Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 4 x$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.

Berechne deren Inhalt.

Zuerst muss man die Nullstellen von f berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$2 x^{2} + 4 x$ = 0

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A =

\int_{-2}^{0} (2 x^{2} + 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2}]}_{-2}^{0}$

$=$ $\frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - (\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2})$

= $\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (\frac{2}{3} \cdot (- 8) + 2 \cdot 4)$

= $0 + 0 - (- \frac{16}{3} + 8)$

= $0 - (- \frac{16}{3} + \frac{24}{3})$

= $- 1 \cdot \frac{8}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2,667

Da Flächeninhalte (im Gegensatz zur Änderung eines Bestands) immer positiv sein müssen gilt somit für den gesuchten Flächeninhalt:

A = $\frac{8}{3}$ .

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3$ und g(x)= $- 3 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 24$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- 3 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 24$ = $- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3$

- 3 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 24

=

- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3

|

+ 3 x^{3}

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 3

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Wir brauchen also das Integral im Interval [

- 3

;

7

].

A=

\int_{- 3}^{7} (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3) ⅆ x

-

\int_{- 3}^{7} (- 3 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 24) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{7} (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3 - (- 3 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 24)) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{7} (- 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 3 + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 24) ⅆ x

=

\int_{- 3}^{7} (- x^{2} + 4 x + 21) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 21 x]}_{- 3}^{7}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 7^{3} + 2 \cdot 7^{2} + 21 \cdot 7 - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 21 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 343 + 2 \cdot 49 + 147 - (- \frac{1}{3} \cdot (- 27) + 2 \cdot 9 - 63)$

= $- \frac{343}{3} + 98 + 147 - (9 + 18 - 63)$

= $- \frac{343}{3} + \frac{294}{3} + \frac{441}{3} - 1 \cdot (- 36)$

= $\frac{392}{3} + 36$

= $\frac{392}{3} + \frac{108}{3}$

= $\frac{500}{3}$

≈ 166,667

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A= $\frac{500}{3}$ ≈ 166.667

Fläche zwischen zwei Kurven

Beispiel:

Die beiden Funktion f und g mit f(x)= $x - 6$ und g(x)= $- \frac{8}{x}$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Flächeninhalt.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{8}{x}$ = $x - 6$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$x - 6$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 6 \cdot x$
$- 8$	=	$x \cdot x - 6 x$

- 8

=

x^{2} - 6 x

|

- x^{2}

+ 6 x

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wir brauchen also das Integral im Interval [

2

;

4

].

A=

\int_{2}^{4} (x - 6) ⅆ x

-

\int_{2}^{4} - \frac{8}{x} ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (x - 6 + \frac{8}{x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (x - 6 + \frac{8}{x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (x - 6 + \frac{8}{x}) ⅆ x

=

\int_{2}^{4} (x - 6 + 8 x^{- 1}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 8 \ln (| x |)]}_{2}^{4}$

$=$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4 + 8 \ln (| 4 |) - (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 + 8 \ln (| 2 |))$

= $\frac{1}{2} \cdot 16 - 24 + 8 \ln (| 4 |) - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 12 + 8 \ln (| 2 |))$

= $8 - 24 + 8 \ln (| 4 |) - (2 - 12 + 8 \ln (| 2 |))$

= $8 \ln (| 4 |) - 16 - (8 \ln (2) - 10)$

= $- 8 \ln (2) + 10 + 8 \ln (| 4 |) - 16$

= $- 8 \ln (2) + 8 \ln (| 4 |) + 10 - 16$

= $8 \ln (4) - 8 \ln (2) - 6$

≈ -0,455

Da hier jedoch kein orientierter, sondern der Flächeninhalt einer ganz konkreten Fläche gesucht ist, muss der Betrag des Integrals genommen werden.

also A=| $8 \ln (4) - 8 \ln (2) - 6$ | ≈ 0.455

Fläche mit Integral berechnen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + 4$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (orange) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

Da eine der beiden Teilflächen unter und die andere über der x-Achse liegt, haben die zugehörigen orientierte Flächeninhalte verschiedene Vorzeichen und würden sich gegenseitig teilweise aufheben, wenn man einfach das Integral von 0 bis 5 berechnen würde.

