Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$x^{2} - 3 x$ = 0

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{0}^{3} (x^{2} - 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0)$

= $9 - \frac{27}{2} - (0 + 0)$

= $9 - 13,5 + 0$

= $- 4,5$

= -4,5

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{9}{2}$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ und g(x)= $x^{3} - 2 x - 15$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$x^{3} - 2 x - 15$ = $x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$

$x^{3} - 2 x - 15$	=	$x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$	\| $+ 15$
$x^{3} - 2 x$	=	$x^{3} - x^{2} - 2 x + 16$	\| $- x^{3}$ $+ x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 4

;

4

].

A=

\int_{- 4}^{4} (x^{3} - x^{2} - 2 x + 1) ⅆ x

-

\int_{- 4}^{4} (x^{3} - 2 x - 15) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 - (x^{3} - 2 x - 15)) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 - x^{3} + 2 x + 15) ⅆ x

=

\int_{- 4}^{4} (- x^{2} + 16) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 16 x]}_{- 4}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 16 \cdot 4 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 16 \cdot (- 4))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 64 + 64 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 64) - 64)$

= $- \frac{64}{3} + 64 - (\frac{64}{3} - 64)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{192}{3} - (\frac{64}{3} - \frac{192}{3})$

= $\frac{128}{3} - 1 \cdot (- \frac{128}{3})$

= $\frac{128}{3} + \frac{128}{3}$

= $\frac{256}{3}$

≈ 85,333

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{256}{3}$ ≈ 85.333

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x - 9$ und g(x)= $- \frac{20}{x}$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{20}{x}$ = $x - 9$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{20}{x}$	=	$x - 9$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{20}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 9 \cdot x$
$- 20$	=	$x \cdot x - 9 x$

- 20

=

x^{2} - 9 x

|

- x^{2}

+ 9 x

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wir brauchen also das Integral im Interval [

4

;

5

].

A=

\int_{4}^{5} (x - 9) ⅆ x

-

\int_{4}^{5} - \frac{20}{x} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} (x - 9 + \frac{20}{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{5} (x - 9 + \frac{20}{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{5} (x - 9 + \frac{20}{x}) ⅆ x

=

\int_{4}^{5} (x - 9 + 20 x^{- 1}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 9 x + 20 \ln (| x |)]}_{4}^{5}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + 20 \ln (| 5 |) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 9 \cdot 4 + 20 \ln (| 4 |))$

= $\frac{1}{2} \cdot 25 - 45 + 20 \ln (| 5 |) - (\frac{1}{2} \cdot 16 - 36 + 20 \ln (| 4 |))$

= $\frac{25}{2} - 45 + 20 \ln (| 5 |) - (8 - 36 + 20 \ln (| 4 |))$

= $20 \ln (| 5 |) + 12,5 - 45 - (20 \ln (4) - 28)$

= $20 \ln (| 5 |) - 32,5 - (20 \ln (4) - 28)$

= $- 20 \ln (4) + 28 + 20 \ln (| 5 |) - 32,5$

= $- 20 \ln (4) + 20 \ln (| 5 |) + 28 - 32,5$

= $20 \ln (5) - 20 \ln (4) - 4,5$

≈ -0,037

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A=| $20 \ln (5) - 20 \ln (4) - \frac{9}{2}$ | ≈ 0.037

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (x)$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass bei der Kosinus-Funktion die Extrempunkte ... $- π$ , 0, $π$ , $2 π$ ... und die Wendepunkte bei ... $- \frac{3}{2} π$ , $- \frac{1}{2} π$ , $\frac{1}{2} π$ , $\frac{3}{2} π$ , $\frac{5}{2} π$ ... sind.

Also sind die Intervallgrenzen der gesuchten Fläche bei a= $0$ und b= $π$ und die Nullstelle von f im eingefärbten Bereich bei x= $\frac{1}{2} π$ .

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von $0$ bis $π$ berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 2 \cdot \cos (x) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) - 2 \cdot \sin (0)$

= $2 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

= $2 + 0$

= $2$

A₂ =

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \cos (x) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $2 \cdot \sin (π) - 2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 1$

= $0 - 2$

= $- 2$

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $2$ + $2$ = $4$ .

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{1}{2} x - 1$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = 0 und b = 2 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [0;2] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{1}{2} x - 1$	\| $- x^{2}$ $+ \frac{1}{2} x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 1 zwischen a = 0 und b = 2 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{1}{2} x - 1 + \frac{1}{2} x$ bei x = 1 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 1 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von 0 bis 2 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{0}^{1} (x^{2} - \frac{1}{2} x - 1 + \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

A₂ = $\int_{1}^{2} (x^{2} - \frac{1}{2} x - 1 + \frac{1}{2} x) ⅆ x$

=

\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x]}_{1}^{2}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1)$

= $\frac{8}{3} - 2 - (\frac{1}{3} - 1)$

= $\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})$

= $\frac{2}{3} - 1 \cdot (- \frac{2}{3})$

= $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $2$ .

