Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$x^{2} - 4$ = 0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-2}^{2} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{-2}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 8 - (\frac{1}{3} \cdot (- 8) + 8)$

= $\frac{8}{3} - 8 - (- \frac{8}{3} + 8)$

= $\frac{8}{3} - \frac{24}{3} - (- \frac{8}{3} + \frac{24}{3})$

= $- \frac{16}{3} - 1 \cdot \frac{16}{3}$

= $- \frac{16}{3} - \frac{16}{3}$

= $- \frac{32}{3}$

≈ -10,667

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{32}{3}$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2$ und g(x)= $3 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x - 9$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$3 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x - 9$ = $3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2$

3 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x - 9

=

3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2

|

- 3 x^{3}

- 4 x^{2}

- 2 x

+ 2

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 7

;

1

].

A=

\int_{- 7}^{1} (3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2) ⅆ x

-

\int_{- 7}^{1} (3 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x - 9) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{1} (3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 - (3 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x - 9)) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{1} (3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 9) ⅆ x

=

\int_{- 7}^{1} (- x^{2} - 6 x + 7) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x]}_{- 7}^{1}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 7)}^{3} - 3 \cdot {(- 7)}^{2} + 7 \cdot (- 7))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 7 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 343) - 3 \cdot 49 - 49)$

= $- \frac{1}{3} - 3 + 7 - (\frac{343}{3} - 147 - 49)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{9}{3} + \frac{21}{3} - (\frac{343}{3} - \frac{441}{3} - \frac{147}{3})$

= $\frac{11}{3} - 1 \cdot (- \frac{245}{3})$

= $\frac{11}{3} + \frac{245}{3}$

= $\frac{256}{3}$

≈ 85,333

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{256}{3}$ ≈ 85.333

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3$ und g(x)= $- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 7$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 7$ = $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3$

- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 7

=

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3

|

+ 2 x^{3}

+ 3 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 1

;

4

].

A=

\int_{- 1}^{4} (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3) ⅆ x

-

\int_{- 1}^{4} (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 7) ⅆ x

=

\int_{- 1}^{4} (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3 - (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 7)) ⅆ x

=

\int_{- 1}^{4} (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 7) ⅆ x

=

\int_{- 1}^{4} (- x^{2} + 3 x + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{- 1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 16 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1) + \frac{3}{2} \cdot 1 - 4)$

= $- \frac{64}{3} + 24 + 16 - (\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{72}{3} + \frac{48}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{24}{6})$

= $\frac{56}{3} - 1 \cdot (- \frac{13}{6})$

= $\frac{56}{3} + \frac{13}{6}$

= $\frac{112}{6} + \frac{13}{6}$

= $\frac{125}{6}$

≈ 20,833

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{125}{6}$ ≈ 20.833

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} - 3$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von 0 bis 4 berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{0}^{3} (\frac{1}{3} x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - 3 x]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 - (\frac{1}{9} \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0)$

= $\frac{1}{9} \cdot 27 - 9 - (\frac{1}{9} \cdot 0 + 0)$

= $3 - 9 - (0 + 0)$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

A₂ =

\int_{3}^{4} (\frac{1}{3} x^{2} - 3) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - 3 x]}_{3}^{4}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4 - (\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3)$

= $\frac{1}{9} \cdot 64 - 12 - (\frac{1}{9} \cdot 27 - 9)$

= $\frac{64}{9} - 12 - (3 - 9)$

= $\frac{64}{9} - \frac{108}{9} - 1 \cdot (- 6)$

= $- \frac{44}{9} + 6$

= $- \frac{44}{9} + \frac{54}{9}$

= $\frac{10}{9}$

≈ 1,111

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $6$ + $\frac{10}{9}$ = $\frac{64}{9}$ ≈ 7.11.