Deswegen müssen wird die beiden Teilflächen seperat berechnen und dann deren Flächeninhalte addieren:

A₁ =

\int_{0}^{4} (- \frac{1}{4} x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + 4 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 4^{3} + 4 \cdot 4 - (- \frac{1}{12} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 64 + 16 - (- \frac{1}{12} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} + 16 - (0 + 0)$

= $- \frac{16}{3} + \frac{48}{3} + 0$

= $\frac{32}{3}$

≈ 10,667

A₂ =

\int_{4}^{5} (- \frac{1}{4} x^{2} + 4) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{12} x^{3} + 4 x]}_{4}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{12} \cdot 5^{3} + 4 \cdot 5 - (- \frac{1}{12} \cdot 4^{3} + 4 \cdot 4)$

= $- \frac{1}{12} \cdot 125 + 20 - (- \frac{1}{12} \cdot 64 + 16)$

= $- \frac{125}{12} + 20 - (- \frac{16}{3} + 16)$

= $- \frac{125}{12} + \frac{240}{12} - (- \frac{16}{3} + \frac{48}{3})$

= $\frac{115}{12} - 1 \cdot \frac{32}{3}$

= $\frac{115}{12} - \frac{32}{3}$

= $\frac{115}{12} - \frac{128}{12}$

= $- \frac{13}{12}$

≈ -1,083

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{32}{3}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{47}{4}$ = 11.75.

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ und g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 1$ .

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen a = -1 und b = 1 von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen der beiden Kurven berechnen und so überprüfen, ob eine (oder mehrere) der Schnittstellen im Intervall [-1;1] liegen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{1}{2} x + 1$	=	$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} x$	=	$x^{2} - \frac{5}{2} x$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x)$	\| $- 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x)$
$- 2 x^{2} - x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Man erkennt, dass die Schnittstelle 0 zwischen a = -1 und b = 1 liegt. Das bedeutet, dass die Differenzfunktion (die nachher im Integral steht) $x^{2} - \frac{5}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)$ bei x = 0 ihr Vorzeichen wechselt.

Das bedeutet, dass die Flächen zwischen den Kurven links und rechts von x = 0 jeweils orientierte Flächeninhalte mit unterschiedlichen Vorzeichen haben. Würde man jetzt einfach das Integral von -1 bis 1 berechnen, würden sich die orientierten Flächeninhalte gegenseitig teilweise aufheben.

Deswegen muss man die orientierten Flächeninhalte einzeln ausrechnen und dann ihre Beträge addieren:

A₁ = $\int_{-1}^{0} (x^{2} - \frac{5}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)) ⅆ x$

=

\int_{-1}^{0} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{-1}^{0}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 0 - 0 - (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 1)$

= $0 + 0 - (- \frac{1}{3} - 1)$

= $0 - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{3})$

= $- 1 \cdot (- \frac{4}{3})$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

A₂ = $\int_{0}^{1} (x^{2} - \frac{5}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2} x + 1)) ⅆ x$

=

\int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 0^{2})$

= $\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 0)$

= $\frac{1}{3} - 1 - (0 + 0)$

= $\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + 0$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0,667

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = |A₁| + |A₂| = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $2$ .

zusammengesetzte Flächen 2

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (rote Kurve).

Berechne den Inhalt der (gelb) eingefärbten Fläche.

Lösung einblenden

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

Der Abbildung entnehmen wir die Gleichungen der Geraden: x=5 und y=3.

