Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$x^{2} - 9$ = 0

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-3}^{3} (x^{2} - 9) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]}_{-3}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 9 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 27 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + 27)$

= $9 - 27 - (- 9 + 27)$

= $- 18 - 1 \cdot 18$

= $- 18 - 18$

= $- 36$

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $36$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$ und g(x)= $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1$ = $x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$

x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1

=

x^{3} + x^{2} + 4 x + 1

|

- x^{3}

- x^{2}

- 4 x

- 1

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 2

;

1

].

A=

\int_{- 2}^{1} (x^{3} + x^{2} + 4 x + 1) ⅆ x

-

\int_{- 2}^{1} (x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (x^{3} + x^{2} + 4 x + 1 - (x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1)) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (x^{3} + x^{2} + 4 x + 1 - x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 1) ⅆ x

=

\int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{- 2}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 8) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 4)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - (\frac{8}{3} - 2 - 4)$

= $- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - (\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot (- \frac{10}{3})$

= $\frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

= $\frac{7}{6} + \frac{20}{6}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x - 12$ und g(x)= $- \frac{35}{x}$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{35}{x}$ = $x - 12$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{35}{x}$	=	$x - 12$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{35}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 12 \cdot x$
$- 35$	=	$x \cdot x - 12 x$

- 35

=

x^{2} - 12 x

|

- x^{2}

+ 12 x

$- x^{2} + 12 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12+2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12-2}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wir brauchen also das Integral im Interval [

5

;

7

].

A=

\int_{5}^{7} (x - 12) ⅆ x

-

\int_{5}^{7} - \frac{35}{x} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} (x - 12 + \frac{35}{x}) ⅆ x

=

\int_{5}^{7} (x - 12 + \frac{35}{x}) ⅆ x

=

\int_{5}^{7} (x - 12 + \frac{35}{x}) ⅆ x

=

\int_{5}^{7} (x - 12 + 35 x^{- 1}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 12 x + 35 \ln (| x |)]}_{5}^{7}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} - 12 \cdot 7 + 35 \ln (| 7 |) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 35 \ln (| 5 |))$

= $\frac{1}{2} \cdot 49 - 84 + 35 \ln (| 7 |) - (\frac{1}{2} \cdot 25 - 60 + 35 \ln (| 5 |))$

= $\frac{49}{2} - 84 + 35 \ln (| 7 |) - (\frac{25}{2} - 60 + 35 \ln (| 5 |))$

= $35 \ln (| 7 |) + 24,5 - 84 - (35 \ln (5) - \frac{95}{2})$

= $35 \ln (| 7 |) - 59,5 - (35 \ln (5) - \frac{95}{2})$

= $- 35 \ln (5) + \frac{95}{2} + 35 \ln (| 7 |) - 59,5$

= $- 35 \ln (5) + 35 \ln (| 7 |) + \frac{95}{2} - 59,5$

= $35 \ln (7) - 35 \ln (5) - 12$

≈ -0,223

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A=| $35 \ln (7) - 35 \ln (5) - 12$ | ≈ 0.223

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\sin (x)$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die Extrempunkte ... $- \frac{3}{2} π$ , $- \frac{1}{2} π$ , $\frac{1}{2} π$ , $\frac{3}{2} π$ , $\frac{5}{2} π$ ... und die Wendepunkte bei ... $- π$ , 0, $π$ , $2 π$ ... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $- \frac{1}{2} π$ und b= $π$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $0$ .