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{1}{2} x - 7$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 3$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 3 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;3] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x - 3$	=	$x^{2} - \frac{1}{2} x - 7$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{1}{2} x - 4$	\| $- x^{2}$ $+ \frac{1}{2} x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 2 zwischen a = -1 und b = 3 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{1}{2} x - 7 - (- \frac{1}{2} x - 3)$ bei x = 2 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 2 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 3 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-1}^{2} (x^{2} - \frac{1}{2} x - 7 - (- \frac{1}{2} x - 3)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{2} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{-1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 4 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 8 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 4)$

= $\frac{8}{3} - 8 - (- \frac{1}{3} + 4)$

= $\frac{8}{3} - \frac{24}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{12}{3})$

= $- \frac{16}{3} - 1 \cdot \frac{11}{3}$

= $- \frac{16}{3} - \frac{11}{3}$

= $- 9$

A₂ = $\int_{2}^{3} (x^{2} - \frac{1}{2} x - 7 - (- \frac{1}{2} x - 3)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 8)$

= $9 - 12 - (\frac{8}{3} - 8)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $- 3 + \frac{16}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{16}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $9$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{34}{3}$ ≈ 11.33.

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 1}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 3 = 9

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 1}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 1}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 1$	=	0

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{3} (3 - 3 e^{- x + 1}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $3 \cdot 3 + 3 e^{- 3 + 1} - (3 \cdot 1 + 3 e^{- 1 + 1})$

= $9 + 3 e^{- 3 + 1} - (3 + 3 e^{- 1 + 1})$

= $9 + 3 e^{- 2} - (3 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 2} + 9 - (3 + 3)$

= $3 e^{- 2} + 9 - 1 \cdot 6$

= $3 e^{- 2} + 9 - 6$

= $3 e^{- 2} + 3$

≈ 3,406

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 9 - 3.406 = 5.594.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 3 = 3 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{3} 3 e^{- x + 1} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 1}]}_{1}^{3}$

$=$ $- 3 e^{- 3 + 1} + 3 e^{- 1 + 1}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 2} + 3$

≈ 2,594 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 3 + 2.594 = 5.594.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	=	0	\| $+ \frac{18}{5}$
$\frac{2}{5} x^{2}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$	=	$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5})$	=	$5 (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})$
$- x^{2} + 6 x + 27$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 45

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=5.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + \frac{27}{5} \cdot 3 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + \frac{81}{5} - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{5} + \frac{27}{5} + \frac{81}{5} - (0 + 0 + 0)$

= $\frac{99}{5} + 0$

= $\frac{99}{5}$

= 19,8

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5} - (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})) ⅆ x$

=

\int_{3}^{5} (- \frac{3}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + 9) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + 9 x]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + 9 \cdot 5 - (- \frac{1}{5} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{5} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 45 - (- \frac{1}{5} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + 27)$

= $- 25 + 15 + 45 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + 27)$

= $35 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + \frac{135}{5})$

= $35 - 1 \cdot 27$

= $35 - 27$

= $8$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 19.8 + 8 = 27.8.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=5 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;5] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + \frac{27}{5} \cdot 5 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 27 - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + 15 + 27 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + \frac{45}{3} + \frac{81}{3} + 0$

= $\frac{101}{3}$

≈ 33,667

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{5} (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{3} - \frac{18}{5} x]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot 5^{3} - \frac{18}{5} \cdot 5 - (\frac{2}{15} \cdot 3^{3} - \frac{18}{5} \cdot 3)$

= $\frac{2}{15} \cdot 125 - 18 - (\frac{2}{15} \cdot 27 - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - 18 - (\frac{18}{5} - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - \frac{54}{3} - 1 \cdot (- \frac{36}{5})$

= $- \frac{4}{3} + \frac{36}{5}$

= $- \frac{20}{15} + \frac{108}{15}$

= $\frac{88}{15}$

≈ 5,867

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 33.667 - 5.867 = 27.8.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 0$

= $- \frac{2}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + 3$ = $- \frac{1}{3} \cdot 1 + 3$ = $- \frac{1}{3} + 3$ = $- \frac{1}{3} + \frac{9}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{8}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ ⋅ $1$ + c

$\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$\frac{10}{3}$ = c

also c= $\frac{10}{3}$ ≈ 3.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅x + $\frac{10}{3}$ oder y=-0.67x +3.33

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{3} x^{2} + 3$ = 0

$- \frac{1}{3} x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} x^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 3.

