Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 9$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$x^{2} - 9$ = 0

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-3}^{3} (x^{2} - 9) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]}_{-3}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 9 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 27 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + 27)$

= $9 - 27 - (- 9 + 27)$

= $- 18 - 1 \cdot 18$

= $- 18 - 18$

= $- 36$

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $36$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 3 x^{2} + 2 x + 2$ und g(x)= $- 2 x^{2} - 8 x + 26$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 2 x^{2} - 8 x + 26$ = $- 3 x^{2} + 2 x + 2$

- 2 x^{2} - 8 x + 26

=

- 3 x^{2} + 2 x + 2

|

+ 3 x^{2}

- 2 x

- 2

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

4

;

6

].

A=

\int_{4}^{6} (- 3 x^{2} + 2 x + 2) ⅆ x

-

\int_{4}^{6} (- 2 x^{2} - 8 x + 26) ⅆ x

=

\int_{4}^{6} (- 3 x^{2} + 2 x + 2 - (- 2 x^{2} - 8 x + 26)) ⅆ x

=

\int_{4}^{6} (- 3 x^{2} + 2 x + 2 + 2 x^{2} + 8 x - 26) ⅆ x

=

\int_{4}^{6} (- x^{2} + 10 x - 24) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 5 x^{2} - 24 x]}_{4}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 5 \cdot 6^{2} - 24 \cdot 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4^{2} - 24 \cdot 4)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 216 + 5 \cdot 36 - 144 - (- \frac{1}{3} \cdot 64 + 5 \cdot 16 - 96)$

= $- 72 + 180 - 144 - (- \frac{64}{3} + 80 - 96)$

= $- 36 - (- \frac{64}{3} + \frac{240}{3} - \frac{288}{3})$

= $- 36 - 1 \cdot (- \frac{112}{3})$

= $- 36 + \frac{112}{3}$

= $- \frac{108}{3} + \frac{112}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 5 x^{2} - 2 x + 1$ und g(x)= $- 4 x^{2} - 5 x - 17$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 4 x^{2} - 5 x - 17$ = $- 5 x^{2} - 2 x + 1$

- 4 x^{2} - 5 x - 17

=

- 5 x^{2} - 2 x + 1

|

+ 5 x^{2}

+ 2 x

- 1

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 3

;

6

].

A=

\int_{- 3}^{6} (- 5 x^{2} - 2 x + 1) ⅆ x

-

\int_{- 3}^{6} (- 4 x^{2} - 5 x - 17) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{6} (- 5 x^{2} - 2 x + 1 - (- 4 x^{2} - 5 x - 17)) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{6} (- 5 x^{2} - 2 x + 1 + 4 x^{2} + 5 x + 17) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{6} (- x^{2} + 3 x + 18) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 18 x]}_{- 3}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{3}{2} \cdot 6^{2} + 18 \cdot 6 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 18 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{3}{2} \cdot 36 + 108 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + \frac{3}{2} \cdot 9 - 54)$

= $- 72 + 54 + 108 - (9 + \frac{27}{2} - 54)$

= $90 - (9 + 13,5 - 54)$

= $90 - 1 \cdot (- 31,5)$

= $90 + 31,5$

= $121,5$

= 121,5

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{243}{2}$ ≈ 121.5

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{x} - 3$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von -1 bis 1 berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{-1}^{0} (3 e^{x} - 3) ⅆ x

= ${[3 e^{x} - 3 x]}_{-1}^{0}$

$=$ $3 e^{0} - 3 \cdot 0 - (3 e^{- 1} - 3 \cdot (- 1))$

= $3 + 0 - (3 e^{- 1} + 3)$

= $3 - (3 e^{- 1} + 3)$

= $- 3 e^{- 1} + 0$

≈ -1,104

A₂ =

\int_{0}^{1} (3 e^{x} - 3) ⅆ x

= ${[3 e^{x} - 3 x]}_{0}^{1}$

$=$ $3 e^{1} - 3 \cdot 1 - (3 e^{0} - 3 \cdot 0)$

= $3 e - 3 - (3 + 0)$

= $- 3 + 3 e - 3$

= $- 3 - 3 + 3 e$

= $- 6 + 3 e$

≈ 2,155

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = 1.104 + 2.155 = 3.259.

