Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x=4 einen VZW von - nach +. Also muss die Originalfunktion f bei x=4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendepunkte immer Extrempunkte der Ableitung sind, müssen wir nur nach den Extrempunkten suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ' positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist deren Ableitung f.

Da die Gerade g die Steigung -4 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -4 haben. Es muss also f(x) = -4 gelten.

Am Schaubild kann man f(-2) = -4 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -2 + 1 = $-1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-1)) = F($0$).

F($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-1)) = F($0$) = $\frac{3}{2}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = 3 und f(1) = -3 ablesen.

Also gilt $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(1)- f(-1) = -3 - 3 = -6.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(4)- F(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅( - 2 )⋅4 = -4

Somit gilt: F(4)-F(0) = -4

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrück f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.9 und x = -0.25 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(-0.25) < f(-1.9) sein.

Zwischen x=-0.25 und x=2.1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(2.1) > f(-0.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-0.25) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-1.9)>f(2.1) oder f(2.1)>f(-1.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-1.9}{\overset{-0.25}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}}dx\right|$$ < $$\left|\underset{-0.25}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -1.9 und -0.25 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -0.25 und 2.1.

Also muss f(-1.9) kleiner als f(2.1) sein. Insgesamt gilt:

f(-0.25) < f(-1.9) < f(2.1)

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(1) = 0 und f(3) = 2 ablesen.

Also gilt $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(3)- f(1) = 2 - 0 = 2.