$\int_{1}^{3} (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} - (- \frac{1}{3} x^{2} + 3)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{3} (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} + \frac{1}{3} x^{2} - 3) ⅆ x$

=

\int_{1}^{3} (\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} + \frac{1}{3} \cdot 3 - (\frac{1}{9} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 9 + 1 - (\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3})$

= $3 - 3 + 1 - (\frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $1 - (\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{3}{9})$

= $1 - 1 \cdot \frac{1}{9}$

= $1 - \frac{1}{9}$

= $\frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

= $\frac{8}{9}$

≈ 0,889

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3})$	=	0
$- 2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit erhält man für die Breite b= $5$ - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{10}{3}$ ≈ 1.333

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 1.333 ≈ 1.333.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 0.889 + 1.333 = 2.222.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $5$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 2.667

=5.333

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{3} (- \frac{1}{3} x^{2} + 3) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + 3 x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3 - (- \frac{1}{9} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 27 + 9 - (- \frac{1}{9} \cdot 1 + 3)$

= $- 3 + 9 - (- \frac{1}{9} + 3)$

= $6 - (- \frac{1}{9} + \frac{27}{9})$

= $6 - 1 \cdot \frac{26}{9}$

= $6 - \frac{26}{9}$

= $\frac{54}{9} - \frac{26}{9}$

= $\frac{28}{9}$

≈ 3,111

A_ges = A₁ - A₂ = 5.333 - 3.111 = 2.222.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 8$ = $- \frac{1}{2} \cdot 1 + 8$ = $- \frac{1}{2} + 8$ = $- 0,5 + 8$ = $7,5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7,5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7,5$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$7,5$ = $- 1$ + c | + $1$

$8,5$ = c

also c= $8,5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $8,5$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{2} x^{2} + 8$ = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} x^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 4.

$\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} - (- \frac{1}{2} x^{2} + 8)) ⅆ x$

= $\int_{1}^{4} (- x + \frac{17}{2} + \frac{1}{2} x^{2} - 8) ⅆ x$

=

\int_{1}^{4} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 4^{3} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - 8 + 2 - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{32}{3} - \frac{24}{3} + \frac{6}{3} - (\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{3}{6})$

= $\frac{14}{3} - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $\frac{14}{3} - \frac{1}{6}$

= $\frac{28}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{9}{2}$

= 4,5

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + \frac{17}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- x + \frac{17}{2})$	=	0
$- 2 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 17$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{17}{2}$ = 8.5

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{2}$ - 4 = 4.5

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 4, also h = $- 4 + \frac{17}{2}$ = 4.5

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.5 ⋅ 4.5 = 10.125.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 4.5 + 10.125 = 14.625.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{2}$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 7.5 ⋅ 7.5

=28.125

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + 8) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + 8 x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 4^{3} + 8 \cdot 4 - (- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 64 + 32 - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + 8)$

= $- \frac{32}{3} + 32 - (- \frac{1}{6} + 8)$

= $- \frac{32}{3} + \frac{96}{3} - (- \frac{1}{6} + \frac{48}{6})$

= $\frac{64}{3} - 1 \cdot \frac{47}{6}$

= $\frac{64}{3} - \frac{47}{6}$

= $\frac{128}{6} - \frac{47}{6}$

= $\frac{27}{2}$

= 13,5

A_ges = A₁ - A₂ = 28.125 - 13.5 = 14.625.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 2 3 x + 10 3

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x + 17 2

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{10}{3}$

Berechnung der Tangenten: y= $- x + \frac{17}{2}$