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - 2$ und g mit $g(x) =$ $\frac{1}{2} x$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -3 und b = 0 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-3;0] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$\frac{1}{2} x$	=	$x^{2} + \frac{3}{2} x - 2$	\|⋅ 2
$x$	=	$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - 2)$
$x$	=	$2 x^{2} + 3 x - 4$	\| $- 2 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 4$

- 2 x^{2} - 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Man erkennt, dass die Schnittstelle -2 zwischen a = -3 und b = 0 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} + \frac{3}{2} x - 2 - \frac{1}{2} x$ bei x = -2 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = -2 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -3 bis 0 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-3}^{-2} (x^{2} + \frac{3}{2} x - 2 - \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{-3}^{-2} (x^{2} + x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-3}^{-2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{3} \cdot (- 8) + \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 - (\frac{1}{3} \cdot (- 27) + \frac{1}{2} \cdot 9 + 6)$

= $- \frac{8}{3} + 2 + 4 - (- 9 + \frac{9}{2} + 6)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{12}{3} - (- 9 + 4,5 + 6)$

= $\frac{10}{3} - 1 \cdot 1,5$

= $\frac{10}{3} - 1,5$

= $\frac{10}{3} - \frac{3}{2}$

= $\frac{20}{6} - \frac{9}{6}$

= $\frac{10}{3} - \frac{3}{2}$

= $\frac{11}{6}$

≈ 1,833

A₂ = $\int_{-2}^{0} (x^{2} + \frac{3}{2} x - 2 - \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{-2}^{0} (x^{2} + x - 2) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + \frac{1}{2} \cdot 4 + 4)$

= $0 + 0 + 0 - (- \frac{8}{3} + 2 + 4)$

= $0 - (- \frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{12}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{10}{3}$

= $- \frac{10}{3}$

≈ -3,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{11}{6}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{31}{6}$ ≈ 5.17.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=2 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 2 ⋅ 3 = 6

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{3}{x^{2}}$	=	$3$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$3 \cdot x^{2}$
$3$	=	$3 x^{2}$

$3$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{2} (3 - \frac{3}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{2} (3 - 3 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 x^{- 1}]}_{1}^{2}$

= ${[3 x + \frac{3}{x}]}_{1}^{2}$

$=$ $3 \cdot 2 + \frac{3}{2} - (3 \cdot 1 + \frac{3}{1})$

= $6 + 3 \cdot (\frac{1}{2}) - (3 + 3 \cdot 1)$

= $6 + \frac{3}{2} - (3 + 3)$

= $6 + 1,5 - 1 \cdot 6$

= $7,5 - 6$

= $1,5$

= 1,5

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 6 - 1.5 = 4.5.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 3 = 3 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{2} \frac{3}{x^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{2} 3 x^{- 2} ⅆ x

= ${[- 3 x^{- 1}]}_{1}^{2}$

= ${[- \frac{3}{x}]}_{1}^{2}$

$=$ $- \frac{3}{2} + \frac{3}{1}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1$

= $- \frac{3}{2} + 3$

= $- 1,5 + 3$

= $1,5$

= 1,5 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 3 + 1.5 = 4.5.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 4$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}$	=	$x^{2} - 4$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2})$	=	$2 (x^{2} - 4)$
$- x^{2} + 4 x + 7$	=	$2 x^{2} - 8$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8$

$- 3 x^{2} + 4 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 15}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 4+14}{- 6}$ = $\frac{10}{- 6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 4-14}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + \frac{7}{2} x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 2^{2} + \frac{7}{2} \cdot 2 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 0^{2} + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 8 + 4 + 7 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + 4 + 7 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3} + \frac{21}{3} + 0$

= $\frac{29}{3}$

≈ 9,667

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2} - (x^{2} - 4)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + \frac{15}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + \frac{15}{2} x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{3} + 3^{2} + \frac{15}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{3} + 2^{2} + \frac{15}{2} \cdot 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 27 + 9 + \frac{45}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 8 + 4 + 15)$

= $- \frac{27}{2} + 9 + \frac{45}{2} - (- 4 + 4 + 15)$

= $- 13,5 + 9 + 22,5 - 1 \cdot 15$

= $18 - 15$

= $3$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 9.667 + 3 = 12.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=3 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;3] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + \frac{7}{2} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + 3^{2} + \frac{7}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 0^{2} + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + 9 + \frac{21}{2} - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 9 + \frac{21}{2} - (0 + 0 + 0)$

= $- 4,5 + 9 + 10,5 + 0$

= $15$

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 8)$

= $9 - 12 - (\frac{8}{3} - 8)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $- 3 + \frac{16}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{16}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 15 - 2.333 = 12.667.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $\frac{1}{2}$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{4}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(\frac{1}{2}) =$ $- 2 \cdot (\frac{1}{2})$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ $- {(\frac{1}{2})}^{2} + 4$ = $- (\frac{1}{4}) + 4$ = $\frac{15}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{15}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{15}{4}$ = $- 1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{15}{4}$ = $- \frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{17}{4}$ = c

also c= $\frac{17}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $\frac{17}{4}$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $\frac{1}{2}$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- x^{2} + 4$ = 0

$- x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $\frac{1}{2}$ und x₂ = 2.