Somit können wir den Flächeninhalt des Rechtecks, das von den grünen Geraden und den Koordinatenachsen gebildet wird, berechnen:

A₁ = 5 ⋅ 3 = 15

Von dieser Rechteckfläche müssen wir nun das rechte obere 'Eck' abziehen:

Dazu berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen g(x)=3 und $f(x) =$ $3 e^{- x + 3}$ (im Schaubild orange eingefärbt):

Als erstes muss man dazu den Schnittpunkt der beiden Graphen als die linke Grenze der Fläche berechnen:

$3 e^{- x + 3}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- x + 3}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- x + 3$	=	0

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit können wir nun die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen:

A₂ =

\int_{3}^{5} (3 - 3 e^{- x + 3}) ⅆ x

= ${[3 x + 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $3 \cdot 5 + 3 e^{- 5 + 3} - (3 \cdot 3 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $15 + 3 e^{- 5 + 3} - (9 + 3 e^{- 3 + 3})$

= $15 + 3 e^{- 2} - (9 + 3 e^{0})$

= $3 e^{- 2} + 15 - (9 + 3)$

= $3 e^{- 2} + 15 - 1 \cdot 12$

= $3 e^{- 2} + 15 - 12$

= $3 e^{- 2} + 3$

≈ 3,406

Für die gesuchte (gelbe) Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ - A₂ = 15 - 3.406 = 11.594.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Summe des kleineren (gelben) Rechtecks und der (grün eingefärbten) Fläche unter f berechnen:

A₁ = 3 ⋅ 3 = 9 (gelbes Rechteck)

A₂ =

\int_{3}^{5} 3 e^{- x + 3} ⅆ x

= ${[- 3 e^{- x + 3}]}_{3}^{5}$

$=$ $- 3 e^{- 5 + 3} + 3 e^{- 3 + 3}$

= $- 3 e^{- 2} + 3 e^{0}$

= $- 3 e^{- 2} + 3$

≈ 2,594 (grüne Fläche)

Für die gesuchte Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 9 + 2.594 = 11.594.

zusammengesetzte Flächen 3

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x + 2$ (rote Kurve) und g mit $g(x) =$ $x^{2} - 4$ (blaue Kurve).

Die Graphen von f und g, schließen mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Nullstelle von g und die Schnittstelle der beiden Graphen:

Nullstelle von g(x): g(x)=0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Schnittstelle von g(x) mit der positiven x-Achse ist also bei x=2.

Schnittstelle von f(x) und g(x): f(x) = g(x)

- x^{2} + 4 x + 2

=

x^{2} - 4

|

- x^{2}

+ 4

- 2 x^{2} + 4 x + 6

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Die Schnittstelle von f(x) und g(x) im 1. Quadrant ist somit bei x=3.

Jetzt unterteilen wir die gesuchte Fläche in eine Teilfläche A₁ bis zur Nullstelle von g (grün eingefärbt) und A₂ zwischen dieser Nullstelle und der Schnittstelle von f und g (orange eingefärbt):

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man einfach als den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse berechnen, also :

A₁=

\int_{0}^{2} (- x^{2} + 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 4 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + 8 + 4 - (0 + 0 + 0)$

= $- \frac{8}{3} + \frac{24}{3} + \frac{12}{3} + 0$

= $\frac{28}{3}$

≈ 9,333

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

Diesen Flächeninhalt kann man mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen den zwei Graphen von und g berechnen:

A₂ = $\int_{2}^{3} (- x^{2} + 4 x + 2 - (x^{2} - 4)) ⅆ x$

=

\int_{2}^{3} (- 2 x^{2} + 4 x + 6) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 6 x]}_{2}^{3}$

$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 - (- \frac{2}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2)$

= $- \frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 18 - (- \frac{2}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 12)$

= $- 18 + 18 + 18 - (- \frac{16}{3} + 8 + 12)$

= $18 - (- \frac{16}{3} + \frac{24}{3} + \frac{36}{3})$

= $18 - 1 \cdot \frac{44}{3}$

= $18 - \frac{44}{3}$

= $\frac{54}{3} - \frac{44}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 9.333 + 3.333 = 12.667.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz der großen Fläche A₁ unter f zwischen x=0 und x=3 (gelb und grün zusammen) und der Fläche A₂ zwischen f und g im Intervall [2;3] (gelb eingefärbt) berechnen:

1. große Fläche (gelb und grün zusammen):

A₁=

\int_{0}^{3} (- x^{2} + 4 x + 2) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 6 - (- \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 9 + 18 + 6 - (0 + 0 + 0)$

= $15 + 0$

= $15$

2. Fläche zwischen f und g (gelb):

A₂=

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) ⅆ x

= ${[\frac{1}{3} x^{3} - 4 x]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2)$

= $\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 8 - 8)$

= $9 - 12 - (\frac{8}{3} - 8)$

= $- 3 - (\frac{8}{3} - \frac{24}{3})$

= $- 3 - 1 \cdot (- \frac{16}{3})$

= $- 3 + \frac{16}{3}$

= $- \frac{9}{3} + \frac{16}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2,333

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt somit:

A_ges = A₁ + A₂ = 15 - 2.333 = 12.667.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3}$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3}$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 0$

= $- \frac{2}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{16}{3}$ = $- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{16}{3}$ = $- \frac{1}{3} + \frac{16}{3}$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- \frac{2}{3}$ ⋅ $1$ + c

$5$ = $- \frac{2}{3}$ + c | + $\frac{2}{3}$

$\frac{17}{3}$ = c

also c= $\frac{17}{3}$ ≈ 5.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅x + $\frac{17}{3}$ oder y=-0.67x +5.67

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3}$ = 0

$- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3}$	=	0	\| $- \frac{16}{3}$
$- \frac{1}{3} x^{2}$	=	$- \frac{16}{3}$	\|⋅ $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 4.

$\int_{1}^{4} (- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3} - (- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3})) ⅆ x$

= $\int_{1}^{4} (- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3} + \frac{1}{3} x^{2} - \frac{16}{3}) ⅆ x$

=

\int_{1}^{4} (\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{1}{9} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 4^{2} + \frac{1}{3} \cdot 4 - (\frac{1}{9} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{1}{9} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3})$

= $\frac{64}{9} - \frac{16}{3} + \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

= $\frac{64}{9} - \frac{48}{9} + \frac{12}{9} - (\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{3}{9})$

= $\frac{28}{9} - 1 \cdot \frac{1}{9}$

= $\frac{28}{9} - \frac{1}{9}$

= $3$

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3})$	=	0
$- 2 x + 17$	=	0	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 17$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{17}{2}$ = 8.5

Somit erhält man für die Breite b= $\frac{17}{2}$ - 4 = 4.5

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 4, also h = $- \frac{2}{3} \cdot 4 + \frac{17}{3}$ = 3

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4.5 ⋅ 3 = 6.75.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 3 + 6.75 = 9.75.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $\frac{17}{2}$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 7.5 ⋅ 5

=18.75

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{4} (- \frac{1}{3} x^{2} + \frac{16}{3}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{9} x^{3} + \frac{16}{3} x]}_{1}^{4}$

$=$ $- \frac{1}{9} \cdot 4^{3} + \frac{16}{3} \cdot 4 - (- \frac{1}{9} \cdot 1^{3} + \frac{16}{3} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{9} \cdot 64 + \frac{64}{3} - (- \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{16}{3})$

= $- \frac{64}{9} + \frac{64}{3} - (- \frac{1}{9} + \frac{16}{3})$

= $- \frac{64}{9} + \frac{192}{9} - (- \frac{1}{9} + \frac{48}{9})$

= $\frac{128}{9} - 1 \cdot \frac{47}{9}$

= $\frac{128}{9} - \frac{47}{9}$

= $9$

A_ges = A₁ - A₂ = 18.75 - 9 = 9.75.

zusammengesetzte Flächen schwer

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ (rote Kurve).

An diesen wird bei x = $1$ eine Tangente angelegt.

Der Graph von f, die Tangente und die positive x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt.