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $- \frac{1}{2} π$ bis $π$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{- \frac{1}{2} π}^{0} \sin (x) ⅆ x

= ${[- \cos (x)]}_{- \frac{1}{2} π}^{0}$

$=$ $- \cos (0) + \cos ((- \frac{1}{2} π))$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

A₂ =

\int_{0}^{π} \sin (x) ⅆ x

= ${[- \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \cos (π) + \cos (0)$

= $- (- 1) + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $1$ + $2$ = $3$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{7}{2} x + 1$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 1$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 2 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x + 1$	=	$x^{2} - \frac{7}{2} x + 1$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{7}{2} x$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x)$	\| $- 2 (x^{2} - \frac{7}{2} x)$
$- 2 x^{2} - x + 7 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{7}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)$ bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-1}^{0} (x^{2} - \frac{7}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{0} (x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - \frac{3}{2} \cdot 1)$

= $0 + 0 - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{2})$

= $0 - (- \frac{2}{6} - \frac{9}{6})$

= $- 1 \cdot (- \frac{11}{6})$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

A₂ = $\int_{0}^{2} (x^{2} - \frac{7}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)) ⅆ x$

=

\int_{0}^{2} (x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $\frac{8}{3} - 6 - (0 + 0)$

= $\frac{8}{3} - \frac{18}{3} + 0$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=2.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 2 = 6

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=2 und $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x^{2}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 \cdot x^{2}$
$2$	=	$2 x^{2}$

$2$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{3} (2 - \frac{2}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (2 - 2 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[2 x + 2 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[2 x + \frac{2}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $2 \cdot 3 + \frac{2}{3} - (2 \cdot 1 + \frac{2}{1})$

= $6 + 2 \cdot (\frac{1}{3}) - (2 + 2 \cdot 1)$

= $6 + \frac{2}{3} - (2 + 2)$

= $\frac{18}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 4$

= $\frac{20}{3} - 4$

= $\frac{20}{3} - \frac{12}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 6 - 2.667 = 3.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 2 = 2 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{3} \frac{2}{x^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 2 x^{- 2} ⅆ x

= ${[- 2 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{2}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} + \frac{2}{1}$

= $- 2 \cdot (\frac{1}{3}) + 2 \cdot 1$

= $- \frac{2}{3} + 2$

= $- \frac{2}{3} + \frac{6}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 2 + 1.333 = 3.333.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	=	0	\| $+ \frac{18}{5}$
$\frac{2}{5} x^{2}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$	=	$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5})$	=	$5 (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})$
$- x^{2} + 6 x + 27$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 45

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=5.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + \frac{27}{5} \cdot 3 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + \frac{81}{5} - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{5} + \frac{27}{5} + \frac{81}{5} - (0 + 0 + 0)$

= $\frac{99}{5} + 0$

= $\frac{99}{5}$

= 19,8

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5} - (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})) ⅆ x$

=

\int_{3}^{5} (- \frac{3}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + 9) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + 9 x]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + 9 \cdot 5 - (- \frac{1}{5} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{5} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 45 - (- \frac{1}{5} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + 27)$

= $- 25 + 15 + 45 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + 27)$

= $35 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + \frac{135}{5})$

= $35 - 1 \cdot 27$

= $35 - 27$

= $8$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 19.8 + 8 = 27.8.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=5 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;5] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + \frac{27}{5} \cdot 5 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 27 - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + 15 + 27 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + \frac{45}{3} + \frac{81}{3} + 0$

= $\frac{101}{3}$

≈ 33,667

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{5} (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{3} - \frac{18}{5} x]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot 5^{3} - \frac{18}{5} \cdot 5 - (\frac{2}{15} \cdot 3^{3} - \frac{18}{5} \cdot 3)$

= $\frac{2}{15} \cdot 125 - 18 - (\frac{2}{15} \cdot 27 - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - 18 - (\frac{18}{5} - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - \frac{54}{3} - 1 \cdot (- \frac{36}{5})$

= $- \frac{4}{3} + \frac{36}{5}$

= $- \frac{20}{15} + \frac{108}{15}$

= $\frac{88}{15}$

≈ 5,867

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 33.667 - 5.867 = 27.8.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 9$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- 2 x + 10$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} + 9$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{2} + 9$ = $- 1 + 9$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $- 2$ ⋅ $1$ + c

$8$ = $- 2$ + c | + $2$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $10$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- x^{2} + 9$ = 0

$- x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 3.