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} (- x + \frac{17}{4} - (- x^{2} + 4)) ⅆ x$

= $\int_{\frac{1}{2}}^{2} (- x + \frac{17}{4} + x^{2} - 4) ⅆ x$

=

\int_{\frac{1}{2}}^{2} (x^{2} - x + \frac{1}{4}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x]}_{\frac{1}{2}}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2}))$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{8})$

= $\frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{2} - (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8})$

= $\frac{16}{6} - \frac{12}{6} + \frac{3}{6} - (\frac{1}{24} - \frac{3}{24} + \frac{3}{24})$

= $\frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{1}{24}$

= $\frac{7}{6} - \frac{1}{24}$

= $\frac{28}{24} - \frac{1}{24}$

= $\frac{9}{8}$

= 1,125

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + \frac{17}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- x + \frac{17}{4})$	=	0
$- 4 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 4 x$	=	$- 17$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$\frac{17}{4}$ = 4.25

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{4}$ - 2 = 2.25

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 2, also h = $- 2 + \frac{17}{4}$ = 2.25

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2.25 ⋅ 2.25 ≈ 2.531.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 1.125 + 2.531 = 3.656.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{4}$ - $\frac{1}{2}$ ) ⋅ f( $\frac{1}{2}$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 3.75 ⋅ 3.75

=7.031

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{\frac{1}{2}}^{2} (- x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{\frac{1}{2}}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 \cdot (\frac{1}{2}))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 8 - (- \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{8}) + 2)$

= $- \frac{8}{3} + 8 - (- \frac{1}{24} + 2)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{24}{3} - (- \frac{1}{24} + \frac{48}{24})$

= $\frac{16}{3} - 1 \cdot \frac{47}{24}$

= $\frac{16}{3} - \frac{47}{24}$

= $\frac{128}{24} - \frac{47}{24}$

= $\frac{27}{8}$

= 3,375

A_ges = A₁ - A₂ = 7.031 - 3.375 = 3.656.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 0$

= $- \frac{2}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + 3$ = $- \frac{1}{3} \cdot 1 + 3$ = $- \frac{1}{3} + 3$ = $- \frac{1}{3} + \frac{9}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{8}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ⋅ $1$ + c

$\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$\frac{10}{3}$ = c

also c= $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅x + $\frac{10}{3}$ oder y=-0.67x +3.33

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ = 0

$- \frac{1}{3} x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} x^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 3.

$\int_{1}^{3} (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} - (- \frac{1}{3} x^{2} + 3)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{3} (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} + \frac{1}{3} x^{2} - 3) ⅆ x$

=

\int_{1}^{3} (\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} + \frac{1}{3} \cdot 3 - (\frac{1}{9} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 9 + 1 - (\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3})$

= $3 - 3 + 1 - (\frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $1 - (\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{3}{9})$

= $1 - 1 \cdot \frac{1}{9}$

= $1 - \frac{1}{9}$

= $\frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

= $\frac{8}{9}$

≈ 0,889

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3})$	=	0
$- 2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit erhält man für die Breite b= $5$ - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{10}{3}$ ≈ 1.333

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 1.333 ≈ 1.333.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 0.889 + 1.333 = 2.222.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $5$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 2.667

=5.333

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{3} (- \frac{1}{3} x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + 3 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{9} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 27 + 9 - (- \frac{1}{9} \cdot 1 + 3)$

= $- 3 + 9 - (- \frac{1}{9} + 3)$

= $6 - (- \frac{1}{9} + \frac{27}{9})$

= $6 - 1 \cdot \frac{26}{9}$

= $6 - \frac{26}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{26}{9}$

= $\frac{28}{9}$

≈ 3,111

A_ges = A₁ - A₂ = 5.333 - 3.111 = 2.222.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x + 17 4

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 2 3 x + 10 3

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{4}$

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$