Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$- 3 x^{2} + 6 x$ = 0

$- 3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{0}^{2} (- 3 x^{2} + 6 x) ⅆ x

= ${[- x^{3} + 3 x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - (- 0^{3} + 3 \cdot 0^{2})$

= $- 8 + 3 \cdot 4 - (- 0 + 3 \cdot 0)$

= $- 8 + 12 - (0 + 0)$

= $4 + 0$

= $4$

Somit gilt für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $4$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $2 x^{2} - 5 x - 3$ und g(x)= $3 x^{2} - 4 x - 9$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$3 x^{2} - 4 x - 9$ = $2 x^{2} - 5 x - 3$

3 x^{2} - 4 x - 9

=

2 x^{2} - 5 x - 3

|

- 2 x^{2}

+ 5 x

+ 3

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 3

;

2

].

A=

\int_{- 3}^{2} (2 x^{2} - 5 x - 3) ⅆ x

-

\int_{- 3}^{2} (3 x^{2} - 4 x - 9) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{2} (2 x^{2} - 5 x - 3 - (3 x^{2} - 4 x - 9)) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{2} (2 x^{2} - 5 x - 3 - 3 x^{2} + 4 x + 9) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{2} (- x^{2} - x + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]}_{- 3}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 + 12 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) - \frac{1}{2} \cdot 9 - 18)$

= $- \frac{8}{3} - 2 + 12 - (9 - \frac{9}{2} - 18)$

= $- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} + \frac{36}{3} - (9 - 4,5 - 18)$

= $\frac{22}{3} - 1 \cdot (- 13,5)$

= $\frac{22}{3} + 13,5$

= $\frac{22}{3} + \frac{27}{2}$

= $\frac{44}{6} + \frac{81}{6}$

= $\frac{22}{3} + \frac{27}{2}$

= $\frac{125}{6}$

≈ 20,833

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{125}{6}$ ≈ 20.833

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5$ und g(x)= $- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 31$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 31$ = $- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5$

$- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 31$	=	$- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5$	\| $+ 31$
$- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x$	=	$- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 36$	\| $+ 5 x^{3}$ $+ 5 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 6

;

6

].

A=

\int_{- 6}^{6} (- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5) ⅆ x

-

\int_{- 6}^{6} (- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 31) ⅆ x

=

\int_{- 6}^{6} (- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5 - (- 5 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 31)) ⅆ x

=

\int_{- 6}^{6} (- 5 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 5 + 5 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 31) ⅆ x

=

\int_{- 6}^{6} (- x^{2} + 36) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 36 x]}_{- 6}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 36 \cdot 6 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 36 \cdot (- 6))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 216 + 216 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 216) - 216)$

= $- 72 + 216 - (72 - 216)$

= $144 - 1 \cdot (- 144)$

= $144 + 144$

= $288$

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $288$ ≈ 288

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x)$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die Extrempunkte ... $- \frac{3}{2} π$ , $- \frac{1}{2} π$ , $\frac{1}{2} π$ , $\frac{3}{2} π$ , $\frac{5}{2} π$ ... und die Wendepunkte bei ... $- π$ , 0, $π$ , $2 π$ ... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $- π$ und b= $\frac{1}{2} π$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $0$ .

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $- π$ bis $\frac{1}{2} π$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{- π}^{0} 4 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x)]}_{- π}^{0}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (0) + 4 \cdot \cos ((- π))$

= $- 4 \cdot 1 + 4 \cdot (- 1)$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

A₂ =

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (0)$

= $- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$

= $0 + 4$

= $4$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $8$ + $4$ = $12$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 2$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -2 und b = 1 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-2;1] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x - 2$	=	$x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 2)$	=	$2 (x^{2} - \frac{3}{2} x - 4)$
$- x - 4$	=	$2 x^{2} - 3 x - 8$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 3 x$ $+ 8$

- 2 x^{2} + 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle -1 zwischen a = -2 und b = 1 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{3}{2} x - 4 - (- \frac{1}{2} x - 2)$ bei x = -1 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = -1 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -2 bis 1 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-2}^{-1} (x^{2} - \frac{3}{2} x - 4 - (- \frac{1}{2} x - 2)) ⅆ x$

=

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4 + 4)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - (- \frac{8}{3} - 2 + 4)$

= $- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - (- \frac{8}{3} - \frac{6}{3} + \frac{12}{3})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{7}{6} + \frac{2}{3}$

= $\frac{7}{6} + \frac{4}{6}$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

A₂ = $\int_{-1}^{1} (x^{2} - \frac{3}{2} x - 4 - (- \frac{1}{2} x - 2)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{1} (x^{2} - x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-1}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2)$

= $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 2 - (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2)$

= $\frac{2}{6} - \frac{3}{6} - \frac{12}{6} - (- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6})$

= $- \frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{13}{6} - \frac{7}{6}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $5 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=4 und y=5.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 4 ⋅ 5 = 20