$\int_{1}^{3} (- 2 x + 10 - (- x^{2} + 9)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{3} (- 2 x + 10 + x^{2} - 9) ⅆ x$

=

\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x + 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} + 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 9 + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 + 1)$

= $9 - 9 + 3 - (\frac{1}{3} - 1 + 1)$

= $3 - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + \frac{3}{3})$

= $3 - 1 \cdot \frac{1}{3}$

= $3 - \frac{1}{3}$

= $\frac{9}{3} - \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- 2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit erhält man für die Breite b= $5$ - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- 2 \cdot 3 + 10$ = 4

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 4 = 4.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 2.667 + 4 = 6.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $5$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 8

=16

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{3} (- x^{2} + 9) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 9 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 9 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + 27 - (- \frac{1}{3} \cdot 1 + 9)$

= $- 9 + 27 - (- \frac{1}{3} + 9)$

= $18 - (- \frac{1}{3} + \frac{27}{3})$

= $18 - 1 \cdot \frac{26}{3}$

= $18 - \frac{26}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{26}{3}$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

A_ges = A₁ - A₂ = 16 - 9.333 = 6.667.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 9$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $\frac{1}{2}$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{37}{4}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} + 9$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(\frac{1}{2}) =$ $- 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ $- {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$ = $- (\frac{1}{4}) + 9$ = $\frac{35}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{35}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{35}{4}$ = $- 1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{35}{4}$ = $- \frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{37}{4}$ = c

also c= $\frac{37}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $\frac{37}{4}$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $\frac{1}{2}$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- x^{2} + 9$ = 0

$- x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $\frac{1}{2}$ und x₂ = 3.

$\int_{\frac{1}{2}}^{3} (- x + \frac{37}{4} - (- x^{2} + 9)) ⅆ x$

= $\int_{\frac{1}{2}}^{3} (- x + \frac{37}{4} + x^{2} - 9) ⅆ x$

=

\int_{\frac{1}{2}}^{3} (x^{2} - x + \frac{1}{4}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x]}_{\frac{1}{2}}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + \frac{1}{4} \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2}))$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{3}{4} - (\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{8})$

= $9 - \frac{9}{2} + \frac{3}{4} - (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8})$

= $\frac{36}{4} - \frac{18}{4} + \frac{3}{4} - (\frac{1}{24} - \frac{3}{24} + \frac{3}{24})$

= $\frac{21}{4} - 1 \cdot \frac{1}{24}$

= $\frac{21}{4} - \frac{1}{24}$

= $\frac{126}{24} - \frac{1}{24}$

= $\frac{125}{24}$

≈ 5,208

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + \frac{37}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- x + \frac{37}{4})$	=	0
$- 4 x + 37$	=	0	\| $- 37$
$- 4 x$	=	$- 37$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$\frac{37}{4}$ = 9.25

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{37}{4}$ - 3 = 6.25

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- 3 + \frac{37}{4}$ = 6.25

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6.25 ⋅ 6.25 ≈ 19.531.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 5.208 + 19.531 = 24.74.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{37}{4}$ - $\frac{1}{2}$ ) ⋅ f( $\frac{1}{2}$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 8.75 ⋅ 8.75

=38.281

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{\frac{1}{2}}^{3} (- x^{2} + 9) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 9 x]}_{\frac{1}{2}}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 9 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 9 \cdot (\frac{1}{2}))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + 27 - (- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + \frac{9}{2})$

= $- 9 + 27 - (- \frac{1}{24} + \frac{9}{2})$

= $18 - (- \frac{1}{24} + \frac{108}{24})$

= $18 - 1 \cdot \frac{107}{24}$

= $18 - \frac{107}{24}$

= $\frac{432}{24} - \frac{107}{24}$

= $\frac{325}{24}$

≈ 13,542

A_ges = A₁ - A₂ = 38.281 - 13.542 = 24.739.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -2x +10

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x + 37 4

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Berechnung der Tangenten: y= $- 2 x + 10$

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{37}{4}$