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=3 und y=4.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 4 = 12

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=4 und $f(x) =$ $\frac{4}{x^{2}}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{4}{x^{2}}$	=	$4$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$4 \cdot x^{2}$
$4$	=	$4 x^{2}$

$4$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4$ $- 4 x^{2}$
$- 4 x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{1}^{3} (4 - \frac{4}{x^{2}}) ⅆ x

=

\int_{1}^{3} (4 - 4 x^{- 2}) ⅆ x

= ${[4 x + 4 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[4 x + \frac{4}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $4 \cdot 3 + \frac{4}{3} - (4 \cdot 1 + \frac{4}{1})$

= $12 + 4 \cdot (\frac{1}{3}) - (4 + 4 \cdot 1)$

= $12 + \frac{4}{3} - (4 + 4)$

= $\frac{36}{3} + \frac{4}{3} - 1 \cdot 8$

= $\frac{40}{3} - 8$

= $\frac{40}{3} - \frac{24}{3}$

= $\frac{16}{3}$

≈ 5,333

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 12 - 5.333 = 6.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 1 ⋅ 4 = 4 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{1}^{3} \frac{4}{x^{2}} ⅆ x

=

\int_{1}^{3} 4 x^{- 2} ⅆ x

= ${[- 4 x^{- 1}]}_{1}^{3}$

= ${[- \frac{4}{x}]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{4}{3} + \frac{4}{1}$

= $- 4 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 \cdot 1$

= $- \frac{4}{3} + 4$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3}$

= $\frac{8}{3}$

≈ 2,667 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 4 + 2.667 = 6.667.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 4$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}$	=	$x^{2} - 4$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2})$	=	$2 (x^{2} - 4)$
$- x^{2} + 4 x + 7$	=	$2 x^{2} - 8$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8$

$- 3 x^{2} + 4 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 15}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 4+14}{- 6}$ = $\frac{10}{- 6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 4-14}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + \frac{7}{2} x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 2^{2} + \frac{7}{2} \cdot 2 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 0^{2} + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 8 + 4 + 7 - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + 4 + 7 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{4}{3} + \frac{12}{3} + \frac{21}{3} + 0$

= $\frac{29}{3}$

≈ 9,667

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2} - (x^{2} - 4)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + \frac{15}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + \frac{15}{2} x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{3} + 3^{2} + \frac{15}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{3} + 2^{2} + \frac{15}{2} \cdot 2)$

= $- \frac{1}{2} \cdot 27 + 9 + \frac{45}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 8 + 4 + 15)$

= $- \frac{27}{2} + 9 + \frac{45}{2} - (- 4 + 4 + 15)$

= $- 13,5 + 9 + 22,5 - 1 \cdot 15$

= $18 - 15$

= $3$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 9.667 + 3 = 12.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=3 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;3] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{7}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + \frac{7}{2} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + 3^{2} + \frac{7}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 0^{2} + \frac{7}{2} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + 9 + \frac{21}{2} - (- \frac{1}{6} \cdot 0 + 0 + 0)$

= $- \frac{9}{2} + 9 + \frac{21}{2} - (0 + 0 + 0)$

= $- 4,5 + 9 + 10,5 + 0$

= $15$

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 8)$

= $9 - 12 - (\frac{8}{3} - 8)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $- 3 + \frac{16}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{16}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 15 - 2.333 = 12.667.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3}$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 0$

= $- \frac{2}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{25}{3}$ = $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{25}{3}$ = $- \frac{1}{3} + \frac{25}{3}$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $8$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $- \frac{2}{3}$ ⋅ $1$ + c

$8$ = $- \frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$\frac{26}{3}$ = c

also c= $\frac{26}{3}$ ≈ 8.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅x + $\frac{26}{3}$ oder y=-0.67x +8.67

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3}$ = 0

$- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3}$	=	0	\| $- \frac{25}{3}$
$- \frac{1}{3} x^{2}$	=	$- \frac{25}{3}$	\|⋅ $(- 3)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 5.