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=5 und $f(x) =$ $5 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$5 e^{- x + 3}$	=	$5$	\|: $5$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{4} (5 - 5 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[5 x + 5 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $5 \cdot 4 + 5 e^{- 4 + 3} - (5 \cdot 3 + 5 e^{- 3 + 3})$

= $20 + 5 e^{- 4 + 3} - (15 + 5 e^{- 3 + 3})$

= $20 + 5 e^{- 1} - (15 + 5 e^{0})$

= $5 e^{- 1} + 20 - (15 + 5)$

= $5 e^{- 1} + 20 - 1 \cdot 20$

= $5 e^{- 1} + 20 - 20$

= $5 e^{- 1} + 0$

≈ 1,839

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 20 - 1.839 = 18.161.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 5 = 15 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{4} 5 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 5 e^{- x + 3}]}_{3}^{4}$

$=$ $- 5 e^{- 4 + 3} + 5 e^{- 3 + 3}$

= $- 5 e^{- 1} + 5 e^{0}$

= $- 5 e^{- 1} + 5$

≈ 3,161 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 15 + 3.161 = 18.161.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x + 2$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 4$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

- x^{2} + 4 x + 2

=

x^{2} - 4

|

- x^{2}

+ 4

- 2 x^{2} + 4 x + 6

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- x^{2} + 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + 8 + 4 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{24}{3} + \frac{12}{3} + 0$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{3} (- x^{2} + 4 x + 2 - (x^{2} - 4)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (- 2 x^{2} + 4 x + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 6 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 - (- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 18 - (- \frac{2}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 12)$

= $- 18 + 18 + 18 - (- \frac{16}{3} + 8 + 12)$

= $18 - (- \frac{16}{3} + \frac{24}{3} + \frac{36}{3})$

= $18 - 1 \cdot \frac{44}{3}$

= $18 - \frac{44}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{44}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 9.333 + 3.333 = 12.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=3 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;3] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{3} (- x^{2} + 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 9 + 18 + 6 - (0 + 0 + 0)$

= $15 + 0$

= $15$

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 8)$

= $9 - 12 - (\frac{8}{3} - 8)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $- 3 + \frac{16}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{16}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 15 - 2.333 = 12.667.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 8$ = $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 8$ = $- \frac{1}{2} + 8$ = $- 0,5 + 8$ = $7,5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7,5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7,5$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$7,5$ = $- 1$ + c | + $1$

$8,5$ = c

also c= $8,5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $8,5$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} x^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 4.

$\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} - (- \frac{1}{2} x^{2} + 8)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} + \frac{1}{2} x^{2} - 8) ⅆ x$

=

\int_{1}^{4} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - 8 + 2 - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - \frac{24}{3} + \frac{6}{3} - (\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{14}{3} - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $\frac{14}{3} - \frac{1}{6}$

= $\frac{28}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + \frac{17}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- x + \frac{17}{2})$	=	0
$- 2 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 17$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{17}{2}$ = 8.5

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{2}$ - 4 = 4.5

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 4, also h = $- 4 + \frac{17}{2}$ = 4.5

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.5 ⋅ 4.5 = 10.125.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 4.5 + 10.125 = 14.625.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{2}$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 7.5 ⋅ 7.5

=28.125

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 8) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 8 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + 8 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 64 + 32 - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + 8)$

= $- \frac{32}{3} + 32 - (- \frac{1}{6} + 8)$

= $- \frac{32}{3} + \frac{96}{3} - (- \frac{1}{6} + \frac{48}{6})$

= $\frac{64}{3} - 1 \cdot \frac{47}{6}$

= $\frac{64}{3} - \frac{47}{6}$

= $\frac{128}{6} - \frac{47}{6}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

A_ges = A₁ - A₂ = 28.125 - 13.5 = 14.625.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=5 und y=2.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 5 ⋅ 2 = 10

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und $f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$2 e^{- x + 3}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{5} (2 - 2 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[2 x + 2 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $2 \cdot 5 + 2 e^{- 5 + 3} - (2 \cdot 3 + 2 e^{- 3 + 3})$

= $10 + 2 e^{- 5 + 3} - (6 + 2 e^{- 3 + 3})$

= $10 + 2 e^{- 2} - (6 + 2 e^{0})$

= $2 e^{- 2} + 10 - (6 + 2)$

= $2 e^{- 2} + 10 - 1 \cdot 8$

= $2 e^{- 2} + 10 - 8$

= $2 e^{- 2} + 2$

≈ 2,271

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 10 - 2.271 = 7.729.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 2 = 6 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{5} 2 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $- 2 e^{- 5 + 3} + 2 e^{- 3 + 3}$

= $- 2 e^{- 2} + 2 e^{0}$

= $- 2 e^{- 2} + 2$

≈ 1,729 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 6 + 1.729 = 7.729.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x + 17 2

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$