Lösung einblenden

Berechnung der Tangenten: y= $- x + 5$

(Detail-Rechnung einblenden)

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- x + 0$

= $- x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m = f'(1) =$ $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{9}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{9}{2}$ = $- \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$ = $- 0,5 + 4,5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$4$ = $- 1$ + c | + $1$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $5$

Um nun den gesuchten Flächeninhalt zu berechnen, unterteilen wir die Fläche in zwei Abschnitte:

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Zwischen x₁ = $1$ und der Schnittstelle von f mit der x-Achse können wir die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung als Fläche zwischen zwei Graphen berechnen:

Für die Schnittstelle von f mit der x-Achse setzen wir $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$ = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}$	=	0	\| $- \frac{9}{2}$
$- \frac{1}{2} x^{2}$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wir berechnen also die linke Fläche als Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen x₁ = $1$ und x₂ = 3.

$\int_{1}^{3} (- x + 5 - (- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2})) ⅆ x$

= $\int_{1}^{3} (- x + 5 + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}) ⅆ x$

=

\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}) ⅆ x

= ${[\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{3}$

$=$ $\frac{1}{6} \cdot 3^{3} - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

= $\frac{1}{6} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2})$

= $\frac{9}{2} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

= $4,5 - 4,5 + 1,5 - (\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{3}{6})$

= $1,5 - 1 \cdot \frac{1}{6}$

= $1,5 - \frac{1}{6}$

= $\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$

= $\frac{9}{6} - \frac{1}{6}$

= $\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$

= $\frac{4}{3}$

≈ 1,333

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Diese hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und man kann somit den Flächneinhalt als A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ Breite ⋅ Höhe berechnen.

Für die Breite braucht man den Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit erhält man für die Breite b= $5$ - 3 = 2

Die Höhe ist ja einfach der y-Wert der Tangente an der Stelle 3, also h = $- 3 + 5$ = 2

Wir erhalten somit als Flächeninhalt für die Dreiecksfläche:

A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 2 = 2.

Für den Flächeninhalt der gesamten Fläche gilt:

A_ges = A₁ + A₂ = 1.333 + 2 = 3.333.

(Alternative Berechnung einblenden)

Alternativ kann man die Fläche auch als Differenz des großen Dreiecks (gelb und grün zusammen) und der Fläche unter f (gelb) berechnen:

1. großes Dreieck gelb und grün zusammen):

A₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅ ( $5$ - $1$ ) ⋅ f( $1$ )

= $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 4

=8

2. Fläche unter f (gelb):

A₂ =

\int_{1}^{3} (- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{9}{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{9}{2} x]}_{1}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{9}{2} \cdot 3 - (- \frac{1}{6} \cdot 1^{3} + \frac{9}{2} \cdot 1)$

= $- \frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{9}{2})$

= $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2} - (- \frac{1}{6} + \frac{9}{2})$

= $- 4,5 + 13,5 - (- \frac{1}{6} + \frac{27}{6})$

= $9 - 1 \cdot \frac{13}{3}$

= $9 - \frac{13}{3}$

= $\frac{27}{3} - \frac{13}{3}$

= $\frac{14}{3}$

≈ 4,667

A_ges = A₁ - A₂ = 8 - 4.667 = 3.333.

Aufgabenbeispiele von Flächen berechnen

Fläche zw. Kurve und x-Achse

Fläche zwischen zwei Kurven BF

Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche mit Integral berechnen

Fläche zw. 2 Kurven mit Grenzen

zusammengesetzte Flächen 2

1. Weg: Differenz des Rechtecks und der rechten oberen 'Ecke' :

zusammengesetzte Flächen 3

1. Fläche links (im Schaubild grüne Fläche)

2. Fläche rechts (im Schaubild orange Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= - 2 3 x + 17 3

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

zusammengesetzte Flächen schwer

Berechnung der Tangenten: y= -x +5

1. Fläche links (im Schaubild orange Fläche)

Bleibt noch die 2. Fläche rechts (im Schaubild grüne Fläche)

Berechnung der Tangenten: y= $- \frac{2}{3} x + \frac{17}{3}$

Berechnung der Tangenten: y= $- x + 5$