$\int_{1}^{5} (- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3} - (- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3})) ⅆ x$

= $\int_{1}^{5} (- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3} + \frac{1}{3} x^{2} - \frac{25}{3}) ⅆ x$

=

\int_{1}^{5} (\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x]}_{1}^{5}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{2} + \frac{1}{3} \cdot 5 - (\frac{1}{9} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{9} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 25 + \frac{5}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3})$

= $\frac{125}{9} - \frac{25}{3} + \frac{5}{3} - (\frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{125}{9} - \frac{75}{9} + \frac{15}{9} - (\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{3}{9})$

= $\frac{65}{9} - 1 \cdot \frac{1}{9}$

= $\frac{65}{9} - \frac{1}{9}$

= $\frac{64}{9}$

≈ 7,111

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3})$	=	0
$- 2 x + 26$	=	0	\| $- 26$
$- 2 x$	=	$- 26$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$13$

Somit erhält man für die Breite b= $13$ - 5 = 8

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 5, also h = $- \frac{2}{3} \cdot 5 + \frac{26}{3}$ ≈ 5.333

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 5.333 ≈ 21.333.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 7.111 + 21.333 = 28.444.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $13$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 ⋅ 8

=48

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{5} (- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{25}{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + \frac{25}{3} x]}_{1}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 5^{3} + \frac{25}{3} \cdot 5 - (- \frac{1}{9} \cdot 1^{3} + \frac{25}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 125 + \frac{125}{3} - (- \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{25}{3})$

= $- \frac{125}{9} + \frac{125}{3} - (- \frac{1}{9} + \frac{25}{3})$

= $- \frac{125}{9} + \frac{375}{9} - (- \frac{1}{9} + \frac{75}{9})$

= $\frac{250}{9} - 1 \cdot \frac{74}{9}$

= $\frac{250}{9} - \frac{74}{9}$

= $\frac{176}{9}$

≈ 19,556

A_ges = A₁ - A₂ = 48 - 19.556 = 28.444.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	=	0	\| $+ \frac{18}{5}$
$\frac{2}{5} x^{2}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=3.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

$- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}$	=	$\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5})$	=	$5 (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})$
$- x^{2} + 6 x + 27$	=	$2 x^{2} - 18$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 18$

- 3 x^{2} + 6 x + 45

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=5.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{3} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + \frac{27}{5} \cdot 3 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + \frac{81}{5} - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{9}{5} + \frac{27}{5} + \frac{81}{5} - (0 + 0 + 0)$

= $\frac{99}{5} + 0$

= $\frac{99}{5}$

= 19,8

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{3}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5} - (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5})) ⅆ x$

=

\int_{3}^{5} (- \frac{3}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + 9) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{5} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + 9 x]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{5} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + 9 \cdot 5 - (- \frac{1}{5} \cdot 3^{3} + \frac{3}{5} \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3)$

= $- \frac{1}{5} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 45 - (- \frac{1}{5} \cdot 27 + \frac{3}{5} \cdot 9 + 27)$

= $- 25 + 15 + 45 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + 27)$

= $35 - (- \frac{27}{5} + \frac{27}{5} + \frac{135}{5})$

= $35 - 1 \cdot 27$

= $35 - 27$

= $8$

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 19.8 + 8 = 27.8.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=5 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [3;5] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{5} (- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{27}{5}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{15} x^{3} + \frac{3}{5} x^{2} + \frac{27}{5} x]}_{0}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{15} \cdot 5^{3} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2} + \frac{27}{5} \cdot 5 - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{3} + \frac{3}{5} \cdot 0^{2} + \frac{27}{5} \cdot 0)$

= $- \frac{1}{15} \cdot 125 + \frac{3}{5} \cdot 25 + 27 - (- \frac{1}{15} \cdot 0 + \frac{3}{5} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + 15 + 27 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{25}{3} + \frac{45}{3} + \frac{81}{3} + 0$

= $\frac{101}{3}$

≈ 33,667

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{3}^{5} (\frac{2}{5} x^{2} - \frac{18}{5}) ⅆ x

= ${[\frac{2}{15} x^{3} - \frac{18}{5} x]}_{3}^{5}$

$=$ $\frac{2}{15} \cdot 5^{3} - \frac{18}{5} \cdot 5 - (\frac{2}{15} \cdot 3^{3} - \frac{18}{5} \cdot 3)$

= $\frac{2}{15} \cdot 125 - 18 - (\frac{2}{15} \cdot 27 - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - 18 - (\frac{18}{5} - \frac{54}{5})$

= $\frac{50}{3} - \frac{54}{3} - 1 \cdot (- \frac{36}{5})$

= $- \frac{4}{3} + \frac{36}{5}$

= $- \frac{20}{15} + \frac{108}{15}$

= $\frac{88}{15}$

≈ 5,867

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 33.667 - 5.867 = 27.8.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 2 3 x + 26 3

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{26}{3}$