + 12 + 6 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{36}{3} + \frac{18}{3} + 0$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{4} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{9}{2} x]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{9}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot 3^{3} - \frac{9}{2} \cdot 3)$

= $\frac{1}{6} \cdot 64 - 18 - (\frac{1}{6} \cdot 27 - \frac{27}{2})$

= $\frac{32}{3} - 18 - (\frac{9}{2} - \frac{27}{2})$

= $\frac{32}{3} - \frac{54}{3} - (4,5 - 13,5)$

= $- \frac{22}{3} - 1 \cdot (- 9)$

= $- \frac{22}{3} + 9$

= $- \frac{22}{3} + \frac{27}{3}$

= $\frac{5}{3}$

≈ 1,667

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 12.667 - 1.667 = 11.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 0$

= $- \frac{1}{2} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 4$ = $- \frac{1}{4} \cdot 1 + 4$ = $- \frac{1}{4} + 4$ = $- \frac{1}{4} + \frac{16}{4}$ = $\frac{15}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{15}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{15}{4}$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅ $1$ + c

$\frac{15}{4}$ = $- \frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{17}{4}$ = c

also c= $\frac{17}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{1}{2}$ ⋅x + $\frac{17}{4}$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ = 0

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- \frac{1}{4} x^{2}$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 4)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 4.

$\int_{1}^{4} (- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4} - (- \frac{1}{4} x^{2} + 4)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{4} (- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4} + \frac{1}{4} x^{2} - 4) ⅆ x$

=

\int_{1}^{4} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{12} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{12} \cdot 4^{3} - \frac{1}{4} \cdot 4^{2} + \frac{1}{4} \cdot 4 - (\frac{1}{12} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{12} \cdot 64 - \frac{1}{4} \cdot 16 + 1 - (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4})$

= $\frac{16}{3} - 4 + 1 - (\frac{1}{12} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4})$

= $\frac{16}{3} - \frac{12}{3} + \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} - \frac{3}{12} + \frac{3}{12})$

= $\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{1}{12}$

= $\frac{7}{3} - \frac{1}{12}$

= $\frac{28}{12} - \frac{1}{12}$

= $\frac{9}{4}$

= 2,25

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4})$	=	0
$- 2 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 17$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{17}{2}$ = 8.5

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{2}$ - 4 = 4.5

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 4, also h = $- \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{17}{4}$ = 2.25

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.5 ⋅ 2.25 ≈ 5.063.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 2.25 + 5.063 = 7.313.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{2}$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 7.5 ⋅ 3.75

=14.063

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{4} (- \frac{1}{4} x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + 4 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 4^{3} + 4 \cdot 4 - (- \frac{1}{12} \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 64 + 16 - (- \frac{1}{12} \cdot 1 + 4)$

= $- \frac{16}{3} + 16 - (- \frac{1}{12} + 4)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{48}{3} - (- \frac{1}{12} + \frac{48}{12})$

= $\frac{32}{3} - 1 \cdot \frac{47}{12}$

= $\frac{32}{3} - \frac{47}{12}$

= $\frac{128}{12} - \frac{47}{12}$

= $\frac{27}{4}$

= 6,75

A_ges = A₁ - A₂ = 14.063 - 6.75 = 7.313.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $5 e^{- x + 1}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=5.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 5 = 15

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=5 und $f(x) =$ $5 e^{- x + 1}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$5 e^{- x + 1}$	=	$5$	\|: $5$
$e^{- x + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 1$	=	0

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{3} (5 - 5 e^{- x + 1}) ⅆ x

= ${[5 x + 5 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $5 \cdot 3 + 5 e^{- 3 + 1} - (5 \cdot 1 + 5 e^{- 1 + 1})$

= $15 + 5 e^{- 3 + 1} - (5 + 5 e^{- 1 + 1})$

= $15 + 5 e^{- 2} - (5 + 5 e^{0})$

= $5 e^{- 2} + 15 - (5 + 5)$

= $5 e^{- 2} + 15 - 1 \cdot 10$

= $5 e^{- 2} + 15 - 10$

= $5 e^{- 2} + 5$

≈ 5,677

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 15 - 5.677 = 9.323.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 5 = 5 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{3} 5 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 5 e^{- 3 + 1} + 5 e^{- 1 + 1}$

= $- 5 e^{- 2} + 5 e^{0}$

= $- 5 e^{- 2} + 5$

≈ 4,323 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 5 + 4.323 = 9.323.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 1 2 x + 17 4

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{1}{2} x + \frac{17}{4}$